Linearis Passziv Elemek

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Automatizálási és Alkalmazott Informatikai Tanszék

Elektrotechnika alapjai

Mérési útmutató

4. mérés

Lineáris passzív elemek

Dr. Nagy István előadásai alapján és vezetésével írta Dr. Hamar János

Legutolsó frissítés: 2011. június 10.

Elektrotechnika alapjai 4. mérés: Lineáris passzív elemek

Tartalomjegyzék 4.1 A mérés célja ................................................................................................................... 3

4.2 Kötelező irodalom........................................................................................................... 3

4.3 Ajánlott irodalom ............................................................................................................ 3

4.4 A felkészültség ellenőrzése ............................................................................................. 3

4.5 A mérés elméleti alapjai .................................................................................................. 3

4.5.1 R, L, C tagok............................................................................................................ 4

4.5.2 Soros R-L kör........................................................................................................... 7

4.5.3 Rezonanciák........................................................................................................... 10

4.5.4 Átviteli függvény, jósági tényező .......................................................................... 12

4.6 Mérési feladatok............................................................................................................ 13

4.6.1 Soros R-L kör vizsgálata........................................................................................ 13

4.6.2 Párhuzamos R-L kör vizsgálata ............................................................................. 15

4.6.3 Soros R-C kör vizsgálata ....................................................................................... 17

4.6.4 Párhuzamos R-C kör vizsgálata ............................................................................. 18

4.6.5 Kis csillapítású rezgőkör vizsgálata....................................................................... 20

4.6.6 Nagyobb csillapítású rezgőkör vizsgálata.............................................................. 22

4.7 Ellenőrző kérdések ........................................................................................................ 23

4.8 Számpéldák ................................................................................................................... 25

2


4.1 A mérés célja

Lineáris passzív elemekből felépülő, egyszerű áramkörök vizsgálata. Feszültség-áram vektorábrák felvétele.

4.2 Kötelező irodalom

A jelen „Mérési útmutató”.

4.3 Ajánlott irodalom

Elektrotechnika alapjai elektronikus előadás-jegyzet 7. fejezetből 7.1; 7.2; 7.3; 7.4 pontok Dr. Varsányi Pál: Villamos műszerek és mérések c. J4-1060 sz. nyomtatott jegyzetből 2.3 Impedancia mérése 2.4 Teljesítmény mérése c. fejezetből 2.4.1 és 2.4.2 pont

4.4 A felkészültség ellenőrzése

A felkészültség ellenőrzésének alapját a jelen mérési leírás tartalmazza, beleértve mind a mérés elméleti alapjait, mind a mérés során elvégzendő feladatok ismeretét.

4.5 A mérés elméleti alapjai

Az áramköröket aktív és passzív építőelemek alkotják. Aktív elemek pl. a generátorok, erősítők, amelyek valamilyen villamos vagy nem villamos energiát (jelet) villamos energiává (jellé) alakítanak át. Passzív elemek az ellenállások, amelyek a villamos energiát hőenergiává alakítják, valamint a kondenzátorok és induktivitások, amelyek a villamos ill. mágneses energia tárolására alkalmasak. A passzív áramkör kizárólag ezeket a passzív építőelemeket tartalmazza. Az építőelemek áramköri jellemzésére elegendő, ha ismerjük annak feszültsége és árama közötti kapcsolatot. Ez a kapcsolat az R ellenállás, L induktivitás és C kapacitás értékeivel írható le, mégpedig operátoros alakban:

RR iRu ⋅= (4.5.1)

LL ipLu ⋅⋅= (4.5.2)

CC upCi ⋅⋅= (4.5.3)

ahol p=d/dt a differenciál operátor.

3


Ha R, L, C értéke az egyenletben szereplő többi mennyiségtől független, akkor az elem lineáris. A lineáris elemekből megépített, ún. lineáris hálózatokat lineáris differenciálegyenletek írják le. A linearitásra jellemző az összeg- és aránytartás; a lineáris hálózatra alkalmazható a szuperpozíció elve. A mérés során egyszerű lineáris áramköröket vizsgálunk szinuszos gerjesztés esetén, állandósult állapotban. 4.5.1 R, L, C tagok Szinuszos gerjesztés esetén a (4.5.1) … (4.5.3) összefüggések p = jω helyettesítéssel:

RR iu ⋅= R (4.5.4)

