Saul Kripke (1940 -Saul Kripke (1940 -m.j. García-Encinas (2012-13)m.j. García-Encinas (2012-13)

Semántica Filosófica Semántica Filosófica

(Consideraciones semánticas en (Consideraciones semánticas en torno a la lógica modal, 1963)torno a la lógica modal, 1963)

De qué hablaremos esta semanaTexto complementario: García-Suárez (1989) “Lógica modal” en Garrido, M. (ed.) Lógica y

Lenguaje

Intro a la lógica modal:

• Algo de historia y paradojas

• Distintos sistemas• La crítica de Quine• Algo de semántica• La fórmula Barcan

Algo de historia

(i) Proposiciones asertóricas; proposiciones cum modo; según el modo en que una proposición puede ser o no verdadera: posiblemente, necesariamente, imposiblemente

Si A es una f.b.f., entonces MA y LA son f.b.f.

Algo de historia(i) Proposiciones asertóricas;

proposiciones cum modo; según el modo en que una proposición puede ser o no verdadera: posiblemente, necesariamente, imposiblemente

Si A es una f.b.f., entonces MA y LA son f.b.f.(ii) Aristóteles: Mp y Mp son conjuntamente posibles

Luego, la negación de Mp es Mp (no: Mp)Y la negación de Lp es LpIgualmente: (1) Lp MpY también: (2) Mp MpLuego: (3) Lp Mp !!

Algo de historia(i) Proposiciones asertóricas;

proposiciones cum modo; según el modo en que una proposición puede ser o no verdadera: posiblemente, necesariamente, imposiblemente

Si A es una f.b.f., entonces MA y LA son f.b.f.(ii) Aristóteles: Mp y Mp son conjuntamente posibles

Luego, la negación de Mp es Mp (no: Mp)Y la negación de Lp es LpIgualmente: (1) Lp MpY también: (2) Mp Mp Luego: (3) Lp Mp !!

Algo de historia(i) Proposiciones asertóricas;

proposiciones cum modo; según el modo en que una proposición puede ser o no verdadera: posiblemente, necesariamente, imposiblemente

Si A es una f.b.f., entonces MA y LA son f.b.f.(ii) Aristóteles: Mp y Mp son conjuntamente posibles

Luego, la negación de Mp es Mp (no: Mp)Y la negación de Lp es LpIgualmente: (1) Lp MpY también: (2) Mp Mp Qp Qp Luego: (3) Lp Mp !!

Algo de historia y “paradojas”

(iii) Medievales Lp ¬M¬p [xPx ¬x¬Px] Mp ¬L¬p [xPx ¬x¬Px] Lp p [xPx Pa] p Mp [Pa xPx]

Algo de historia y “paradojas”

(iii) Medievales Lp ¬M¬p [xPx ¬x¬Px] Mp ¬L¬p [xPx ¬x¬Px] Lp p [xPx Pa] p Mp [Pa xPx]

(iv) “Paradojas” de la implicación materialp q ¬(p ¬q)V V VV F FF V V q (p q)F F V ¬p (p q)

Algo de historia y “paradojas”

(iii) Medievales Lp ¬M¬p [xPx ¬x¬Px] Mp ¬L¬p [xPx ¬x¬Px] Lp p [xPx Pa] p Mp [Pa xPx]

(iv) “Paradojas” de la implicación materialp q ¬(p ¬q) L¬(p ¬q)V V VV F FF V V q (p q)F F V ¬p (p q)

Algo de historia y “paradojas”

(iii) Medievales Lp ¬M¬p [xPx ¬x¬Px] Mp ¬L¬p [xPx ¬x¬Px] Lp p [xPx Pa] p Mp [Pa xPx]

(iv) “Paradojas” de la implicación materialp q ¬(p ¬q) L¬(p ¬q)V V VV F FF V V q (p q)F F V ¬p (p q) (L¬p L(p q))

Sistemas de lógica modal(S0.5) A entonces LA “Regla de

necesitación”

Sistemas de lógica modal(S0.5) A entonces LA “Regla de

necesitación”(K) L(A B) entonces (LA LB)

