Matematika a mszaki fiskolk szmra

Scharnitzkv Viktor

Vektorgeometria s lineris algebra

A mszaki fiskolk matematika-tanknyve az albbi hrom ktetbl ll:

REIMANN JZSEF-TTH JULIANNA

Valsznsgszmts s matematikai statisztika

SCHARNITZKY VIKTOR Vektorgeometria s lineris algebra

KOVCS JZSEF-TAKCS GBOR-TAKCS MIKLS

Analzis

Matematika a mszaki fiskolk szmra

Seharnitzky Viktor

Vektorgeometria s lineris algebra

Msodik, javtott, bvtett kiads

Tanknyvkiad, Budapest, 1989

FISKOLAI TANKNYV

Kszlt a mveldsi miniszter rendeletre

Brltk:

Dr. Kiss Jen fiskolai adjunktus Lengyel Lszl fiskolai adjunktus

Dr. Rpiman Istvnn fiskolai docens

A kteteket szerkesztette:

Olh Judit

ISBN 963 18 2059 9

Dr. Seharnitzky Viktor, 1985

TARTALOMJEGYZK

1. VEKTORGEOMETRIA 9

1.1 Alapfogalmak, alapmveletek 9 1.1.1 A vektor fogalma 9 1.1.2 Vektorok sszeadsa 10 1.1.3 Vektorok kivonsa 12 1.1.4 Vektorok szorzsa skalrral 13 1.1.5 Vektorok felbontsa 14 1.1.6 Vektorok lineris fggetlensge, lineris fggsge 16 1.1.7 Bzis, a vektorok koordinti 17 1.1.8 Mveletek koordintikkal adott vektorokkal 19

1.2 Vektorok szorzsa 22 1.2.1 Kt vektor skalris szorzata 22 1.2.2 Kt vektor vektorilis szorzata 28 1.2.3 Hrom vektor vegyes szorzata 33

1.3 Vektorok geometriai alkalmazsa 36 1.3.1 Az egyenes 36 1.3.2 A sk 37 1.3.3 Kidolgozott pldk az elz kt ponthoz 38

1.4 ^-dimenzis vektorok 43

2. LINERIS ALGEBRA 45

2.1 Mtrixok s determinnsok 45 2.1.1 A mtrix fogalma 45 2.1.2 A mtrix transzponltja. A minormtrix 47 2.1.3 Specilis mtrixok 49 2.1.4 Az H-edrend determinns 53 2.1.5 A determinnsok nhny tulajdonsga 54

2.2 Mveletek mtrixokkal 60 2.2.1 Mtrixok egyenlsge 60 2.2.2 Mtrixok sszeadsa, kivonsa 60

5

2.2.3 Mtrix szorzsa skalrral 61 2.2.4 Mtrixok lineris kombincija 61 2.2.5 Mtrix szorzsa mtrixszal, skalrszorzat, diadikus szorzat 63 2.2.6 Mtrixok hatvnyozsa 72 2.2.7 A ngyzetes mtrix determinnsa 74 2.2.8 A mtrix rangja 75 2.2.9 A ngyzetes mtrix adjungltja 77 2.2.10 A ngyzetes mtrix inverze . 80

2.3 A lineris tr 82 2.3.1 A lineris tr fogalma 82 2.3.2 A lineris fggetlensg 83 2.3.3 A lineris tr dimenzija, bzisa 84 2.3.4 Az elemi bzistranszformcik 86 2.3.5 A mtrix rangjnak meghatrozsa elemi bzistranszformcik-

kal 91 2.3.6 A mtrix inverznek meghatrozsa elemi bzistranszform-

cikkal 93 2.4 A mtrixok nhny alkalmazsa 98

2.4.1 Termelsi sszefggsek lersa mtrixokkal 98 2.4.2 Lineris egyenletrendszerek megoldsa 107 2.4.3 Nhny lineris transzformci 119 2.4.4 Sajtrtk-szmts 127

3. KOMPLEX SZMOK 131

3.1 A komplex szmok bevezetse 131 3.2 Mveletek algebrai alak komplex szmokkal 133

3.2.1 A komplex szmok algebrai alakja, szemlltetse 133 3.2.2 Algebrai alak komplex szmok sszevonsa 136 3.2.3 Algebrai alak komplex szmok szorzsa, osztsa, hatvnyozsa 137

3.3 Mveletek trigonometrikus alak komplex szmokkal 140 3.3.1 A komplex szmok trigonometrikus alakja 140 3.3.2 Trigonometrikus alak komplex szmok szorzsa, hatvnyozsa,

osztsa 143 3.3.3 Gykvons trigonometrikus alak komplex szmokbl 147 3.3.4 Egysggykk 150

3.4 Mveletek exponencilis alak komplex szmokkal 152 3.4.1 Az Euler-fle sszefggs 152 3.4.2 A komplex szmok exponencilis alakja 152 3.4.3 Exponencilis alak komplex szmok szorzsa, hatvnyozsa, osz-

tsa; gykvons 154

6

4. EGYENLETEK KZELT MEGOLDSA 158

4.1 Az egyenletek megoldsrl 158 4.2 A Horner-fle eljrs 162 4.3 A hrmdszer 168 4.4 Az rintmdszer 171 4.5 Az iterci mdszere 173

FGGELK VEKTORANALZIS

1. EGYPARAMTERES VEKTOR-SKALR-FGGVNYEK, TRGRBK

1.1 Az egy skalris vltoztl fgg vektorfggvny 179 1.2 Derivltfggvny 181 1.3 A grbe ksr tridernek lei s skjai 184 1.4 A grbe vhossza 188 1.5 A vektor-skalr-fggvny szgsebessge 189 1.6 A grblet 191 1.7 A torzi 193 1.8 Az vhossz mint paramter 196 1.9 A trgrbe termszetes egyenlete 199

2. KTPARAMTERES VEKTOR-SKALR-FGGVNYEK, FELLETEK

2.1 Kt skalris vltoztl fgg vektorfggvny 201 2.2 A fellet rintskja 204 2.3 A fellet felszne 206

3. VEKTOR-VEKTOR-FGGVNYEK (VEKTORMEZK)

3.1 A hrom skalris vltoztl (vektortl) fgg vektorfggvny 212 3.2 Vektor-vektor-fggvny differencilhatsga, divergencija, rotcija . . 214

4. SKALR-VEKTOR-FGGVNYEK (SKALRMEZK)

4.1 A hrom skalris vltoztl (vektortl) fgg , skalrfggvny 217 4.2 A skalrmez gradiense 218 4.3 A nabla opertor 219

7

5. INTEGRLOK

5.1 Vektor-vektor-fggvny vonalmenti integrlja 222 5.2 A vektor-vektor-fggvny potencilfggvnye 227 5.3 Felszni integrl 231 5.4 Felleti integrl 233 5.5 Trfogati integrl 239 5.6 Stokes ttele 240 5.7 Vektorpotencil 245 5.8 Gauss-Osztrogradszkij-ttel 247 5.9 Green-ttelek 250

IRODALOMJEGYZK 252 MATEMATIKATRTNETI ZELT 253 NV- S TRGYMUTAT 257

1. VEKTORGEOMETRIA

1.1 Alapfogalmak, alapmveletek

1.1.1 A vektor fogalma A termszettudomnyok trtnetben elszr a fizikban tallkozunk vektorokkal.

Az egyes fizikai fogalmak lersra ugyanis nem mindig elegend egyetlen szmadat. Ha azt krdezzk: mennyi a leveg hmrsklete, srsge egy pontban, vagy mennyi egy gp ltal elvgzett munka, arra egy-egy (mrtkegysggel elltott) szmadat tkletes vlaszt ad. Egszen ms a helyzet akkor, ha egy mozg test sebessgt akarjuk meghatrozni egy pontban. Nem elegend ugyanis azt mondani, hogy a test sebessge a krdezett pontban 30 km/ra, hanem meg kell adni azt is, hogy az adott pillanatban a test merre halad. Ezt az irnyt egy, a ponton thalad egyenessel s azon egy haladsi irnnyal, rviden: irnytott egyenessel (vagy szakasszal) adhatjuk meg. Mg teht pl. a hmrskletet egyetlen szmadat (skalr) jellemzi, addig pl. a sebessg lersra egy jfajta fogalom, a vektor bevezetse vlik szksgess.

DEFINCI. AZ irnytott szakaszokat vektoroknak nevezzk.

Egy vektort akkor tekintnk teht adottnak, ha ismerjk hosszt, irnyt s irny-tst. Kt vektor azonos irny, ha van olyan egyenes, amellyel mindkett prhuza-mos. Az irnytott szakasz kezd-, illetve vgpontjt a vektor kezd-, illetve vgpont-jnak nevezzk. A vektorokat kzrsban alhzott latin kisbetkkel, nyomtatsban flkvr ll kisbetkkel szoks jellni, pldul a, b, r, v, w, de hasznlni fogjuk az A kezdpont s B vgpont vektor jellsre az AB jelet is.

Rajzban a vektorokat nyllal brzoljuk, s a nyl hegyt az irnytott szakasz vgpontjhoz rajzoljuk.

DEFINCI. A v vektor hosszt a v vektor abszolt rtknek (nagysgnak) nevezzk, s |v|-vel vagy i;-vel jelljk.

DEFINCI. Azt a vektort, amelynek az abszolt rtke nulla (kezd- s vgpont-ja azonos), nullvektornak vagy zrusvektornak nevezzk, s 0-val jelljk.

A zrusvektor irnya megllapods szerint tetszleges.

DEFINCI. Azt a vektort, amelynek a hossza egysgnyi, egysgvektornak nevez-zk.

9

A v vektorral azonos irny s irnyts egysgvektort ev-vel vagy v0-val szoks

DEFINCI. Kt vektort: az A s C vektort akkor tekintnk egyenlnek, ha van olyan eltols, amely az A pontot a D pontba, a B pontot pedig a C pont-ba viszi t (1. bra).

1. bra

A vektorok egyenlsge reflexv (a = a), szimmetrikus (ha a = b, akkor b = a) s tranzitv (ha a = b s b^c , akkor a = c) relci.

Ha egy rgztett kezdpontbl felmrjk a sk minden vektort, akkor a vektorok s a sk pontjai kztt klcsnsen egyrtelm megfeleltetst ltestettnk. A tovb-biakban a skra mint ponthalmazra s a skbeli vektorok halmazra egyarnt az R 2

jellst hasznljuk. Ennek mintjra egy adott egyenesen fekv vektorokat a szm-egyenes pontjainak megfeleltetve a vals szmok halmazt R^gyel vagy rviden R-rel is szoks jellni. A trbeli vektorokkal kapcsolatban hasonl rtelemben hasznljuk az R 3 jellst.

A vektorokat - ppen szemlletes jelentsk miatt - a matematikban elszr geometriai problmk megoldsra hasznltk. A vektor fogalmnak absztrakcija azonban lehetv tette, hogy e fogalom behatoljon a matematika ms terleteire is, gyhogy a vektor ma mr a matematika egyik legfontosabb alapfogalmv s gyak-ran alkalmazott segdeszkzv vlt. ^

1.1.2 Vektorok sszeadsa

A vektorok sszegezsnek mdjt a termszeti jelensgek szinte kszen adjk, csak le kell olvasnunk s matematikailag meg kell fogalmaznunk az eredmnyt. Ismeretes pldul, hogy kt egyms utn elvgzett egyenes vonal elmozduls eredmnye ismt

egy elmozduls, amelyet az els elmozduls kezdpontja s a msodik elmozduls vgpontja egyrtelmen megha-troz (2. bra).

Ennek alapjn kt vektor sszegt a kvetkez mdon hatrozzuk meg:

ered elmozduls ^ Legyen adott kt a, b GR3 vektor. Toljuk el a b vektort 2. bra gy, hogy a b kezdpontja az a vgpontjba kerljn!

10

DEFINCI. Az a s b vektorok sszegn azt az a + b-vel jellt vektort rtjk, amely az a vektor kezdpontjbl a b vektor vgpontjba mutat (3. bra).

4. bra

Az a s b vektor szerept felcserlve, az a + b vektorral egyenl vektorhoz jutunk (4. bra). Ez azt jelenti, hogy kt vektor sszege a paralelogramma-szabllyal is meghatrozhat, vagyis kt kzs kezdpont vektor sszegt gy hatrozhatjuk meg, hogy a kt vektor vgpontjn t egy-egy, a msik vektorral prhuzamos egyenest hzva paralelogrammt szerkesztnk, s a kt vektor sszege az a vektor, amelynek kezdpontja a kt adott vektor kzs kezdpontja, vgpontja pedig a kapott parale-logrammnak az elbbi kezdponttal szemben fekv cscspontja.

Az sszeadand vektorokat szoks sszetevknek, az sszegvektort erednek is nevezni.

Az sszeads mvelete kettnl tbb vektorra is rtelmezhe-t. Legyenek pldul adottak az a, b, c, d, e e R3 vektorok. Toljuk el a trben a vektorokat gy, hogy a soron kvetkez vektor kezdpontja a sorban eltte ll vektor vgpontjra illeszkedjk (5. bra)\ Az a + b + c + d + e sszegvektor az a vektor, amely az els sszeadand vektor kezdpontjbl az utols sszeadand vektor vgpontjba mutat. Ezt az eljrst poligonszablynak nevezzk.

A vektorok sszeadsra az albbi tulajdonsgok rvnye-sek:

1. Tetszleges a, b e R3 vektorokra

a + b = b + a,

vagyis az sszeads kommutatv. 2. Minden a, b, c e R3 vektorra 5. bra

(a + b) + c = a + (b + c),

vagyis az sszeads asszociatv. 3. Tetszleges a e R3 vektor esetn

a + 0 = a.

11

4. Az a vektor ellentettjnek nevezzk, s - a-val jelljk azt a vektort, amelyre

a + ( - a ) = 0.

Az a vektor ellentettje az a vektorral azonos nagysg s irny, de ellenttes irnyt-s vektor.

Vegyk szre, hogy a vektorok sszeadsa a vals szmok sszeadsra emlkezte-t tulajdonsgokkal rendelkezik.

Tanulmnyaink sorn ltni fogjuk, hogy egszen klnbz jelleg mennyisgekre is vonatkozhatnak teljesen hasonl mveleti szablyok. Ezrt clszer bevezetni olyan algebrai fogalmat, amely e mveletek legfontosabb tulajdonsgait rgzti.

DEFINCI. A G halmazt csoportnak nevezzk, ha teljesl az albbi ngy axima: 1. G minden a, b rendezett elemprjhoz egyrtelmen hozz van rendelve

G-nek egy a* b = c eleme. (Ezt a hozzrendelst csoportmveletnek nevezzk.) 2. G mindegyik a, b, c elemhrmasra teljesl az (a* b)* c = a* (b* c)

asszociatv trvny. 3. Ltezik G-nek olyan e (n. neutrlis vagy zrus-) eleme, amellyel G brme-

lyik a elemre

a*e = e*a = a.

