SB IRKA ULOH Z MATEMATIKY - home.zcu.czhome.zcu.cz/~jirieggy/JMasek-SbirkaUlohIntegralni... · Pol akovi a vedouc m u katedry prof. Pavlu Drabk ovi, kter prisp eli mnoha radami ke

Zapadoceska univerzita v Plzni

Fakulta aplikovanych ved Katedra matematiky

SBIRKA ULOH Z MATEMATIKY

INTEGRALNI TRANSFORMACE

Josef MASEK

Plzen 1993

3

P r e d m l u v a

K uspesnemu studiu teto sbırky uloh je treba dobre znat radu metod avysledku z teorie funkcı komplexnı promenne. V uvedenem smyslu je tentoucebnı text pokracovanım predchazejıcı sbırky uloh [ 4 ] ( seznam literaturyna str. 4 ) a zachovava take podobny zpusob zpracovanı.

Na zacatku kazde kapitoly jsem opet uvedl strucny prehled zakladnıchdefinic a dulezitych teoretickych vysledku. Snazil jsem se vybrat nejdulezitejsıtypy prıkladu a usporadat je podle obtıznosti. Bezprostredne za zadanımkazdeho prıkladu je uvedeno resenı, navod nebo vysledek. K tomu, aby pracese sbırkou prinesla dobre vysledky, je treba co nejvıce pracovat samostatne anedat se ovlivnit uvedenym resenım. Teprve v prıpade neuspesnych pokusunebo po vyresenı ulohy prohlednout postup resenı a zkontrolovat vysledek.

Z mnoha integralnıch transformacı se v teto sbırce budeme zabyvat dvemanejcasteji pouzıvanymi : jednostrannou Laplaceovou transformacı a Fourierovoutransformacı. Podle historickeho hlediska jsem volil postup od Fourierovyk Laplaceove transformaci. Ale pro ty, kterı se nebudou chtıt podrobnezabyvat Fourierovou transformaci, je mozne bez problemu samostatne stu-dovat Laplaceovu transformaci ( kap. 4 - 8 ) a pouze informativne se seznamits Fourierovou transformacı. Takovy postup odpovıda take sylabum predmetuMAA4, MAE3, MB2 ( viz [ 3 ] ).

K oznacenı zakladnıch cıselnych mnozin se pouzıva obvykle oznacenı

N - mnozina vsech prirozenych cısel,Z - mnozina vsech celych cısel,R - mnozina vsech realnych cısel,R+ - mnozina vsech nezapornych realnych cısel.C - mnozina vsech komplexnıch cısel.

Dekuji srdecne vsem, kterı se pricinili o to, aby se pocet nedopatrenıa chyb omezil na co nejmensı mıru. Predevsım dekuji kolegovi doc.JosefuPolakovi a vedoucımu katedry prof. Pavlu Drabkovi, kterı prispeli mnoharadami ke zlepsenı vysledneho textu.

Plzen, 31. rıjna 1993. A u t o r

4 Integralnı transformace

O b s a h

1. Fourierova transformace 5

2. Vlastnosti Fourierovy transformace 19

3. Pouzitı fourierovy transformace 33

4. Laplaceova transformace 43

5. Vlastnosti Laplaceovy transformace 49

6. Zpetna Laplaceova transformace 71

7. Konvolutornı soucin 85

8. Pouzitı Laplaceovy transformace 95

Rejstrık 118

L i t e r a t u r a

[1] Veit Jan : Integralnı transformace (Matematika pro VST), Praha 1983

[2] Pırko Z.,Veit J. : Laplaceova transformace (SNTL / ALFA), Praha 1970

[3] Polak Josef : Integralnı a diskretnı transformace (skripta ZU),Plzen 1991

[4] Masek Josef : Sbırka uloh z matematiky - Funkce komplexnı promenne(skripta ZU), Plzen 1992

1.Fourierova transformace 5

1. Fourierova transformace

Myslenka integralnıch transformacı vyuzıva moznosti vyjadrenı funkcerealne promenne pomocı dvojnasobneho integralu, ve kterem se vyskytuje po-mocna promenna ( parametr ). Jsou zname ruzne typy postacujıcıch podmınekpro takove vyjadrenı. Pomerne jednoduche jsou ruzne varianty podmınek,ktere se casto nazyvajı Dirichletovy. Jeden z jejich moznych tvaru je vyjadrenv nasledujıcı definici ( viz [ 2 ] odst.9.2 a 9.5; [ 3 ] str. 111 ).

Definice : Budeme rıkat, ze funkce f realne promenne t splnuje v inter-valu (a, b) Dirichletovy podmınky , jestlize platı

1. funkce f je po castech spojita v intervalu (a, b) ,2. jejı derivace f ′ je po castech spojita v intervalu (a, b) ,

3. pro kazde t ∈ (a, b) platı f(t) =1

2

[lim

τ→t−f(τ) + lim

τ→t+f(τ)

].

Dalsı definice a veta uvadı vysledny zapis funkce f realne promenne tpomocı tzv. Fourierova integralu ( viz napr. [ 2 ] odst. 9.7 ).

Definice : Jestlize existuje vlastnı limita lima→∞

∫ a

−af(t) dt , potom se na-

zyva hlavnı hodnota nevlastnıho integralu∫ +∞−∞ f(t) dt.

Pro hlavnı hodnotu se pouzıva oznacenı V.p∫ +∞−∞ f(t) dt

( z francouzskeho valeur principal ).

Veta : Jestlize pro funkci f realne promenne t platı:1. funkce f je definovana pro vsechna t ∈ R ,2. splnuje Dirichletovy podmınky v kazdem konecnem intervalu,3.

∫ +∞−∞ f(t) dt absolutne konverguje (tj.

∫ +∞−∞ |f(t)| dt konverguje),

potom platı pro vsechna t ∈ R rovnost mezi hodnotou funkce f(t) atzv. Fourierovym integralem teto funkce

f(t) =1

2πV.p.

∫ +∞

−∞du

∫ +∞

−∞f(τ)eiu(t−τ) dτ =

=1

2πV.p.

∫ +∞

−∞

[∫ +∞

−∞f(τ)e−iuτdτ

]eiutdu.


Je treba znovu zduraznit, ze predchazejıcı veta uvadı postacujıcı podmınkypro moznost vyjadrenı f(t) Fourierovym integralem. Nadale se budemevedome omezovat na takove funkce, ktere splnujı podmınky teto vety a do-hodneme se na nasledujıcı definici.

Definice : Funkci f , ktera splnuje podmınky predchazejıcı vety, budemenazyvat zobrazitelnou funkcı ve Fourierove transformaci.

Protoze integral∫ +∞

−∞|f(t)| dt konverguje ( podle predpokladu vety )

a platı rovnost | e−iut | = 1 , musı vnitrnı integral ve Fourierove integralustejnomerne a absolutne konvergovat v R vzhledem k parametru u .Proto je tımto integralem definovana spojita funkce F realne promenne( parametru ) u .

Definice : Funkce F definovana vnitrnım integralem ve Fourierove integ-ralu se nazyva Fourieruv obraz ( zobrazitelne ) funkce f .Oznacuje se F (u) nebo F [f(t)] a platı

F (u) = F [f(t)] =∫ +∞

−∞f(t) e−iut dt , u ∈ R .

Pro definovanı Fourierova obrazu nebyla potreba tretı Dirichletova podmınka,protoze vypocet hodnoty integralu nenı zavisly na hodnote funkce f(t) vbodech nespojitosti.

Prımo z definice obrazu pomocı integralu je zrejme, ze Fourierova trans-formace je linearnı, tj. platı :Jestlize funkce f1 a f2 jsou zobrazitelne ve Fourierove transformaci, potomplatı F [c1f1(t) + c2f2(t)] = c1F [f1(t)] + c2F [f2(t)] , c1 ∈ R , c2 ∈ R .

Poznamka : V literature se casto pouzıva vzhledem k aplikacım jako para-metr ω a pro obecny zapis obrazu F (iω) . Dal jsem prednostjednodussımu zapisu u a F (u) .

Definovat obraz funkce f by bylo mozne take jinym stejnomerne aabsolutne konvergentnım integralem zavislym na parametru. Dulezite vsak je,ze Fourieruv integral umoznuje take jednoznacne vyjadrit puvodnı funkcif pomocı obrazu F . Zde je potrebna tretı Dirichletova podmınka, protozezarucuje tuto jednoznacnost.


Jestlize je tedy funkce F Fourierovym obrazem funkce f , potom senazyva funkce f original ( vzor ) funkce F ve Fourierove transfor-maci a pro vypocet originalu platı

f(t) = F−1[F (u)] =1

2πV.p.

∫ +∞

−∞F (u)eiutdu.

Jestlize integral∫ +∞

−∞F (u) du absolutne konverguje, potom ( vzhle-

dem k rovnosti | eiut | = 1 ) nenı treba pri vypoctu originalu pouzıvathlavnı hodnotu integralu, integral stejnomerne konverguje v R vzhledemk parametru t a original f(t) musı byt spojita funkce parametru t .

V prıkladech 1.1 - 1.10 rozhodnete, zda jsou dane funkce zobrazitelneve Fourierove transformaci ( ve smyslu nası definice ). V kladnem prıpadestanovte podle definice jejich Fourieruv obraz .

1.1.

f(t) =

0 pro t < 0 ,12

pro t = 0 ,

e−t pro t > 0 .

Resenı : Funkce a jejı derivace majı jediny bod nespojitosti t = 0 ,ve kterem existujı limity zprava a zleva. Funkce tedy splnuje prvnı dveDirichletovy podmınky. Protoze lim

t→0−f(t) = 0 a lim

t→0+f(t) = 1 , je

splnena i tretı podmınka.

Vypoctem zjistıme, ze∫ +∞

−∞|f(t)| dt =

∫ +∞

0e−t dt konverguje.

F (u) =∫ +∞

−∞f(t)e−iutdt =

∫ +∞

0e−te−iutdt =

∫ +∞

0e−(1+iu)tdt =

1

1 + iu.

1.2.

f(t) =

0 pro t < 0 ∨ t > 1 ,12

pro t = 0 ∨ t = 1 ,

1 pro t ∈ (0, 1) .


Resenı : Dana funkce splnuje stejne jako v predchazejıcım prıpadeDirichletovy podmınky. Protoze funkce je nenulova pouze v konecnem

intervalu, nevlastnı integral∫ +∞

−∞f(t) dt se redukuje na urcity integral,

ktery ma konecnou hodnotu ( rovna se 1 ).

F (u) =∫ +∞

−∞f(t) e−iutdt =

∫ 1

0e−iutdt = − 1

iu(e−iu− e0) =

1− e−iu

iu.

1.3. f(t) = et pro t ∈ R .

Resenı : Pri vypoctu∫ +∞

−∞et dt = lim

t→+∞et − lim

t→−∞et je prvnı limita

nevlastnı. Nevlastnı integral tedy nekonverguje a dana funkce nenı zo-brazitelna funkce.

1.4.

f(t) =

0 pro t < a ∨ t > b12

pro t = a ∨ t = b

1 pro t ∈ (a, b)

(a < b)

Vysledek : Dana funkce je zobrazitelna a platı

F (u) =e−iau − e−ibu

iu.

1.5. f(t) =t

t2 + 1pro t ∈ R .

Resenı : Dana funkce nenı zobrazitelna, protoze∫ +∞

−∞

t

t2 + 1dt =

=1

2ln(t2 + 1)

∣∣∣+∞−∞

nekonverguje.


1.6. f(t) =1

t2 + a2pro t ∈ R , a ∈ R+ .

Resenı : Dana funkce i jejı derivace jsou spojite funkce pro vsechnat ∈ R , takze Dirichletovy podmınky jsou splneny.

Snadnym vypoctem se da zjistit, ze nevlastnı integral∫ +∞

−∞

1

t2 + a2dt

konverguje, takze funkce je zobrazitelna a jejı obraz se da urcit pro

u = 0 prımym vypoctem F (0) =π

a.

Pro u < 0 pomocı reziduove vety (viz [ 4 ] - podobne jako v pr. 11.48)

vyjde F (u) =π e−au

a.

Pro u > 0 se nevlastnı integral pocıta take pomocı reziduove vety, ale

pro funkcie−iuz

z2 + a2po zaporne orientovane krivce (viz [ 4 ],pr. 11.39 )

a vyjde F (u) =π eau

a. Vysledek se da take strucneji zapsat ve tvaru

F (u) =π e−a|u|

a.

1.7. f(t) =1

t2 + 2t + 2pro t ∈ R .

Resenı : Dana funkce i jejı derivace jsou spojite funkce pro vsechnat ∈ R , takze Dirichletovy podmınky jsou splneny. Nevlastnı integral∫ +∞

−∞

1

t2 + 2t + 2dt konverguje, takze funkce je zobrazitelna a jejı obraz

se da vypocıtat pomocı reziduı ( viz [ 4 ] pr. 11.44 ).

F (u) = π e−u(cos u + i sin u) pro u ≥ 0 ;

F (u) = π eu(cos u + i sin u) pro u < 0 .

1.8. f(t) =1

(t2 + a2)2pro t ∈ R , a ∈ R+ .


−∞

1

(t2 + a2)2dt konverguje, takze funkce je zobrazitelna a jejı obraz

se da vypocıtat pomocı reziduı ( viz [ 4 ] pr. 1.55 )

F (u) =π e−au(1 + au)

2 a3pro u ≥ 0 ; F (u) =

π eau(1 + au)

2 a3pro u < 0 .


1.9. f(t) = cos t pro t ∈ R .

Resenı : Dana funkce nenı zobrazitelna, protoze∫ +∞

−∞| cos t| dt

nekonverguje.

1.10. f(t) = e−t2 pro t ∈ R .


−∞e−t2 dt konverguje (ma hodnotu

√π ), takze funkce je zo-

brazitelna.

F (u) =∫ +∞

−∞e−t2 e−iutdt =

∫ +∞

−∞e−(t2+iut)dt = e−

u2

4

∫ +∞

−∞e−(t2+iut−u2

4)dt =

= e−u2

4

∫ +∞

−∞e−τ2

dτ =√

π e−u2

4

(po substituci τ = t +

iu

2

).

V prıkladech 1.11 - 1.30 vypocıtejte Fourieruv obraz danych funkcı aproverte spojitost obrazu F (u) a souvislost spojitosti originalu s absolutnı

konvergencı integralu∫ +∞

−∞F (u) du .

1.11 Pro a ∈ R+

f1(t) =

0 pro t < 012

pro t = 0

e−at pro t > 0


Resenı : F [f1(t)] =∫ +∞

0e−ate−iut dt =

∫ +∞

0e−(at+iut) dt =

1

a + iu.

Vysledek platı i pro a ∈ C . Obraz je zrejme spojita funkce; original

nenı spojita funkce a integral∫ +∞

−∞

du

|a + iu|nekonverguje.

1.12 Pro a ∈ R+

f2(t) =

eat pro t < 012

pro t = 0

0 pro t > 0

Resenı : F [f2(t)] =∫ 0

−∞eate−iut dt =

∫ 0

−∞e−(at−iut) dt =

1

a− iu.

Vysledek platı i pro a ∈ C . Obraz je zrejme spojita funkce; original

nenı spojita funkce a integral∫ +∞

−∞

du

|a− iu|nekonverguje.

1.13 Pro a ∈ R+ : f3(t) = e−a|t| .

Resenı : Danou funkci muzeme vyjadrit pomocı predchazejıcıch funkcı;zrejme platı f3(t) = f1(t)+f2(t) , takze F [f3(t)] = F [f1(t)]+F [f2(t)] =

=1

a + iu+

1

a− iu=

2a

a2 + u2. Obraz je zrejme spojita funkce; original

je spojita funkce a integral∫ +∞

−∞

2a du

a2 + u2absolutne konverguje.

1.14 Pro a ∈ R+

f4(t) =

eat pro t < 0

0 pro t = 0

−e−at pro t > 0

Resenı : Zrejme platı f4(t) = f2(t)−f1(t) , takze F [f4(t)] = F [f2(t)]−− F [f1(t)] =

1

a− iu− 1

a + iu=

2ui

a2 + u2. Obraz je zrejme spojita

funkce; original nenı spojita funkce a integral∫ +∞

−∞

2ui du

a2 + u2nekonver-

guje.


1.15 Pro a ∈ R+

g1(t) =

0 pro t < 0 ∨ t > a

a2

pro t = 0

a− t pro t ∈ (0, a)

Resenı : Pro u 6= 0 vypocıtame F [g1(t)] =∫ a

0(a− t)e−iut dt =

=(a− t) e−iut

−iu

∣∣∣∣∣a

0

+∫ a

0

e−iut

iudt =

−iau + 1− e−iau

u2. Obraz je spojita

funkce, protoze F (0) =∫ a

0(a − t) dt = (at− t2

2)

∣∣∣∣∣a

0

= a2 − a2

2=

a2

2

a limu→0

−iau + 1− e−iau

u2= lim

u→0

−ia + ia e−iau

2u= lim

u→0

a2 e−iau

2=

a2

2.

Original nenı spojita funkce a integral∫ +∞

−∞

a du

|iu|nekonverguje.

1.16 Pro a ∈ R+

g2(t) =

a + t pro t ∈ (−a, 0)a2

pro t = 0

0 pro t ≤ −a ∨ t > 0

Resenı : Pro u 6= 0 vypocıtame podle definice

F (u) = F [g2(t)] =∫ 0

−a(a + t)e−iut dt =

iau + 1− eiau

u2.

Obraz je spojita funkce, protoze

F (0) =∫ 0

−a(a + t) dt = (at +

t2

2)

∣∣∣∣∣a

0

= −a2 +a2

2= −a2

2a

limu→0

iau + 1− eiau

u2= lim

u→0

ia− ia eiau

2u= lim

u→0

−a2 eiau

2=−a2

2.


−∞

a du

|iu|nekonverguje.

1.17 Pro a ∈ R+

g3(t) =

{a− |t| pro |t| < a

0 pro |t| ≥ a


Resenı : Danou funkci muzeme zrejme vytvorit jako soucet predchazejıcıch: g3(t) = g1(t) + g2(t) , takze pro u 6= 0 vypocıtame F [g3(t)] =

F [g1(t)] + F [g2(t)] =1− e−iau

u2+

1− eiau

u2=

2(1− cos au)

u2.

Jako soucet spojitych funkcı je tento obraz take spojita funkce. Ori-ginal

je spojita funkce a∫ +∞

−∞

2(1− cos au) du

u2absolutne konverguje.

1.18 Pro a ∈ R+

g4(t) =

−a− t pro t ∈ (−a, 0)

a− t pro t ∈ (0, a)

0 pro t = 0 ∨ |t| ≥ a

Resenı : Danou funkci muzeme zrejme vytvorit jako rozdıl :g4(t) = g1(t)− g2(t) , takze pro u 6= 0 vypocıtame

F [g3(t)] = F [g1(t)]−F [g2(t)] =1− e−iau

u2− 1− eiau

u2=

2 i sin au

u2.

Jako rozdıl spojitych funkcı je tento obraz take spojita funkce. Original

je spojita funkce a integral∫ +∞

−∞

2 i sin au du

u2absolutne konverguje.

1.19 Pro a ∈ R+

h1(t) =

0 pro t < 0 ∨ t > a12

pro t = 0 ∨ t = a

1 pro t ∈ (0, a)

Vysledek : Pro u 6= 0 : F [h1(t)] =1− e−iau

iu.

Spojitost obrazu pro u = 0 je treba overit . Original nenı spojita

funkce a integral∫ +∞

−∞

|1− e−iau| du

|iu|nekonverguje.


1.20 Pro a ∈ R+

h2(t) =

1 pro t ∈ (−a, 0)12

pro t = −a ∨ t = 0

0 pro t < −a ∨ t > 0

Vysledek: Pro u 6= 0 : F [h2(t)] =eiau − 1

iu.



−∞

|eiau − 1| du

|iu|nekonverguje.

1.21 Pro a ∈ R+

h3(t) =

1 pro |t| < a12

pro |t| = a

0 pro |t| > a

Vysledek : Pro u 6= 0 : F [h3(t)] =2 sin au

u.



−∞

2| sin au| du

|u|nekonverguje.

1.22 Pro a ∈ R+

h4(t) =

0 pro |t| > a ∨ t = 0

−12

pro t = −a

−1 pro t ∈ (−a, 0)

1 pro t ∈ (0, a)12

pro t = a

Vysledek : Pro u 6= 0 : F [h4(t)] =2(1− cos au)

iu.



−∞

2|(1− cos au)| du

|iu|nekonverguje.


1.23 Pro a ∈ R+

k1(t) =

0 pro t ≤ 0 ∨ t > a

a2

pro t = a

t pro t ∈ (0, a)

Vysledek : Pro u 6= 0 : F [k1(t)] = −a e−iau

iu+

e−iau − 1

u2.


−∞

a e−iaudu

|iu|nekonverguje.

Vsimnete si, ze platı k1(t) = a h1(t) − g1(t) ; tım je take zarucenaspojitost obrazu pro u = 0 .

1.24 Pro a ∈ R+

k2(t) =

0 pro t < a ∨ t ≥ 0a2

pro t = −a

−t pro t ∈ (−a, 0)

Vysledek : Pro u 6= 0 : F [k2(t)] =a eiau

iu+

eiau − 1

u2.


−∞

a eiaudu

|iu|nekonverguje.


1.25 Pro a ∈ R+

k3(t) =

|t| pro |t| < aa2

pro |t| = a

0 pro |t| > a

Vysledek : Pro u 6= 0 : F [k3(t)] =2a sin au

u− 2(1− cos au)

u2.

Original nenı spojita funkce a∫ +∞

−∞

2a| sin au| du

|u|nekonverguje.



1.26 Pro a ∈ R+

k4(t) =

t pro |t| < a

−a2

pro t = −aa2

pro t = a

0 pro |t| > a

Vysledek : Pro u 6= 0 : F [k4(t)] = −2a cos au

iu− 2 i sin au

u2.

Original nenı spojita funkce a∫ +∞

−∞

2a| cos au| du

|u|nekonverguje.


1.27 Funkce

r1(t) =

{sin t pro t ∈ (0, π)

0 pro t ≤ 0 ∨ t ≥ π

Resenı : Pro |u| 6= 1 vypocıtame podle definice

R1(u) = F [r1(t)] =∫ π

0sin t e−iutdt =

[e−iut(−iu sin t− cos t)

1− u2

]π

0

=

=−e−iπu cos π + e0 cos 0

1− u2=

1 + eiπu

1− u2.

Pri vypoctu byl pouzit vzorec∫

eat sin bt dt =eat(a sin bt− b cos bt)

a2 + b2,

ktery se da odvodit dvojnasobnym pouzitım metody per partes.

Obraz je spojita funkce, protoze R1(1) =∫ π

0sin t e−itdt =

=1

2i

∫ π

0(eit − e−it)e−itdt =

1

2i

∫ π

0(1− e−2it)dt =

1

2it− e−2it

−2i)

∣∣∣∣∣π

0

=π

2i


a take limu→1

1 + e−iπu

1− u2= lim

u→1

−πi e−iπu

−2u=

πi e−iπ

2=

πi(−1)

2=

π

2i.

Podobne overıme spojitost obrazu pro u = −1 . Original je spojita


−∞

(1 + e−iπu) du

1− u2absolutne konverguje.

1.28 Funkce

r2(t) =

{sin t pro |t| < π

0 pro |t| ≥ π

Vysledek : Pro |u| 6= 1 : F [r2(t)] =2i sin πu

u2 − 1.

