scienze delle finanze

Universita degli Studi di BariDipartimento di Scienze Economiche

APPUNTI DI INTRODUZIONE

ALL ’ ECONOMIA PUBBLICA

Ernesto Longobardi e Vito Peragine

anno accademico 2006/07

settembre 2006

Indice

1 Il giudizio di efficienza 11.1 L’efficienza nel senso di Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.1.1 Criterio di Pareto e potere di veto . . . . . . . . . . . . .41.1.2 Criterio di Pareto e conservazione dellostatus quo . . . . 5

1.2 Allocazione ottimale delle risorse . . . . . . . . . . . . . . . . .61.2.1 La condizione di efficienza nello scambio . . . . . . . . .61.2.2 Condizione di efficienza nella produzione . . . . . . . . .81.2.3 Condizione di efficienza generale . . . . . . . . . . . . .10

1.3 I due teoremi fondamentali dell’economia del benessere . . . . . .12

2 I fallimentidel mercato 192.1 Mercati non concorrenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202.2 Le esternalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

2.2.1 Esternalita e allocazione efficiente delle risorse . . . . . .222.2.2 Esternalita dovute a fenomeni di consumo congiunto o

produzione congiunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232.2.3 Esternalita in presenza di risorse di proprieta comune . . . 242.2.4 Intervento pubblico e internalizzazione delle esternalita . . 25

2.3 I beni pubblici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252.3.1 Rivalita ed escludibilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.2 Beni privati, beni pubblici, beni misti . . . . . . . . . . .262.3.3 La quantita ottima di bene pubblico . . . . . . . . . . . .27

3 Scelta sociale 313.1 La massimizzazione del benessere sociale . . . . . . . . . . . . .313.2 Le funzioni del benessere sociale . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

3.2.1 La funzione del benessere sociale utilitarista . . . . . . . .353.2.2 La funzione del benessere sociale rawlsiana . . . . . . . .38

3.3 Confronti tra criterio del Pareto, FBS utilitarista, FBS rawlsiana .39

II CAPITOLO 0

3.4 Confronti tra utilitarismo, rawlsismo, egualitarismo in assenza ein presenza di trade-off equita-efficienza . . . . . . . . . . . . . . 413.4.1 Primo caso: redistribuzione senza costi e utilita marginale

del reddito costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .423.4.2 Secondo caso: redistribuzione senza costi e utilita

marginale del reddito decrescente . . . . . . . . . . . . .423.4.3 Terzo caso: redistribuzione con costi e utilita marginale

del reddito decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . .433.4.4 Quarto caso: redistribuzione con costi molto elevati e utilita

marginale del reddito decrescente . . . . . . . . . . . . .43

4 Analisi della disuguaglianza 474.1 Ordinamenti parziali di distribuzioni del reddito . . . . . . . . . .48

4.1.1 La curva di Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .484.1.2 Ordinamento di Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .504.1.3 Ordinamento alla Robin Hood . . . . . . . . . . . . . . .524.1.4 Ordinamenti parziali: benessere e disuguaglianza . . . . .544.1.5 Curva di Lorenz generalizzata . . . . . . . . . . . . . . .554.1.6 Ordinamento di Lorenz generalizzato . . . . . . . . . . .56

4.2 Ordinamenti completi di distribuzioni del reddito . . . . . . . . .574.2.1 Il coefficiente di Gini (G) . . . . . . . . . . . . . . . . . .584.2.2 L’indice di Atkinson-Kolm-Sen . . . . . . . . . . . . . .59

5 Economia delle scelte pubbliche 655.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .655.2 Le regole di voto: analisi descrittiva . . . . . . . . . . . . . . . .66

5.2.1 La regola della unanimita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.2 La regola della maggioranza . . . . . . . . . . . . . . . .685.2.3 L’intensita delle preferenze . . . . . . . . . . . . . . . . .765.2.4 Il logrolling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .765.2.5 Il voto a maggioranza sequenziale . . . . . . . . . . . . .785.2.6 Il sistema maggioritario a turno unico . . . . . . . . . . .805.2.7 Il sistema maggioritario a doppio turno . . . . . . . . . .815.2.8 Il metodo di Borda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

5.3 L’approccio assiomatico deduttivo . . . . . . . . . . . . . . . . .835.3.1 Il teorema dell’ impossibilita di Arrow . . . . . . . . . . . 835.3.2 Il teorema dell’ impossibilita di Gibbard-Satterthwaite . .855.3.3 Il teorema di May . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

Suggerimenti per ulteriori letture 87

Riferimenti bibliografici 88

Capitolo 1Il giudizio di efficienza

1.1 L’efficienza nel senso di Pareto

Una tendenza largamente dominante ritiene che nel giudizio di efficienza cisi debba affidare alla percezione che i singoli individui hanno del proprio

benessere individuale. Si parla in questo caso di principio dellasovranita delconsumatoreoppure diindividualismo: si assume che ciascuno sia il migliorgiudice dei propri interessi e ci si rimette pertanto alla sua valutazione.

Se si accetta tale principio sorge immediatamente un problema. Avendo unproprio sistema di preferenze e un dato ammontare di risorse (dotazioni), cia-scuno giudichera diversamente un determinato stato del mondo. Come si puoallora, muovendo dai giudizi individuali, pervenire a ungiudizio di efficienzache riguardi l’intera collettivita? Il giudizio di efficienza sembra indissolubilmen-te legato algiudizio di equita, perche non pare possibile evitare di valutare gliinteressi degli uni a fronte degli interessi degli altri.

Gli economisti hanno tentato di separare i due livelli di giudizio e di affidarlia schemi concettuali distinti. Tale tentativo viene a tutt’oggi legato al nome diPareto.1

Definizione 1.1 (Il criterio (forte) del Pareto). Dati due statiα e β, si dice cheα e migliore diβ (oppure cheα dominaβ) nel senso di Pareto, e che pertantouno spostamento daβ a α e un miglioramento paretiano, se e solo se almeno unindividuo preferisceα a β e nessuno preferisceβ adα.

Indichiamo in parentesi tonde le relazioni attinenti ordinamenti di preferenza in-dividuali e in parentesi quadre quelle attinenti ordinamenti di preferenza sociale.

1Vilfredo Pareto (1848-1923), economista e sociologo. Le sue opere piu importanti sono ilCorso di economia politica(1897-98) e ilTrattato di sociologia generale(1916).

2 CAPITOLO 1

Tabella 1.1 Il criterio del Pareto.

α β γ

ui 30 35 35

uj 25 25 30

uk 45 45 45

Tabella 1.2 Gli “ottimi” di Pareto.

α β γ δ ε

ui 7 6 1 8 3

uj 9 9 2 8 2

uk 6 5 9 8 9

Il criterio del Pareto puo essere espresso nel modo seguente. Dati due statiα eβ,en individui, i ∈ {1, ..., n} ,

[α Â β]P ⇔ ∃i ∈ {1, ..., n} tale che(α Â β)i & @j ∈ {1, ..., n} tale che(β Â α)i

che va letta:α dominaβ nel senso di Pareto se e solo se esiste almeno un individuoi per il qualeα e strettamente preferito aβ e non esiste alcun individuoj per ilqualeβe strettamente preferito adα.

Seα non dominaβ nel senso di Pareto eβ non dominaα nel senso di Pareto,allora diremo cheα eβ non sono confrontabili in base al criterio di Pareto.Nella definizione del criterio di Pareto si assume:

• misurabilita ordinale delle utilita• non confrontabilita delle utilita di diversi individui

Nella Tabella 1.1α, β, γ sono tre stati eui,uj ,uk sono indici di utilita ordinalerelativi a tre individuii, j, k.Lo statoβ domina nel senso di Pareto lo statoα (maggioree infatti l’utilit a del-l’individuo i, ferme restando le posizioni degli individuij ek). Lo statoγ dominaa sua volta lo statoβ.

Definizione 1.2 (Ottimo paretiano). Uno statoe detto efficiente nel senso diPareto o ottimo paretiano qualora non sia possibile realizzare un miglioramentoparetiano, vale a dire quando non sia possibile migliorare la situazione di almenoun individuo senza peggiorare quella di qualche altro.

Nella Tabella 1.1 lo statoγ e un ottimo paretiano. In generale stati ottimi nel sensodi Pareto sono piu di uno. Si consideri, per esempio, la Tabella 1.2, in questo casoα, δ e ε sono tutti ottimi paretiani.

Si noti che il criterio del Pareto non consente di ordinare gli stati di ottimo:essi, in base al criterio del Pareto, non sono confrontabili.

Il giudizio di efficienza 3

-

6

0 ui

B

C

DE

G

A

uj

F

Figura 1.1 Il criterio del Pareto. I miglioramenti paretiani dal punto F sono compresinell’areaBCF .

Ma puo risultare anche impossibile confrontare uno stato di ottimo con unostato sub-ottimale. Nella Tabella 1.2, per esempio,α, pur essendo un ottimo, none confrontabile conγ, che ottimo none.

Questo aspetto puo essere meglio chiarito considerando la Figura 1.1 che rap-presenta unacurva delle possibilita di utilit a. Come si vedra meglio piu avanti,tale curva, dati due individuii e j, esprime, per ogni determinato livello di utilitadi uno dei due individui, l’utilita massima conseguibile dall’altro.L’areaADO, delimitata dalla curva delle possibilita di utilita e dagli assi carte-siani, costituisce l’insieme delle utilita.Per ogni punto interno, come il punto il puntoF , l’insieme delle utilita puo esseresuddiviso in 4 sottoinsiemi:

• l’areaBCF , compresi i contorni, rappresenta il sottoinsieme delle combinazio-ni di utilit a che dominano la combinazione F: il passaggio daF a uno qualsiasidei punti di quest’areae un miglioramento paretiano;

• l’areaGFEO, compresi i contorni, rappresenta il sottoinsieme delle combina-zioni di utilita che sono dominate daF nel senso di Pareto.