4. G mindegyik a elemnek van a"1-gyei jellt n. ktoldali inverz eleme, amelyre

a * a'1 = a'1 * a = e.

Ha a vektorok esetben a csoportmveletnek az sszeadst vlasztjuk, akkor a vektorok additv csoportot alkotnak, amelyben a neutrlis elem a zrusvektor, az inverz elem az ellentett vektor. Mivel a vektorok sszeadsra a kommutatv trvny is rvnyes, ezrt a vektorok halmaza egy kommutatv vagy Abel-fle csoport.

1.1.3 Vektorok kivonsa DEFINCI. Az a, b E R3 vektorok (a - b)-vel jellt klnbsgn azt a vektort rtjk, amelyet a b vektorhoz hozzadva, sszegknt az a vektort kapjuk.

12

A 6. brn megmutatjuk az a - b klnbsgvek-tor szerkesztst. A kzs kezdpontba eltolt (ha szksges) a s b vektor klnbsge az az a - b vektor, amely a b vektor vgpontjbl az a vektor vgpontjba mutat. A kivons mvelete kiterjeszt-het tbb vektorra is. A vektorok kivonsa nem kommutatv mvelet.

6. bra

1.1.4 Vektor szorzsa skalrral A gyakorlatban sokszor tapasztaljuk, hogy pldul egy mozg test sebessge a

felre cskken, vagy pldul egy erhats hromszorosra n, s - helyesen - gy rzkeljk, hogy a sebessg sebessg, az er er maradt. Ez azt mutatja, hogy egy vektornak egy skalrral val szorzata vektor. Ezt a kzenfekv tnyt kell most matematikailag megfogalmaznunk.

DEFINCI. Adott a vektor (a e R3) s a X vals szm (X e R) Xa szorzatn azt a vektort rtjk, amelynek hossza \X\ |a|, irnya megegyezik a irnyval, irny-tsa pedig X eljeltl fgg: azonos, illetve ellenttes a irnytsval, ha X ^ 0 , illetve X 1) vagy a vektor zsugortst (ha 0 < \X\ < 1) jelenti, amit nega-tv X esetn mg egy a vektor kezdpontjra trtn tkrzs is kvet.

Megemltjk, hogy a a vektor a ( - l)a alakban is felrhat.

A defincibl nyilvnval, hogy brmely a vektor elllthat |a| ea alakban, ahol ea az a-val egyirny (azonos irny s irnyts) egysgvektor; tovbb az, hogy az a s b vektor akkor s csak akkor fekszik egy egyenesen, vagy eltols rvn egy egyenesre fektethet, ha van olyan vals szm, amelyre a = Xb.

A vektornak skalrral val szorzsa defincijt tgondolva az albbi sszefgg-sek lthatk be: Legyen a, b e R3, X, fi e R. Ekkor

7. bra

13

1. X(ju) 2. A(a + b) 3. (A + /i)a

= (A//)a (asszociativits), Aa + Ab (vektorban val disztributivits), = /la + //a (skalrban val disztributivits trvnye).

1.1.5 Vektorok felbontsa Vektorokkal kapcsolatos termszeti trvnyek megfogalmazsnl gyakran szk-

sges egy adott vektornak adott irny sszetevkre (komponensekre) val felbon-tsa.

Az egyszersg kedvrt tekintsnk f most skbeli vektorokat, azaz legyen

/ a, b 6 R2 s A, fi e R. Ekkor a c = Aa+//b 3 / vektor knnyen megszerkeszthet. (A 8.

1 brn X = - , // = 2.) Krds most mr az,

hogy fordtva: megadva a c, tovbb az a s b nem prhuzamos vektorokat, fel tud-juk-e bontani a c vektort a s b irny sszetevkre, s ha igen, milyen felttelek mellett? A vlasz igenl, azaz rvnyes a kvetkez ttel:

8. bra

TTEL. Ha a, b, v e R2 s a nem prhuzamos b-vel, akkor mindig tallhatk s csak egyflekppen tallhatk olyan a s /? vals szmok, amelyekre

v = aa+/?b.

Az a felttel, hogy a s b nem prhuzamosak, magban foglalja azt is, hogy a s b egyike sem a zrusvektor.

Bizonyts. Elszr beltjuk, hogy a felbonts lehetsges, utna azt, hogy a felbon-ts egyrtelm.

a) A felbonts lehetsges. Ezt azltal ltjuk be, hogy mutatunk egy konkrt felbon-tst. Hzzunk az adott v vektor A kezdpontjn St az a vektorral, B vgpontjn t a b vektorral prhuzamos egyenest (9. bra)\ Minthogy e kt egyenes nem prhuza-mos, egy C pontban metszik egymst. Mivel az a s b vektorok egyike sem a zrus vektor, ezrt az a-val prhuzamos A d vektor aa, a b-vel prhuzamos CZ? vektor pb alakban rhat fel. gy

y = A+CB = aa+jffb,

vagyis van a ttelnek megfelel a s fi.

14

A OLQ VC

9. bra

b) Be kell mg ltnunk, hogy a s /? csak egyflekppen vlaszthat meg. Ha (az lltssal ellenttben) az a s P mellett az a* s p* is megfelelne a kvetelmnyeknek, s az A pontbl az a*a vektort, majd ennek vgpontjbl pedig a /?*b vektort felrajzoljuk, akkor ennek vgpontja a v vektor B vgpontjba kell kerljn. Minthogy az a*a az a-val, P*b a b-vel prhuzamos, s az a*a kezdpontja A, /?*b vgpontja B, ezrt a*a az aa egyenesre, /?*b a pb egyenesre esik; ebbl kvetkezik, hogy a*a s P*b csatlakozsi pontja csak a C pont lehet. Ezzel belttuk, hogy a = a*, P=/?*, vagyis a felbonts egyrtelm.

Hasonl gondolatmenettel lthat be, hogy ha a, b, c, v e R 3 s a, b, c nincsenek egy skban, akkor mindig tallhatk s csak egyflekppen tallhatk olyan a, /?, y vals szmok, amelyekre

v = aa+jffb + yc.

A felbontst a 10. bra szemllteti.

10. bra

15

1.1.6 Vektorok lineris fggetlensge, lineris fggsge

Az elz pontban bizonytott ttelbl kvetkezik, hogy ha a, b e R2 vektorok nem prhuzamosak, akkor az

aa-f/?b = 0

egyenlsg csak gy kvetkezhet be, hogy a = 0 s /?=0.

DEFINCI. Az a, b e R2 vektorokat linerisan fggetleneknek nevezzk, ha az

oca+b = 0

egyenlsg csak gy teljesl, hogy a = 0 s /?=0, s linerisan fggknek, ha az egyenlsg gy ll fenn, hogy az a s /? vals szmok legalbb egyike nem nulla.

Kt skbeli vektor lineris fggsge a kt vektor prhuzamossgt jelenti. Legyen ugyanis pldul a^O. Ekkor az aa+/?b = 0 egyenletbl

a

s ez ppen azt jelenti, hogy a s b prhuzamosak. Az elzekhez hasonl megllaptsokat trbeli vektorokra is tehetnk:

DEFINCI. AZ a, b, c e R3 vektorokat linerisan fggetleneknek nevezzk, ha az

aa+b + yc = 0

egyenlsg csak akkor teljesl, ha a = / ? = y = 0.

Hogy linerisan fggetlen vektorok lteznek egyltalban, azt a tapasztalat iga-zolja.

DEFINCI. AZ a, b, c e R3 vektorokat linerisan fggknek nevezzk, ha az

a a + p b + yc = 0

egyenlsg gy teljesl, hogy az a, fi, y vals szmok legalbb egyike nem nulla.

16

Az a, b, c G R3 vektorok lineris fggsge azt jelenti, hogy a hrom vektor egy skban fekszik. Ugyanis ha pl. a^O, akkor az elbbi egyenlsgbl

a = b c, a a

s ez azt jelenti, hogy az a vektor a b s c vektorokbl azok nyjtsa (zsugortsa), majd sszeadsa (kivonsa) eredmnyekppen kaphat meg, vagyis az a vektor a b s c vektorok skjban van. Az elz egyenlet egyben azt is mutatja, hogy az a vektor kifejezhet a b s c vektorokkal.

DEFINCI. AZ

aa+/?b + yc

kifejezst az a, b, c vektorok lineris kombincijnak nevezzk. Itt a, /?, y vals szmok.

1.1.7 Bzis, a vektorok koordinti Az 1.1.5 rszben lttuk, hogy brmely v e R 3 vektor egyrtelmen felbonthat a

nem egy skban fekv a, b, c e R3 vektorok irnyba es sszetevkre. Ezt gy is mondhatjuk, hogy v egyrtelmen felrhat a linerisan fggetlen a, b, c vektorok lineris kombincijaknt. Ez azt jelenti, hogy hrom, linerisan fggetlen (egybknt azonban tetszlegesen vlasztott) vektor segtsgvel a tr valamennyi vektora kifejez-het.

DEFINCI. A trbeli vektorok egy linerisan fggetlen vektorhrmast bzisnak nevezzk.

Br elvileg brmely linerisan fggetlen vektorhrmas vlaszthat bzisnak, szm-tsaink egyszerstse rdekben mgis ltalban specilis bzist vlasztunk.

Tekintsnk hrom, egy pontbl kiindul, pronknt egymsra merleges egysgvek-tort, jellje ket i, j, k, s alkossanak ebben a sorrendben jobbsodrs rendszert. Ez azt jelenti, hogy ha a k vektor vgpontjbl az i s j vektorok skjra tekintnk, akkor az i-t a j-be pozitv (az ra jrsval ellenkez) irny forgats viszi t. (A jobbsodr-s rendszer alapvektorai gy helyezkednek el a trben, mint a jobb keznk kifesztett hvelyk-, mutat- s kzpsujja.) Vlasszuk az i, j, k vektorokat bzisunk alapvekto-rainak! Ezt megtehetjk, mert linerisan fggetlenek, nem esnek sem egy egyenesbe, sem egy skba. Az gy vlasztott bzisunk ortogonlis, mert az alapvektorok pron-knt merlegesek egymsra, normlt, mert alapvektorai egysgvektorok. E kt tulaj-donsgot az ortonormlt jelz fejezi ki rviden. Az ilyen bzis alapvektorainak jellsre ltalban az e l 5 e2, e3 szimblumokat hasznljuk.

17

Illessznk bzisunk i, j, k alapvektoraira egy-egy egyenest! Ez a hrom egyenes legyen koordinta-rendszernk x, y, z tengelye, metszspontjuk az O orig.

A tr brmely v vektora egyrtelmen felbonthat a bzis alapvektorai irnyba es sszetevkre. Legyen a felbonts

y = xi + y\ + zk

alak (11. bra).

z

zk

V k

xi y i j / /

< 11. bra

DEFINCI. AZ X, y, z vals szmok a V vektor koordinti, az xi, yj, zk vektorok a v vektor komponensei (az i, j, k rendszerben).

A v vektor koordintit egy rendezett szmhrmassal a

\(x; y; z)

alakban szoktuk feljegyezni. Elterjedt az a = j + j + ^k, a(ax; a2; a3) jells is. A koordintk elbbi, n. sorvektoros rsmdja mellett gyakran clszer az n.

oszlopvektoros alak hasznlata:

X v = y , a = a2

z _3_

Az ortonormlt koordinta-rendszer bevezetse R. Descartes nevhez fzdik. Megemltjk, hogy a v e R 3 vektorok s a tr pontjai kztt fennll klcsnsen

18

egyrtelm megfeleltets miatt a v vektor V vgpontjnak Descartes-koordinti azonosak a v vektor i, j, k bzisra vonatkoz koordintival. A v vektort a V pont helyvektornak is szoktk nevezni.

Megjegyezzk, hogy bizonyos esetekben ms bzis s koordinta-rendszer vlasz-tsa lehet a clszerbb. Pldul a geodziban balsodrs ortonormlt rendszer vlasztsa a pontok egyszerbb lerst eredmnyezheti, vagy egy-egy alakzat egyen-lete alkalmas koordinta-rendszerben egyszerbb, mint ortonormlt rendszerben.

1.1.8 Mveletek koordintikkal adott vektorokkal Az albbiakban megmutatjuk, hogy koordintikkal megadott vektorokkal ho-

gyan kell az eddig megismert fogalmakat rtelmezni s a mveleteket elvgezni. Kt vektor akkor s csak akkor egyenl egymssal, ha megfelel koordintik

egyenlk. sszevons. Tekintsk az a(AA; a2\ a3), b(bx; h2\ b3), ah bt e R, / = i, 2, 3, vektoro-

kat. A megadott koordintkkal

a = a1 i4-a2 j + 3k, b = + +

A vektor skalrral val szorzsnak disztributv tulajdonsgt felhasznlva:

a + b = (fl1i + a j + fl3k) + (ft1i + ftJ + &3k) = (a1 + b)i + (a2 + b2)j + (a3 + b3)k,

' s hasonl mdon

a - b = (a1-b1)i + (a2-b2)j + (a3-b3)k.

Ezekrl a + b s a b koordinti mr leolvashatk: kt vektor sszegnek (klnbs-gnek) a koordinti a kt vektor megfelel koordintinak az sszegvel (klnbs-gvel) egyenlk.

Vektornak skalrral val szorzsa. Tekintsk az elbbi a(a t; a2, a3) vektort s a X vals szmot! Ekkor a = at\ + a^ + a3k s a vektornak skalrral val szorzsa disztri-butv trvnyt felhasznlva

Xa = X{a1\ + a2\ + a3k) = Xai + ?M2} + Xa3k.

Ebbl /la koordinti leolvashatk: egy vektort gy szorzunk meg egy vals szmmal, hogy a vektor valamennyi koordintjt megszorozzuk ezzel a szmmal.

Vektorok lineris kombincija. Az elz kt bekezdsben lertak alapjn pldul ha a, b, c e R3 s a, y e R, akkor a

v = aa + /?b + yc

19

vektor koordinti

\(aa 4- fb + yc1; ota2 + fib2 + yc2; aa3 + fib3 + yc3).

KIDOLGOZOTT PLDK

1. Plda. Bizonytsuk be, hogy a paralelogramma tli felezik egymst! Megolds. Tekintsk az a, b e R 2 vektorok ltal

kifesztett paralelogrammt (12. bra). A paralelog-ramma egyik tlja a + b, a msik a - b . Az a s b vektorok kzs kezdpontjbl az tlk M metszs-pontjba mutat vektor egyrszt A(a + b), msrszt b + ju(a - b) alak, ahol a A s ju vals skalrok egyel-re ismeretlenek. Mivel azonban a kt vektor egyenl kell hogy legyen, ezrt

12. bra A(a + b) = b + /i(a b).

A szorzsokat elvgezve s rendezve:

(A-//)a + (A + / / - l ) b - 0.

