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PHYSIQUE QUANTIQUE CORPUSCULAIRE | PHYSIQUE QUANTIQUE ONDULATOIREPHYSIQUE QUANTIQUE RELATIVISTE | PHYSIQUE NUCLÉAIRE

PHYSIQUE QUANTIQUE DES CHAMPS | PHYSIQUE DES PARTICULES ÉLÉMENTAIRES

42. PHYSIQUE QUANTIQUE ONDULATOIRE (1/2)

LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Fille de l'ancienne théorie des quanta (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire),

la physique quantique ondulatoire (P.Q.O.) appelée aussi "mécanique quantique" constitue lepilier d'un ensemble de théories physiques qu'on regroupe sous l'appellation générale de"physique quantique". Cette dénomination s'oppose à celle de la physique classique, celle-ciéchouant dans sa description du monde microscopique (atomes et particules) ainsi que danscelle de certaines propriétés du rayonnement électromagnétique (voir typiquement lesexpériences des fentes de Young dans le chapitre d'Optique Ondulatoire)

Remarque: L'extension relativiste pertinente de la mécanique quantique est la physiquequantique relativiste (cf. chapitre du même nom).

La mécanique quantique a repris et développé l'idée de dualité onde-corpuscule introduite parDe Broglie en 1924 (voir plus loin) consistant à considérer les particules de matière non passeulement comme des corpuscules ponctuels, mais aussi comme des ondes, possédant unecertaine étendue spatiale (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire). Bohr a introduitle concept de complémentarité pour résoudre cet apparent paradoxe : tout objet physique estbien à la fois une onde et un corpuscule, mais ces deux aspects, mutuellement exclusifs, nepeuvent être observés simultanément. Si nous observons une propriété ondulatoire, l'aspectcorpusculaire disparaît. Réciproquement, si l'on observe une propriété corpusculaire, l'aspectondulatoire disparaît.

A ce jour, aucune contradiction n'a pu être décelée entre les prédictions de la mécaniquequantique et les tests expérimentaux associés. Ce succès a hélas un prix : la théorie repose surun formalisme mathématique abstrait, qui rend son abord assez difficile pour le profane. Cecià pour conséquence que bon nombre d'ouvrages à son sujet (dont le présent texte ne seraitêtre exclu), qu'ils s'adressent à des spécialistes ou non, voient leur explications ou textessoumis à de nombreuses critiques d'interprétations.

Pour en sortir il est favorable de prendre pour base le "principe d'objectivité" du à Heisenbergqui est à la base de la "mécanique quantique standard" : existe ce qui est expérimentalementobservable.

Ce principe est admis par la majorité des physiciens, mais non la totalité. Un électron est ilprésent à plusieurs endroits? Pour que cela soit recevable il faut une expérience qui le trouve à

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plusieurs endroits, ce qui est impossible donc nous ne sommes pas tenu de répondre à laquestion! Dire qu'il est à plusieurs endroits avant qu'on l'observe n'est pas recevable enphysique: principe d'objectivité. D'une manière générale, nous allons renoncer à la notion detrajectoire et de mouvement, ce qui va permettre, de lever la contradiction du freinage parrayonnement (cf. chapitre d'Electrodynamique) : car s'il n'y a plus de mouvement au sensclassique les notions de vitesse et d'accélération perdent tout sens.

Une minorité de physiciens nient ce principe et ont fondé une mécanique quantique nonstandard avec des grandeurs classique ce qui explique que l'on puisse trouver surtout dans lesrevues de vulgarisation des exposés qui s'écartent de la mécanique quantique standard (cellede la majorité des physiciens). Cette version non standard donne les mêmes prévisions pourtout expérience réalisable, c'est donc un modèle possible.

En conclusion la mécanique quantique est une théorie inachevée beaucoup de points restentobscurs. Il est donc normal qu'il y ait plusieurs interprétations.

1. POSTULATS

Contrairement à la majorité des ouvrages sur le sujet, nous sommes pédagogiquement (et nonpas techniquement!) très peu convaincus quant à l'impact de la présentation des postulats de lamécanique quantique au début de son étude dans les classes. Nous nous permettons d'exposernos raisons (expérience faite):

1. Ils peuvent se déduire de raisonnements mathématiques simples et logiques (algèbreélémentaire et probabilités) fondées sur les postulats de la physique quantique corpusculaire etdu principe de complémentarité et découlent donc d'une évolution de cette dernière.

2. Ces postulats sont indigestes, voir incompréhensibles si la mécanique quantique (sonformalisme et son vocabulaire) n'a pas été d'abord appréhendée par un certain nombred'exercices ou d'usage réguliers (s'aider d'un exemple pratique de cette théorique commel'informatique quantique).

Nous pouvons alors considérer que les seuls éléments non démontrables théoriquement (ànotre connaissance) qui auraient leur place au rang de postulat seraient : le principe decomplémentarité de De Broglie (nous en parlerons plus tard) et la loi de Planck (déjà vue auchapitre précédant).

Cependant..., dans l'objectif de respecter la tradition, et de respecter la méthodologiescientifique, nous avons choisi de quand même présenter ces postulats en début de cechapitre. Nous conseillons cependant vivement au lecteur non averti, de lire ceux-ci sans tropchercher à les comprendre mais simplement de penser à y revenir plus tard, une fois que toutle reste du chapitre aura été lu. Dès lors, tout deviendra très probablement limpide et lalumière sera…

Remarques: Nous verrons des cas pratiques dans ce chapitre même, de la théoriequantique pour un usage ultérieur en physique quantique des champs et physique nucléaire.Nous conseillons cependant au lecteur de lire en même temps le chapitre d'InformatiqueQuantique qui semblerait-il aide plus que grandement la compréhension de certains passagesun peu trop théoriques présentés ici.

1.1. 1ER POSTULAT : ÉTAT QUANTIQUE

L'état d'un système quantique classique est spécifié par les coordonnées généralisées (cf.chapitre de Mécanique Analytique) et est complètement décrite par une fonction

, dite "fonction d'état" ou "fonction d'onde", dont le module au carré

(multiplication de la fonction par son conjugué) donne la densité de probabilité de trouverinstantanément le système dans la configuration au temps t (si le système est

dépendant du temps):


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(42.1)

Remarques:

R1. Le fait que nous parlions "d'onde" au lieu de "particule" vient au postulat génial et ma foiassez logique de De Broglie que nous appelons "postulat de complémentarité" (que nousdétaillerons plus loin) et qui associe à tout particule de matière, une onde.

R2. Le fait que nous traitions des probabilités et que celle-ci soit proportionnelle au carré dumodule de la fonction d'onde vient des principes d'incertitudes de Heisenberg que nousdémontrerons plus loin et principalement de l'expérience des fentes de Young avec desélectrons (cf. chapitre d'Optique Ondulatoire) sur laquelle nous reviendrons aussi.

En corollaire, la particule étant nécessairement située quelque part dans l'espace entier, nousavons la condition de normalisation :

(42.2)

En d'autres termes doit être normée, ce que nous appelons "condition de normalisation deDe Broglie".

Remarques:

R1. Notons que même normée, est déterminée à un facteur de phase près. De plus, il estpréférable que soit différentiable, car des opérateurs différentiels agissent sur elle pourobtenir des prévisions théoriques sur des propriétés mesurables, et finie pour qu'elle soitnormalisable...

R2. Lorsque l'intégrale donnée plus permet d'obtenir une quantité finie, nous disons qu'elle estde "carré sommable".

Rapellons qu'un "facteur de phase" est un facteur complexe constant de module unitaire. Nouspouvons l'écrire selon ce que nous avons étudié dans le chapitre des Nombre lors de notreétude des nombres complexes , où est un angle quelconque, appelé la "phase" (cf.chapitre de Mécanique Ondulatoire).

Nous pouvons formuler ce postulat de manière un peu plus formelle car comme nous leverrons dans plusieurs exemples, la fonction d'onde est souvent un polynôme complexe quipeut dès lors s'exprimer dans l'espace de Hilbert des polynômes.

Cela donne dès lors dans le langage du formalisme bra-ket de Dirac (voir plus loin les détails):

Le vecteur d'état "ket" représenté par appartenant à l'espace vectoriel (espace de

Hilbert) définit l'état du système quantique à l'instant t. Ce vecteur d'état possède toutes lespropriétés mathématiques requises par la physique quantique et en particulier le produitscalaire du vecteur par le vecteur dual (conjugué complexe) "bra" doit satisfaire le

produit scalaire fonctionnel :

(42.3)

Remarque: La notation bra-ket a été introduite par Paul Dirac pour faciliter l'écriture deséquations de la mécanique quantique, mais aussi pour souligner l'aspect vectoriel de l'objetreprésentant un état quantique. Ce qui est donc spécifique à la mécanique quantique est queles vecteurs ne sont pas dessinés avec des flèches mais avec des ket et des bras, mais cela n'estqu'une question de notation et n'apporte aucune nouveauté mathématique.


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Les deux relations:

et (42.4)

sont donc équivalentes!

1.2. 2ÈME POSTULAT : ÉVOLUTION TEMPORELLE D'UN ÉTAT QUANTIQUE

Si le système n'est par perturbé, l'évolution (non relativiste!) de son état est gouvernée parl'équation de Schrödinger d'évolution (dépendante du temps donc) :

(42.5)

Cette relation signifie simplement que c'est l'opérateur "énergie totale" du système ou"hamiltonien" H, qui est responsable de l'évolution du système dans le temps. En effet, laforme de l'équation montre qu'en appliquant l'hamiltonien à la fonction d'onde du système,on obtient sa dérivée par rapport au temps c'est-à-dire comment elle varie dans le temps.

Remarque: Nous démontrerons plus loin cette relation (ce ne sera pas trivial mais c'estpossible et donc cela élimine le besoin de la définir en tant que postulat).

Dans cette dernière relation, H est l'opérateur l'hamiltonien (énergie totale) du système quenous démontrerons comme valant dans un cas particulier et simple :

(42.6)

Dans le cas où le potentiel est indépendant du temps (correspondant à un système

conservatif en mécanique classique), il existe (nous le verrons dans des exemples) unensemble de solutions particulières indépendantes du temps et satisfaisant (relation dont nousdémontrerons la provenance) :

(42.7)

où est appelée une "fonction propre" (en analogie avec les vecteurs propres vu

en algèbre linéaire) de l'hamiltonien/opérateur H avec valeur propre/observable .

Ces solutions particulières décrivent alors des états spéciaux appelés "états stationnaires"(puisque indépendants du temps...).

Remarque: L'équation aux valeurs propres précédente est souvent appelée "équation deSchrödinger indépendante du temps". Elle définit les états stationnaires et n'a un sens que si lesystème est conservatif.

C'est surtout l'équation de Schrödinger indépendante du temps qui concerne la chimiequantique (sujet que nous traiterons dans une autre section du site). Nous cherchons en effet àobtenir les fonctions d'onde décrivant les états stationnaires, et surtout l'état de la plus basseénergie, "l'état fondamental", des atomes et des molécules. Les transitions observées enspectroscopie s'effectuant entre ces états stationnaires (nous le démontrerons plus loin), leurdétermination est donc un prérequis pour l'étude de la spectroscopie. Cependant, il faut biense rappeler que c'est l'équation d'évolution de Schrödinger, qui est l'équation fondamentale dela physique quantique ondulatoire (dans un premier temps…) : elle joue le même rôle quel'équation de Newton en mécanique classique, soit celui d'une équation de mouvement.

R2. Au fait, nous verrons que l'équation d'évolution de Schrödinger n'est qu'un cas particulierde ce que nous appelons "l'équation de Klein-Gordon libre" qui elle-même est un casparticulier de l'équation de "Klein-Gordon généralisée", elle-même étant un modèle limité par


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rapport à "l'équation de Dirac linéarisée" (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste)...

1.3. 3ÈME POSTULAT : OBSERVABLES ET OPÉRATEURS

A chaque propriété physique mesurable (observables) ( étant les coordonnées

généralisées et les moments généralisés selon ce qui a été vu au chapitre de Mécanique

Analytique) d'un système correspond un opérateur linéaire dit "opérateur hermitique" (voir letraitement des espaces hilbertiens dans le chapitre de Calcul Vectoriel) associé (l'opérateurpeut aussi être un matrice!).

Rappel : Un opérateur sur un espace de Hilbert (complexe) H (à ne pas confondreavec la notation de l'hamiltonien) est dit "hermitien" ou encore "hermitique" s'il est égal à latransposée de son conjugué (auto-adjoint) ce qui est noté (nous avons déjà vu celadans le chapitre d'Algèbre Linéaire avec les matrices hermitiennes).

Exemples (non exhaustifs dont nous verrons les origines plus loin!):

E1. Coordonnées (rien de particulier) :

(42.8)

E2. Quantité de mouvement (nous le démontrerons) :

(42.9)

E3. Moment cinétique (ce que nous démontrerons aussi) :

(42.10)

Remarques:

R1. Cela peut sembler compliqué et abstrait (on pourrait croire que cela tombe du ciel), maisnous verrons que cela vient tout seul lorsque nous ferons les développements plus loin dequelques exemples bien concrets ou lors de la lecture du chapitre d'informatique quantique.

R2. Dans le cadre de ce site, nous notons indifféremment, les opérateurs et les observablessans circonflexes (c'est au lecteur de savoir sur quoi nous travaillons).

Nous verrons par ailleurs que les opérateurs ne sont pas commutatifs et qu'ils obéissent

à ce que nous appelons des "relations d'anti-commutation" (qui sont à l'origine des principesd'incertitudes de Heisenberg).

Exemple (que nous démontrerons plus loin!):

(42.11)

Nous verrons par ailleurs trivialement à l'aide d'un cas pratique que deux observables

dont les opérateurs commutent tel que :

(42.12)

possèdent une base de vecteurs propres commune. Nous disons alors qu'ils sont simultanémentmesurables avec précision (dans le cas contraire nous avons une incertitude… de Heisenberg).Les deux grandeurs peuvent alors être appelées "observables compatibles" O.C.

L'ensemble des O.C. compatibles attachées à un système physique constituent un "ensemblecomplet d'observables compatibles" (ECOC).


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1.4. 4ÈME POSTULAT : MESURE D'UNE PROPRIÉTÉ

Soit , une grandeur physique. La conséquence du postulat précédent est que la

mesure de donne donc toujours une valeur propre de l'opérateur hermitique associé, . End'autres termes, les seules valeurs observables de la propriété sont les valeurs propres del'opérateur !

Les vecteurs propres et les valeurs propres d'un opérateur ont une signification spéciale: lesvaleurs propres sont les valeurs pouvant résulter d'une mesure idéale de cette propriété, lesvecteurs propres étant l'état quantique du système lors de cette mesure.

C'est à cause de ce postulat qu'il est important de s'assurer que toute propriété physique soitreprésentée par un opérateur hermitique. En d'autres termes, l'hermiticité de assure que ses

valeurs propres sont réelles.

1.5. 5ÈME POSTULAT : MOYENNE D'UNE PROPRIÉTÉ

Ce postulat est le moins intuitif et le plus difficile à démontrer (la démonstration ne se trouvepas encore sur le site). Son énoncé est le suivant : la valeur moyenne (espérance) d'unepropriété physique , quand le système se trouve dans l'état décrit par est donnée par :

(42.13)

Une expression équivalente est la suivante : la probabilité de trouver la valeur propre (de

l'opérateur hermitique ), lors d'une mesure de la propriété effectuée au temps t sur lesystème quantique préparé dans l'état décrit par le vecteur ou la fonction , est donnée parle carré du module de la projection de la fonction ou vecteur d'état sur la fonction ouvecteur propre associée à la valeur propre (et son opérateur):

(42.14)

où la "projection" ou "représentative" est définie par :

(42.15)

l'indice k étant ici pour indique qu'il peut y avoir pour certains opérateurs plusieurs valeurs etvecteurs propres.

Remarque: Nous reviendrons sur ce formalisme et ces relations plus tard. Cependant unexcellent exemple pratique est proposé dans les premières pages du chapitre d'InformatiqueQuantique.

2. PRINCIPES D'INCERTITUDES CLASSIQUES

Avant de s'attaquer directement à la physique quantique et à ses outils mathématiques (etdémonstration des cinq postulats), nous devons d'abord introduire un exemple classique simpledans lequel apparait un type particulier de phénomènes : la présence intrinsèque del'incertitude dans toute mesure.

Cette étude sous forme classique et pas très rigoureuse, nous aidera à mieux appréhenderl'incertitude quantique (nous l'espérons) que nous étudierons et déterminerons plus tard et quielle n'est pas d'origine expérimentale!

Imaginons que nous souhaitions mesurer au moyen d'un microscope l'abscisse x d'uneparticule et les composantes de sa quantité de mouvement p. Pour cela, un faisceau de lumièremonochromatique (pour simplifier) parallèle à éclaire la particule, il faut qu'au moins un


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photon choque la particule et parvienne à l'œil de l'observateur, pour que la mesure de x soitpossible :

(42.16)

Une fois x mesuré, nous pouvons imaginer n'importe quel procédé pour mesurer la quantité demouvement.

Soit l'angle que fait la direction du photon après le choc, avec . Supposons pour alléger

les calculs que la particule ait une masse assez élevée pour que nous puissions négliger lechangement d'énergie du photon. Nous voyons qu'après le choc, les composantes de laquantité de mouvement du photon selon et sont:

(42.17)

Effectivement, rappelons que les relations entre les ondes électromagnétiques, l'équivalencemasse-énergie et la quantité de mouvement (cf. chapitre de Relativité Restreinte) sont lessuivantes :

(42.18)

Il s'ensuit que la particule peut voir sa quantité de mouvement altérée. Les composantes de savariation sont (ne pas oublier qu'initialement elle était nulle en z):

(42.19)

entre sa quantité de mouvement initiale et finale.

La seule information que nous possédons sur l'angle , c'est que ce dernier est strictement, enmodule, égal à l'angle d'ouverture u de l'objectif du microscope (restriction technique).

