SAYISAL SİSTEMLERİN DURUM UZAYI GÖSTERİMİ VE ÇÖZÜMÜ:

1) Tüm-Sıfır (Hareketli Ortalama-Moving Average (MA)) Modeli

3. mertebeden bir sistemin ayrık MA modeli

(1)

biçiminde 3. mertebeden ayrık fark denklemi ile verilebilir. Söz konusu bu modelde ,

ve durum değişkeni seçilerek durum uzayı formuna dönüştürülebilir. Söz konusu durum

değişkenleri; , ve biçiminde tanımlanıp, (1)

denkleminde yerleştirilirse aşağıdaki ifade elde edilir.

(2)

MA modeline İlişkili durum denklemini elde etmek için aşağıdaki bağıntıları yazabiliriz.

(3)

Bu üç denklem vektör-matrix formunda göz önüne alınırsa, aşağıdaki düzenleme elde edilir:

(4)

Çıkış denklemi ise şöyle yazılabilir:

(5)

(Ayrık durum ve çıkış denklemleri ((4) ve (5)) , (1) fark denklemi ile verilen MA

modelinin durum uzayı gösteriminidir.

Eğer , terimini de içeriyorsa bu durumda çıkış denklemi (5) aşağıdaki

biçimde yazılır.

(6)

Genel olarak, aşağıdaki n. mertebeden ayrık zamanlı AR transfer fonksiyonunu göz önüne

alalım.

(7)

Benzer işlemler göz önüne alınarak n. mertebeden bir sistemin ayrık MA modeli aşağıdaki

gibi yazılabilir.

(8)

,

(9)

,

2) Tüm-kutup (Auto Regressive(AR)) Modelleri

3. dereceden bir sistemin ayrık zamanlı AR modeli

(10)

biçiminde verilebilir. Bu modele ilişkin transfer işlevi ise

(11)

biçiminde yazılabilir.

Durum uzayı gösterimi için , ve değişkenleri göz önüne alınarak:

ve tanımları ile

bağıntıları yazılabilir. Son ifadeler matrisel formda aşağıdaki gibi yazılabilir.

1

(12)

Çıkış denklemi ise göz önüne alınarak

(13)

şeklinde yazılabilir.

(12) ve (13) ayrık durum ve çıkış denklemleri, (10) AR modelinin durum uzayı gösterimidir.

Genel olarak, aşağıdaki n. mertebeden ayrık zamanlı AR transfer fonksiyonunu göz önüne

alalım.

(14)

Bu transfer işlevinin ayrık fark denklemleri ile gösterimi

(15)

biçiminde yazılabilir.

(16)

Yukarıdaki benzer işlemler sonucunda (15) ayrık AR modeli için aşağıdaki durum ve çıkış

vektörü elde edilir.

. (17)

(18)

3) Kutup-Sıfır (Auto-Regressive Moving Average -ARMA) modelleri

Lineer sistemler literatüründe kutup-sıfır modelleri için birçok durum-değişkeni modelleri

mevcuttur (Chen,1984 ve Kailath,1980,). Ayrık zamanlı ARMA modeli için kontrol edilebilir

kanonik form (Controllable State variable form) durum değişkeni gösterimi,

(19)

2

(20)

biçiminde yazılabilir. Bu ifadenin durım uzayı gösterimi ise

X (21)

(22)

biçiminde verilebilir.

ÖRNEK :

3. dereceden ayrık bir sistemin fark denklemine ilişkin ARMA modeli

(23)

ve transfer fonksiyonu

(24)

biçiminde yazılabilir.

Y1(z) yardımcı değişkeni kullanılarak,

(25)

elde edilir. Böylece

elde edilir.

Burada;

(26)

(27)

ve tanımları ile (26) ve (27) ifadeleri için

aşağıdaki durum uzayı gösterimi elde edilir.

3

(28)

ve

(29)

burada dır. (28) ve (29) denklemleri basitçe n=3 için (21) ve

(22) denklemlerinden elde edilebilir.