Mivel a s b nem prhuzamosak, vagyis linerisan fggetlenek, ez az egyenlsg csak gy teljeslhet, ha

X - ti = 0 s / + // - 1 = 0.

Ebbl az egyenletrendszerbl ^ x = = r

s ez ppen azt jelenti, hogy az M metszspont az tlk felezpontja. 2. Plda. A P pont az AB szakaszt az AP:PB =

= m . n arnyban osztja. Legyen O a tr tetszleges pontja, es A = a, OB = b! Fejezzk ki az OP vektort az a s b vektorok segtsgvel!

Megolds. A 13. bra alapjn A

> m , m AP = AB = ( b - a ) .

rn + n m + n gy ? = Z+AP miatt

m na + mb OP = a + ( b - a ) = .

m+n m+n

20

Ha a P pont specilisan az AB szakasz felezpontja (m = n)9 akkor

OP = na + nb a + b

2 n

3. Plda. Igazoljuk, hogy a hromszg slyvonalai egy pontban metszik egymst, s ez a pont a slyvonalakat 2 : 1 arnyban osztja!

Megolds. Legyen O a tr tetszleges pontja, A, B s C a hromszg hrom cscsa, Fa hrom-szg BC oldalnak a felezpontja, s jellje az A9

a = P1P2 = OP2-T = = (3ij + 3k) - (2i + 3j 4k) = = i - 4 j + 7k,

vagyis

a(l; - 4 ; 7).

15. bra

y 6. Plda. llaptsuk meg az AB szakasz F felezpontjnak koordintit, ha A(3; 1; 7), 5(1; 3; _ _

Megolds. Legyen OA = a, 0B = b, ek-kor a 2. plda szerint

> a + b 0 F = = 2 i+j + 2k,

vagyis F(2; 1; 2).

1.2 Vektorok szorzsa

1.2.1 Kt vektor skalris szorzata A fizika tanulmnyozsa nemcsak a vektorok sszeadsnak a mvelett szolgl-

tatta, hanem olyan, a vektorokra rtelmezett mveleteket is felvetett, amelyek bizo-nyos mrtkig a szorzsra emlkeztetnek. Jl tudjuk, hogy ha egy anyagi pont az lland F er hatsra egy egyenes mentn elmozdul, akkor az F er ltal vgzett munka nagysga:

|F| |r| cos a,

ahol r az elmozdulst megad vektort, oc pedig az F s r vektorok hajlsszgt jelenti. Mind az er, mind az elmozduls vektormennyisg, itt teht olyan mvelettel

llunk szemben, amely kt vektormennyisghez eredmnyknt skalr mennyisget rendel hozz. A vektoralgebrban ennek a mveletnek a skalris szorzs elnevezst adjuk.

DEFINCI. Kt tetszleges a, b e R3 vektor skalris szorzatn (vagy skalrszor-zatr) az

ab = |a| |b| cos cp*b

szmot rtjk, ahol (pAh az a s b vektorok hajlsszgt jelli.

22

Kt vektor hajlsszgn a kt irny ltal bezrt szgek kzl a 180-nl nem nagyobbat rtjk. Ebbl kvetkezik, hogy ha a kt vektor hajlsszge hegyesszg, akkor skalris szorzatuk pozitv, ha tompaszg, akkor skalris szorzatuk negatv.

A definci alapjn knnyen belthat, hogy a, b, c e R3, A e R esetn 1. ab = ba, a skalris szorzs kommutatv, 2. a(b + c) = ab + ac, a skalris szorzs disztributv, 3. (Aa)b = A(ab) = a(Ab). 4. Az asszociatv trvny nem rvnyes, mert hrom vektor skalris szorzatt nem

tudjuk kpezni. Ugyanis az els kett sszeszorzsa utn skalrt kapunk, s ezt a harmadik vektorral nem tudjuk skalrisan sszeszorozni.

Felvetdik a krds: kt vektor skalris szorzata mikor zrus?

TTEL. Kt vektor skalris szorzata akkor s csak akkor zrus, ha a kt vektor merleges egymsra.

Bizonyts. Ha a kt vektor kztt a zrusvektor is szerepel, akkor helyes az llts, mert a skalris szorzat zrus, s a zrusvektor brmely vektorra merleges. Ha a vektorok egyike sem a zrusvektor, akkor a skalris szorzat csak gy lehet zrus, ha cos 0>ab = O. De ez azt jelenti, hogy cp*b = 90, azaz a vektorok merlegesek. Fordtva, ha a vektorok merlegesek, akkor cos^ab = 0, s gy a skalris szorzat valban 0. A skalris szorzat gy kt vektor merlegessgnek megllaptsra hasznlhat fel.

Nzzk meg n _>st, hogyan kell kt, koordintival megadott vektor skalris szorza-tt kiszmtani.

Mivel az i, j, k alapvektorok pronknt merlegesek egymsra s egysgnyi hosz-szak, azrt

i i = l , fi=l, k k = l ,

mert pl.

ii - |i| |i| cos 0 1 * 1 1 1,

mg

ij = jk ki = 0,

mert pl.

ij = |i| |j| cos 90 - 1 1 0 = 0.

Legyen

a = a\\ + a2} + a3k s b = 6ii + ft2j + ^3k,

23

akkor

ab = (aii + a2j + a3k) ( M + zj + WO = = aibiii + aib2i) + tf M k + a2biji + a2b2j\ + a2bi jk + a36iki + a?>b2\] + a^h^Vk.

Az alapvektorokra vonatkoz elbbi megjegyzseket felhasznlva a jobb oldalon ll sszegben 6 tag zrus, s gy

ab = a^bi + a2b2 +

azaz kt vektor skalris szorzatt a megfelel koordintk szorzatnak sszege adja. A skalrszorzat segtsgvel knnyen kiszmthat egy vektor abszolt rtke

(hossza). Ugyanis ha az a(tfi; a2\ 03) vektort nmagval skalrisan megszorozzuk, akkor egyrszt

a2 = aa a a cosO = |a|2 ,

msrszt a skalris szorzst az a koordintival elvgezve:

a2 = a\ + a\ + a\.

Innen

|a|2 = a\ + al + al9

s ebbl

|a| = ^al + al + al.

A gyakorlatban sokszor elfordul, hogy egysgvektorokkal kell dolgoznunk. Az a vektor irnyba mutat ea egysgvektort megkapjuk, ha az a vektort a hosszval elosztjuk:

Az ea vektor koordinti teht

/I a2 e a V i I | ; | a | ' j a j /

24

Az a vektor irnyba mutat ea egysgvektor koordintit az a vektor irny cosinu-sainak szoks nevezni, mert ppen az a vektor s az egyes tengelyek ltal bezrt szgek cosinust adjk meg. A 11. brn ellenrizhet, hogy pl. a z tengely s a v vektor ltal bezrt szg cosinusa:

COS (P\

Az eddigiekbl azonnal kvetkezik az is, hogy az irnycosinusok ngyzetsszege 1, mert egysgvektornak a koordinti.

A skalrszorzat segtsgvel knnyen kiszmthat kt vektor hajlsszge. Ugyanis az

ab = |a| |b| cos (ph

egyenlsget trendezve

ab COS a^b

lal Ibi

A skalris szorzat felhasznlhat tovbb egy vektor-nak egy msik vektorra es merleges vetletnek a kiszmtsra is.

Legyen adott az a s b vektor, s keressk a-nak b-re es merleges vetletnek hosszt (16. bra).

A 16. brn lthat derkszg hromszgbl az ab vetletvektor hossza

|ab| = |a| cos a^b-16. bra

Legyen eb a b vektor irnyba es egysgvektor! Ekkor |eb| = 1, gy ezzel a jobb oldal bvthet, tovbb mivel b s eb egyirny, ezrt cos (pzb = cos (pz%,, s ezt felhasznlva

|ab| |a| |eb| cos ^aeb.

De a jobb oldalon ppen a s eb skalris szorzata ll, ezrt az a vektor b-re es merleges vetletnek hossza

14,1 aeb.

25

Ha a merleges vetletvektorra vagyunk kvncsiak, a vetlet hosszt meg kell szoroznunk az irnyba mutat eb egysgvektorral, azaz a vetletvektor

ab = (aeb)eb.

KIDOLGOZOTT PLDK

1. Plda. Szmtsuk ki az a(2; - 3; 4) s a b(0; - 1; - 2 ) vektorok skalris szorzatt! Megolds. A skalris szorzat

ab = 2 0 + ( 3) ( l) + 4( 2) = - 5 .

Minthogy a skalris szorzat negatv, az a vektor a b vektorral tompaszget zr be. 2. Plda. Mutassuk meg, hogy az a ( - 2 ; 3; 1) s a b(4; 2; 2) vektorok merlegesek

egymsra! Megolds. A kt vektor skalris szorzata

ab = - 8 + 64-2 = 0,

ezrt valban merlegesek egymsra. 3. Plda. Hatrozzuk meg az a ( - 2 ; 1; 2) vektor hosszt! Megolds. Az a vektor hossza

|a| = |/4 + 1 + 4 = )f9 = 3

egysg. 4. Plda. Egysgvektor-e az a(l; 1; 1) vektor? Megolds. Mivel |a| = |/l + 1 + T = a nem egysgvektor. 5. Plda. Hatrozzuk meg az a(2; 2; 1) s b ( - 1; 2; 2) vektorok hajlsszgt! Megolds. A kt vektor hajlsszgnek cosinusa

- 2 + 4 + 2 4 cos

gy

A vetletvektor:

b 2 1 2 , eb = = - i - j + k.

Ibi 3 3 J 3

8 3 10 W - 3 - 3 + T - 5 -

10 5 10 ab = y i - - j H - T k .

7. Plda. Bontsuk fel az a(l; 2; 3) vektort a b(2; 2; - 1 ) vektorral prhuzamos s r merleges sszetevkre!

Megolds. Az a vektornak a b vektorral prhuzamos sszetevje ppen az a vektor b vektorra es merleges vetletnek vektora. Ennek hossza

(2 2 1 \ 2 4 3 3 W - a e . - ( i + 2 j + 3 k ) ^ i + - i - - k j = 5 + - - r 1.

A vetletvektor teht

2 2 1 ab = - i + - j k. 3 3 J 3

Az a vektornak a b vektorra merleges sszetevjt megkapjuk, ha az a vektorbl az ab vektort kivonjuk:

1 4 10 a - a b = - i + - j + k. 3 3 3

Ezzel a feladatot megoldottuk. Ellenrzskppen nzzk meg, hogy a kt sszetev valban merleges-e. Mivel skalrszorzatuk:

ezrt valban merlegesek.

27

1.2.2 Kt vektor vektorilis szorzata A fizikbl ismeretes, hogy ha egy O pontban rgztett merev testre olyan F er

hat, amelynek hatsvonala nem halad t az O ponton, akkor az F ernek a testre forgat hatsa van, amelyet forgatnyomatknak neveznk. A forgatnyomatk nagysgt az

|F| |r| sin a

szm adja, ahol r az O pontbl az er P tmadspontjba mutat vektor, a az r helyvektornak s az F ervektornak a haj-lsszge, tovbb a k = |r| sin a az erkar hossza (17. bra). A forgatnyomatk olyan forgst idz el, amelynek tengelye a rgztett O ponton halad t, s merleges az r s F vektorok skjra. A forgatnyo-matk e tengely irnyba hat. Mrmost forgatnyomatk-vektornak nevezzk azt az M vektort, amelynek hossza

|M| = |r| |F| sin oc,

irnya merleges az r s F skjra, irnyt-sa pedig olyan, hogy az r, az F s az M eb-ben a sorrendben jobbrendszert alkot. Az gy jellemzett M forgatnyomatk-vektor

helyesen adja meg a forgats irnyt is. A 77. brn lthat esetben a ltrejv forgs pozitv (az ra jrsval ellenttes) irny.

Mindezt tgondolva vegyk szre, hogy eljrsunkkal olyan hozzrendelst ltes-tettnk, amely kt vektorhoz, az r s F vektorhoz egy harmadik vektort, az M vektort rendeli hozz. Ezt a hozzrendelst vektorilis szorzsnak fogjuk nevezni s az r x F jellel (olv.: er kereszt ef) fogjuk jellni.

DEFINCI. AZ a, b e R3 vektorok a x b-vel jellt vektorilis szorzatnak azt a vektort nevezzk, amelynek

a) hossza

| axb | = |a| |b| sin^ab,

b) irnya az a s b vektorok skjra merleges, s c) az a, b s a x b vektorok (ebben a sorrendben) jobbrendszert alkotnak.

28

Ez utbbi azt jelenti, hogy az a x b vektor oda mutat, ahonnan nzve az a-t a b-be viv, 180-nl kisebb szg forgats pozitvnak ltszik.

A vektorilis szorzsra a definci alapjn a kvetkez megllaptsokat tehetjk: 1. A vektorilis szorzs nem kommutatv, azaz a, b e R3 esetn

a x b t^ b x a.

Ugyanis a bal oldalon ll vektor az a s b vektorokkal az a, b, a x b sorrendben, a jobb oldalon ll vektor pedig a b, a, b x a sorrendben alkot jobbrendszert. A sor-rendbl azonban az is ltszik, hogy a b x a a z a x b ellentettje, azaz

a x b = - (b x a).

Az olyan myeletet, amelynl a tnyezk felcserlse eljelvltst okoz, alternl mveletnek nevezzk.

2. A vektorilis szorzs nem asszociatv mvelet, azaz a, b, c e R3 esetn

(a x b) x c ^ a x (b x c).

Ugyanis a bal oldalon olyan vektor ll, amely az (a x b)-re is s a c-re is merleges, vagyis az a s b skjval prhuzamos. A jobb oldalon olyan vektor ll, amely az a-ra is s a b x c-re is merleges, vagyis a b s c skjval prhuzamos. Az a vektor, amely az a s b skjval is, s a b s c skjval is prhuzamos, prhuzamos b-vel is. Az asszociatv trvny teljeslshez teht szksges lenne, hogy a b-vel prhuzamos eredmnyvektor merleges legyen pldul c-re (s a-ra), de tetszleges vektorok esetn sem b s c, sem b s a merlegessge nem ll fenn.

3. A vektorilis szorzs skalrra nzve asszociatv, azaz a, b e R 3 , X e R esetn

A(a x b) = /la x b = a x Xb.

4. A vektorilis szorzs disztributv, azaz a, b e R3 esetn

a x (b + c) = a x b + a x c, (b + c) x a = b x a + c x a.

Az lltsnak mind a kt alakjra szksg van, mert a vektorilis szorzs nem kommutatv, s ezrt a kt alak egymsbl nem kvetkezik.

Felvetdik a krds: kt vektor vektorilis szorzata mikor zrusvektor?

TTEL. Kt vektor vektorilis szorzata akkor s csak akkor zrusvektor, ha a vektorok prhuzamosak egymssal.

