TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM THÁI NGUYÊN

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BỘ MÔN: TOÁN LÝ

PHẠM THANH HIẾU

SÁCH GIAO BÀI TẬP

Học phần : Toán cao cấp

Số tín chỉ : 02

Mã số : MAT121

Thái Nguyên, 2017

1

CHƯƠNG I: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

I. CÂU HỎI LÝ THUYẾT

1. Nêu khái niệm các loại ma trận, cho ví dụ?

2. Nêu các phép toán về ma trận và các tính chất?

3. Khái niệm định thức và các tính chất, ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận và

các bước tính?

4. Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính, các loại hệ phương trình tuyến tính đặc

biệt (hệ thuần nhất, hệ Cramer, …).

5. Nêu phương pháp biến đổi sơ cấp để giải hệ phương trình tuyến tính?

II. BÀI TẬP CHƯƠNG 1

Bài tập 1: Thực hiện phép nhân hai ma trận:

60

53

74

5124

159)

72

510

611

43) ba

04

91

75

563

704

175

)c

Bài tập 2: Tính các định thức sau:

631

723

510

);

613

200

352

);

420

310

121

);

111

143

021

);

143

301

121

)

edcba

Bài tập 3: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận (nếu có):

121

011

322

;

211

331

521

;

321

504

321

CBA

6183

3422

4083

2121

;

3212

4311

0023

0012

;

3000

0200

4210

4321

FED

Bài tập 4: Giải phương trình ma trận:

3

2

0

214

112

211

)1 X ;

114

302

511

231

113

012

)2 X

014

302

511

231

113

012

)3 X ;

1

2

1

093

172

021

)4 X

2

8710

7210

031

012

423

321

)5 X ;

521

234

311

111

012

111

)6 X

2112

3210

1021

120

112

011

)7 X ;

13215

726

211

101

111

)8 X

Bài tập 5: Tìm hạng của ma trận:

212

121

311

)1

11314

33232

10322

23114

)2

192483

3254

4653

3411

)3

32101

22330

32321

21211

)4

Bài tập 6: Giải hệ phương trình:

)(

12

12

12

12

)1

4321

4321

4321

4321

I

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

)(

432

632

423

132

)2

4321

4321

4321

4321

I

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

3 2 3

3) 2 3 6

3 4 11

x y z

x y z

x y z

2 3 1

4) 3 4 2 3

5 2 2

x y z

x y z

x y z

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3 2 5 1

5) 3 0

2 3 8 3 3

x x x x

x x x x

x x x x

4 1

3 2 06)

5 2 0

7 7 4 2

x y z

x y z

x y z

x y z

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 2 2

2 37)

3 2 5

3 2 1

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3 5 2 4 2

8) 7 4 3 5

5 7 4 6 3

x x x x

x x x x

x x x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 5 2

9) 3 2.5 4 10

4 3 2 2

x x x

x x x

x x x

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3 7

10) 2 5 2 22

3 8 24

x x x x

x x x x

x x x x

3

11)

3442

364

6252

322

4321

421

4321

4321

xxxx

xxx

xxxx

xxxx

12)

5234

1223

1322

5432

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

13)

0343

23

0

232

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

14)

74

11332

2

724

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

15)

32

7722

02

2

321

4321

431

4321

xxx

xxxx

xxx

xxxx

CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

I. CÂU HỎI LÝ THUYẾT 1. Nêu định nghĩa giới hạn và các tính chất?

2. Nêu một số giới hạn cơ bản và một số dạng giới hạn vô định?

3. Định nghĩa sự liên tục của hàm số? Mối liên hệ với giới hạn?

4. Định nghĩa, ý nghĩa hình học và các quy tắc tính đạo hàm của một số hàm sơ cấp?

5. Nêu khái niệm hàm số nhiều biến, so sánh với khái niệm hàm số một biến, cho ví

dụ?