Donc cela implique que :

(42.20)

2.1. PREMIÈRE RELATION D'INCERTITUDE CLASSIQUE

Quand nous aurons mesuré la quantité de mouvement p à la fin de l'expérience, il faudraeffectuer les corrections :

(42.21)

de la quantité de mouvement du photon pour savoir la vraie valeur de p de particule justeavant le début de la mesure.

Dans ces corrections, il y a une partie inconnue qui correspond à des erreurs de mesure sur

et . Il est possible d'établir avec encore quelques petites finesses… que l'erreur maximale


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de et sur la quantité de mouvement initiale est donnée trivialement par la

composante x de la "première relation d'incertitude classique":

(42.22)

puisque nous avons .

Puisque nous avons la relation trigonométrique remarquable suivante (cf. chapitre deTrigonométrie) :

(42.23)

et que , nous obtenons dès lors aussi la première relation d'incertitude

pour la composante z :

(42.24)

Rappelons maintenant que (cf. chapitre d'Optique Ondulatoire) pour une fente rectangulairenous avons en posant :

(42.25)

où (en optique ondulatoire) est l'angle permettant de distinguer clairement deux minimas de

diffraction (et donc clairement un objet émettant un rayonnement identique entre deuxpoints). Inversement, du point de vue de la diffraction, l'ouverture e est donc donnée par :

(42.26)

La valeur de e peut aussi être vue comme le champ de vision (projection orthogonale de lafente sur l'axe X) de largeur de la particule. Dès lors :

(42.27)

Au même titre que l'erreur maximale est donnée par la condition , nous pouvons

aussi écrire , cela nous amène à écrire que :

(42.28)

2.2. DEUXIÈME RELATION D'INCERTITUDE CLASSIQUE

Si nous multiplions:

et (42.29)

nous obtenons la "deuxième relation d'incertitude classique" également appelée "l'incertitudespatiale classique" :

(42.30)

qui représente donc l'erreur maximale expérimentale d'un microscope à faible ouverturerectangulaire (que de conditions!).


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Remarque: Le lecteur vérifiera sans peine que cette relation appliquée pour un objetmacroscopique (de l'ordre du centimètre) dont la position serait mesurable avec une précisionde l'ordre du micromètre donne une incertitude ridiculement faible sur la quantité demouvement et donc la vitesse. Par contre, la même relation appliquée pour la masse d'uneparticule telle que l'électron avec une précision de mesure de la position supposée du dixièmede nanomètre donnera une incertitude sur la vitesse de l'ordre 1'000 [m/s]...!!

Ainsi, si nous essayons de situer une particule avec de plus en plus grande, sa quantité demouvement atteint des valeurs extrêmes. À un certain point, la quantité de mouvement peutêtre si grande que l'énergie correspondante est suffisante pour produire une paire de particule-antiparticule. En d'autres termes, si nous essayons de confiner une particule dans une boîte deplus en plus petite, d'une part, nous connaissons de moins en moins sa quantité de mouvementet par le fait, nous ne savons même pas combien de particules il y a dans la boîte!

Cependant (!), nous verrons lors de l'étude des commutateurs appliqués à la théorie de laphysique quantique, que la vraie relation d'incertitude (dont la valeur diffère de celleci-dessus) apparaît tout naturellement uniquement à partir de propriétés mathématiques et dela définition de la quantité de mouvement.

Plus généralement, pour une particule dans un volume à dimensions (x, y, z), un état classiqueest caractérisé par les 6 quantités dans l'espace de phase (espace de phases

qui est donc de dimension 6) et l'état quantique occupe le "cube" de volume:

(42.31)

Examinons le produit de :

avec (42.32)

tel que:

(42.33)

et supposons que u soit petit et intéressons nous au rapport quand u tend vers zéro…

Nous avons dès lors:

(42.34)

ce qui nous donne finalement (en première approximation) :

(42.35)

Nous voyons qu'il est possible de jouer sur la variable u pour l'indétermination en z mais celadevient par contre impossible lorsqu'il s'agit de l'indétermination en x.

2.3. TROISIÈME RELATION D'INCERTITUDE CLASSIQUE

En relativité restreinte, nous avons vu que x, y, z, ct constituent les composantes d'unquadrivecteur d'espace-temps ainsi que un vecteur d'énergie-impulsion.


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Il est donc naturel de compléter les trois relations spatiales par extension :

(42.36)

Nous obtenons ainsi la "quatrième relation d'incertitude classique" appelée également"incertitude temporelle classique" :

(42.37)

Cependant (!), nous verrons lors de l'étude des commutateurs appliqués à la théorie de laphysique quantique, que cette relation d'incertitude (dont la valeur diffère de celle ci-dessus)apparaît tout naturellement uniquement à partir de propriétés mathématiques et de ladéfinition de la quantité de mouvement.

Remarque: Nous reviendrons plus tard sur les implications de cette incertitude temporelledont les implications sont à la base de la cosmologie quantique (et de la création de notreUnivers) et de la théorie quantique des champs en particulier en ce qui concerne le potentielde Yukawa (cf. chapitre de Physique Quantique Des Champs).

Les incertitudes classiques établies vont nous permettre de mieux comprendre les incertitudessous leur forme quantique réelle. Pour cela, parmi d'autres, il va nous falloir faire usage del'artillerie mathématique nécessaire. Cependant, dans un souci de clarté, nous avons souhaitéprésenter la physique quantique ondulatoire de la manière la plus simple et la moins formellepossible. Cette présentation peut porter le lecteur à de nombreux contre-sens!

3. ALGÈBRE QUANTIQUE

Sous ce terme peu courant et non officiel "d'algèbre quantique" (donc à ne pas en abuser!)nous souhaitons introduire et rappeler au lecteur des outils ou "êtres" mathématiques qui vontnous êtres très utiles pour résoudre certaines équations de la physique quantique. Il est doncde première importance de comprendre (ou d'avoir compris, en ce qui concerne les rappels) aumieux ce qui va suivre!

Remarque: Les puristes risquent de grimper aux rideaux en lisant ce qui va suivre maispour plus de précision ils peuvent se rendre dans les chapitres traitant dans les détails de lamatière qui va suivre.

3.1. OPÉRATEURS LINÉAIRES FONCTIONNELS

Définition: Les "opérateurs linéaires" sont des êtres mathématiques agissant sur des fonctionsou vecteurs (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Les fonctions sur lesquelles peuvent opérer ses opérateurs peuvent être des fonctions d'uneseule variable x, soit f(x), ou des trois coordonnées d'un point x, y, z soit f(x, y, z) ou écritencore plus brièvement .

Nous serons amenés à écrire des intégrales de ces fonctions, qui sont le plus souvent étenduesà tout l'espace. Dans le cas d'une fonction des trois coordonnées spatiales d'un point, nousadopterons la notation suivante :

(42.38)

Ces notations, indispensables pour l'allègement des expressions que nous rencontrerons enphysique quantique étant données, nous en revenons à nos opérateurs.


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Partant d'une fonction f, si nous savons lui associer une fonction g de même nature, c'est-à-dire dépendant des mêmes variables, nous pouvons dire que g est le résultat de l'action d'unopérateur sur f et écrire cela symboliquement comme un produit simple :

(42.39)

Mais nous introduisons tout de suite une restriction fondamentale: seuls nous intéressent lesopérateurs linéaires (comme en algèbre linéaire quoi...), c'est-à-dire tels que:

(42.40)

quels que soient les coefficients 1 et 2.

Une catégorie très simple d'opérateurs est constituée par les nombres (scalaires). En effet, étant un nombre:

(42.41)

dépend linéairement de f, définissant un opérateur linéaire que nous écrivons . Il y a deuxcas particuliers importants:

1. Opérateur zéro: où sera une fonction bien évidemment nulle partout

2. Opérateur unité ou identité: où (ce qui est tout aussi simple...)

Remarque: L'opérateur "Nabla" est également un opérateur linéaire fonctionnel (nous leverrons un peu plus loin).

Nous vérifions sans peine pour les opérateurs fonctionnels que ces derniers sont commutatifspar rapport à l'addition, associatifs par rapport à l'addition et la multiplication et distributif parrapport à l'addition à gauche et à droite (cf. chapitres de Théorie des Ensembles et AlgèbreLinéaire au besoin).

Jusqu'à présent, rien ne distingue l'algèbre des opérateurs de celle des nombres. Mais il y acependant deux propriétés qu'il faut toujours avoir en tête pour ne pas commettre des erreursquand nous faisons du calcul d'opérateurs:

1. Deux opérateurs ne commutent pas en général par rapport à la multiplication (comme enalgèbre linéaire...), c'est-à-dire qu'en général soit deux opérateurs fonctionnels et :

(42.42)

Si nous rencontrons une expression telle que , nous n'avons donc pas le droit

d'effectuer en général, la mise en facteur (il s'agit donc d'un structure particulière de groupequi est non-commutatif).

Exemple:

Un exemple simple et important, car utile pour la suite (très proche d'un cas pratique que nousverrons plus loin), de deux opérateurs qui ne commutent pas avec une fonction d'une seulevariable est le suivant (où f est quelconque). Considérons l'opérateur d/dx agissant sur xf(x) :

(42.43)

en simplifiant par f :

(42.44)


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Donc nous avons a ci-dessus un exemple de deux opérateurs qui ne commutent pas puisque:

(42.45)

Alors que tous les nombres, autres que zéro, ont un inverse, un opérateur non nul peut nepas admettre d'inverse (comme en algèbre linéaire...). L'inverse d'un opérateur, que nousnotons , étant tel que (s'il existe):

(42.46)

Remarques:

R1. Si un opérateur peut commuter n'importe comment avec un autre opérateur, c'est que cedernier est un nombre (cela rejoint le concept de mesure dont nous avons fait mention dans lespostulats).

R2. Lorsqu'un état (une fonction mathématique au sens formel) est inchangé par un opérateur,l'état est alors appelé "état propre" ou "vecteur propre" du système (nous verrons desexemples pratiques plus loin). L'état est alors parfaitement mesurable et est assimilé àl'observable classique.

Exemple (d'opérateur):

Partons de l'équation de Schrödinger tridimensionnelle (que nous démontrerons plus loin) àadmettre pour l'instant :

(42.47)

ou bien écrit autrement (c'est plus esthétique...) avec le laplacien :

(42.48)

ou encore:

(42.49)

autrement encore...:

(42.50)

Alors l'opérateur énergie totale (l'hamiltonien H en d'autres termes...) s'exprime comme :

(42.51)

ou en notation lagrangienne :

(42.52)

Remarque: Nous retrouvons ici naturellement la deuxième expression donnée dans ledeuxième postulat.


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D'autre part, nous savons que :

(42.53)

Les deux dernières expressions doivent être identiques. La seule possibilité pour satisfaire àces égalités est de poser :

(42.54)

qui sont les "opérateurs hermitiques de la quantité de mouvement" en mécanique quantique etdont il faudra se rappeler tout au long de notre étude!

Remarque: Nous retrouvons ici naturellement un des opérateurs cités dans le troisièmepostulat.

Nous pouvons vérifier la justesse de ces opérateurs en les réinjectant dans l'expression del'énergie cinétique :

(42.55)

Par ailleurs, il est aisé de vérifier que ce développement reste juste si nous prenons leconjugué complexe de l'opérateur de la quantité de mouvement. Ainsi, l'opérateur est bienhermitique puisque son conjugué complexe est égale à lui-même!

3.1.1. OPÉRATEURS ADJOINTS ET HERMITIQUES

Remarque: La lecture des lignes qui vont suivre pourrait s'avérer assez abstraite.Cependant, si vous ne comprenez pas grand chose ce n'est pas bien grave car souvent toutdevient évident pendant l'étude et les développements d'exemples concrets qui seront donnésplus loin.

Considérons les deux intégrales étendues à tout l'espace (à l'intérieur de l'intégrale il s'agitd'une multiplication de fonctions et d'opérateurs) :

et (42.56)

Rappelons que la notation est le conjugué complexe de z.

Définition: Il y a entre les opérateurs et une correspondance biunivoque, nous disons que

est "l'adjoint" de (la transposée de la conjuguée) et nous écrivons :

(42.57)

De cette définition, nous déduisons l'identité suivante :

(42.58)


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Remarque: Nous démontrerons, plus loin, la relation ci-dessus dans un exemple concretmais particulier de la physique quantique des champs (chapitre suivant) et nous y reviendronsde manière plus rigoureuse dans notre présentation du formalisme de Dirac dans le présentchapitre.

L'opérateur adjoint a les propriétés suivantes (ce sont les mêmes que pour la matrice adjointevue dans le chapitre d'algèbre linéaire) :

P1. qui est inutile à démontrer car cette relation découle de la définition de

l'opérateur adjoint et des propriétés des nombres complexes.

P2. étant envisagé comme un nombre complexe (opérateur particulier) nous avons alors (suffisamment évident pour que le lecteur puisse faire la vérification)

P3. (suffisamment évident à vérifier si nous prenons le cas particulier où

les deux opérateurs sont des nombres complexes)

P4. (même remarque que précédemment)

Définition: Une catégorie extrêmement importante d'opérateurs est constituée par les"opérateurs hermitiques self-adjoints", égaux par définition à leurs adjoints:

(42.59)

Ils jouent vis-à-vis des opérateurs en général, un rôle assez analogue à celui des nombres réelsvis-à-vis des nombres complexes.

Remarque: Le terme "hermitique" ou "hermitien" sont équivalents et rappelez-vous queces opérateurs peuvent être aussi des matrices!

Définition: En multipliant un opérateur hermitique par le nombre complexe i, nous obtenonsun opérateur dit "anti-hermitique" (la dénomination est assez logique...).

Remarque: Le produit d'un opérateur hermitique par un nombre réel reste bienévidemment un opérateur hermitique.

Un opérateur quelconque, soit , peut se décomposer d'une façon unique en partieshermitique et anti-hermitique, c'est-à-dire que nous pouvons écrire:

(42.60)

où sont hermitiques.

Démonstration:

Si :

(42.61)

donc:

(42.62)

La somme de l'opérateur et de son adjoint est donc un opérateur hermitique.


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En général, il est trivial que le produit de deux opérateurs hermitiques n'est pas

nécessairement un opérateur hermitique, car nous vérifions que la condition pour laquelle leproduit de deux opérateurs hermitiques soit lui-même hermitique, est que les deux opérateurs"commutent" (voir ce qui suit).

3.1.2. COMMUTATEURS ET ANTI-COMMUTATEURS

Définitions:

D1. Le "commutateur" de deux opérateurs et , s'écrit :

(42.63)

D2. "L'anti-commutateur" de deux opérateurs et , s'écrit :

(42.64)

Remarques:

R1. Comme le commutateur est beaucoup plus fréquent dans les développements que l'anti-commutateur, s'il n'y a pas de confusion possible, nous le noterons simplement .

R2. Des exemples concrets et triviaux de ces commutateurs dans le cadre de notre étude laphysique quantique ondulatoire seront présentés dans le texte qui suit.

Citons quelques propriétés évidentes des commutateurs (car ce sont ceux que nous utiliseronsle plus):

(42.65)

où sont des nombre quelconques (les démonstrations sont faites - au besoin - pendant le

développement d'exemples pratiques).

Cherchons l'adjoint de :

(42.66)

d'où un résultat très simple:

(42.67)

La relation suivante est très utile dans la pratique (trivial, mais comme d'habitude au besoinnous pouvons rajouter la démonstration):

(42.68)

nous avons de même:

(42.69)

Nous démontrerons plus loin dans un cas concret de la physique quantique, que si deuxopérateurs ne commutent pas, alors il est impossible d'avoir un état ayant une valeur précise etunique pour les deux opérateurs à la fois (en physique quantique il existe une configurationd'expérience ou le premier opérateur représente la quantité de mouvement et le second lacoordonnée spatiale). Ce résultat implique que les opérateurs sont souvent nommés des"observables".


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Attardons nous un moment sur un exemple concret des commutateurs utiles en physiquethéorique (particulièrement en physique quantique ondulatoire donc...) et dont un des résultatsest fondamental!

Nous avons démontré plus haut les relations:

(42.70)

Considérons la relation (simple différentielle mathématique habituelle):

(42.71)

Si nous divisons par des deux côtés de l'égalité et qu'ensuite nous multiplions par ,nous obtenons :

(42.72)

ce qui nous donne:

(42.73)

donc il vient que le commutateur de x et est égal à et donc que les quantités ne

commutent pas. Nous avons donc la "relations d'anti-commutation" suivante :

(42.74)

(cycl.)

Ainsi (en nous basant sur le deuxième postulat), les deux observables x et dont les

opérateurs ne commutent pas ne possèdent une base de vecteurs propres commune. Ils ne sontdonc pas simultanément mesurables avec précision et constituent donc une incertituded'Heisenberg.

Remarques:

R1. L'abréviation (cycl.) signifiant que l'on peut permuter circulairement les lettres (x, y, z).

R2. Bien que ce résultat puisse paraître étonnant il n'en est pas moins extrêmement correctpuisque découlant d'un raisonnement mathématique nous ne pouvons plus simple et rigoureux.

Considérons donc maintenant aussi la relation :

(42.75)

et en procédant de la même manière que précédemment, nous obtenons :

(42.76)

(cycl.)

Les deux relations :

et (42.77)

peuvent se résumer à:

(42.78)


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en utilisant les coordonnées et moments généralisés et sont remarquables sous plusieursangles:

- Premièrement, parce qu'à partir de considérations purement théoriques et mathématiquesnous retrouvons également en physique quantique une incertitude équivalente (mais paségale!) à celle obtenue lors de notre étude des principes d'incertitudes de Heisenberg (quirappelons-le avaient été obtenues à partir d'un cas pratique classique).

Effectivement, si nous prenons le module du commutateur de gauche, nous avons alors la"relation d'incertitude spatiale de Heisenberg" :

(42.79)

qui rappelons-le, peut également s'écrire sous la forme:

(42.80)

La constante de Planck étant extrêmement petite, cela explique que cet effet est impossible àdétecter à notre échelle macroscopique. Par contre, la masse des électrons étant extrêmementpetite aussi, la fraction ci-dessus devient notable pour un électron et l'effet de cette incertitudeest important!