Sistemas de lógica modal(S0.5) A entonces LA “Regla de

necesitación”(K) L(A B) entonces (LA LB)(D) LA MA

Sistemas de lógica modal(S0.5) A entonces LA “Regla de

necesitación”(K) L(A B) entonces (LA LB)(D) LA MA(T) LA A

Sistemas de lógica modal(S0.5) A entonces LA “Regla de

necesitación”(K) L(A B) entonces (LA LB)(D) LA MA(T) LA A(S4) LA LLA

Sistemas de lógica modal(S0.5) A entonces LA “Regla de

necesitación”(K) L(A B) entonces (LA LB)(D) LA MA(T) LA A(S4) LA LLA(S5) MA LMA

Sistemas de lógica modal(S0.5) A entonces LA “Regla de

necesitación”(K) L(A B) entonces (LA LB)(D) LA MA(T) LA A(S4) LA LLA(S5) MA LMA(B) A LMA (No: LMA A)

Sistemas de lógica modal(S0.5) A entonces LA “Regla de

necesitación”(K) L(A B) entonces (LA LB)(D) LA MA(T) LA A(S4) LA LLA(S5) MA LMA(B) A LMA (No: LMA A)

A ¬¬A (No: ¬¬A A)

Sistemas de lógica modal(S0.5) A entonces LA “Regla de

necesitación”(K) L(A B) entonces (LA LB)(D) LA MA(T) LA A (Kripke lo llama M)(S4) LA LLA(S5) MA LMA(B) A LMA (No válida: LMA A)

A ¬¬A (No válida: ¬¬A A)

A ¬M¬MA (No válida: ¬M¬MA A) A LMA (No válida: LMA A)

La crítica de Quine

• Los contextos modales (entre otros) son referencialmente opacos, i.e., no podemos sustituir sin afectar el valor de verdad de las fórmulas.

• Los contextos modales no son extensionales, sino intensionales, i.e., el valor de verdad de una expresión compuesta (Mp) no queda totalmente determinado por el valor de verdad de su proposiciones (Mp compatible con p = V y con p = F; Lp puede ser F aunque p = V)

La crítica de Quine: Opacidad

• 9 = el número de planetas

Necesariamente, 9 es mayor que 7

(C) Necesariamente, el número de planetas es mayor que 7

• Hesperus = la estrella del atardecer

Es imposible que una estrella sea un planeta

(C) Es imposible que Hesperus sea un planeta

Respuesta: No opacidad si las descripciones no son términos singulares y distinguimos

alcances

9 = el número de planetas

(i) x ((Px y (Py y = x) x = 9)

Necesariamente, 9 es mayor que 7

(ii) L (9 > 7)

Necesariamente, el número de planetas es mayor que 7

(iii) x ((Px y (Py y = x) L (x > 7)

No: L x ((Px y (Py y = x) (x > 7)

Respuesta de Quine: Esencialismo?!!(iii) x ((Px y (Py y = x) L (x > 7)

x L (x > 7) (ii) L (9 > 7)

Quine: esto es ininteligible! ¿Cuál es el número que es necesariamente mayor que 7?

La respuesta a esta pregunta sólo puede depender del modo en que se describa 9, no del modo de ser de 9.

Si no, hemos de aceptar que 9 mismo tiene propiedades necesarias (ser mayor que 7) y propiedades contingentes (ser el número de planetas).

Por tanto, no podemos cuantificar desde fuera en contextos modales. En LM falla generalización existencial.

Si los contextos modales no son extensionales, tenemos problemas

para hacer semántica

• Los contextos modales no son extensionales, sino intensionales, i.e., el valor de verdad de una expresión compuesta (Mp) no queda totalmente determinado por el valor de verdad de su proposiciones (Mp compatible con p = V y con p = F; Lp puede ser F aunque p = V)

Solución: semántica de mundos posibles

Semántica de mundos posibles

Necesario = verdadero en todo mundo posible

Posible = verdadero en algún mundo posible

(Contingente = verdadero en el mundo actual y falso en algún mundo posible)

Definimos un modelo: K, R, m0,

K: conjunto de mundos posibles

R: relación de acceso entre mundos

m0: mundo actual

: función que va asignando valores {V, F} a cada fórmula en cada mundo.