Spojitost obrazu pro u = 1 a u = −1 je treba overit. Original je

spojita funkce a integral∫ +∞

−∞

2i sin πu du

u2 − 1absolutne konverguje.

1.29 Funkce

s1(t) =

{cos t pro |t| < π

2

0 pro |t| ≥ π2

Resenı : Pro |u| 6= 1 vypocıtame podle definice

S1(u) = F [s1(t)] =∫ π

2

−π2

cos t e−iutdt =e−iut(−iu cos t + sin t)

1− u2

∣∣∣∣∣π2

−π2

=

=e−i π

2u sin π

2− ei π

2u sin(−π

2)

1− u2=

2 cos π2

u

1− u2.

Pri vypoctu byl pouzit vzorec∫

eat cos bt dt =eat(a cos bt + b sin bt)

a2 + b2,

ktery se da odvodit dvojnasobnym pouzitım metody per partes.

Obraz je spojita funkce, protoze S1(1) =∫ π

2

−π2

cos t e−itdt =

=1

2

∫ π2

−π2

(eit + e−it)e−itdt =1

2

∫ π2

−π2

(1 + e−2it)dt =1

2

[t +

e−2it

−2i

]π2

−π2

=π

2

a take limu→1

2 cos π2

u

1− u2= lim

u→1

−π sin π2

u

−2u=

π

2.


Podobne overıme spojitost obrazu pro u = −1 . Original je spojita


−∞

2 cos π2

u du

1− u2absolutne konverguje.

1.30 Funkce

s2(t) =

{cos t

2pro |t| < π

0 pro |t| ≥ π

Vysledek : Pro |u| 6= 12

: F [s2(t)] = −4 cos πu

1− 4u2.

Spojitost obrazu pro u = 12

a u = −12

je treba overit. Original je

spojita funkce a integral∫ +∞

−∞

4 cos πu du

1− 4u2absolutne konverguje.

2.Vlastnosti Fourierovy transformace 19

2. Vlastnosti Fourierovy transformace

Slozitejsı obrazy jiz nebudeme urcovat podle definice, ale na zaklade vlast-nostı, ktere budou v teto kapitole odvozeny ve forme resenych uloh. V os-tatnıch ulohach se potom tyto vlastnosti pouzıvajı k nalezenı dalsıch obrazu.

2.1 Dokazte, ze pro a > 0 platı : Jestlize F [f(t)] = F (u) , potom

F [f(at)] =1

aF(

u

a

).

Resenı : Funkce f(at) musı take splnovat Dirichletovy podmınky,protoze je splnuje funkce f(t) . V definicnım integralu provedeme sub-stituci at = τ , a dt = dτ . Pritom se nezmenı meze ( vzhledem k tomu,ze a > 0 ) a nemuze se zmenit konvergence integralu. Dostaneme tedy

F [f(at)] =∫ +∞

−∞f(at) e−iutdt =

∫ +∞

−∞f(τ) e−i u

aτ dτ

a=

1

aF(

u

a

).

2.2 Pro a > 0 najdete Fourieruv obraz funkce f(t) = e−a2t2 . Resenı

: V pr. 1.10 jsme nasli Fourieruv obraz F [e−t2 ] =√

π e−u2

4 , takze

F [e−(at)2 ] =1

a

√π e−

u2

4a2 .

2.3 Dokazte, ze platı : Jestlize F [f(t)] = F (u) , potom

F [f(−t)] = F (−u) .

Resenı : Funkce f(−t) musı byt zrejme take zobrazitelna funkce.V definicnım integralu provedeme substituci −t = τ, −dt = dτ ,takze dostaneme

F [f(−t)] =∫ +∞

−∞f(−t) e−iutdt =

∫ −∞

+∞f(τ) e−i(−u)τ (−dτ) =

=∫ +∞

−∞f(τ) e−i(−u)τdτ = F (−u) .


2.4 Dokazte, ze Fourierovym obrazem sude funkce je suda funkce a Fourierovymobrazem liche funkce je licha funkce.

Navod : Tvrzenı je prımym dusledkem predchazejıcıho vysledku adefinice sude a liche funkce.

Overte toto tvrzenı pro funkce f3(t), f4(t), g3(t), g4(t), h3(t), h4(t),k3(t), k4(t) z kapitoly 1.

2.5 Dokazte, ze pro a ∈ R platı : Jestlize F [f(t)] = F (u) , potom

F [eiatf(t)] = F (u− a) .

Resenı : V techto prıpadech zobrazujeme komplexnı funkci realnepromenne. Dirichletovy podmınky pro realnou cast ( f(t) cos at ) atake pro imaginarnı cast ( f(t) sin at ) funkce eiatf(t) jsou splnenya vzhledem k podmınce |eiat| = 1 se nemuze zmenit absolutnı kon-vergence integralu. Fourieruv obraz funkce eiatf(t) tedy existuje avypocıta se podle definice

F [eiatf(t)] =∫ +∞

−∞f(t) eiate−iutdt =

∫ +∞

−∞f(t) e−i(u−a)tdt = F (u− a).

2.6 Pro a ∈ R+ a b ∈ R najdete Fourieruv obraz

p1(t) =

0 pro t < 012

pro t = 0

e−at(cos bt + i sin bt) pro t > 0

Resenı : Pro t > 0 muzeme zapsat funkci p1(t) v exponencialnım

tvaru p1(t) = eibte−at . Protoze podle pr. 1.11 je F [f1(t)] =1

a + iu,

dostaneme podle vlastnosti z pr. 2.5 F [p1(t)] = F [eibtf2(t)] =1

a + i(u− b).



p2(t) =

eateibt pro t < 012

pro t = 0

0 pro t > 0

Vysledek : F [ p2(t) ] = F [eibtf1(t)] =1

a− i(u− b).


p3(t) =

0 pro t < 012

pro t = 0

e−at(cos bt− i sin bt) pro t > 0

Resenı : Pro t > 0 muzeme zapsat funkci p3(t) v exponencialnım

tvaru g3(t) = e−ibte−at. Protoze podle pr. 1.11 je F [f1(t)] =1

a + iu,

dostaneme podle vlastnosti z pr.2.5 F [p3(t)] = F [e−ibtf1(t)] =1

a + i(u + b).


p4(t) =

eate−ibt pro t < 012

pro t = 0

0 pro t > 0

Vysledek : F [ p4(t) ] = F [ e−ibtf2(t) ] =1

a− i(u + b).

2.10 Pouzijte pravidlo z pr. 2.5 a najdete Fourieruv obraz funkce (z pr.1.27)

r1(t) =

{0 pro t ≤ 0 ∨ t ≥ π

sin t pro t ∈ (0, π)

Resenı : Danou funkci muzeme chapat jako soucin funkce sin t afunkce h1(t) z pr. 1.19 ( pro a = π ).


Ze znalosti obrazu F [ h1(t) ] =1− e−iπu

iudostaneme

F [ r1(t) ] = F [ h1(t) sin t ] = F[h1(t)

eit − e−it

2i

]=

= −1

2

[1− e−iπ(u−1)

u− 1− 1− e−iπ(u+1)

u + 1

]=

= −1

2

[1− e−iπueiπ

u− 1+

e−iπue−iπ − 1

u + 1

]=

= −1− iue−iπu sin π − e−iπu cos π

u2 − 1= −1 + e−iπu

u2 − 1=

1 + e−iπu

1− u2.

Vysledek musı souhlasit s vysledkem pr. 1.27.

2.11 Pouzijte pravidlo z pr. 2.5 a najdete Fourieruv obraz funkce( viz pr. 1.28 )

r2(t) =

{0 pro |t| ≥ π

sin t pro |t| < π

Navod : Danou funkci muzete chapat jako soucin sin t a funkceh3(t) z pr. 1.21 pro a = π .

Vysledek : F [ r2(t) ] =2i sin πu

u2 − 1.

2.12 Pouzijte pravidlo z pr. 2.5 a najdete Fourieruv obraz funkce( viz pr.1. 29 )

s1(t) =

{0 pro |t| ≥ π

2

cos t pro |t| < π2

Resenı : Danou funkci muzeme chapat jako soucin funkce cos t afunkce h3(t) z pr. 1.21 ( pro a = π

2).

Ze znalosti obrazu F [ h3(t) ] =2 sin π

2u

udostaneme

F [ s1(t) ] = F [ h3(t) cos t ] = F[h3(t)

eit + e−it

2

]=


=sin π

2(u− 1)

u− 1− sin π2(u + 1)

u + 1=

sin(π2u− π

2)

u− 1+

sin(π2u + π

2)

u + 1=

=− cos π2u

u− 1+

cos π2u

u + 1= cos

π

2u−u− 1 + u− 1

u2 − 1= −

2 cos π2u

u2 − 1.

Vysledek musı souhlasit s vysledkem pr.1.29.

2.13 Najdete Fourieruv obraz funkce

f(t) =

{0 pro |t| ≥ π

sin pro |t| < π

Navod : Danou funkci muzete chapat jako soucin funkce cos t2

afunkce h3(t) z pr. 1.21 ( pro a = π ).Vysledek musı souhlasit s vysledkem pr. 1.30.

2.14 Najdete Fourieruv obraz funkce f(t) = e−|t| cos t .

Resenı : Protoze podle pr. 1.13 ( pro a = 1 ) zname obraz

F [ f3(t) ] = F [ e−|t| ] =2

1 + u2, dostaneme

F [ f(t) ] = F [ f3(t) cos t ] = F[

f3(t)eit + e−it

2

]=

=1

1 + (u− 1)2+

1

1 + (u + 1)2=

1

u2 − 2u + 2+

1

u2 + 2u + 2=

=u2 − 2u + 2 + u2 + 2u + 2

(u2 + 2− 2u)(u2 + 2 + 2u)=

2 (u2 + 2)

u4 + 4.

2.15 Najdete Fourieruv obraz funkce f(t) = e−|t| sin t .

Vysledek : F [ e−|t| sin t ] =4u

i(u4 + 4).


2.16 Pro a ∈ R+ a b ∈ R najdete Fourieruv obraz f(t) =cos bt

t2 + a2.

Navod : Pouzijte vysledek pr. 1.6 a pr. 2.5. Vysledek : F [ f(t) ] =

F[

1

t2 + a2cos bt

]=

π(e−a|u−b| + e−a|u+b|)

2a.

2.17 Pro a ∈ R+ a b ∈ R najdete Fourieruv obraz f(t) =sin bt

t2 + a2.

Vysledek : F[

sin bt

t2 + a2

]=

π(e−a|u−b| − e−a|u+b|)

2ai.

2.18 Dokazte, ze pro a ∈ R platı : Jestlize F [f(t)] = F (u) , potom

F [f(t− a)] = e−iauF (u) .

Resenı : Funkce f(t − a) znamena pouze posunutı a tım se nemo-hou zmenit podmınky zobrazitelnosti funkce. V definicnım integraluprovedeme substituci t− a = τ, dt = dτ

F [f(t− a)] =∫ +∞

−∞f(t− a) e−iutdt =

∫ +∞

−∞f(τ) e−iu(a+τ)dτ =

= e−iau∫ +∞

−∞f(τ)e−iuτd τ = e−iauF (u) .

2.19 Pouzijte pravidlo z pr. 2.18 a najdete Fourieruv obraz funkce (z pr.1.29)

s1(t) =

{0 pro |t| ≥ π

2

cos t pro |t| < π2

Resenı : Danou funkci muzeme chapat jako posunutı funkce r1(t)z pr. 2.11, protoze platı cos t = sin(t + π

2) . Podle pravidla z pr. 2.18


dostaneme

F [s1(t)] = F [r1(t+π

2)] = e−i(π

2)u 1 + e−iπ u

1− u2=

ei π2

u + e−i π2

u

1− u2=

2 cos π2u

1− u2.

2.20 Pouzijte pravidlo z pr. 2.18 a najdete Fourieruv obraz funkce k1(t)z pr.1. 23 pomocı obrazu funkce g2(t) z pr. 1.16.

Resenı : Mezi funkcemi k1(t) a g2(t) zrejme platı k1(t) = g2(t−a)Podle pravidla z pr. 2.18 dostaneme

F [k1(t)] = e−iauF [g2(t)] = e−iau iau + 1− eiau

u2=

iau e−iau + e−iau − 1

u2.

2.21 Pouzijte pravidlo z pr. 2.18 a najdete Fourieruv obraz funkce k2(t)z pr.1. 24 pomocı obrazu funkce g1(t) z pr. 1.15.

Navod : Zrejme platı g1(t) = k2(t− a) .

2.22 Jestlize funkce f(t) a t f(t) jsou zobrazitelne ve Fourierove trans-formaci a F [f(t)] = F (u) , potom dokazte, ze platı :

F [t f(t)] = id F (u)

du.

Resenı : Zobrazitelnost funkcı f(t) a t f(t) zarucuje stejnomernoukonvergenci obrazu a jeho derivace. Proto muzeme pri derivovanı definicnıhointegralu podle parametru u derivovat uvnitr integralu a

dostanemed F (u)

du=∫ +∞

−∞−it f(t) e−iutdt = −iF [t f(t)] .

Po vynasobenı rovnice imaginarnı jednotkou i dostaneme dokazovanyvzorec.

2.23 Pouzijte pravidlo z pr. 2.22 a najdete Fourieruv obraz funkce k1(t)z pr.1.23 pomocı obrazu funkce h1(t) z pr. 1.19.

Resenı : Pro funkce k1(t) a h1(t) zrejme platı k1(t) = t h1(t)Podle pravidla z pr. 2.22 dostaneme

F [ k1(t) ] = id

du

(1− e−iau

i u

)=

ia e−iauu− (1− e−iau)

u2.


Vysledek je v souladu s vysledkem pr. 1.19.

2.24 Pouzijte pravidlo z pr. 2.22 a najdete Fourieruv obraz funkce k2(t)z pr. 1.24 pomocı obrazu funkce h2(t) z pr. 1.20.

Navod : Zrejme platı k2(t) = −t h2(t) .

2.25 Pouzijte pravidlo z pr. 2.22 a najdete Fourieruv obraz funkce k3(t)z pr.1.25 pomocı obrazu funkce h4(t) z pr. 1.22.

Navod : Overte, ze platı k3(t) = t h4(t) .

2.26 Najdete Fourieruv obraz funkce g(t) = t e−|t| .

Resenı : Pro funkci f3(t) z pr.1.13 ( pro a = 1 ) pouzijeme pravidlo

z pr. 2.22, takze dostaneme F [ t e−|t| ] = id

du

(2

1 + u2

)=

−4iu

(1 + u2)2.

2.27 Pro a ∈ R+ najdete Fourieruv obraz funkce g(t) = |t| e−a|t| .

Resenı : Danou funkci muzeme vyjadrit jako soucet funkce t f1(t)

( viz pr. 1.11 ) a funkce −t f2(t) ( viz pr.1.12 ). Podle pravidla z pr.

2. 22 dostaneme

F [ |t| e−a|t| ] = F [t f1(t)]−F [t f2(t)] = id

du

(1

a + iu

)−i

d

du

(1

a− iu

)=

= i−i

(a + iu)2− i

−(−i)

(a− iu(2=

1

(a + iu)2+

1

(a− iu)2=

=a2 − 2iau− u2 + a2 + 2iau− u2

(a2 + u2)2=

2(a2 − u2)

(a2 + u2)2.


2.28 Najdete Fourieruv obraz funkce f(t) = t f1(t) ( f1(t) z pr. 1.11 ).

Vysledek : F [ g(t) ] = F [ t f1(t) ] =1

(a + iu)2.

2.29 Najdete Fourieruv obraz funkce g(t) = t f4(t) ( f4(t) z pr. 1.14 ).

Vysledek : F [ g(t) ] = F [ t f4(t) ] =−2(a2 − u2)

(a2 + u2)2.

Poznamka : Vsimnete si, ze platı rovnost |t| f3(t) = −t f4(t) .

2.30 Jestlize a) funkce f(t) je spojita v R, b) funkce f(t) a f ′(t) jsouzobrazitelne ve Fourierove transformaci, c) lim

t→−∞f(t) = lim

t→+∞f(t) =

0 , potom dokazte, ze platı :

F [f ′(t)] = iu F [f(t)] .

Resenı : Definicnı integral pro Fourieruv obraz funkce f ′(t) muzemevzhledem ke spojitosti funkce f(t) pocıtat metodou per partes, takzedostaneme

F [f ′(t)] =∫ +∞

−∞f ′(t) e−iutdt =

[f(t) e−iut

]+∞−∞

+ iu∫ +∞

−∞f(t) e−iutdt =

= i uF [f(t)] .

2.31 Pouzijte pravidlo z pr. 2.30 a najdete Fourieruv obraz funkce f4(t)z pr. 1.14 pomocı derivace obrazu spojite funkce f3(t) z pr. 1.13.

Resenı : Funkce f3(t) splnuje vsechny predpoklady pro pouzitıpravidla z pr. 2.30 a zrejme platı f ′3(t) = a f4(t) . Skutecne podletohoto pravidla dostaneme

F [ f ′3(t) ] = i u F [ f3(t) ] = iu2 a

a2 + u2= a

2ui

a2 + u2= a F [ f4(t) ] .


2.32 Pouzijte pravidlo z pr. 2.30 a najdete Fourieruv obraz funkce h4(t)z pr.1.22 pomocı derivace obrazu spojite funkce g3(t) z pr. 1.17.

Navod : Overte, ze platı g′3(t) = −h4(t) .

2.33 Najdete Fourieruv obraz funkce f(t) =t

(t2 + a2)2.

Resenı : Danou funkci muzeme dostat pomocı derivace funkce1

t2 + a2,

protozed

dt

(1

t2 + a2

)=

−2t

(t2 + a2)2. Podle pravidla z pr. 2.30 a vysledku

pr. 1.6 dostaneme F [ f(t) ] = −1

2i uF

[1

t2 + a2

]=−iu e−a|u|

2a.

2.34 Najdete Fourieruv obraz derivace funkce f2(t) z pr. 1.12.

Resenı : Dana funkce nenı spojita, takze nemuzeme pouzıt pravidloz pr. 2.30. Definicnı integral pro Fourieruv obraz funkce f ′2(t) musımepocıtat metodou per partes v intervalu (−∞, 0) a dostaneme

F [f ′2(t)] =∫ 0

−∞f ′2(t)e

−iutdt =[f2(t) e−iut

]0−∞

+ iu∫ 0

−∞f2(t) e−iutdt =

= limt→0−

f2(t)+ iu F [f2(t)] = 1+iu

a− iu=

a− iu + iu

a− iu(= a F [f2(t)]) .


Navod : Dana funkce nenı spojita, takze se neda pouzıt pravidloz pr. 2.30, ale je treba integrovat v intervalu (0,∞) . Pro kontroluvysledku pouzijte toho, ze platı f ′1(t) = −a f1(t) .



Resenı : Dana funkce nenı spojita, takze nemuzeme pouzıt pravidloz pr. 2.30. Definicnı integral pro Fourieruv obraz funkce f ′4(t) musımepocıtat metodou per partes nejprve v intervalu (−∞, 0) a potomv intervalu (0,∞) . Dostaneme

F [ f ′4(t) ] =∫ 0

−∞f ′4(t) e−iut dt +

∫ +∞

0f ′4(t) e−iut dt =

=[

f4(t) e−iut]0−∞

+ iu∫ 0

−∞f4(t) e−iut dt +

+[

f4(t) e−iut]+∞0

+ iu∫ +∞

0f4(t) e−iut dt =

= limt→0−

f4(t) + iu F [f2(t)]− limt→0+

f4(t) + iu F [−f1(t)] =

= 1 +iu

a− iu+ 1− iu

a + iu=

=a

a− iu+

a

a + iu= a

2a

a2 + u2( = a F [ f3(t) ] ) .

2.37 Jestlize F [f(t)] = F (u) a limt→−∞

∫ t

0f(τ) dτ = lim

t→+∞

∫ t

0f(τ) dτ = 0 ,

potom dokazte, ze platı :

F[∫ t

0f(τ) dτ

]=

F (u)

iu.

Resenı : Integral∫ t

0f(τ) dτ ( jako funkce hornı meze ) je spoji-

ta funkce a splnuje limitnı podmınky z pr. 2.30. Obraz jeho derivaced

dt

∫ t

0f(τ) dτ = f(t) je podle predpokladu znama funkce.

Proto dostaneme

F[

d

dt

∫ t

0f(τ) dτ

]= F [f(t)] = iu F

[∫ t

0f(τ) dτ

].


2.38 Pro a ∈ R+ najdete Fourieruv obraz funkce

I(t) =∫ t

0(aτ − 1)f1(τ) dτ podle predchazejıcıho pravidla.

Resenı : Dany integral vzhledem k definici funkce f1(t) z pr. 1.11 manenulovou hodnotu pouze pro t > 0 . Jeho hodnotu muzeme vypocıtat

metodou per partes I(t) =∫ t

0(aτ −1)f1(τ) dτ = −te−at . Je to spojita

funkce a ma vsechny pozadovane vlastnosti. Podle pravidla z pr. 2.37

F [I(t)] =1

iuF [atf1(t)− f1(t)] =

1

iua− iu

[a

(a + iu)2− 1

a + iu

]=

=1

iu

a− a− iu

(a + iu)2=

1

iu

−iu

(a + iu)2=

−1

(a + iu)2( = −F [t f1(t)] ) .

Pro obraz konvolutornıho soucinu dvou zobrazitelnych funkcı, ktery

je definovan integralem f(t) ∗ g(t) =∫ +∞

−∞f(τ) g(t− τ) dτ , platı

F [f(t) ∗ g(t)] = F [f(t)] F [g(t)] .

2.39 Vypocıtejte konvolutornı soucin f3(t) ∗ f3(t) ( viz pr. 1.13 ) a najdetejeho Fourieruv obraz.

Resenı : Vypocet je treba rozdelit na nekolik prıpadu.

Pro t > 0 dostaneme

f3(t) ∗ f3(t) =∫ +∞

−∞e−a|τ |e−a|t−τ |dτ =


=∫ 0

−∞eaτe−at+aτdτ +

∫ t

0e−aτe−at+aτdτ +

∫ +∞

te−aτeat−aτdτ =

= e−at

[e2aτ

2a

]0

−∞+ e−at[τ ]t0 + eat

[e−2aτ

−2a

]+∞

t

=

=e−at

2a+ te−at +

e−at

2a=

e−at

a+ teat .

Pro t < 0 dostaneme

f3(t) ∗ f3(t) =∫ +∞

−∞e−a|τ |e−a|t−τ |dτ =

=∫ t

−∞eaτe−at+aτdτ +

∫ 0

teaτeat−aτdτ +

∫ +∞

0e−aτeat−aτdτ =

= e−at

[e2aτ

2a

]t

−∞+ eat[τ ]0t + eat

[e−2aτ

−2a

]+∞

0

=

=eat

2a− teat +

eat

2a=

eat

a− teat .

Pro t = 0 vyjde

f3(t) ∗ f3(t) =∫ +∞

−∞e−2a|τ |dτ = 2

∫ +∞

0e−2aτdτ = 2

[e−2aτ

−2a

]infty

0=

1

a.

Vysledek muzeme zapsat ve tvaru f3(t) ∗ f3(t) =e−a|t|

a+ |t| e−a|t| .

Obrazem teto funkce je ( viz pr. 1.13 a pr. 2.24 )

F [ f3(t) ∗ f3(t) ] =1

a

2a

a2 + u2+

2(a2 − u2)

(a2 + u2)2=

4a2

(a2 + u2)2.

