SchwerpunktSchwerpunkt. © Copyright: Der Inhalt dieser Folien darf - mit Quellenangabe - kopiert und weiter gegeben werden. Inhalt der Vorlesung © Prof

Schwerpunkt

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© Prof. Dr. Remo Ianniello

Inhalt der Vorlesung

Schwerpunkt

Schwerpunkt

Eigenschaften

Flächen-Schwerpunkt

Volumen-Schwerpunkt

Linien-Schwerpunkt

Folie 2

A

V

L

© Prof. Dr. Remo IannielloSchwerpunkt Folie 3

Eigenschaften

© Prof. Dr. Remo IannielloSchwerpunkt

Begriffe

Folie 4

Die Anzahl der Bewegungsmöglichkeiten nennt man „Freiheitsgrade“.

Bei der Auslegung von Trägern benötigt man die Position der Biegeachse.Die Biegeachse verläuft immer durch den Schwerpunkt des Querschnitts.Oft ist der Querschnitt aus mehreren Teilflächen zusammengesetzt:Aus deren Teilschwerpunkten berechnet man einen gemeinsamen Schwerpunkt.

Biegeachse ? S



Was ist ein Schwerpunkt ?Der Punkt, in dem ein Körper abgestützt oder aufgehängt werden muss, damit er nicht rotiert, heißt Schwerpunkt.

Schwerpunkt

Schwerpunkt

Folie 5

Besonderheit:Der Schwerpunkt kann sich außerhalb des Körpers befinden – je nach Verteilung der Masse.


A

V

L


Schwerpunkt

A

V

L


Die aktuelle Sprungtechnik wurde von dem Amerikaner Dick Fosbury entwickelt:

1968 Gold bei den Olympischen Spielen in Mexiko-City.

Der Springer läuft beim Anlauf eine Kurve, dreht auf den letzten Schritten den Rumpf und überquert die Latte rücklings.

Schwerpunkt

Schwerpunkt

Folie 7 © Prof. Dr. Remo Ianniello


Schwerpunkt

Folie 8

Die Flugbahn eines Schwerpunktes ist immer eine Parabel – egal, ob sich der Körper dabei seine Gestalt ändert.



Qui

z

Man unterscheidet drei Gleichgewichtslagen: Stabiles, labiles und indifferentes Gleichgewicht.

Schwerpunkt Folie 9

Standsicherheit

StabilitätOrdnen Sie den verschiedenen Situationen das entsprechende Gleichgewicht zu.

stabil

stabil

indifferent

labil

indifferent

labil

stabil

stabil

indifferent

labil

indifferent

labil


A

V

L


Qui

z

Fazit: Liegt der Schwerpunkt eines Körpers unter dem Aufhängepunkt: stabile Lage über dem Aufhängepunkt: labile Lage

Schwerpunkt Folie 10

Schwerpunkt

Warum hat der Herr links größere Schwierigkeiten, sich auf dem Seil zu halten, als der Motorradfahrer?

Wie könnte er seine Situation optimieren?


A

V

L


Seilartisten

Folie 11

Schwerpunkt


A

V

L


Auf

gabe Schwerpunkt-Formel

a) Machen Sie die Wippe frei.b) Erstellen Sie eine Momenten-Bilanz in

Bezug auf den Koordinaten-Ursprung am linken Bildrand mit dem Abstand x1 zur Wippe.

c) Lösen Sie die Gleichung nach xS auf.

d) Entwickeln Sie daraus eine allgemeine Formel zur Bestimmung der Schwerpunkt-Position xS , wenn also n Kräfte an n verschiedenen Angriffspunkten wirken.


Schwerpunkt

Wie könnte der Einfluss der Hebelarme auf das Gleichgewicht zweier Massen mathematisch formuliert werden?


A

V

L


Frag

en

1) Nennen Sie fünf verschiedene Kräfte. Federkraft, Fliehkraft, Gewichtskraft, Reibkraft, Trägheitskraft.

2) Welche dieser Kräfte greifen im Schwerpunkt eines Körpers an ?Trägheits- (Ft = m·a), Schwer- (FG = m·g), Flieh-Kraft (FZ = m·v²/r)

3) Richtig oder falsch? Ein Schwerpunkt a. kann sich außerhalb eines Körpers befinden,

b. seine Position im Körper nicht verändern,

c. die Position der Biegeachse eines Trägers angeben

d. hat eine Position, die durch eine Kräfte-Bilanz ermittelbar ist.Nein, sondern durch eine Momenten-Bilanz.