6. Nêu khái niệm đạo hàm riêng của hàm số 2 biến? So sánh với đạo hàm của hàm số

một biến?

II. BÀI TẬP CHƯƠNG 2:

Bài tập 1: Tính các giới hạn sau:

1)

23

2

3lim

x

x x

x;

15

2

2

23

22)3;

1

2)2

2

x

x

x

x x

xLim

x

xLim ;

;3

12lim)6;

2

8)5;

1

1)4

2

3

3

2

3

1

x

xx

x

xLim

x

xLim

xxx

.2

2)9;

2

2)8;

11)7

220

x

xLim

x

xLim

x

xLim

xxx

10)

2

1

1lim

2

2x

x x

x

2

2

2

2

3lim)11

x

x x

x

13)

1

32

12lim

x

x x

x

4

14)

12

32

31lim

x

x x

x

x

x x

x31

12

52lim)15

12

2

2

32

12lim)16

x

x x

x

17)

32

54

14lim

x

x x

x 18)

32

2

22

54

14lim

x

x x

x

19)

32

3

33

54

14lim

x

x x

x

20)

12

3

33

32

31lim

x

x x

x21) 2

2 12

031lim x

x

xx

22)

3

3 23

0 31lim

x

x

x

x

23)

x

x x

x31

52

52lim

24)

231

2

2

52

52lim

x

x x

x

25)

x

x x

x35

14

74lim

26)

235

2

2

14

74lim

x

x x

x

27)

331

3

3

52

52lim

x

x x

x

28)

335

3

3

14

74lim

x

x x

x

29)

45

57

27lim

x

x x

x 30)

425

2

2

57

27lim

x

x x

x

Bài tập 2: a) Tìm giới hạn của hàm số (nếu có):

.1

1)3;

1

1)2;

2

5lim)1

12

x

xLim

x

xLim

x xxx

b) Vẽ đồ thị của các hàm số .1

1;

2

5

x

xy

xy Sau đó giải thích kết quả giới hạn

trên dựa vào đồ thị hàm số.

Bài tập 3: Chi phí của việc loại bỏ đi p% tác nhân gây ô nhiễm nguồn nước trong hồ

nhỏ được tính bởi hàm số:

;1000;100

.25000

p

p

pC

Trong đó: C là chi phí (tính bằng đôla); p là phần trăm của tác nhân.

a) Để loại bỏ 50% tác nhân gây ô nhiễm nguồn nước trên cần chi phí hết bao

nhiêu?

b) Nếu chi phí 100.000$ thì loại bỏ được bao nhiêu phần trăm tác nhân gây ô

nhiễm nguồn nước.

c) Tính .100

CLimp

Giải thích kết quả đó.

Bài tập 4: a) Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó.

;53,14

31,2)()2;

32,1

215)()1

22

xx

xxxfy

xx

xxxfy

5

;2)()4;3)()3 xxfyxxfy

b) Vẽ đồ thị mỗi hàm số trên và giải thích tính liên tục trên đồ thị hàm số.

Bài tập 5: Chi phí của việc bỏ đi %x tác nhân gây ô nhiễm môi trường từ các ống khói

của các nhà máy có thể mô hình bằng:

.100

2

x

xC

Trong đó: C là chi phí (tính bằng Triệu đôla), x là phần trăm của tác nhân.

a) Tìm miền xác định của hàm số trên. Miền xác định trên cho chúng ta biết gì về

mức độ ô nhiễm?

b) Vẽ đồ thị hàm số trên. Hàm số đó có liên tục trên miền xác định của nó không?

Giải thích kết quả đó.

c) Để loại bỏ được 75% tác nhân gây ô nhiễm cần chi phí hết bao nhiêu?