Protoze zname obraz funkce f3(t), muzeme podle vysledku pr. 1.13snadno overit platnost pravidla pro obraz konvolutornıho soucinu

F [ f3(t) ∗ f3(t) ] =[

2a

a2 + u2

]2=

4a2

(a2 + u2)2.


2.40 Vypocıtejte konvolutornı soucin f1(t) ∗ f1(t) ( viz pr. 1.11 ) a najdetejeho Fourieruv obraz.

Resenı : V tomto prıpade se vypocet podstatne zjednodusı. Platı :f1(τ) = 0 pro τ < 0 a f(t − τ) = 0 pro τ > t . Takze definicnıintegral ma nenulovou hodnotu pouze pro t > 0 a dostaneme

f1(t) ∗ f1(t) =∫ t

0e−aτe−at+aτdτ = e−at

∫ t

0dτ = t e−at ( = t f1(t) ) .

Obraz teto funkce mnceme vypocıtat podle pravidla z pr. 2.22

F [ f1(t) ∗ f1(t) ] = id F [f1(t)]

du= i

−i

(a + iu)2=

1

(a + iu)2.

Stejny vysledek dostaneme podle pravidla pro obraz konvolutornıhosoucinu

F [ f1(t) ∗ f1(t) ] = F [ f1(t) ] F [ f1(t) ] =1

a + iu

1

a + iu.

3.Pouzitı Fourierovy transformace 33

3. Pouzitı Fourierovy transformace

Dohoda o oznacenı : V teto kapitole budeme oznacovat promennou v zo-brazovane funkci pısmenem x , protoze v aplikacıch casto znamena polohovousouradnici.

Pouzitı Fourierovy transformace pri resenı obycejnych diferencialnıch rovnicje zalozeno na vlastnosti obrazu derivace, ktera byla odvozena v pr. 2.30. Po-dle teto vlastnosti zobrazena rovnice jiz neobsahuje derivace a obraz hledanefunkce muzeme vyjadrit. Problemem ovsem je nalezenı originalu.

Pri resenı parcialnıch diferencialnıch rovnic je mozne najıt Fourieruvobraz vzhledem k jedne promenne a druhou promennou chapat jako parametr.Pro obraz derivace funkce f(x, s) podle parametru s platı

F[∂f(x, s)

∂s

]=

∂F (u, s)

∂s.

Po zobrazenı parcialnı diferencialnı rovnice dostaneme obycejnou diferencialnırovnici pro promennou s , kde naopak promennou u chapeme jako parametr.

Bohuzel podmınky zobrazitelnosti ( predpoklady vety na str. 5, predevsımpozadavek absolutnı konvergence integralu ) znacne omezujı pouzitelnostFourierovy transformace.

3.1 Najdete original k funkci F (u) =cos 2u

u2 + a2, a ∈ R+ .

Resenı : Nejprve rozlozıme racionalnı lomenou funkci na parcialnızlomky a upravıme

1

u2 + a2=

1

2ai

(1

u− ai− 1

u + ai

)=

1

2a

(1

a + iu− 1

a− ui

).

K temto jednoduchym funkcım najdeme originaly na zaklade znamychobrazu ( viz pr. 1.11 a 1.12 )

f ∗(x) =1

2a[f1(x) + f2(x)] =

1

2ae−a|x| .


Dany obraz je vsak jeste vynasobeny funkcı cos 2u = 12(e2ui + e−2ui ) ,

takze podle pr. 2.18 dostaneme ve vysledku posunute funkce

f(x) =1

4a( e−a|x+2| + e−a|x−2|) .

3.2 Pro a ∈ R+ , b ∈ R+ , a 6= b najdete original k funkci

F (u) =1

(u2 + a2)(u2 + b2).

Resenı : Muzeme vyuzıt znalost obrazu z pr. 1.13 a rozlozit danyzlomek na rozdıl zlomku

1

(u2 + a2)(u2 + b2)=

1

b2 − a2

(1

u2 + a2− 1

u2 + b2

).

K obema zlomkum najdeme snadno podle pr. 1.13 originaly, takze

f(x) =1

b2 − a2

(e−a|x|

2a− e−b|x|

2b

).

3.3 Pro b ∈ R+ najdete original k funkci F (u) = e−b2u2

.

Resenı : Muzeme vyuzıt znalost obrazu z pr. 2.2 , kde polozıme

b2 =1

4a2neboli a =

1

2b. Platı tedy

F[e−

t2

4b2

]= 2b

√π e−b2u2 ⇒ e−b2u2

=1

2b√

πF[e−

t2

4b2

].

Odtud jiz dostaneme vysledek

F−1[e−b2u2

] =1

2b√

πe−

t2

4b2 .


3.4 Pomocı Fourierovy transformace reste diferencialnı rovnici

y(4) + 4 a4y = h3(x) , a ∈ R+ ,

ktera popisuje pruhyb nekonecneho nosnıku na pruznem podklade prizatızenı, ktere je popsano funkcı h3(x) ( viz pr 1.21 s hodnotou kon-stanty a = 1 ).Nezavisle promenna x oznacuje polohovou souradnici bodu a hodnotay(x) oznacuje vychylku v tomto bode. Vychylka y(x) musı byt spojitai s derivacemi do 3. radu a blızit se k nule pro |x| → +∞ .

Resenı : Za uvedenych podmınek je mozne danou diferencialnı rovnicizobrazit ve Fourierove transformaci. Obraz hledane funkce y(x) oznacımeF [y(x)] = Y (u) a obraz funkce h3(x) je podle pr. 1.21

F [h3(x)] =2 sin u

u.

Pro obraz derivace platı podle pr. 2.30 F [y(4)] = (iu)4Y (u) = u4Y (u) .Po zobrazenı dane diferencialnı rovnice dostaneme

(u4 + 4a4) Y (u) =2 sin u

u⇒ Y (u) =

2 sin u

u(u4 + 4a4).

Nejprve rozlozıme funkci Y1(u) =1

u(u4 + 4a4)na parcialnı zlomky.

Koreny jmenovatele oznacıme u0 = 0 , u1 = a + ia , u2 = a− ia ,u3 = −a + ia , u4 = −a − ia a odpovıdajıcı koeficienty v rozkladumuzeme vypocıtat pomocı reziduı a pouzitım l’Hospitalova pravidla

ck = limu→uk

u− uk

u(u4 + 4a4)= lim

u→uk

1

5 u4 + 4a4=

1

5u4k + 4a4

.

Dosazenım dostaneme

c0 =1

4a4, c1 = c2 = c3 = c4 =

1

5(−4a4) + 4a4= − 1

16 a4.

Pro prvnı zlomek najdeme original podle vysledku pr. 1.21 ( i s nasobkem2 sin u )

F−1[

1

4a4

2 sin u

u

]=

1

4a4h3(x) .


Pro zbyvajıcı zlomky najdeme originaly ( bez koeficientu a bez nasobku2 sin u )

F−1[

1

u− a− ia

]= F−1

[i

iu− ia + a

]= i eiaxf1(x) viz pr. 2.6 ,

F−1[

1

u− a + ia

]= F−1

[ −i

−iu + ia + a

]= −i eiaxf2(x) viz pr. 2.7 ,

F−1[

1

u + a− ia

]= F−1

[i

iu + ia + a

]= i e−iaxf1(x) viz pr. 2.8 ,

F−1[

1

u + a + ia

]= F−1

[ −i

−iu− ia + a

]= −i e−iaxf2(x) viz pr. 2.9 .

Sectenım 1. a 3. originalu dostaneme i f1(x) 2 cos ax , sectenım 2. a4. originalu dostaneme −i f2(x) 2 cos ax .

Puvodnı obraz je vsak jeste vynasobeny konstantou−1

16 a4a funkcı

2 sin u =1

i(eiu−e−iu) , takze podle pr. 2.18 jsou v konecnem vysledku

posunute funkce :

y(x) =1

8a4[2 h3(x)− f1(x + 1) cos a(x + 1) + f2(x + 1) cos a(x + 1)+

+f1(x− 1) cos a(x− 1)− f2(x− 1) cos a(x− 1)] .

Vzhledem k definicım funkcı f1(x) a f2(x) platı

x < −1 ⇒ h3(x) = f1(x− 1) = f1(x + 1) = 0 , takze

y(x) =1

8a4[f2(x + 1) cos a(x + 1)− f2(x− 1) cos a(x− 1)] ;

x > 1 ⇒ h3(x) = f2(x− 1) = f2(x + 1) = 0 , takze

y(x) =1

8a4[f1(x− 1) cos a(x− 1)− f1(x + 1) cos a(x + 1)] ;

|x| < 1 ⇒ h3(x) = 1 ∧ f1(x− 1) = f2(x + 1) = 0 , takze

y(x) =1

8a4[2− f1(x + 1) cos a(x + 1)− f2(x− 1) cos a(x− 1)].



y(4) + 4 a4y = f3(x) , a ∈ R+ ,

ktera popisuje jako v predchazejıcım prıklade pruhyb nekonecneho nosnıkuna pruznem podklade pri zatızenı, ktere je popsano funkcı typu f3(x)( viz pr 1.13 s dosazenou konstantou a = 1 ).

Resenı : Danou diferencialnı rovnici zobrazıme ve Fourierove trans-formaci a dostaneme podobne jako v minulem prıklade

(u4 + 4a4) Y (u) =2

u2 + 1⇒ Y (u) =

2

(u2 + 1)(u4 + 4a4).

Nejprve rozlozıme funkci Y (u) =2

(u2 + 1)(u4 + 4a4)na parcialnı

zlomky.

Koreny jmenovatele oznacıme u1 = a + ia, u2 = a− ia, u3 = −a + ia,u4 = −a − ia, u5 = i, u6 = −i a odpovıdajıcı koeficienty v rozkladumuzeme vypocıtat pomocı reziduı a pouzitım l′Hospitalova pravidla

ck = limu→uk

2(u− uk)

(u2 + 1)(u4 + 4a4)= lim

u→uk

2

6 u5 + 4u3 + 8a4u=

2uk

6 u6k + 4u4

k + 8a4u2k

.

Dosazenım dostaneme

c1 =2a(1 + i)

−24a62i− 16a4 + 8a62i= − 1 + i

8a3(1 + 2a2i)= −1 + 2a2 + i(1− 2a2)

8a3(1 + 4a4),

c2 =2a(1− i)

24a62i− 16a4 − 8a62i= − 1− i

8a3(1− 2a2i)= −1 + 2a2 − i(1− 2a2)

8a3(1 + 4a4),

c3 =2a(−1 + i)

24a62i− 16a4 − 8a62i=

1 + i

8a3(1− 2a2i)=

1 + 2a2 − i(1− 2a2)

8a3(1 + 4a4),

c4 =−2a(1 + i)

−24a62i− 16a4 + 8a62i=

1 + i

8a3(1 + 2a2i)=

1 + 2a2 + i(1− 2a2)

8a3(1 + 4a4),

c5 =2i

−6 + 4− 8a4=

−i

1 + 4a4, c6 =

−2i

−6 + 4− 8a4=

i

1 + 4a4.


Pro prvnı ctyri zlomky najdeme originaly jako v predchazejıcım prıkladea zbyvajıcı dva podle vysledku pr. 1.13

y(x) =1

8a3

1

1 + 4a4

{[−(1 + 2a2)− i(1− 2a2)]i eiatf1(x)+

+[(1 + 2a2)− i(1− 2a2)](−i) eiatf2(x)+

+[(1 + 2a2)− i(1− 2a2)]i e−iatf1(x)+

+[−(1 + 2a2)− i(1− 2a2)](−i) e−iatf2(x) + 8a3e−|x|}

=

=1

8a3

1

1 + 4a4

{[(1− 2a2)− i(1 + 2a2)] eiatf1(x)+

+[(1− 2a2) + i(1 + 2a2)] eiatf2(x)+

+[(1− 2a2) + i(1 + 2a2)] e−iatf1(x)+

+[(1− 2a2)− i(1 + 2a2)] e−iatf2(x) + 8a3e−|x|}

.

Spojenım 1. a 3. casti a 2. a 4. casti dostaneme

y(x) =1

4a3

1

1 + 4a4

{(1− 2a2) cos ax [f1(x) + f2(x)]+

+(1 + 2a2) sin ax [f1(x)− f2(x)] + 4a3e−|x|}

=

=1

1 + 4a4

{e−a|x|

4a3

[(1− 2a2) cos ax + (1 + 2a2) sin a|x|

]+ e−|x|

}.


y(4) + 4 a4y = f(x) , a ∈ R+ ,

ktera popisuje jako v pr. 3.4 pruhyb nekonecneho nosnıku na pruznempodklade pri zatızenı, ktere je popsano zobrazitelnou funkcı f(x) .

Resenı : Po zobrazenı ve Fourierove transformaci dostaneme

(u4 + 4a4) Y (u) = F (u) ⇒ Y (u) =F (u)

u4 + 4a4, F (u) = F [f(x)] .


Nejprve rozlozıme funkci Y1(u) =1

u4 + 4a4na parcialnı zlomky.

Koreny jmenovatele oznacıme u1 = a + ia, u2 = a− ia, u3 = −a + ia,u4 = −a− ia a odpovıdajıcı koeficienty v rozkladu muzeme vypocıtatpomocı reziduı a pouzitım l’Hospitalova pravidla

ck = limu→uk

u− uk

u4 + 4a4= lim

u→uk

1

4u3=

uk

4 u4k

=uk

−16a4.

Pro jednotlive zlomky vyjadrıme originaly ( bez koeficientu ) stejnejako v pr. 3.4.Pro original y1(x) ( ktery je resenım homogennı linearnı rovnice )dostaneme

y1(x) = − 1

16a3

[(1 + i)i eiaxf1(x)− (1− i)i eiaxf2(x)+

+(−1 + i)i e−iaxf1(x)− (−1− i)i e−iaxf2(x)]

=

=1

16a3

[(1− i) eiaxf1(x) + (1 + i) eiaxf2(x)+

+(1 + i) e−iaxf1(x) + (1− i) e−iaxf2(x)]

=

=1

8a3[(cos ax + sin ax) f1(x) + (cos ax− sin ax) f2(x)] =

=e−a|x|

8a3( cos ax + sin a|x| ) .

Vysledne resenı muzeme zapsat pomocı konvolutornıho soucinu

y(x) = y1(x) ∗ f(x) =∫ +∞

−∞y1(t) f(x− t) dt =

=1

8a3

∫ +∞

−∞e−a|t|(cos at + sin a|t|) f(x− t) dt .


3.7 Pomocı Fourierovy transformace reste Cauchyovu ulohu, tj. najdetefunkci y(t, x) , ktera pro t ∈ (0, +∞) a x ∈ (−∞, +∞) splnujeparcialnı diferencialnı rovnici

∂2y(t, x)

∂t2= a2 ∂2y(t, x)

∂x2, a ∈ R+ ,

a pocatecnı podmınky limt→0+

y(t, x) = y1(x) a limt→0+

∂y(t, x)

∂t= y2(x) .

Funkce y(t, x) musı byt spojita a i se svou parcialnı derivacı∂y

∂xzo-

brazitelna vzhledem k promenne x . Rovnez funkce y1(x) a y2(x) musıbyt zobrazitelne. Krome toho musı byt splneny nektere dalsı pozadavkynutne k existenci resenı dane ulohy.

Resenı teto ulohy naprıklad popisuje proud nebo napetı v idealnımnekonecne dlouhem vedenı. Nezavisle promenna t oznacuje cas anezavisle promenna x je polohova souradnice ve zkoumanem mıste.

Resenı : Danou diferencialnı rovnici zobrazıme ve Fourierove trans-formaci vzhledem k promenne x , kde promennou t budeme chapatjako parametr. Oznacıme F [y(t, x)] = Y (t, u) obraz hledane funkce.

Protoze podle pr. 2.30 F[∂2y(t, x)

∂x2

]= −u2Y (t, u) , dostaneme pro

obraz Y (t, u) vzhledem k promenne t obycejnou homogennı linearnıdiferencialnı rovnici 2. radu s konstantnımi koeficienty ( kde u chapemejako parametr ):

d2 Y (t, u)

dt2+ a2 u2 Y (t, u) = 0

s pocatecnımi podmınkami

Y (0, u) = F [y1(x)] = Y1(u) , Y ′(0, u) = F [y2(x)] = Y2(u) .

Obecne resenı teto rovnice v exponencialnım tvaru je

Y (t, u) = C1eiaut + C2e

−iaut a z pocatecnıch podmınek vyjde

Y1(u) = C1 + C2 , Y2(u) = iau(C1 − C2) .


Odtud dostaneme

C1 =1

2

[Y1(u) +

Y2(u)

iau

], C2 =

1

2

[Y1(u)− Y2(u)

iau

],

Y (t, u) =1

2

[Y1(u) eiaut + Y1(u) e−iaut

]+

1

2a

[Y2(u)

iueiaut − Y2(u)

iue−iaut

].

Original k teto funkci dostaneme podle vlastnostı v pr. 2.18 a 2.37

y(t, x) =1

2[y1(x + at) + y1(x− at)]+

1

2a

[∫ x+at

0f2(ξ) dξ −

∫ x−at

0f2(ξ)dξ

]=

=1

2[y1(x + at) + y1(x− at)] +

1

2a

∫ x+at

x−atf2(ξ) dξ .

Tento vysledek se nazyva d’Alembertuv vzorec.

3.8 Pomocı Fourierovy transformace reste Cauchyovu ulohu, tj. najdetefunkci y(t, x) , ktera pro t ∈ (0, +∞) a x ∈ (−∞, +∞) splnujeparcialnı diferencialnı rovnici

∂y(t, x)

∂t= a2 ∂2y(t, x)

∂x2( a ∈ R+ )

a splnuje pocatecnı podmınku limt→0+

y(t, x) = y1(x) .

Funkce y(t, x) musı byt spojita a i se svou parcialnı derivacı ∂y∂x

zobrazitelna vzhledem k promenne x . Rovnez funkce y1(x) musı bytzobrazitelna. Krome toho musı byt splneny nektere dalsı pozadavkynutne k existenci resenı dane ulohy.Tato uloha popisuje naprıklad teplotnı pole nekonecne dlouhe tepelneizolovane tyce zanedbatelneho prumeru. Nezavisle promenna t oznacujecas, nezavisle promenna x je polohova souradnice ve zkoumanem mıstea hodnota funkce y(t, x) znamena teplotu v danem mıste av danem case.

Resenı : Danou diferencialnı rovnici zobrazıme ve Fourierove trans-formaci vzhledem k promenne x , kde promennou t budeme chapat


jako parametr. Oznacıme F [y(t, x)] = Y (t, u) obraz hledane funkce.

Protoze podle pr. 2.30 F[∂2y(t, x)

∂x2

]= −u2Y (t, u) , dostaneme pro

obraz Y (t, u) obycejnou linearnı diferencialnı rovnici 1. radu vzhle-dem k promenne t ( s parametrem u )

d Y (t, u)

dt= −a2 u2 Y (t, u)

s pocatecnı podmınkou Y (0, u) = F [y1(x)] = Y1(u) .

Snadno vypocıtame resenı teto rovnice Y (t, u) = Y1(u) e−a2u2t .Nejprve podle vysledku pr. 3.3 ( pro b2 = a2t ) najdeme original

F [e−a2t u2

] =1

2a√

π te−

x2

4a2t .

Vysledne resenı vyjadrıme konvolutornım soucinem

y(t, x) =1

2a√

π t

∫ +∞

−∞y1(ξ) e−

(x−ξ)2

4a2t dξ .

4.Laplaceova transformace 43

4. Laplaceova transformace

V teto a v nasledujıcıch kapitolach budeme nazvem Laplaceova transfor-mace rozumet jednostrannou Laplaceovu integralnı transformaci a budemevychazet z urcitych dohodnutych omezenı pro zobrazovane funkce f .

Definice : Funkce f realne promenne t , ktera pro t < 0 splnuje pod-mınku f(t) = 0 , se nazyva jednostranna funkce.

Definice : Jestlize jednostranna funkce f neroste rychleji nez exponenci-alnı funkce, tj. jestlize existuje x1 ∈ R a M ∈ R+ , aby provsechna t ≥ 0 platilo |f(t)| < M ex1t , potom se funkce fnazyva funkce exponencialnıho radu.

Jestlize existuje realne cıslo x1 v uvedene definici, potom pozadovanoupodmınku splnuje take kazde x > x1 , protoze pro tato x platı ex1t < ext .

Jestlize existuje infimum mnoziny realnych cısel x1 z predchazejıcıdefinice, budeme je oznacovat ξ0 .

Definice : Jednostranna funkce f realne promenne t , ktera je expo-nencialnıho radu a splnuje Dirichletovy podmınky v libovolnemintervalu (a, b) ( viz kap. 1, str. 5 ) se nazyva ( v teto sbırce )zobrazitelna funkce v Laplaceove transformaci.

Tato definice zduraznuje souvislost s Fourierovou transformacı, ale uvadızbytecne silne podmınky, takze se ponekud zuzuje trıda zobrazitelnych funkcı- nebylo by treba pozadovat splnenı 2. Dirichletovy podmınky.

Definice : Jestlize funkce f je zobrazitelna v Laplaceove transformaci, po-tom se funkce F komplexnı promenne p , definovana integra-lem F (p) =

∫∞0 f(t) e−ptdt nazyva Laplaceuv obraz funkce

f a oznacuje se L[f(t)] nebo Lf .

Definici je mozne snadno zobecnit na komplexnı funkci realne promenne;zobrazujeme samostatne realnou a imaginarnı cast a pozadovane podmınkypotom musı splnovat realna i imaginarnı cast funkce.

Protoze pro jednostrannou funkci exponencialnıho radu existuje asponjedno realne cıslo x1 , ktere splnuje podmınku definice, musı pro nevlastnı


integral definujıcı Laplacenv obraz platit∫ ∞0| f(t) e−pt| dt =

∫ ∞0| f(t) || e−Re p t | | e−i Im p t | dt ≤

≤ M∫ ∞0

ex1te−Re p t dt = M∫ ∞0

e(x1−Re p)t dt .

Podle srovnavacıho kriteria definicnı integral konverguje stejnomerne a ab-solutne vzhledem k parametru p pro Re p ≥ x1 . Jestlize existuje infimumξ0 , definicnı integral konverguje stejnomerne a absolutne pro Re p > ξ0 .V teto oblasti ( polorovine ) je tedy Laplaceuv obraz F (p) holomorfnı funkcekomplexnı promenne p a cıslo ξ0 se nazyva usecka konvergence .

Jestlize infimum ξ0 neexistuje, je obraz F (p) holomorfnı funkce v celeGaussove rovine.

Pro x > ξ0 muzeme Laplaceuv obraz chapat take jako Fourieruv obrazjednostranne funkce f(t) e−xt , kde polozıme x + iu = p . Jestlize f(t)splnuje Dirichletovy podmınky, potom take funkce f(t) e−xt splnuje Dirich-letovy podmınky. Platı tedy

F [f(t) e−xt] =∫ ∞0

f(t) e−xte−iutdt =∫ ∞0

f(t)e−(x+iu)tdt =∫ ∞0

f(t)e−ptdt .

Umluva : Pro jednoduchost budeme v Laplaceove transformaci vsechny zo-brazovane funkce f(t) zapisovat obvyklym zpusobem, ale bude-me je vzdy chapat jako jednostranne funkce, ktere splnujı tretıDirichletovu podmınku. Napr. zapisem funkce f(t) = et budemerozumet funkci

f(t) =

0 pro t < 0 ,12

pro t = 0 ,

et pro t > 0 .