Enfin, par commutation des composantes du quadrivecteur impulsions (cf. chapitre deRelativité Restreinte), nous avons la "relation d'incertitude temporelle de Heisenberg" :

(42.81)

Une conséquence fantastique découle de l'incertitude sur le temps et l'énergie et de larelativité. Imaginons-nous le vide le plus total (vide quantique) et supposons que nousregardions ce qui ce passe en un point de l'espace donné pendant un temps très court. Alors leprincipe d'incertitude temporelle nous dit que l'énergie de cet état (le vide!) est très imprécise.Or la relativité dit que l'énergie c'est aussi de la masse (et aussi un champ), donc desparticules. Donc, pendant ce temps très court des particules peuvent apparaître spontanémentdu vide ! Nous les appelons des "particules virtuelles" car elles disparaissent très vite et sontengendrées par les "fluctuations quantiques du vide".

Cette variation est suffisamment faible pour que nous puissions la mesurer aujourd'hui avecnos instruments. Cependant, nous en observons les effets seulement dans les grandscollisionneurs de particules de la planète.

Deuxièmement, ces relations sont remarquables parce que l'incertitude est une valeurcomplexe. Ce qui amène à considérer que le corps des complexes est inhérente à la structureréaliste de notre environnement (espace-temps) au niveau du monde quantique. Le mondequantique est donc un monde d'incertitude complexe. Et cette probabilité ne semble pas êtreune conséquence de notre imprécision ou de notre ignorance mais semble bien être unepropriété intrinsèque de la nature.

Remarque: Ces deux relations nous seront indispensables pour développer la théoriequantifiée du moment cinétique et du spin.

3.1.3. INTERPRÉTATION DE COPENHAGUE

Avant de poursuivre, il faut insister sur cette interprétation car ainsi que nous allons leconstater avec d'autres expériences, elle soulève bien des critiques tant de la part deschercheurs que des philosophes.

En 1930, l'interprétation probabiliste de l'amplitude de l'onde d'une particule et le principed'incertitude d'Heisenberg constituent les éléments de l'interprétation "standard " nondéterministe de la mécanique quantique comme nous en avons déjà fait mention au début de


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ce chapitre. Cette interprétation est souvent appelée "interprétation de Copenhague", carNiels Bohr qui y contribua largement y dirigeait un institut de physique renommé à cetteépoque. Pourtant de nombreux physiciens tels Einstein et Schrödinger, qui acceptaient laformulation mathématique de la mécanique quantique, n'étaient pas à l'aise avecl'interprétation de Copenhague et la critiquaient. Et jusqu'à nos jours, la question del'interprétation correcte de la formulation mathématique reste un problème.

En effet, nous pouvons nous poser la question suivante : Où se trouve la réalité? Y-a-t-il uneréalité? Niels Bohr répond non : il n'y a rien au niveau quantiqu, la réalité n'existe oun'apparaît que lors d'une mesure. Cette vision partagée par la plupart des physiciens(interprétation de Copenhague), implique que la mesure "crée" la position de l'électron (voir lesous-chapitre traitant du principe de superposition linéaire des états)

Einstein pensait que la mécanique quantique, bien que très efficace et très impressionnante,n'est pas complète et ne donne qu'une image imparfaite du monde quantique. Pour lui, il yaurait autre chose, au-delà, qui clarifierait et affinerait notre présente vision.

Ainsi, dans l'interprétation de Copenhague de la mécanique quantique le principe d'incertitudesignifie qu'à un niveau élémentaire, l'univers physique n'existe plus de manière déterministe,mais plutôt comme une série de probabilités ou de potentiels. Par exemple le motif produit pardes millions de photons passant à travers une fente de diffraction peut être calculé à l'aide dela mécanique quantique, mais le chemin de chaque photon ne peut être prédit par aucuneméthode connue. L'interprétation de Copenhague dit qu'il ne pourra être calculé par aucuneméthode. C'est cette interprétation qu'Einstein mettait en doute lorsqu'il disait : "je ne peuxpas croire que Dieu joue aux dés avec l'Univers". D'un point de vue physique autant quephilosophique, le principe d'incertitude implique la réfutation du déterminisme universeldéfendu par Laplace au début du 19ème siècle.

Une réduction instantanée des états se produit dès l’observation du système. Cette décisionaléatoire de l'état observé respecte les probabilités, correspondant au carré des amplitudes desétats. De surcroît, l'interprétation de Copenhague stipule que lors d’une mesure, un processusde réduction, originaire de l'objet macroscopique, élimine les superpositions d’étatsquantiques.

L'interprétation de l'école de Copenhague conduit donc au problème de la mesure,l'expérience de pensée du chat de Schrödinger stipulant que lorsqu'on mesure une quantité,telle que la position ou l’impulsion, nous intervenons dans le processus de mesure enprovoquant un changement radical de l’état quantique, de la fonction d’onde. Nous modifionsles quantités mesurées de façon imprévisibles et cet état ne peut être décrit par l'équationdéterminée de Schrödinger. Les physiciens et les philosophes ont réagit de plusieurs manièresà cette interprétation :

- Soit nous considérons comme Bohr et Heisenberg que ce principe fait loi et qu'il estpréférable de ne pas rechercher l’interprétation ultime. C'est une attitude qui est admise par laplupart des physiciens.

- Soit nous considérons que la physique quantique est une théorie incomplète et certains, telEinstein, Eugene Wigner ou David Bohm n'ont pas hésité à rechercher d'autres solutions,stériles jusqu’à présent.

- Enfin, Hugh Everett III et bien d'autres prennent l'équation de Schrödinger très au sérieux, laconsidérant comme une représentation de la réalité. Ils considèrent que l'interprétation del'école de Copenhague représente réellement l'évolution de la fonction d'onde. Les différentstermes de l'équation correspondraient aux différents niveaux d'énergie dans lesquels se trouvele système. La réduction du paquet d'ondes s’interpréterait comme une division totale del'objet et de l'instrument de mesure dans des univers parallèles.

Aujourd'hui le débat reste ouvert mais plusieurs expériences réalisées depuis les années 1930nous permettent, pas à pas, de dissiper l’épais brouillard qui recouvre le fond de la réalité et derépondre à quelques questions. Cela dit, toutes ces expériences confirment néanmoins quel’époque des certitudes est bien révolue.


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3.1.4. DIMENSIONS DE PLANCK

Il convient de nous attarder un moment sur la constante de Planck (car beaucoup d'ouvragesfont mention de ce que nous allons voir sans les précautions de rigueur). Nous venons de voirque la mesure des objets dépend du principe d'indétermination de Heisenberg. Cette précisionjoue tant sur les mesures du temps que sur la trajectoire des particules ou la densité d'énergiede l'Univers. Voyons que cela à par extension d'autres implications.

Nous avons démontré précédemment qu'une des relations d'incertitudes est donnée, enprenant le module, par (de l'ordre de la constante de Planck donc à un facteur près) :

(42.82)

Grossièrement, nous pouvons donc dire qu'à une fluctuation de l'espace (à ne pasconfondre avec la notation de la longueur d'onde), nous pouvons associer la quantité demouvement :

(42.83)

À celle-ci correspond, d'après nos résultats du chapitre de Relativité Restreinte, la relationl'énergie , ou la masse équivalente (en divisant par ) p/c. En désignant par

M cette masse associée à la perturbation , nous avons donc :

(42.84)

La gravitation due à cette masse est caractérisée par une longueur R que nous détermineronsen ordre de grandeur en écrivant que l'énergie potentielle qui lui est associée (cela supposeque la gravitation classique et quantique sont régies par les mêmes lois...), (cf.chapitre de Mécanique Classique), est égale à la masse-énergie . Cela donne:

(42.85)

ou, en remplaçant M par son expression précédente :

(42.86)

Pour qu'il n'y ait pas auto-amplification (et donc divergence) du phénomène de fluctuationquantique du vide, nous devons avoir de préférence . En écrivant l'égalité entre cesdeux grandeurs, nous aboutissons donc à une quantité qui représente la dimension minimale(en ordre de grandeur) que puisse concevoir la physique. C'est la fameuse "longueur dePlanck" :

(42.87)

pour laquelle il correspond la période ou "temps de Planck" d'où :

(42.88)

Nous pouvons maintenant revenir à une autre expression plus intéressante de la massefluctuante. Puisque :

et (42.89)


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nous avons dès lors la "masse de Planck" :

(42.90)

L'analyse dimensionnelle nous donne à une constante près et selon le théorème du Viriel (cf.chapitre de Mécanique Des Milieux Continus):

(42.91)

et donc :

(42.92)

d'où la "température de Planck" :

(42.93)

et encore "l'énergie de Planck" :

(42.94)

Après tout cela, nous obtenons facilement la "densité de Planck" :

(42.95)

Nous pouvons nous amuser à obtenir encore d'autres valeurs de Planck encore mais qui neveulent plus dire grand chose à force (et nous pourrions continuer ainsi longtemps avecénormément d'autres grandeurs) :

La "force de Planck" :

(42.96)

La "puissance de Planck" :

(42.97)

La "pulsation de Planck" :

(42.98)

En procédant avec le même raisonnement initial fait avec la masse mais en utilisant l'énergiepotentielle électrostatique au lieu de l'énergie potentielle gravitationnelle nous pouvons obtenirla "charge de Planck" :


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(42.99)

Dès lors nous pouvons calculer un "courant de Planck" :

(42.100)

ainsi que la "tension de Planck" :

(42.101)

et "l'impédance de Planck" (…) :

(42.102)

Remarque: Certains physiciens se sont servis (et se servent toujours) des résultatsci-dessus pour des raisonnements farfelus et dangereux qui ne sont que interprétation. Ilconvient donc de prendre avec des pincettes toutes les informations relatives aux dimensionsde Planck que vous pourriez trouver (même si celles-ci sont fort semble sympathiques).L'exemple le plus connu est donné par la longueur d'onde de Compton (cf. chapitre de

Physique Nucléaire) qui dépend de la masse-énergie du photon. Si cette longueur d'onde estégale au rayon de Schwarzschild classique pour la même masse-énergie (cf. chapitred'Astrophysique), alors dans ce cas sa valeur est celle de la longueur de Planck et sa masse estégale à la masse de Planck. Il est alors tentant de dire que la particule forme alors un trou noir.Mais il s'agit d'une analogie car dans ce cas, rien ne nous dit que l'expression du rayon deSchwarzschild s'applique à la physique quantique...

3.2. REPRÉSENTATIVES

Introduisons maintenant les notations quantiques contemporaines, que nous considérons pourl'instant comme des abréviations d'intégrales portant sur des fonctions d'ondes, nous écrirons(dans le but futur de calculer des densités de probabilités) :

(42.103)

car il s'agit d'un produit scalaire fonctionnel complexe (cf. chapitre d'Analyse fonctionnelle etde Calcul Vectoriel).

Avec cette notation, la relation que nous avions présentée lors de notre étude des opérateurs :

(42.104)

devient (c'est plus léger déjà...) :

(42.105)

Cela dit, l'ensemble E des fonctions qui nous intéressent en physique quantique ondulatoireconstituent un espace linéaire fonctionnel. Effectivement, en physique quantique, leséquations différentielles que nous devons résoudre (équation de Schrödinger) pour décrire lecomportement d'une particule, sont telles que la solution générale peut être très souventdécomposée en la somme des solutions particulières. En mathématique, nous disons alors queles états sont linéaires. C'est-à-dire que toute combinaison d'états est encore un état.

Ainsi, l'état d'une particule est comme nous le démontrerons plus tard représenté par un "état


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quantique" ou un "vecteur d'état" noté (qui correspond à une des fonctions

mathématiques décrivant sa dynamique en quelque sorte).

Par exemple, si et sont deux états possibles, alors est également un

état possible pour le système (de par la propriété des espaces linéaires fonctionnels).

Revenons maintenant à notre espace linéaire fonctionnel (ou "espace linéaire des états"). Le

fait que l'ensemble des fonctions qui nous intéressent constituent un espace linéaire

fonctionnel signifie que si , nous avons aussi quels que soient

les coefficients et (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Si les fonctions constituent un espace, il est alors naturel de chercher à les rapporter à unebase orthonormée. Ainsi, une suite de fonctions (qui sont les fonctions propres)

constituera une base orthonormée si nous avons (forme de relation démontrée en calcultensoriel):

(42.106)

où nous le rappelons, est le symbole de kronecker (cf. chapitre de Calcul Tensoriel).

Définition: La base est dite "base complète" si bien évidemment toute fonction peut se

développer en série des fonctions propres tel que:

(42.107)

où est un nombre quelconque (c'est en partie ici qu'il faut revenir aux quatrième et

cinquième postulats de la physique quantique ondulatoire).

Calculons maintenant le produite scalaire fonctionnel (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle):

(42.108)

Cette dernière relation montre que nous avons identiquement (nous changeons la notation desindices):

(42.109)

Ainsi, dans une base orthonormée complète , une fonction sera bien décrite par la

donnée des coefficients . Nous aurons souvent intérêt à les mettre sous le format de la

matrice représentative de dans la base :

(42.110)

Considérons maintenant un opérateur tel que:

(42.111)

Mais nous pouvons également écrire (remarquez l'apostrophe dans la relation!):


22 sur 82 10/02/2009 21:17

(42.112)

Multiplions cette dernière relation par et calculons le produit scalaire fonctionnel:

(42.113)

A comparer avec (obtenu plus haut) :

(42.114)

En notant , la "matrice représentative" de dans la base , nous pouvons d'après la

relation :

(42.115)

écrire finalement :

(42.116)

3.3. VALEURS ET FONCTIONS PROPRES

Soit un opérateur (hermitique ou non). Le nombre a est dit "valeur propre de l'opérateur" de, s'il existe une fonction non identiquement nulle telle que (pour un rappel de notions

similaires voir le chapitre d'Algèbre Linéaire) :

(42.117)

est alors une "fonction propre" (en analogie avec les "vecteurs propres") de , associée àla valeur propre de a. Notons que a peut très bien être nul (vous comprendrez mieux cela aumoment où nous passerons à l'étude de cas concrets).

En des termes plus physiques, cela revient à dire que lorsqu'un état (une fonctionmathématique au sens formel tel que ) est inchangée par un opérateur, l'état est alors appelé"état propre" ou "vecteur propre" du système.

Soit l'ensemble des fonctions propres associées à a et un espace linéaire fonctionnel, que

nous nommerons le "sous-espace propre associé" à a. Le nombre de dimensions de

s'appelle "multiplicité" (ou "ordre de dégénérescence") de la valeur propre a, et nous lenotons g.

Soit maintenant a une valeur propre simple, ou non dégénérée, . Cela veut dire qu'il y aune seule fonction propre associée à a, à un coefficient multiplicatif non nul près.

Si (valeur propre double), nous pouvons trouver deux fonctions propres nonproportionnelles (non liées) associées à a, etc.

Deux fonctions propres et associées à deux valeurs propres différentes sontorthogonales, c'est-à-dire que:

(42.118)

Pour démontrer cela supposons par hypothèse:

(42.119)


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avec .

Nous multiplions respectivement les deux relations précédentes par , et nous intégronspour obtenir le produit scalaire fonctionnel:

(42.120)

En retranchant de la dernière relation le complexe conjugué de l'avant dernière, a étantsupposé réel (ou un entier...), nous avons :

(42.121)

ce qui montre bien que puisque .

Exemple:

Soit:

(42.122)

avec (opérateur que nous avons déjà vu précédemment) et a une valeur propre.

L'équation devient:

(42.123)

qui se vérifie aisément si :

(42.124)

qui est bien une fonction propre de l'opérateur susmentionné et qui nous sera des plus utilesdans ce qui va suivre.

3.4. FORMALISME DE DIRAC

Dirac a conçu un formalisme général très pratique, mondialement utilisé par les physiciens,dont nous allons donner les éléments essentiels. Les notations utilisées ont d'ailleurs été déjàpartiellement introduites dans ce qui a précédé.

Nous utiliserons le formalisme de Dirac pour deux points, le premier étant de mieuxcomprendre ce qui a été vu jusqu'à maintenant lors de l'introduction aux opérateursfonctionnels, le second étant d'introduire à une notation et une méthode de résolution que l'onretrouve dans certains ouvrages. Par ailleurs, dans ce site par simplification d'écriture nousutiliserons parfois ce formalisme.

3.4.1. KETS ET BRAS

Nous considérons un espace vectoriel à dimensions où peut très bien être infini

(espace de Hilbert). Un vecteur est défini par n composantes que nous

pouvons ranger en colonne pour former une matrice colonne :


24 sur 82 10/02/2009 21:17

(42.125)

Nous dirons que cette matrice décrit le "vecteur droit" ou le "ket" (cela doit vous rappeler

les "représentatives"). Il est possible d'associer à la matrice colonne la matrice adjointe(transposée conjuguée) :

(42.126)

où les sont les complexes-conjugués des . Nous dirons que la matrice ligne adjointe

décrit le "vecteur gauche" ou le "bra" (cela doit également vous rappeler les

"représentatives").

L'addition et la multiplication par un nombre vont de soi. Notons que si , nous

avons trivialement .

Avec deux vecteurs de composantes et , nous pouvons former la quantité suivante, dite

"produit scalaire hermitique" :

(42.127)

nous convenons de l'écrire . Notons que:

(42.128)

le produit scalaire hermitique n'est donc pas simplement commutatif!

Le produit dépend linéairement de et de . Réciproquement si un nombre

dépend linéairement d'un ket , il existe un bra tel que .

En mécanique quantique, est appelé "l'amplitude" d'être dans l'état x si le système est

dans l'état y. Ce produit scalaire hermitique sera interprété comme la probabilité que lesystème physique soit dans l'état x s'il est dans l'état y.

Une base orthonormée de l'espace étudié est constituée par n vecteurs tels que :

(42.129)

où rappelons-le, est le symbole de Kronecker (cf. chapitre de Calcul Tensoriel).