Bizonyts. Ha a kt vektor kzl az egyik a zrusvektor, akkor a ttel trivilisan igaz.

29

Ha a kt vektor egyike sem a zrusvektor s prhuzamosak, akkor a bezrt szgk 0 vagy 180, ezeknek sinusa 0, s gy a kt vektor vektorilis szorzata a zrusvektor. Fordtva: ha a kt vektor vektorilis szorzata a zrusvektor, s a kt vektor egyike sem a zrusvektor, akkor a bezrt szgk sinusa 0, gy a szg vagy 0 vagy 180. Mind

a kt esetben a kt vektor prhuzamos egymssal. Kt vektor vektorilis szorzata hossznak rde-

kes geometriai jelents tulajdonthat. A 18. brn lthat paralelogramma t terlete

t = a - m = |a| |b| sin a = |a x b|,

/ /

/

-/ m / / / /

/ /

/

18. bra vagyis az a s b vektorok ltal kifesztett paralelog-ramma terlete a kt vektor vektorilis szorzatnak

az abszolt rtkvel egyenl. Szoks ezrt az a x b vektort e paralelogramma terlet-vektornak nevezni.

Ebbl mr kvetkezik, hogy az a s b vektorok ltal kifesztett hromszg terlete

1 tA = - | ax b|.

Trjnk r most a koordintival, ill. komponenseivel megadott kt vektor vektorilis szorzatnak kiszmtsra. Ehhez elszr szmtsuk ki az alapvektorok vektorilis szorzatt.

Azonnal ltszik, hogy

i x i = j x j = k x k = 0,

mert brmelyik alapvektornak nmagval bezrt szge zrus, s gy annak sinusa is zrus, teht a vektorszorzat eredmnye a zrusvektor. Tovbb knnyen belthat, hogy pl.

i x j = k,

mert az eredmny vektor egysgvektor (ugyanis |i| |j| sin tp^ = 1 - 1 - 1 = 1), irnya i s j skjra merleges, s velk jobbrendszert alkot, gy csak a k alapvektor lehet.

Hasonlan

j x k = i, k x i = j, j x i = - k , k x j = - i , i x k = - j .

Tekintsk most mr az

a = a\i + a2\ + a?\i s b = 6ii + Z>2j + 3k

30

vektorokat, ahol a koordintk vals szmok. Ezek vektorilis szorzata (felhasznlva a vektorilis szorzat tulajdonsgait):

a x b = (3(k x k).

Felhasznlva elz eredmnyeinket:

axb = 0- a2bik + a3bi] + b^ + Q- a3b2i~ a.ib3j + a2b3i + 0 = = (263 ~ 03^2)1 - (aib3 - a3bi)j + (ab2 - a2bi)k.

Ez a kifejezs voltakppen az

i j k i a2 a3 bx b2 b3

harmadrend determinns els sora szerinti kifejtse. (A determinnsokat a 2.1.4 pontban trgyaljuk.) Ezrt az a s b vektorok vektorilis szorzatra igaz az albbi egyenlsg:

i j k a x b = ai a2 a3

bt b2 b3

Megemltjk, hogy az a, b, c e R3 vektorokra igaz a kifejtsi ttel:

a x (b x c) = (ac)b - (ab)c,

(a x b) x c = (ac)b - (bc)a.

KIDOLGOZOTT PLDK

1. Plda. Szmtsuk ki a Pi(3; - 2 ; 1), P2(~2; 4; - 1) s P3(0; 5; - 2) pontok ltal meghatrozott hromszg terlett!

Megolds. A i V b l P2-be mutat a vektor koordinti: a ( - 5 ; 6; - 2 ) , a iVb l P3-ba mutat b vektor koordinti: b ( - 3; 7; - 3). Az a s b vektorok ltal kifesztett hromszg terlete: T = 0,51a x b|. Elszr szmtsuk ki (a x b)-t.

a x b = 1

- 5 - 3

j k 6 - 2 7 - 3

= ( 18+ 14)i(15 6)j+( 35+ 18)k = - 4 i - 9 j - 1 7 k

31

gy a hromszg terlete

1 1 . 1 . 19,64 _ r = - |a X b| = -1/16 + 81 +289 = -1/386 = - y - = 9,82

terletegysg. 2. Plda. lltsunk az a ( - 2; 1; 3) s b(l; - 2; 4) vektorok skjra merleges vektort! Megolds. Az a s b skjra mind az a x b, mind a b x a vektor merleges.

a x b i j k

- 2 1 3 1 - 2 4

= 10i+ l l j + 3k,

es

b x a = (axb) = lOi 11 j 3k.

Ellenrizzk, hogy pldul a s b x a valban merleges egymsra. Mivel e kt vektor skalris szorzata

a(b x a) = 2 0 - 1 1 - 9 = 0,

ezrt a kt vektor valban merleges egymsra. Megemltjk, hogy az a x b vektorral egytt / ( axb) vektor (t tetszleges vals

szm), s b x a vektorral egytt az u(b x a) vektor (u tetszleges vals szm) is megoldsa a feladatnak, s ezzel az sszes megoldst megkaptuk.

3. Plda. Egy hromszg cscsai: Pt(3; - 1 ; 4), P2{4; 1; 2) s P3(2; - 1 ; 5). Szmtsuk ki a hromszg P3 cscshoz tartoz magassgnak hosszt!

Megolds. A

am |axb|

sszefggsekbl

|a x b| |a x b| m =

a |a|

A feladat adataival

a = P1P2 = (1; 2; - 2 ) , b = P1P3 = ( - 1 ; 0; 1),

s gy

32

a x b =

Ezrt

tovbb

i j k 1 2 - 2 1 0 1

= ( 2 ) i - ( l - 2 ) j + (2)k = 2 i+ j + 2k.

|a x b| = j / 4 + 1 + 4 = 3,

a; = j/l + 4 + 4 = 3, s gy ra = - = 1.

1.2.3 Hrom vektor vegyes szorzata

DEFINCI. AZ a, b, c e R 3 nem egysk vektorokbl kpezett

abc = (a x b)c

szorzatot az a, b, c vektorok vegyes szorzatnak nevezzk.

Az elnevezs arra utal, hogy itt vektorilis s skalris szorzs is szerepel. Az elvgzen-d mveletek alapjn vilgos, hogy az eredmny skalr. rtke:

|a x b |c| cos a,

ahol a az a x b s a c vektorok hajlsszge. Mivel | a x b | az a s b vektorok ltal kifesztett paralelogramma terlete, a | c | cos a pedig a 19. brn lthat paralelepipe-don (ferde hasb) m magassga, ezrt a vegyes szorzat az a, b s c vektorok ltal kifesztett ferde hasb eljeles tr-fogatt adja. f axb

Ez a trfogat akkor pozitv, ha a cos a pozitv, azaz ha a hegyes-szg. Ez azt jelenti, hogy c s a x b az a s b vektorok skjnak ugyan-arra az oldalra mutatnak, azaz a, b s c jobbrendszert alkotnak. Negatv akkor a trfogat, ha a, b s c balrendszert alkotnak. gy:

V = |(a x b)c| = |abc|.

19. bra

33

A vegyes szorzat abc jellsben nem ltszik, hogy hol van a vektorilis s hol a skalris szorzs jele, de ez nem is szksges, mert rvnyes a felcserlsi ttel, amely szerint

(a x b)c = a(b x c).

Ez geometriailag azt jelenti, hogy egy paralelepipedon trfogatnak a kiszmtsa-kor kzmbs, hogy melyik oldallapjnak a terlett s az ehhez tartoz magassgot szorozzuk ssze. Mivel a vektorilis szorzs alternl mvelet, ezrt abc = - acb, s gy abc = bca = cab, tovbb acb = cba = bac.

Ha az a, b, c e R 3 vektorok koordintikkal adottak, nevezetesen a(i; a2\ a3), b(6i; b2; b3) s c(c c2; c3), akkor az abc = (a x b)c vegyes szorzatot gy szmthatjuk ki, hogy az

a x b = (a2b3-a3b2)\~{aib3-a3bi)\ + (aib2-a2bi)k

vektort skalrisan szorozzuk a c vektorral. Ekkor

(axb)c = (a2b3-a3b2)ci~~(aib3-a3bi)c2 + (a1b2- a2bi)c3.

A jobb oldal itt is egy harmadrend determinns rtke, s gy

ai a2 a3 abc = bi b2 b3

Cl c2 c3

E determinns rtke teht az a, b s c vektorok ltal kifesztett paralelepipedon eljeles trfogata. Az a, b, c vektorok ltal kifesztett tetrader trfogata az ugyanezen vektorok ltal kifesztett paralelepipedon trfogatnak hatodrsze, azaz

^tetrader

a\ a2 a3 b1 b2 b3 Cl c2 c3

Azonnal ltszik, hogy ha hrom vektor egy skban fekszik, akkor az ltaluk kifesztett paralelepipedon trfogata, azaz vegyes szorzatuk zrus. Ez fordtva is igaz: ha hrom vektor vegyes szorzata zrus, akkor a hrom vektor egysk.

Vektorral osztst nem rtelmeznk. Megemltjk azonban, hogy brmely nem egy skban fekv a, b, c e R3 vektorhr-

mashoz mindig tallhat egy A, B, C e R3 vektorhrmas gy, hogy

aA= 1, bB= 1, cC= 1.

34

Az A, B, C vektorhrmast az a, b, c vektorhrmas reciprok vektorhrmasnak nevezik. Knnyen ellenrizhet, hogy

A = b x c

B = c x a

C = a x b

abc ' ~ abc ' abc

ahol abc ^ 0 , mert e hrom vektor a felttel szerint nem fekszik egy skban.

KIDOLGOZOTT PLDK

1. Plda. Szmtsuk ki az a(2; - 4 ; 3), b(l; - 1 ; 5) s c ( - 2 ; 3; 1) vektorok ltal kifesztett paralelepipedon trfogatt!

Megolds.

V = 2 - 4 3 1 - 1 5

- 2 3 1 = 2( 1 15) + 4(1 +10) + 3(3 2) = 15

trfogategysg. 2. Plda. Egysk-e a kvetkez hrom vektor: a ( - 4 ; 3 ; 2 ) , b ( 1 0 ; - 7 ; - 5 ) ,

c ( - 2 ; 1; 1)? Megolds. Hrom vektor akkor egysk, ha vegyes szorzatuk zrus. Szmtsuk ki

vegyes szorzatukat:

abc = - 4 3 2

10 - 7 - 5 - 2 1 1J

= 4( 7 + 5) 3(10 10)+ 2(10 14) = 0,

teht a hrom vektor egy skban van. 3. Plda. Jobbrendszert alkot-e az albbi hrom vektor: a(2; 1; 5), b(l; 8; 1),

c ( - l ; 2 ; - 2 ) ? Megolds. A hrom vektor vegyes szorzata

abc = 2 - 1 5 1 8 1

- 1 2 - 2 = 2( 16 2) + ( 2+ l) + 5(2 + 8) = 13,

vagyis pozitv, teht a hrom vektor valban jobbrendszert alkot. 4. Plda. Hatrozzuk meg a z rtkt gy, hogy az albbi hrom vektor egy skban

legyen: a(2; 1; z), b ( - 1; 3; - 4 ) , c(2; - 1 ; 3)! Megolds. A hrom vektor akkor van egy skban, ha vegyes szorzatuk zrus, azaz

ha 2 1 z

abc = - 1 3 -4 2 - 1 3

35

Fejtsk ki a determinnst els sora szerint (lsd majd 2.1.4 pont)! Ekkor

2(9 4) ( 3 + 8) + z(l 6) = 0.

Ebbl

- 5 z + 5 = 0, vagyis z = l .

Megjegyezzk, hogy ha hrom vektor egy skban van, azaz linerisan sszefgg, akkor egyikk kifejezhet a msik kett lineris kombincijaknt. Knnyen ellen-rizhet, hogy esetnkben pldul

1.3 Vektorok geometriai alkalmazsa

1.3.1 Az egyenes

Legyen adott egy rgztett O kezdpontbl kiindul r0 e R3 helyvektor s egy v e R3 (v 5^0) vektor. Tekintsk az r0 helyvektor, Po ponton thalad, v irnyvekto-r e egyenest (20. bra)\

Egy r e R3 helyvektor P pont akkor s csak akkor van rajta az e egyenesen, ha az r r0 vektor a v irnyvektorral egy egyenesen fekszik, azaz van olyan / e R , hogy

r - r 0 = tv.

20. bra

DEFINCI. AZ

r(0 = r0 + ty (t e R)

36

egyenlsget az egyenes paramteres vektoregyenletnek nevezzk, amelyben t a paramter.

Felhvjuk a figyelmet arra, hogy ^O esetn v|Uv, ezrt is tekinthet az egyenes egy irnyvektornak.

Ha ezt az egyenletet a benne szerepl vektorok koordintira rjuk fel, akkor az egyenes paramteres egyenletrendszert kapjuk. Az r(x; y; z), r0(x0; yo', z0), \(v V2; v3) jellst hasznlva

X = XQ + V\ t,

y = yo + v2t, z = ZQ + V3.

Ha a Di, v2, v3 egyike sem nulla, akkor az egyenletekbl t kikszblhet s az egyenes egyenletrendszere az

X-Xo _ y-y0 _ Z-Z0 Vi v2 v3

alakban rhat fel. Megjegyezzk, hogy ha a v irnyvektor valamelyik (pldul els) koordintja 0,

akkor az egyenes valamelyik (esetnkben az yz) skkal prhuzamos. Ha a v irnyvek-tor kt koordintja 0, akkor az egyenes valamelyik koordintatengellyel prhuza-mos. Pldul a v(0; 0; V3) irnyvektor egyenes a z tengellyel prhuzamos. Ha a v irnyvektor egysgvektor, akkor koordinti az irnycosinusok, vagyis azoknak a szgeknek a cosinusai, amelyeket az egyenes a koordintatengelyekkel bezr.

1.3.2 A sk Tekintsk azt a skot, amely illeszkedik a rgztett O pontbl kiindul r0 helyvekto-

r Po pontra, s merleges az n e R3(n ^ 0) vektorra, a sk normlvektorra (21. bra)! Egy r helyvektor P pont akkor s csak akkor van rajta a skon, ha az r - r0 vektor

merleges az n normlvektorra, vagyis ha a kt vektor skalris szorzata 0, azaz 1 1

n(r-ro) = 0.

Ez a sk vektoregyenlete. Az n(A; B; C), r(x; y; z), r0(x0; yo; ^0) jellseket

alkalmazva a sk vektoregyenlete az

A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-zo) = 0

0 21. bra

37

alakra hozhat. A kijellt szorzsokat elvgezve s az Ax0 + By0 + Cz0 sszeget - Z)-vel jellve a sk egyenletnek

Ax + By + Cz + D = 0

alak, n. ltalnos alakjt kapjuk. Itt is igaz, hogy n-nel egytt n (X^O) is a sk egy normlvektora.