Bài tập 6: Tính đạo hàm cấp 1 của các hàm số sau đây:

.)1ln(

)18;ln.1)17;ln)13()16

);(2

1)15;1)14;)1()13

;cottan)12;1

cos)11;1sin)10

;tan21)9;sin

sin)8;

cossin

cossin)7

;cot.)6;52)5;1

1)4

;1

2)3);35)(1()2;)5()1

2222

422

222

2

2

22327

x

xyxxyxxy

eeyexyexy

xxyx

xyxy

xyx

x

x

xy

xx

xxy

xxyxxyx

xy

x

xyxxyxxy

xxxx

Bài tập 7: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số:

.2sin)42()9;)2()8;).123()7

;12

5)6;

32

2)5;

32

1)4

;)1)(1(

1)3;

1

1)2;

1

1)1

22332

222

xxxyexxyexxy

xxy

xx

xy

xxy

xxy

xy

xy

xx

Bài tập 8: Hệ số góc của tiếp tuyến (hay còn gọi là độ dốc) của hàm số tại một điểm

cho biết gì? Nêu các cách tính hệ số góc của tiếp tuyến của hàm số tại một điểm.

Áp dụng giải bài toán thực tế sau:

Từ năm 1998 đến năm 2003, doanh thu R ( Triệu đôla/năm) của công ty

Microsoft Corporation được mô hình bởi hàm số:

.138,635,2188,6302945,5630343,174 23 ttttR

Khi t=8 chỉ ra là năm 1998. Doanh thu của công ty đã thay đổi với tốc độ như

thế nào vào thời điểm năm 1999?

Bài tập 9: Ta biết rằng vận tốc trung bình của một vật mà di chuyển trong khoảng thời

gian xác định được đo bởi:

vtb= (quãng đường vật đi được)/ (thời gian để đi được quãng đường trên).

6

= t

s

.

)()(

0

0

tt

tsts

Khi đó vận tốc tức thời của vật tại 1 thời điểm (đặc trưng cho mức độ chuyển

động nhanh hay chậm của vật tại 1 thời điểm đó) là giới hạn hữu hạn:

).(')()(

lim)( 0

0

00

0

tstt

tststv

tt

Gia tốc tức thời của vật tại 1 thời điểm (đặc trưng cho tốc độ biến thiên của vận

tốc) là giới hạn hữu hạn:

).('')('lim)(0

tstvt

vta

t

Áp dụng giải bài toán sau:

Một vật rơi tự do theo phương trình ,2gts trong đó 2/8,9 smg là gia tốc

trọng trường.

a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t=5s)

đến tt , trong các trường hợp .001.0;05.0;1.0 ststst

b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t=5s.

c) Tìm gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t =5s.

Bài tập 10: Khái niệm tỷ lệ biến đổi còn được dùng trong kinh tế học. Các nhà kinh tế

học đã chỉ ra rằng lợi nhuận biên, doanh thu biên, chi phí biên (phản ánh tốc độ biến

thiên của lợi nhuận, doanh thu, chi phí đối với x đơn vị sản phẩm được sản suất hay

được bán ra) . Do đó nó được đo bằng giới hạn của tỷ số giữa sự thay đổi về tổng lợi

nhuận (hay tổng doanh thu, tổng chi phí) và sự thay đổi về tổng số đơn vị sản phẩm

được sản suất hay được bán ra, tức là:

Nếu kí hiệu P = tổng lợi nhuận; R = tổng doanh thu; C = tổng chi phí thì ta có:

P = R - C;

và

Lợi nhuận biên = dx

dP

x

PLim

x

0;

Doanh thu biên = dx

dR

x

RLim

x

0;

Chi phí biên = dx

dC

x

CLim

x

0

Áp dụng làm bài toán sau:

Lợi nhuận thu được từ bán x cái đồng hồ báo thức được mô hình bởi hàm số:

P = xx 100002.0 3 .

a) Tìm lợi nhuận biên cho mức sản suất của 50 chiếc.

b) Lợi nhuận thực tế tăng lên bao nhiêu khi tăng mức sản suất từ 50 đến 51

chiếc. So sánh con số đó với lợi nhuận biên và rút ra kết luận.