Zvlaste zapisem 1(t) budeme rozumet funkci

1(t) =

0 pro t < 0 ,12

pro t = 0 ,

1 pro t > 0 .

V prıkladech 4. 1 - 4. 14 rozhodnete , zda jsou dane funkce zobrazitelnev Laplaceove transformaci. V kladnem prıpade vypocıtejte podle definicejejich Laplaceovy obrazy a urcete jejich usecku absolutnı konvergence.


4.1.

f(t) = 1(t) =

0 pro t < 0 ,12

pro t = 0 ,

1 pro t > 0 .

Resenı : Jednostranna funkce a jejı derivace majı jediny bod ne-spojitosti t = 0 , ve kterem existujı limity zprava a zleva. Protozelim

t→0−f(t) = 0 a lim

t→0+f(t) = 1 , jsou splneny vsechny Dirichletovy

podmınky. Vypoctem se snadno zjistı, ze∫ +∞

0f(t) e−xtdt =

∫ +∞

0e−xtdt

absolutne konverguje pro libovolne x > 0, takze usecka konvergence jeξ0 = 0.

F (p) =∫ +∞

0f(t)e−ptdt =

[e−pt

p

]+∞

0

=1

p.

4.2.

f(t) =

0 pro t < 0 ∨ t > 1 ,12

pro t = 0 ∨ t = 1 ,

1 pro t ∈ (0, 1) .

Resenı : Dana funkce splnuje stejne jako v predchazejıcım prıpadeDirichletovy podmınky. Podmınka pro funkci exponencialnıho radu jesplnena pro libovolne x1 ∈ R . Laplaceuv obraz se redukuje na urcityintegral, ktery pro p 6= 0 snadno vypocıtame

F (p) =∫ ∞0

f(t) e−ptdt =∫ 1

0e−ptdt = −1

p(e−p − e0) =

1− e−p

p.

Pro p = 0 vyjde F (0) =∫ 1

0dt = 1 a soucasne platı lim

p→0F (p) = 1,

takze definicnı integral konverguje v cele Gaussove rovine.

4.3. f(t) = eat , kde a ∈ C .


Resenı : Funkci chapeme podle umluvy jako jednostrannou, takzema jediny bod nespojitosti a splnuje Dirichletovy podmınky. Je zrejmeexponencialnıho radu ( stacı volit x1 > Re a = ξ0 ). Snadno vypocıtame∫ ∞

0eate−pt dt =

∫ ∞0

eat−pt dt =∫ ∞0

e−(p−a)t dt =1

p− a.

4.4. f(t) = 1t

.

Resenı : Dana funkce nenı zobrazitelna, protoze nesplnuje prvnı Dirich-

letovu podmınku (neexistuje vlastnı limita limt→0+

1

t).

4.5. f(t) = et2 .

Resenı : Funkce nenı zobrazitelna, protoze nenı exponencialnıho radu.Muselo by existovat x1 ∈ R a M ∈ R+ , aby platilo

et2 ≤ M ex1t = eln M+x1t , neboli t2 ≤ ln M + x1t .

Tato nerovnost nenı splnena pro t > t1 , kde t1 je kladny korenkvadraticke rovnice t2 − x1t− ln M = 0 .

4.6. f(t) = tn , kde n ∈ N .

Resenı : Dana funkce i jejı derivace jsou spojite funkce. Ukazeme, zefunkce f(t) = tn je exponencialnıho radu. Pro t > 0 ma platit

tn ≤ M ex1t ⇒ M ≥ tn

ex1t= g(t) .

Funkce g(t) je spojita, g(0) = 0 a (n + 1)-nasobnym pouzitıml′Hospitalova pravidla dostaneme lim

t→+∞g(t) = 0 . Pritom derivace

g′(t) = ntn−1e−x1t − tnx1e−x1t = tn−1e−x1t(n− tx1) = 0 pro t =

n

x1

.

V tomto bode tedy nastava maximum funkce g(t) a pro libovolnex1 > 0 stacı volit za M tuto maximalnı hodnotu. Zrejme useckakonvergence je ξ0 = 0 .

Vypocet obrazu pro Re p > 0 provedeme opakovane metodou perpartes

L[tn] =∫ ∞0

tne−ptdt =

[−1

ptne−pt

]∞0

+n

p

∫ ∞0

tn−1e−ptdt =n

pL[tn−1] .


Odtud L[tn] =n !

pn.

Jestlize funkce f1(t) a f2(t) jsou zobrazitelne v Laplaceove transformaci,potom pro libovolne c1 ∈ C , c2 ∈ C platı L [ c1 f1(t) + c2 f2(t) ] == c1L[ f1(t) ]+ c2L[ f2(t) ] . Rıkame, ze Laplaceova transformace je linearnı.

4.7. f(t) = cos t .

Resenı : Zobrazovana jednostranna funkce spInuje vsechny Dirichle-tovy podmınky a je exponencialnıho radu ( M = 1, x1 > 0 ). Zrejmeusecka konvergence je ξ0 = 0 .

Podle vyjadrenı funkce cos t =eit + e−it

2najdeme podle vysledku

prıkladu 4. 3

L[ cos t ] =1

2(L[ eit ] + L[ e−it ]) =

1

2

(1

p− i+

1

p + i

)=

p

p2 + 1.

4.8. f(t) = sin t .

Vysledek : Funkce je zobrazitelna, usecka konvergence je ξ0 = 0 a

L[ sin t ] =1

p2 + 1.

4.9. f(t) = cos 2t .


L[ cos 2t ] =p

p2 + 4.

4.10. f(t) = sin t2

.


L[ sint

2] =

2

4p2 + 1.


4.11. f(t) = cos2 t .

Resenı : Pouzijeme vyjadrenı cos2 t = 12(1+cos 2t) . Podle predchazejıcıch

prıkladu jsou obe funkce zobrazitelne a usecka konvergence je ξ0 = 0 .

L[ cos2 t ] =1

2(L[ 1(t) ]+L[ cos 2t ]) =

1

2

(1

p+

p

p2 + 4

)=

p2 + 2

p(p2 + 4).

4.12. f(t) = sin2 t .


L[ sin2 t ] =2

p(p2 + 4).

4.13. f(t) = sinh t .

Resenı : Pouzijeme vyjadrenı sinh t = 12(et−e−t) . Obe exponencialnı

funkce splnujı Dirichletovy podmınky a jsou exponencialnıho radu.Zrejme usecka konvergence je ξ0 = 1 .

L[ sinh t ] =1

2(L[ et ]− L[ e−t ]) =

1

2

(1

p− 1− 1

p + 1

)=

1

p2 − 1.

4.14. f(t) = cosh t .


L[ cosh t ] =p

p2 − 1.

5.Vlastnosti Laplaceovy transformace 49

5. Vlastnosti Laplaceovy transformace

Slozitejsı obrazy jiz nebudeme urcovat podle definice, ale na zakladevlastnostı, ktere budou v teto kapitole odvozeny ve forme uloh. V ostatnıchulohach se potom tyto vlastnosti pouzıvajı k nalezenı dalsıch obrazu. Vzh-ledem k prıbuznosti Laplaceovy a Fourierovy transformace ma pochopitelneLaplaceova i Fourierova transformace velmi podobne vlastnostı.

Protoze vychazıme z obrazu funkcı, ktere jsme ve 4. kapitole vypocıtalia nalezli jsme pro ne usecku konvergence, nebudeme jiz podmınky konver-gence obrazu zapisovat. Krome toho z teorie funkcı komplexnı promenne jeznamo, ze definicnı obor kazde funkce, ktera je holomorfnı v urcite oblasti,lze rozsirovat. Takze vsechny nalezene obrazy ( pokud nemajı slozitejsı sin-gularnı body nez poly ) muzeme chapat jako holomorfnı funkce komplexnıpromenne definovane v cele Gaussove rovine s vyjimkou techto singularnıchbodu.

5.1 Dokazte, ze pro a ∈ R+ platı : Jestlize L[f(t)] = F (p) , potom

L[f(at)] =1

aF(

p

a

).

Resenı : V definicnım integralu provedeme substituci at = τ ,dt = dτ

a, takze dostaneme

L[f(at)] =∫ +∞

0f(at) e−ptdt =

∫ +∞

0f(τ) e−

paτ dτ

a=

1

aF(

p

a

).

V prıkladech 5.2 - 5.8 vypocıtejte na zaklade vlastnosti z pr. 5.1 Laplaceovyobrazy danych funkcı.

5.2 f(t) = cos ωt , ω ∈ R+ .

Resenı : Na zaklade vysledku pr. 4.7

L[ cos t ] =p

p2 + 1⇒ L[ cos ωt ] =

1

ω

pω(

pω

)2+ 1

=p

p2 + ω2.


5.3 f(t) = sinh at , a ∈ R+ .

Resenı : Na zaklade vysledku pr. 4.13

L[ sinh t ] =1

p2 − 1⇒ L[ sinh at ] =

1

a

1(pa

)2− 1

=a

p2 − a2.

5.4 f(t) = sin ωt , ω ∈ R+ .

Vysledek : Podle vysledku pr. 4.9 platı L[ sin ωt ] =ω

p2 + ω2.

5.5 f(t) = cosh at , a ∈ R+ .

Vysledek : Podle vysledku pr. 4.14 platı L[ cosh at ] =p

p2 − a2.

5.6 f(t) = cos2 ωt , ω ∈ R+ .

Vysledek : Na zaklade vysledku pr. 4.11 dostanete

L[ cos2 ωt ] =p2 + 2 ω2

p(p2 + 4 ω2).

5.8 f(t) = sin2 ωt , ω ∈ R+ .


L[ sin2 ωt ] =2 ω2

p(p2 + 4 ω2).

5.9 Dokazte, ze pro a ∈ C platı : Jestlize L[f(t)] = F (p) , potom

L[ eatf(t) ] = F (p− a) .

Resenı : Pocıtame Laplaceuv obraz podle definice

L[eatf(t)] =∫ +∞

0f(t) eate−ptdt =

∫ +∞

0f(t) e−(p−a)tdt = F (p− a) .


V prıkladech 5.10 - 5.17 vypocıtejte na zaklade vlastnosti z pr. 5.9 Laplaceovyobrazy danych funkcı.

5.10 f(t) = e−2t cos t .

Resenı : Na zaklade vysledku pr. 4.7 dostaneme

L[ cos t ] =p

p2 + 1⇒ L[ e−2t cos t ] =

p + 2

(p + 2)2 + 1=

p + 2

p2 + 4p + 5.

5.11 f(t) = e3t sinh t .


L[ sinh t ] =1

p2 − 1⇒ L[ e3t sinh t ] =

1

(p− 3)2 − 1=

1

p2 − 6p + 8.

5.12 f(t) = e−t sin 2t .


L[ e−t sin 2t ] =2

p2 + 2p + 5.

5.13 f(t) = e−t cosh 2t .


L[ e−t cosh 2t ] =p + 1

p2 + 2p− 3.

5.14 f(t) = e−at cos ωt , a ∈ C , ω ∈ R+ .


L[cos ωt] =p

p2 + ω2⇒ L[e−at cos ωt] =

p + a

(p + a)2 + ω2=

p + a

p2 + 2ap + a2 + ω2.

5.15 f(t) = eat sinh bt , a ∈ C , b ∈ R+ .


L[sinh bt] =b

p2 − b2⇒ L[eat sinh bt] =

b

(p− a)2 − b2=

b

p2 − 2ap + a2 − b2.

Poznamka : Overte, ze vysledek je spravny i pro prıpad a = b .


5.16 f(t) = e−at sin ωt , a ∈ C , ω ∈ R+ .


L[ e−at sin ωt ] =ω

(p + a)2 + ω2=

ω

p2 + 2ap + a2 + ω2.

5.17 f(t) = eat cosh bt , a ∈ C , b ∈ R+ .


L[ eat cosh bt ] =p− a

(p− a)2 − b2=

p− a

p2 − 2ap + a2 − b2.

5.18 Dokazte, ze pro a ∈ R+ platı : Jestlize L[f(t)] = F (p) , potompro funkci g(t) = f(t − a) , ktera pro t < a splnuje podmınkug(t) = f(t− a) = 0 , platı

L[g(t)] = L[f(t− a)] = e−apF (p) .

Resenı : V definicnım integralu provedeme substituci t−a = τ, dt = dτ

L[ g(t) ] = L[ f(t− a) ] =∫ +∞

af(t− a) e−ptdt =

=∫ +∞

0f(τ) e−p(a+τ)dτ = e−ap

∫ +∞

0f(τ)e−pτd τ = e−apF (p) .

Umluva : Funkce g(t) = f(t− a) definovana v pr. 5.18 se obvykle nazyvazpozdena funkce a uvedeny vysledek se casto oznacuje jakoveta o translaci .

V prıkladech 5.19 - 5.29 najdete na zaklade vlastnosti z pr. 5.18 Laplaceovyobrazy danych funkcı.


5.19 Pro a ∈ R+

g1(t) =

0 pro t < a12

pro t = a

1 pro t > a

Resenı : Danou funkci muzeme chapat jako zpozdenou jednotkovoufunkci g1(t) = 1(t− a) . Podle pravidla z pr. 5.18 dostaneme

L[ g1(t) ] = e−apL[ 1(t) ] =e−ap

p.

5.20 Pro a ∈ R+ , b ∈ R+ , b > a

g(t) =

0 pro t < a ∨ t > b12

pro t = a ∨ t = b

1 pro t ∈ (a, b)

Resenı : Danou funkci muzeme chapat jako rozdıl zpozdene jed-notkove funkce g1(t) = 1(t−a) a zpozdene jednotkove funkce g2(t) =1(t− b) . Pro hledany obraz dostaneme

L[g(t)] = L[g1(t)− g2(t)] = e−apL[1(t)]− e−bpL[1(t)] =e−ap − e−bp

p.

5.21 Pro a ∈ R+ , E ∈ R+

g3(t) =

0 pro t < 0 ∨ t > a

E2

pro t = 0 ∨ t = a

E pro t ∈< 0, a >

Vysledek : L[ g3(t) ] =E

p(1− e−ap) .


5.22 Pro a ∈ R+ , E ∈ R+ , n ∈ N

g4(t) =

0 pro t < 0 ∨ t ∈ ( (2n− 1)a, 2na )

E2

pro t = 0 ∨ t = na

E pro t ∈< 2(n− 1)a, (2n− 1)a >

Resenı : Danou funkci muzeme chapat jako nekonecny soucet zpozdenych

funkcı g4(t) =+∞∑k=0

g3(t−2ka) = g3(t)+g3(t−2a)+g3(t−4a)+ ... Pro

vypocet obrazu dostaneme jako soucet geometricke rady s kvocientemq = e−2ap

L[ g4(t) ] =E

p(1 + e−ap)

+∞∑k=0

e−2ap =E

p

1 + e−ap

1− e−2ap.

5.23

h1(t) =

{0 pro t < π

sin t pro t ≥ π

Resenı : Danou funkci muzeme chapat jako zpozdenou funkci h1(t) =

= sin(t− π) . Podle vysledku pr. 4.9 a pravidla z pr. 5.18 dostaneme

L[ h1(t) ] = e−πpL[ sin t ] =e−πp

p2 + 1.

5.24

h2(t) =

{0 pro t < 2π

sin t pro t ≥ 2π

Resenı : Danou funkci muzeme chapat jako zpozdenou funkci h2(t) =

= sin(t− 2π) . Podle vysledku pr. 4.9 a pravidla z pr. 5.18 dostaneme

L[ h2(t) ] = e−2πpL[ sin t ] =e−2πp

p2 + 1.


Poznamka : Protoze pro t ∈ R platı sin(t− 2π) = sin t , je treba zdu-raznit rozdıl mezi obrazem zpozdene funkce h2(t) a obrazemjednostranne funkce sin(t− 2π) .

5.25 Pro a ∈ R+

h3(t) =

{0 pro t < a

sin(t− a) pro t ≥ a

Vysledek : L[ h3(t) ] =e−ap

p2 + 1.

5.26 Pro a ∈ R+

h4(t) =

0 pro t < 0

− sin a2

pro t = 0

sin(t− a) pro t > 0

Resenı : Dana funkce n e n ı zpozdena funkce. Podle goniomet-rickeho vzorce platı sin(t−a) = sin t cos a−cos t sin a , takze pro obrazdostaneme

L[ h4(t) ] = cos a L[sin t]− sin a L[cos t] =cos a− p sin a

p2 + 1.

5.27

h5(t) =

{0 pro t < 0 ∨ t > π

sin t pro t ∈< 0, π >

Resenı : Danou funkci muzeme vyjadrit jako soucet jednostrannefunkce sin t a zpozdene funkce h1(t) = sin(t−π) . Podle vysledku pr.4.9 a 5.21 dostaneme

L[ h5(t) ] = L[sin t] + e−πpL[sin(t)] =1 + e−πp

p2 + 1.


5.28 h6(t) = | sin t| .


funkcı h6(t) =+∞∑k=0

h5(t−kπ) = h5(t)+h5(t−π)+h5(t−2π)+ ... Pro

vypocet obrazu dostaneme jako soucet geometricke rady s kvocientemq = e−πp

L[ h6(t) ] =1 + e−πp

p2 + 1

+∞∑k=0

e−kπp =1

p2 + 1

1 + e−πp

1− e−πp.

5.29 Pro n ∈ N

h7(t) =

{0 pro t < 0 ∨ t ∈ ( (2n− 1)π, 2nπ )

sin t pro t ∈< 2(n− 1)π, (2n− 1)π >

Navod : Dana funkce je nekonecny soucet zpozdenych funkcıh6(t) = h5(t) + h5(t− 2π) + h5(t− 4π) + ...

Vysledek : L[ h6(t) ] =1

p2 + 1

1 + e−πp

1− e−2πp.

5.30

f1(t) =

0 pro t < 0

sin t pro t ∈< 0, π2

>

1 pro t > π2

Resenı : Danou funkci muzeme v intervalu < 0, π > chapat jakorozdıl jednostranne funkce sin t a zpozdene funkci cos(t− π

2) . K teto

funkci je treba pricıst zpozdenou jednotkovou funkci 1(t− π2) .

Pro hledany obraz tedy dostaneme

L[ f1(t) ] = L[ sin t ]− L[ cos(t− π

2) ] + L[ 1(t− π

2) ] =

=1

p2 + 1− p e−

π2p

p2 + 1+

e−π2p

p=

1

p2 + 1+

e−π2p

p(p2 + 1).


5.31

f2(t) =

0 pro t < 0

1− cos t pro t ∈< 0, π >

2 pro t > π

Navod : Pro t > π platı 1 − cos t + 1 − cos(t − π) = 2 , protozecos(t− π) = cos t cos π + sin t sin π = − cos t .

Vysledek : L[ f2(t) ] =1 + e−πp

p(p2 + 1).

5.32 Pro a ∈ R+

f3(t) =

0 pro t < 0

1− e−t pro t ∈< 0, a >

e−(t−a) − e−t pro t > a

Resenı : Z definice nenı zrejme chovanı funkce v okolı t = a .Protoze f3(a) = 1− e−a a = lim

t→a+e−(t−a) − e−t = e0 − e−a , je funkce

f3(t) spojita. Danou funkci muzeme chapat jako rozdıl funkce f3(t) azpozdene funkce f3(t− a) , protoze pro t > a se konstanty 1 vyrusı.Podle pravidla z pr. 5. 18 dostaneme

L[ f3(t) ] =1

p− 1

p + 1− e−ap

p+

e−ap

p + 1=

1− e−ap

p(p + 1).

5.33 Jestlize L[f(t)] = F (p) , potom dokazte, ze platı :

L[ t f(t) ] = −d F (p)

dp.

Resenı : Jestlize existuje Laplaceuv obraz funkce f(t) , je F (p) vurcite oblasti holomorfnı funkce, takze muzeme pri derivovanı definicnıhointegralu podle parametru p derivovat uvnitr integralu a dostaneme

d F (p)

dp=∫ ∞0

(−t) f(t) e−ptdt = −L[ t f(t) ] .


V prıkladech 5.34 - 5.56 najdete podle vlastnosti z pr. 5. 33 Laplaceovyobrazy danych funkcı na zaklade doposud vypocıtanych obrazu.

5.34 f(t) = t .

Resenı : L[ 1(t) ] =1

p⇒ L[ t 1(t) ] = − d

dp

1

p=

1

p2.

5.35 f(t) = t2 + 2t .

Vysledek : L[ t2 + 2t ] = 2

(1

p3+

1

p2

).

5.36 f(t) = tn , n ∈ N .

Vysledek : L[ tn ] =n !

pn+1.

5.37 f(t) = t eat , a ∈ R+ .

Resenı : L[ eat ] =1

p− a⇒ L[ t eat ] =

1

(p− a)2.

Muzeme postupovat take podle pravidla z pr. 5.9 a dostaneme

L[ t ] =1

p2⇒ L[ t eat ] =

1

(p− a)2.

5.38 f(t) =t

e2t.

Vysledek : L[

t

e2t

]= L[ t e−2t ] =

1

(p + 2)2.

5.39 f(t) = t2eat , a ∈ R+ .

Vysledek : L[ t2 eat ] =2

(p− a)3.


5.40 f(t) = tneat , a ∈ R+ , n ∈ N .

Vysledek : L[ tneat ] =n!

(p− a)n+1.

5.41 f(t) = t cos ωt , ω ∈ R+.

Resenı : Na zaklade vysledku pr. 5. 2 dostaneme

L[ cos ωt ] =p

p2 + ω2⇒

⇒ L[ t cos ωt ] = − d

dp

p

p2 + ω2= −p2 + ω2 − 2p2

(p2 + ω2)2=

p2 − ω2

(p2 + ω2)2.

5.42 f(t) = t sinh at , a ∈ R+.


L[ sinh at ] =a

p2 − a2⇒ L[ t sinh at ] = − d

dp

a

p2 − a2=

2ap

(p2 − a2)2.

5.43 f(t) = t sin ωt , ω ∈ R+ .

Vysledek : L[ t sin ωt ] =2ωp

(p2 + ω2)2.

5.44 f(t) = t cosh at , a ∈ R+ .

Vysledek : L[ t cosh at ] =p2 + a2

(p2 − a2)2.

5.45 f(t) = t2 cos ωt , ω ∈ R+.



L[ t2 cos ωt ] = − d

dpL[ t cos ωt ] = − d

dp

p2 − ω2

p2 + ω2=

= −2p(p2 + ω2)2 − (p2 − ω2)2(p2 + ω2)2p

(p2 + ω2)4=

= −2p(p2 + ω2)− 4p(p2 − ω2)

(p2 + ω2)3=

2p(p2 − 3ω2)

(p2 + ω2)3.

5.46 f(t) = t2 cosh at , a ∈ R+.


L[ t2 cosh at ] = − d

dpL[ t cosh at ] = − d

dp

p + 2 + a2

p2 − a2=

= −2p(p2 − a2)2 − (p2 + a2)2(p2 − a2)2p

(p2 − a2)4=

= −2p(p2 − a2)− 4p(p2 + a2)

(p2 − a2)3=

2p(p2 + 3 a2)

(p2 − a2)3.

5.47 f(t) = t2 sin ωt , ω ∈ R+ .

Vysledek : Na zaklade nalezeneho vysledku v pr. 5.43 vyjde

L[ t2 sin ωt ] =2ω(3p2 − ω2)

(p2 + ω2)3.

5.48 f(t) = t2 sinh at , a ∈ R+ .