L’unione di questi due sottoinsiemi compone l’insieme di stati che sono confron-tabili conF in base al criterio del Pareto.Invece l’unione dei due sottoinsiemi:

• ABFG (esclusi i segmentiBF eGF );• FCDE (esclusi i segmentiFC eFE)

4 CAPITOLO 1

-

6

0

F

ui

A

C

D

uj

E

G

Figura 1.2 L’ottimo paretiano.F rappresenta un punto di ottimo perche l’insieme deipossibili miglioramenti paretianie vuoto.

rappresentano l’insieme degli stati non confrontabili conF in base al criterio delPareto.

Finche l’insiemeBCF non e vuoto non si ha una situazione efficiente. Uninsieme vuoto di miglioramenti paretianie rappresentato nella Figura 1.2: il puntoF e ora un ottimo paretiano, in quanto non risulta dominato da nessun altro puntoall’interno dell’insieme delle utilita. Tuttavia, il puntoF non domina tutti i puntidell’insieme, ma solo quelli dell’areaGFEO. Rimangono le due areeAFG eFDE di non confrontabilita.In tali aree solo i punti sulla frontiera di utilita (i tratti AF e FD) sono punti diottimo: tutti gli altri, interni alle due aree, rappresentano stati inefficienti. Come siera gia accennato, dunque, il criterio del Pareto non consente di ordinare gli statidi efficienza come socialmente superiori a tutti gli stati di inefficienza.

1.1.1 Criterio di Pareto e potere di veto

E quest’ultimo il limite piu grave del criterio del Pareto. Se infatti la non con-frontabilita dei punti di ottimoe il risultato della scelta di separare il giudizio diefficienza dal giudizio di equita, la non confrontabilita tra punti di ottimo e puntisubottimali limita l’operativita del criterio proprio sotto il profilo della valutazionedi efficienza.

In comunita di milioni di persone,e sufficiente che anche un solo individuorisulti danneggiato, per escludere, almeno sul piano del giudizio di efficienza, mi-sure che potrebbero produrre consistenti benefici alla collettivita nel suo insieme.


Si attribuisce in questo modo a minoranze, anche molto ristrette, un paralizzante“potere di veto” sulle scelte collettive.

1.1.2 Criterio di Pareto e conservazione dellostatus quo

Il criterio del Pareto, quale metro di valutazione sociale,e basato su giudizi divalore molto deboli e quindi largamente condivisibili. Questa apparente neutralitaetica del criterio, che senz’altro costituisce la ragione principale della sua forzae popolarita, puo pero portare a farne un uso eccessivo e talora illegittimo nellescelte sociali. Questo avviene quando si restringe l’attenzione, tra le riforme pos-sibili, a quelle che comunque configurino un miglioramento paretiano. Si procedein due stadi: nel primo si identificano le riforme che migliorano l’allocazione dipartenza (status quo) in base all’efficienza paretiana; all’interno di questo sot-toinsieme, poi, si utilizza un altro criterio, ad esempio un principio di equita, perscegliere l’allocazione preferita. Questo modo di procedere - che tecnicamenteequivale a stabilire una precedenza lessicografica del criterio di Pareto rispettoad altri criteri - conduce ad una difesa acritica e ingiustificata dellostatus quo.Si consideri il seguente esempio, in cui ci sono quattro distribuzioni di utilita(A,B, C, D) tra due individui (i, j): A rappresenta l’allocazione di partenza eB,C eD gli esiti di tre riforme possibili:

A B C D

i 1 2 3 7

j 10 12 11 7

Rimanere inA sarebbe inefficiente, a causa della possibilita di spostarsi inB o inC. La scelta tra B e C potra dipendere poi dalle preferenze sociali rispetto all’e-quita. Tuttavia, none detto che B e C siano le alternative migliori. Probabilmente,D potrebbe essere considerata la migliore tra le allocazioni possibili, perche e unottimo di Pareto (dunque none inefficiente) e perche soddisfa piu compiutamentedelle altre le esigenze di equita. La sua esclusione dipende dalla circostanza di es-sere partiti da A. Ma A puo essere una allocazione di partenza del tutto arbitraria.Limitare le scelte possibili a quelle che costituiscono un miglioramento paretianorispetto ad A risulta operazione legittima solo nella misura in cui si fornisce unagiustificazione autonoma della desiderabilita sociale della allocazione di parten-za. In caso contrario, l’arbitrarieta dello status quo si riflettera nell’arbitrarieta delcriterio di Pareto come guida alla scelta tra le riforme possibili.

Queste considerazioni non minano l’importanza, in generale, del criterio diPareto, ne delimitano, piuttosto, il campo di applicabilita: il solo uso legitti-mo del criterio consiste nella identificazione di situazioni inefficienti. La di-rezione del cambiamento, a partire da una data allocazione, non deve invece esserenecessariamente guidata, ne tantomeno limitata, dal criterio di Pareto.

6 CAPITOLO 1

︸︷︷︸x

j

i

y

Figura 1.3 La scatola di Edgeworth. Ogni punto nella scatola rappresenta un’allocazione,cioe la combinazione di due panieri(x, y), uno per ciascun consumatore.

1.2 Allocazione ottimale delle risorse

Per generare un risultato efficiente nel senso di Pareto, un meccanismo di alloca-zione delle risorse deve soddisfare simultaneamente, al margine, tre condizioni:

1. condizione di efficienza nello scambio;2. la condizione di efficienza nella produzione;3. la condizione di efficienza generale.

Consideriamo un sistema con due consumatori(i, j), due fattori produttivi(k, l)e due beni(x, y). La disponibilita di fattori produttivi e la tecnologia sono date.

1.2.1 La condizione di efficienza nello scambio

Ipotizziamo per il momento che le quantita prodotte dix e y siano date: l’ipotesisara rimossa piu avanti, quando le quantita dei beni prodotti saranno lasciate liberedi variare, ferme restando, invece, le quantita dei due fattori produttivik e l.

La Figura 1.3 riproduce una scatola di Edgeworth, all’interno della quale ognipunto rappresenta un’allocazione(combinazione di panieri) dei due beni(x, y) trai due consumatori(i, j). La mappa delle curve di indifferenza del consumatorei e rappresentata a partire dal vertice sud-ovest della scatola; quella del consu-matorej e rappresentata, rovesciata, a partire dal vertice nord-est. In ogni puntodella scatola si ha l’intersezione oppure la tangenza tra una curva di indifferenzadell’individuo i e una curva di indifferenza dell’individuoj. Le allocazioni ottime


i

j

C

i

DB

A

C

j

Figura 1.4 L’efficienza nello scambio. Nella parte sinistra della figuraC none un pun-to di ottimo, in quanto a partire daC sono possibili miglioramenti paretiani nell’areadelimitata dall’intersezione delle due curve. Nella parte destra il punto di tangenzaCrappresenta un punto di ottimo: l’insieme dei possibili miglioramenti paretianie vuoto.

nel senso di Pareto coincidono con i punti di tangenza. Se infatti le curve diindifferenza si intersecassero sarebbero possibili miglioramenti paretiani.

Consideriamo per esempio, nella parte sinistra della Figura 1.4, il puntoC diintersezione tra due curve. Per ogni punto sulla curva di indifferenza dell’individ-uo j, come il punto B, si ha:

(B Â C)i e (B ∼ C)j ⇒ [B Â C]PPer ogni punto sulla curva di indifferenza dell’individuoi, come il punto A, si ha:

(A ∼ C)i e (A Â C)j ⇒ [A Â C]PInfine per ogni punto come D, interno all’area delimitata dall’intersezione delledue curve di indifferenza, si ha:

(D Â C)i e (D Â C)j ⇒ [D Â C]PL’area delimitata dall’intersezione delle due curve, compresi i contorni, rappre-senta quindi l’insieme dei possibili miglioramenti paretiani a partire dal puntoC.Nei punti di tangenza invece (come il puntoC nella parte destra della Figura 1.4)l’insieme dei miglioramenti paretianie vuoto: si tratta pertanto di allocazioni ot-time. In tali punti, la curva di indifferenza del consumatorei ha la stessa pendenzadi quella del consumatorej: i saggi marginali di sostituzione dei due consumatorisono pertanto eguali.

Definizione 1.3 (Condizione di efficienza nello scambio).Un’allocazione dibeni e Pareto-ottimale quando i saggi marginali di sostituzione sono eguali tratutti i consumatori:

SMSix,y = SMSj

x,y

8 CAPITOLO 1

︸︷︷︸x

j

i

y

Figura 1.5 La curva dei contratti.

L’insieme delle allocazioni ottime puo essere rappresentato con due diversi stru-menti analitici.Se, all’interno della scatola di Edgeworth, si uniscono tutti i punti di tangenza trale curve di indifferenza si ottienela curva dei contratti , chee appunto il luogogeometrico delle allocazioni ottime nel senso del Pareto (Figura 1.5).

Se misuriamo invece sugli assi le utilita dei due consumatori, le combinazio-ni di utilit a associate ai punti di ottimo compongono lacurva delle possibilita diutilit a (Figura 1.6), che avevamo gia utilizzato nella Sezione 1.1.

Definizione 1.4 (La curva delle possibilita di utilit a). Dati due consumatori edue beni, e considerando fisse le quantita dei due beni, la curva delle possibilita diutilit a esprime, per ogni determinato indice di utilita di un consumatore, l’utilitamassima che puo ottenere l’altro consumatore.

Lo studente noti che:

• se si considerano fisse le quantita dei due beni, la curva delle possibilita di utilitasi modifica solo se cambiano le preferenze dei consumatori;

• date le preferenze dei consumatori, esiste una curva delle possibilita di utilitaper ogni coppia di quantita dei due beni.