Megjegyezzk, hogy ha a sk vektoregyenletben szerepl n normlvektor egysg-vektor, akkor koordinti irnycosinusok s az

x cos a-f j c o s / ? + z c o s y + g = 0

alak egyenletben, az n. Hesse-fle normlegyenletben szerepl q lland abszolt rtke a sknak az origtl mrt tvolsgt adja meg.

Knnyen belthat, hogy ha a sk a koordintatengelyeket az origtl mrve rendre a nem nulla a, b, c tvolsgnyira metszi, akkor a sk egyenlete

x y z a b c

alakra hozhat. Ez a sk egyenletnek tengelymetszetes alakja.

1.3.3 Kidolgozott pldk az elz kt ponthoz

1. Plda. rjuk fel a Pi(2; - 3 ; 1) s 7; 2) pontokon thalad egyenes egyenlett!

Megolds. A keresett egyenes egy irnyvektora v = P1P2, azaz v( 7; 10; 1); gy paramteres egyenletrendszere a P\ pont koordintit felhasznlva:

x = 2-11, y = - 3 + 1 0 / , z = 1 +1;

a P i pont koordintit felhasznlva pedig:

x = 5 71, y = 7+10/ , z = 2 + /.

A kt klnbz alak egyenletrendszer valban ugyanazt az egyenest jellemzi, amint arrl behelyettestssel is meggyzdhetnk.

38

Az egyenes egyik paramtermentes egyenletrendszere:

x-2 y + 3 = = z - 1 .

- 7 10

2. Plda. Szmtsuk ki az albbi kt egyenes hajlsszgt:

l-x _ 2y + 3 _ 1 2z ~~2~ ~~ 4 ~ 3 '

x = 2 + 3/, y = - l - f , z = - 4 / .

Megolds. Az egyenesek hajlsszge irnyvektoraik hajlsszgvel egyenl, ha az irnyvektorok szge derkszgnl nem nagyobb, s ennek kiegszt szgvel, ha az irnyvektorok szge derkszgnl nagyobb. Az els egyenes irnyvektort akkor tudjuk kzvetlenl leolvasni az egyenletrendszerbl, ha x, y s z egytthatja a szmllkban 1. Hozzuk ilyen alakra az egyenletrendszert! Mivel:

x 1 _ y+ 1,5 _ z 0,5 ~ 2 ~ - 1 , 5 '

ezrt vi^ - 2; 2; - . v2 koordinti kzvetlenl leolvashatk: v2(3; - 1; 4). A kt

irnyvektor hajlsszgnek cosinusa teht

viv2 - 6 - 2 + 6 - 4 cos (pyiy2 = --- = = = -0,1225; |vi| |v2 | " J 9 . /66

I /4 + 4 + ~ |/9 + 1 + 16 r

a szg teht tompaszg, mgpedig:

v^iv2 = 180-82,96 = 97,04.

Az egyenesek a hajlsszge teht a = J 80 -97,04 = 82,96. 3. rjuk fel a /M2; 4; - 3 ) , P 2 ( ~ 1; 0; 2), P3(3; - 2 ; 1) pontokon tfektetett

sk egyenlett! Megolds. A sk egyenletnek f e l r s h o z szksgnk van a sknak egy normlis-

ra. Brmely n normlvektor merleges a skra, gy a sk valamennyi vektorra, specilisan a skban fekv a = P1P2 s b = P1P3 vektorokra is; teht n irnya megegye-zik a x b irnyval (22. bra). Mivel a koordinti: ( - 3 ; - 4 ; 5), b koordinti pedig:

39

(1; - 6 ; 4), ezrt

n = a x b = J 3 - 4 1 - 6

= 14i+17j + 22k.

22. bra

gy a sk egyenlete a P\ pont koordintit felhasznlva:

14(x 2) + \l{y 4) + 22(z + 3) = 0,

ill. a kijellt mveletek elvgzse utn:

14x+ 17j> + 22z 30 = 0.

4. Plda. rjuk fel annak a sknak az egyenlett, amely illeszkedik a P(0; 0; 0) pontra s az

e: x-l 2y + 4 3 - z

23. bra egyenletekkel megadott egyenesre (23. bra)\

Megolds. Az egyenes v^2; ^ ; - 3^ irnyvektora nyilvn benne van a skban.

Hasonlan a skban fekszik az adott P pontot s az egyenes 0(1; - 2 ; 3) pontjt sszekt = a ( l ; - 2 ; 3) vektor. gy teht az

y x a =

J 5 2

- 2

k

- 3

3

3 13 = i 9j k

2 J 2

vektor a keresett sk egy normlvektora. Mivel n-nek csak az irnya lnyeges szmunkra, a hossza nem, ezrt a tovbbiak-

ban - hogy ne kelljen trtekkel szmolnunk - az iu(3; - 18; - 13) vektorral dolgo-zunk. ni s P koordintit felhasznlva a keresett sk egyenlete:

3(x + 4 ) - 1 8 0 - 3 ) - 13(z-0) = 0,

vagy rendezs utn

3x 18j 13z + 66 = 0.

40

5. Plda. Szmtsuk ki az

e: x + 3 1 - 2 y

= 3z+ 1

egyenes es az

x 2y + 3z 1 = 0 24. bra

sk dfspontjt (24. bra)\ Megolds. Az M dfspont koordinti nyilvn kielgtik mind az egyenes egyen-

letrendszert, mind a sk egyenlett. Clszer az egyenes paramteres egyenletrendsze-rt hasznlnunk:

x = - 3 + 2/,

y 1 _ 3 2 " 2*'

1 1 z = + -

3 3

Ha x, y, z kifejezst behelyettestjk a sk egyenletbe, 6t 6 = 0 addik, azaz t= 1. Az ehhez tartoz x = - l , j ; = - l , z = 0 rtkek szolgltatjk teht M keresett koordintit.

6. Plda. Hatrozzuk meg a kvetkez kt sk metszsvonalt:

S i: 2 x - 3 j ; + z - 6 = 0, S2: 3 x + j 4z + 2 = 0.

Megolds. A metszsvo-nal mind a kt skban benne van, gy mind a kt sk nor-mlisra merleges, teht az utbbiakat ni-gyei s n2-vel jellve, a metszsvonal irny vektora csak ni x n2 irny lehet (25. bra). Szksgnk van mg a met-szsvonalnak egy pontjra, azaz egy olyan pontra, amely mind a kt skban benne van.

A keresett pont egyik ko-ordintjt, pl. z-t szabadon megvlaszthatjuk, mert csak 25. bra

41

kt egyenletnk van a hrom ismeretlen szmra. Legyen z = 0, akkor a megfelel

2x 3y .= 6, 3x + y = - 2

egyenletrendszer megoldsa: x = 0, y = 2; teht a metszsvonal egy pontja: P(0; - 2 ; 0). Ha a z = 0 helyettestssel kapott egyenletnek nem volna egyrtelm megoldsa, akkor az x = 0 vagy az j; = 0 helyettestssel clszer prblkozni. A met-szsvonal egy irnyvektora: 1

y = ni x n2 = i j k 2 - 3 1 3 1 - 4

= l l i + l l j + l l k .

y helyett szmolhatunk a vi(l; 1; 1) vektorral is, hiszen az irnyvektor hossza lnyegte-len. A metszsvonal egyenletrendszere teht:

x = y + 2 = z.

7. Plda. Vettsk merlegesen az

e: < x= 4 + y = - l - t , z = 10 + 6 /

egyenest az

S: 3x~2y + 4z + 4 = 0

skra. rjuk fel a vetleti egyenes egyenlett!

26. bra

Megolds. A vetleti egyenes egyenlet-nek a felrshoz elegend kt pontjt is-mernnk. Ilyen kt pontot kapunk, ha az egyenes kt tetszleges pontjt levettjk a skra (26. bra).

Legyen az els levettend pont az egye-nes egyenletbl knnyen kiolvashat P{4; 1; 10) pont. Ennek P' vetlett meg-kapjuk, ha meghatrozzuk a P ponton t-men, a skra merleges vettegyenes s a sk dfspontjt. A vettegyenes irny-vektora megegyezik a sk normlvektor-val, egyenletrendszere teht:

42

X = y = z =

4 + 3/, - 1 - 2 / , 10 + 4/.

A vettegyenes s a sk P' dfspontjra fennll:

3(4 + 3/) 2( 1 2/)+ 4(10+ 4/)+ 4 = 0;

innen / = - 2 , teht P' koordinti: ( - 2 ; 3; 2). A msik levettend pont legyen - ha ilyen van - az egyenes s a sk M dfs-

pontja, mert az megegyezik a vetletvel. M koordintit az 5. plda mdszervel ki-szmtva nyerjk: (2; 1; - 2 ) . A vetletegyenes irnyvektora prhuzamos az MP* = 4i + 2j + 4k vektorral, azaz egyttal a v ( - 2 ; 1; 2) vektorral. Most mr felrhatjuk a vetleti egyenes paramteres egyenletrendszert:

x 2 2/, y = 3+ /, z = 2 + 2/.

1.4 ^-dimenzis vektorok Az 1.1 rszben a vektorokat irnytott szakaszokknt definiltuk, s lttuk, hogy

alkalmas bzis bevezetsvel egy ktdimenzis (sk)vektor s egy vals szmpr, tovbb egy hromdimenzis (tr)vektor s egy vals szmhrmas kztt klcsn-sen egyrtelm megfeleltets ltesthet, ezrt pldul a (vi; v2\ v3) szmhrmast1

vektornak is tekinthettk. A vektor fogalma ltalnosthat az ^-dimenzis trre is.

DEFINCI: AZ n szm vals szmbl ll szm-w-est n-dimenzis vektornak nevezzk.

A vektorok lineris fggetlensge s fggsge ^-dimenziban hasonlan definil-hat, mint hrom dimenziban, nevezetesen: a [vi, V2, vn] (^-dimenzis) vektorok linerisan fggetlenek, ha

aiVi + a2V2 + ... + anVn = 0

akkor s csak akkor kvetkezik be, ha

ai = a2 = ... = a = 0;

linerisan sszefggnek, ha van legalbb egy vals al5 amely nem 0.

43

n szm linerisan fggetlen vektor az ^-dimenzis vektortr egy bzist alkotja, s e bzisvektorokkal a vektortr valamennyi vektora kifejezhet. Az ^-dimenzis vektortr leggyakrabban hasznlt bzisa az ei( l ; 0; 0), e2(0; 1; 0), ..., ei(0; 0 ; . . 1 ; . . 0 ) (itt az i-edik helyen ll az l - es ) , . . e (0 ; 0 ; . . 1 ) egysgvektorokbl ll ortonormlt bzis.

Ha a v vektort a

v = Viei + V22 + - + vnen

alakban rjuk fel, akkor a jobb oldalon ll sszeadandk a vektor komponensei, a vu V2, vn szmok (ebben a sorrendben) a vektor koordinti az ei, e2, e bzisban. A vektor koordintit megadhatjuk oszlopba rendezve:

Vi

_Vn_

ilyenkor oszlopvektorrl, vagy sorba rendezve:

v = [vu v2; vn],

ilyenkor sorvektorrl beszlnk. Az oszlopvektort (helykmls cljbl) szoks a

v = [v v2; vn]*

alakba trni. Itt a csillag jelzi, hogy oszlopvektorrl van sz. A kt-, illetve a hromdimenzis vektorokra tanult mveletek kzl szmos mve-

let az ^-dimenzis vektorokra is hasonlan rvnyes. Ha v = [v V2\ vn] s w = [u>i; W2l w], ahol a koordintk vals szmok,

akkor

= [Xv Xv2\ Avn], A vals szm; v + w = [vx + wi, v2 + w2; ...; vn + wn]; y - w = [vt-w v2~w2; ...; vn-wn]\

|V| = ^v + vl + ... + v = ( t ; n

yw = V1W1 + V2W2 + ... + VW + ... + vnwn = VW (skalris i= 1 szorzat).

Tovbbi mveletekrl a 2.2.5 pontban lesz sz. Az w-dimenzis vektortr ltalno-stsa s rszletes trgyalsa a 2.3 rszben tallhat.

44

2. LINERIS ALGEBRA

2.1 Mtrixok s determinnsok

2.1.1 A mtrix fogalma A gyakorlatban nap mint nap sok-sok szmadattal kell dolgoznunk. Ezeket az

adatokat legtbbszr clszer (az ttekinthetsg kedvrt) klnfle tblzatokba rendezni.

Egy osztly tanulinak nhny adott rdemjegyt pl. a kvetkez tblzatba rdemes rendezni:

Tantrgyak 5 4 3 2 1

Magyar 5 9 11 6 0

Trtnelem 6 10 13 2 0

Matematika 2 7 12 8 2

Fizika 3 9 10 8 1

Kmia 4 10 10 6 1

Orosz nyelv 6 9 9 6 1

gy ui. az adatok knnyen ttekinthetk, sszehasonlthatk. Ha tbb osztlyrl s ugyanezekrl a tantrgyakrl van sz, flsleges a fejlceket

mindig megismtelni, egy-egy osztly jegyeit elegend az albbi alakban megadni:

"5 9 11 6 0" 6 10 13 2 0 2 7 12 8 2 3 9 10 8 1 4 10 10 6 1 6 9 9 6 1

gy nagyon lnyeges, hogy melyik szm melyik helyen ll. A most felrt tblzatot mtrixnak nevezzk.

45

DEFINCI. Mtrixnak nevezzk brmilyen n m szm a^ mennyisg (i = 1, 2, . . . , ; k = 1, 2, ..., ra) albbiak szerinti tglalap alak elrendezst, amelyet szgletes (esetleg kerek) zrjelbe tesznk:

a ii a 12 ..

2.1.2 A mtrix transzponltja. A minormtrix DEFINCI. H a az

011 012 .. 01m

A = 021 022 .. 02 m (ii-m)

an 1 0n 2 0/im

mtrix sorait s oszlopait felcserljk egymssal, az A mtrix transzponltjt kapjuk, ezt A*-gal vagy AT-vel jelljk:

011 021 .. .. 0/il

A* = 012 022 .. .. 0w2 (mn) *

01 m 02m .. 0/im

Az (n m) tpus mtrix transzponltja (m n) tpus mtrix. A transzponls lnyegt jl mutatja az

[atj]* = [ajt]

jells is. Pldul az

A (2-3) B -3

mtrix transzponltja az

A * = (3-2)

2 4 3 1 1 - 5

mtrix. Az -edrend (teht ngyzetes) mtrix rendszma a transzponls sorn nem vltozik.

Nyilvnval, hogy az A mtrix transzponlnnak transzponltja az eredeti A mt-rix.