LL iu ⋅= Ljω (4.5.5)

CC ui ⋅= Cjω (4.5.6) komplex alakban írhatók fel, ahol a félkövér betűtípussal a változók komplex időfüggvényeit jelöljük. Pl. valamelyik áram komplex időfüggvénye:

tjjtjjm

tj eeIeeIe ii ωϕωϕω ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= ⋅⋅ 2mIi (4.5.7) ahol a komplex amplitúdó; mI a valós amplitúdó; mI I a valós effektív érték; iϕ az áram kezdőfázisa (t = 0 időpillanatban az áramvektornak a valós tengellyel bezárt

szöge), i a 4.5.1 (a) ábrán látható. A (4.5.7) egyenletnek megfelelő valós időfüggvényt,

)tcos(I)tcos(IiRei iim ϕωϕω +⋅⋅=+⋅== 2 (4.5.8) a 4.5.1 (b) ábra mutatja, hiszen i körbe forog ω szögsebességgel és a valós tengelyre vetett vetülete adja i(t)-t [lásd (4.5.8)-at]

4


4.5.1 ábra – Komplex vektor és valós időfüggvény kapcsolata A (4.5.4) … (4.5.6) összefüggések alapján, a komplex számsíkon vektorábrával szemléltethetjük az R, L és C elemeken fellépő áram és feszültség közötti kapcsolatot (4.5.2 ábra). A vektorábrák mellett az időfüggvényeket is feltűntettük. Mind a három esetben feltételeztük, hogy bekapcsoláskor a feszültség kezdőfázisa (ϕu) zérus (a feszültséget a valós tengely irányába vettük fel).

5


4.5.2 ábra – R, L, C tagok feszültség-áram vektorábrája és időfüggvényei

6


4.5.2 Soros R-L kör

4.5.3 ábra – Soros R-L kör 4.5.4 ábra – Soros R-L kör vektorábrája Soros R-L kör impedanciája a (4.5.3 ábra) jelöléseivel: , ahol ϕω jeZLjR ⋅=+=Z

222 LRZ ⋅+= ω , RLarctgωϕ = .

Ha az u(t) tápfeszültség kezdő fázisa ϕu = 0, akkor az áram komplex időfüggvénye:

tjjmj

tjm ee

ZU

eZeU ωϕϕ

ω

⋅⋅=⋅⋅

== −

Zui .

Tehát a komplex áramvektor ϕ szöggel késik a feszültségvektorhoz képest, azaz a szinuszos áram-időfüggvény fáziskésése ϕ a szinuszos feszültség-időfüggvényhez képest. Az ellenálláson eső feszültség (4.5.4) alapján

tjjm eeZ

URR ωϕ ⋅⋅⋅=⋅= −iuR

fázisban van az árammal. Az induktivitás feszültségesése (4.5.5) alapján

tj)(jm

L eeZ

UXLj ωϕπ

ω ⋅⋅⋅=⋅=−

2iuL

(ahol XL = ωL az induktív reaktancia), 90°-kal siet az áramhoz képest.

7


A huroktörvény szerint LR uuu += Fentiek alapján – egy tetszőleges R és ωL esetére – megrajzoltuk a soros R-L kör feszültség-áram vektorábráját (4.5.4 ábra). Az eddigiekhez hasonlóan tárgyalható a

párhuzamos R-L kör (4.5.5 ábra és 4.5.6 ábra), soros R-C kör (4.5.7 ábra és 4.5.8 ábra), párhuzamos R-C kör (4.5.9 ábra és 4.5.10 ábra)

is.

4.5.5 ábra – Párhuzamos R-L kör 4.5.6 ábra – Párhuzamos R-L kör

vektorábrája, i késik

4.5.7 ábra – Soros R-C kör 4.5.8 ábra – Soros R-C kör vektorábrája, i

siet

8


4.5.9 ábra – Párhuzamos R-C kör 4.5.10 ábra – Párhuzamos R-C kör vektorábrája, i siet

A 4.5.1. táblázatban összefoglaljuk a négy alapkapcsolásra vonatkozó összefüggéseket. Feltételezzük, hogy az u(t) tápfeszültség kezdő fázisa ϕu = 0, tehát tj

m eU ω⋅=uA mérés során ki kell számolni a hatásos: ϕcosUIP = a meddő:

ϕsinUIQ =

és a látszólagos:

UIS =

teljesítményeket.