1.2.2 Condizione di efficienza nella produzione

Si rimuove ora, come annunciato, la condizione che le quantita dei due benix eysiano date.


-

6

0 u1

u2

Figura 1.6 La curva delle possibilita di utilita.

La condizione marginale di ottimo nella produzione puo essere determinatautilizzando ancora una scatola di Edgeworth, misurando, questa volta, sugli assi lequantita dei due fattori produttivi,k e l, disponibili in quantita fisse. La tecnologiaimpiegata nella produzione dei due beni x e y sara rappresentata da famiglie diisoquanti. Ogni punto all’interno della scatola rappresenta unaallocazione diinput .

Le allocazioni ottime sono date dai punti di tangenza tra gli isoquanti relativial prodottox e gli isoquanti relativi al prodottoy: in tali punti si ha l’eguaglianzadei saggi marginali di sostituzione tecnica tra i fattori nella produzione dei duebeni.

Definizione 1.5 (Condizione di efficienza nella produzione).Un’allocazione di fattori produttivie Pareto-ottimale quando i saggi marginali disostituzione tecnica sono eguali nella produzione di ogni coppia di beni:

SMST xk,l = SMST y

k,l

Le allocazioni di fattori efficienti possono essere rappresentati, oltre che dallacurva che unisce tutti i punti di tangenza nella scatola di Edgeworth, anche mi-surando sugli assi le quantita dei due beni: le combinazioni di beni associate aipunti di ottimo compongonola curva delle possibilita di produzione (o curvadi trasformazione).

Definizione 1.6 (La curva delle possibilita di produzione). La curva delle pos-sibilita di produzione (o curva di trasformazione) esprime, per ogni determinata

10 CAPITOLO 1

-

6

0

y

x

AII

s

B

t

I

Figura 1.7 La curva delle possibilita di produzione.A rappresenta un punto di ottimo.

quantita di uno dei due beni, la quantita massima che si puo produrre dell’altrobene, considerando fisse la tecnologia e le quantita dei fattori di produzione.

1.2.3 Condizione di efficienza generale

Assumiamo, in prima approssimazione, che tutti i consumatori abbiano lo stessosistema di preferenze, rappresentabile pertanto da un’unica mappa di curve diindifferenza (consumatore rappresentativo).

Il problema di massimizzazione del benessere si risolve nello scegliere, lungola curva delle possibilita di produzione, la combinazione di output che consente diraggiungere la curva di indifferenza di indice piu elevato: si trattera di un punto ditangenza della curva delle possibilita di produzione con una curva di indifferenza(Figura 1.7).

Nel punto di tangenza si ha l’eguaglianza tra il saggio marginale di sosti-tuzione (misurato dalla pendenza della curva di indifferenza) e il tasso marginaledi trasformazione (misurato dalla pendenza della curva di trasformazione).Si puo pertanto enunciare la condizione di efficienza generale.

Definizione 1.7 (Condizione di efficienza generale).Un’allocazione delle risorsee Pareto-ottimale quando per ogni coppia di beni ilsaggio marginale di sostituzionee eguale al saggio marginale di trasformazione:

SMSy,x = SMTy,x


x

6

0

y

C

-

B

D

st

E

Figura 1.8 Nel puntoB il SMTxy e, in valore assoluto, minore delSMSxy. Spostamentia destra di B (maggiore quantita dix) rappresentano miglioramenti paretiani.

Il significato dell’eguaglianza tra saggio marginale di trasformazione e saggiomarginale di sostituzione come condizione di ottimo puo essere meglio compre-sa considerando piu da vicino (Figura 1.8) la situazione rappresentata dal pun-to B ove non si ha tangenza, bensı intersezione, tra la curva delle possibilita diproduzione e una curva di indifferenza.

In tale punto ilSMS e dato dall’inclinazione della rettas tangente alla curvadi indifferenza, ovvero dal rapportoBC/CD: una riduzioneBC del beney, ac-compagnata da un aumentoCD del benex, lascia inalterato il livello di utilita delconsumatore rappresentativo. IlSMT e dato invece dall’inclinazione della ret-ta t, tangente alla curva delle possibilita di produzione: dal lato della produzione,dunque, la rinuncia a una quantitaBC del beney consente un incrementoCE nel-la produzione dix. EssendoCE > CD, l’utilit a aumenterebbe: vi sono pertantodei punti, a destra del puntoB, che lo dominano nel senso di Pareto.

Della condizione generale di ottimo puo essere data una diversa rappresentazionegrafica. Abbandonando l’ipotesi del consumatore rappresentativo e tornando aquella di un’economia con due individui,i e j, consideriamo le infinite scatole diEdgeworth che possono essere inserite nell’area delimitata dalla curva di trasfor-mazione, con il vertice nord-est lungo la curva. Nella Figura 1.9 ne sono staterappresentate due.

In generale all’interno di ogni scatola vi sara un punto, sulla curva dei con-tratti, in cui l’inclinazione delle due curve di indifferenza tangentie eguale all’in-clinazione della curva di trasformazione. In tale punto si avra pertanto:

12 CAPITOLO 1

-

6

0

B′

y

A

x

A′B

Figura 1.9 Configurazioni di ottimo generale.

SMSix,y = SMTx,y = SMSj

x,y (1.1)

Si noti che un punto comeB nella Figura 1.9 rappresenta una determinata com-binazione delle quantita totali prodotte dei due benix e y, mentre un punto comeB′ definisce una ripartizione delle risorse tra i due individuii e j.

Vi sono infinite configurazioni di ottimo generale, ciascuna corrispondentea una determinata combinazione di output e a una determinata ripartizione delbenessere tra i due individui. Il luogo delle combinazioni di utilita associate aciascuno di essi,e chiamatofrontiera delle utilit a.Lo studente noti che:

• se si considerano fisse le quantita dei due fattori, la frontiera delle utilita simodifica solo se cambiano le preferenze dei consumatori o la tecnologia;

• date le preferenze dei consumatori e la tecnologia, esiste una frontiera delleutilit a per ogni coppia di quantita dei due fattori.

1.3 I due teoremi fondamentali dell’economia del benes-sere

Riepiloghiamo le condizioni marginali di ottimo, rimuovendo la restrizione di unmondo a due dimensioni.

SianoN ,M,H gli insiemi, rispettivamente, dei consumatori, dei beni e deifattori produttivi.


︸︷︷︸x

j

i

y

A

BC

Figura 1.10 Solo in equilibrio si ha efficienza paretiana.

1. Condizione di efficienza nello scambio:

SMSix,y = SMSj

x,y

∀i, j ∈ N ; ∀x, y ∈M2. Condizione di efficienza nella produzione:

SMST xk,l = SMST y

k,l

∀k, l ∈ H ; ∀x, y ∈M3. Condizione di efficienza generale:

SMSx,y = SMTx,y

∀x, y ∈M

I due teoremi fondamentali dell’economia del benessere stabiliscono un legametra gli esiti di un meccanismo di mercato concorrenziale e i criteri di desiderabilitasociale.In un mercato concorrenziale, a determinate condizioni, abbiamo:

1. Per ogni coppia di beni, ciascun consumatore massimizza l’utilita eguagliandoil saggio marginale di sostituzione al prezzo relativo:

SMSix,y = py/px = SMSj

x,y

14 CAPITOLO 1

∀i, j ∈ N ; ∀x, y ∈MRisulta pertanto soddisfatta la condizione di ottimo nello scambio.

2. Le imprese minimizzano i costi, nella produzione di ciascun bene, eguagliandoil saggio marginale di sostituzione tecnica tra fattori al loro prezzo relativo:

SMST xk,l = pl/pk = SMST y

k,l

∀k, l ∈ H ; ∀x, y ∈MRisulta pertanto soddisfatta la condizione di ottimo nella produzione.

3. Per ogni coppia di beni, i consumatori massimizzano l’utilita eguagliando ilsaggio marginale di sostituzione al prezzo relativo; le imprese massimizzano ilprofitto eguagliando il saggio marginale di trasformazione al prezzo relativo:

SMSx,y = py/px = SMTx,y

∀x, y ∈MRisulta pertanto soddisfatta la condizione di efficienza generale.

L’equilibrio di un mercato concorrenzialee dunque efficiente nel senso di Pareto.

Teorema 1.1 (Il primo teorema fondamentale dell’economia del benessere).L’equilibrio di un sistema di mercati concorrenziali, se esiste,e Pareto-efficiente.

Deve trattarsi di una situazione di equilibrio. Per rendersene conto lo studenteconsideri la Figura 1.10. Anche se i saggi marginali di sostituzione risultanoeguali, non essendo una situazione equilibrio non vie tangenza tra le curve diindifferenza: non risulta pertanto determinata un’allocazione ottima.

Il primo teorema, stabilendo l’ottimalita paretiana di qualsiasi equilibrio con-correnziale, fornisce una giustificazione normativa del meccanismo di mercatobasata sull’idea di efficienza. Il teorema riprende l’ intuizione della mano invisi-bile formulata originariamente da Adam Smith (1776): l’idea cioe che il persegui-mento dell’interesse personale da parte di ogni singolo agente economico por-ti, attraverso l’operato di una mano invisibile, al raggiungimento di un risultatodesiderabile per l’intera collettivita. In base a questa intuizione, peraltro gia pre-sente nell’elaborazione filosofica del XVIII secolo (si pensi a La favola delle apidi Bernard de Mandeville, del 1714), per raggiungere un risultato desiderabile perla collettivita none dunque necessario che gli agenti siano buoni o altruisti: gliegoismi individuali, guidati dal meccanismo dei prezzi di mercato, contribuisconoal raggiungimento di un risultato efficiente per l’intera collettivita.