Klnleges szerepe van az (n 1) s az (1 m) tpus mtrixoknak, vagyis azoknak a mtrixoknak, amelyeknek csupn egy oszlopa vagy csupn egy sora van. Az egyetlen oszlopbl ll mtrixot oszlopmtrixnak vagy - ha vektorknt fogjuk fel -oszlopvektornak, az egyetlen sorbl ll mtrixot sormtrixnak vagy sorvektornak nevezzk. Az a* oszlopmtrix, vagyis az A mtrix A:-adik oszlopa a kvetkezkppen rhat:

47

a k =

aik aik

A sormtrix, ill. sorvektor jellsekor - az oszlopvektortl val megklnbztets cljbl - azt is jelezzk, hogy a sorvektor az oszlopvektor transzponltja, teht az A mtrix /-edik sora az albbi formban rhat:

Ha tbb sorvektort kell megklnbztetnnk, s flrertst nem okozhat, akkor a csillagot fels indexszel helyettesthetjk. Helykmls cljbl szoks az oszlopvek-tort

alakban is felrni. Ez azt jelenti, hogy az ai oszlopvektor a jobb oldalon ll sorvektor transzponltja.

A mtrix fogalma - mint az eddigiekbl lthat - a vektor fogalmnak ltalnost-saknt is felfoghat.

Ha valamely A mtrixbl tetszs szerint sort s oszlopot elhagyunk, az A mtrix egy minormtrixt kapjuk. Ha pl. a

mtrix els, harmadik s negyedik sorban, valamint a msodik s negyedik oszlop-ban ll elemeit elhagyjuk, akkor B kvetkez minormtrixt kapjuk:

Ezt a minormtrixot szoks B; 5-tel is jellni, mert a B mtrix msodik s tdik sornak, illetve els, harmadik s tdik oszlopnak elemeibl alkottunk.

Az A mtrix pl. ai oszlopvektor vagy a1 sorvektora az A mtrix minormtrixnak tekinthet.

a* = [an, ai2, aim].

ai = [an , a2u 0ni]*

" 1 3 - 2 3 7 3 2 1 - 1 0

B = 4 8 - 6 7 - 2

2.1.3 Specilis mtrixok

Most nhny fontos specilis mtrixot mutatunk be. Zrusmtrixnak nevezzk azt a mtrixot, amelynek minden eleme 0. Pl. a

0 (2

= r i 3, L o oj

mtrix zrusmtrix. Diagonlmtrixnak nevezzk az olyan ngyzetes mtrixot, amelynek csak a bal

fels sarokbl a jobb als sarokba hzott tljban - a ftlban - van 0-tl klnbz eleme. Az

a n 0 . .. 0 0 an .. 0

Onn

diagonlmtrix rvid jellsre az

szimblumot hasznljuk. gy pl.

'3 0 0 -1 0 0

= .

Egysgmtrix az a diagonlmtrix, amelynek ftljban minden elem 1-gyel egyenl. Az egysgmtrixokat E-vel vagy irvel jelljk, ahol ij a Kronecker-fle szimblum: ij= 1, ha i=j9 s ij = 0, ha i^j. Az egysgmtrix rendszmt az E mell tett indexszel jellhetjk; gy pl.

E 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

= .

Az egysgmtrix" elnevezs indokoltsgt a mtrixmveletek kapcsn fogjuk beltni.

Azokat az oszlop-, ill. sorvektorokat, amelyeknek egyik eleme 1, a tbbi zrus, egysgvektoroknak nevezzk. A hrom elem egysgvektorok oszlopvektoralakban

T 0" 0" ei = 0 ; e2 = 1 ; e3 = 0

0 0 1

49

sorvektor alakjban

ef = [1; 0; 0]; e ! = [0; 1; 0]; e j = [0; 0; 1].

Az index itt azt jelli, hogy az egysgvektor melyik eleme 1. Minden H-edrend egysgmtrix n olyan oszlopra (sorra) bonthat, amelyeknek

mindegyike egysgvektor:

E = [ei; e2; e] vagy E =

e f e?

e*

sszegez mtrix vagy sszegez vektor az az oszlop- vagy sorvektor, amelynek minden eleme 1; jele 1. Az sszegez vektor nem egysgvektor! Az elnevezst a mtrixmveletek indokoljk.

Permutl mtrixnak nevezzk azt a ngyzetes mtrixot, amely az egysgmtrixbl az oszlopok vagy sorok ms .sorrend lersval (permutlsval) kaphat. A permu-tl mtrix minden sora s oszlopa csak egy-egy l-est tartalmaz, a tbbi eleme 0. Egy negyedrend permutl mtrix pl. a kvetkez:

P (4 4)

70 0 1 0" 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0

Szimmetrikus mtrixnak mondjuk azt a ngyzetes mtrixot, amelynek elemei a ftlra szimmetrikusak, azaz aij = aji'. A szimmetrikus A mtrix nyilvnvalan azo-nos transzponltjval, A*-gal. Szimmetrikus pl. az

S =

3 2

-4 1

2 - 2

3 - 2

4 1 3 - 2 5 6 6 1

mtrix. Antiszimmetrikus vagy ferdn szimmetrikus az a ngyzetes mtrix, amelyben a

ftlra szimmetrikus elemek egymsnak ellentettjei, azaz aij= aji minden /-re s j-re. Ezrt az antiszimmetrikus mtrix ftljban csak 0 llhat. Antiszimmetrikus mtrix pl. a

T =

0 1 - 3 2 - 1 0 5 - 4

3 - 5 0 1 - 2 4 - 1 0

mtrix.

50

KIDOLGOZOTT PLDK

1. Plda. Egy zem hromfle termket gyrt ngyfle alapanyagbl. Az egyes termkek egy-egy darabjhoz az albbi nyersanyagmennyisgek szksgesek:

Anyag Termk a b c d

I. 3 2 0 5

II. 1 1 4 2

III. 3 2 1 4

rjuk fel a termelsi adatokat mtrix segtsgvel! Megolds. Ha pl. a mtrix egy-egy sorba az egyes termkek nyersanyagszksgle-

tt, egy-egy oszlopba az egyes nyersanyagokat rjuk, a keresett mtrix a kvetkez:

T (3 4)

'3 2 0 5" 1 1 4 2 3 2 1 4

Ha az egyes termkek nyersanyagszksglett rjuk az oszlopokba, s a klnbz nyersanyagokat a sorokba, az eredeti mtrix transzponltjt kapjuk:

j* (4 3)

3 1 3' 2 1 2 0 4 1 5 2 4

Az is azonnal lthat, hogy a T mtrix oszlopmtrixai egy-egy nyersanyag felhasz-nlt mennyisgt mutatjk, ha mindegyik termkbl egyetlen darabot gyrtunk; sormtrixai pedig az egyes termkekhez felhasznlt nyersanyagok mennyisgt. (A T* mtrix esetben ppen fordtott a helyzet.) Pldul a

t3 =

oszlopmtrix a c nyersanyag felhasznlt mennyisgt mutatja, a

t2 = [1; 1; 4; 2]

sormtrix pedig a II. termk nyersanyagszksglett.

51

2. Plda. Egy vetlked dntjben az A,BsC csapatok egyms ellen a kvetkez pontszmokat rtk el:

A.B = 14: 15; A : C = 12 : 14; B : C = 14: 16.

rjuk fel az eredmnyeket mtrixalakban gy, hogy az /-edik sor s a fc-adik oszlop metszspontjban az /-edik csapatnak a fc-adik csapat ellen szerzett pontszma legyen!

Megolds. A dnt eredmnyei a

D (3 3)

0 14 12 15 0 14 14 16 0

mtrixszal jellemezhetk, ahol a mtrix atk eleme helyn az /-edik csapatnak a k-adik csapattal szemben elrt pontszma ll.

3. Plda. Egy konzervgyr vegyes gymlcsbefttet gyrt meggybl, szibarackbl s krtbl. Minden zemrszben azonban csak egyfle gymlcst dolgoznak fel, s a gymlcsk keverst ksbb vgzik el. Az elrt arnyok elrse cljbl az I. zemrsz a II. zemrsznek 14 t, a III. zemrsznek 12 t meggyet; a II. zemrsz az I. zemrsznek 15 t, a III. zemrsznek 14 t szibarackot; a III. zemrsz az I. zemrsznek 14 t, a II. zemrsznek 16 t krtt szllt. rjuk fel a szlltsi adatokat mtrix segtsgvel!

Megolds. A szban forg adatok az

" 0 14 12" M = 15 0 14

(3 3) 14 16 0

mtrixszal jellemezhetk, ahol az elem az /-edik zemrszbl a fc-adik zemrszbe szlltott gymlcs mennyisgt jelenti.

A 2. s 3. pldban kapott mtrixok egybevetsvel (D = M) figyeljk meg, hogy merben ms problmk vezethetnek ugyanahhoz a mtrixhoz!

52

2.1.4 Az fl-edrend determinns

DEFINCI, n-edrend determinnsnak nevezzk az n2 szm elembl ll, n sorba s n oszlopba rendezett

011 012 . .. ain 021 a22 .. a2n

an i an 2 . .. ann

alak tblzatot (ahol az elem els indexe azt a sort, msodik indexe azt az oszlopot jelli, amelyben az elem ll), amelynek a kvetkez rtket tulajdont-juk:

an 012 . .. 0i 021 022 . .. 02 = 011^11+012^12+.

n ,. + a\nA\n = YJ aikAik,

k= 1 an i 02 . ann

ahol A\k az a\k elemhez tartoz (n l)~edrend (eljeles) aldeterminnst jelenti. Ezt az eredeti determinnsbl gy kapjuk, hogy az els sor s a fc-adik oszlop elhagysval add (n l)-edrend determinnst ( l)1+fc-nal megszorozzuk.

A determinns rtknek ez a meghatrozsi mdja a determinns els sora szerinti kifejtse.

Ha a fenti kifejtsben szerepl A1U A 2 , A l n (n- l)-edrend aldeterminnsokat a definci szerint (n 2)-edrend aldeterminnsokkal, ezeket (n 3)-adrend aldeter-minnsokkal fejezzk ki, s ezt az eljrst tovbb folytatjuk, vgl msodrend aldeterminnsokhoz jutunk. Mivel a msodrend determinns rtke definci szerint

a b c d = adbe,

mindegyik msodrend aldeterminnsbl kt szorzatot kapunk. gy az w-edrend determinns teljes kifejtse sorn kapott w-tnyezs szorzatok szma

n(n 1) (w 2)... 3 2 = n\

(az n! jelet n faktorilisnak olvassuk). Megjegyezzk, hogy az H-edrend determinnsnak az elbbi defincija egy gyne-

vezett rekurzv definci, mert az H-edrend determinns fogalmt az (n- l)-edrend determinns fogalmra vezeti vissza s gy tovbb, vgl a msodrend determinns fogalmt kzvetlenl adja meg.

53

Az H-edrend determinns ms defincija is ismert. A determinns fogalmt 1693-ban G. W. Leibniz vezette be. A determinns elneve-

zst elszr 1815-ben A. Cauchy hasznlta. A determinns mai jellst elszr A. Cayley alkalmazta.

A defincikbl nyilvnval, hogy a mtrix s a determinns ms-ms fogalom.

2.1.5 A determinnsok nhny tulajdonsga Egy -edrend determinns rtknek a kiszmtsa mr viszonylag kis n esetn is

elg hosszadalmas s fraszt feladat. A kvetkezkben a determinnsok nhny olyan tulajdonsgt s nhny mveleti szablyt sorolunk fel, amelyek (azon kvl, hogy nmagukban is rdekesek) ezt a munkt knnythetik meg. Egyes lltsokat bizonytani is fogunk.

1. A determinnst brmelyik sora vagy oszlopa szerint kifejtve ugyanazt az rtket kapjuk:

YJ aikMk = Ya Vikiik, k=l i=l

ahol az els esetben a kifejts az i-edik sor szerint (i = 1, 2, ..., n), a msodikban a k-adik oszlop szerint (k = 1, 2, ..., ri) trtnt. Az Aik eljeles aldeterminns eljele ( - 1 )i+k-nal egyenl, s az eljel meghatrozst az n. sakktblaszably:

+ - + - . . . - + - + ... + - + - . . .

teszi knnyen megjegyezhetv.

2. A determinns rtke nem vltozik, ha sorait s oszlopait egymssalflcserl-jk (a determinnst a ftljra tkrzzk).

Ez a tulajdonsg azt biztostja, hogy a determinns soraira bebizonytott lltsok automatikusan rvnyesek a determinns oszlopaira s fordtva.

3. Ha a determinns kt sort (oszlopt) egymssal flcserljk, a determinns rtke ( 1 Ygyel szorzdik.

a ii a 12 ... au a2i a22 ... a2n

cini Cln2 ... ann

54

Bizonyts. A bizonytst elszr arra az esetre vgezzk el, amikor-a determinns kt szomszdos sort, pl. az /-edik s az (/+ l)-edik sort cserljk fl egymssal. Ha az eredeti determinnst az Z-edik, a flcserlt sor determinnst pedig az (/+ l)-edik sora (amelyben most az /-edik sor elemei llnak) szerint kifejtjk, akkor a kt kifejtsben a szorz elemek s az aldeterminnsok elemei rendre ugyanazok, csak az aldeterminnsok eljele a sakktblaszably szerint ellentettjre vltozik. Ez pedig azt jelenti, hogy a determinns rtke ( l)-gyel szorzdik, eljelet vlt.

Ha most nem kt szomszdos, hanem kt tetszleges sort cserlnk fl a determi-nnsban, akkor ez a csere mindig helyettesthet szomszdos sorok pratlan szm cserjvel. Legyen ugyanis a flcserlend /-edik sy'-edik sor kztt k db sor. Ekkor k db szomszdcservel az /-edik sor a /-edik sor mell hozhat, egy szomszdcservel a kt sor flcserlhet, majd jabb k db szomszdcservel a y-edik sor az /-edik sor helyre vihet. Ez sszesen 2/r + 1, azaz pratlan szm szomszdcsere. A determinns rtke a cserk sorn a ( - l)2k + 1 = - 1 rtkkel szorzdik, azaz eljelet vlt. Ezzel lltsunkat belttuk.

4. Ha egy determinns kt sora (oszlopa) elemrl elemre megegyezik egyms-sal, akkor a determinns rtke 0.

Bizonyts. Jelljk a szban forg determinns rtkt Z)-vel. Ha a determinns kt megegyez sort (oszlopt) egymssal flcserljk, akkor a determinns rtke egyrszt vltozatlan marad, msrszt a 3. tulajdonsg szerint ( l)-gyel szorzdik, azaz D= D. Ebbl az egyenletbl 2Z> = 0, s ez csak gy lehetsges, ha D =

5. Ha a determinns valamely sorban (oszlopban) csupa 0 ll, akkor a determinns rtke 0.

Bizonyts. Fejtsk ki a determinnst ama sora (oszlopa) szerint, amelyben minden elem 0. Ekkor a kifejts minden tagja s gy a determinns rtke is 0.