Bài tập 1: Tính các đạo hàm riêng cấp 1 :

1) 2 3( , ) sin(2 ) xyf x y x y e ; 2) 22 4( , ) os( ) xf x y c x y e ;

3) 2 4 5( , ) 3x yf x y e x y ; 4)

3 3 4 2( , ) 5x yf x y e x y ;

5) 3 3 2( , ) cos(5 )x yf x y e x ; 6) 2 2 2( , ) cos(5 ) (3 )f x y y x y y ;

7) 2 5( , ) ( 3 )f x y x y ; 8) ( , ) 2 3f x y x y ;

7

9) ;.),(2yxexyxf 10) ;),(

22 yx

xyyxf

;ln),()12;ln),()11 22 yxyxf

yx

yxyxf

);ln(),()14;),()13 2

22yxyxf

yx

xyyxf

15) 2)(

ln),(yx

yxyxf

; 16)

22

4),(

yx

xyyxf

;

17) yx

xyyxf

ln),( ; 18) 22arctan),( yxyxf ;

19) 2)()(),( yxeyxyxf ;

Bài tập 12: Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số :

);ln()6;.)5;)4

;)3;9)2;4)1 2223

yxzeyxezyx

xz

yx

xyzyxzyxz

xy

;2

)9);1ln()8;)()722

223222

xy

yxzyxzyxz

10) z = xyyxf arcsin),( ; 11) yx

eyxf

),( ;

12) yx

xyxf

),( ; 13) )ln(),( 22 yxyxf ;

14) 221),( yxyxf ; 15) )arctan(),( yxyxf ;

Bài tập 13: Tìm vi phân toàn phần của các hàm số hai biến số :

1) )cos(),( xyxyeyxf ; 2) )sin(),( xyxyeyxf ; 3) yxxyxf .ln),( ;

4) 22ln),( yxyxf ; 5) 22

),(yx

eyxf

; 6) yxxeyxf 32sin),( .

III. CÂU HỎI THẢO LUẬN: Chia nhóm thảo luận, dùng ứng dụng của

đạo hàm, mỗi nhóm thực hiện một vấn đề thực tế sau 1. Một người nông dân cần quây 3 chuồng nuôi bò liền nhau có cùng diện tích là

15m2 bằng dây thép gai. Hỏi người nông dân nên quây chuồng có kích thước

như thế nào để vừa đủ yêu cầu về diện tích mỗi chuồng mà tốn ít dây thép nhất?

2. Một người chăn nuôi bò sữa có 200m rào để quây hai chuồng bò bằng nhau

hình chữ nhật. Hỏi người đó nên quây chuồng có kích thước như thế nào để

diện tích mỗi chuồng là lớn nhất?

3. Một công ty vừa xác định tổng doanh thu (đôla) cho một sản phẩm được cho

bởi hàm số sau:

xxxR 52500450 23

8

Trong đó x là số lượng sản phẩm được sản xuất )0( x . Hỏi công ty nên đưa

ra mức sản suất là bao nhiêu sản phẩm để có được doanh thu lớn nhất.

4. Sự lây lan của virut có thể được mô hình bởi:

.120,12 23 tttN

Với N là số lượng người bị nhiễm (hàng trăm người), t là thời gian tính bằng

tuần.

a) Theo anh (chị) dự đoán tối đa có bao nhiêu người bị nhiễm virut trên?

b) Virut sẽ lây lan nhanh nhất vào thời điểm nào?

5. Giá dâu tây trong tuần đầu tiên của vụ thu hoạch là 4$ trên một thùng dâu tây (1

thùng =36 lít). Trong mỗi tuần tiếp theo giá sẽ giảm đi 0,1$ trên mỗi thùng.