Tout vecteur de peut se développer sur cette base selon (cf. chapitre de Calcul

Vectoriel):

(42.130)

où les sont les composantes de dans la base choisie. Nous vérifions vraiment aisément


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que (déjà vu maintes fois dans le chapitre de calcul vectoriel):

(42.131)

Si un ket dépend linéairement d'un ket , nous écrivons symboliquement:

(42.132)

où est un opérateur linéaire. Soit donc un opérateur linéaire défini par la relationprécédente et un bra , le produit scalaire hermitique:

(42.133)

est un nombre qui dépend linéairement de . D'après ce qui a été vu plus haut, il existe

un bra tel que . dépend visiblement de de manière linéaire. Nous

convenons de poser:

(42.134)

A l'aide de cette convention, nous pouvons écrire:

(42.135)

Si , dépend linéairement de . Par définition, nous écrirons:

(42.136)

où est l'opérateur adjoint de .

Formons avec un bra le produit scalaire hermitique:

(42.137)

et nous pouvons écrire (nous l'avons démontré précédemment):

(42.138)

d'où la relation de première importance que nous avons déjà rencontré plusieurs fois sans enavoir expliqué vraiment l'origine :

(42.139)

Nous rappelons simplement avec cette relation qu'un opérateur hermitique est un opérateurégal à son adjoint.

Grâce au formalisme de Dirac, ce qui était avant définitions abstraites sont devenusmaintenant des évidences démontrées.

Remarque: A nouveau, un excellent exemple pratique d'application du formalisme deDirac est proposé dans le chapitre d'Informatique Quantique (voir section d'InformatiqueThéorique).

4. MODÈLE DE SCHRÖDINGER

Des expériences (effet Compton, effet photoélectrique, fentes de Young, optique


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géométrique/ondulatoire, etc.) ont montré que les ondes pouvaient, dans certains situationsêtres traitées comme des corpuscules (et inversement). Ce sont ces observations quiamenèrent Niels Bohrà énoncer sont "principe de complémentarité" qui dit que suivant lesexpériences effectuées, il faut considérer la matière soit comme une onde, soit comme descorpuscules. Ces deux aspect se complétant l'un et l'autre.

4.1. ONDE ASSOCIÉE DE DE BROGLIE

Le physicien français Louis Victor De Broglie suggère, en 1924, que réciproquement, lesparticules (électrons, protons, et autres) pourraient aussi, dans certains cas, montrer despropriétés d'ondes ! De Broglie émit alors l'idée qu'il existait entre la longueur d'onde d'uneparticule de matière et sa quantité de mouvement, une relation similaire à celle d'un photon,soit :

(42.140)

où le rapport :

(42.141)

De Broglie émit dès lors l'hypothèse suivante : pour un corpuscule de masse et de vitesse

nous avons :

(42.142)

est appelé "longueur d'onde associée de De Broglie".

La matière en mouvement aurait donc une longueur d'onde associée. C'est une longueurd'onde extrêmement petite pour des masses de l'ordre du kilogramme. Même si la vitesse est

alors . Comme nous l'avons vu, les phénomènes d'interférence et

de diffraction sont important seulement lorsque la taille des objets ou fentes n'est pasbeaucoup plus grande que la longueur d'onde. Il est donc impossible de détecter les propriétésondulatoires des objets de tous les jours. Il n'en est pas de même pour les particulesélémentaires, les électrons en particulier.

Les électrons peuvent donc avoir des longueurs d'onde de l'ordre de ce qui

correspond à l'espacement des atomes d'un cristal. C.J. Davisson et L.H. Germer exécutèrentune expérience cruciale : ils diffusèrent des électrons sur la surface d'un cristal et au début1927 observèrent que les électrons éjectés étaient distribués en pics réguliers. Lorsqu'ilsinterprétèrent ces pics comme des pics de diffraction, ils trouvèrent que la longueur d'onde del'électron diffracté était exactement celle prédit par De Broglie.

Mais alors qu'est-ce qu'un électron ?? Les illustrations qui montrent un électron comme uneminuscule sphère chargée négativement ne sont que des images commodes, mais inexactes.En fait, nous devons utiliser le modèle corpusculaire ou ondulatoire, celui qui fonctionne lemieux selon la situation de façon à pouvoir comprendre ce qui se produit. Mais il ne faut pasen conclure qu'un électron est une onde ou une particule. Nous devrions plutôt dire qu'unélectron est "l'ensemble de ses propriétés mesurables". Certains physiciens emploient encorel’expression "quanton" pour décrire tout système se comportant soit comme une onde soitcomme une particule.

De Broglie put alors suggérer que chaque orbite quantifiée (selon le postulat de quantificationde Bohr) d'une orbite électronique est alors une onde stationnaire. Comme pour les modesrésonnants d'une corde, seules les ondes dont la circonférence de l'orbite circulaire contient un

nombre entier de existent, soit :

avec


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(42.143)

En remplaçant par , nous obtenons :

(42.144)

Ce qui est bien la condition quantique proposée par Bohr. Les orbites et les états d'énergiequantifiés du modèle de Bohr, sont dus à la nature ondulatoire de l'électron et au fait queseules des ondes stationnaire résonantes persistent. Ceci suppose que la dualitéonde-corpuscule est à la base de la structure de l'atome.

La notion ondulatoire de la particule permit ensuite au physicien Erwin Schrödinger dedévelopper une équation dite "équation d'onde" pour décrire les propriétés ondulatoires desparticules.

Petit interlude sympathique… puisque connue l'onde associée de De Broglie et étant donné lerésultat vu lors de notre étude du théorème du Viriel en mécanique des milieux continus, nouspouvons mettre en relation :

(42.145)

Ainsi, nous pouvons pour une fluide (liquide), obtenir la valeur de "l'onde thermique associéede De Broglie". Ce qui nous donne :

(42.146)

Nous reviendrons sur cette relation lors de notre étude des superfluides en mécanique desmilieux continus.

4.2. ÉQUATION CLASSIQUE DE SCHRÖDINGER

Rappelons la forme unidemensionnelle de l'équation d'onde (cf. chapitre de MécaniqueOndulatoire) :

(1) (42.147)

Pour simplifier, cherchons une solution particulière de la forme (voir le chapitre de MécaniqueOndulatoire ou le chapitre d'Électrodynamique pour l'analogie) :

(2) (42.148)

est l'amplitude du champ associé à la particule. Il est important de remarquer que la

partie périodique ne contient pas de paramètres de déplacement (comme c'est le cas enélectrodynamique par exemple) car la fonction se doit de décrire des solutions "statiques"(attention à ne pas prendre ce terme à la lettre).


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Pour des raisons historiques cette amplitude est couramment appelée "fonction d'onde" bienque cette appellation soit trompeuse. Il serait peut-être meilleur de l'appeler simplement"amplitude du champ associé à la matière".

C'est la recherche de l'expression de cette fonction qui va nous amènera lors de l'étude d'uncas particulier (bien plus loin dans le texte) à l'expression bien connue de l'énergie d'ionisationd'un électron de nombre quantique n donné et pour son atome de numéro atomique N donné.

Si nous introduisons (2) dans (1), nous obtenons :

(3) (42.149)

Nous avons aussi :

(42.150)

d'où :

(4) (42.151)

si nous introduisons (4) dans (3) nous obtenons alors "l'équation de Schrödingerunidimensionnelle classique" (en l'absence de champ magnétique...) :

(42.152)

Remarque: L'énergie potentielle pourrait aussi bien être gravitationnelle, qu'électrique oules deux combinées (donc de nature quelconque). Mais la gravitation est tellement faible àcette échelle par rapport aux forces électrostatiques qu'elle est négligée.

Nous pouvons récrire l'équation précédente en la généralisant à un système à trois dimensions.Ce qui nous donne finalement:

(42.153)

où n'est autre que le Laplacien scalaire :

(42.154)

Remarques:

R1. Cette équation n'est pas un invariant de Lorentz étant donné qu'elle a été établie à partirde l'expression classique de l'énergie (et non relativiste).

R2. La fonction d'onde plane que nous avons prise au départ n'a pas une signification


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physique étant donné qu'elle transporte une énergie infinie. Une meilleure solution est deconsidérer un paquet d'ondes. Toutefois, parmi les paquets d'onde généralement employés,elles sont constituées d'une superposition d'ondes planes. Dès lors, en étudiant ses effets surune des ondes planes, nous pouvons accepter les conclusions physiques que nous pouvons endéduire.

4.2.1. HAMILTONIEN DE SCHRÖDINGER

L'équation de Schrödinger peut également s'écrire sous la forme (après quelques petites misesen facteurs élémentaires) suivante:

(42.155)

Nous écrivons cela en mécanique quantique sous la forme:

(42.156)

où H est donc donc l'hamiltonien du système (ou énergie totale) et constitue un opérateurfonctionnel et l'énergie totale, la valeur propre.

L'équation de Schrödinger est donc une équation aux dérivées partielles du second ordre,linéaire homogène. Quelle que soit l'énergie totale, elle admet des solutions, mais nousmontrons qu'en général ces solutions croissent très rapidement (croissance de typeexponentiel) quand nous nous éloignons à l'infini dans certaines directions et sont doncphysiquement inacceptables. Il n'y a que des valeurs particulières de l'énergie totale quidonnent lieu à des solutions physiquement acceptables et en général, l'ensemble de ces valeurscomprend des valeurs discrètes (fonctions trigonométrique à la source) qui sont les "niveauxliés" du système (parce que leur fonction propre décroît rapidement à l'infini) et un continuumde valeurs qui sont les "niveaux non liés" (leur fonction propre restant finie à l'infini). Plusprécisément, si W est la borne inférieure des valeurs de l'énergie potentielle à l'infini, lesniveaux liés se situent au-dessous de W, alors que les valeurs supérieures à W constituent lecontinuum des niveaux non liés.

Par exemple, dans l'étude de l'oscillateur harmonique que nous ferons plus loin :

avec (42.157)

il existe donc que des niveaux liés. Dans l'atome d'hydrogène:

avec (42.158)

les niveaux liés seront négatifs, et toutes les valeurs positives de l'énergie seront des niveauxnon liés.

Ceci ayant été dit, voyons également comme exemple (très important) la manière dedéterminer l'hamiltonien H de l'équation de Schrödinger d'une particule chargée non relativistedans un champ électromagnétique.

Nous avons vu en mécanique analytique que le lagrangien était défini par la soustraction del'énergie cinétique et potentielle selon la relation:

(42.159)

Nous avons dans le chapitre d'Électrodynamique que le lagrangien de l'interaction champ-courant relativiste était donné par :

(42.160)


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Si nous rajoutons un champ électrique (et donc un potentiel électrostatique U) en plus duchamp électromagnétique le lagrangien s'écrit alors (puisque le potentiel se soustrait selon ladéfinition du lagrangien!) :

(42.161)

Dans l'approximation classique (non relativiste) nous savons que nous avons (cf. chapitre deRelativité Restreinte):

(42.162)

Comme nous nous restreignons au cas non relativiste nous pouvons éliminer le terme constantd'énergie de la masse au repos tel que :

(42.163)

Toujours dans le chapitre de Mécanique Analytique, nous avons démontré que l'hamiltonienétait donné par :

(42.164)

Nous avons donc :

(42.165)

De plus, nous avons vu en mécanique analytique que :

(42.166)

Il vient donc que :

(42.167)

Finalement :

(42.168)

Soit après simplification :

(42.169)

H contient donc l'énergie cinétique et l'énergie potentielle totale. Il n'y a pas de termemagnétique car la force de Laplace, comme nous l'avons démontré dans le chapitre deMagnétostatique, ne travaille pas. H est bien l'énergie totale du système classique, cependantla relation précédente n'est pas vraiment adaptée au formalisme de Hamilton car les momentsconjugués n'apparaissent pas. Mais il est très simple des les introduire à partir du résultatobtenu précédemment qui était :

(42.170)

donc :


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(42.171)

Si nous passons en mécanique quantique, nous devons remplacer les par leurs opérateurs

respectifs dont nous avons démontré l'origine plus haut. Ainsi, nous avons :

(42.172)

qui doit s'écrire dans le cas général (le potentiel vecteur anti-commute avec la quantité demouvement) :

(42.173)

Ce que l'on notre traditionnellement sous la forme (sic!):

(42.174)

Remarque: Dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste nous démontrerons laforme relativiste de ce hamiltonien associée à l'équation de Klein-Gordon généralisée ouencore celui de Dirac qui inclut le spin.

4.2.2. CONDITION DE NORMALISATION DE DE BROGLIE

En général, dans un état dynamique donné, la particule (s'il s'agit d'un système à une particule)décrite par la résolution de l'équation de Schrödinger pour des paramètres bien définis est mallocalisée, car x, y, z sont mal déterminés de par même le principe d'incertitude de Heisenberg.Il y donc lieu de définir une probabilité dP de trouver la particule dans l'élément de volumedxdydz entourant un point (x, y, z), d'où l'existence d'une fonction de distribution descoordonnées telle que:

(42.175)

, est une quantité essentiellement positive ou nulle doit s'exprimer à l'aide de lafonction de Schrödinger .

Des analogies avec la physique ondulatoire classique (densité de volume d'énergie d'une ondeélectromagnétique) ont conduit à admettre que (nous utilisons le module de la fonction deSchrödinger) comme l'intensité d'une onde est proportionnelle au carré de l'amplitude (cf.chapitre d'Electrodynamique), la densité de probabilité était proportionnelle au carré del'intensité du champ associé :

(42.176)

Il est évident et sans démonstration que nous devons alors avoir sur tout l'espace:

(42.177)

Nous pouvons maintenant considérer la signification physique qui peut-être attachée àl'intensité du champ associé à la matière. Comme ce champ décrit le mouvement d'uneparticule, nous pouvons dire que les régions de l'espace dans lesquelles la particule a le plus de

chance de se trouver sont celles dans lesquelles est maximum. Nous verrons des

exemples de cette normalisation plus loin.


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4.2.3. ÉTATS LIÉS ET NON LIÉS

Supposons que décroisse assez rapidement à l'infini, de telle sorte que l'intégrale:

(42.178)

converge. Il est alors possible de profiter de l'arbitraire régnant sur la fonction d'onde (le faitque et décrivent le même état) pour rendre cette intégrale égale à l'unité. Nous disons

alors que est une "fonction d'état de champ normée":

(42.179)

Notons qu'il règne encore un arbitraire sur par un nombre complexe de module 1, , sansque la condition de normalisation soit altérée. Nous appelons cela "l'arbitraire de phase" et enverrons un exemple plus tard.

Un tel état dynamique est dit "état lié" ou "niveau lié", parce que la particule se manifestedans une région limitée de l'espace à cause d'un potentiel. Lorsque, par exemple, l'atomed'hydrogène est situé sur un niveau fondamental, il est dans un état lié. Nous savons qu'il n'y aaucune chance de trouver l'électron à plus de quelques angströms du proton, traité commeinfiniment lourd et placé à l'origine comme nous l'avons vu lors de l'étude du modèle de Bohr.Voici une bonne vision schématique de la chose (état lié):

(42.180) (Source: Pour la Science)

Un exemple d'état par défaut non lié est la particule libre qui peut se propage indéfinimentdans toutes les directions de l'espace (au fait pour ce dernier exemple c'est plus compliquémais nous le traiterons plus loin).

Remarque: Il est bon de noter que ces concepts d'états liés ont des analogues classiques.Ainsi, les niveaux liés de l'atome d'hydrogène correspondent aux orbites elliptiques, lesniveaux non liés (énergie positive) correspondent aux orbites hyperboliques.

4.3. ÉQUATION D'ÉVOLUTION CLASSIQUE DE SCHRÖDINGER


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Nous savons qu'en mécanique classique l'état dynamique d'un système évolue, en général,dans le temps. Cela veut dire que la position et la quantité de mouvement (par exemple) sontfonctions du temps. Pour un système d'Hamiltonien donné, la connaissance de l'étatdynamique initial permet de prévoir exactement l'évolution ultérieure de ce système du faitdes propriétés bien connues des équations de Hamilton.

En physique quantique, les états dynamiques évolueront dans le temps, en général. Lafonction d'onde décrivant un état dynamique ne sera pas seulement fonction des coordonnéesdes particules constituant le système, mais elle dépendra aussi du temps et s'écrira:

(42.181)

Il est tout naturel d'admettre, ne serait-ce que par analogie avec la mécanique classique, quepour un système donné, d'Hamiltonien connu, la connaissance de l'état dynamique initial àl'instant , permet de prévoir quel sera l'état dynamique du système à un instant ultérieur

.

Notons en passant que cela revient à dire qu'un ensemble initialement "pur" reste un ensemblepur au cours de l'évolution ultérieure des systèmes qui le constituent. Cela cesserait d'être vraisi tous les systèmes de l'ensemble n'avaient pas exactement le même Hamiltonien.

Soit la fonction d'onde normée décrivant l'état dynamique du système à l'instant t (nousn'écrivons pas les autres variables dont dépend par souci de simplification, à savoir lescoordonnées spatiales des particules du système). D'après ce qui précède, si est connue,

l'est aussi. Nous avons une correspondance et nous admettons qu'elle est

linéaire! Il existe donc un opérateur , appelé "opérateur d'évolution", tel que:

(42.182)

La fonction dépend linéairement de . Il en est de même de:

(42.183)

Il existe donc un opérateur linéaire K, tel que:

(42.184)

Ce qui a amené les physiciens à poser l'égalité ainsi, étaient les résultats connus de l'équationd'onde décrivant un état dynamique d'après l'idée de De Broglie. Nous allons tout de suitemontrer que poser l'égalité ainsi est justifiée.

Nous devons déterminer K puisque la connaissance de l'Hamiltonien H commande l'évolutiondu système, K doit donc dépendre de H. Pour préciser la loi qui lie K à H, nous examineronsun cas particulier, celui de la particule libre (dont nous ferons une étude détaillée plus tard).Dans ce cas, H s'identifie à l'énergie cinétique uniquement.