Il secondo teorema affronta un tema diverso. Si consideri la frontiera delleutilit a: ogni punto su tale frontierae ottimo nel senso di Pareto. Tuttavia, i di-versi ottimi hanno implicazioni profondamente diverse sotto il profilo dell’equitadistributiva. In virtu del primo teorema sappiamo che il mercato concorrenziale,partendo da un dato assetto delle dotazioni iniziali, condurra il sistema ad una al-locazione efficiente; supponiamo pero che questa allocazione non sia desiderabileper ragioni di equita. E ipotizziamo esista un altro ottimo, tra quelli possibili, che


︸︷︷︸x

j

i

y

M ′

m′

A

M

- -

B

m

Figura 1.11 L’allocazione A rappresenta un equilibrio di mercato concorrenziale con ilvettore di prezzi m e la dotazione iniziale M. L’allocazione B puo essere generata dalvettorem

′e la dotazioneM

′.

risulta essere desiderabile anche in termini distributivi. Dovremo rinunciare al sis-tema di mercato e adottare ad un altro meccanismo di allocazione delle risorse innome dell’equita? Il secondo teorema risponde precisamente a questa domanda,stabilendo che, al fine di raggiungere l’allocazione desiderata, sara sufficiente in-tervenire sulle dotazioni iniziali attraverso opportuni strumenti di redistribuzione- imposte e sussidi in somma fissa - lasciando poi che il mercato faccia il resto. Inaltre parole, il secondo teorema dimostra che ogni allocazione efficiente, e quin-di anche l’allocazione preferita sotto il profilo distributivo, puo essere ottenutamediante un meccanismo di mercato decentralizzato; purche si operi una redistri-buzione delle dotazioni iniziali attraverso imposte e sussidi in somma fissa (lumpsum).

Teorema 1.2 (Il secondo teorema fondamentale dell’economia del benesse-re). Esiste sempre un vettore di prezzi tale che ciascuna allocazione Pareto-efficientee un equilibrio di mercato concorrenziale, una volta assegnate le op-portune dotazioni iniziali (si veda la Figura 1.11).

I due teoremi sono di fondamentale importanza perche forniscono un quadroanalitico e concettuale per l’analisi normativa dei meccanismi di allocazione dellerisorse. Tuttavia, la loro dimostrazione si basa su condizioni altamente irrealisti-che.

Il primo teorema assume che i mercati siano perfettamente concorrenziali eche non vi siano altre imperfezioni di mercato. In realta i mercati sono spesso

16 CAPITOLO 1

caratterizzati da insufficiente concorrenza o da altre imperfezioni (beni pubblici,esternalita, asimmetrie informative): in tutti questi casi il mercato conduce unaallocazione delle risorse inefficiente.

Il secondo teorema assume che lo Stato sia in grado di operare una redistri-buzione delle risorse attraverso imposte in somma fissa. Le imposte e i sussidiin somma fissa sono strumenti commisurati a fattori esogeni, cioe fuori dal con-trollo degli individui a cui vengono applicati: per questa ragione questi strumentinon generano distorsioni nei comportamenti degli agenti e non violano le tre con-dizioni di efficienza paretiana. Un esempioe costituito da imposte legate alleabilita individuali innate. Questo tipo di imposte, pur importanti come modelloteorico di riferimento, nella realta non esiste: l’autorita pubblica non dispone delleinformazioni necessarie e la tecnologia tributaria disponibile non permette di pre-disporre strumenti adeguati. In realta, gli strumenti di redistribuzione utilizzati dalsettore pubblico hanno effetti distorsivi, generano cioe perdite di efficienza. Comeconseguenza, ogni intervento mirante a raggiungere una allocazione desiderabilesotto il profilo dell’equita comportera dei costi in termini di efficienza. Esiste uninevitabiletrade-off tra obiettivi di efficienza e obiettivi di equita.

ESERCIZI

Esercizio 1.1. La Figura 1.12 rappresenta una curva delle possibilita di utilita.Le utilita dei due individui (1 e 2) sono ordinali e non confrontabili.

Indicare se le seguenti affermazioni sono vere o false.

1. Nel punto A l’individuo 2 sta meglio dell’individuo 1.

V F

2. Per l’individuo2, A Â B.

V F

3. Per l’individuo2, B ∼ D.V F

4. Nel senso di ParetoA Â B.V F


-

6

0

u2

G

DE

F B

HA

CE

D

I

u1

Figura 1.12 Il criterio di Pareto.

5. Nel senso di ParetoC Â B ∼ F .

V F

6. Nel senso di Pareto C none confrontabile con I.

V F

7. Il punto A domina nel senso di Pareto tutti i punti compresi nell’area HGBFesclusi quelli sul tratto curvilineo HG.

V F

Esercizio 1.2. Individuare le situazioni efficienti nel senso di Pareto nella seguentetabella doveA,B, C, D, E, F sono distribuzioni di benessere (u) tra tre individui(1, 2, 3)

A B C D E F

u1 70 68 72 70 100 100

u2 65 70 45 60 68 60

u3 70 72 30 70 100 100

Esercizio 1.3. Si consideri un’economia con due beni,x edy, e due individui,A e B. Le preferenze diA e di B sono rappresentate dalle seguenti funzioni diutilit a:

18 CAPITOLO 1

UA (x, y) = log x14 + log y

UB (x, y) = log x + log y4

da cui si deduce che le utilita marginali degli individuiA e B, per i benix e y,sono, rispettivamente:

UMA (x) =14x

UMA (y) =1y

UMB (x) =1x

UMB (y) =4y

Si assuma inoltre che la curva di trasformazione dei benix ed y nell’economiaabbia inclinazione costante e uguale a uno. Si considerino le seguenti allocazionidei due benix edy tra i due individuiA e B (conxA indichiamo la quantita dibenex assegnata all’individuoA, ...):

α β γ

xA 3 2 2

yA 6 8 8

xB 3 2 4

yB 6 8 6

Quale tra le allocazioniα, β, γ puo essere un equilibrio concorrenziale?

Esercizio 1.4. Si consideri un’economia con due beni,x ed y, e due fattoriproduttivi, K e L. Le produttivita marginali dei fattoriK e L per i benix e y,sono, rispettivamente:

PMx (K) =1

3K

PMx (L) =2

3L

PMy (K) =2

3K

PMy (L) =1

3L

Attualmente,1/2 del capitale totale e1/2 del lavoro totalee allocato alla pro-duzione di ciascun bene. Si tratta di una soluzione efficiente? Nel caso in cui nonfosse efficiente, in quale direzione dovrebbero essere riallocati i fattori al fine diottenere un miglioramento paretiano?

Capitolo 2I fallimentidel mercato

Il primo teorema fondamentale dell’economia del benessere dice che un merca-to basato sulla proprieta privata, se in equilibrio concorrenziale, genera un’al-locazione delle risorse ottima nel senso di Pareto. Il secondo teorema dice cheun sistema decentralizzato di economia di mercato consente di raggiungere og-ni situazione Pareto ottimale che corrisponda alla desiderata distribuzione delbenessere.

Presi insieme i due teoremi costituiscono le fondamenta del pensiero eco-nomico liberale. Nel mondo che prefigurano, l’intervento pubblico riguarderebbe,solo ed eventualmente, la correzione delle conseguenze distributive dell’economiadi mercato e questa potrebbe avere luogo senza alcun costo in termini di efficien-za. Si tratta di unparadigmache occupa una posizione di assoluta centralita nellavoro degli economisti, l’interesse dei quali si rivolge, tuttavia, in larga prevalen-za proprio a osservare e studiare gli scostamenti del funzionamento concreto deisistemi economici rispetto al modello ideale dal quale prendono le mosse.

La teoria considera dunque, sotto il profilo positivo e normativo, da una parte,i casi in cui per il venire meno di una o piu condizioni necessarie per il primoteorema, si verifica unfallimentodel mercato; dall’altra, in un mondo in cui nonesistono strumenti di redistribuzione lump sum, indaga la relazione di trade off traequita ed efficienza.

Questo capitoloe dedicato ad una breve introduzione al primo aspetto. Trale numerose cause di fallimento del mercato se ne prendono qui in esame tre: lamancanza di concorrenza, le esternalita e i beni pubblici.

20 CAPITOLO 2

2.1 Mercati non concorrenziali

Se il mercato none in condizioni di concorrenza perfetta il surplus sociale nonemassimo. Ci si limita a considerare il caso del monopolio (Figura 2.1).

-

6p

qO

A

BF

E

Cmg

RmgD

C

pm

pc

qm qc

Figura 2.1 L’equilibrio del monopolista

Il monopolista produce la quantita qm (per la qualeRmg = Cmg) al prezzopm. Se questo mercato, anziche in monopolio, fosse stato in concorrenza perfetta,e quindi la curvaCmg fosse intesa come l’aggregazione del costo marginale dellesingole imprese concorrenziali (curva di offerta), la quantita prodotta sarebbe stataqc e il prezzopc. In monopolio si hanno pertanto quantita minori e prezzi piu altirispetto alla concorrenza. E’ gia intuibile come questo riduca il benessere dellacollettivita.

Il concetto puo essere precisato considerando le variazioni del surplus. Inconcorrenza perfetta il surpluse dato dall’areaCBD. In particolare l’areaCBpc

rappresenta il surplus del consumatore e l’areapcBD quello del produttore. Inmonopolio il surplus del consumatoreeCApm, con una riduzione pari apmABpc

rispetto al caso concorrenziale. Il surplus del produttoree invecepmAED. Egliha guadagnatopmAFpc e ha persoFBE: dal momento che la prima areaemaggiore della seconda, il surplus del produttore risulta maggiore rispetto allaconcorrenza.