Vysledek : Na zaklade nalezneho vysledku v pr. 5.42 vyjde

L[ t2 sinh at ] =2a(3p2 + a2)

(p2 − a2)3.


5.49 f(t) = t e−at cos ωt , a ∈ C , ω ∈ R+ .

Resenı : Na zaklade vysledku pr. 5. 14 vypocıtame

L[ t e−at cos ωt ] = − d

dp

p + a

(p + a)2 + ω2=

= −(p + a)2 + ω2 − (p + a)2(p + a)

[(p + a)2 + ω2]2=

(p + a)2 − ω2

[(p + a)2 + ω2]2.

Muzeme postupovat take podle pravidla z pr. 5.9 a dostaneme

L[ t cos ωt ] =p2 − ω2

(p2 + ω2)2⇒ L[ t e−at cos ωt ] =

(p + a)2 − ω2

[(p + a)2 + ω2]2.

.

5.50 f(t) = t e−at sin ωt , a ∈ C , ω ∈ R+ .


L[ t e−at sin ωt ] =2ω(p + a)

[(p + a)2 + ω2]2.

5.51 f(t) = t at , a ∈ R+ .

Resenı : Na zaklade identity at = eln a t dostaneme

L[ t eln a t ] = − d

dp

1

p− ln a=

1

(p− ln a)2.

5.52 Pro E ∈ R+

k1(t) =

0 pro t < 0 ∨ t > 1

Et pro t ∈< 0, 1 >E2

pro t = 1

Resenı : Danou funkci muzeme vytvorit pomocı funkcı f(t) = Et azpozdenych funkcı f(t− 1) a 1(t− 1) ,a to k1(t) = f(t)− f(t− 1)−− E 1(t− 1) . Pro hledany obraz dostaneme

L[k1(t)] = L[Et]−L[E(t− 1)]−E L[ 1(t− 1)] =E

p2(1− e−p− pe−p) .


5.53 Pro E ∈ R+ a n ∈ N

k2(t) =

{0 pro t < 0

E(t− n + 1) pro t ∈< n− 1, n >


funkcı k2(t) =+∞∑k=0

k1(t− k) = k1(t) + k1(t− 1) + k1(t− 2) + . . . .

Po zobrazenı dostaneme nekonecnou radu, ve ktere pozname geomet-rickou radu s kvocientem q = e−p , jejız soucet snadno najdeme.

L[k2(t)] = E1− e−p − pe−p

p2

+∞∑k=0

e−kp =E

p2

1− e−p − pe−p

1− e−p=

E

p2− E e−p

p(1− e−p).

5.54 Pro E ∈ R+ a n ∈ N

k3(t) =

0 pro t < 0

E(t− 2n + 2) pro t ∈ ( 2(n− 1), 2n− 1 )

−E(t− 2n + 1) pro t ∈ ( 2n− 1, 2n )E2

pro t = 2n− 1

−E2

pro t = 2n

Vysledek : L[ k3(t) ] =E

p2

1− e−p − pe−p

1 + e−p.

5.55 Pro E ∈ R+ a n ∈ N

k4(t) =

0 pro t < 0

E(t− 2n + 2) pro t ∈ ( 2(n− 1), 2n− 1 )

E − E(t− 2n + 1) pro t ∈ ( 2n− 1, 2n )

Vysledek : L[ k4(t) ] =E

p2

1− e−p

1 + e−p.


5.56 Pro a ∈ R+

f4(t) =

0 pro t < 0

at pro t ∈< 0, 1a

>

1 pro t > 1a

Resenı : Danou funkci muzeme v intervalu < 0, +∞ > chapat jakorozdıl jednostranne funkce at a zpozdene funkce a(t− 1

a) .

Pro hledany obraz vyjde L[ f4(t) ] = L[at]−L[a(t− 1

a)] =

a(1− e−pa )

p2.

5.57 Jestlize funkce f(t) a f ′(t) jsou zobrazitelne v Laplaceove trans-formaci ( L[f(t)] = F (p) ) a funkce f(t) je spojita s prıpadnouvyjimkou v bode t = 0 , potom dokazte, ze platı :

F [f ′(t)] = p F (p)− limt→0+

f(t) .

Resenı : Definicnı integral pro Laplaceuv obraz funkce f ′(t) muzemevzhledem ke spojitosti funkce f(t) v intervalu (0, +∞) pocıtatmetodou per partes, takze dostaneme

L[f ′(t)] =∫ +∞

0f ′(t) e−ptdt =

[f(t) e−pt

]+∞0

+ p∫ +∞

0f(t) e−ptdt =

= − limt→0+

f(t) e−pt + p L[f(t)] .

V pr. 5.58 - 5.62 najdete podle vlastnosti z pr. 5. 57 Laplaceovy obrazyderivacı danych funkcı a vysledky srovnejte se znamymi obrazy.

5.58 f(t) = cos ωt , ω ∈ R+.


L[

d

dtcos ωt

]= ( L[−ω sin ωt] = ) p

p

p2 + ω2− lim

t→0+cos ωt =

=p2

p2 + ω2− 1 =

p2 − p2 − ω2

p2 + ω2=

−ω2

p2 + ω2= −ω

ω

p2 + ω2.


5.59 f(t) = sin ωt , ω ∈ R+ .

Vysledek : Protoze limt→0+

sin ωt = 0 vyjde

L[d

dtsin ωt ] = ( L[ ω cos ωt ] = )L[ ω cos ωt ] =

ω p

p2 + ω2.

5.60 g(t) = eatf(t) , kde a ∈ R+ a L[f(t)] = F (p) je obraz jednostrannefunkce f(t) .

Resenı : Na zaklade vysledku pr. 5.57 vypocıtameL[ g′(t) ] = p L [ g(t) ]− lim

t→0+g(t) = p L [ aatf(t) ]− e0 lim

t→0+f(t) =

= p F (p− a)− limt→0+

f(t) .

Protoze vsak platı pro derivaci soucinu g′(t) = a eatf(t) + eatf ′(t) ,dostaneme take

L[ g′(t) ] = a F (p− a) + (p− a) F (p− a)− limt→0+

f(t) .

5.61 g(t) = f [a(t − t0)] , kde a ∈ R+ , t0 ∈ R+ a L[f(t)] = F (p) jeobraz jednostranne funkce f(t) .

Resenı : Funkce g(t) je zpozdena jednostranna funkce, takze limitalim

t→0+g(t) = g(0) = 0 a na zaklade vysledku pr. 5. 57 dostaneme

L[

d

dtf(a(t− t0))

]= p L[f(a(t−t0))] = p e−t0pL[f(at)] =

p

ae−t0pF

(p

a

).

5.62 Pro ω ∈ R+ , ϕ ∈ R+

f(t) =

{0 pro t < ϕ

ω

sin(ωt− ϕ) pro t ≥ ϕω

Vysledek : L[sin( ωt− ϕ) ] =p

ωe−

ϕω

pF(

p

ω

).

5.63 Jestlize L[ f(t) ] = F (p) , vyjadrete obraz druhe derivace f ′′(t) .


Resenı : Vypocıtame obraz derivace z prvnı derivace

L[ f ′′(t) ] = L[d

dtf ′(t) ] = p L[ f ′(t) ]− lim

t→0+f ′(t) =

= p[p F (p)− lim

t→0+f(t)

]− lim

t→0+f ′(t) = p2F (p)−p lim

t→0+f(t)− lim

t→0+f ′(t) .

5.64 Overte pravidlo pro vypocet obrazu druhe derivace na prıkladu funkcef(t) = cos ωt .

Resenı : Podle predchazejıcıho prıkladu

L[ f ′′(t) ] = p2L[ cos ωt ]− p =p3 − p(p2 + ω2)

p2 + ω2=

−ω2p

p2 + ω2.

5.65 Jestlize L[f(t)] = F (p) a existuje vlastnı limita limt→0+

f(t)

t, potom

dokazte, ze platı :

L[f(t)

t

]=∫ +∞

pF (q) dq ,

kde holomorfnı funkci komplexnı promenne integrujeme z bodu p pojednoduche krivce, na ktere Rep → +∞ .

Resenı : Jestlize funkce f(t) je zobrazitelna, potom funkcef(t)

tby nemusela splnovat podmınky zobrazitelnosti v okolı t = 0 . Ale

pozadovana existence vlastnı limity limt→0+

f(t)

ttuto moznost vylucuje.

Pri integraci definicnıho integralu podle parametru q po pozadovanekrivce muzeme zamenit poradı integrace a dostaneme∫ +∞

pF (q)dq =

∫ +∞

p

(∫ +∞

0f(t)e−qtdt

)dq =

∫ +∞

0

(∫ +∞

pf(t)e−qtdq

)dt =

=∫ +∞

0

[f(t) e−qt

−t

]+∞

p

dt =∫ +∞

0

f(t)

te−ptdt , protoze lim

Re q→+∞e−qt = 0 .

V prıkladech 5.66 - 5.69 najdete podle vlastnosti z pr. 5.65 Laplaceovyobrazy danych funkcı na zaklade doposud vypocıtanych obrazu. Vysledne


obrazy jsou v techto prıpadech funkce, ktere majı rozvetvovacı body jakosingularnı body. Obor konvergence z definicnıho integralu nelze v techtoprıpadech rozsirovat.

5.66 f(t) =1− et

t.

Resenı : Protoze limt→0+

1− et

t= 1 , dostaneme na zaklade pravidla

z pr. 5.65

L[1− et

t

]=∫ +∞

p

(1

q− 1

q − 1

)dq = ln

p− 1

p.

5.67 f(t) =1− cos t

t.


1− cos t

t= 0 , dostaneme na zaklade pravidla

z pr. 5.65

L[1− cos t

t

]=∫ +∞

p

(1

q− q

q2 + 1

)dq =

1

2ln

p2 + 1

p2.

5.68 f(t) =1− cos t

t2.


1− cos t

t2=

1

2, dostaneme na zaklade predchazejıcıho

vysledku a pravidla z pr. 5.65

L[1− cos t

t2

]=

1

2

∫ +∞

pln

q2 + 1

q2dq = −1

2p ln

p2 + 1

p2+∫ +∞

p

dq

q2 + 1=

= −1

2p ln

p2 + 1

p2+ [ arctg q ]+∞p = −1

2p ln

p2 + 1

p2+

π

2− arctg p .

5.69 f(t) =sin t

t.

Vysledek : L[sin t

t

]= arccotg p .


5.70 f(t) =t− sin t

t2.

Vysledek : L[t− sin t

t2

]=

1

p− arccotg p .

5.71 Jestlize L[f(t)] = F (p) , potom dokazte, ze platı :

L[∫ t

0f(τ) dτ

]=

F (p)

p.

Resenı : Pro kazdou zobrazitelnou funkci f promenne t existuje

integral∫ t

0f(τ) dτ ( jako spojita funkce hornı meze ). Pro jeho derivaci

platıd

dt

∫ t

0f(τ) dτ = f(t) a obraz teto derivace je podle predpokladu

znama funkce. Proto muzeme podle pravidla z pr. 5.57 vyjadrit

L[f(t)] = L[

d

dt

∫ t

0f(τ) dτ

]= p L

[∫ t

0f(τ) dτ

].

Odtud jiz snadno dostaneme pozadovany vysledek.

V pr. 5.72 - 5.78 vypocıtejte podle vlastnosti z pr. 5.71 Laplaceovy obrazyintegralu danych funkcı a vysledky srovnejte se znamymi obrazy.

5.72 f(t) = t .


L[∫ t

0τ dτ

]=

1

pL[ t ] =

1

p3

(=

1

2L [ t2 ]

).

5.73 f(t) = eat , a ∈ R+.


L[∫ t

0eaτdτ

]=

1

pL[eat] =

1

p(p− a)

(=

1

a

(1

p− a− 1

p

)=

1

aL[eat − 1]

).


5.74 f(t) = cos ωt , ω ∈ R+ .


L[∫ t

0cos ωτ dτ

]=

1

pL[ cos ωt ] =

p

ωp(p2 + ω2)(=

1

ω

ω

p2 + ω2=

1

ωL[ sin ωt ]

).

5.76 f(t) = sin ωt , ω ∈ R+.

Vysledek : L[∫ t

0sin ωτ dτ

]=

1

ωp− 1

ω

p

p2 + ω2.

5.77 f(t) = e−t cos t .

Vysledek : L[∫ t

0e−τ cos τ dτ

]=

p + 1

p(p2 + 2p + 2)(=

1

2( L[ 1(t) ] + L[ e−t sin t ]− L[ e−t cos t ] )

).

5.78 f(t) = t e−t .

Vysledek : L[∫ t

0τ e−τdτ

]=

1

p(p + 1)2

(= L[1(t)]− L[t e−t]− L[e−t]

).

Pripomenme zakladnı vlastnosti funkce Γ(x) ( gama ), ktera je prokladne hodnoty parametru x definovana nevlastnım integralem

Γ(x) =∫ +∞

0tx−1e−tdt .

Da se ukazat, ze pro x ∈ R+ platı rovnost Γ(x + 1) = x Γ(x) a vypocıtathodnoty Γ(1) = 1 a Γ(1

2) =

√π . Na zaklade techto hodnot a podle uvedene

rovnosti muzeme dostat nektere dalsı hodnoty :


Γ(2) = Γ(1 + 1) = 1 Γ(1) = 1 , Γ(

3

2

)= Γ

(1 +

1

2

)=

1

2Γ(

1

2

)=

1

2

√π ,

Γ(3) = Γ(1 + 2) = 2 Γ(2) = 2 , Γ(

5

2

)=

3

2Γ(

3

2

)=

3

2

1

2

√π , atd.

5.79 Dokazte, ze pro a > −1 platı :

L[ ta ] =Γ(a + 1)

pa+1, Re p > 0 .

Resenı : V definicnım integralu∫+∞0 τae−pτdτ provedeme substituci

t = pτ , τ =t

p, dτ =

dt

pa dostaneme

∫ +∞

0τae−pτdτ =

∫ +∞

0

ta

pae−t dt

p=

1

pa+1

∫ +∞

0t(a+1)−1e−tdt =

Γ(a + 1)

pa+1.

Hodnotu pa+1 je treba chapat tak, aby byla pro kladne realne hodnotytotozna s obvykle definovanou funkcı realne promenne xa+1 .

Poznamka : Pro α ∈ (−1, 0) nenı funkce tα podle definice v teto sbırcezobrazitelna. Protoze vsak definicnı integral pro Laplaceuv obrazfunkce tα konverguje, pridame funkci z pr. 5.79 mezi obrazy.Jako obrazy dostaneme pro p 6= 0, 1, 2, 3, . . . funkce, jejichzsingularnı body jsou rozvetvovacı body. Obor konvergence z defi-nicnıho integralu nelze v techto prıpadech rozsirovat.

V pr. 5.80 - 5.84 najdete podle obecneho vzorce z pr. 5.79 Laplaceovy obrazydanych funkcı.

5.80 f(t) =1 + t√

t.


Resenı : Na zaklade vysledku pr. 5.79 najdeme

L[1 + t√

t

]= L

[t−

12 + t

12

]=

Γ(12)

p12

+Γ(3

2)

p32

=

√π

2 p32

(2p + 1 ) = =√

π√

p

(1 +

1

2p

), Re p > 0 .

5.81 f(t) = (1 +√

t)2 .

Vysledek : L [ (1+√

t)2] = L [ 1+ 2√

t+ t ] =1

p2( p+

√π p+1 ),

Re p > 0.

5.82 f(t) = et√

t .

Vysledek : L[

et√

t]

=

√π

2(p− 1)√

p− 1, Re p > 1 .

5.83 f(t) = t√

t .

Vysledek : L [ t√

t ] =3√

π

4 p2 √p, Re p > 0 .

5.84 Pro a ∈ R+

f(t) =

{0 pro t < a√

t− a pro t ≥ a

Resenı : Mame zobrazit zpozdenou funkci

L [√

t ] =

√π

2 p√

p⇒ L [

√t− a ] =

e−ap√

π

2 p√

p.

6.Zpetna Laplaceova transformace 71

6. Zpetna Laplaceova transformace

V teto kapitole se budeme zabyvat metodami hledanı funkce, ze kterevznikl dany Laplaceuv obraz.

Definice : Jestlize funkce F je Laplaceuv obraz zobrazitelne funkce f , po-tom se funkce f nazyva original (predmet, vzor) funkce Fa budeme pouzıvat zapis f = L−1[F ] nebo f(t) = L−1[F (p)] .

Vzhledem k tomu, ze jsme v 1. a 4. kapitole pozadovali splnenı tretı Dirich-letovy podmınky, je v nasem pojetı original k funkci F urcen jednoznacne(pokud existuje). Proto muzeme bezprostredne nebo po rozlozenı na soucetjednodussıch obrazu pouzıt k nalezenı originalu znalost obrazu zakladnıchfunkcı. Existence originalu je pro nektere typy funkcı F (p) zarucena. Napr.pro ryze lomenou racionalnı funkci (a tento prıpad je ve skutecnosti velmicasty ) vzdy existuje original.

Obecny problem existence originalu k funkci F je velmi slozity a neb-udeme se jım v teto sbırce uloh zabyvat. V nasich formulacıch se mu vyhnemepredpokladem, ze funkce F je obrazem nejake funkce f .

Pro nalezenı originalu f funkce F se da dokazat nasledujıcı obecnyvysledek.

Veta : Jestlize F je Laplaceuv obraz funkce f a ξ0 jeho usecka kon-vergence, potom platı

L−1[F (p)] = f(t) =1

2πi

∫C

F (p) eptdp =1

2πi

∫ x+i∞

x−i∞F (p) eptdp ,

kde krivka C je libovolna prımka Re p = x > ξ0 orientovanasouhlasne s imaginarnı osou. Druhy tvar zapisu nazorne vyjad-ruje prave tuto integracnı cestu, pricemz nevlastnı integral je tre-ba chapat ve smyslu hlavnı hodnoty.

Jestlize F (p) je Laplaceuv obraz funkce f(t) a tento obraz F (p) ma


v komplexnı rovine ( v mnozine C ) pouze izolovane singularnı body (kterychmuze byt i nekonecny pocet), potom je mozne pocıtat predchozı integralpomocı reziduı a dostaneme

L−1[F (p)] = f(t) =1

2πi

∫C

F (p) eptdt =∑

resp=pi

F (p) ept ,

kde pi jsou vsechny singularnı body obrazu F (p) . Zvlaste tento vysledekplatı pro meromorfnı funkce, tj. takove, ktere majı v mnozine C pouze poly.

Pro zvlastnı prıpad racionalnı lomene funkce F (p) =P (p)

Q(p), ktera ma

pouze jednoduche koreny jmenovatele ( oznacıme je pi ), jejichz pocet n jepro racionalnı lomenou funkci konecny, platı tzv. 2. Heavisideuv vzorec

L−1

[P (p)

Q(p)

]=

n∑i=1

P (pi)

Q(pi)epit .

Pouzitı Heavisideova vzorce je zvlaste vyhodne pro realne koreny. Vzorec seda zobecnit i na vıcenasobne koreny, ale tım se znacne zkomplikuje stejnejako vypocet rezidua pro poly vyssıho radu.

V prıkladech 6. 1 - 6. 16 najdete originaly k danym funkcım na zakladeznalosti jednoduchych obrazu po prıpadnych jednoduchych upravach.

6.1. F (p) =a

p, a ∈ R .

Resenı : Podle pr. 4.1 po vytknutı konstanty zrejme dostaneme

L−1

[a

p

]= a 1(t) .

6.2. F (p) =1

p + 2.

Resenı : Podle pr. 4.3 pro a = −2 dostaneme L−1

[1

p + 2

]= e−2t .

6.3. F (p) =1

p− ln a, a ∈ R+ .

Resenı : Podle pr. 4.3 vyjde L−1

[1

p− ln a

]= e(ln a)t =

(eln a

)t= at .


6.4. F (p) =2(p + 1)

p2 + 2.

Resenı : Obraz rozlozime na soucet dvou obazu, vyjdeme z vysled-

ku pr. 5.2 a 5.4 a dostaneme L−1

[2(p + 1)

p2 + 2

]= 2 L−1

[p

p2 + 2

]+

+2√2L−1

[ √2

p2 + 2

]= 2 cos

√2 t +

√2 sin

√2 t .

6.5. F (p) =3p

p2 + p + 1.

Resenı : Protoze jmenovatel tohoto obrazu ma komplexnı koreny, up-

ravıme nejdrıve jmenovatel zlomku na tvar(p− 1

2

)2

+

(√3

2

)2

.

Podle vysledku pr. 5.14 a 5.16 vidıme, ze takovy jmenovatel majı obrazy

funkcı e−t2 cos

√3

2t a e−

t2 sin

√3

2t . Proto dany obraz upravıme na

soucet obrazu techto funkcı avzhledem k jednoznacnosti muzeme ihnedzapsat hledany original

L−1

[3p

p2 + p + 1

]= 3 L−1

[p + 1

2

p2 + p + 1

]− 3

2

2√3L−1

[ √3

p2 + p + 1

]=

= 3 e−t2 cos

√3

2t−√

3 e−t2 sin

√3

2t = e−

t2

(3 cos

√3

2t−

√3 sin

√3

2t

).

6.6. F (p) =p− 1

p2 + 2p + 2.

Vysledek : L−1

[p− 1

p2 + 2p + 2

]= e−t(cos t− 2 sin t) .

6.7. F (p) =2p

p2 + 2p + 5.

Vysledek : L−1

[2p

p2 + 2p + 2

]= e−t(2 cos 2t− sin 2t) .

6.8. F (p) =Mp + N

p2 + 2ap + b2, a ∈ R+, b ∈ R+, a2 − b2 < 0 .


Resenı : Protoze jmenovatel obrazu ma pri splnenı dane podmınkykomplexnı koreny, budeme postupovat stejne jako v predchazejıcıchprıkladech. Jmenovatel zlomku upravıme na tvar(p + a)2 + b2 − a2 a oznacıme

√b2 − a2 = ω . Potom provedeme opet

takove upravy, abychom mohli pouzıt vysledky pr. 5.14 a 5.16 a zapsathledane originaly

L−1

[Mp + N

p2 + 2ap + b2

]= L−1

[M(p + a) + N −Ma

(p + a)2 + b2 − a2

]=

= e−at(M cos ω t− N −Ma

ωsin ω t

).

6.9. F (p) =p

p2 + 2p + 1.

Resenı : V tomto prıpade ma jmenovatel obrazu dvojnasobny koren,takze muzeme zapsat p2+2p+1 = (p+1)2 . Obraz je treba zjednodusit( upravou nebo rozlozenım na parcialnı zlomky ) a podle vysledku pr.4.3 a 5.37 dostaneme

L−1

[p

p2 + 2p + 1

]= L−1

[p + 1− 1

(p + 1)2

]= L−1

[1

p + 1

]−L−1

[1

(p + 1)2

]=

= e−t − t e−t = e−t(1− t) .

6.10. F (p) =1

p2 − 6p + 9.

Vysledek : L−1

[1

p2 − 6p + 9

]= t e3t .

6.11. F (p) =p

(p + 2)3.

Vysledek : L−1

[2

(p + 2)3

]= e−2t(t− t2) .

6.12. F (p) =p + 2

(p− 2)3.

Vysledek : L−1

[p + 2

(p− 2)3

]= e2t(t + 2 t2) .


6.13. F (p) =1

(p + 1)n, n ∈ N .

Vysledek : L−1

[1

(p + 1)n

]=

1

(n− 1)!e−ttn−1 ( viz pr. 5.40 ).