D'après les idées de L. De Broglie, il est naturel d'admettre que la fonction d'onde décrivant unétat dynamique dans lequel la quantité de mouvement est bien déterminée, soit (relationdémontrée pendant l'étude de la particule libre ), et où l'énergie est donc également biendéterminée, soit , est une onde plane :

(42.185)

où k est le vecteur d'onde de l'onde et ses coordonnées spatiales.

Nous voyons très bien à l'arbitraire de phase près (pris comme étant négatif) que:


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(42.186)

Mais évidemment:

(42.187)

Les deux équations précédentes conduisent à écrire:

(42.188)

En comparant avec , nous sommes amenés à poser:

(42.189)

Les physiciens supposent que cette relation entre K et H est générale. Alors, l'équation

dans laquelle K est remplacé par son expression devient alors:

(42.190)

Cette équation constitue "l'équation d'évolution classique de Schrödinger".

En particulier, pour une particule sans spin soumise à une énergie potentielle , en

maintenant toujours que la relation entre et est générale, l'équation d'évolution s'écrit:

(42.191)

Il convient maintenant de résoudre l'équation différentielle d'évolution de Schrödinger. Pourcela, nous avons nous servir de la condition de normalisation de De Broglie.

Rappelons que cette condition s'écrit:

(42.192)

et généralisons à une étude multidimensionnelle et temporelle de cette condition telle que(selon les propriétés des complexes) :

(42.193)

Cette intégrale n'est certainement pas égale à l'unité si nous n'introduisons pas une fonction denormalisation assimilé à un observable que nous noterons X et telle que nous ayons bien:

(42.194)

D'après cette condition, cette intégrale doit nécessairement rester constante en fonction dutemps et de fait égale à l'unité.

Calculons la dérivée par rapport au temps de l'intégrale de normalisation et X. Nous avonsdonc nécessairement:


35 sur 82 10/02/2009 21:17

(42.195)

et utilisons l'équation d'évolution de Schrödinger:

(42.196)

ce qui nous donne pour notre intégrale après substitution:

(42.197)

Démontrons maintenant que nous pouvons écrire:

(42.198)

Cela revient à démontrer que H peut agir identiquement "en arrière" tel que :

(42.199)

H pouvant être (ou contenir si vous préférez) un opérateur (différentiel par exemple).

Cette relation est démontrable si et seulement si est une fonction décroissante vers l'infini.Démontrons cela sur un cas particulier (mais fréquent en physique) et pour voir comment celapeut se faire, considérons dans H, un terme de la forme (ce qui est le cas comme nous l'avonsvu plus haut):

(42.200)

ce qui nous amène à écrire:

(42.201)

Par intégration par partie (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) sur le terme degauche de l'égalité nous avons:

(42.202)

Donc cela ne fait aucune différence de considérer que l'opérateur différencie tout ce qui est àdroite ou tout ce qui est à gauche, dans la mesure où il est bien entendu que ce dernier casimplique un changement de signe.

Donc nous pouvons bien nous permettre d'écrire :

(42.203)


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ce qui nous amène également à écrire :

(42.204)

Ceci ne peut être satisfait uniquement si et dans le domaine mathématique traitant desopérateurs nous avons vu que nous devions noter cette égalité :

(42.205)

Ce qui nous amène à:

(42.206)

soit en utilisant la notation es représentatives:

(42.207)

Pour revenir à la résolution de:

(42.208)

il est évident qu'une solution possible est dès lors:

(42.209)

qui est donc constituée d'une partie purement spatiale et une exponentielle complexedépendante du temps. Vérifions :

(42.210)

C'est ce qu'il fallait démontrer (…).

De même, grâce à la relation que nous avons démontrée avant, nous pouvons écrireécrire :

(42.211)

Finalement, la relation :

(42.212)

devient:

(42.213)

avec "l'opérateur d'Heisenberg" défini par :

(42.214)


37 sur 82 10/02/2009 21:17

Remarque: Il se peut très bien que X soit parfois une simple constante (nous en verrons unexemple plus bas).

4.3.1. SÉPARATION DES VARIABLES

Voyons également une manipulation mathématique intéressante et un peu similaire à laprécédente de l'équation d'évolution de Schrödinger. Cette manipulation va nous permettre devoir que la séparation des variables fonctionne très bien avec l'équation d'évolution et qu'elleva nous permettre de retomber sur un résultat obtenu précédemment (c'est toujours bienpédagogiquement de voir plusieurs approches).

Nous avons donc dans un cas particulier :

(42.215)

Récrite sous forme traditionnelle (selon la littérature) et à une dimension, pour un potentielconstant dans le temps, cette relation s'écrit alors :

(42.216)

Supposons maintenant que la fonction d'onde puisse se séparer en deux fonctions dont elle estle produit telle que :

(42.217)

Nous aurions alors :

et (42.218)

Ce qui injecté dans l'équation d'évolution unidimensionnelle donne :

(42.219)

ce qui donne après simplification :

(42.220)

Le terme de gauche ne dépend que de t, celui de droite que de x. Puisqu'ils sont égaux, ils sontnécessairement égaux aussi à une constante qui a la dimension d'une énergie (U(x) est uneénergie potentielle).

Donc pour le terme de gauche:

(42.221)

alors :

(42.222)

et pour le terme de droite :


38 sur 82 10/02/2009 21:17

(42.223)

qui peut s'écrire :

(42.224)

après factorisation :

(42.225)

Soit avec les notations du site :

(42.226)

nous retrouvons donc l'équation de Schrödinger classique unidimensionnelle ce qui est pas maldu tout comme résultat!

Maintenant, puisque nous avions posé :

(42.227)

Alors nous avons finalement :

(42.228)

ce que nous pouvons écrire sous les notations des paragraphes précédents :

(42.229)

4.3.2. ÉQUATION DE CONTINUITÉ

Considérons maintenant l'exemple important de l'équation d'évolution pour une particule libre:

(42.230)

La probabilité de trouver la particule dans un volume V est comme nous l'avons vu, donnéepar :

(42.231)

d'où :

(42.232)

En tenant compte de l'équation d'évolution de la particule libre, le second terme de l'égalités'écrit :


39 sur 82 10/02/2009 21:17

(42.233)

où nous avons posé :

(42.234)

D'après le théorème d'Ostrogradsky (cf. chapitre de Calcul Vectoriel), il vient donc :

(42.235)

où l'intégrale de droite est effectuée sur la surface S qui limite le volume V. La relationprécédente exprime donc bien que la variation par unité de temps de la probabilité de trouverla particule dans V est égale au flux traversant la surface S et le vecteur peut être interprétécomme une densité de courant de probabilité qui satisfait l'équation de continuité telle quenous l'avons déterminée en thermodynamique :

(42.236)

d'où :

(42.237)

En mécanique quantique, il y aurait donc conservation du flux de particules : Il n'y a nicréation ni disparition de particule, alors que dans la nature (les observations expérimentales)nous observons pourtant de tels phénomènes... il y donc contradiction entre l'expérience et lathéorie ce qui invalide nos développements.

Par contre, cette équation exprime la conservation de la probabilité aussi! Donc de lapropriété d'existence de la particule et des caractéristiques qu'elle transporte. Par exemple, sinous multiplions cette dernière relation par la cher de la particule, nous exprimons alors lacontinuité du courant.

5. IMPLICATIONS ET APPLICATIONS

Les différentes définitions et outils qui ont été vus précédemment, vont nous permettred'étudier certains cas fondamentaux qui débouchent sur des résultats splendides.

Dans un premier temps, nous allons voir comment traiter le cas de la particule libre (état nonlié) et quels sont les problèmes que pose cette configuration simple.

Ensuite, nous allons résoudre l'équation de Schrödinger avec une particule sans spin dans unpuits de potentiel à parois rectilignes et montrer que nous retrouverons avec la formalisme dela physique quantique les mêmes résultats que le modèle de Bohr (plus généralisé même !).

Après quoi, nous allons introduire l'étude de l'oscillateur harmonique en repassant au préalablebrièvement sur la résolution de l'équation de Schrödinger d'une particule libre. Cet exempleconstitue une forme d'introduction quantique à l'étude théorique de systèmes atomiques. C'estdans cet exemple, que nous utiliserons toute la puissance des opérateurs linéaires fonctionnels.Il sera donc important de ne pas brûler les étapes lors de sa lecture.

Il nous faudra également étudier un autre phénomène fameux, l'effet tunnel! Evidemment,nous avons décidé de faire une introduction d'un cas particulier afin que le lecteur puisse voirle raisonnement qui a amené à la découverte de ce phénomène épatant (mais logique). Encoreune fois, cet exemple appuiera la validité de la théorie quantique et démontrant la valeur desconstantes de désintégration des isotopes nucléaires!


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En ce qui concerne les cas relativistes, avec ou sans spin nous renvoyons le lecteur au chapitrede Physique Quantique Relativiste et en ce qui concerne le modèle atomique simple, nous lerenvoyons au chapitre de Chimie Quantique.

Enjoy!

5.1. PARTICULE LIBRE

Curieusement la résolution de l'équation de Schrödinger pour une particule libre (où lepotentiel est nul) est le cas simple le plus complexe… mathématiquement parlant car lesbornes d'intégration de la normalisation sont infinies.

Voyons cela:

Rappelons d'abord que nous avons démontré de manière simplifiée dans le chapitre de Suiteset Séries que la transformée de Fourier d'une fonction f et son inverse étaient données par:

(42.238)

Soit sous forme unidimensionnelle:

(42.239)

Procédons maintenant au changement de variable qui relie le nombre d'onde k à la quantité demouvement (relation introduite au début de ce chapitre):

(42.240)

Ce qui nous donne:

(42.241)

Revenons maintenant à l'équation de Schrödinger d'évolution:

(42.242)

Si la particule est libre il n'y pas de potentiel et à une dimension nous avons alors:

(42.243)

Cette équation différentielle admet des solutions en ondes planes monochromatiques du type(cf. chapitre d'Électrodynamique):

(42.244)

avec bien évidemment la petite nuance que nous avons à utiliser la relation (sinon ça joue paspar contre!):

(42.245)

Sans oublier que (cela nous sera utile par la suite):


41 sur 82 10/02/2009 21:17

(42.246)

La courbe E(k) est parfois appelée "courbe de dispersion" et c'est une parabole (puisque k estau carré) pour une particule libre!

Bien évidemment la densité de probabilité de cette solution vaut:

(42.247)

mais cela ne peut pas correspondre à la réalité car nous ne pouvons pas normaliser laprobabilité sur des distances infinies! Une onde plane monochromatique de module constantdans tout l'espace n'étant pas de carré sommable : elle ne peut donc pas représenter un étatphysique d'une particule libre.

Au fait la solution vient du fait que la vraie solution utilise le principe de superposition destoutes les ondes monochromatiques de toutes les fréquences tel que:

(42.248)

et nous retrouvons donc ici une relation très similaire une transformée de Fourier inverse. Unetelle superposition d'ondes planes est appelée : "paquet d'ondes unidimensionnel".

Ce que nous pouvons récrire:

(42.249)

Or, nous voyons de suite que nous ne pourrons pas non plus normaliser suivant:

(42.250)

Dès lors, il n'y a plus de solution générale. Il faut donner une enveloppe porteuse aux ondesimposant une normalisation possible. Cette enveloppe porteuse peut être un Dirac ou uneGaussienne ou d'autres fonctions de distributions plus ou moins complexes. Ensuite lesphysiciens doivent utiliser une propriété des transformées de Fourier qui font naturellementapparaître les incertitudes de Heisenberg. Ainsi, ces dernières sont une condition à lanormalisation des particules libres utilisant les transformées de Fourier.

A ce jour, nous n'avons pas de démonstration pédagogique et simple à proposer sur ce dernierpoint. Cela viendra peut-être plus tard.

Par contre, nous pouvons prendre comme solution triviale les modes propres de la particule telque:

(42.251)

Effectivement:

(42.252)


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C'est ce que nous utiliserons comme situation dans lors de notre étude plus bas de l'oscillateurharmonique.

Avant d'étudier le cas particulier du paquet d'ondes quasimonochromatiques, nous allonsrappeler quelques résultats concernant la somme de deux ondes planes.

Commençons par sommer deux ondes planes monochromatiques de fréquences voisines:

et (42.253)

avec:

et (42.254)

et:

et (42.255)

A noter que nous imposons donc:

et (42.256)

L'onde résultante a pour expression :

(42.257)

Soit en utilisant les relations trigonométriques remarquables (f. chapitre de Trigonométrie):

(42.258)

qui est une onde plane se propageant selon x avec la pulsation et le vecteur d'onde moyens et , et à la vitesse de phase:

(42.259)

Le terme en cosinus s'interprète alors comme l'amplitude lentement variable de cette ondeplane.

Cette enveloppe se déplace à la vitesse de groupe :

(42.260)

Ce que nous pouvons représenter aisément avec Maple:

>restart:with(plots):


43 sur 82 10/02/2009 21:17

>lambda[0]:=1; T[0]:=1; k[0]:=2*Pi/lambda[0]; w[0]:=2*Pi/T[0];>delta_k:=k[0]/8: k[1]:=k[0]-delta_k; k[2]:=k[0]+delta_k;delta_w:=w[0]/10: w[1]:=w[0]-delta_w; w[2]:=w[0]+delta_w;> P1:=animate(cos(k[1]*x-w[1]*t)+cos(k[2]*x-w[2]*t), x=0..1*2*Pi/delta_k,t=0..2*Pi/delta_w, numpoints=200, frames=15, color=red):> P2:=animate({2*cos(-1/2*k[1]*x+1/2*w[1]*t+1/2*k[2]*x-1/2*w[2]*t),-2*cos(-1/2*k[1]*x+1/2*w[1]*t+1/2*k[2]*x-1/2*w[2]*t)}, x=0..1*2*Pi/delta_k,t=0..2*Pi/delta_w, numpoints=100, frames=15, color=blue):> display(P1,P2);

Ce qui donne:

(42.261)

A la différence de l'onde plane harmonique, cette onde n'a pas un module constant : sonmodule est nul dans certaines zones. Par contre, elle s'étend toujours sur une distance infinie,donc a une norme (somme de la probabilité sur tout l'espace) infinie. Elle ne possède donc pasde sens physique.

L'étude précédente peut être étendue en sommant un nombre N de plus en plus grand d'ondesplanes au voisinage de et . Une telle superposition conduit à une fonction de plus en

plus localisée dans certaines zones de l'espace (en particulier vers par exemple pour), la distance entre ces zones augmentant proportionnellement avec N. A la limite

, alors seule la zone vers demeure, les autres étant rejetées à l'infini. Lepassage à cette limite s'effectue en remplaçant la somme discrète sur les ondesplanes par une sommation continue c'est-à-dire par une intégrale de la forme :

(42.262)

avec:

(42.263)

avec donc :

et (42.264)

Un tel paquet est appelé "paquet d'ondes quasimonochromatiques".

Cette expression peut se réécrire :

(42.265)

Il importe de comprendre que est une fonction de k, donnée par l'équation de dispersion.


44 sur 82 10/02/2009 21:17

Nous allons faire le calcul de cette expression en utilisant le fait que .

implique que . Il est possible d'effectuer un développement limité au

voisinage de :

(42.266)

où est la vitesse de groupe. Alors :

(42.267)

Posons :

(42.268)

Calculons l'intégrale:

(42.269)

avec:

(42.270)

Soit:

(42.271)

Le dernier terme s'interprète à nouveau comme une onde plane se déplaçant à la vitesse dephase:

(42.272)

L'amplitude de cette onde plane est donnée par une fonction type sinus cardinal. A ,cette fonction sinc n'a des valeurs importantes que dans la zone:


45 sur 82 10/02/2009 21:17

(42.273)

Il s'agit donc d'une fonction bien localisée. En conséquence, est une fonction de carrésommable. Le calcul donne:

(42.274)

La fonction peut donc être normalisée en posant donc:

(42.275)

Nous avons donc réussi à obtenir une fonction satisfaisant à la fois l'équation de Schrödingeret la condition de normalisation, grâce à l'emploi d'une somme infinie d'ondes harmoniques.L'exemple que nous avons traité n'est qu'un cas particulier. D'autres types de paquets d'ondespeuvent être obtenus en prenant d'autres distributions pour les amplitudes des ondes planesqui composent le paquet (nous avons supposé ici qu'elles avaient toutes la même amplitude).Dès lors, la vitesse de groupe est associée classiquement à la vitesse de la particule de massem et d'impulsion p.

Ainsi, Le paquet d'ondes se déplace globalement à la vitesse de groupe, qui s'identifie à lavitesse donnée par la mécanique classique.

Les relations d'incertitude ont déjà été introduites au début de ce chapitre de deux manièresdifférentes. Mais dans l'exemple du paquet d'ondes étudié au paragraphe précédent, nousavons vu que la fonction est localisée dans une zone d'extension (largeur à mi-hauteur) :

(42.276)

Nous avons donc la relation :

(42.277)

Nous retrouvons ici une expression de type incertitude. Le coefficient numérique pourrait êtrelégèrement différent suivant la définition choisie pour et , ou le type de paquet. Ilpourrait en particulier être nettement plus grand dans certains cas. Nous avons donc en faitune inégalité du type:

(42.278)

En physique quantique, ces inégalités s'expriment en fonction de l'impulsion p, reliée à k par. Nous avons donc :

(42.279)

Il ne s'agit donc pas d'incertitudes au sens de la mesure, et qui serait limitées par les appareilsde mesure, mais d'une propriété fondamentale intrinsèque, liée à la représentation quantiqued'une particule selon le modèle mathématique proposé. Le modèle de l'atome de Bohr est doncà rejeter pour les niveaux d'énergie qui sont proche de cette égalité.

5.2. PUITS DE POTENTIEL A PAROIS RECTILIGNES

Prenons pour premier exemple, très important pour le chapitre de Physique Nucléaire, larésolution sous forme classique du puits de potentiel à parois rectilignes, également appelé"puits rectangulaire" (cet exemple est vraiment très important, prenez vraiment votre tempsafin de le comprendre et de la maîtriser au mieux).