ÖRNEK:

(24) ile verilen H(z) transfer fonksiyonunu kesirlere ayırarak üç terimli biçimde elde

edebiliriz:

(30)

burada ve , H(z)’nin kutupları (karakteristik denklemin kökleri) dir.

:Karekteristik denklem

Ayrık sistem için aşağıdaki blok diyagramı (şekil 1) verilebilir. Blok diyagramında

, ve (31)

tanımları göz önüne alınarak,

y(k)=e1.x1(k)+e2.x2(k)+e3.x3(k) (32)

bağıntıları yazılabilir.

4

Şekil 1. Paralel blok diyagramı

Son bağıntılar matrisel biçimde düzenlenirse;

(33)

(34)

, , (35)

durum uzayı gösterimi elde edilir.

Bu durum-değişkeni modelinde, matrisi diagonaldir, bu da bazı hesaplamalarda

kolaylık sağlar. Eğer kompleks ise, dir ve ve kompleks sayılar içerirler

ÖRNEK :

(36)

ayrık transfer işlevini ele alalım.

Bu transfer işlevi, aşağıdaki ikinci derece fark denklemi ile ilişkilidir

(37)

Bu fark denklemine ilişkin durum-değişkeni gösterimi aşağıdaki gibi ifade edilebilir,

1e

2e

3e

U Y

1y

2y

3y

5

(38)

ve

(39)

DOĞRUSAL AYRIK ZAMANLI SİSTEMLERİN DURUM DENKLEM ÇÖZÜMLERİ

m girişli r çıkışlı bir sisteme ilişkin ayrık durum ve çıkış eşitliklerinin genel ifadesi

(40)

olarak verilebilir. Tek giriş/tek çıkışlı sistemler için ve d=0 için (40) ayrık eşitliği

(41)

olarak verilebilir. Son bağıntıdaki durum denklemi yinelemelidir. Verilen u(k) ve başlangıç

koşulları x(0) ile y(k) yı nasıl elde edeceğimizi göstereceğiz. Nitekim x(k),

x(0),u(0),u(1),...,u(k-1) ifadelerinin açık fonksiyonu olarak kolayca çözülebilir. Bir kere

x(k)’yı biliyorsak, y(k) için çözüm yapmak kolaydır.

Şimdi x(k) çözümünü elde etmek için yinelemeli durum denklemini aşağıdaki biçimde

kullanalım.

……………..

…………….

Bu yinelemeli işlemleri , x(k)yı x(0),u(0),u(1),...,u(k-1) terimlerinin bir fonksiyonu olarak

ifade ederken aşağıdaki formülizasyon kolayca elde edilebilir.

(42)

olduğunu varsayarsak, görürüz ki;

(43)

6

(42) denkleminin sağ tarafındaki ilk terim homojen çözümdür. Çünkü sadece başlangıç

koşullarına bağlıdır. İkinci terim ise u(k)’ giriş değerlerine bağlıdır.Bu nedenle zorlanmış

cevaptır ve konvolüsyon toplamıdır. Bir başka ifade ile 1. bileşene sıfır girişi (zero input)

çözüm, ikinci bileşene ise zıfır durumu (zero state) çözüm denir.

Denklem (42) ile verilen herhangi bir x(0) durumundan herhangi bir x(k) durumunu

hesaplayabileceğimizi gösterir. Lineer sistemler için, x(k)’ya ilk olarak x(0) durumundan x(j)

durumuna ve x(j) durumundan x(k) durumuna giderek bulunabilir. Aslında x(k), x(j) terimi

cinsinden ifade edilebilir;

, (44)

(42) ve (44) deki matrisi, homojen sistem için durum geçiş matirisi

olarak adlandırılır. Biz bu matrisi biçiminde gösterebiliriz ve aşağıdaki özelliklere

sahiptir,

a. Özdeşlik özelliği: k=0,1,... için (45)

b. Yarıgrup özelliği . için (46)

c. Tersinirlik özelliği (47)

.

7