Người trồng dâu tây ước tính rằng hiện tại tuần đầu có khoảng 120 thùng dâu

tây trên cánh đồng có thể thu hoạch được và lượng dâu tây đến kì thu hoạch

đang tăng lên với tỷ lệ 4 thùng trên một tuần. Hỏi người trồng dâu tây nên thu

hoạch vào thời điểm nào để nhận được khoản tiền lớn nhất? Thời điểm đó

người ta thu được bao nhiêu thùng dâu tây? Và số tiền lớn nhất mà người trồng

dâu tây có thể nhận được là bao nhiêu?

6. Khi rác thải đổ xuống ao, sự phân hủy của rác thải tiêu hao oxy. Mức oxy có

trong ao khi rác thải bị oxy hóa được mô hình bởi:

.0;1

12

2

t

t

ttO

Với t là thời gian tính bằng tuần.

a) Khi nào mức oxy là thấp nhất? Mức đó là bao nhiêu?

b) Khi nào mức oxy là cao nhất? Mức đó là bao nhiêu?

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

I. CÂU HỎI LÝ THUYẾT:

1. Nêu khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định, cho ví dụ?

2. Nêu các phương pháp tính tích phân (tính trực tiếp, tích phân từng phần, đổi

biến)

3. Nêu định nghĩa và các tính chất của tích phân xác định, cho ví dụ?

4. Nêu các phương pháp tính tích phân xác định và so sánh với các phương pháp

tính tích phân bất định?

5. Nêu các ứng dụng của tích phân xác định trong hình học, vật lý, kinh tế,...?

II. BÀI TẬP CHƯƠNG 3:

9

Bài tập 1: Tính các tích phân

;

12)3;

6

7)2;

1

11)1

3

424

22

dx

x

xdx

xx

xdx

x

xx

;)13()6;

)21(

4)5;2)4 243

22

3 32 dxxxx

xdxdxxx

;

1)9;

43

1)8;

41

3)7

34

3

3

2

2dx

xx

xxdx

xx

x

x

xdx

;54

)12;43

)11;51)1022

4

x

dx

x

dxdxx

dxex

x

xdxxdxe xx 06.02 .5)15;

cos1)14;cos.)13

;

1)18;

4)17;

23)16

2

2

2

2

2dx

x

xdx

x

x

x

dx

x

dx

x

xdxdx

xx

xx32

3

3 sin)21;

sin

cos)20;

cossin

cossin)19

;

ln.)24;

2)23;

1)22

23

3

2 xx

dxdx

e

e

e

dxx

x

x

x

dxxex

x

dxxx

x

dxx

x x ).5()27;

sin

)cos()26;

ln

)1

(ln

)25352

2

22

xdx

xx

4

22

1

11 28)

241

3

x

xdx 29) xdxe x cos.2

30)

dx

xx

x

43

1

3

2

31) dxex x06.0.5

10

Bài tập 2: Tính các tích phân:

.1.

)24;1

)23;cos1

2cos2sin)22

;cos1

sin)21;

ln1)20;)19

.1

12)18;

cos1

sin)17;

ln)16

;32

)15;cossin

cossin)14;ln)13

;cos.)12;)11;1

)10

;2sin

)9;cos1

)8;sin1

cos)7

;2

24)6;

1

2)5;ln)4

;)3;1

3)2;

1)1

2

1

21

0

32

0

3

2

0

3

12

0

22

1

0

3

22

01

3

0

12

2

03

1

2

2

0

1

0

1

0

3

4

2

0

2

0

12

10

2

1

0

3

2

1

3

1

231

0

21

0

2

x

xexdx

e

xxedx

x

xx

dxx

xx

xx

dxdxxa

dxx

xxdx

x

xxdx

x

xxxx

x

dxdx

xx

xxxdxx

xdxedxee

e

x

xdx

x

dx

x

dx

x

xdx

dxxx

xdx

x

xdxx

dxx

xxxdx

xedx

xx

x

x

x

ea

e

e

x

xx

x

e

e

x

25)

1

02

2

1

3dx

xxe x ; 26) dx

xx

x

12

102 2

14; 27)

2/

0sin1

cos

dxx

x

28)

2/

03 cossin

cossin

dxxx

xx; 29)

2

0

cos

xdxex ; 30)

e

dxxx

dx

12ln1

31)

1

0

dxee

e

xx

x

; 32)

1

0 1dx

x

x 33)

e

xdxx1

2 ln ;

34)

1

03

2

1dx

x

x

11

Bài tập 3: Tính các tích phân suy rộng:

0

2

222 2

04

2

0232

22

.)6;1

)5;1

)4

;1

1)3;

)1(

arctan)2;

1sin.