46 sur 82 10/02/2009 21:17

C'est l'exemple le plus simple d'une fonction , nulle à l'intérieur du puis et infiniment

grande sur les parois, distantes d'une longueur L.

Remarque: Lorsque nous disons que les parois sont parfaitement réfléchissantes.

Nous supposons une particule piégée dans ce puits. Elle ne peut s'en échapper puisque lesparois (c'est-à-dire le potentiel U) ont une hauteur infinie. Mais à l'intérieur, elle est libre de sedéplacer sans faire d'interaction avec les parois.

Cette configuration se traduit par les conditions aux limites où l'énergie potentielleélectrostatique est notée U :

si

si ou

(42.280)

Il existe deux manières d'aborder problème. Voyons les deux types de traitements car lepremier permet d'avoir une approche simpliste alors que le deuxième permet d'avoir uneapproche avec une plus générale qui nous sera utile par la suite lors de notre étude de l'effetTunnel :

5.3. 1ÈRE APPROCHE

L'équation de Schrödinger (classique) :

(42.281)

a donc une solution simple respectant les conditions initiales en une dimension du type :

(42.282)

dont la dérivée seconde est :

(42.283)

Introduits dans l'équation de Schrödinger nous obtenons après quelques simplificationsd'algèbre élémentaire:

(42.284)

Donc finalement la solution s'écrit:

(42.285)

à propos de laquelle il faut appliquer les conditions aux limites (la solution en cosinus est entout point similaire).

Si nous voulons pouvoir, par la suite, faire un parallèle avec un (ou des) électron(s) piégé(s)dans le puits du potentiel du noyau de l'atome (qui n'est par rectangulaire lui!), nous sommesamenés aux considérations suivantes:


47 sur 82 10/02/2009 21:17

La stabilité des atomes suggère l'existence d'une onde stationnaire électronique dans le puits.De plus, l'observation montre que seuls certains niveaux d'énergie semblent autorisés dans cedernier.

Si nous faisons une similitude avec les cordes vibrantes, la fonction d'onde de l'électron doitêtre telle que:

1. Pour et il doit y avoir un nœud de vibration. Donc:

2. La fonction d'onde doit présenter un nombre entier de demi-longueur d'onde sur lalongueur L

3. Dans la boîte donc

4. Si aux extrémités ( et ) alors l'argument du sinus vaut

Donc nous devons avoir :

(42.286)

d'où puisque l'énergie potentielle est nulle :

(42.287)

L'énergie totale de la particule présente donc une suite discrète de valeurs, les seules permises.La valeur de L est quant à elle déterminée à l'aide du modèle de Bohr ou de Sommerfeld enfonction des cas (cf. chapitre Physique Quantique Corpusculaire).

L'énergie totale de la particule ci-dessus sont les "valeurs propres" de l'énergie dans le puits depotentiel.

Donc l'équation de Schrödinger permet de faire abstraction du 3ème postulat de Bohr dans lesens où elle explicite directement la notion de quantification des niveaux par des valeursentières (discrètes) solution des conditions aux limites d'un puits de potentiel considéré commeparfait.

Les fonctions d'onde correspondantes dans le puits où sont donc:

(42.288)

Soit après simplification :

(42.289)

C'est l'expression d'une des solutions de l'équation pour le puits de potentiel rectangulaireidéal. Ainsi, il existe une suite discrète de fonctions d'onde solutions. Ce sont les "fonctionspropres" de la particule.

La constante dans cette expression est déterminée par la normalisation de De Broglie

(dont nous avions parlé au début de ce chapitre), c'est-à-dire par la condition:

(42.290)


48 sur 82 10/02/2009 21:17

Nous trouvons alors (calcul d'intégration normelement élémentaire):

(42.291)

et l'expression finale de la fonction d'onde associée à la valeur propre se lit donc:

(42.292)

Certains physiciens ont pour habitude de noter cela sous forme complexe en ne prenant que lapartie réelle de l'expression (nous utilisons la "formule d'Euler" vue lors de l'introduction auxcomplexes dans le chapitre des Nombres):

avec (42.293)

Nous disons alors que nous avons des "conditions de quantification" sur k imposées par lesconditions aux limites.

Cette notation est parfois utile et nous l'utiliserons lors de l'étude de l'effet tunnel dans lechapitre de Physique Nucléaire.

Nous pouvons déduire de l'expression obtenue, les propriétés principales des fonctions d'ondedécrivant les états stationnaires de la particule dans une boîte:

1. La figure ci-dessous représente des fonctions et des densités de probabilités pour

les premiers niveaux d'énergie :

(42.294)

Nous remarquons que (évidemment nous pourrions analyser ceci de façon analytique et nongraphique si nous le désirions), en plus des points et , a (n-1) zéros situés en:

avec (42.295)

Ces points, où la fonction d'onde et la densité de probabilité sont nulles, sont appelés "pointsnodaux" ou simplement "nœuds" de la fonction d'onde. Le nombre de nœuds augment quand n


49 sur 82 10/02/2009 21:17

augmente, c'est-à-dire quand l'on passe à des états de plus en plus excités. La fonction d'onde de l'état fondamental à:

et donc (42.296)

n'a pas de nœuds, celle du premier état excité d'énergie:

(42.297)

a un point nodal, celle du deuxième état excité a deux points nodaux, etc… La variation

des propriétés nodales des fonctions d'onde quand n varie traduit l'orthogonalité des étatsstationnaires d'énergie différente. En effet, nous vérifiions aisément que est nul

quand :

(42.298)

2. Comme nous pouvons le voir sur la figure précédente, la densité de probabilité associée à

tout état stationnaire de la particule est symétrique par rapport au point médian

Nous anticipons donc que la valeur moyenne de x sera exactement égale à L/2 dans un telétat. En effet nous avons vu en statistique que l'espérance (moyenne) d'un événement deprobabilité P(x) est définie par:

(42.299)

où x, E(x) et P(x) n'ont pas d'unités (attention nous allons faire une analyse dimensionnelle).

Or, en physique quantique E(x) et x sont des grandeurs dimensionnelles identiques. Ce quisignifie que les dimensions de P(x) doivent annuler celles de dx. Ainsi, nous devinons suite àl'étude des conditions de normalisation de De Broglie que:

(42.300)

qui est une probabilité linéique de présence de la particule.

Le domaine d'intégration étant [0; L] nous avons finalement:


50 sur 82 10/02/2009 21:17

(42.301)

Egalement sans démonstration car ce résultat est trop évident (si jamais il ne l'est pas pourvous dites-le nous et nous ajouterons le développement comme pour tout autre chose dans cesite d'ailleurs), la quantité de mouvement le long x est nulle:

Nous pouvons par ailleurs vérifier sans trop de peine que ce nous avons vu lors de l'énoncé du2ème postulat se vérifie bien dans cet exemple. C'est-à-dire que les fonctions propre de l'ondesont reliées à l'opérateur hamiltonien via les valeurs propres de l'énergie :

(42.302)

Effectivement, dans notre exemple, cela donne:

(42.303)

voilà… pour la première approche du problème. Voyons maintenant la deuxième :

5.4. 2ÈME APPROCHE

Nous avons donc l'équation de Schrödinger dans le cas unidimensionnel :

(42.304)

Dans les régions situées en dehors de la boîte où le potentiel est infini, nous avons :

(42.305)

Soit :


51 sur 82 10/02/2009 21:17

(42.306)

ce qui donne :

(42.307)

Ainsi, les fonctions d'onde sont nulle dans les régions où le potentiel est infini.

Considérons maintenant le cas du puits où puisque le potentiel électrostatique est null'équation de Schrödinger se réduit à:

(42.308)

C'est donc une équation différentielle linéaire d'ordre 2 avec des coefficients constants,équation qu'il est relativement aisé de résoudre dans le cas général (cf. chapitre de CalculDifférentiel Et Intégral). Soit l'équation :

(42.309)

En nous aidant des résultats obtenus lors du traitement de la solution particulière, supposonsque la fonction y qui satisfait cette équation différentielle soit de la forme . Nous

avons alors :

ou (42.310)

pourvu, bien sûr, que . Cette dernière relation est donc l'équation quadratique

auxiliaire de l'équation différentielle (polynôme caractéristique). Elle a deux solutions/racines(c'est une simple résolution d'un polynôme du deuxième degré) que nous noterons dans le casgénéral . Ce qui signifie que :

et (42.311)

est satisfait pour les deux racines. Si nous faisons la somme puisque les deux sont égales à lamême constante :

(42.312)

Ainsi, il est immédiat que la solution générale de y est du type :

(42.313)

où le lecteur devrait normalement sans peine pouvoir vérifier que l'ajout des constantes A et Bne changent en rien les développements des paragraphes précédents.

Dans le cas qui nous occupe :

(42.314)

L'équation quadratique est :

(42.315)


52 sur 82 10/02/2009 21:17

soit :

(42.316)

Donc finalement la solution générale est de la forme :

(42.317)

Posons maintenant :

(42.318)

Nous avons alors :

(42.319)

avec :

et (42.320)

Il faut maintenant déterminer A' et B' en utilisant les conditions aux limites. Ainsi, en x=0 etx=L nous devrions avoir et nous avons pour x=0 :

(42.321)

Le coefficient A' doit donc être nul. Et en x=L nous devrions avoir :

(42.322)

Mais dans ce cas, B' doit être différent de zéro. En effet, s'il était nul, la fonction d'onde seraitnulle dans tout le puits ce qui est contraire à la réalité physique du problème. Il faut donc quece soit le sinus qui soit nul, ou encore que son argument soit égal à un multiple d'un nombreentier non nul d'angle tel que :

(42.323)

Donc :

(42.324)

Nous retrouvons donc exactement le même résultat que la méthode précédente.

Il reste à déterminer B et la méthode est exactement identique à la première méthode derésolution que nous avons vu plus haut. Ainsi, nous avons bien :


53 sur 82 10/02/2009 21:17

(42.325)

Ce qui est important surtout dans cette méthode c'est de se souvenir pour plus tard de la formegénérale de la solution :

(42.326)

5.5. OSCILLATEUR HARMONIQUE

L'étude de l'oscillateur harmonique correspondant à celle d'une fonction d'onde coincée dansun puits de potentiel parabolique. Ce qui est assimilable grosso modo aux atomes où les paroisdu puits de potentiel ne sont naturellement pas rectangulaires et infinies... L'étude qui vasuivre est donc ce qui est le plus proche de ce qui est disponible dans la Nature au atomique.

Dans le cas d'une particule libre en déplacement rectiligne, nous avons vue que l'énergiepotentielle est nulle et l'équation de Schrödinger devient alors:

(42.327)

Cependant pour une particule libre (en l'absence de champ de potentiel) l'énergie totale estdonc égale à l'énergie cinétique :

(42.328)

Mais nous avons :

(42.329)

Le rapport :

(42.330)

étant la longueur d'onde associée de De Broglie. En introduisant le nombre d'onde (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire), nous avons :

(42.331)

appelée "relation de De Broglie". Finalement :

(42.332)

Dès lors, l'équation de Schrödinger peut s'écrire:

(42.333)

Nous voyons par substitution directe que cette équation différentielle admet pour solutions lesfonctions d'onde:

et (42.334)

Ces deux différentes solutions représentent le déplacement d'une même particule une foisdans la direction +x et l'autre dans –x. Si nous avons :


54 sur 82 10/02/2009 21:17

(42.335)

Le fait que ce résultat soit égal à l'unité, signifie que la probabilité de trouver la particule est lamême en tout point. En d'autres termes, décrit une situation dans laquelle

l'incertitude sur la position est totale. Ce résultat est en accord avec le principe d'incertitudepuisque décrit une particule dont nous connaissons avec précision la quantité

mouvement : c'est-à-dire que , ce qui implique .

En analyse nous avons montré que la solution la plus générale d'une équation différentielle estla somme de ces solutions. Autrement dit dans notre exemple :

(42.336)

avec:

(42.337)

Au fait, nous pouvons remarquer que si alors le résultat est le même à la différence

que nous aurons :

(42.338)

Lorsque la particule qui nous intéresse se trouve dans un puits de potentiel décrit par lafonction (parabole):

(42.339)

nous parlons alors "d'oscillateur harmonique".

Ce système est très important car l'Hamiltonien de l'équation intervient dans tous lesproblèmes mettant en jeu des oscillations telles que vibrations moléculaires et cristallines (cf.chapitre de Chimie Quantique).

Prenons d'abord comme exemple l'oscillateur harmonique classique qui consiste en un corpsassujetti à se déplacer le long d'un axe et soumis à une force de rappel proportionnelle à ladistance à un point situé sur cet axe.

L'équation de ce corps est régie par l'équation de la dynamique:

(42.340)

Nous avons vu en mécanique classique que la solution générale de cette équation est:

(42.341)

avec comme pulsation:

(42.342)

L'énergie totale du système étant l'Hamiltonien classique nous écrivons :

(42.343)


55 sur 82 10/02/2009 21:17

Maintenant revenons à notre cadre quantique. De ce point de vue nous avons pourHamiltonien (ou énergie totale):

(42.344)

En utilisant ce que nous définissons comme une "écriture réduite", nous écrivons :

(42.345)

où les opérateurs réduits sont :

et (42.346)

et où nous avons remplacé la constante par identiquement à l'oscillateur

harmonique classique (cf. chapitre de Mécanique Classique).

Il est plus ou moins facile d'obtenir la relation de commutation:

(42.347)

Démonstration:

Rappelez-vous de la relation ci-dessous que nous avons vue lors de notre étude des opérateurslinéaires fonctionnels au début de ce chapitre :

(42.348)

Etudions les propriétés des commutateurs avec la quantité de mouvement. Nous avonsdémontré également plus haut la relation ci-dessous:

(42.349)

En multipliant cette dernière par , il vient:

(42.350)

que nous pouvons également écrire:

(42.351)

Si vous vous rappelez de la définition des commutateurs , nous avons :

(42.352)

Nous avons donc pour notre oscillateur:

et (42.353)

écrivons la définition le commutateur :


56 sur 82 10/02/2009 21:17

(42.354)

Donc:

(42.355)

c'est ce qu'il fallait démontrer...

Nous avons maintenant intérêt pour résoudre l'équation différentielle d'utiliser les opérateursnon hermitiques définis (c'est une définition donc ne cherchez pas trop loin):

(42.356)

Ce qui nous définit donc les opérateurs (en posant temporairement ) :

(42.357)

Nous retrouvons ces deux opérateurs très fréquemment en mécanique quantique et lesphysiciens parlent alors de "l'opérateur de destruction" et de "l'opérateur de création" a.

Compte tenu de la relation de commutation, nous vérifions :

et (42.358)

Démonstration:

(42.359)

et :

(42.360)

et d'autre part:

(42.361)

Démonstration:

(42.362)

et donc en divisant pas 2 des deux côtés de l'égalité nous avons :

(42.363)


57 sur 82 10/02/2009 21:17

Revenons à la relation:

(42.364)

Utilisons :

(42.365)

Donc:

(42.366)

Nous faisons maintenant l'hypothèse que est une fonction propre de N associée à la valeurpropre n, telle que :

(42.367)

Cette hypothèse est très importante car nous allons nous en servir comme principe d'inductionpour trouver toutes les fonctions propres à partir de la fondamentale!

Etablissons maintenant des relations de commutation entre N et les opérateurs a ou . Pourcela multiplions d'abord le tout par , nous obtenons:

(42.368)

De même en multipliant par a, nous obtenons:

(42.369)

Puisque selon notre hypothèse et n sont respectivement fonction et valeur propre de N,nous pouvons écrire:

(42.370)

Or, nous avons :

(42.371)

qui multipliée à droite par la fonction d'onde donne la relation :

(42.372)

Cette équation entraîne les conséquences suivantes:

- Ou bien tel que

- Ou bien est fonction propre de N pour la valeur propre n-1 !!

Le même raisonnement établirait que est fonction propre de N pour la valeur propren+1, si elle n'est pas nulle (nous verrons plus loin que n'est jamais nulle):

(42.373)


58 sur 82 10/02/2009 21:17

Cette relation est importante car si n'est pas nulle pour une fonction propre donnée ellene le sera pas non plus pour les autres fonctions propres de valeur propre n+1 !!

Nous savons qu'il existe une valeur propre plus petite que toutes les autres correspondant

au niveau fondamental (d'après le modèle de Bohr-Sommerfeld cette valeur propre existetoujours).

Nécessairement, sa fonction propre obéit à la relation (le lecteur pourra vérifier avec les

résultats plus loin) :

(42.374)

sinon quoi serait valeur propre et il y aurait contradiction.

En multipliant cette dernière relation par nous obtenons:

(42.375)

ce qui montre que la valeur propre minimale est nulle. Nous connaissons donc le niveau

fondamental de l'oscillateur:

(42.376)

Remarque: Il faut noter que l'oscillateur n'est jamais dans un état de repos (mettre n = 0dans l'expression de l'énergie plus haut) ce qui veut aussi dire que le zéro absolu ne peut pasêtre accessible puisque la température "chiffre" l'agitation atomique, or le repos n'existe pas!

Pour obtenir la fonction propre correspondante, nous avons besoin de l'expression explicite dea. D'après:

et (42.377)

nous avons :

et (42.378)

ce qui nous donne:

(42.379)

car rappelons-le:

d'où:

(42.380)

Mais d'après :


59 sur 82 10/02/2009 21:17

(42.381)

d'où:

(42.382)

soit (résolution d'une simple équation différentielle):

(42.383)

Nous devons envisager, en réalité, comme fonction de x par le biais de la coordonnée

réduite Q.

D'après:

(42.384)

en introduisant la longueur :

(42.385)

avec :

(42.386)

Nous allons fixer maintenant la constante en utilisant la condition de normalisation de DeBroglie:

(42.387)

et donc :

(42.388)

Il est loisible de choisir la constante réelle et positive, nous avons finalement:

(42.389)

Corollaire... : D'après ce que nous avons vu précédemment, en faisant agir sur

(explicitement nous faisions référence au résultat ), nous obtenons les

fonctions propres de N pour les valeurs propres entières 1, 2, etc. Nous vérifierons plus loinque nous épuisons ainsi toutes les valeurs propres de N.