4) Wie verändert sich der Schwerpunkt einer stehenden Flasche Wein, die immer leerer wird?Der Schwerpunkt wandert von der Mitte nach unten und wieder zur Mitte.


Fragen





Qui

z

Besteht ein Körper aus einem Material mit konstanter Dicke b und Dichte ρ, entspricht sein Schwerpunkt dem geometrischen Mittelpunkt.



a) Wie ermittelt man zeichnerisch den geometrischen Mittel-punkt (und damit den Schwerpunkt) eines Rechtecks?

b) Wie ermittelt man den Schwerpunkt eines Dreiecks?c) Wie ermittelt man den Schwerpunkt

eines rechtwinkligen Dreiecks?

Geometrischer Mittelpunkt

1/32/3

1/3

2/3


A

V

L


Allgemein gilt:Flächen mit einer Symmetrieachse: SP liegt auf Symmetrieachse.

Schwerpunkt


Folie 16

Flächen mit mehreren Symmetrieachsen: SP liegt im Schnittpunkt der Symmetrieachsen


A

V

L


Qui

z


Flächen-SchwerpunktFlächen-Schwerpunkte

Wie lauten die Schwerpunkts- koordinaten für folgende geometrische Figuren?

Dreieck Parallelogramm Trapez Kreisauschnitt


A

V

L


Eine Fläche, die sich in mehrere geometrische Flächen unterteilen lässt, hat ihren Schwerpunkt nach der Formel:

Schwerpunkt


Folie 18

Ausgehend von einer konstanter Dicke b und Dichte ρ ergibt sich mit:

für die jeweilige Koordinaten-Achse

bzw.„Flächenmoment1. Grades“


A

V

L


Auf

gabe

Bestimmen Sie die Schwerpunktsabstände x0 und y0 der Querschnittsfläche



Zwei-Kreisloch-Blech


A

V

L


Auf

gabe



Ein-Kreisloch-BlechBestimmen Sie die Schwerpunktsabstände x

0 und

y0 der Querschnittsfläche

12 1

34


A

V

L


Volumen-Schwerpunkt


Volumen-Schwerpunkt

Folie 22 © Prof. Dr. Remo Ianniello


Auf

gabe

Besteht ein Körper aus einem Material mit konstanter Dichte, entspricht sein Schwerpunkt dem geometrischen Mittelpunkt.


Volumen-Schwerpunkt

Symmetrielinien gehen durch den Schwerpunkt.

Wie lauten die Schwerpunkts-Koordinaten für die folgenden geometrischen Figuren?

a) Basis eines dreiseitigen Prismas

b) quadratische Pyramide

c) Kegel

Volumen



Ein zusammen gesetzter Körper hat seinen Schwerpunkt nach der Formel:

Schwerpunkt

Volumen-Schwerpunkt

Folie 24

für die jeweilige Koordinaten-Achse

bzw.

Volumen-Moment 1. Grades

Ausgehend von einer konstanter Dichte ρ ergibt sich mit:


A

V

L


Auf

gabe

Die Abbildung zeigt eine Draufsicht und die Schnittdarstellung eines Werkstücks aus Stahl. Wie groß sind die Schwerpunktabstände x

0, y

0 und z

0?


Volumen-Schwerpunkt

Stahlwerkstück

1

2 34

4

32

1


A

V

L


Linien-Schwerpunkt


Auf

gabe

Der abgebildete Deckel soll mit einem Stanzwerkzeug aus einem Blechstreifen geschnitten werden: Im Blechstreifen werden gleichzeitig links die vier Löcher des einen und rechts daneben das große Loch des anderen Deckels herausgestanzt. Die Wirklinie der Stempelkraft zum Trennen aller fünf Konturen muss in deren Linien-Schwerpunkt liegen, sonst verkippt das Werkzeug und erzeugt unsaubere Schnittflächen.


Linien-Schwerpunkt

Deckel

12

34 5


A

V

L


Auf

gabe

Der abgebildete Knethaken soll um die vertikale Achse rotieren. Deshalb ist die Länge l des unteren Segments so zu bestimmen, dass der Gesamtschwerpunkt in der Drehachse liegt.


Linien-Schwerpunkt

Knethaken


A

V

L

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