1)1

dxexxx

dx

xx

dx

dxx

xdx

x

xdx

xx

x

a

Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu )(xf liên tục trên [-a; a] thì

a) 0)(

a

a

dxxf , nếu )(xf là hàm lẻ;

b)

aa

a

dxxfdxxf

0

)(2)( , nếu )(xf là hàm chẵn.

Bài tập 4: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ;4xy trục

hoành và hai đường thẳng .2;1 xx

Bài tập 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 432 xxy và trục

Ox.

Bài tập 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 22 xy và .xy

III. CÂU HỎI THẢO LUẬN: Chia nhóm thảo luận, dùng ứng dụng của

tích phân xác định, mỗi nhóm thực hiện một vấn đề thực tế sau

1. Tốc độ biến thiên của số lượng vi khuẩn theo một đơn vị thời gian t được đo

bởi:

;25.01

3000

tdt

dP

Trong đó, t là thời gian tính bằng đơn vị ngày. Khi t = 0 thì số vi khuẩn p =

1000.

a) Viết phương trình mô tả số lượng vi khuẩn theo thời gian t.

b) Số vi khuẩn là bao nhiêu sau 3 ngày.

c) Sau bao lâu số vi khuẩn sẽ lên đến 12 000 con.

2. Doanh thu biên cho việc bán một sản phẩm được mô hình bởi:

,1

10002,050

xx

dx

dR

Với x là số lượng hàng hóa đã bán.

a) Tìm hàm doanh thu R biết khi .00 Rx .

b) Tìm tổng doanh thu khi bán được 1500 sản phẩm.

c) Phải bán được bao nhiêu sản phẩm để tổng doanh thu đạt 60230 đôla.

3. Mức lương trung bình cho một người quản lý ( S đôla) ở Mỹ được thay đổi với

tỷ lệ:

;.7,2621 07,0 tedt

dS

12

Với t = 5 tương ứng với năm 1995. Năm 2001, mức lương trung bình cho người

quản lý đã là 118,496 đôla.

a) Tìm hàm số mô tả mức lương trung bình của người quản lý mỗi năm.

b) Năm 1999, mức lương trung bình của người quản lý là bao nhiêu?

4. Do sự cung cấp thiếu oxy nên cá hồi trong hồ đang bị chết dần. Tỷ lệ thay đổi

của số lượng cá hồi trong hồ được đo bởi:

20.125

t

edt

dP

.

Với t là thời gian tính bằng ngày. Khi t =0 thì số cá hồi trong hồ là 2500.

a) Viết phương trình mô tả số lượng cá hồi theo thời gian t.

b) Số lượng cá hồi còn là bao nhiêu sau 15 ngày.

c) Sau bao lâu thì toàn bộ số cá hồi bị chết.

5. Một vườn ươm cây xanh thường bán một loại cây bụi sau 5 năm trồng và chăm

sóc. Tỷ lệ phát triển của cây sau 5 năm được đo bởi:

16,17

6,17

2

t

t

dt

dh,

Với t là thời gian tính bằng năm, h là chiều cao của cây tính bằng cm. Biết mầm

cây t rước khi đem ươm cao 6 cm.

a) Tìm hàm số mô tả chiều cao của cây.

b) Khi cây được đem bán thì chúng cao bao nhiêu?