Il reste à construire les autres fonctions propres et à les normer. En effet, si est fonction

propre normée associée au niveau , nous avons vu plus haut que est fonction propre

associée au niveau n+1, mais il n'y a pas de raison de la normer à nouveau puisqu'elle estjustement associée à une fonction propre déjà normée.

Nous pouvons écrire:


60 sur 82 10/02/2009 21:17

(42.390)

étant un coefficient à déterminer. Exprimons le fait que est déjà normée:

(42.391)

Soit en tenant compte de la relation nous avons:

(42.392)

Rappelons que donc:

(42.393)

Nous venons de vérifier au passage que n'est jamais nul (fait que nous avions supposéplus haut).

Toutes les fonctions (sauf déjà fixée) ont un facteur de phase arbitraire (notion que

nous avons vu lors de la définition des états liés et non liés), indépendamment les unes desautres, l'argument de reste donc à notre disposition et nous choisirons réel positif. Cela

fixe toutes les :

(42.394)

En itérant cette relation sur la fonction d'onde nous obtenons aisément (algèbre élémentaire):

(42.395)

soit en tenant compte des relations suivantes (que nous avons déjà démontréesprécédemment):

et (42.396)

Nous avons :

(42.397)

Cette équation prend une forme plus simple, en s'appuyant sur la relation:

(42.398)

Vérification:


61 sur 82 10/02/2009 21:17

(42.399)

soit, en langage d'opérateurs:

(42.400)

Ainsi:

(42.401)

Nous obtenons ainsi l'expression de :

(42.402)

Par ailleurs, dans la théorie mathématique des familles de polynômes orthogonaux, nousrencontrons les "polynômes d'Hermite" définis par:

(42.403)

Ce sont des polynômes de degrés n, pair ou impairs ( ). En les

employant, nous allégeons la relation précédente qui devient:

(42.404)

Finalement nous avons :

n

0

1

2

3

(42.405)

Avec la non moins fameuse représentation graphique avec à gauche les fonctions propresassociées et à droite la probabilité de présence :


62 sur 82 10/02/2009 21:17

(42.406)

En analysant ces fonctions d'ondes, nous retrouvons de nombreux résultats classiques : laparticule dans le puits de potentiel a une probabilité de présence plus élargie si elle a uneénergie plus haute (une bille au fond d'un puits va monter plus haut sur les bords si elle a plusd'énergie), la particule a plus de chance se retrouver sur ces positions éloignées du centre dupuits (la bille a une vitesse d'autant plus petite qu'elle est haut dans le puits : elle va doncpasser beaucoup plus de temps en hauteur qu'au fond du puits).

Pour tous les calculs où des particules sont dans un puits de potentiel, l'approximationharmonique est très intéressante. Par exemple, si nous souhaitons étudier un "piègeharmonique" à deux dimensions, soit condensat de Bose-Einstein 2D (cf. chapitre deMécanique Statistique) nous pourrons poser pour l'hamiltonien suivant pour débuter l'étude(en analogie avec celui à une dimension utilisé plus haut) :

(42.407)

5.6. EFFET TUNNEL

L'effet tunnel désigne la propriété que possède un objet quantique de franchir une barrière depotentiel, franchissement impossible selon la mécanique classique. Généralement, la fonctiond'onde d'une particule, dont le carré du module représente l'amplitude de sa probabilité deprésence, ne s'annule pas au niveau de la barrière, mais s'atténue à l'intérieur de la barrière,pratiquement exponentiellement pour une barrière assez large comme nous le démontrerons.Si, à la sortie de la barrière de potentiel, la particule possède une probabilité de présence nonnulle, elle peut donc traverser cette barrière.

La barrière quantique de largeur L sépare dans les cas simples l'espace en trois, dont lesparties gauche et droite sont considérées comme ayant des potentiels constants jusqu'à l'infini.La partie intermédiaire constitue la barrière, qui peut être compliquée, révélant un profil doux,ou au contraire formé de barrières rectangulaires, ou autres éventuellement en séries.

Etudions maintenant le cas de systèmes où l'énergie potentielle (implicitement le

potentiel y relatif) tend vers des limites finies, non forcément égales quand . Il s'agitdonc d'un problème d'états non liés.

D'abord, nous définissons une région I loin à gauche où sera noté :


63 sur 82 10/02/2009 21:17

(42.408)

une région III loin à droite où sera noté :

(42.409)

En se bornant aux situations les plus simples, il y a trois possibilités relativement aux relationsdonnées précédemment : puits de potentiel (a), marche de potentiel (b), barrière de potentiel(c) comme représentés dans l'ordre énoncé sur la figure ci-dessous:

(42.410)

Maintenant, écrivons l'équation de Schrödinger :

(42.411)

Dans les régions I et III de la barrière de potentiel, l'idée est que est constant et

positif donc l'équation différentielle peut s'écrire en une dimension:

nous obtenons ainsi très simplement l'expression analytique de dans ces régions sous formegénérale :

(42.412)

Nous trouvons ces deux expressions de façon identique lors de notre étude du puits depotentiel à parois rectangulaires, à la différence que nous avons écrit ci-dessus les solutionsgénérales de l'équation différentielle (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral) sans endéterminer les coefficients (car nous nous intéressons ici à une généralisation).

Ainsi, dans l'étude du puits à parois rectangulaires plus haut nous avions déjà déterminé que:


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et (42.413)

Remarque:

R1. Nous voyons que les nombres d'ondes k sont donc proportionnels à la racine de l'énergiecinétique. Et comme l'énergie cinétique est proportionnelle à la vitesse au carré des particulesil vient alors que la vitesse est proportionnelle au nombre d'onde (et réciproquement)!

R2. Dans certains ouvrages, pour simplifier les notations, le potentiel dans les régions I et IIIet posé comme référence et donc égalisé à 0. Il disparaît donc des deux expressionsprécédentes et cela a pour effet d'égaliser les deux nombres d'ondes qui sont alors notéssimplement k.

Dans la région II, l'idée est que est négatif et constant donc l'équation différentielle

peut s'écrire en une dimension:

(42.414)

et comme nous l'avons vu lors de notre étude du puits de potentiel rectangulaire infini selon la2ème approche, la solution est alors de la forme:

(42.415)

avec:

(42.416)

Remarque: La parenthèse sous la racine de la relation précédente doit donc être positive.Or cela signifierait que l'énergie cinétique de la particule est négative... Pour palier à ceproblème dans le cadre de ce modèle simplifié, on dit que la particule n'a pas le droit d'existerdans la barrière et qu'elle empreinte de l'énergie au vide. Mais il y a d'autres modèles pluscomplexes qui ne nécessitent pas ce genre de fantaisies.

Nous obtenons ainsi très simplement l'expression analytique de dans les trois régions sousforme générale :

(42.417)

Supposons maintenant que nous ayons à (région I), une source de particules (qui lesenvoie vers la droite), avec une énergie cinétique valant évidemment .

Ainsi, ces particules ont une énergie et la fonction d'onde qui les décrit obéit à l'équation

de Schrödinger. Dans la région III, il sera supposé qu'il ne peut exister que des particules allantvers la droite (pas de source à , par hypothèse).

La région III, comme du reste la région I, est d'étendue infinie, donc le principe d'incertitudenous permet de parler en théorie d'une quantité de mouvement parfaitement déterminée quenous noterons p'.


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Nous savons que (c'est de la mécanique classique!) dans la région III nous avons alors :

(42.418)

Si alors p' est positif, donc grâce à la relation précédente et à la relation de De

Broglie nous avons :

(42.419)

Soit:

(42.420)

Les nombres d'onde étant maintenant connus formellement revenons à l'interprétation de lasolution III :

(42.421)

L'hypothèse comme quoi les particules viennent de la gauche nous impose pour que lasolution décrive uniquement des particules qui vont vers la droite. Ensuite, il est loisible, pourcelles venant de la gauche, de prendre . La région III est donc relativement simpled'analyse...

Remarque: Les conditions et hypothèses utilisées précédemment sont souvent appelées"conditions de scattering".

Les constantes A et B de la région I vont être elles complètement déterminées en effectuant leraccord des solutions d'une région à l'autre.

Intéressons-nous donc maintenant à l'interprétation de l'équation dans la région I:

(42.422)

Il est évident que décrit des particules qui, dans la région I, se dirigent vers la droitealors décrit des particules qui, dans cette même région, se dirigent vers la gauche.Comme nous le savons, les premières sont les particules incidentes, les secondes sont lesparticules réfléchies.

Ce que nous demandons à la physique quantique apparaît maintenant d'une façon claire: uneparticule arrivant de la gauche (incidente) peut soit :

1. Continuer vers la droite, c'est-à-dire franchir la région II et devenir une particule transmise

2. Retourner vers la gauche et devenir une particule réfléchie.

Nous sommes amenés à définir un "coefficient de transmission" T assimilé à la probabilité qu'àla particule incidente de franchir la région II et un "coefficient de réflexion" R, probabilitéqu'à la particule incidente d'être réfléchie. Nous devons avoir:

(42.423)

Dans le cas d'une barrière de potentiel, T est également appelé la "transparence de labarrière".

Pour calculer R et T, nous définirons les flux courants des diverses catégories de particules


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(incidentes, transmises, réfléchies).

Par exemple, puisque les particules incidentes sont décrites par , le nombre moyen deces particules, par unité de longueur dans la région I, doit certainement être proportionnel à un

facteur près à .

Soit leur vitesse, nous voyons que le courant des particules incidentes , est alors

proportionnel à un facteur près à (analyse dimensionnelle). Ainsi, le coefficient de

proportionnalité étant de même nature pour les trois catégories de particules (incidentes i,réfléchies j, transmises t) et du fait que et sont proportionnels à et , il s'ensuit

que (courants incidents et réfléchi) et (courant transmis) sont respectivement

proportionnels (donc toujours à un facteur dimensionnel près!) à , et

(puisque rappelons que pour la région III nous avons trouvé A'=1 et B'=0).

Nous déduisons de là très simplement, par un simple rapport, les expressions des coefficientsde réflexion R et de transmission T :

(42.424)

et comme dans notre cas particulier et comme il vient:

(42.425)

Une autre façon d'écrire les choses est dire que puisque l'onde incidente se résume à:

(42.426)

et l'onde transmise à :

(42.427)

alors:

(42.428)

Dans toutes ces situations, la théorie quantique conduit, en général, à des valeurs de R et Tpetites, mais pas nulles !

Exemples:

Déterminons l'expression explicite de la transparence pour notre exemple de barrièrerectangulaire.

Pour cela, nous savons que nous devons imposer la continuité de en et , ainsique la continuité de en et .

Donc rappelons d'abord que nous avons les trois relations (en mettant la référence du potentielà 0):

(42.429)


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avec donc:

et (42.430)

Nous avons alors pour la continuité de en et :

(42.431)

ainsi que la continuité de en et :

(42.432)

Puisque B' est nul nous avons un système de 4 équations à 5 inconnues:

(42.433)

Nous allons choisir d'exprimer toutes les constantes à partir de A. Pour cela nous écrivonsnous multiplions la première ligne par ik et la sommons à la deuxième ligne. Nous avons alors:

(42.434)

et ensuite nous multiplions la troisième ligne par -ik et la sommons à la quatrième ligne. Nousavons alors:

(42.435)

Nous avons donc les deux relations:

(42.436)

ou en posant :

(42.437)

De la deuxième relation il vient:

(42.438)

et injecté dans la première:

(42.439)


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Soit:

(42.440)

Nous avons alors:

(42.441)

ou:

(42.442)

et notons:

(42.443)

Il vient alors:

(42.444)

De même en repartant de:

(42.445)

De la deuxième relation il vient:

(42.446)

et injecté dans la première:

(42.447)

Soit:

(42.448)

Nous avons alors:

(42.449)

ou:

(42.450)

et notons toujours:


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(42.451)

Il vient alors:

(42.452)

Notez que nous avons aussi:

(42.453)

Nous pouvons maintenant exprimer les constantes A' et B en fonction de A à l'aide desrelations précédentes:

(42.454)

et:

(42.455)


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Donc finalement nous avons:

(42.456)

Et donc alors:

(42.457)

en utilisant les propriétés du module complexe (cf. chapitre Nombres):

(42.458)

Il nous reste donc qu'à calculer:

(42.459)

Donc:


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(42.460)

Nous avons donc:

(42.461)

Or, comme:

(42.462)

si (donc à l'échelle atomique c'est plutôt K qui est immense relativement à L) nousavons:

(42.463)

Donc:

(42.464)

relation qu'on retrouve très souvent (sans démonstration détaillée) dans de nombreuxouvrages. Ci-dessous nous avons tracé:


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(42.465)

de la relation:

(42.466)

Nous constatons que le coefficient T est très sensible (exponentiellement) à une faiblevariation la largeur de la barrière, a, lorsque le potentiel de cette barrière est faible. Nouspourrons donc visualiser des sites atomiques, par exemple dans du silicium, en utilisant unepointe très proche du matériau à observer. C'est le principe du microscope à effet tunnel où enapprochant une pointe conductrice taillée très finement (quelques atomes seulement) à uneproximité d'environ 5 Angströms d'une surface conductrice, et en imposant une différence depotentiel de quelques mV, on mesure un courant que de quelques nano-ampères. Le nombred'électrons qui passent à travers la barrière de potentiel (ici c'est le vide entre les deuxélectrodes conductrices) diminue de manière exponentielle avec la largeur de la barrière. Enanalysant le signal d'erreur d'un asservissement sur le courant passant dans le circuit, on peutavoir accès à une cartographie très précise de la surface mesurée de l'ordre de 0.1 Angströmsen vertical.

Nous remarquons également selon la relation obtenue que les particules légères comme lesélectrons ont une probabilité plus grande de faire un effet tunnel que les particules pluslourdes à cause du terme de masse.

En utilisant la relation obtenue précédemment, on peut assez simplement calculer laprobabilité qu'a un être humain de masse m de traverser un mur avec une hauteur h (doncfacile de calculer l'énergie potentielle) et une épaisseur a. La probabilité est de l'ordre de

….

Ceci dit, l'exemple le plus célèbre d'effet tunnel pouvant être traité est celui de l'émission departicules par des noyaux lourds radioactifs dont l'explication a été donnée par le physicienrusse G. Gamov en 1928.

La démonstration est relativement simple mais comme elle constitue un cas pratiqueparticulier que nous ne souhaitons pas exposer dans ce chapitre mais dans celui de PhysiqueNucléaire. Cependant, pour résoudre ce problème il faut utiliser une méthode d'approximationconnue sous le nom de méthode W.K.B. du nom des physiciens Wentzel, Kramers etBrillouin.

Les résultats donnent dès lors un facteur de transmission pour la particule de pour

l'atome d'Uranium . Par ailleurs, dans l'approximation semi-classique, la particule a,


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dans le puits, une vitesse de l'ordre de et elle effectue des aller-retours dans un

noyau dont le rayon est de l'ordre de . Elle effectue donc environ oscillations

par seconde où chaque fois elle a une probabilité T de franchir la barrière de potentiel. Cetteprobabilité par unité de temps est ainsi déterminée par .

Expérimentalement, on trouve . Le modèle présenté donne donc des résultats

très satisfaisants.

Outre cet exemple technique, on rencontre le phénomène d'Effet tunnel aussi dans un casbeaucoup plus accessible. Ainsi, lorsque sous condition de réflexion totale d'un faisceau delumière, nous approchons un autre prisme (sur la face du prisme ou aucun rayon de lumière nesort ni ne rentre) de manière à produire une lame d'air suffisamment mince, un faible rayontransmis est observé.

5.7. PRINCIPE DE SUPERPOSITION

La notion d'état dynamique d'un système classique joue un rôle capital dans la dynamiqueanalytique classique.

Est-il possible de retrouver cette notion lorsque nous avons affaire à un système quantique,c'est-à-dire un système tel qu'un atome, un noyau ou une molécule, bref un système de lamicrophysique?

A première vue non, car nous savons que l'on définit l'état dynamique d'un système classiquepar la donnée des coordonnées généralisées et des moments conjugués à un instant

donné (cf. chapitre de Mécanique Analytique). Or, le principe d'incertitude s'oppose à cetteprocédure dès que nous sommes dans le domaine de la microphysique, vu l'impossibilité demesurer avec précision les et . Cela est particulièrement clair lorsque le système se

réduit à une seule particule que nous décrivons par ses coordonnées cartésiennes

et les composantes de sa quantité de mouvement .

Fort heureusement, il existe une autre définition de l'état dynamique d'un système quis'applique indifféremment aux systèmes classiques et quantiques et qui, dans le cas despremiers, s'identifie avec la définition habituelle. Nous allons donner cette définition en nousappuyant sur une brève théorie des ensembles de systèmes identiques.

Si nous avons un ensemble (E) d'un très grand nombre de systèmes identiques, nous feronsune enquête statistique pour caractériser cet ensemble de la façon suivante : on prend unsystème de l'ensemble, on mesure une variable dynamique (coordonnée, composante dequantité de mouvement, énergie cinétique, etc.) et on rejette le système (qui perturbé par lemesure, ne doit pas être réincorporé à l'ensemble). On dresse ainsi un bilan qui se traduit pardes fonctions de distribution de toutes les variables dynamiques possibles. Cela permet dedéfinir sans ambiguïté la notion d'identité :

Définition: Deux ensembles sont identiques, si les bilans des résultats de mesure sont lesmêmes pour les deux.

Considérons maintenant un ensemble unique (E). Est-il possible de le réaliser par juxtapositionde deux ensembles (non identiques) et , ce qui permettrait d'écrire:

(42.467)

Si oui, nous dirons que (E) est un mélange. Inversement, au moyen d'un tri convenable, unmélange peut être décomposé en deux sous-ensembles différents. Si non, nous dirons que (E)est un ensemble pur. Tout tri décomposera l'ensemble pur en deux sous-ensembles identiquesentre eux et nécessairement avec (E) ! Nous convenons alors de dire que tous les systèmesd'un ensemble pur sont dans le même état dynamique et que deux ensembles purs différentsdonnent lieu à des états dynamiques différents. Il va de soi que les systèmes constituant unmélange seront eux dans des états dynamiques différents.