6.14. F (p) =p3

(p2 + 4)2.

Resenı : Jmenovatel obrazu tohoto typu se vyskytoval ve vysledku pr.5.41 a 5.43. Pokusıme se upravit dany obraz na takovy tvar ( v tomtoprıpade se to podarı ) a zapıseme hledany original

L−1

[p3

(p2 + 4)2

]= L−1

[p3 + 4p− 4p

(p2 + 4)2

]=

= L−1

[p

p2 + 4)

]− L−1

[4p

(p2 + 22)2

]= cos 2t− t sin 2t .

6.15. F (p) =p + 1

(p2 + 2p + 5)2.

Resenı : Protoze jmenovatel obrazu ma komplexnı koreny, upravıme

jmenovatel zlomku na tvar((p + 1)2 + 22

)2. Dany obraz srovname

s vysledkem pr. 5.50 a muzeme zapsat hledany original

L−1

[p + 1

(p2 + 2p + 5)2

]=

1

4L−1

[4(p + 1)

[(p + 1)2 + 22]2

]=

1

4e−t sin 2 t .

6.16. F (p) =2p + 1

(p2 + p + 1)2.

Vysledek : L−1

[2p + 1

(p2 + p + 1)2

]=

2√

3

3t e−

t2 sin

√3

2t .

6.17. F (p) =p2

(p2 + 1)2.

Resenı : Na tomto prıklade ukazeme jeden z moznych postupu, kterymmuzeme tento dosti slozity problem vyresit. Jako obrazy, ze kterych bymohl vzniknout dany obraz, prichazejı v uvahu obrazy funkcı sin t , cos t,t sin t

(2p

(p2+1)2podle pr. 5.43 pro ω = 1

), t cos t


(p2−1

(p2+1)2podle pr. 5.41

). Zıskat spravnou kombinaci techto obrazu

odhadem je velmi obtızne, takze provedeme rozklad na soucet uve-denych ctyr obrazu metodou neurcitych koeficientu. Musı platit

p2

(p2 + 1)2=

A

p2 + 1+

Bp

p2 + 1+

2Cp

(p2 + 1)2+

D(p2 − 1)

(p2 + 1)2, odtud

p2 = (A + Bp)(p2 + 1) + 2Cp + D(p2 − 1) .

Podmınky pro rovnost mnohoclenu vedou k jednoduche soustave linearnıchrovnic, ktera ma jedine resenı A = D = 1

2, B = C = 0 . Hledany ori-

ginal je tedy L−1

[p2

(p2 + 1)2

]=

1

2(sin t + t cos t) .

6.18. F (p) =p3 + 16

(p2 + 4)2.

Resenı : Jako v predchazejıcım prıklade usuzujeme, ze hledany obrazmuze vzniknout z obrazu funkcı sin 2t , cos 2t , t sin 2t

(4p

(p2+22)2

podle pr. 5.43 pro ω = 2 ) , t cos 2t(

p2−22

(p2+22)2podle pr. 5.41

).

Provedeme rozklad na soucet uvedenych ctyr obrazu metodou neurcitychkoeficientu, takze musı platit

p3 + 16

(p2 + 4)2=

2A

p2 + 4+

Bp

p2 + 4+

4Cp

(p2 + 4)2+

D(p2 − 4)

(p2 + 4)2, odtud

p3 + 16 = (2A + Bp)(p2 + 4) + 4Cp + D(p2 − 4) .

Podmınky pro rovnost mnohoclenu vedou k jednoduche soustave linearnıchrovnic, ktera ma jedine resenı A = B = 1, C = −1, D = −2 . Original

je tedy L−1

[p3 + 16

(p2 + 4)2

]= sin 2t + cos 2t− t sin 2t− 2t cos 2t .

6.19. F (p) =1

(p2 + 1)2.

Vysledek : L−1

[1

(p2 + 1)2

]=

1

2(sin t− t cos t) .

−− −− −− −− −−


6.20. Dokazte, ze libovolny Laplaceuv obraz F (p) =ap3 + bp2 + cp + d

(p2 + ω2)2

( ω ∈ R+ ) je mozne jednoznacne rozlozit na soucet Laplaceovychobrazu funkcı sin ωt , cos ωt , t sin ωt , t cos ωt .

Resenı : Pro rozklad daneho zlomku na soucet uvedenych ctyr zlomkumetodou neurcitych koeficientu dostaneme

ap3 + bp2 + cp + d

(p2 + ω2)2=

Aω

p2 + ω2+

Bp

p2 + ω2+

2Cωp

(p2 + ω)2+

D(p2 − ω2)

(p2 + ω2)2.

Z rovnosti mnohoclenu

ap3 + bp2 + cp + d = (Aω + Bp)(p2 + ω2) + 2Cωp + D(p2 − ω2) tj

ap3 + bp2 + cp + d = Aωp2 + Aω3 + Bp3 + Bω2p + 2Cωp + Dp2 −Dω2

dostaneme soustavu linearnıch rovnic

B = aAω +D = b

Bω2 +2Cω = cAω3 −Dω2 = d

Pro ω ∈ R+ je splnena nutna a postacujıcı podmınka pro to, aby tatosoustava linearnıch rovnic mela jedine resenı, tj.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 1 0 0ω 0 0 10 ω2 2ω 0ω3 0 0 −ω2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 4 ω4 6= 0 .

V prıkladech 6. 21 - 6. 42 najdete realne vyjadrenı originalu k racionalnımryze lomenym obrazum. Vyuzijte znalosti zakladnıch typu obrazu a provadejterozklad na soucet parcialnıch zlomku metodou neurcitych koeficientu. Tvartechto zlomku nemusı byt stejny jako byl v integralnım poctu ( viz pr. 6.20 ).Vypocet koeficientu v rozkladu se da provest pomocı reziduı ( pro jednoducherealne koreny ) a kombinovat s resenım soustavy linearnıch rovnic. Podrobnevypocty koeficientu nebudou v resenı uvadeny.


6.21. F (p) =p + 2

p2 + 2p− 3.

Resenı : Protoze jmenovatel obrazu ma realne koreny ( p1 = 1,p2 = −3 ), je vhodne obraz rozlozit na soucet

p + 2

p2 + 2p− 3=

A

p− 1+

B

p + 3, kde pro rovnost vyjde A =

3

4, B =

1

4.

Hledany original je tedy f(t) =1

4(3 et + e−3t) .

6.22. F (p) =(p + 1)(p + 2)

(p + 3)(p + 4)(p + 5).

Resenı : Protoze jmenovatel obrazu ma realne koreny ( p1 = −3 ,p2 = −4 , p3 = −5 ), rozlozıme obraz na soucet

(p + 1)(p + 2)

(p + 3)(p + 4)(p + 5)=

A

p + 3+

B

p + 4+

C

p + 5.

Koeficienty vypocıtame napr. pomocı reziduı : A = 1, B = −6, C = 6.

Hledany original je tedy f(t) = e−3t − 6 e−4t + 6 e−5t .

6.23. F (p) =p

(p + 1)(p + 2)(p + 3).

Vysledek : f(t) =1

2(−e−t + 4e−2t − e−3t) .

6.24. F (p) =p2 + p + 1

(p2 − 1)(p + 2).

Vysledek : f(t) =1

2(et − e−t + 2e−2t) .

6.25. F (p) =p

p4 − 5p2 + 4.

Vysledek : f(t) =1

6(e2t + e−2t − et − e−t) .

6.26. F (p) =p2

(p2 − 3p + 2)2.

Resenı : Protoze jmenovatel obrazu ma dvojnasobne realne koreny( p1 = 1, p2 = 2 ), rozlozıme obraz na soucet

p2

(p2 − 3p + 2)2=

A

p− 1+

B

p− 2+

C

(p− 1)2+

D

(p− 2)2.


Koeficienty A a B muzeme vypocıtat pomocı reziduı : A = 4, B = −4 .

Zbyvajıcı koeficienty muzeme vypocıtat z rovnosti zlomku nebo pomocılimit ( viz [ 4 ], pr. 10.23 ) : C = 1, D = 4 . Hledany original je tedyf(t) = 4 et − 4 e2t + t et + 4 t e2t .

6.27. F (p) =p2 + 1

(p2 − 1)(p− 1).

Vysledek : f(t) =1

2(et + e−t − 2 t e−t) .

6.28. F (p) =p

p3 − p2 − p + 1.

Vysledek : f(t) =1

4(et − e−t − 2 t et) .

6.29. F (p) =6p

p3 + 8.

Resenı : Jmenovatel zlomku rozlozıme podle vzorce na soucin p3+8 == (p + 2)(p2 − 2p + 4) . Protoze kvadraticky trojclen ma komplexnıkoreny, upravıme jej na tvar (p−1)2+(

√3)2 . Racionalnı ryze lomenou

funkci rozlozıme na soucet parcialnıch zlomku metodou neurcitych ko-eficientu. Zlomky odpovıdajıcı kvadratickemu trojclenu zapıseme tak,aby odpovıdaly vysledkum pr. 5.14 a 5.16. Takze

3p

p3 + 8=

A

p + 2+

B√

3

(p− 1)2 + (√

3)2+

C(p− 1)

(p− 1)2 + (√

3)2

a odtud vyjde rovnost mnohoclenu

3p = A(p2 − 2p + 4) +√

3B(p + 2) + C(p− 1)(p + 2) .

Podmınky pro rovnost vedou k soustave linearnıch rovnic, ktera majedine resenı A = −1, C = 1, B =

√3 .

Hledany original je tedy f(t) = −e−2t + et(√

3 sin√

3t + cos√

3t ) .

6.30. F (p) =2(3p + 1)

(p− 1)(p2 + 2p + 5).

Vysledek : f(t) = et − e−t( cos 2t + 2 sin 2t ) .


6.31. F (p) =2p2 + 1

p3 − p2 + p− 1.

Vysledek : f(t) =1

2( 3 et + cos t + sin t ) .

6.32. F (p) =3(p + 1)

1− p3.

Vysledek : f(t) = 2 (e−t2 sin

√3

2t− et) .

6.33. F (p) =8p

(p2 + 2p + 1)(p2 + 2p + 5).

Resenı : Jmenovatel zlomku rozlozıme na soucin (p+1)2(p2 +2p+5) .Protoze druhy kvadraticky trojclen ma komplexnı koreny, upravıme jejna tvar (p + 1)2 + 22 . Ryze lomenou racionalnı funkci pak rozlozımena soucet parcialnıch zlomku metodou neurcitych koeficientu.

8p

(p + 1)2(p2 + 2p + 5)=

A

(p + 1)2+

B

p + 1+

C (p + 1)

(p + 1)2 + 22+

2D

(p + 1) + 22

a odtud vyjde rovnost mnohoclenu

8p = A(p2 + 2p + 5) + B(p + 1)(p2 + 2p + 5) + C(p + 1)3 + 2D (p + 1)2 .

Podmınky pro rovnost vedou k soustave linearnıch rovnic, ktera majedine resenı A = −2, B = 2, C = −2, D = 1 .Hledany original je tedy f(t) = e−t( 2− 2t + sin 2t− 2 cos 2t ) .

6.34. F (p) =4

p4 − 1.

Vysledek : f(t) = et − e−t − 2 sin t .

6.35. F (p) =p

p4 + 3p2 + 2.

Vysledek : f(t) = cos t−√

2 cos t .

6.36. F (p) =6

p4 + 5p2 + 4.

Vysledek : f(t) = 2 sin t− sin 2t .


6.37. F (p) =1

(p2 + a2)(p2 + b2), a ∈ R+ , b ∈ R+ , a 6= b .

Vysledek : f(t) =1

ab(a2 − b2)(a sin bt− b sin at ) .

6.38. F (p) =p2

(p2 + a2)(p2 + b2), a ∈ R+ , b ∈ R+ , a 6= b .

Vysledek : f(t) =1

(a2 − b2)(a sin at− b sin bt ) .

6.39. F (p) =(p + 1)2

(p2 + p + 1)(p2 + 2p + 3).

Resenı : Kvadraticke trojcleny ve jmenovateli majı komplexnı koreny

a muzeme je zapsat ve tvaru(p + 1

2

)2+(√

32

)2a (p + 1)2 + (

√2)2 .

Zlomek proto muzeme rozlozit na soucet parcialnıch zlomku

(p + 1)2

(p2 + p + 1)(p2 + 2p + 3)=

A(p + 12) + B

p2 + p + 1+

C(p + 1) + D

p2 + 2p + 3.

Odtud vyjde rovnost mnohoclenu

p2+2p+1 =[A(p +

1

2

)+ B

](p2+2p+3)+[C(p+1)+D](p2+p+1) .

Podmınky pro rovnost vedou k soustave linearnıch rovnic, ktera ma

jedine resenı A = D =2

3, B = 0, C = −2

3.

Hledany original je tedy

f(t) =1

3( 2 e−

t2 cos

√3

2t +

√2 e−t sin

√2 t− 2 e−t cos

√2 t ) .

6.40. F (p) =2(p2 + 2p + 3)

(p2 + 2p + 5)(p2 + 4p + 5).

Vysledek : f(t) =1

5

[e−t( 2 cos 2t + sin 2t ) + e−2t( 6 sin t− 2 cos t )

].


6.41. F (p) =400

p(p2 + 2p + 5)2.

Resenı : Kvadraticky trojclen ve jmenovateli muzeme zapsat ve tvaru(p + 1)2 + 22 a zlomek proto muzeme rozlozit na soucet parcialnıchzlomku ( viz pr. 6.20 )

400

p(p2 + 2p + 5)2=

A

p+

B(p + 1) + 2C

p2 + 2p + 5+

D[(p + 1)2 − 22] + 4E(p + 1)

(p2 + 2p + 5)2.

Podmınky pro rovnost vedou k soustave linearnıch rovnic, ktera majedine resenı A = −B = 16, C = −13, D = 10 , E = −20 .Hledany original je tedy

f(t) = 16 + e−t( 10 t cos 2t− 20 t sin 2t− 16 cos 2t− 13 sin 2t ) .

6.42. F (p) =1

p3(p2 + ω2)2, ω ∈ R+ .

Vysledek : f(t) =1

2 ω6( 4 cos ωt + ωt sin ωt− 4 + ω2t2 ) .

V prıkladech 6.43 - 6.52 pouzijte k nalezenı originalu 2. Heavisideuv vzoreca pritom muzete zhodnotit jeho efektivnost.

6.43. F (p) =17p2 + 3p− 26

p4 − 5p + 4.

Resenı : Trojclen ve jmenovateli obrazu se da rozlozit na soucin(p2 − 1)(p2 − 4) , takze snadno dostaneme singularnı body obrazu :p1 = 1, p2 = −1, p3 = 2, p4 = −2 . Pro jednoduche koreny jmenovateleje mozne pouzıt Heavisideuv vzorec a pro realne koreny je to takevyhodne. Stacı vypocıtat derivaci jmenovatele ( 4p3−10p ) a dosazovatpostupne do vzorce vsechny koreny. Hledany original je tedy f(t) =et + 2e−t + 4e2t − 3e−2t .


6.44. F (p) =2p2 + 7p + 3

(p + 2)(p2 − 1).

Vysledek : f(t) = 2et + e−t − e−2t .

6.45. F (p) =p2 + p + 6

p(p + 2)(p2 − p− 2).

Vysledek : f(t) =1

2( e2t + 4 e−t − 2 e−2t − 3 ) .

6.46. F (p) =p

(p− 1)(p + 2)(p2 + 4p + 3).

Vysledek : f(t) =1

24( et + 6 e−t− 16 e−2t + 9 e−3t ) .

6.47. F (p) =p2 − 1

(p + 2)(p2 + 1).

Resenı : Jmenovatel ma jednoduche koreny p1 = −2, p2 = i, p3 =−i . Dva koreny jsou sice imaginarnı, ale dajı se snadno dosazovat domnohoclenu, takze vyhodnost pouzitı Heavisideova vzorce se jeste za-chovava. Vypocıtame derivaci jmenovatele ( 3p2+4p+1 ) a dosazujemedo vzorce vsechny koreny. Koeficienty, ktere odpovıdajı imaginarnım

korenum, je vhodne upravit(

napr.−2

−2 + 4i=

1

1− 2i=

1 + 2i

5

),

takze pro original vyjde f(t) =1

5( 3 e−2t + (1 + 2i) eit + (1− 2i) e−it ).

Vysledek bychom ovsem chteli mıt v realnem tvaru, takze je trebaprovest dalsı upravy, ktere v tomto prıpade nastestı nejsou prılis slozite.

Hledany original vyjde f(t) =1

5

(3e−2t + eit + e−it + 2i( eit − e−it)

)=

=1

5( 3 e−2t + 2 cos t− 4 sin t ) .

6.48. F (p) =p2 + 2p + 2

(p− 2)(p2 + 1).

Vysledek : f(t) = 2 e2t − cos t .

6.49. F (p) =6

p4 + 5p2 + 4.

Vysledek : f(t) = 2 sin t− sin 2t ( viz pr. 6.36 ).


6.50. F (p) =2(p2 + 2p + 3)

(p2 + 2p + 5)(p2 + 4p + 5).

Resenı : Jmenovatel ma jednoduche komplexnı koreny p1 = −1 + 2i,p2 = −1 − 2i, p3 = −2 + i, p4 = −2 − i , ktere je treba dosazovat docitatele ( 2 (p2 + 2p + 3) ) a do derivace jmenovatele ( 2 (2p3 + 9p2 ++ 18p + 15) ). Toto dosazovanı je velmi zdlouhave, takze je vhodnepredem vypocıtat alespon mocniny korenu

p p2 p3

−1 + 2i −3− 4i 11− 2i−1− 2i −3 + 4i 11 + 2i−2 + i 3− 4i −2 + 11i−2− i 3 + 4i −2− 11i

Vysledne hodnoty zlomku je treba upravit a pro original dostaneme

f(t) =e−t

10[ (2−i) e2it+(2+i) e−2it]− e−2t

5[ (1+3i) eit+(1−3i) e−it ] .

Vysledek je treba dale upravit na realny tvar

f(t) =1

5

[( e−t( 2 cos 2t + sin 2t )− e−2t( 2 cos t− 6 sin t )

].

Slozitost vsech vypoctu ukazuje, ze v tomto prıpade je pouzitı Heav-isideova vzorce velmi problematicke ( viz postup pri resenı pr. 6.40).

7.Konvolutornı soucin 85

7. Konvolutornı soucin

Konvolutornı soucin f1(t) ∗ f2(t) dvou jednostrannych funkcıdefinujeme pro t ≥ 0 integralem ( stejne jako v obecnejsım prıpade v kap.2na str. 29 )

f1(t) ∗ f2(t) =∫ t

0f1(τ) f2(t− τ) dτ .

Rozdıl je pouze v tom, ze pro jednostranne funkce f1(τ) = 0 pro τ < 0 asoucasne f2(t − τ) = 0 pro τ > t , takze se integruje pouze od 0 do t .Konvolutornı soucin jako funkce hornı meze musı byt spojita funkce.

Konvolutornı soucin ma podobne vlastnosti jako nasobenı cısel, zvlasteplatı komutativnı zakon f1(t) ∗ f2(t) = f2(t) ∗ f1(t) .

Pro obraz konvolutornıho soucinu dvou zobrazitelnych funkcı platı stejnejako ve Fourierove transformaci v kap. 2

L [ f1(t) ∗ f2(t) ] = L [ f1(t) ] L [ f2(t) ] .

Jestlize krome zobrazitelnosti obou zakladnıch funkcı je take funkce f ′2(t)zobrazitelna a funkce f2(t) je spojita pro t > 0 , potom platı pro obrazderivace konvolutornıho soucinu

L[

d

dt[ f1(t) ∗ f2(t) ]

]= p L [ f1(t) ] L [ f2(t) ] .

Za uvedenych predpokladu platı pro derivovanı konvolutornıho soucinu ( tj.integralu s parametrem t take v hornı mezi ) podle parametru t

d

dt[ f1(t) ∗ f2(t) ] =

∫ t

0f1(τ) f ′2(t− τ) dτ + f1(t) lim

t→0+f2(t) .

Vzhledem ke komutativnosti konvolutornıho soucinu muzeme derivaci kon-volutornıho soucinu pocıtat take podle vzorce

d

dt[ f1(t) ∗ f2(t) ] =

∫ t

0f2(τ) f ′1(t− τ) dτ + f2(t) lim

t→0+f1(t) ,

pokud pozadovane podmınky splnuje funkce f1(t) .Uvedene vlastnosti umoznujı zapsat original k soucinu obrazu a vypocıtat

jej explicitne nebo prıpadne alespon numericky.


V prıkladech 7.1 - 7.10 vypocıtejte podle definice dany konvolutornı soucindvou jednostrannych funkcı.

7.1 eat ∗ ebt , a 6= b .

Resenı : Podle definice musıme pocıtat urcity integral s integracnıpromennou τ a s parametrem t > 0

eat ∗ ebt =∫ t

0eaτeb(t−τ)dτ = ebt

∫ t

0e(a−b)τdτ =

ebt(e(a−b)t−1)

a− b=

=eat − ebt

a− b. Snadno se da zjistit, ze je to spojita funkce vcetne t = 0 .

7.2 t ∗ t .

Vysledek : t ∗ t =t3

6.

7.3 t ∗ eat , a 6= 0 .

Vysledek : t ∗ eat =eat − at− 1

a2( overte spojitost pro t = 0 ).

7.4 sin t ∗ cos t .

Resenı : sin t ∗ cos t =∫ t

0sin τ cos(t− τ) dτ =

=1

2

∫ t

0[ sin t + sin(2τ − t) ] dτ =

1

2

[τ sin t− cos(2τ − t)

2

]t

0

=

=1

2

[t sin t− cos t

2+

cos(−t)

2

]=

1

2t sin t .

Pri vypoctu integralu jsme pouzili prevod soucinu goniometrickych

funkcı na soucet podle vzorce sin α cos β =1

2[sin(α+β)+sin(α−β)] .

7.5 sin t ∗ sin t .

Vysledek : sin t ∗ sin t =1

2( sin t− t cos t ) .

7.6 cos t ∗ cos t .

Vysledek : cos t ∗ cos t =1

2( sin t + t cos t ) .


7.7 eat ∗ sin bt .

Resenı : eat ∗ sin bt =∫ t

0ea(t−τ) sin bτ dτ =

∫ t

0eate−aτ) sin bτ dτ =

= eat∫ t

0e−aτ sin bτ dτ = − eat

[e−aτ (a sin bτ + b cos bτ)

a2 + b2

]t

0

=

= − eat

a2 + b2[ e−at(a sin bt + b cos bt− b ) ] =

b eat − a sin bt− b cos bt

a2 + b2

( pri vypoctu integralu je treba pouzıt dvakrat metodu per partes ).

Snadno se da zjistit, ze vysledna funkce je spojita i pro t = 0 .

7.8 sin at ∗ cos at , a 6= 0 .

Vysledek : sin at ∗ cos at =1

4a( cos 2at − 1 ) ( overte spojitost

pro t = 0 ).

7.9 sin at ∗ cos bt , |a| 6= |b| .

Vysledek : sin at ∗ cos bt =a

a2 − b2( cos at − cos bt ) ( overte

spojitost pro t = 0 ).

7.10 sin at ∗ sin at , |a| 6= |b| .

Vysledek : sin at ∗ sin bt =a sin bt− b sin at

a2 − b2( overte spojitost

pro t = 0 ).

7.11 Zapiste integral∫ t

0τ 2et−τ dτ pomocı konvolutornıho soucinu a

najdete jeho obraz.