6. Ha a determinns valamely sornak (oszlopnak) elemeit egy msik sor (oszlop) elemeihez tartoz aldeterminnsokkal szorozzuk meg, akkor a szorzatok sszege 0.

7. Ha a determinns ftlja alatt (felett) csupa 0 ll, a determinns rtke a ftlban ll elemek szorzatval egyenl.

Bizonyts. Fejtsk ki a determinnst els oszlopa (sora) szerint. A kifejts egyetlen tagbl ll, nevezetesen az a n elem s egy olyan aldeterminns szorzatbl, amelynek ftlja alatt (felett) csupa 0 ll. Folytatva az eljrst a kapott aldeterminnsra vgl is az eredeti determinns ftljban ll elemek szorzathoz jutunk.

8. Ha a determinns valamely sorban (oszlopban) minden elem kt elem sszegre (klnbsgre) bonthat, akkor a determinns kt determinns ssze-

55

gre (klnbsgre) bonthat a kvetkez mdon:

0 n 012 01n 021 022 ... 02n

0ii=Mi 0i2 a'i 2 ... aina'in

0wi an 2 ann

0 u 012 ... ain 011 012 ... 01n 021 022 ... 02w 021 022 ... 0 2n

an ai2 ... ain

01 aj 2 ... din

a i an 2 ann an 0w2 ... ann

Bizonyts. Fejtsk ki a szban forg determinnsokat /-edik soruk szerint. Ekkor az egyenlsg bal oldaln

{an an)An + (ai2 ai2)Ai2 + ... + (ain

a jobb oldalon pedig

(anAn + ai2Ai2 + ... + ainAin) (ahAn + ai2Ai2+ ... + ainAi^

ll. Ha a bal oldalon kijellt szorzsokat elvgezzk, a kt oldalrl mr ltszik, hogy egyenlk egymssal.

Ez a tulajdonsg azt is jelenti, hogy kt determinnst bizonyos esetekben szabad sszevonni; nevezetesen akkor, ha a kt azonos rend determinns csak egy-egy azonos sorszm sornak (oszlopnak) elemeiben tr el egymstl. Ekkor az sszevo-ns gy trtnik, hogy az azonos sorok (oszlopok) elemeit vltozatlanul hagyjuk, az eltr sor (oszlop) megfelel elemeit pedig sszevonjuk.

9. Ha a determinns valamely sornak (oszlopnak) minden elemt megszoroz-zuk a te R llandval, akkor a determinns rtke az eredeti rtk t-szeresre vltozik.

Ha pldul a determinns /c-adik oszlopnak minden elemt szorozzuk meg a / e R szmmal, akkor

011 t 2 .. 011 012 . .. ain 021 022 . .. ta2k ., .. 02 = t 021 022 .. 02fc < .. 02/i

0n 1 0n 2 . ann 0/11 0/i 2 .. . 0/i/i

56

Bizonyts. Fejtsk ki a determinnsokat k-adik oszlopuk szerint! Ekkor az egyen-lsg bal oldaln

talkA i* + ta2kA2k + ... + tankAnk,

a jobb oldaln

t(akA i k + a2kA2k +... + ankAnk)

ll, 4s ezek valban egyenlk. Ez a szably azt is jelenti, hogy a determinns el akkor emelhet ki egy szorzt-

nyez, ha az a determinns egyik sornak (oszlopnak) minden elembl kiemelhet.

10. Ha a determinns egyik sora (oszlopa) egy msik sornak (oszlopnak) a tbbszrse, akkor a determinns rtke 0.

Bizonyts. A 9. tulajdonsg lehetv teszi, hogy a determinns egyik sorbl (oszlopbl) az arnyossgi tnyezt kiemeljk. A kiemels utn kapott determinns kt sora (oszlopa) megegyezik, ezrt (a 4. tulajdonsg rtelmben) a determinns rtke 0.

11. A determinns rtke nem vltozik, ha valamely sornak (oszlopnak) elemeihez hozzadjuk egy msik sora (oszlopa) megfelel elemeinek valahnyszo-rost.

Bizonyts. Ha a D determinns /-edik sornak elemeihez adjuk a y-edik sor megfe-lel elemeinek -szerest, akkor a kapott D i determinns /-edik sorban kttag sszegek llnak. D\ a 8. tulajdonsg alapjn felbonthat kt determinns sszegre, amelyek kzl az egyik a D determinns, a msik pedig egy olyan determinns, amelynek /-edik sorbl a 9. tulajdonsg szerint kiemelhet a t, s utna az /-edik sorban ay-edik sor elemei llnak. Mivel ay-edik sorban is ezek az elemek llnak, ezrt ennek a determinnsnak az rtke a 4. tulajdonsg szerint 0, s ezzel lltsunkat belttuk.

KIDOLGOZOTT PLDK

1. Plda. Szmtsuk ki a

1 - 3 2 4 3 - 5 2 1 0

determinns rtkt a) a msodik sora szerinti, b) a harmadik oszlopa szerinti, c) a harmadik sora szerinti kifejtssel, d) a 11. tulajdonsg felhasznlsval!

57

Megolds.

a) 1 - 3 2 4 3 - 5 2 1 0

= - 4 - 3 2 1 0 + 3 1 2 2 0

+ 5 1 -3 2 1 = 4(0 2) + 3(0 4) + 5(1 + 6) = 31.

b)

1 - 3 2 4 3 - 5 2 1 0

= 2 4 3 2 1 + 5 = 2 ( 4 - 6 ) + 5 ( 1 + 6 ) = 31.

c)

1 - 3 2 4 3 - 5 2 1 0

= 2 - 3 2 1 2 3 - 5 4 - 5 = 2(15 6) ( 5 8) = 31.

d) Adjuk a determinns els oszlophoz a msodik oszlop (-2)-szerest, majd fejtsk ki a determinnst a harmadik sora szerint! Ekkor

1 - 3 2 4 3 - 5 2 1 0

7 - 3 2 2 3 - 5 0 1 0

7 ' 2 2 - 5 = - ( - 3 5 + 4) = 31.

Hasonltsuk ssze az egyes kifejtseket munkaigny szempontjbl! 2. Plda. Hatrozzuk meg a

D =

2 3 3 2

3 - 2

2 4

-2 4 1 2 3 4 0 5

determinns rtkt! Megolds. A determinns harmadik oszlopban a negyedik elem 0. Ha a msodik

sor elemeinek a ktszerest hozzadjuk az els, ( 3)-szorost pedig a harmadik sor megfelel elemeihez, akkor a harmadik oszlopban kt jabb elem (az els s a harmadik) 0 lesz. Ha ezutn a harmadik oszlop szerint fejtjk ki a determinnst, a kifejts eredmnye egyetlen (s nem 4) harmadrend determinns:

58

2 3 3

- 2

3 - 2 4 2 + 2(3) 3 + 2( - 2) - 2 + 2(1) 4 + 2(2) - 2 1 2 = 3 - 2 1 2

2 3 4 3 - 3 ( 3 ) 2 3( 2) 3 - 3 ( 1 ) 4 - 3 ( 2 ) 4 0 5 - 2 4 0 5

A (l)-gyel val szorzst vgezzk el a msodik sorban. Utna adjuk hozz a msodik oszlop elemeinek a 8-szorost az els, majd a harmadik oszlop megfelel elemeihez, rviden kifejezve: a msodik oszlop 8-szorost az els, majd a harmadik oszlophoz, vgl fejtsk ki a kapott determinnst az els sora szerint. Ekkor egy msodrend determinnst kapunk:

8 - 1 8 6 - 8 2

-2 4 5

0 - 1 0 - 5 8 8 - 6 2

30 4 37

58 30

62 37 = - 2 8 6 .

3. Plda. Legyenek a, b, c vals szmok. Bizonytsuk be, hogy

1 a b+c 1 b c + a 1 c a + b

= 0.

Megolds. Adjuk hozz a determinns msodik oszlopt a harmadik oszlophoz, majd a harmadik oszlopbl emeljnk ki (a+b + c)-1. Ekkor

1 a b+c 1 b c + a 1 c a + b

1 a a+b+c 1 b a+b+c 1 c a+b+c

= {a + b + c) 1 a 1 1 b 1 1 c 1

Az utols determinns kt oszlopa megegyezik, ezrt rtke 0, s ezzel lltsunkat belttuk.

59

Az

2.2 Mveletek mtrixokkal

2.2.1 Mtrixok egyenlsge DEFINCI. Kt mtrixot akkor s csak akkor neveznk egyenlnek, ha azonos tpusak s megfelel helyeken ll elemeik megegyeznek.

A = B (n m) (n m)

mtrixegyenlsg teht nm szm szmegyenlsgnek felel meg. Az

A =

fennll tovbb, hogy

(A + B)* = A* + B*.

Knnyen lthat, hogy

A + 0 = A

s

(A B) + B = A.

2.2.3 Mtrix szorzsa skalrral

DEFINCI. Legyen az A = [aik\ mtrix s X e R adott. A XA mtrixnak azt az A-val azonos tpus B mtrixot nevezzk, amelynek elemeire

bik = Xik.

Ez azt jelenti, hogy egy mtrixot gy szorzunk meg egy szmmal, hogy minden elemt megszorozzuk a szmmal.

Mtrix szorzsa skalrral kommutatv, asszociatv s disztributv mvelet, azaz

X A = AX\ (XJ)A = X(JUA);

(/l + /z)A = XA + JUA s X(A + B) = XA + XB.

A ( - 1) A helyett rviden - A-t szoks rni.

2.2.4 Mtrixok lineris kombincija DEFINCI. Ha az Ai, A 2 , . . A azonos tpus mtrixokat rendre megszorozzuk a k9 k2, kn vals szmokkal, s a szorzatokat sszeadjuk, akkor az gy kapott

ki Ai + k2A2 +... + kn An = L

mtrixot az adott mtrixok lineris kombincijnak nevezzk.

Az olyan lineris kombincit, amelyben a k9 k2, kn szmok mindegyike nemnegatv s sszegk 1, konvex lineris kombincinak nevezik.

61

Megjegyezzk, hogy mtrixok konvex lineris kombincijnak minormtrixai a mtrixok megfelel minormtrixainak ugyanazon szmokkal kpzett konvex lineris kombincii.

KIDOLGOZOTT PLDK

1. Plda. Legyen

"1 2 - 1 0" "3 - 4 1 2 A = 4 0 2 1 s B = 1 5 0 3

2 - 5 1 2 2 - 2 3 - 1

rjuk fel az A + B, A - B, 3 A s - B mtrixokat! Megolds. Esetnkben

"1 + 3 2 - 4 1 + 1 0 + 2" "4 - 2 0 2 A + B 4 + 1 0 + 5 2 + 0 1 + 3 5 5 2 4 9

_2 + 2 - 5 - 2 1 + 3 2 - 1 _4 - 7 4 1

"1 - 3 2 + 4 - 1 - 1 0 - 2 " r _ 2 6 - 2 2" A - B = 4 - 1 0 - 5 2-- 0 1 - 3 3 - 5 2 2

2 - 2 - 5 + 2 1-- 3 2 + l _ -

0 - 3 - 2 3

3 6 - 3 0" r 3 4 - 1 -2" 3A = 12 0 6 3 ? - B = 1 5 0 - 3

1 6 - 15 3 6 2 2 - 3 1

2. Plda. Legyen

A l = [ - 1 o ] ' A 2 = [ - 3 ] ' A 3 = [O - 4 ] '

ki = 3, k2 = ~ 1, kz = - 2. Hatrozzuk meg az

L = kiAt =1 lineris kombincit!

Megolds. Adatainkkal

- - ! S]-[= ] - [ o =J]-[i !]

62

2.2.5 Mtrix szorzsa mtrixszal, skalrszorzat, diadikus szorzat

Az A = [aik] mtrixnak a B = [bik] mtrixszal (a mtrixok elemei vals szmok) val s AB-vei jellt szorzatt csak akkor rtelmezzk, ha az A mtrixnak (azaz a bal oldali tnyeznek) ugyanannyi oszlopa van, mint ahny sora a B mtrixnak (azaz a jobb oldali tnyeznek). Ha ez teljesl, azt mondjuk, hogy A s B az adott sorrendben konformbilisak. Az A s B mtrixok az A, B sorrendben konformbilisak, de

(n m) (m p) h'&n^p, akkor a B, A sorrendben nem.

DEFINCI. AZ (n m) tpus A = [atk] s (m p) tpus B = [bik] mtrixok A B szorzatn azt az (n p) tpus C mtrixot rtjk, amelynek dk eleme:

cik = anbn + ai2b2k + ... + aimbmk. ^

Vagyis a C szorzatmtrix z-edik sorban s k-adik oszlopban ll elemet gy kapjuk meg, hogy az A mtrix /-edik sornak s a B mtrix &-adik oszlopnak megfelel elemeit sszeszorozzuk s a szorzatokat sszeadjuk, vagyis az z-edik sor s a /c-adik oszlop kompozcijt kpezzk. (Ez mskppen fogalmazva azt jelenti, hogy a C szor-zatmtrix Cik eleme az A mtrix -edik sornak s a B mtrix /c-adik oszlopnak a skalris szorzata.) Az sszeads s a szorzs defincijbl kvetkezik, hogy a mtrix-szorzs nem kommutatv, de asszociatv s disztributv mvelet, vagyis az A, B, C mtrixok esetn (ha az albbi mveletek egyltaln elvgezhetk):

AB^BA, (AB)C = A(BC),

(A + B)C = AC + BC s A(B + C) = AB + AC.

Ha egy szorzatban az egyik tnyez skalr, akkor a szorzat fggetlen attl, hogy a skalrt hnyadik tnyezknt rjuk fel. Ennek megfelelen

( A)B = A/IB - (AB)A - A(AB).

A mtrixszorzs kommutativitsa mr csak azrt sem llhat fenn ltalnosan, mert eleve az sem biztos, hogy a tnyezk flcserlsvel felrt szorzat egyltalban rtel-mezhet. Csupn ngyzetes mtrixok esetben lehet sz a szorzs kommutativits-rl, de ezeknl is csak specilis esetekben valsul meg. Ilyen specilis eset pldul az, amikor az egyik tnyez a zrusmtrix vagy az egysgmtrix. Ekkor rvnyesek az albbi azonossgok:

AO = 0 A = 0, AE = EA = A.