Supposons maintenant que les systèmes étudiés obéissent aux lois de la mécanique classique.


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Si les systèmes d'un ensemble présentent des jeux différents, nous les trions en

groupant par systèmes ayant tous un même jeu . Nous vérifions bien que la nouvelle

définition de l'état dynamique coïncide avec la définition habituelle. Notons ce fait évident,mais important (par opposition avec les systèmes quantiques) : dans un ensemble pur desystèmes classiques, c'est-à-dire pour un état dynamique donné, toute variable dynamique estbien déterminée. En effet, en mécanique analytique classique, une telle variable est unefonction des et et, de ce fait, présente une valeur unique.

Passons aux systèmes quantiques. Il est maintenant possible de définir pour ceux-ci un étatdynamique, mais tout de suite nous voyons une distinction fondamentale avec la mécaniqueclassique. En effet, dans un ensemble pur de systèmes quantiques, c'est-à-dire pour un étatdynamique donné, une variable dynamique n'est pas, en général, bien déterminée. Quand nousla mesurons sur des systèmes extraits de l'ensemble pur, on ne trouve généralement pascomme résultat, une valeur unique, mais une distribution de valeurs.

L'indétermination qui règne sur la valeur d'une variable dynamique dans un état dynamiquedonné est donc de nature purement quantique et il convient de bien la distinguer del'indétermination d'origine statistique qui se manifeste dans un mélange, qu'il s'agisse desystèmes classiques ou quantiques.

Le formalisme de la physique quantique ne peut s'édifier que si nous savons décriremathématiquement les états dynamiques et les variables dynamiques. Nous avons vu que nousne pouvons attendre de ce formalisme un prédiction précise comme en mécanique classique,mais, simplement les probabilités d'obtenir telle ou telle valeur, lorsque nous mesurons unevariable dynamique sur un système dont l'état dynamique est donné.

Toute la théorie que nous avons vu jusqu'ici nous permet de conclure jusqu'ici que les étatsdynamiques d'un système d'une particule sans spin sont décrits par des fonctions d'ondecomplexes, non nulles partout.

Si nous appliquons cette condition aux systèmes dynamiques:

Postulat: Soient deux états dynamiques différents, décrits par des fonctions d'onde et ,

nécessairement non proportionnelles. étant des nombres complexes non simultanément

nuls, nous construisons la combinaison linéaire:

(42.468)

est alors une fonction d'onde décrivant un état dynamique possible du système.

Ce postulat paraît assez naturel du fait de l'aspect ondulatoire que présente la physique desmicrosystèmes. En effet, dans les phénomènes ondulatoires de la physique classique leséquations d'onde sont, le plus souvent, linéaires homogènes et il s'ensuit que l'on peutsuperposer les ondes. Or, le grand intérêt de ce postulat est qu'il contient en germel'explication de ce fait capital qu'est l'indétermination quantique (appelée aussi parfois"cohérence quantique").

Voyons-le sur un cas très simple où nous supposons qu'une variable dynamique A, a unevaleur bien définie dans l'état dynamique , et une valeur bien définie dans l'état

dynamique avec . Cela signifie que si nous répétons la mesure de A sur des

systèmes tous dans l'état dynamique décrit par , nous trouvons chaque fois comme

résultat , de même pour et . Une question vient naturellement à l'esprit : si nous

mesurons A sur des systèmes tous dans l'état dynamique qu'allons nous ? Une idée naïve

serait de croire que A prendra une valeur bien définie intermédiaire entre et .

Ces deux hypothèses sont fausses et nous le savons bien. Premièrement, A n'est pas biendéterminée en physique quantique (incertitude) et n'est mathématiquement pasnécessairement située entre et . L'interprétation correcte est la suivante:


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Si nous mesurons A sur le système dans l'état dynamique , nous trouvons comme résultat

de mesure, tantôt , avec une probabilité , tantôt , avec une probabilité .

Bien entendu, et devront pouvoir être calculés en fonction de et .

Remarque: Il ne faut surtout pas confondre l'ensemble pur des systèmes décrits par ,avec le mélange que nous obtiendrions en juxtaposant deux ensembles purs de systèmesrespectivement et .

Il convient donc de mettre en garde le lecteur contre cette confusion, d'autant que dans lalittérature courante utilisant la physique quantique, on dit souvent que la fonction d'onde est un mélange de et . C'est par exemple dans ce sens que nous parlons de "mélange

de configurations" pour traduire le fait que la fonction d'onde d'un atome à plusieurs électronsest une combinaison linéaire de fonctions d'onde appartenant à diverses configurations. Cetteterminologie ne doit pas cacher le fait que les systèmes décrits par constituent un ensemblepur et non un mélange.

En fait, l'interprétation que donne la théorie de De Broglie (associer une fonction d'onde à uneparticule) aux principes d'incertitudes est l'exemple le plus frappant et le plus connu de laphysique quantique au niveau des superpositions d'états (chat de Schrödinger mis à part):

Considérons une onde de De Broglie se propageant dans le sens de l'axe X, mais limitée à unintervalle à un instant donné ( si nous voulons). Donc à l'onde s'écrit, enlaissant tomber la constant multiplicative :

(42.469)

Si nous mesurons la coordonnée de la particule, nous devons la trouver là nécessairement où n'est pas nulle (sinon nous ne pourrions rien mesurer). Nous pouvons dire que avec

une incertitude (l'intervalle où nous sommes sûrs de trouver la particule par rapport àl'ordonnée à l'origine divisé par deux)

Si nous mesurons , que trouvons-nous ? Nous ne devons pas trouver (relation que nous

avons déjà démontrée plus haut), car ceci serait vrai pour une onde plane indéfinie, ce quin'est pas le cas ici. Alors, nous allons décomposer l'onde en ondes planes au moyen de latransformation de Fourier (cf. chapitre de Suites et Séries) :

(42.470)

Comment interpréter cette relation? Une des ondes planes élémentaires (que nous pouvonsaussi interpréter comme un état), , dont la somme redonne (x), conduit à une

valeur de la quantité de mouvement. Or, les valeurs de k forment un continuum. Noussommes conduits à dire que les valeurs possibles de p forment dès lors aussi un continuum etqu'il y a donc une incertitude sur la valeur de p. Pour aller plus loin, il faut évaluer a(k) (quidoit être considéré comme variable de la probabilité de présence de chaque onde planeprovenant de la décomposition de (x)) au moyen de la relation (selon les propriétés destransformations de Fourier) :

(42.471)

qui donne ici:


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(42.472)

Posons , l'intégrale devient alors :

(42.473)

Le graphique de la fonction montre que prend des valeurs qui peuvent êtres

considérées comme négligeables pour .

(42.474)

Il s'ensuit que dans l'intégrale :

(42.475)

ce sont les k voisins de qui sont effectifs, et plus précisément les k tels que:

(42.476)

puisque :

(42.477)

Il s'ensuit que les valeurs à retenir de p sont celles voisines de aussi, plus précisément

nous avons :

(42.478)

Cette relation montre que les incertitudes et obéissent à la relation:

(42.479)

De manière similaire, si nous nous proposons de déterminer la coordonnée x d'un électron en


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le faisant passer à travers une fente de largeur 2b percée dans un écran:

(42.480)

La précision avec laquelle nous connaissons la position de cet électron est limitée par la taillede la fente, soit . D'autre part, la fente perturbe l'onde associée. Il en résulte unemodification du mouvement de l'électron qui se traduit par le diagramme de diffraction del'onde (qui est en fait une représentation de la superposition linéaire de ses états intrinsèques).

L'incertitude sur la composante dynamique de la quantité mouvement de l'électron est

déterminée par l'angle correspondant au maximum central de la figure de diffraction.D'après la théorie de la diffraction (cf. chapitre d'Optique Ondulatoire) produite par une fenterectangulaire, nous avons puisque l'intensité s'écrit:

(42.481)

Donc est compris entre et , p étant l'impulsion de l'électron incident. Ainsi

l'incertitude est de:

(42.482)

Ce résultat simple est assez extraordinaire si nous le mettons en relation, en ordre de grandeur,avec le résultat que nous avions obtenu juste plus haut :

(42.483)

Nous pouvons en tirer plusieurs conclusions de la première importance:

1. L'onde associée de De Broglie est étroitement liée au principe d'incertitude et la physiquequantique doit tenir compte simultanément de ces deux propriétés.


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2. Si nous tenons compte que la répartition de l'intensité est obtenue à partir du comptage desélectrons (ou particules en fonction de l'angle et que nous obtenons la même répartition quelleque soit l'intensité du faisceau d'électrons monocinétiques qui arrive sur la fente et ce, même siles électrons sont envoyés un par un. Nous observons alors que le mouvement des particulesn'est plus déterministe mais probabiliste. Ainsi, la fonction d'onde de l'électron peut êtreconsidérée comme une superposition linéaire des états définis chacun comme nous l'avons faitprécédemment, par sa décomposition possible par la transformée de Fourier.

Que pouvons-nous conclure de tout ce que nous avons vu jusqu'ici:

1. Les équations de la physique quantique nous donnent une densité de probabilité de trouverune particule dans un certain volume de l'espace-temps.

2. La superposition linéaire des états peut s'interpréter comme le fait qu'il est possible detrouver une particule en plusieurs points de l'espace-temps à un instant donné, et avec pourchacun de ces points une certaine probabilité de l'y trouver (par décomposition possible del'équation d'onde).

Si le point (1) a été largement étudié jusqu'à maintenant sur ce site, le point (2) est quant à luinouveau et découle d'une simple opération mathématique de décomposition ou desuperposition.

Mais dès lors, que se passe-t-il si nous cherchons à mesurer l'énergie d'un atome qui se trouvedans une superposition d'états d'énergie? Nous ne détecterons jamais cette superposition, maisseulement l'une des énergies qui la constituent, l'action de mesurer fait disparaître lasuperposition des états au profit d'un seul – nous parlons alors de "décohérence quantique" (ils'agite de l'interprétation de Copenhague dont nous avons fait mention au tout début de cechapitre). Mais lequel? La physique quantique ne peut tout bonnement répondre à cettequestion. Le choix s'effectue au hasard! En revanche, à défaut de prédire l'état précis qui seramesuré parmi tous ceux qui constituaient la superposition, la théorie quantique peut donner laprobabilité qu'on a de mesurer chaque état (ce que l'on a déjà fait maintes fois jusqu'ici). Sil'on effectue de nombreuses mesures, on trouve finalement les proportions prédites par lathéorie (même si chaque mesure est imprévisible).

Erwin Schrödinger, avait souligné l'absurdité (selon lui) de ces superpositions en ayant recoursà une expérience de pensée devenue célèbre : Imaginez un chat enfermé dans une boîtehermétique. Dans la boîte se trouve aussi un atome radioactif et un dispositif capable derépandre du poison. Quand l'atome radioactif se désintègre, il déclenche le dispositif mortel: lepoison se répand dans la boîte et le chat meurt.

Mais la désintégration radioactive est un phénomène quantique: tant que nous ne l'avons pasdétecté, l'atome est dans une superposition d'états "désintégré et pas désintégré". Dans laboîte, le système chat-dispositif à poison-atome doit donc lui aussi, se trouver dans unesuperposition des deux états "atome désintégré-chat mort" et "atome intact-chat vivant". Bref,si nous prenons la physique quantique au pied de la lettre, le chat est à la fois mort et vivanttant que la mesure n'a pas été effectuée.

L'absurdité de cette expérience est manifeste… mais difficile à démontrer, du moins tant quenous n'avons pas compris ce qui distingue un chat d'une particule. Toujours le problème de lafrontière quantique-classique…

Il faudra attendre les années 80 pour que la situation progresse enfin, à la fois sur le front del'expérience et sur celui de la théorie. En 1982, Wojciech Zurek, chercheur au laboratoirenational de Los Alamos (Nouveau-Mexique), reprend une idée fort simple mais géniale : dansune mesure, ce qui produit la décohérence, c'est l'interaction du système avec sonenvironnement. Plus généralement, les objets quantiques ne sont jamais complètement isolésde leur environnement – on entend par là tout ce qui interagit avec le système: un appareil,des molécules d'air, des photons lumineux. Si bien qu'en réalité les lois quantiques doivents'appliquer à l'ensemble constitué de l'objet et de tout ce qui l'entoure. Or, Zurek démontre queles multiples interactions avec l'environnement entraînent une destruction très rapide des de lacohérence quantique des superpositions d'états (appelée également "interférence quantique"


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puisque mathématiquement l'on traite des fonctions d'onde). En détruisant les interférences,l'environnement supprime les superpositions d'états et le comportement quantique du système,de sorte qu'il ne reste plus que des états simples et qu'on retrouve le comportement classique.

Dans un objet macroscopique – un chat par exemple – chacun des atomes est environné denombreux autres atomes qui interagissent avec lui. Toutes ces interactions provoquentspontanément un brouillage des interférences quantiques qui disparaissent très vite. Voilàdonc pourquoi la physique quantique ne s'applique pas à notre échelle: les systèmes ne sontjamais isolés!

La vitesse de la décohérence augmente avec la taille du système: un chat qui compte 1027

particules, "décohère" en 10-23 secondes, ce qui explique pourquoi on n'a jamais vu de chatsmorts-vivants jusqu'à aujourd'hui!

La physique quantique est donc une théorie:

- non-déterministe (probabiliste) d'où le fait qu'elle soit considérée comme une théorie del'information

- non-locale: les objets quantiques peuvent avoir simultanément plusieurs positions

- non-séparable: plusieurs objets quantiques peuvent êtes superposés au point de ne pouvoirêtre considérés séparément.

Un autre excellent exemple de la superposition linéaire des états est une applicationremarquable au principe de moindre action.

Considérons une particule quantique allant d’un point à l'instant au point à l'instant

. Nous savons que la probabilité de trouver une particule en un point et en un instant donnés

est reliée au carré du module de la fonction d’onde qui lui est associée. Plaçons-nous dans lecas le plus simple où la fonction d’onde de la particule est une onde plane donnée parla fonction solution de l'équation d'évolution de Schrödinger:

(42.484)

où et v sont respectivement la longueur d'onde et la fréquence de l'onde associée à laparticule.

La particule peut emprunter une infinité de chemins pour se rendre de .

Choisissons l'un quelconque de ces chemins que nous appellerons C. Nous pouvons découperle chemin C en un nombre entier de tronçons de durée dt.

(42.485)

Après le parcours du premier tronçon, la fonction d'onde a la valeur suivante:

(42.486)


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D'où nous tirons que:

(42.487)

Or, Planck et De Broglie ont établi (postulés) les relations suivantes comme nous l'avonsmontré :

et (42.488)

d'où, en remplaçant et v dans la relation précédente nous obtenons :

(42.489)

En appliquant la même technique pour le tronçon suivant nous obtenons:

(42.490)

Procédant ainsi de tronçon en tronçon, tout le long du chemin C nous obtenons alors la valeurde la fonction d’onde en pour la particule venant de en suivant le chemin

C:

(42.491)

Maintenant, faisons tendre la durée dt de chaque tronçon de trajectoire vers zéro. La quantité tend alors vers la vitesse instantanée de la particule que nous noterons . La relation

précédente devient alors:

(42.492)

Dans le chapitre de Mécanique Analytique, nous avons montré que la quantité estégale au lagrangien. En substituant le lagrangien dans la relation précédente, nous obtenons :

(42.493)

où est l'action de la particule ayant parcouru le chemin C.

Notons (sans démonstration) que le module de prend la même valeur pour

(pour tout n). La constante de Planck trouve alors une signification physique

directement liée à l’action de la particule !

Rappelons la condition de normalisation de De Broglie:

(42.494)

qui donne donc la probabilité pour que la particule, partant de à l’instant , se trouve en

à l’instant en ayant emprunté le chemin C.


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La probabilité totale est donc :

(42.495)

pour trouver la particule partie de à l'instant en à l'instant nécessite de calculer la

somme des contributions de chaque chemin soit (en appliquant le principe de superpositionlinéaire puisque nous effectuons un somme des fonctions d'onde) :

(42.496)

Cette intégrale fut découverte par Richard Feynman. En première analyse elle semble divergerdans la mesure où il existe une infinité de chemins possibles entre deux points. Regardons deplus près ce qui se passe. Plaçons-nous dans le cas où la trajectoire est macroscopique. La

valeur de l'action est alors beaucoup plus grande que et varie beaucoup d'un chemin à un

autre, sauf pour les chemins proches du chemin physique classique pour lesquels la variationest quasiment nulle (application de l'énoncé variationnel du principe de moindre action).

Comme les actions des chemins interviennent comme une phase dans l'intégrale de chemin,leurs contributions sont destructives et donc tendent à s'annuler, sauf dans le cas des cheminsproches du chemin physique classique où les contributions s'ajoutent. Il s'ensuit que l'intégralede chemin prend la valeur de l'action classique, indiquant que la physique quantique permet deretrouver les lois de la mécanique classique à l’échelle macroscopique.

(42.497)

La situation devient très différente à l'échelle quantique, c'est-à-dire pour des valeurs de

l'action dont l'ordre de grandeur est celui de la constante . Une infinité de chemins apporte

alors des contributions non destructives. Feynman a pu montrer que l'intégrale de cheminconvergeait mais d'un autre côté, il n'est plus possible de prédire quel chemin la particule vaemprunter au point que la notion même de chemin s'évanouit. Ainsi à l'échelle quantique laparticule semble chercher son chemin parmi tous ceux qui sont possibles mais à l'échellemacroscopique, ce tâtonnement quantique semble avoir permis à la particule de trouver le"bon chemin".

Le formalisme de l'intégrale de chemin constitue une façon très originale d'aborder etd'interpréter la physique quantique qui s'est ajouté à ceux qui avaient été développés parSchrödinger.


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