9


Soros R-L Párhuzamos R-L Soros R-C Párhuzamos R-C

Kapcsolás

4.5.3 ábra

4.5.5 ábra

4.5.7 ábra

4.5.9 ábra

Impedancia Z LjR ω+

LjRLRjω

ω+

Cj

Rω1

+

CjR

cjR

ω

ω1

1

+

Impedancia abszolút értéke 222 LR ω+ 22 )(Im)(Re ZZ +=Z

222 LR

LRωω+

22

2 1C

Rω

+ 2221 RCRω+

Impedancia fázisszöge

LRarctgω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

CRarctg

ω1

( )CRarctg ω− RLarctgω

ZZ

ReImarctg=ϕ

Az eredő áram komplex idő-függvénye

Zui =

tjjm eeZ

U ωϕ−

Az ellenállásra alkalmazott Ohm-törvény

== iuR R tjjm ee

ZUR ωϕ−=

== iuR R tjm e

RU

Rω==

uiR

tjjm ee

ZUR ωϕ−=

tjm eR

UR

ω==uiR

A reaktanciára

CXLX CL ω

ω 1; ==

alkalmazott Ohm-törvény

== iuL Ljω

tjj

mL ee

ZUX ω

ϕπ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= 2

==Ljω

uiL

tjj

L

m eeXU ω

π2

−=

== iuC Cjω1

tjj

mC ee

ZUX ω

ϕπ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

= 2

uiC Cjω=

tjj

C

m eeXU ω

π2=

Kirchhoff-törvény LR uuu += LR iii += CR uuu += CR iii += Vektorábra 4.5.4 ábra 4.5.6 ábra 4.5.8 ábra 4.5.10 ábra 4.5.1. táblázat

4.5.3 Rezonanciák

A 4.5.11 ábra soros R-L-C kört ábrázol. Míg az előző pontban az R-L kör esetében induktív jellegű, az R-C kör esetében kapacitív jellegű áramkörről beszéltünk, addig itt amint látni fogjuk az áramkör ω értékétől függően lehet akár induktív, akár kapacitív jellegű, sőt tiszta ohmos jelleget is mutathat anélkül, hogy ω extrém értéket venne fel, ω=0, vagy ω=∞ lenne. Mint látni fogjuk LC/1r == ωω esetén u és i fázisban vannak, az áramkör a kapcsai felől nézve tiszta ohmos jellegű. rωω = esetén az áramkör rezonancia állapotában van. Ilyenkor ugyanis adott u esetén i abszolút értéke maximális.

10


4.5.11 ábra – Soros R-L-C áramkör A hurok törvény a 4.5.11 ábra alapján

( )[ ] Ziiuuuu =−+=++= cLCLR XXjR (4.5.9) ahol az eredő impedancia

( )cL XXjR −+=Z (4.5.10) A 4.5.12 ábrán az áramkör vektorábrái láthatók az ω körfrekvencia három értékére. Mind a három ábrán i vektorát valós tengely irányúnak választottuk. A (4.5.9) egyenlet szerint a három és feszültségeket összeadva kapjuk meg az áramkörre kapcsolt feszültséget. Ru Lu Cu Az a. ábrán LX > vagyis CX Lu > . A b. és a c. ábrán rajzolt állapotokhoz úgy jutunk az a. ábrán feltüntetett állapotból, hogy ω-t csökkentjük. A b. ábra esetében

Cu

LX < , vagyis

ωL<1/CX

Cω és így Lu < . Az a. illetve b. ábra esetében az áramkör induktív, illetve kapacitív jellegű, hiszen az i áram késik, illetve siet az u feszültséghez képest.

Cu

4.5.12 ábra – Soros R-L-C áramkör vektorábrái. Az áramkör induktív jellegű (a ábra), kapacitív jellegű (b ábra), tiszta ohmos jellegű, rezonancia (c ábra) A c. ábrán a rezonancia állapotát tüntettük fel, ilyenkor CL XX = , vagyis

LC/1r ==ωω (4.5.11)

11


és Z=R, vagyis az áramkör tiszta ohmos, u és i fázisban vannak. Az i abszolút értéke adott u esetén ilyenkor maximális

Ruii == max (4.5.12)

Vegyük észre, hogy az , részfeszültségek az u feszültség sokszorosai lehetnek. Pl. rezonancia esetén állandó mellett R értékét csökkentve i és ezzel együtt

Lu Cu=u CL uu = nő, sőt

R→0 esetén elvileg tetszőlegesen nagy értéket vehet fel. Ezt tartsuk fejben, hiszen e körülmény életveszélyt rejt magában.