Resenı : Prımym srovnanım s definicı konvolutornıho soucinu je videt,

ze muzeme zapsat∫ t

0τ 2et−τdτ = t2 ∗ et a pro obraz musı platit


L[∫ t

0τ 2et−τdτ

]= L [ t2 ] ∗ L [ et ] =

Γ(3)

p3

1

p− 1=

2

p3(p− 1).


0(t − τ) sin τ dτ pomocı konvolutornıho soucinu

a najdete jeho obraz.

Resenı : Prımym srovnanım s definicı konvolutornıho soucinu je videt,

ze muzeme zapsat∫ t

0(t−τ) sin τ dτ = t ∗ sin t a pro obraz musı platit

L[∫ t

0(t− τ) sin τ dτ

]= L [ t ] ∗ L [ sin t ] =

1

p2

1

p2 + 1=

1

p2(p2 + 1).


0τ e−τ dτ pomocı konvolutornıho soucinu a najdete

jeho obraz.

Resenı : Dany integral muzeme jednoduchou upravou prevest na tvarkonvolutornıho soucinu∫ t

0τ e−τdτ = e−t

∫ t

0τ ete−τdτ = e−t

∫ t

0τ et−τdτ = e−t( t ∗ et ) .

Zobrazıme nejprve konvolutornı soucin L[ t ∗ et ] =1

p2(p− 1).

Potom pouzijeme pravidlo pro nasobenı originalu exponencialnı funkcı

(pr. 5.9), takze pro vysledny obraz vyjde L[∫ t

0τ e−τdτ

]=

1

(p + 1)2p.


0e−τ cos τ dτ pomocı konvolutornıho soucinu a

najdete jeho obraz.

Vysledek : L [ e−t(et ∗ cos t)] =p + 1

p(p2 + 2p + 2).


0τ 2eτdτ pomocı konvolutornıho soucinu a najdete

jeho obraz.


Vysledek : L [ et(t2 ∗ e−t ] =2

p(p− 1)3.


0(t− τ)

√τ dτ pomocı konvolutornıho soucinu a

najdete jeho obraz.

Resenı : Vzhledem k definici konvolutornıho soucinu dostaneme

L[∫ t

0(t− τ)

√τ dτ

]= L[ t ∗

√t ] = L [ t ] L [

√t ] =

=1

p2

Γ(12)

p√

p=

√π

2p3 √p.


0

e2τ

√t− τ

dτ pomocı konvolutornıho soucinu a

najdete jeho obraz.

Vysledek : L[

e2t ∗ 1√t

]=

√π

(p− 2)√

p.

7.18 Pro zobrazitelnou funkci f(t) zapiste integral∫ t

0f(τ) dτ pomocı

konvolutornıho soucinu a najdete jeho obraz.

Resenı : Integrovanou funkci si muzeme predstavit vynasobenou jed-

notkovou funkcı, takze∫ t

0f(τ) dτ =

∫ t

0f(τ) 1(t−τ) dτ = f(t) ∗ 1(t) .

Po zobrazenı v Laplaceove transformaci vyjde L[ f(t) ∗ 1(t) ] =F (p)

p.

Tım jsme vlastne znovu odvodili vysledek z prıkladu 5.71.

−− −− −− −− −−


V prıkladech 7.19 - 7.27 najdete pomocı obrazu konvolutornıho soucinuhodnotu daneho integralu ( t > 0 ) .

7.19∫ t

0(t− τ) cos τ dτ .

Resenı : Integral ma tvar konvolutornıho soucinu, takze snadno na-jdeme jeho obraz

L[∫ t

0(t− τ) cos τ dτ

]= L [ t ∗ cos t ] =

1

p2

p

p2 + 1=

1

p(p2 + 1).

Po rozkladu na parcialnı zlomky snadno dostaneme pozadovany in-tegral jako original k tomuto obrazu∫ t

0(t− τ) cos τ dτ = t ∗ cos t = L−1

[1

p(p2 + 1)

]=

= L−1

[1

p

]− L−1

[p

p2 + 1

]= 1− cos t .

7.20∫ t

0sin τ cos(t− τ) dτ .

Vysledek :∫ t

0sin τ cos(t− τ) dτ = sin t ∗ cos t =

= L−1

[p

(p2 + 1)2

]=

1

2t sin t ( podle pr. 5.43 ) .

7.21∫ t

0(t− τ)2

√τ dτ .

Resenı : Integral ma tvar konvolutornıho soucinu a muzeme najıtjeho obraz ( viz pr. 5.79 )

L[∫ t

0(t− τ)2

√τ dτ

]= L [ t2 ∗

√t ] =

2

p3

√π

2p√

p=

√π

p4√p.


Original k tomuto obrazu najdeme opet podle vysledku pr. 5.79∫ t

0(t− τ)2

√τ dτ = L−1

[√π

p92

]=

√π t

72

Γ(92)

=

√π t

72

72

52

32

12

√π

=16

105t3√

t .

7.22∫ t

0(t− τ) τ

√τ dτ .

Vysledek :∫ t

0(t− τ) τ

√τ dτ =

4

35t3√

t .

7.23∫ t

0

dτ√τ (t− τ)

.

Vysledek :∫ t

0

dτ√τ (t− τ)

= π .

7.24∫ π

0eτ sin 2τ dτ .

Resenı : Vzhledem k tomu, ze sin 2τ = sin(2π−2τ) = sin 2(π−τ) , jedany integral roven hodnote konvolutornıho soucinu et∗sin t pro t = π .Jeho hodnotu muzeme najıt zobrazenım v Laplaceove transformaci

L [ et ∗ sin t ] =2

(p− 1)(p2 + 4)

a potom zpetnym nalezenım originalu rozkladem na parcialnı zlomky

L−1

[2

(p− 1)(p2 + 4)

]=

1

5L−1

[2

p− 1− 2p

p2 + 4− 1

p2 + 4

]=

=1

5( 2et − 2 cos 2t− sin 2t ) .

Po dosazenı t = π dostaneme hledanou hodnotu integralu2

5(eπ−1) .


7.25∫ π

0eτ cos τ dτ .

Vysledek :∫ π

0eτ cos τ dτ = − 1

2( eπ + 1) .

7.26∫ 1

0(1− τ)2 τ 2 dτ .

Resenı : Dany integral je roven hodnote konvolutornıho soucinut2 ∗ t2 pro t = 1 . Jeho hodnotu muzeme najıt zobrazenım a potomzpetnym nalezenım originalu

L−1

[2

p3

2

p3

]=

1

30L−1

[5!

p6

]=

1

30t5 .

Po dosazenı t = 1 dostaneme hledanou hodnotu integralu∫ 1

0(1− τ)2τ 2 dτ =

1

30.

7.27∫ 1

0

τ√t− τ

dτ .

Vysledek :∫ 1

0

τ√t− τ

dτ =4

3.

V prıkladech 7.28 - 7.32 najdete pomocı konvolutornıho soucinu originalk danemu obrazu.

7.28 F (p) =4

(p2 + 4)2.

Resenı : Dany obraz muzeme chapat jako obraz konvolutornıhosoucinu sin 2t ∗ sin 2t , takze pro original platı

L−1

[4

(p2 + 4)2

]=

∫ t

0sin 2τ sin 2(t− τ) dτ =

=1

2

∫ t

0[cos 2(2τ − t)− cos 2t] dτ =

1

2

[1

4sin 2(2τ − t)− τ cos 2t

]t

0=


=1

8[ sin 2t− sin(−2t)]− 1

2t cos 2t ] =

1

4sin 2t− 1

2t cos 2t .

Pri vypoctu integralu jsme pouzili prevod soucinu goniometrickychfunkcı na soucet podle vzorce

sin α sin β =1

2[ cos (α− β)− cos (α + β) ] .

7.29 F (p) =p2

(p2 + 4)2.

Vysledek : L−1

[p2

(p2 + 4)2

]=

1

4sin 2t +

1

2t cos 2t .

7.30 F (p) =1

(p− a)(p− b), a 6= b .

Vysledek : L−1

[1

(p− a)(p− b)

]=

eat − ebt

a− b( viz pr. 7.1 ).

7.31 F (p) =p

(p− a)(p− b), a 6= b .

Resenı : Dany obraz muzeme chapat jako obraz derivace konvolu-tornıho soucinu eat ∗ ebt , takze pro original platı

L−1

[p

(p− a)(p− b)

]=

d

dt( eat ∗ ebt) =

∫ t

0eaτ b eb(t−τ)dτ + eat =

= b∫ t

0e(a−b)τ ebtdτ + eat = b ebt e

(a−b)t − 1

a− b+ eat =

a eat − b ebt

a− b.

7.32 F (p) =p3

(p2 + 1)2.

Resenı : Dany obraz muzeme chapat jako obraz derivace konvolu-tornıho soucinu cos t ∗ cos t , takze pro original platı

L−1

[p3

(p2 + 1)2

]= L−1

[p

p

p2 + 1

p

p2 + 1

]=

d

dt( cos t ∗ cos t ) =


= −∫ t

0sin τ cos(t− τ) dτ + cos t = −1

2t sin t + cos t ( viz pr. 7.20 ).

Vysledek muzeme srovnat s vysledkem pr. 6.14.

8.Pouzitı Laplaceovy transformace 95

8. Pouzitı Laplaceovy transformace

Zakladnı myslenka pri pouzıvanı Laplaceovy transformace je pomernejednoducha. Dany problem neresıme v puvodnım tvaru, ale po zobrazenıv Laplaceove transformaci. Pokud se podarı najıt Laplaceuv obraz hledanefunkce, musıme potom samozrejme k tomuto vysledku najıt original ( a tocasto nenı snadne ). Tento postup pouzijeme pro diferencialnı rovnice, sous-tavy diferencialnıch rovnic a pro resenı nekterych elektrickych obvodu.Obrazy danych funkcı budeme oznacovat odpovıdajıcımi velkymi pısmeny.

V prıkladech 8.1 - 8.17 reste pomocı Laplaceovy transformace linearnıdiferencialnı rovnice s pocatecnımi podmınkami. Zamyslete se nad tım, jaksouvisı tento postup vypoctu s klasickym postupem pri resenı linearnıchdiferencialnıch rovnic. Metodou Laplaceovy transformace vyjde prımo jedinepozadovane resenı a nenı treba znat obecnou teorii a metody resenı difer-encialnıch rovnic.

8.1d2x(t)

dt2+ 4

dx(t)

dt+ 3 x(t) = 3 e−2t ; x(0) = 1 ,

(dx(t)

dt

)0

= 0 .

Resenı : Predpokladame, ze hledana neznama funkce x(t) a jejıderivace jsou spojite pro t > 0 . Jejı obraz oznacıme L [x(t)] = X(p)a potom obrazy derivacı jsou L [x′(t)] = p X(p)− x(0) = p X(p)− 1( podle pr. 5.57 ) a L [x′′(t)] = p2X(p)− p x(0)− x′(0) = p2X(p)− p( podle pr. 5.63 ). Pocatecnı podmınky chapeme jako limity prıslusnychfunkcı pro t→ 0+ . Je ovsem treba zobrazit take funkci na prave stranerovnice.Jako obraz dane diferencialnı rovnice dostaneme rovnici

p2X(p)− p + 4 [p X(p)− 1] + 3 X(p) =3

p + 2

a odtud najdeme obraz hledane funkce

(p2 + 4p + 3) X(p) =3

p + 2+ p + 4 =

p2 + 6p + 11

p + 2,

X(p) =p2 + 6p + 11

(p + 2)(p2 + 4p + 3).


Tento obraz byl vypocıtan na zaklade konkretnıch pocatecnıch podmınek,takze vede jednoznacne k vyslednemu originalu. Kvadraticky trojclenve jmenovateli ma realne koreny ( totozne s koreny charakteristickerovnice pri klasickem resenı ), takze original muzeme najıt napr. podleHeavisideova vzorce ( derivace jmenovatele je 3p2 + 12p + 11 )

x(t) = 3 e−t − 3 e−2t + e−3t .

8.2 x′′ + 3 x′ + 2 x = 6 et , x(0) = 1, x′(0) = 2 .

Vysledek : x(t) = e−t − e−2t + et .

8.3. x′′ − 2 x′ − 3 x = 3− 4 et , x(0) = 2, x′(0) = 3 .

Vysledek : x(t) = e−t + e3t + et − 1 .

8.4 x′′ + 2 x′ + 5 x = e2t , x(0) = 2, x′(0) = −1 .

Resenı : Po zobrazenı dane diferencialnı rovnice dostaneme

p2X(p)− 2p + 1 + 2 [p X(p)− 2] + 5 X(p) =13

p− 2

a odtud po upravach dostaneme obraz hledane funkce

(p2 + 2p + 5) X(p) =13

p− 2+ 2p− 1 + 4 =

2p2 − p + 7

p− 2,

X(p) =2p2 − p + 7

(p− 2)(p2 + 2p + 5).

Kvadraticky trojclen ve jmenovateli ma komplexnı koreny −1 + 2i ,−1− 2i , ( Tyto koreny jsou totozne s koreny charakteristicke rovnicepri klasickem resenı a podle obecne teorie jim odpovıdajı realna par-tikularnı resenı e−t cos 2t, e−t sin 2t ; takove funkce skutecne ve vysledkuvyjdou.) Pro hledanı originalu muzeme pouzıt napr. rozklad obrazu naparcialnı zlomky

2p2 − p + 7

(p− 2)(p2 + 2p + 5)=

A

p− 2+

B(p + 1) + 2C

p2 + 2p + 5.


Z rovnosti citatelu 2p2−p+7 = A(p2+2p+5)+B(p+1)(p−2)+2C(p−2)dostaneme soustavu linearnıch rovnicA + B = 2 , 2 A−B + 2 C = −1 , 5 A− 2 B − 4 C = 7 ,ktera ma jedine resenı A = 1, B = 1, C = −1 .

Hledany original je tedy x(t) = e2t + e−t( cos 2t− sin 2t ) .

8.5 x′′ + 2 x′ + 2 x = e−t , x(0) = 2, x′(0) = 1 .

Vysledek : x(t) = e−t( cos t + sin t + 1 ) .

8.6 x′′ + 4 x′ + 8 x = 1 , x(0) = 0, x′(0) = 1 .

Vysledek : x(t) =1

8

[1 + e−2t( 3 sin 2t− cos 2t )

].

8.7 x′′ + x = 3 sin 2t , x(0) = 1, x′(0) = 0 .

Vysledek : x(t) = cos t + 2 sin t− sin 2t .

8.8 x′′ + (a + b) x′ + ab x = 0 , x(0) = x0 , x′(0) = 0 , a ∈ R+,b ∈ R+, a 6= b .

Vysledek : x(t) =x0

a− b( a e−bt − b e−at) .

8.9 x′′ + 2a x′ + (a2 + b2) x = 0 , x(0) = 0 , x′(0) = 1 , b ∈ R+ .

Vysledek : x(t) =1

be−at sin bt .

8.10 x′′(t) + 3 x(t) + 2 x(t) = 2t2 + 1 ; x(0) = 2 , x′(0) = 0 .


p2X(p)− 2p + 3 [ p X(p)− 2] + 2 X(p) = 22

p3+

1

p


a odtud vypocıtame obraz hledane funkce

(p2 + 3p + 2) X(p) =4 + p2

p3+ 2p + 6 =

4 + p2 + 6p3 + 2p4

p3,

X(p) =4 + p2 + 6p3 + 2p4

p3(p2 + 3p + 2).

Kvadraticky trojclen ve jmenovateli ma dva nenulove realne ruzne korenya krome toho p3 = 0 je trojnasobny koren jmenovatele. Podle klasicketeorie musı mıt partikularnı resenı nehomogennı rovnice tvar At+Bt+Ca takova funkce ve vysledku skutecne vyjde. Pro hledanı originalumuzeme pouzıt napr. rozklad obrazu na parcialnı zlomky

4 + p2 + 6p3 + 2p4

p3(p2 + 3p + 2)=

2A

p3+

B

p2+

C

p+

D

p + 1+

E

p + 2,

kde vyjde A = 1, B = −3, C = 4, D = E = −1 . Hledany original jetedy

x(t) = t2 − 3 t + 4− e−t − e−2t .

8.11 x′′ + 2 x′ + 5 x = 10 t , x(0) = 0 , x′(0) = 0 .

Vysledek : x(t) =1

5

[10 t− 4 + e−t( 4 cos 2t− 3 sin 2t )

].

8.12 x′′ + 4 x′ + 5 x = 8 sin t , x(0) = 0 , x′(0) = 1 .

Vysledek : x(t) = e−2t ( cos t + 2 sin t ) + sin t− cos t .

8.13 x′′(t) + 3 x(t) + 2 x(t) = e−t ; x(0) = 2 , x′(0) = 0 .


p2X(p)− 2p + 3 [p X(p)− 2] + 2 X(p) =1

p + 1


(p2 + 3p + 2) X(p) =1

p + 1+ 2p + 6 =

2p2 + 8p + 7

p + 1,


X(p) =2p2 + 8p + 7

(p + 1)(p2 + 3p + 2).

Kvadraticky trojclen ve jmenovateli ma realne koreny ( totozne s korenycharakteristicke rovnice pri klasickem resenı ), ale jeden ( p1 = −1 )je stejny jako koren jmenovatele obrazu prave strany. Znamena to, zefunkce e−t z prave strany je resenım prıslusne homogennı rovnice.Podle klasicke teorie musı mıt resenı nehomogennı rovnice tvar Ate−t.Tato funkce ve vysledku skutecne vyjde, protoze ve jmenovateli obrazuse objevı (p+1)2 . Pro hledanı originalu muzeme pouzıt napr. rozkladobrazu na parcialnı zlomky

2p2 + 8p + 7

(p + 1)2(p + 2)=

A

(p + 1)2+

B

p + 1+

C

p + 2.

Z rovnosti citatelu 2p2+8p+7 = A(p+2)+B(p+1)(p+2)+C(p+1)2

dostaneme soustavu linearnıch rovnicB + C = 2 , A + 3 B + 2 C = 8 , 2 A + 2 B + C = 7 ,ktera ma jedine resenı A = 1 , B = 3 , C = −1 .Hledany original je tedy x(t) = t e−t + 3 e−t − e−2t .

8.14 x′′ − 3 x′ + 2 x = e2t , x(0) = 1 , x′(0) = 1 .

Vysledek : x(t) = 2 et − e2t + t e2t .

8.15 x′′(t) + 2 x(t) + 2 x(t) = 2 e−t cos t ; x(0) = 1 , x′(0) = −3 .


p2X(p)− p + 3 + 2 [p X(p)− 1] + 2 X(p) =2(p + 1)

p2 + 2p + 2


(p2 + 2p + 2) X(p) =2(p + 1)

p2 + 2p + 2+ p− 1 =

p3 + p2 + 2p

p2 + 2p + 2,

X(p) =p3 + p2 + 2p

(p2 + 2p + 2)2.


Kvadraticky trojclen ve jmenovateli ma komplexnı koreny ( totoznes koreny charakteristicke rovnice pri klasickem resenı ), ktere jsou soucasnekoreny obrazu prave strany. Znamena to, ze funkce e−t cos t je resenımprıslusne homogennı rovnice. Podle klasicke teorie musı mıt resenı ne-homogennı rovnice tvar t e−t(A cos t + B sin t) a takova funkce vevysledku skutecne vyjde. Obraz rozlozıme na parcialnı zlomky ( viz pr.6.41 )

p3 + p2 + 2p

(p2 + 2p + 2)2=

A[(p + 1)2 − 1] + 2B(p + 1)

(p2 + 2p + 2)2+

C(p + 1) + D

p2 + 2p + 2,

kde vyjde A = 0, B = 1, C = 1, D = −2 .Hledany original je tedy x(t) = e−t ( t sin t + cos t− 2 sin t ) .

8.16 x′′ + 4 x = 4 sin 2t , x(0) = 1 , x′(0) = 1 .

Vysledek : x(t) = cos 2t + sin 2t− t cos 2t .

8.17 x′′ + 4 x′ + 8 x = 4 e−2t sin 2t , x(0) = 1 , x′(0) = −1 .

Vysledek : x(t) = e−2t ( cos 2t + sin 2t− t cos 2t ) .

V prıkladech 8. 18 - 8. 22 reste pro ruzne funkce u(t) diferencialnı rovnici

Ld i(t)

dt+ R i(t) = u(t) , i(0) = 0 , L ∈ R+ , R ∈ R+ ,

ktera popisuje prubeh proudu se seriove zapojenou cıvkou ( indukcnost L )a ohmickym odporem R po pripojenı elektromotorickeho napetı u(t) .V techto prıkladech bude videt, ze pouzitı Laplaceovy transformace je zvlastevyhodne v prıpade, kdy na prave strane rovnice je jednoducha funkce, kterase vsak neda analyticky vyjadrit jedinym zapisem pro vsechna t > 0 .

8.18 u(t) = E sin ωt , E ∈ R+ , ω ∈ R+ .


L p I(p) + R I(p) =E ω

p2 + ω2a odtud I(p) =

E ω

(Lp + R)(p2 + ω2.


Obraz rozlozıme na parcialnı zlomky

E ω

(Lp + R)(p2 + ω2)=

E

L

[A

p + LR

+Bp + Cω

p2 + ω2

].

Z rovnosti mnohoclenu ω = A (p2 + ω2) + (Bp + C)(p +R

L) vyjde

A =L2ω

R2 + L2ω2, B = − L2ω

R2 + L2ω2, C =

L R

R2 + L2ω2.

Odtud dostaneme hledany original

i(t) =E

R2 + L2ω2( e−

RL

t − L ω cos ωt + R sin ωt ) .

Goniometricke funkce se casto upravujı podle souctoveho vzorce najedinou sinovou funkci. Existuje jediny ostry uhel ϕ , pro ktery platı

cos ϕ =R√

R2 + L2ω2, sin ϕ =

Lω√R2 + L2ω2

.

Nalezeny original muzeme tedy upravit na tvar

i(t) =E

R2 + L2ω2e−

RL

t +E√

R2 + L2ω2( sin ωt cos ϕ− cos ωt sin ϕ ) =

=E

R2 + L2ω2e−

RL

t +E√

R2 + L2ω2sin (ωt− ϕ) .

Z vysledku je videt, ze pro vetsı hodnoty t se stane vliv exponencialnıfunkce zanedbatelny a prubeh proudu je dan funkcı sinus, ktera ma ste-jnou frekvencı ω , ale pusobenım cıvky je vzhledem k u(t) zpozdena.

8.19 u(t) = u0 ( konstanta ).

Vysledek : i(t) =u0

R

[1(t)− e−

RL

t]

.

Pro vetsı hodnoty t bude mıt proud temer konstantnı hodnotu, jakoby v obvodu cıvka nebyla.


8.20 Pro a ∈ R+ , E ∈ R+

u(t) =

0 pro t < 0 ∨ t > aE2

pro t = 0 ∨ t = a

E pro t ∈ ( 0, a )


(Lp+R) I(p) = E1− e−ap

pa odtud I(p) =

E

p(Lp + R)− E e−ap

p(Lp + R).

Nejprve najdeme original k prvnı funkci rozlozenım na parcialnı zlomky

E

p(Lp + R)=

E

R

(1

p− 1

p + RL

), takze i1(t) =

E

R

(1− e−

RL

t)

.

Original druhe funkce je zpozdena funkce i1(t−a) , ktera je pro t < arovna nule. Vysledny original je proto v intervalu ( 0, a ) roven funkcii1(t) a pro t > a je roven rozdılu i1(t)− i1(t− a) . Takze

i(t) =

E

R

(1− e−

RL

t)

pro t ∈< 0, a )

E

R

(e−

RL

(t−a) − e−RL

t)

=E e−

RL

t

R

(e

RL

a − 1)

pro t > a .