Semántica de mundos posiblesModelo: K, R, m, Así, por recursión:1. Si (A, mi) = V y (B, mi) = V, ent. (A B, mi) =V;

en otro caso, (A B, mi) = F

Semántica de mundos posiblesModelo: K, R, m, Así, por recursión:1. Si (A, mi) = V y (B, mi) = V, ent. (A B, mi) =V;

en otro caso, (A B, mi) = F2. Si (A, mi) = V, ent., (A, mi) = F; y al contrario

Semántica de mundos posiblesModelo: K, R, m, Así, por recursión:1. Si (A, mi) = V y (B, mi) = V, ent. (A B, mi) =V;

en otro caso, (A B, mi) = F2. Si (A, mi) = V, ent., (A, mi) = F; y al contrario3. Si (A, mj) = V en todo mj tal que miRmj, entonces

(LA, mi) = V; en otro caso, (LA, mi) = F

Semántica de mundos posiblesModelo: K, R, m, Así, por recursión:1. Si (A, mi) = V y (B, mi) = V, ent. (A B, mi) =V;

en otro caso, (A B, mi) = F2. Si (A, mi) = V, ent., (A, mi) = F; y al contrario3. Si (A, mj) = V en todo mj tal que miRmj, entonces

(LA, mi) = V; en otro caso, (LA, mi) = F4. Si (A, mj) = V en algún mj tal que miRmj,

entonces (MA, mi) = V; en otro caso, (LA, mi) = F

Semántica de mundos posiblesModelo: K, R, m, Así, por recursión:1. Si (A, mi) = V y (B, hi) = V, ent. (A B, mi) =V;

en otro caso, (A B, mi) = F2. Si (A, mi) = V, ent., (A, mi) = F; y al contrario3. Si (A, mj) = V en todo mj tal que miRmj, entonces

(LA, mi) = V; en otro caso, (LA, mi) = F4. Si (A, mj) = V en algún mj tal que miRmj,

entonces (MA, mi) = V; en otro caso, (LA, mi) = F

Validez: una fórmula es válida en un sistema modal cuando es verdadera en todo modelo de ese sistema.

Semántica de mundos posiblesModelo: K, R, m, Así, por recursión:1. Si (A, mi) = V y (B, hi) = V, ent. (A B, mi) =V;

en otro caso, (A B, mi) = F2. Si (A, mi) = V, ent., (A, mi) = F; y al contrario3. Si (A, mj) = V en todo mj tal que miRmj, entonces

(LA, mi) = V; en otro caso, (LA, mi) = F4. Si (A, mj) = V en algún mj tal que miRmj, entonces

(MA, mi) = V; en otro caso, (MA, mi) = FValidez: una fórmula es válida en un sistema modal

cuando es verdadera en todo modelo de ese sistema.

Si R es reflexiva, nos movemos en T (LA A)Si R es reflexiva y transitiva, en S4 (LA LLA)Si R es reflexiva, transitiva y simétrica, en S5 (MA LMA)

Demostración de que Lp LLp no es válida en T

Demostración de que Lp LLp no es válida en T

Buscamos un modelo en T en el que Lp sea V, y LLp sea F:

m0 m1 m2

p=1 p=1Lp=1

Demostración de que Lp LLp no es válida en T

Buscamos un modelo en T en el que Lp sea V, y LLp sea F:

m0 m1 m2

p=1 p=1 p=0Lp=1 Lp=0

Demostración de que Lp LLp no es válida en T

Buscamos un modelo en T en el que Lp sea V, y LLp sea F:

m0 m1 m2

p=1 p=1 p=0Lp=1 Lp=0LLp=0Lp LLp =0

La fórmula Barcan

• Su inversa es teorema en T:LxPx xLPx Si, necesariamente, todo es P, entonces todo es

necesariamente P

La fórmula Barcan• Su inversa es teorema en T:LxPx xLPx Si, necesariamente, todo es P, entonces todo es

necesariamente P• FB es teorema en S5

xLPx LxPx (FB)