CL uu =

4.5.4 Átviteli függvény, jósági tényező

Tekintsük a soros rezgőkörnél a tápláló feszültség-generátor „u” feszültségét bemenőjelnek, a kondenzátor „uc” feszültségét kimenőjelnek, ekkor a rendszer operátoros átviteli függvénye:

222 211

11)(

pTTpLCpRCpuCpi

uupW C

+⋅⋅+=

++===

ξ ,

ahol

LCT = a rezgőkör időállandója;

CL

R⋅=

21ξ a csillapítási tényező

Az LCT11

0 ==ω rezonancia körfrekvenciájú táplálás esetén a rezgőkörben létrejövő

veszteségekre jellemző a

ξ⋅

=2

10Q

rezonancia jósági tényező. Az áramköri paraméterekkel kifejezve:

R

LRLC

LRCL

Q ⋅=⋅==

⋅= 0

01

21 ωξ

A Bode diagram egy lineáris, időben invariáns rendszer frekvencia-válaszát mutatja be. Egy amplitúdó diagramot és egy fázis diagramot tartalmaz. Az amplitúdó diagram az Y(jω) átviteli függvény abszolút értékének logaritmusát mutatja be az ω körfrekvencia függvényében:

12


( ) )j(YlgA ωω 20= [dB] A fázis diagram a fázis-szöget jeleníti meg a körfrekvencia függvényében:

( ) ( )( )ωωωϕ

jYRejYImarctg= [°]

Mindkét esetben a körfrekvencia skála logaritmikus léptékezésű.

4.6 Mérési feladatok

4.6.1 Soros R-L kör vizsgálata

A vizsgált ZL tekercs egy ideális RL ellenállás és egy ideális L induktivitás soros eredőjeként írható le. A ZL tekercs impedanciája tehát: LLL XjRLjR ⋅+=+= ωLZ Mérje meg az R ellenállás pontos értékét és a tekercs egyenáramú ellenállását (RL) digitális mérőműszerrel, és jegyezze fel értéküket a jegyzőkönyvbe!

4.6.1 ábra – Mérési kapcsolás soros R-L kör vizsgálatához Állítsa össze a 4.6.1 ábra szerinti áramkört! A mért értékeket rögzítse a jegyzőkönyvben! Számítsa ki a jegyzőkönyvben előírt mennyiségeket! (A számítási módot is tüntesse fel!) Rajzolja meg az áramkör részletes feszültség-áram vektorábráját! JEGYZŐKÖNYV:

Digitális mérőműszerrel mért ellenállások:

R = …………………………… RL = ……………………………

13


Mért értékek: U = …………… I = …………… UR = …………… UZL = ……………

Számított értékek:

képlet behelyettesítés eredmény R =

ZL=

URL=

UXL=

XL=

L =

Ze =

ϕ =

P =

Q =

S =

Vektorábra: 1 cm (=) ……………… V

14


4.6.2 Párhuzamos R-L kör vizsgálata

A vizsgált ZL tekercs egy ideális RL ellenállás és egy ideális L induktivitás soros eredőjeként írható le. A ZL tekercs impedanciája tehát: LLL XjRLjR ⋅+=+= ωLZ Mérje meg az R ellenállás pontos értékét és a tekercs egyenáramú ellenállását (RL) digitális mérőműszerrel, és jegyezze fel értéküket a jegyzőkönyvbe!

4.6.2 ábra – Mérési kapcsolás párhuzamos R-L kör vizsgálatához Állítsa össze a 4.6.2 ábra szerinti áramkört! A mért értékeket rögzítse a jegyzőkönyvben! Számítsa ki a jegyzőkönyvben előírt mennyiségeket! (A számítási módot is tüntesse fel!) Rajzolja meg az áramkör részletes feszültség-áram vektorábráját! JEGYZŐKÖNYV:

Digitális mérőműszerrel mért ellenállások:

R = …………………………… RL = …………………………… Mért értékek: U = …………… I = …………… IR = …………… IZL = ……………

15



képlet behelyettesítés eredmény

R =

ZL=

URL=

UXL=

XL=

L =

Ze =

ϕ =

P =

Q =

S =

Vektorábra: 1 cm (=) ……………… A

16


4.6.3 Soros R-C kör vizsgálata

Mérje meg az R ellenállás pontos értékét digitális mérőműszerrel, és jegyezze fel a jegyzőkönyvbe!