Il surplus sociale complessivoe invece minore. In monopolioe infatti pariall’areaCAED: la perdita netta rispetto alla concorrenzae pertanto data dal tri-angoloABE. E’ questo il problema allocativo, che va tenuto distinto dall’aspettodistributivo dovuto al fatto che il surplus del produttore aumenta a danno del con-sumatore (il rettangolopmAFpc e surplus del consumatore di cui in monopolio siappropria il produttore).

I fallimentidel mercato 21

In presenza di un monopolio, vi sono due principali modi per affrontare ilproblema allocativo. La prima politicae quella di togliere di mano al privato l’im-presa monopolistica e costituire un’impresa pubblica (nazionalizzazione). C’estata una lunga fase, in tutti i paesi industriali, in cui sie fatto un ampio ricorsoalle nazionalizzazioni. L’idea alla base dell’impresa pubblicae che lo stato, o ingenerale l’ente pubblico, possa applicare una politica dei prezzi ottimale, perchee in grado di rinunciare alla massimizzazione del profitto a favore di quella delsurplus sociale.

Da alcuni decenni sie entrati in una fase completamente diversa rispetto aquella delle nazionalizzazioni. A partire dagli anni ’80 del ventesimo secolo, inmolti paesi industriali si sono restituite ai privati molte attivita (privatizzazioni)passate decenni prima in mano pubblica. In questo caso sie fatto ricorso allaseconda delle possibili risposte al problema dell’inefficienza allocativa del mo-nopolio, la regolamentazione dell’impresa privata. Con la regolamentazione, lostato instaura con l’impresa privata un rapporto contrattuale che, in linea di prin-cipio, puo essere congeniato in modo tale da indurlo alla scelta dei prezzi e dellequantita socialmente desiderabili.

2.2 Le esternalita

Nelle economie di mercato le scelte degli agenti economici, individui e imprese,si riflettono in variazioni dei prezzi, le quali inducono ulteriori modifiche nellescelte. Se il meccanismo di mercatoe di tipo concorrenziale e non ci sono imper-fezioni, il vettore dei prezzi di equilibrio riflette correttamente il valore marginaledei benefici e dei costi di tutti i beni scambiati.

Tuttavia, esistono relazioni di interdipendenza tra gli agenti che non si riflet-tono in variazioni dei prezzi e delle quali pertanto i singoli agenti non tengonoconto nel proprio calcolo di convenienza.

Esempio 2.1.La decisione di effettuare un viaggio usando l’automobile, dipen-dera dalla valutazione che il singolo compie dei costi e dei benefici che la propriascelta gli procura. Tra i costi egli terra conto di quanto paga di carburante, dellespese di ammortamento e di manutenzione del veicolo, del valore che attribuisceal tempo che il viaggio occupera. Non considerera invece i costi che impone aglialtri, ma per i quali il mercato non lo chiama a pagare: per esempio le emissioniinquinanti e il proprio contributo alla congestione del traffico, che alza il tempo delviaggio per tutti gli automobilisti. Si tratta di effetti esterni negativi o esternalitanegative.

Definizione 2.1 (Esternalita negative). Si hanno esternalta negative, quando lascelta di un agente economico comporta costi per altri agenti economici senzache egli debba pagare loro alcuna compensazione.

Esempio 2.2.Nel decidere se e in che misura procedere al restauro della fac-ciata di un edificio di interesse artistico nel centro storico di una citta, il pro-prietario confrontera il piacere e la soddisfazione che ne trarra con i costi che

22 CAPITOLO 2

dovra sostenere. Non considerera invece i benefici che procurera agli altri fruitoridel centro storico, ma per i quali il mercato non gli consente di chiedere uncorrispettivo. Si tratta di un effetto esterno positivo o esternalita ppositiva.

Definizione 2.2 (Esternalita positive). Si hanno esternalita positive quando lascelta di un agente economico comporta benefici per altri agenti economici senzache egli riceva alcuna compensazione.

Possiamo allora formulare una definzione generale di esternalita.

Definizione 2.3.Le esternalita sono fenomeni di interdipendenza tra le funzioni diutilit a e/o di produzione che, non realizzandosi attraverso lo scambio, non dannoluogo compensazioni monetarie tra gli agenti economici.

In altre parole, sie in presenza di una esternalita tutte le volte che le sceltedi un agente economico producono effetti sul benessere di almeno un altro agenteeconomico (e cioe ne influenzano l’utilita o il profitto) al di fuori del meccanismodi mercato.

2.2.1 Esternalita e allocazione efficiente delle risorse

In presenza di esternalita, l’allocazione delle risorse generata in equilibrio da unmeccanismo di mercato decentralizzato di tipo concorrenziale none efficiente insenso paretiano. Infatti, il sistema dei prezzi che regola il funzionamento delleeconomie di mercato concorrenziali non fornisce agli agenti economici segnalicorretti sui costi e sui benefici associati all’impiego delle risorse e, pertanto, nonconsente che il perseguimento della massimizzazione del benessere individualeda parte dei singoli agenti economici risulti, in equilibrio, nella massimizzazionedel benessere sociale.

Vediamo perche.Ogni agente economico razionale persegue la massimizzazione del proprio

benessere compiendo scelte che, al margine, assicurano l’uguaglianza tra beneficie costi privati (benefici e costi che per ogni agente economico sono associati allasua scelta individuale):

Bpmg = Cp

mg (2.1)

D’altra parte la massimizzazione del benessere sociale richiede che, al margine,i benefici sociali siano uguali ai costi sociali:

Bsmg = Cs

mg (2.2)

In assenza di esternalita vi e coincidenza tra benefici e costi marginali privatie benefici e costi marginali sociali

Bpmg = Bs

mg e Cpmg = Cs

mg (2.3)

e quindi:


Bpmg = Cp

mg ⇔ Bsmg = Cs

mg (2.4)

In presenza di esternalita, le scelte individuali producono benefici (costi) pri-vati e benefici (costi) esterni. I benefici e costi sociali sono quindi la somma dibenefici e cosi privati ed esterni:

Bsmg = Bp

mg + Besmg e Cs

mg = Cpmg + Ces

mg (2.5)

La massimizzazione del benessere sociale richiede quindi che sia verificatala seguente uguaglianza:

Bpmg + Bes

mg = Cpmg + Ces

mg ⇔ Bsmg = Cs

mg (2.6)

Per definizione, benefici e costi esterni non influenzano i termini in cui avvienelo scambio nei mercati concorrenziali e quindi in presenza di effetti esterni gliagenti economici razionali continuano a fare le loro scelte in modo da realizzareal margine solo l’uguaglianza tra benefici e costi privati. La mancata coincidenzatra benefici (costi) privati e benefici (costi) sociali ha come conseguenza:

Bpmg = Cp

mg 6= Bsmg = Cs

mg (2.7)

Tipicamente le scelte individuali producono effetti esterni in due situazioni:

• in presenza di fenomeni di consumo congiunto o produzione congiunta;• in presenza di risorse di proprieta comune.

2.2.2 Esternalita dovute a fenomeni di consumo congiunto o produzionecongiunta

Consideriamo il caso di una esternalita unilaterale positiva derivante da consumocongiunto.

Sia data un’economia nella quale si producono solo due beniy e x e ci sonosolo due individuii e j. I beni sono interamente consumati dai due individui e leloro preferenze sono definite nel modo seguente:

U i = U i(xi, yi) (2.8)

U j = U j(xj , xi, yj) (2.9)

xi e la quantita del benex consumata dall’individuo i ecc.

aU i

axi> 0 definisce l’effetto esterno positivo che il consumo del benex da parte

dell’individuo i produce sul benessere dij.La perdita di benessere associata all’equilibrio concorrenziale nel mercato

del benex e illustrata nella Figura 2.2.

24 CAPITOLO 2

Bmgxj

- -

66

xjxix∗iO O

Bmgxi

xi

p p

Bmgixi

+ Bmgjxi

Bmgixi

Bmgjxi A

BC

x∗j

Bmgjxj

Figura 2.2 Esternalita positiva derivante dal consumo congiunto dixi tra gli individui ie j.

La curva di domanda per il benex da parte dell’individuoi e la curva delbeneficio marginale privatoBp

mg(Bimg,xi

) chei deriva dal consumo dix. La curvadel beneficio marginale chej deriva dal consumo dix da parte dii e la curva delbeneficio marginale esternoBes

mg(Bjmg,xi) associata al consumo dix da parte dii.

Per ogni valore dixi la curva del beneficio marginale socialee la somma verticaledelle curveBp

mg eBesmg, che corrisponde aBi

mg,xi+ Bj

mg,xi .Il prezzop e il prezzo di equilibrio concorrenziale ede quindi pari al costo

costo marginale privato (Cpmg). Datop, i sceglie la quantita dix in corrispondenza

della qualeBpmg = p e quindiBpmg = Cp

mg. Scegliendo in questo modoi nontiene conto dei benefici esterni associati alla sua scelta e la quantita dix acquistatain equilibrio e inferiore a quella ottima dal punto di vista sociale chee invece laquantitax∗i > xi.

La perdita netta di benessere associata all’equilibrio competitivoe pari alladifferenza tra il beneficio totale ed il costo totale associati alle unita dixi = x∗i−xi

(l’areaABC).In presenza di esternalita positive, in equilibrio concorrenziale si scambiano

dunque quantita di beni inferiori rispetto a quelle ottime dal punto di vista sociale.Si puo mostrare che in presenza di esternalita negative, in equilibrio concor-

renziale si scambiano invece quantita di beni superiori rispetto a quelle ottime dalpunto di vista sociale.