Dosazenım t = a do obou castı dostaneme i(a) =E

R

(1− e−

RL

a)

,

takze funkce i(t) je spojita ( obr. 1 ). Po vypoctu derivacı se da overit.ze take derivace i′(t) je spojita funkce.


8.21 Pro E ∈ R+

u(t) =

0 pro t < 0

t pro t ∈< 0, E >

E pro t > E

Vysledek : Vysledny proud se da zapsat ve tvaru

i(t) =

tR− L

R2

(1− e−

RL

t)

pro t ∈< 0, E >

ER− L e

−RL

t

R2

(e

R EL − 1

)pro t > E .

Overte, ze funkce i(t) a take i′(t) jsou spojite ( obr. 2 ).

8.22

u(t) =

{0 pro t < 0 ∨ t > π

sin t pro t ∈< 0, π >

Resenı : Obraz funkce u(t) najdeme pomocı obrazu zpozdene funkce( viz. pr. 5.27 ). Po zobrazenı dane diferencialnı rovnice dostaneme

(Lp + R) I(p) =1 + e−πp

p2 + 1a odtud I(p) =

1 + e−πp

(p2 + 1)(Lp + R).

Nejprve najdeme podobne jako v pr. 8.20 original k prvnı casti zlomku( s citatelem 1 ) rozlozenım na parcialnı zlomky

1

(p2 + 1)(Lp + R)=

1

L

(Ap + B

p2 + 1+

C

p + RL

).


Z rovnosti citatelu zlomku 1 = (Ap+B)(p+R

L)+C(p2+1) dostaneme

soustavu linearnıch rovnic BR

L+C = 1 , B+A

R

L= 0 , A+C = 0 .

Tato soustava ma jedine resenı

A = − L2

R2 + L2, B =

R L

R2 + L2, C =

L2

R2 + L2.

Original k prvnı casti zlomku ( s citatelem 1 ) je tedy

i1(t) =1

R2 + L2

(L e−

RL

t − L cos t + R sin t)

.

Original druhe casti zlomku je zpozdena funkce i1(t−π) , ktera je prot < π rovna nule. Vysledny original je proto v intervalu < 0, π >roven funkci i1(t) a pro t > π je roven souctu i1(t) + i1(t− a) , kdese obe goniometricke funkce anulujı. Takze

i(t) =

1

R2+L2

(L e−

RL

t − L cos t + R sin t)

pro t ∈< 0, π )

LR2+L2 e−

RL

t(

1 + eRL

π)

pro t > π .

Dosazenım t = π do obou castı dostaneme i(π) =L

R2 + L2

(e−

RL

π + 1)

,

takze funkce i(t) je spojita. Po vypoctu derivacı se da overit, ze takederivace i′(t) je spojita funkce.

V prıkladech 8. 23 - 8. 25 reste pro ruzne funkce f(t) diferencialnı rovnici

md2x(t)

dt2+ c x(t) = f(t) , x(0) = 0 , x′(0) = 0 , m ∈ R+ , c ∈ R+ ,

ktera popisuje pohyb telesa s hmotnostı m na pruzine s elastickou kon-stantou c pri zanedbatelnem odporu ( trenı ) a pri pusobenı vnejsı sılyf(t) . Neznama funkce x(t) popisuje vychylku telesa z rovnovazne polohyv zavislosti na case.

8.23 Pro a ∈ R+ , F ∈ R+

f(t) =

0 pro t < 0 ∨ t > aF2

pro t = 0 ∨ t = a

F pro t ∈ ( 0, a )


Resenı : Po zobrazenı dostaneme algebraickou rovnici

m p2X(p) + c X(p) = F1− e−ap

pa odtud X(p) =

F

m

1− e−ap

p(p2 + cm

).

Nejprve rozlozıme na parcialnı zlomky prvnı cast zlomku :

F

m

1

p(p2 + cm

)=

F

c

(1

p− p

p2 + cm

).

Original k teto funkci je

x1(t) =F

c

(1− cos

√c

mt)

.

Druha cast originalu je zpozdena funkce x1(t− a) .Hledany original muzeme zapsat ve tvaru

x(t) =

Fc

(1− cos

√cm

t)

pro t ∈< 0, a )

Fc

(cos

√cm

(t− a)− cos√

cm

t)

pro t > a .

Funkce x(t) je znazornena na obr. 3. Da se dokazat, ze pro t = ajsou funkce x(t) a x′(t) spojite ( overte ). Rozdıl kosinu v druhe castivysledku ( pro t > a ) muzeme upravit podle goniometrickeho vzorcena jedinou sinovou funkci

x(t) =2F

csin

a

2

√c

msin

2t− a

2

√c

m.

Vidıme, ze pro t > a se ve funkci x(t) nasobı konstantou sina

2

√c

m,

ktera muze byt take rovna nule ( napr. pro a = 2π

√m

c).


8.24 Pro a ∈ R+ , F ∈ R+

f(t) =

0 pro t < 0F2

pro t = 0

F pro t > 0

Vysledek : x(t) =F

c

(1− cos

√c

mt)

.

8.25 f(t) = F sin ωt , F ∈ R+ , ω ∈ R+ .


m p2X(p) + c X(p) =F ω

p2 + ω2a odtud X(p) =

F ω

(mp2 + c)(p2 + ω2).

Mohou nastat dve moznosti :

1) ω 6=√

c

m.

V tomto prıpade obraz rozlozıme na parcialnı zlomky

F ω

(mp2 + c)(p2 + ω2)=

F

m

[Ap + B

p2 + cm

+Cp + D

p2 + ω2

].

Z rovnosti mnohoclenu ω = (Ap+B) (p2+ω2)+(Cp+D)(p2+c

m) vyjde

A = 0 , C = 0 , B =ω

ω2 − cm

, D = − ω

ω2 − cm

.

Odtud dostaneme hledany original

x(t) =F

m ω2 − c

(ω

√m

csin

√c

mt− sin ωt

).

2) ω =

√c

m.

V tomto prıpade dostaneme obraz X(p) =F

m

ω

(p2 + ω2)2.

Original ke zlomku se da hledat pomocı konvoluce nebo uzitım obrazuderivace x1(t) ( s podmınkou x1(0) = 0 )

L[x′1(t)] = p X1(p) =

p ω

(p2 + ω2)2.


Odtud dostaneme snadno ( viz pr. 5.43 ) x′1(t) =

1

2t sin ωt a integracı

( per partes ) x1(t) =1

2 ω2(sin ωt− ω t cos ωt ) .

Hledany original je tedy x(t) =F

2 m ω( sin ωt− ω t cos ωt ) .

V tomto prıpade pusobıcı sıla f(t) = F sin ωt ma stejnou frekvencijako vlastnı kmity soustavy a zpusobı rozkmitanı soustavy ( vlivemfunkce t cos ωt ).

V prıkladech 8. 26 - 8. 35 reste soustavy linearnıch diferencialnıch rovnics danymi pocatecnımi podmınkami. Jako resenı vyjdou konkretnı hledanefunkce a nenı treba znat zadnou obecnou teorii pro resenı soustav.

8.26dx

dt= x + y + et ,

dy

dt= −2x + 4y − et , x(0) = 1 , y(0) = 1 .

Resenı : Oznacıme Laplaceovy obrazy neznamych funkcı X(p) , Y (p) .Po zobrazenı dane soustavy diferencialnıch rovnic dostaneme soustavulinearnıch algebraickych rovnic pro nezname obrazy

p X − 1 = X + Y +1

p− 1,

pY − 1 = −2 X + 4 Y − 1

p− 1.

Po uprave dostaneme soustavu

(p− 1) X = Y +p

p− 1,

(p− 4) Y = −2 X +p− 2

p− 1.

Do prvnı rovnice vynasobene p − 4 dosadıme z druhe rovnice avypocıtame

(p− 1)(p− 4) X = −2X +p− 2

p− 1+

p(p− 4)

p− 1, takze


X(p) =p2 − 3p− 2

(p2 − 5p + 6)(p− 1).

Kvadraticky trojclen ve jmenovateli ma realne koreny, takze pro vypocetoriginalu muzeme pouzıt Heavisideuv vzorec a vyjdex(t) = 4 e2t − e3t − 2 et .Pri vypoctu y(t) bychom mohli postupovat podobnym zpusobem, alemuzeme take y(t) vypocıtat dosazenım x(t) do prvnı zadane rovnice.Dostaneme y(t) = 4 e2t − 2 e3t − et .

8.27dx

dt= x + y ,

dy

dt= −2x + 4y , x(0) = 0 , y(0) = −1 .

Vysledek : x(t) = e2t − e3t , y(t) = e2t − 2 e3t .

8.28dx

dt= 2x + y ,

dy

dt= 4x− y , x(0) = 0 , y(0) = 1 .

Vysledek : x(t) =1

5( e3t − e−2t ) , y(t) =

1

5( e3t + 4 e−2t) .

8.29dx

dt= 2x− y + 3 e−t ,

dy

dt= x + 2y + e−t , x(0) = 1 , y(0) = 1 .

Resenı : Oznacıme Laplaceovy obrazy neznamych funkcı X(p) , Y (p) .Po zobrazenı dane soustavy diferencialnıch rovnic dostaneme po upravesoustavu rovnic pro nezname obrazy

(p− 2) X = −Y +p + 4

p + 1,

(p− 2) Y = X +p + 2

p + 1.


Do prvnı rovnice vynasobene p − 2 dosadıme z druhe rovnice avypocıtame

(p− 2)(p− 2) X = −X − p + 2

p + 1+

(p− 2)(p + 4)

p + 1, takze

X(p) =p2 + p− 10

(p2 − 4p + 5)(p + 1).

Kvadraticky trojclen ve jmenovateli ma komplexnı koreny. Po rozkladuna parcialnı zlomky

p2 + p− 10

(p2 − 4p + 5)(p + 1)=

A(p− 2) + B

p2 − 4p + 5+

C

p + 1

vypocıtame z rovnosti citatelu p2 + p− 10 = [A(p− 2) + B](p + 1) ++ C(p2 − 4p + 5) nezname koeficienty A = 2 , B = −1 , C = −1 .Potom jiz snadno dostaneme hledany original

x(t) = e2t( 2 cos t− sin t )− e−t .

Dosazenım x(t) do prvnı zadane rovnice dostanemey(t) = e2t( 2 sin t + cos t ) .

8.30dx

dt= 2x− y + 2 ,

dy

dt= x + 2y + 1 , x(0) = 0 , y(0) = 1 .

Vysledek : x(t) = e2t( cos t + sin t )− 1 , y(t) = e2t( sin t− cos t ) .

8.31dx

dt= 2x− y + 5t ,

dy

dt= x + 2y + 2 , x(0) = 1 , y(0) = 1 .

Vysledek : x(t) = e2t( 2 cos t− sin t )− 2t− 1 ,y(t) = e2t( 2 sin t + cos t ) + t .


8.32dx

dt= −2x− y + sin t ,

dy

dt= 4x + 2y + cos t , x(0) = 0 , y(0) = 0 .

Vysledek : x(t) = −2t + 2 sin t , y(t) = 4t + 2− 2 cos t− 3 sin t .

8.33dx

dt+ 3x− y + 3 = 2 ,

dy

dt+ 2x + y = 3 , x(0) = 0 , y(0) = 1 .

Resenı : Po zobrazenı dane soustavy diferencialnıch rovnic dostanemepo uprave soustavu rovnic pro nezname obrazy

(p + 3) X = Y +2

p,

(p + 1) Y = −2 X +p + 3

p.

Do prvnı rovnice vynasobene p + 1 dosadıme z druhe rovnice avypocıtame

(p + 1)(p + 3) X = −2 X − 2(p + 1)

p+

p + 3

p, takze

X(p) =3p + 5

p(p2 + 4p + 5).

Kvadraticky trojclen ve jmenovateli ma komplexnı koreny. Po rozkladuna parcialnı zlomky

3p + 5

p(p2 + 4p + 5)=

A(p + 2) + B

p2 + 4p + 5+

C

p

vypocıtame z rovnosti citatelu zlomku 3p + 5 = A(p + 2)p + Bp ++ C(p2 + 4p + 5) nezname koeficienty A = −1 , B = 1 , C = 1 .Potom jiz snadno dostaneme hledany original

x(t) = e−2t( sin t− cos t ) + 1 .


Dosazenım x(t) do prvnı zadane rovnice dostanemey(t) = e−2t 2 sin t + 1 .

8.34dx

dt− y = cos t ,

dy

dt+ x = 0 , x(0) = −1 , y(0) = 1 .

Resenı : Po zobrazenı dane soustavy diferencialnıch rovnic dostanemepo uprave soustavu rovnic pro nezname obrazy

p X = Y − 1 +p

p2 + 1,

p Y = −X + 1 .

Do prvnı rovnice vynasobene p dosadıme z druhe rovnice a vypocıtame

p2 X = − X−p+p2

p2 + 1+1 , takze X(p) =

−p3 + 2p2 − p + 1

(p2 + 1)2.

Kvadraticky trojclen ve jmenovateli ma dvojnasobne komplexnı koreny.V tomto komplikovanejsım prıpade muzeme postupovat podobne jakov pr. 6.17 a dostaneme rozklad

−p3 + 2p2 − p + 1

(p2 + 1)2=

3

2

1

p2 + 1− p

p2 + 1+

1

2

p2 − 1

(p2 + 1)2.

Potom jiz dostaneme hledany original x(t) =3

2(sin t−cos t)+

1

2t cos t .

Dosazenım x(t) do prvnı zadane rovnice dostaneme

y(t) = sin t + cos t− 1

2t sin t .

8.35dx

dt− y = cos t ,

dy

dt+ x = 1 , x(0) = 2 , y(0) =

1

2.

Vysledek : x(t) = sin t + cos t +1

2t cos t + 1 ,

y(t) =1

2cos t− sin t− 1

2t cos t .


V prıkladech 8. 36 - 8. 39 reste pomocı obrazove impedance ( viz [ 2 ],str. 156 ) ulohy v elektrickem obvodu s nulovymi pocatecnımi podmınkami.V tomto jednodussım pripade je pro ohmicky odpor Z = R , pro cıvku

Z = L p a pro kondenzator Z =1

C p( vsechny konstanty chapeme jako

kladna realna cısla ). Pri tomto oznacenı tedy pro kazdy z techto elektrickychprvku platı U(p) = Z(p) I(p) . Pri seriovem zapojenı je vysledna impedance

Z =n∑

i=1

Zi a pri paralelnım zapojenı platı1

Z=

n∑i=1

1

Zi

.

Vsechny impedance Z(p) jako funkce komplexnı promenne majı urcitespolecne vlastnosti ( viz [ 2 ], str.160 - Bruneovy funkce ).

8.36 Urcete prubeh proudu v obvodu na obr. 4 , kdyz v case t = 0pripojıme zdroj konstantnıho elektromotorickeho napetı u0 , u0 ∈ R .

Resenı : Vsechny prvky jsou v obvodu zapojeny seriove, takze obra-

zova impedance je Z(p) = R + Lp +1

Cpa muzeme snadno vypocıtat

I(p) =U(p)

Z(p)=

u0

p

C p

LCp2 + RCp + 1=

u0

L

1

p2 + RL

p + 1CL

.

Pro strucnost oznacıme a =R

2La ω2 =

1

LC− R2

4L2=

4L−R2C

4L2C.

1. Pro cıvku s dosti velkou indukcnostı je ω2 > 0 ( 4L > R2C ) amuzeme zapsat koreny jmenovatele p1,2 = −a ± i ω . Vysledny proud

vznikly po sepnutı ma tvar i(t) =u0

L ωe−at sin ωt a je videt, ze se

po urcite dobe utlumı. Je to celkem zrejme, protoze pri konstantnımnapetı v obvodu s kondenzatorem nemuze protekat proud.

2. Pro cıvku s malou indukcnostı je ω2 < 0 ( 4L < R2C ) a koreny


jmenovatele jsou realne p1,2 = −a ±√−ω2 . Vysledny proud vznikly

po sepnutı ma tvar i(t) =u0

2 L√−ω2

( ep1t− ep2t ) . Po urcite dobe se

take utlumı , protoze obe hodnoty p1, p2 jsou zaporne ( dokazte ).

3. V prıpade, ze ω = 0 dostaneme pro vysledny proud i(t) =u0

Lt e−at .

I v tomto prıpade se proud po urcite dobe utlumı.

8.37 Urcete prubeh proudu v obvodu na obr. 5 , kdyz v case t = 0pripojıme zdroj konstantnıho elektromotorickeho napetı u0 , u0 ∈ R .

Resenı : Kondenzator a odpor R2 jsou zapojeny paralelne, takze

odpovıdajıcı obrazova impedance je Z3 =1

1R2

+ C p=

R2

1 + CR2 p.

Dalsı zapojenı v obvodu je seriove, takze vysledna obrazova impedance

Z(p) = R+Lp+R2

1 + R2C p=

R1 + CR1R2 p + L p + CLR2 p2 + R2

1 + CR2 p

a muzeme snadno vypocıtat

I(p) =U(p)

Z(p)=

u0

p

1 + CR2 p

CLR2p2 + (L + CR1R2)p + R1 + R2

.

Pro strucnost oznacıme a =L + CR1R2

2CLR2

,

b2 =(L + CR1R2)

2 − CLR2(R1 + R2)

4C2L2R22

=(L− CR1R2)

2 − 4CLR22

4C2L2R22

.


Vyresıme prıpad, kdy b2 > 0 . Muzeme zvolit b ∈ R+ a zapsat korenykvadratickeho trojclenu ve tvaru p1,2 = −a ± b . Provedeme rozkladna parcialnı zlomky

I(p) =u0

R1 + R2

1

p+

u0

CLR2(p1 − p2)

(1 + CR2 p1

p1(p− p1)− 1 + CR2 p2

p2(p− p2)

).

Vysledny proud vznikly po sepnutı je tedy

i(t) =u0

R1 + R2

1(t) + u0(1 + CR2 p1)p2e

p1t − (1 + CR2 p2)p1ep2t

CLR2(p1 − p2)p1p2

.

Da se overit, ze oba koreny p1, p2 musı byt zaporne, takze expo-nencialnı funkce se po urcite dobe utlumı. Potom nastane situace, jakoby celkovy odpor byl R1 + R2 ( pri konstantnım napetı cıvka nekladeodpor a kondenzatorem proud neprochazı ).

8.38 Urcete prubeh proudu v obvodu na obr. 6 , kdyz v case t = 0pripojıme zdroj elektromotorickeho napetı u(t) = u0 sin ωt , u0 ∈ R ,ω ∈ R+ .

Vysledek : i(t) =u0

R2 + L2ω2( L ω e−

RL

t + R sin ωt− L ω cos ωt ) .

Na rozdıl od resenı pr. 8.20 se postupuje formalne a tvorı se soucetimpedancı R + L p . Vyjde samozrejme stejny vysledek.


8.39 Urcete prubeh napetı u2 v obvodu podle obr. 7 , kdyz v case t = 0pripojıme konstantnı zdroj elektromotorickeho napetı u0 , u0 ∈ R .

Vysledek : u2(t) = u0R2L√

D

(p1e

p1t − p2ep2t

), kde

D =(

R1R2 −L

C

)2

− 4LR22

Ca p1,2 =

−(R1R2 + LC

) ±√

D

2L(R1 + R2).

Tento vysledek se da pouzıt i v prıpade, ze D < 0 . V tomto prıpadema napetı tlumeny harmonicky prubeh. Zvlastnı situace nastane proD = 0 .

Poslednı uloha je jednoduchy prıklad pouzitı Laplaceovy transformace priresenı parcialnı diferencialnı rovnice. Je treba zduraznit, ze pocet uloh vparcialnıch rovnicıch, ktere lze tımto zpusobem efektivne resit, je dost omezeny.V zadnem prıpade nemuzeme Laplaceovu transformaci chapat jako univerzalnımetodu.


8.40 Reste parcialnı diferencialnı rovnici ( tzv. smısenou ulohu )

a2 ∂2u(x, t)

∂x2=

∂2u(x, t)

∂t2, x ∈ R+ , t ∈ R∗ , a ∈ R+ ,

u(x, 0) = 0 ,∂u(x, 0)

∂t= 0 , u(0, t) = f(t) ,

ktera umoznuje stanovit napetovou vlnu u(x, t) pro idealnı polonekonecnevedenı bez napetı a proudu, kdy v okamziku t = 0 na zacatek vedenı( x = 0 ) pripojıme elektromotoricke napetı f(t) .

Resenı : Najdeme Laplaceuv obraz dane parcialnı diferencialnı rovnicevzhledem k promenne t a v obrazech ponechame x jako parametr.Vzhledem k nulovym pocatecnım podmınkam pro t dostaneme velmijednoduchou obycejnou linearnı diferencialnı rovnici 2. radu

a2 d2U(x, p)

dp2= p2 U(x, p) , U(0, p) = L[f(t)] = F (p) , neboli

d2U(x, p)

dp2−

(p

a

)2

U(x, p) = 0 , U(0, p) = F (p) .

Protoze koeficientx

anezavisı na promenne p . ma obecne resenı teto

diferencialnı rovnice tvar ( jako u rovnice s konstantnımi koeficienty )

U(p, x) = C1(p) exa

p + C2(p) e−xa

p ,

Protozex

a> 0 , neexistoval by original k funkci e

xa

p . Proto zvolıme

C1(p) = 0 ( moznost volby mame vzhledem k jedne chybejıcı pocatecnıpodmınce ) a potom vyjde C2(p) = F (p) . Obraz hledane funkce jetedy U(x, p) = F (p) e−

xa . Tato funkce ma tvar obrazu zpozdene funkce

( viz pr. 5.18 ), takze snadno najdeme original u(x, t) = f(t− x

a) .


R e j s t r ı k

derivace obrazu ve Four. transf. 25 obraz derivace ve Four. transf. 27derivace obrayu v Lapl. transf. 57 obraz derivace v Lapl. transf. 63Dirichletovy podmınky 5 obraz Fourieruv 6

obraz integralu ve Four. transf. 30Fourieruv integral 5 obraz integralu v Lapl. transf. 67Fourieruv obraz 6 obraz Laplaceuv 43funkce exponencialnıho radu 43 obraz zpozdene funkce ve F. tr. 24funkce gamma 69 obraz zpozdene funkce v L. tr. 52funkce jednostranna 43 original ve Fourierove transf. 7funkce zobrazitelna ve Four. tr. 6 original v Laplaceove transf. 71funkce zobrazitelna v Lapl. tr. 43funkce zpozdena 52 podmınky Dirichletovy 5

Heavisideuv vzorec 72 usecka konvergence 44hlavnı hodnota nevl. integralu 5

veta o translaci 52integrace obrazu v Lapl. transf. 65 vzor ve Fourierove transf. 7integral Fourieruv 5 vzor v Laplaceove transf. 71

konvolutornı soucin 31,85 zobrazitelna funkce ve Four. tr. 6zobrazitelna funkce v Lapl. tr. 43

Laplaceuv obraz 43 zpozdena funkce 52

Documents

SB IRKA ULOH Z MATEMATIKY - home.zcu.czhome.zcu.cz/~jirieggy/JMasek-SbirkaUlohIntegralni... · Pol akovi a vedouc m u katedry prof. Pavlu Drabk ovi, kter prisp eli mnoha radami ke