6. Lợi nhuận biên cho một loại sản phẩm được mô hình bởi: .2,120005,0 xdx

dP

a) Lợi nhuận tăng lên bao nhiêu khi bán hàng tăng từ 100 đến 101 đơn vị sản

phẩm.

b) Lợi nhuận tăng lên bao nhiêu khi bán hàng tăng từ 100 đến 110 đơn vị sản

phẩm.

7. Một tổ chức bảo tồn động vật hoang dã đã công bố rằng có 100 động vật của

một loài động vật nguy hiểm được đưa vào khu vực bảo tồn. Tổ chức này tin

tưởng rằng số lượng động vật của loài sẽ tăng lên với tỷ lệ:

,).91(

.1252125,0

125,0

t

t

e

e

dt

dN

Với N là số động vật, t là thời gian tính bằng tháng. Biết tại t=0 thì N

=100, hãy tìm số động vật của loài sau thời gian 2 năm.

8. Tổng chi phí mua và bảo dưỡng một bộ phận của một thiết bị trong x năm

được mô hình bởi hàm

số

Tìm tổng chi phí sau:

,.325.50000

4

1

x

dttC

13

a) 1 năm;

b) 5 năm;

9. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc

)./(3)( 22 smttta Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10

(s) kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

I. CÂU HỎI LÝ THUYẾT: 1. Nêu các khái niệm phương trình vi phân, nghiệm của phương trình vi

phân? 2. Nêu khái niệm phương trình vi phân cấp 1 và dạng tổng quát của một

số phương trình vi phân với biến số phân ly, đẳng cấp, tuyến tính cấp

1? 3. Nêu khái niệm phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 và các bước

giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số không đổi?

II. BÀI TẬP CHƯƠNG 4:

Bài tập 1 : Giải các phương trình vi phân cấp 1

).1()8;0')4()7

;1)1'()6;1

)5

;3

2)4;0'..)3

;02)2;0)1()1

2

2

2

2

2

yxdx

dyyyx

yeydx

dyx

y

x

dx

dyyyex

xdxdyedyyxdx

x

x

y

;1')1()20;5')19

;3)18;ln')17

;2')16;43)15

);'()14;')13

;')1(1)12;')11

;03'2)10;2')9

25

32

13

23

232

2

xyyxeyy

eydx

dyxxyxy

eyyxxx

y

dx

dy

yyxxyxyxy

yxyxeyxy

yyxxxyxy

x

x

x

x

14

;1

1)24;

5

43)23

;3

132)22;)21

yx

yx

dx

dy

yx

yx

dx

dy

yx

yx

dx

dy

yx

yx

dx

dy

Bài tập 2: Tìm nghiệm riêng (tích phân riêng) của phương trình vi phân

;4)0(;0')1 yeyy x

;4)1(;0')2 yyyx

;0)0(;)1()7

;1)1(;0)2()1(

)6

;2

)(;lnln

')5

;0)1(;3')4

;0)0(;1')1()3

22

2

4

2

ydxedyye

yxy

dy

yx

dx

eeyxx

xx

yy

yxyxy

yxyyx

xx

Bài tập 3 : Giải các phương trình vi phân cấp 2

..2''')14;)61616(9'6'')13

;16'8'')12;18'3'')11

;4'4'')10;2411'10'')9

;)1(4'')8;29'6'')7

;.913'4'')6;.124'2'')5

;'3'')4;6''')3

;.6'5'')2;4612'4'')1

22

43

2

3

22

32

2

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

x

exeyyyexxyyy

eyyyxeyy

eyyyeyyy

exyyeyyy

exyyyexyyy

eyyeyyy

exyyyxxyy

Bài tập 4 : Tìm nghiệm riêng (tích phân riêng) của phương trình vi phân

.4)0(';1)0(;)1315(15'2'')3

;9)0(';3)0(;3'4'')2

;6)0(';1)0(;.6'7'')1

2

5

yyexyyy

yyeyyy

yyexyyy

x

x

x