4.6.3 ábra – Mérési kapcsolás soros R-C kör vizsgálatához Állítsa össze a 4.6.3 ábra szerinti áramkört! A mért értékeket rögzítse a jegyzőkönyvben! Számítsa ki a jegyzőkönyvben előírt mennyiségeket! (Tüntesse fel a számítási módot is!) Rajzolja meg az áramkör részletes feszültség-áram vektorábráját! JEGYZŐKÖNYV:

Digitális mérőműszerrel mért ellenállás: R = ……………………………

Mért értékek: U = …………… I = …………… UR = …………… UC = ……………


képlet behelyettesítés eredmény

R =

XC=

C =

17


Ze =

ϕ =

P =

Q =

S =

Vektorábra: 1 cm (=) ……………… V

4.6.4 Párhuzamos R-C kör vizsgálata

Mérje meg az R ellenállás pontos értékét digitális mérőműszerrel, és jegyezze fel a jegyzőkönyvbe!

4.6.4 ábra – Mérési kapcsolás párhuzamos R-C kör vizsgálatához Állítsa össze a 4.6.4 ábra szerinti áramkört! A mért értékeket rögzítse a jegyzőkönyvben! Számítsa ki a jegyzőkönyvben előírt mennyiségeket! (Tüntesse fel a számítási módot is!)

18


Rajzolja meg az áramkör részletes feszültség-áram vektorábráját! JEGYZŐKÖNYV:

Digitális mérőműszerrel mért ellenállás: R = ……………………………

Mért értékek: U = …………… I = …………… IR = …………… IC = ……………


képlet behelyettesítés eredmény R =

XC=

C =

Ze =

ϕ =

P =

Q =

S =

Vektorábra: 1 cm (=) ……………… A

19


4.6.5 Kis csillapítású rezgőkör vizsgálata

A 4.6.5 ábra szerint összeállított rezgőkörben az ohmos ellenállást a tekercs ohmos komponense (RL) adja.

4.6.5 ábra – Mérési elrendezés soros rezgőkör Bode-diagramjának és vektorábrájának felvételéhez Mérje meg digitális merőműszerrel RL értékét: RL = ……......................................... Kapcsolja az UC és U feszültséget kétsugaras oszcilloszkópra, és figyelje meg azok egymáshoz viszonyított fázishelyzetét a tápfeszültség frekvenciájának változtatása közben! A fáziseltérés alapján keresse meg a rezonancia-frekvencia várható értékét! Különböző „f” frekvenciákon mérje meg az U bemenőjel és az UC kimenőjel értékét, valamint a két szinuszos feszültség nullátmeneteinek időbeli eltolódását (Δt)! A mérési pontokat a rezonancia-frekvencia körül sűrítse! A mért értékeket rögzítse a 4.6.1. táblázatban, majd számítsa ki a további adott mennyiségeket! A mért és számított értékek alapján rajzolja meg a 4.6.6 ábrán adott koordináta-rendszerben az amplitúdó és fázis Bode-diagramot! Rajzolja be a közelítő Bode-diagramot is! A rezonancián mért feszültségértékekből határozza meg a rezonancia jósági tényezőt, majd abból a csillapítási tényezőt!

20


4.6.1. táblázat f [Hz] ω=2πf [rad/s] U [V] UC [V] 20 lg UC / U Δt [s] β=360fΔt [°]

Q0 = ………………………… ξ = …………………………

A mért rezonancia körfrekvencia segítségével határozza meg L értékét (C = 100 nF)! L = …………………………………………….. A mérésvezető által megadott ω körfrekvenciára rajzoljon vektorábrát! Vektorábra ω = …………………… körfrekvencián:

21


4.6.6 Nagyobb csillapítású rezgőkör vizsgálata

Soros R = ……………………. Ω ellenállás beiktatásával növelje meg a rezgőkör csillapítását, ismételje meg a Bode-diagram megállapításához szükséges mérést és számítást! Az adatokat a 4.6.2. táblázatban rögzítse! A diagramot szintén a 4.6.6 ábrán rajzolja meg! A rezgőkör eredő ellenállása R’ = R + RL = ……………………. Ω 4.6.2. táblázat f [Hz] ω=2πf [rad/s] U [V] UC [V] 20 lg UC / U Δt [s] β=360fΔt [°]