La fórmula Barcan• Su inversa es teorema en T:LxPx xLPx Si, necesariamente, todo es P, entonces todo es

necesariamente P• FB es teorema en S5

xLPx LxPx (FB)¬LxPx ¬xLPx

La fórmula Barcan• Su inversa es teorema en T:LxPx xLPx Si, necesariamente, todo es P, entonces todo es

necesariamente P• FB es teorema en S5

xLPx LxPx (FB)¬LxPx ¬xLPx M¬xPx x¬LPx

La fórmula Barcan• Su inversa es teorema en T:LxPx xLPx Si, necesariamente, todo es P, entonces todo es

necesariamente P• FB es teorema en S5

xLPx LxPx (FB)¬LxPx ¬xLPx M¬xPx x¬LPxMx¬Px xM¬Px

La fórmula Barcan• Su inversa es teorema en T:LxPx xLPx Si, necesariamente, todo es P, entonces todo es

necesariamente P• FB es teorema en S5

xLPx LxPx (FB)¬LxPx ¬xLPx M¬xPx x¬LPxMx¬Px xM¬PxMxPx xMPx (FB)

Si es posible que algo es P, entonces algo es posiblemente P

Propuesta de Kripke: permitimos que los dominios de los mundos varíen

FB no es válida si el dominio crece

xLPx LxPx

(m0) = {a} (m1) = {a, b} m0 m1

(Pa, m0) = 1 Pa=1 Pa=1 (Pa, m1) = 1 Pb=0 (Pb, m1) = 0

Propuesta de Kripke: permitimos que los dominios de los mundos varíen

FB no es válida si el dominio crece

xLPx LxPx

(m0) = {a} (m1) = {a, b} m0 m1

(Pa, m0) = 1 Pa=1 Pa=1 (Pa, m1) = 1 Pb=0 (Pb, m1) = 0 xLPx=1

Propuesta de Kripke: permitimos que los dominios de los mundos varíen

FB no es válida si el dominio crece

xLPx LxPx

(m0) = {a} (m1) = {a, b} m0 m1

(Pa, m0) = 1 Pa=1 Pa=1 (Pa, m1) = 1 Pb=0 (Pb, m1) = 0 xLPx=1 xPx=0

Propuesta de Kripke: permitimos que los dominios de los mundos varíen

FB no es válida si el dominio crece

xLPx LxPx

(m0) = {a} (m1) = {a, b} m0 m1

(Pa, m0) = 1 Pa=1 Pa=1 (Pa, m1) = 1 Pb=0 (Pb, m1) = 0 xLPx=1 xPx=0

LxPx=0

Propuesta de Kripke: permitimos que los dominios de los mundos varíen

FB no es válida si el dominio crece

xLPx LxPx

(m0) = {a} (m1) = {a, b} m0 m1

(Pa, m0) = 1 Pa=1 Pa=1 (Pa, m1) = 1 Pb=0 (?) (Pb, m1) = 0 (?) xLPx=1 xPx=0

LxPx=0

Propuesta de Kripke: permitimos que los dominios de los mundos varíen

Inversa no es válida si el dominio decreceLxPx xLPx

(m0) = {a,b} (m1) = {a} m0 m1

(Pa, m0) = 1 Pa=1 Pa=1 (Pb, m0) = 1 Pb=1 (Pa, m1) = 1

Propuesta de Kripke: permitimos que los dominios de los mundos varíen

Inversa no es válida si el dominio decreceLxPx xLPx

(m0) = {a,b} (m1) = {a} m0 m1

(Pa, m0) = 1 Pa=1 Pa=1 (Pb, m0) = 1 Pb=1 (Pa, m1) = 1 xPx=1 xPx=1

Propuesta de Kripke: permitimos que los dominios de los mundos varíen

Inversa no es válida si el dominio decreceLxPx xLPx

(m0) = {a,b} (m1) = {a} m0 m1

(Pa, m0) = 1 Pa=1 Pa=1 (Pb, m0) = 1 Pb=1 (Pa, m1) = 1 xPx=1 xPx=1

LxPx=1

Propuesta de Kripke: permitimos que los dominios de los mundos varíen

Inversa no es válida si el dominio decreceLxPx xLPx

(m0) = {a,b} (m1) = {a} m0 m1

(Pa, m0) = 1 Pa=1 Pa=1 (Pb, m0) = 1 Pb=1 (Pa, m1) = 1 xPx=1 xPx=1

LxPx=1 xLPx=0