63

Szorozzuk ssze pldaknt az

A =

1 2 1 0

es a B =[o - ! - i]

mtrixokat. Ezek A, B sorrendben konformbilisak, szorzatuk:

AB

1 - 4 + 3 - 0 2 - 4 + 0 - 0

( - l ) - 4 + l - 0 0 - 4 + 2 - 0

1 3 2 0

-1 1 0 2

[o -? "J-1 0 + 3 ( 1) 1 ( - l) + 3 0 2 0 + 0 ( 1) 2 ( l) + 0 0

( 1) 0 + 1 ( 1) ( 1) ( 1)+ 1 0 0 0 + 2 ( 1) 0 ( l) + 2 0

-4 0

3 - 1 0 - 2

1 1 2 0

A szorzatmtrix kiszmtsakor knny hibzni, a kiszmtott elemet rossz helyre rni. Ezrt clszer a kt sszeszorzand mtrixot gy elhelyezni, hogy a berand elem helyt ne lehessen eltveszteni. Az albbi elrendezs egy ilyen lehetsget mutat, amelyet Falk-mdszernek neveznek:

B = 4 | " ! - i 0 j - l j 0

1 3 2 0

i - l l i 0 2

4 - 3 - 1 8 0 - 2

- 4 i - l i 1 0 - 2 0

gy az eredmnymtrix eleme ppen annak a sornak s oszlopnak a kompozcija, amelyeknek metszspontjban ll.

Ez egyszer lehetsget ad a szmts ellenrzsre: az n. oszlopsszegprbt vagy sor sszegprbt.

Az oszlopsszegprba esetben sszeadjuk az A mtrix oszlopaiban ll elemeket, s az sszegeket az A mtrix utols sora al rjuk kiegszt sorknt. Ezutn elvgez-zk ezzel a sorral is a szorzst, s a kapott eredmnyeket az AB mtrix utols sora

64

al rjuk. Ha minden szmtsunk helyes volt, gy az AB mtrix oszlopaiban ll elemek sszegt kapjuk.

4 0 - 1 0 - 1 0

1 3 2 0

- 1 1 0 2

4 - 3 - 1 8 0 - 2

- 4 - 1 1 0 - 2 0

2 6 8 - 6 - 2

Az eljrs alapja az (A + B)C = AC + BC disztributv trvny. Ha a prbt a B mtrixon vgezzk el, s oszlop helyett mindentt sort vesznk

(s fordtva), a sorsszegprbhoz jutunk. Esetnkben:

4 0 - 1 3 0 - 1 0 - 1

1 3 4 - 3 - 1 0 2 0 8 0 - 2 6

- 1 1 - 4 - 1 1 - 4 0 2 0 - 2 0 - 2

A Falk-mdszernek mg az is elnye, hogy tbb tnyezs szorzatok esetben a tnyezk egyms mell rhatk tblzatosan, s a rszszorzatok tbbszrs lerst megtakarthatjuk.

A mtrixszorzs defincijbl nyilvnval, hogy az A s B mtrixok csak akkor szorozhatok ssze mind az AB, mind pedig a BA sorrendben, ha az A mtrix (n m) tpus s a B mtrix (m n) tpus.

Mivel a mtrixszorzs ltalban nem kommutatv mvelet, ezrt beszlnk bal oldali s jobb oldali szorzsrl.

Az elzekben mr lttuk, hogy a zrusmtrixra 0A = A0 = 0, de zrusmtrixot kaphatunk egy szorzs eredmnyeknt akkor is, ha a tnyezk egyike sem zrusmtrix! gy az a vals szmok halmazban megszokott megllapts, hogy egy szorzat akkor s csak akkor zrus, ha egyik tnyezje zrus", a mtrixok krben nem rvnyes. Pldul az

65

mtrixok AB szorzata zrusmtrix. Ugyanis

B = - 1 3 5

1 - 3 - 5 - 1 3 5

2 - 3 - 5 - 1 4 5

1 - 3 - 4

0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 - 2 - 4 0 0 0

Ha az A mtrixhoz tallhat olyan B ^ 0 mtrix, amllyel AB = 0, akkor az A mtri-xot bal oldali zrusosztnak nevezik. (Elz pldnk A mtrixa teht bal oldali zrusoszt.) Hasonlan: ha a B mtrixhoz tallhat olyan A mtrix, hogy AB = 0, akkor jobb oldali zrusoszt (vagyis elz feladatunk mtrixa jobb oldali zrus-oszt), A s B zrusosztpr.

rdemes megfigyelni, hogy esetnkben BA = 0 szintn igaz.

2 - 3 - 5 A = - 1 4 5

1 - 3 - 4

- 1 3 5 0 0 0 B = 1 - 3 - 5 0 0 0

- 1 3 5 0 0 0

- 1 3 5 0 0 0

teht B bal oldali zrusoszt, A pedig jobb oldali zrusoszt is. Tekintsnk most egy-egy n elem sor- s oszlopvektort, s szorozzuk ket ssze

egymssal, ekkor a tnyezk sorrendjtl fggen a szorzat szm vagy ngyzetes mtrix lehet.

A vals elem

a* = [au a2;an] s b* = [b b2;bn]

vektorok

a*b = b*a = [ai;a2;

bi b2

bn

= [b b2\

a i a 2

an

66

= aibi+a2b2 + + ab = akbk k = 1

szorzatt a kt vektor skalris szorzatnak neveztk (1. az 1.4 pont).

DEFINCI. AZ elbbi kt vektor

ai aibi a\b>2 . . .

ab* = a2 [b b2\... \bn] = a2bi ... a2bn

5

an anb I ... anbn

ill.

V II ... bian

ba* = b2 [a a2;.. .; an] = . . . 62A

bn ... bnan

szorzatnak neve diadikus szorzat vagy rviden did.

Minden A B mtrixszorzat mindig kifejezhet a tnyezk oszlop-, ill. sorvek-n m) (m p)

toraival, mgpedig ktfle mdon aszerint, hogy melyik tnyezt lltjuk el sorvekto-raival s melyiket oszlopvektoraival. Az

A = s B = [bi;b2; ...;bp]

alakban felrt tnyezk esetn

AB =

a

[bi; b2;. . .; bp] =

a bi a b2 ... a bp a bi a b2 ** a bp

a*bi awb2 anb

teht a szorzatmtrixnak n sora s p oszlopa van, s elemei skalrszorzatok. Az . n

A = [ai; a 2 ; a m ] s B =

67

alakban felrt tnyezk esetn pedig

AB = [ai; a 2 ; a m ] b2

bm = aib1 + a2b2 + . . . + ambm,

teht a szorzat m szm did sszege: kt mtrix szorzata mindig felrhat didok sszegeknt.

A gyakorlatban sokszor van szksg arra, hogy a mtrixok sorait, ill. oszlopait egymssal felcserljk, egy sorhoz vagy oszlophoz valamely msik sor vagy oszlop valahnyszorost hozzadjuk, s gy tovbb. A szmtgpek ezeket a mveleteket mtrixszorzssal hajtjk vgre, ezrt most nhny ilyen pldt mutatunk be.

1. Kpezzk az

1 4 - 3 " " A = 2 0 1 s B = 1

(3 3) - 1 3 - 5 (3 1) 1

mtrixok AB szorzatt!

1 B = 1

1

1 4 - 3 2 A = 2 0 1 3

- 1 3 - 5 - 3 = AB.

Vegyk szre, hogy az AB mtrix egy olyan oszlopvektor, amelynek elemei az A mtrix megfelel soraiban ll elemek sszegei.

ltalban is igaz, hogy ha az (m n) tpus A mtrixot jobbrl megszorozzuk, az (in 1) tpus [1; 1 ; 1 ] * oszlopvektorral, az oszlopsszegez vektorral (mtrixszal), akkor egy olyan oszlopvektort kapunk, amelynek elemei rendre az A mtrix megfelel soraiban ll elemek sszegei.

Hasonl mdon belthat, hogy ha az (m r) tpus A mtrixot balrl megszoroz-zuk az (1 m) tpus [1; 1 ; 1 ] sorvektorral, a sorsszegez vektorral (mtrixszal), akkor egy olyan sorvektort kapunk, amelynek elemei rendre az A mtrix megfelel oszlopaiban ll elemek sszegei.

Megjegyezzk, hogy az elektronikus szmtgpek ilyen mdszerrel (mtrixszor-zssal) sszegezik mtrixok oszlopaiban (soraiban) ll elemeket.

68

2. Szorozzuk most meg az

4 - 1 0 " 0 1 0" A = 3 2 - 1 mtrixot a P = 0 0 1

(3 3) 5 - 6 3 (3 3) 1 0 0

permutl mtrixszal elbb balrl, majd jobbrl!

PA = 0 1 0" 0 0 1 1 0 0

' 4 - 1 0" 3 2 - 1 5 - 6 3

3 2 - 1 5 - 6 3 4 - 1 0

Lthat, hogy a szorzs eredmnyeknt az A mtrix sorai megcserldtek, mgpe-dig az els sorbl harmadik sor, a msodikbl els s a harmadikbl msodik sor lett. Ez annak a kvetkezmnye, hogy a P mtrixban az 012, 023, 3i elemek helyn lltak az l-esek. Vegyk szre, hogy ha ezeknek az elemeknek az indexeit fordtott sorrend-ben elolvassuk, a vgbement sorcserket llapthatjuk meg.

AP = " 4 - 1 0' 3 2 - 1 5 - 6 3

0 1 0 0 4 - 1 0 0 1 = - 1 3 2 1 0 0 3 5 - 6

Most az lthat, hogy a szorzs eredmnyekppen az A mtrix oszlopai cserldtek fel, mgpedig az els oszlopbl msodik, a msodik oszlopbl harmadik, s a harma-dik oszlopbl els oszlop lett. A permutl mtrix nem zrus elemeinek, az #12, 023, 031 elemeknek az indexe a vgbement oszlopcserket vilgosan mutatja, ha azokat sorrendben olvassuk le.

A permutl mtrixokkal val szorzs tjn tetszleges mtrixok sor-, illetve oszlopcserje is vgrehajthat.

Nzzk most meg, milyen permutl mtrixszal kell megszoroznunk az

A =

2 4 - 3 1

0 5 - 2 7

mtrixot, hogy az els s harmadik, tovbb a msodik s negyedik sora helyet cserljen?

Mivel sorok cserjt akarjuk elrni, a permutl mtrixszal balrl kell szoroznunk, s hogy a szorzs elvgezhet legyen, egy negyedrend permutl mtrixot kell vlasztanunk. A kvnt sorcserket akkor rjk el, ha az a permutl mtrix l-es elemeit az a 13, 031, 024, 042 elemek helyre vlasztjuk.

69

Valban

A =

2 4 - 3 1

0 5 - 2 7

0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0

' o 5 - 2 7

2 4 - 3 1

1 1 1 1 - 3 17

Figyeljk meg: mivel a sorokat egymssal cserltk fel, a P permutl mtrix szimmetrikus!

3. Szorozzuk meg az

"1 3 -2 "1 0 0" 4 - 1 2 mtrixot a C = 0 1 0 1 2 1 0 0 c

mtrixszal balrl, majd jobbrl (c vals szm)!

"1 0 0" "1 3 - 2 " "1 3 - 2 CA = 0 1 0 4 - 1 2 = 4 - 1 2

_0 0 c_ 1 2 1 c 2c c

"1 3 -2 "1 0 0" "1 3 2c AC = 4 - 1 2 0 1 0 = 4 - 1 2c

1 2 1 0 0 c 1 2 c

Vegyk szre, hogy az els esetben A harmadik sornak, a msodik esetben A har-madik oszlopnak minden eleme c-vel szorzdott!

ltalban, ha az egysgmtrix (ftljban ll) au= 1 eleme helyre a vals c szmot rjuk, akkor ezzel a mtrixszal balrl szorozva a vele konformbilis A mtri-xot A -edik sora, jobbrl szorozva a vele konformbilis B mtrixot, B /-edik oszlopa c-vel szorzdik.

4. Szorozzuk meg az

"1 3 -2 1 c 0' A = 4 - 1 2 mtrixot a D = 0 1 0

1 2 1 0 0 1

mtrixszal balrl, majd jobbrl (c vals szm)!

70

1 c 0" "1 3 2 "1+4 c 3 - c - 2 + 2 c DA = 0 1 0 4 - 1 2 = 4 - 1 2

0 0 1 1 2 1 1 2 1

"1 3 -2 "1 c 0" "1 c + 3 -2 AD = 4 l 2 0 1 0 = 4 4c- 1 2

1 2 1 0 0 1 1 c + 2 1

Vegyk szre, hogy az els esetben a szorzs ugyanazt eredmnyezte, mintha az A mtrix msodik sornak c-szerest hozzadtuk volna az els sorhoz, a msodik esetben pedig azt, mintha az els oszlop c-szerest adtuk volna hozz a msodik oszlophoz.

ltalban, ha az egysgmtrix y=0 (i^j) eleme helybe a c vals szmot rjuk, s az gy kapott mtrixszal balrl megszorozzuk a vele konformbilis A mtrixot, akkor az A mtrix /-edik sorhoz addik a y-edik sor c-szerese; ha pedig ugyanezzel a mtrixszal jobbrl szorozzuk meg a vele konformbilis B mtrixot, akkor a B mtrix /-edik oszlopnak oszerese addik a y-edik oszlophoz.

5. Vgl hatrozzuk meg, milyen mtrixszal kell megszorozni az

"1 3 - 2 " 5 - 2 1 0 - 4 2 2 5 - 3_

mtrixot, hogy a) els sorhoz adjuk negyedik sornak ktszerest, b) els oszlopnak hromszorost s msodik oszlopnak -2-szerest adjuk a

harmadik oszlophoz? A feladat a) rsze kvetelmnyeinek teljestshez rjunk a negyedrend egysgmt-

rix a 14 = 0 eleme helybe a c = 2 szmot, s az gy kapott C mtrixszal szorozzuk meg balrl az A mtrixot!

Valban

'9 13 - 8 " 5 - 2 1 0 - 4 2 ' 2 5 - 3_

A feladat b) rsze kvetelmnyeinek teljestshez rjunk a harmadrend egysg-mtrix 0i3 = 0 eleme helybe 3-t, a2?> eleme helybe ( - 2)-t, s az gy kapott D mtrix-szal szorozzuk meg az adott A mtrixot jobbrl!

A = (4 3)

CA =

1 0 0 2 5 3 - 2 0 1 0 0 5 - 2 1 0 0 1 0 0 - 4 2 0 0 0 1 2 5 - 3

71

Valban

D = 1 0 3 0 1 - 2 0 0 1

5 3 - 2 5 - 2 1 0 - 4 2

' 2 5 - 3

5 3 7 5 - 2 20 0 - 4 10 2 5 - 7

12 2 - 2 12 2 30

2.2.6 Mtrixok hatvnyozsa DEFINCI. AZ A ngyzetes mtrixbl kpezhet n tnyezs

1 2 3 n

A A A ... - A = A"

szorzatot az A mtrix n-edik hatvnynak nevezzk (n termszetes szm). Meg-llapodunk abban, hogy

A = E. (n n)

A defincibl kvetkezik, hogy egy diagonlis mtrix rc-edik hatvnya ismt diagon-lis mtrix, amelynek a ftlban ll elemei az eredeti mtrix ftljban ll megfe-lel