Határozza meg a jósági tényező és a csillapítási tényező értékét:

Q0’ = ………………………… ξ’ = …………………………

22


4.6.6 ábra – Soros rezgőkör Bode-diagramjai (mérési eredmény)

4.7 Ellenőrző kérdések

1. Írja fel:

a) az ideális C kapacitás; b) az ideális L induktivitás

feszültsége és árama közötti kapcsolatot kifejező differenciális összefüggést! 2. Mit nevezünk impedanciának, reaktanciának? Hogyan határozhatók meg ezek feszültség-

és árammérés útján? 3. Hogyan számítható

a) a soros R-L kör; b) a párhuzamos R-L kör

impedanciája, ha ismert f, R, L értéke?

23


4. Hogyan számítható

a) a soros R-C kör; b) a párhuzamos R-C kör

impedanciája, ha ismert ω, R, C értéke? 5. Határozza meg a 4.7.1 ábrán adott áramkör eredő impedanciáját, ha

)1020( ⋅+= j1Z Ω )40100( ⋅+= j2Z Ω

)5080( ⋅−= j3Z Ω

4.7.1 ábra

6. Valamely áram komplex effektív értéke

)5,01( ⋅+= jI A Adja meg az áram komplex csúcsértékét, valós időfüggvényét és effektív értékét!

7. Egy áramkörre kapcsolt feszültség

)30cos(100)( °+⋅= ttu ω [V]

Határozza meg az áram időfüggvényét, ha az áramkör impedanciája

[Ω] °⋅⋅= 25380 jeZ 8. Ismertesse az egyfázisú hatásos- (wattos-), látszólagos- és meddő teljesítmény

számításmódját és mértékegységét! 9. Rajzolja fel egy

a) soros R-L kör; b) párhuzamos R-L kör

feszültség-áram vektorábráját! Jelölje be az eredő fázisszöget!

10. Rajzolja fel egy a) soros R-C kör; b) párhuzamos R-C kör

feszültség-áram vektorábráját! Jelölje be az eredő fázisszöget!

24


11. Rajzoljon egy veszteséges soros és egy veszteséges párhuzamos rezgőkört! Írja fel az

áramkörökre vonatkozó Kirchhoff-törvényeket! 12. Rajzoljon egy veszteséges soros rezgőkört, írja fel impedanciáját és rajzolja fel a

vektorábráját. 13. Írja fel a veszteséges soros rezgőkör rezonancia körfrekvenciájának kifejezését! Mekkora

a kör impedanciájának értéke rezonancia-frekvencián? 14. Írja fel a 4.7.2 ábrán látható áramkörre a frekvenciafüggvényt!

4.7.2 ábra 15. Rajzolja le a 4.7.2 ábra frekvenciafüggvényének megfelelő Bode-diagramot! 4.8 Számpéldák

1. Példa Az 1. ábrán látható kapcsolást U=230V effektív értékű, f=50Hz frekvenciájú szinuszos feszültség táplálja. Az áramkör adatai 50Hz-es táplálás esetén: XL = 10 Ω, R=10 Ω, C = 160 μF.

a) Rajzolja be az ábrába a feszültségek és áramok pozitív irányát. b) Számítsa ki az a-b kapcsok közötti eredő impedancia komplex és abszolút értékét.

R

L C

1. Ábra. Áramköri elrendezés az 1. példához.

u

a

b

25


Megoldás: a) A feszültségek és áramok pozitív iránya:

R

L Ci

2. Ábra. Feszültségek és áramok pozitív iránya. b) Az L induktivitás reaktanciája: 10 LX = Ω ,

a kapacitás reaktanciája pedig: - 1 1 19.9 2CX

C C fω π= = = Ω

A teljes kör impedanciája tehát:

( )( )( ) ( )199 10 19.910 19.910 10 8 6

10 19.9 10 19.9 10 19.9C

LC

j jjX R jjX j j jR jX j j j

⋅ +− − ⋅= + = + = − = +

− − − +Z Ω .