2.2.3 Esternalita in presenza di risorse di proprieta comune

In presenza di una risorsa di proprieta comune, il costo dello sfruttamento daparte di ciascuno individuo si ripartisce su tutti: il risultatoe un uso eccessivo


della risorsa e il suo eventuale esaurimento. Il fenomeno fu portato all’attenzionedi un vasto pubblico da un articolo apparso sulla rivistaSciencenel 1978 [Hardin,1978], dal titolo molto significativo: “The Tragedy of the Commons“. Nell’artico-lo si faceva riferimento ai pascoli di proprieta comune. Poniamo che per ciascunpastore il beneficio di aggiungere un animale al suo gregge sia dato dal valoredi mercato dell’animale. Il costo invecee dato dalle risorse consumate dall’ani-male diviso per il numero - molto alto in caso di proprieta comuni - dei proprietaridel pascolo. Ogni pastoree cosı incentivato ad aggiungere animali senza limite. Ilrisultato sara la distruzione della proprieta comune. La parabola si applica a molterisorse ambientali.

2.2.4 Intervento pubblico e internalizzazione delle esternalita

L’operatore pubblico puo definire politiche d’intervento dirette ad internalizzarele esternalita eliminando la perdita di efficienza.

E’ possibile distinguere tra due principali modalita di intervento pubblico.

1. L’intervento pubblico disegnato per influenzare le scelte degli agenti economicimodificando le regole che definiscono il contesto istituzionale nell’ambito delquale si svolge lo scambio.

Esempio 2.3.L’assegnazione dei diritti di proprieta nei contesti dove l’ineffi-cienza si produce a causa della loro mancata definizione, oppure la fissazionedi limiti esogeni all’attivita di consumo o produzione degli agenti economici(regolamentazione)

2. L’intervento pubblico disegnato per influenzare le scelte degli agenti economi-ci attraverso strumenti che incidono sulla formazione dei prezzi di equilibrio,come le imposte e i sussidi.1

2.3 I beni pubblici

2.3.1 Rivalita ed escludibilita

Possiamo classificare i beni secondo due caratteristiche:la rivalit a e l’escludi-bilit a.

La rivalit a

Definizione 2.4. La rivalita e data dalla misura in cui il consumo del bene daparte di un individuo riduce la quantita di cui altri possono disporre.

1Per l’uso delle imposte come strumento correttivo delle esternalita si rinvia lo studente aLongobardi [2005], Cap.10.

26 CAPITOLO 2

Si ha rivalita piena quando il consumo di un individuo riduce dello stessoammontare quanto gli altri possono consumare. Si ha non rivalita piena (rivalitanulla) quando la quantita che altri possono consumare non si riduce affatto. Sihanno, infine, casi intermedi (rivalita non piena) quando la quantita che altri pos-sono consumare di riduce, ma in misura inferiore a quanto consumato dal primoindividuo.

Esempio 2.4.Se nell’aula un posto a sederee occupato da uno studente, non puoessere occupato da un altro: la rivalita e piena.

Esempio 2.5. Il fatto che uno studente ascolti il docente che parla, non riduceaffatto la possibilita che altri lo ascoltino: la rivalita e nulla.

Frequentemente il grado di rivalita dipende dal livello della domanda rispettoalla capacita di soddisfarla, cioe dal livello di congestione.

Esempio 2.6.Se l’aulae molto affollata, la presenza di un ulteriore studente puoridurre le capacita di ascolto degli altri: la misura della rivalita dipende dal gradodi congestione.

L’escludibilit a

Definizione 2.5. L’escludibilita e la possibilita di evitare che una volta che ilbenee reso disponibile ad un individuo, ogni altro individuo possa liberamenteaccedere al consumo.

Esempio 2.7.La lezionee un bene escludibile perche si puo condizionare l’ac-cesso all’aula, per esempio al pagamento di un corrispettivo. Invece una volta chelo studentee in aula non si puo impedirgli di ascoltare: la lezione diventa nonescludibile.

L’escludibilita dipende dalla tecnologia ede pertanto variabile nel tempo. Letrasmissioni televisive sono oggi escludibili, come ben sappiamo, ma non lo eranoqualche decina di anni fa, quando erano trasmesse solo via etere e non esistevanosistemi per criptare il segnale.

2.3.2 Beni privati, beni pubblici, beni misti

Definizione 2.6.Il bene privato puroe (pienamente) rivale ed escludibile. Il benepubblico puroe (pienamente) non rivale e non escludibile.

Il mercato puo fornire beni privati perche, in quanto escludibili, possonoessere venduti. Non cosı i beni pubblici: nessuna impresa privata produrra unbene per la cui fornitura, non essendo escludibile, non puo essere chiesto uncorrispettivo.

Nel caso dei beni pubblici il razionamento del consumo tramite il sistema deiprezzi non soloe impossibile ma sarebbe anche inefficiente.


-

66

- -

individuo j

Bmg

equilibrio di mercato

xi xj xi + xj

Bimg Bj

mgindividui i e j6

6

-

Bmg

o

Bimg = Bj

mg = Cmg

oo

p∗

Cmg

individuo i

o

xi + xjq∗

Figura 2.3 Il bene privato: costruzione della curva di domanda ed equilibrio di mercato

2.3.3 La quantita ottima di bene pubblico

La figura 2.3 illustra la costruzione della domanda di mercato nel caso di un beneprivato. Si suppone un’economia formata da due soli individui. A ciascun prez-zo, ognuno dei due individui sceglie la quantita alla quale il prezzoe eguale albeneficio marginale. La quantita complessiva domandatae data, ad ogni determi-nato prezzo, dalla somma delle quantita scelte dai due individui (somma orizzon-tale). In equilibrio concorrenziale si ha eguaglianza tra il beneficio marginale (diciascuno dei due) e il costo marginale.

La figura 2.4 illustra invece la costruzione della domanda di mercato nel ca-so di un bene pubblico. Ogni quantita di bene pubblico (G) e a disposizione deidue individui nella stessa misura (per quale proprieta del bene pubblico?). Il ben-eficio totalee dato, ad ogni determinata quantita, dalla somma dei benefici deidue individui (somma verticale). La quantita ottima di bene pubblicoe quella incorrispondenza della quale il costo marginalee eguale alla somma dei benefici2.Generalizzando adn individui:

2Confrontando la 2.4 con la 2.2 lo studente noti come i beni pubblici possano essere consideratiuna forma estrema di esternalita reciproca derivante dal consumo congiunto.

28 CAPITOLO 2

-

6

-

-

GBi

mg + Bjmg

G

individuo j

G

-

Bimg

individui i e j

o

6

Bjmg

6

individuo i

Bimg + Bj

mg

o

Cmg

G

o

G∗

o

6

Bimg + Bj

mg = Cmg

la quantita ottima

Figura 2.4 Il bene pubblico: costruzione della curva di domanda e determinazione dellaquantita ottima

B1mg + B2

mg + ... + Bnmg =

n∑

i=1

Bimg = Cmg

Il problema del free rider Ogni soggetto razionale sa che nel caso un bene pub-blico venga fornito, egli ne puo godere senza limitazioni, perche non c’e rivalitanel consumo, e il suo accesso al bene non puo essere subordinato al pagamentodi un corrispettivo, perche non c’e escludibilita. Egli non avra alcun interesse arivelare le proprie preferenze per il bene pubblico: ognuno cerchera di non pagaree fare in modo che paghino gli altri. Questo comportamento, che viene chiam-


ato delfree rider, produce una produzione sub-ottimale o addirittura la mancataproduzione del bene pubblico.

ESERCIZI

Esercizio 2.1. Un monopolista fronteggia una curva di domanda inversa

P = 14−Q (2.10)

ed ha un costo marginaleCmg = 2 + 2Q (2.11)

Determinare la perdita secca di efficienza imputabile al monopolio.

Esercizio 2.2. L’individuo a ha la seguente curva di beneficio marginale rispet-to al proprio consumo di un benex:

Bamg = 12− 1.5xa (2.12)

Un individuob trae beneficio dal consumo dix da parte dia secondo la seguentefunzione:

Bbmg = 4− 0.5xa (2.13)

Supposto che il prezzo di mercato del bene sia pari a6, determinare:

1. la quantita dix scelta daa;2. la quantita dix socialmente ottima;3. la perdita di benessere imputabile all’esternalita.

Esercizio 2.3. Le curve di disponibilita a pagare di due individui (a eb) per unbene publico siano

Bamg = 3− 0.75Q (2.14)

Bbmg = 7− 1.75Q (2.15)

Il costo marginale di produzione del bene pubblico sia

Cmg = 5 (2.16)

Determinare

1. la quantita ottimale di bene pubblico;2. il surplus totale in corrispondenza della quantita ottimale.

30

Capitolo 3Scelta sociale

3.1 La massimizzazione del benessere sociale

Ciascun punto sulla frontiera delle utilita comporta una diversa distribuzionedel benessere. Il problemae quello della scelta dell’ottimo tra gli ottimi.

Se si assume di poter attribuire alla collettivita un ordinamento di preferenze suidiversi stati del mondo e se tale ordinamentoe continuo e transitivo, esso puoessere rappresentato da una funzione (la funzione del benessere sociale, FBS),che svolge lo stesso ruolo della funzione di utilita nella rappresentazione degliordinamenti di preferenza individuali. Dalla FBS puo essere derivata una mappadi curve di indifferenza sociali: a ogni curvae associato il medesimo livello dibenessere sociale.

L’ottima scelta socialee data dalla massimizzazione del benessere sociale,soggetta al vincolo della frontiera delle utilita: il punto di tangenza tra la frontieradelle utilita e una curva di indifferenza sociale (Figura 3.1).

3.2 Le funzioni del benessere sociale

Una formulazione molto generale di FBSe basata su seguenti tre giudizi di valore“deboli”, vale a dire sui quali si ritiene possa esservi un ampio accordo: wel-farismo, individualismo (o “sovranita” del consumatore), principio (debole) delPareto.

1. Welfarismo.Gli argomenti della FBS sono le utilita dei singoli individui:

W = f(u1, u2, u3, . . . , un) (3.1)

doveW rappresenta il benessere sociale in una collettivita di n individui.

32 CAPITOLO 3

-

6

0 u1

u2

W ∗

Figura 3.1 Il problema della massimizzazione del benessere sociale. Il punto di massimobenessere sociale,W ∗, e dato dalla tangenza tra la frontiera delle utilita e una curva diindifferenza sociale.

Questa ipotesi, per quanto sia ancora largamente dominante,e stata messa indiscussione dagli sviluppi del dibattito teorico dell’ultimo ventennio. Il puntodi partenzae stato un saggio di Sen [1977]. Sen notava come il welfarismo malsi conciliasse con alcuni valori largamente accolti nelle societa contemporanee.Il principio di liberta, per esempio, non poggia su valutazioni di benessere, masul riconoscimento che certe scelte vanno lasciate integralmente neldominiodei singoli individui. Anche il principio di giustizia distributiva, qualora vengadefinito in termini di caratteristiche diverse dal benessere (reddito, ricchezza,livello di istruzione, opportunita’ di scelta, trattamento di fronte alla legge ecc.)non trova spazio in un approccio welfarista.

2. Individualismo o sovranita del consumatoreL’utilit a dei singoli individuie valutata in base al giudizio degli interessati.Un approccio alternativoe costituito dal paternalismo, con il quale un giudizio“collettivo” si sostituisce a quello individuale.Nelle societa moderne, politiche orientate da criteri paternalistici sembranoampiamente diffuse: si impongono divieti e obblighi, si incentivano determi-nati comportamenti, se ne sanzionano altri. Si pensi, per limitarsi a qualcheesempio, alla tassazione dei consumi nocivi (fumo, alcol); agli obblighi im-posti in materia di assicurazione, di previdenza, di livelli minimi di istruzione;a quelli in campo sanitario, come l’obbligo di vaccinazione. Questa puo tuttaviarisultare una conclusione affrettata, perche quasi sempre queste misure possonoessere anche motivate, o quanto meno razionalizzate a posteriori, dalla presenza

Scelta sociale 33

6

u1

u2

0-

AII

I

D

B

C

Figura 3.2 Curve di indifferenza sociali strettamente convesse implicano avversione neiconfronti delle diseguaglianza.

di esternalita, che si hanno quando su un agente non ricadono per intero i bene-fici e i costi delle proprie scelte, i quali sono in parte scaricati su altri, estraneia tali scelte.

3. Principio debole del ParetoIl benessere sociale cresce o al piu rimane costante quando aumenta una soladelle utilita individuali, ferme restando le altre.In simboli:

∂W/∂ui ≥ 0, ∀i ∈ {1, . . . , n} (3.2)

Una FBS che rispetti le tre proprieta finora introdottee importante come schemaanalitico, ma piuttosto povera di indicazioni concrete di politica economica. Inparticolare, mancando completamente considerazioni di carattere distributivo, unaFBS di questo tipoe del tutto inadeguata a risolvere i problemi ditrade-off traefficienza ed equita. Per poter trattare aspetti distributivi,e necessario introdurreun quarto giudizio di valore:

4 La disuguaglianza none un “bene”.Se si riduce il grado di disuguaglianza nella distribuzione delle utilita individu-ali, il benessere sociale non diminuisce (cresce o, al piu, rimane costante).In termini analitici, questo significa imporre la condizione che la FBS sia con-cava nelle utilita individuali:

∂2W/∂u2i ≤ 0, ∀i ∈ {1, . . . , n} (3.3)

34 CAPITOLO 3

D

u2

W1

W3

u10

W2

W4

-

6

A

B

C

Figura 3.3 Curve di indifferenza sociali lineari implicano neutralita rispetto alladisuguaglianza.

Quando∂2W/∂u2i < 0 (FBS strettamente concava, curve di indifferenza sociali

strettamente convesse), si haavversione alla disuguaglianza.Quando invece∂2W/∂u2

i = 0 (FBS lineare, curve di indifferenza sociali lin-eari) si haneutralita rispetto alla disuguaglianza.Nella Figura 3.2, date le due curve di indifferenza strettamente convesseI eII, il punto C, che ha una distribuzione del benessere piu equilibrata, risultasocialmente preferito al puntoA (e al puntoB), pur essendo eguale utilita com-plessiva. Di converso, il puntoD, pur rappresentando una somma delle utilitaminore rispetto ai puntiA eB, risulta loro indifferente: la minore disuguaglian-za “compensa”, nella valutazione sociale, il minore benessere aggregato. Mag-giore il grado di avversione alla disuguaglianza, maggiore sara la convessitadelle curve di indifferenza.Nel caso di neutralita rispetto alla disuguaglianza, invece, l’ordinamento dipreferenze sociali non risulta influenzato dal grado di disuguaglianza nella di-stribuzione delle utilita. Nella Figura 3.3 sulla curva di indifferenza di indiceW4, per esempio, nel puntoA, che rappresenta una distribuzione che favoriscein termini relativi l’individuo2, il benessere socialee eguale a quella del puntoB, chee invece piu favorevole all’individuo1, e a quella del puntoC dove ladistribuzione del benesseree piu equilibrata.

Una FBS la quale rispetti le 4 proprieta finora introdotte riflettera sia consider-azioni di carattere allocativo (attraverso il principio di Pareto) sia considerazionidi carattere distributivo (attraverso il principio di avversione alla disuguaglianza).

Scelta sociale 35

u2

a

FBS utilitarista

FBS rawlsiana

6-

u1

b

e

d

c

f

A

-

FBS con le quattro proprieta′-

-

Figura 3.4 Le areeE e F , compresi i contorni, compongono lo spazio delle curve diindifferenza generate da FBS che rispettano le quattro proprieta.

La classe delle FBS che rispettano le quattro proprieta Guardando alla Figu-ra 3.4 possiamo delimitare lo spazio delle curve di indifferenza sociale generateda FBS che rispettano le quattro proprieta.

Si consideri il puntoA posto sulla bisettrice. Esso rappresenta lasoluzioneegualitaria: i due individui godono dello stesso livello di benessere.

Un curva di indifferenza sociale passante perA non potra attraversare le areea e b, perche, se cosı fosse, non si rispetterebbe il principio debole di Pareto.D’altra parte, l’ipotesi di avversione/neutralita alla disuguaglianza esclude cheuna curva di indifferenza passante perA possa tagliare le areec e d (perche inquesto caso si tratterebbe di una curva di indifferenza strettamente concava).

Lo spazio delle curve di indifferenza sociale, passanti perA, che rispettanoinsieme sia il principio debole di Pareto sia l’ipotesi di avversione/neutralita alladisuguaglianza sara allora quello composto dall’unione delle areee ef , compresii contorni.I contorni di tale spazio assumono un significato ben preciso: il contorno inferiore(il segmentoAB) rappresenta infatti una curva di indifferenza sociale derivata dauna FBS utilitarista; il contorno superiore (laL che poggia nel puntoA) una curvaderivata da una FBS rawlsiana. Studiamo allora queste due ipotesi.

3.2.1 La funzione del benessere sociale utilitarista

Il benessere socialee dato dalla somma delle utilita individuali:

W = u1 + u2 + u3 + · · ·+ un =∑n

i=1 ui

36 CAPITOLO 3

6

-

6

-Y

uT umg

Y

Figura 3.5 Una funzione di utilita totale del reddito strettamente concava (parte sinistradella figura) da luogo a una funzione di utilita marginale del reddito decrescente (partedestra della figura).

Requisiti informativi:

1. Misurabilita cardinale delle utilita individuali.2. Confrontabilita degli stati di benessere individuali.

A rigoree sufficiente un tipo di confrontabilitaparziale, chiamataconfrontabilitaper unita: devono essere confrontabili le differenze tra le utilita degli individuiin diversi stati del mondo, mentre none necessario il confronto tra i livelli as-soluti di utilita. Per esempio, dati due stati del mondo,α e β, e due individui,poniamo che:

u1(α) = 6 ; u1(β) = 2 e u2(α) = 2 ; u2(β) = 5

Per ordinare, nel senso dell’utilitarismo, lo statoα come superiore allo statoβ(α Âu β) e sufficiente sapere che:

[u1(α)− u1(β)] = 4 > [u2(β)− u2(α)] = 3

senza dover confrontare i livelli assoluti delle utilita dei due individui (dire,per esempio, che l’individuo1 nello statoα “sta meglio” dell’individuo2 nellostatoα o nello statoβ).Nel seguito, in relazione all’utilitarismo, assumero tuttavia confrontabilita piena.

Le curve di indifferenza sociali derivate da una funzione del benessere utilitaristasaranno lineari e inclinate negativamente a45o (come quelle rappresentate nellaFigura 3.3): lungo ogni curva la somma delle utilita e costante.

Si tratta dunque di neutralita rispetto alla disuguaglianza. Ciononostante l’u-tilitarismo, come filosofia politica, ha svolto storicamente un ruolo molto impor-tante nell’influenzare in senso egualitario le politiche sociali.

Scelta sociale 37

0

C

D

umg

E

A

FGHI-

6

B

Y

Figura 3.6 Con una FBS utilitarista, il benessere sociale cresce se si trasferisce un redditopari aFG = IH dall’individuo piu ricco all’individuo piu povero.

In effetti, la neutralita rispetto alla disuguaglianza nelle utilita non implicaneutralita rispetto alla disuguaglianza nei redditi (o nella ricchezza). Occorrespecificare il legame tra reddito e utilita individuale. Se si assume che l’utilitamarginale del reddito sia decrescente al crescere del reddito (Figura 3.5), la neu-tralita rispetto alla disuguaglianza nelle utilita implica avversione rispetto alladisuguaglianza nei redditi.