Tehát az áramkör az a-b kapcsok között induktív jellegű, vagyis i késik u-hoz képest φ szöggel. A fenti eredmény felhasználásával az impedancia abszolút értéke: ( )( )* 8 6 8 6 10 j j= = + − =Z ZZ Ω . 2. Példa A 3. ábrán látható kapcsolást U=230V effektív értékű, f=50Hz frekvenciájú szinuszos feszültség táplálja. Az áramkör adatai: L = 30 mH, R=10 Ω, C = 160 μF.

a) Számítsa ki az a-b kapcsok közötti eredő impedancia komplex és abszolút értékét, valamint a fázisszögét.

b) Mekkora az eredő, bemenő iC áram effektív értékének komplex és abszolút értéke? c) Rajzolja fel az áramkör minőségileg helyes vektorábráját, melyben szerepelnie kell a

három feszültségnek (u, uC, uR), továbbá a három áramnak (iC, iR, iL)! A vektorábrának nem kell léptékhelyesnek lennie. Az u feszültségvektort vegye fel a pozitív valós tengelyirányúnak. A második lépésben rajzolja fel a kiszámított iC áramvektort. Ebből már ismerni fogja az uC feszültségvektor irányát is. XC és iC ismeretében számolni tudja uC nagyságát is, amiből szerkesztéssel kiadódik uR is. Mindezek alapján az áramvektor háromszög már megadható.

u uR

uL uC

iC

aiR

uC = uR

b

26


3. Ábra. Áramköri elrendezés a 2. példához. Megoldás: a) Az L induktivitás reaktanciája: 2 9.4 LX L L fω π= = = Ω ,

A kapacitás reaktanciája pedig: 1 1 19.9 2CX

C C fω π= = = Ω .

A teljes kör impedanciája:

( )( )( ) ( )

10 9.419.910 9.4

94 10 9.419.9 4.7 14.9

10 9.4 10 9.4

LC

L

RjX jjX jR jX j

j jj j

j j

⋅= − + = − + =

+ +

⋅ −= − + = − Ω

+ −

Z

Az impedancia abszolút értéke: ( )( )* 4.7 14.9 4.7 14.9 15.6 j j= = + − =Z ZZ Ω . A fázisszög:

Re( )arccos 72.5ϕ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ZZ

° .

b) A körben folyó bemenő áram komplex effektív értéke az Ohm törvény segítségével:

( )( ) ( ) ( )230 V 4.7 14.9230 V 4.4 14 A

4.7 14.9 4.7 14.9 4.7 14.9C

jU jj j j

⋅ += = = = +

− − ⋅ +I

Z.

Az effektív érték abszolút értéke:

( ) ( )* 4.4 14 4.4 14 14.7 AC C C j j= ⋅ = − ⋅ + =I I I .

R

L

u

a

b

CiC iL

iR uC

uR

uL

uL = uR

27


c) A vektorábra az alábbi eljárás szerint szerkeszthető meg. Először az U feszültségvektort

Az iC áram és az U feszültség

a eső feszültséghez képest, az uC vektor

=Mivel Kirchhoff huroktörvénye alapján U = UC+UR, az ellenálláson eső UR és így az ezzel

zik. Mivel az induktivitáson átfolyó áram 90°-ot késik a rajta

.

rajzoljuk fel, melyet célszerű a pozitív valós tengelyirányban felvenni (a vektort a koordinátarendszerben bárhol felvehetnénk, viszont a többi mennyiség vektorainak elhelyezkedése ehhez a vektorhoz képest már meghatározott). A bemenő iC áram nagyságát a b) pontban már meghatároztuk.vektora által bezárt szög megegyezik a fázisszöggel, melyet az a) pontban határoztunk meg. A fentiek alapján felrajzolható a bemenő áram vektora. Mivel a kondenzátoron átfolyó áram 90°-kal siet a rajtirányát meghatározhatjuk, nagysága pedig az előzőleg már meghatározott Xc=19.9 Ω és az

14.7 AcI = értékek ismeretében Ohm törvényének segítségével kiszámolható: 2.5 V . 29c c cU I X=

egyenlő UL megszerkeszthető. IR iránya UR irányával megegyeeső feszültséghez képest, IL iránya is megadható. Kirchhoff csomóponti törvénye alapján tudjuk, hogy Ic = IL + IR, így az irányok ismeretében az IR és IL vektorok is felrajzolhatók. Im

Re

4 Ábra. Vektorábra.

U

UC

I R I L

I = I C

φ =72,5°

U L =U R

UL

28

Documents

Linearis Passziv Elemek