Nella Figura 3.6 si ipotizzano due individui (Ricco e Povero) con la stessafunzione di utilita marginale del reddito. Nella situazione iniziale Ricco ha unredditoOF , Povero un redditoOI. Se con un’imposta si sottrae a Ricco unaquantita di reddito pari aGF e la si trasferisce a Povero con un sussidio(IH = GF ), l’utilit a totale del primo si riduce dell’areaDEFG, mentre l’utilitatotale del secondo cresce dell’areaBCHI: la somma delle utilita aumenta.

La redistribuzione di risorse dai “ricchi” ai “poveri” fara aumentare il be-nessere sociale, nel senso dell’utilitarismo, fino a che tutti non avranno lo stessoreddito (perfetta eguaglianza nella ripartizione delle risorse).

Il risultato puo essere generalizzato rimuovendo l’ipotesi che gli individuiabbiano la stessa funzione di utilita marginale.

Invece, come si vedra meglio, esso dipende crucialmente dall’assunzione,implicita nell’esempio grafico, che la redistribuzione non abbia un costo (nonriduca cioe l’ammontare complessivo delle risorse da distribuire).

38 CAPITOLO 3

3.2.2 La funzione del benessere sociale rawlsiana

Un importante criterio di benesseree ispirato alla teoria della giustizia formu-lata da Rawls [1971], uno fra i maggiori filosofi politici contemporanei. Rawlsriprende la tradizione della filosofia politica contrattualista e propone una vi-sione della giustizia come equita, in base alla quale le istituzioni fondamentalidi una una societa sono eque se e solo se possono essere spiegate come il fruttodi un accordo (contratto sociale) firmato dai cittadini in un ipotetico stato di natu-ra. Con questo impianto metodologico, Rawls propone una costruzione teoricaampia ed articolata in cui trovano armoniosa composizione principi diversi, trai quali: a) l’uguaglianza dei cittadini nei diritti e nelle liberta civili e politiche;b) l’uguaglianza di opportunita, intesa come assenza di discriminazioni ingiustifi-cate nell’accesso ai ruoli e alle carriere nella societa; c) una distribuzione dellerisorse in base alla quale il benessere sociale aumenta se viene migliorata (max)la posizione di chi sta peggio (min).

Quest’ultimo criterio distributivo, se interpretato entro l’impostazione wel-farista da noi finora seguita, permette un confronto tra la teoria rawlsiana e i cri-teri di benessere utilitaristico e egualitario. Esprimendo il criterio del maximinin termini di utilita, la funzione del benessere socialerawlsianarisulta essere deltipo:

W = min(u1, . . . , un)

Si notino i requisiti informativi sulle utilita:

1. misurabilita ordinale;2. confrontabilita dei livelli di utilita individuali.

La funzione di Rawls combina aspetti tipicamente egualitari con aspetti utilitaristi-ci e liberali. Il principio egualitario spiega la priorita assegnata al piu povero nellavalutazione del benessere di una societa; in comune con l’utilitarismoe invecela completa indifferenza del criterio rawlsiano rispetto alle disuguaglianze cheinteressano la popolazione, una volta che si sia tutelato il benessere dell’individuopiu povero. Per cogliere questi aspetti, si considerino tre distribuzioni di benessere(A,B, C) tra due individui (i, j):

A B C

i 10 12 9

j 10 20 100

L’allocazione A e quella preferita secondo l’egualitarismo (e infatti l’unica aprevedere una eguale distribuzione delle utilita); l’allocazione Ce quella preferitasecondo l’utilitarismo; la funzione del benessere sociale di Rawls invecee mas-simizzata dalla allocazione B, in cui il piu povero ha il piu alto indice di utilita. Sinoti che la distribuzioneB prevede una minore somma delle utilita rispetto a C,ma anche un maggior grado di disuguaglianza rispetto adA: il criterio di Rawls

Scelta sociale 39

u2

IV

III

I

u1

-

6

BAII

Figura 3.7 Una mappa di curve di indifferenza generata da una FBS rawlsiana. Nelpunto A sulla curva di indifferenza di indice II l’individuo2 e in una posizione peggiorerispetto all’individuo1. Il movimento daA a B, che non produce alcun miglioramentoper l’individuo2, non incrementa il benessere sociale.

corregge l’assoluta indifferenza rispetto alle questioni distributive, propria dei cri-teri puramente aggregativi come l’utilitarismo, non in nome di un maggior gradodi uguaglianza, ma con una attenzione alle fasce piu povere nella distribuzione.Sotto un profilo prescrittivo il criterio di Rawls quindi non giustifica politiche diredistribuzione orientate alla riduzione delle disuguaglianze; piuttosto, fornisceun fondamento teorico alle politiche volte ad aumentare il benessere di chi stapeggio: le politiche di lotta alla poverta e le politiche di inclusione sociale.Le curve di indifferenza rawlsiane rappresentano la massima avversione rispettoalla diseguaglianza (Figura 3.7).

3.3 Confronti tra criterio del Pareto, FBS utilitarista, FBSrawlsiana

Si consideri la Tabella 3.1:

• con il criterio del Pareto A, B e C sono non confrontabili (sono tutti punti diottimo);

• con una FBS utilitarista:[A ∼ B ∼ C]U ;• con una FBS rawlsiana:[C Â A ∼ B]R.

40 CAPITOLO 3

Tabella 3.1 In colonna 3 stati del mondo, in riga gli indici di utilita di 3 individui.

A B C

u1 60 90 90

u2 80 90 70

u3 100 60 80∑31 ui 240 240 240

In generale, siaZ l’insieme dei possibili stati del mondo e sianoP,U ,R gli in-siemi dei miglioramenti, rispettivamente, nel senso di Pareto, nel senso dell’utili-tarismo e nel senso di Rawls.Abbiamo che:

1. La relazione di dominanza nel senso di Pareto implica una relazione di domi-nanza nel senso dell’utilitarismo, ma non vale il contrario.

∀A, B ∈ Z, A ÂP B ⇒ A ÂU B e A ÂU B 6⇒ A ÂP B

Quindi:P ⊂ U2. La relazione di dominanza nel senso di Pareto non implica una relazione di

dominanza nel senso di Rawls, ne vale il contrario. I due insiemiP eR nonsono tuttavia disgiunti.

∀A, B ∈ Z, A ÂP B 6⇒ A ÂR B e A ÂR B 6⇒ A ÂP B

P ∩R 6= ∅

U

PR

Figura 3.8 Gli insiemi dei miglioramenti nel senso di Pareto, nel senso dell’utilitarismoe nel senso di Rawls.

Scelta sociale 41

3. La relazione di dominanza nel senso dell’utilitarismo non implica una relazionedi dominanza nel senso di Rawls, ne vale il contrario. I due insiemiU eR nonsono tuttavia disgiunti.

∀A,B ∈ Z, A ÂU B 6⇒ A ÂR B e A ÂR B 6⇒ A ÂU B

U ∩R 6= ∅

Si veda anche la Figura 3.8.

3.4 Confronti tra utilitarismo, rawlsismo, egualitarismoin assenza e in presenza di trade-off equita-efficienza

Si e visto nella Sezione 3.2.1 che, nell’ipotesi di utilita marginale del reddito de-crescente, la soluzione utilitarista coincide con la soluzione egualitaria. Il risultatodipende dall’assunzione che la redistribuzione non abbia costi, vale a dire che nonvi sia trade-off equita/efficienza. In questa sezione si mostra come i risultati delconfronto tra utilitarismo, rawlsismo ed egualitarismo dipendano dalla presenzadel trade-off e dalla sua intensita.

Si considera una collettivita composta da due individui,1 e 2, con redditiy1

ey2, cui sono associate le utilitau1 eu2.

6

-

6

-

R′

y2

u1 = u2

y10

y∗2

y1

u2

u∗2

u∗1 u1y∗1 u1

y2

R

y1 = y2

y∗1 = y∗2u2

u∗1 = u∗2

Figura 3.9 Il caso della redistribuzione senza costi con utilita marginale costante. Laparte sinistra della figura rappresentala curva delle opportunita, la parte destra lacurvadelle possibilita di utilit a.

42 CAPITOLO 3

3.4.1 Primo caso: redistribuzione senza costi e utilita marginaledel reddito costante

Nella parte destra della Figura 3.9e rappresentata unacurva delle opportunita:essa esprime il reddito massimo che puo ottenere l’individuo2 per ogni dato li-vello di reddito dell’individuo 1. Se la curva delle opportunita e lineare e inclinataa45o, la somma dei redditi dei due individuie costante:

y1 + y2 = y1 = y2

La ricchezza complessiva risulta dunque indipendente dalla sua distribuzione tra idue individui: la redistribuzione non ha costi.

Se si assume che i due individui abbiano una medesima funzione lineare diutilit a del reddito la curva delle possibilita di utilita avra la stessa forma: essaerappresentata nella parte destra della Figura 3.9.

In questo caso la soluzione utilitaristae indeterminata perche corrisponde adogni punto lungo la curva delle possibilita di utilita. Il criterio rawlsiano prescriveuna eguale ripartizione della ricchezza (y∗1 = y∗2) e del benessere (u∗1 = u∗2).

3.4.2 Secondo caso: redistribuzione senza costi e utilita marginaledel reddito decrescente

Se si fa l’ipotesi che l’utilita marginale del reddito sia decrescente - mantenendofermo che si tratti della medesima funzione per i due individui - la curva delle pos-sibilita di utilita risulta strettamente concava e simmetrica rispetto alla bisettrice.Essae rappresentata nella parte destra della Figura 3.10.

6

-

6

-y1

y2

y∗2

u2

0

y∗1 = y∗2

u1

u2

u∗2

y∗1 u1

U = R

u1 = u2

u∗1

y1 = y2

U ′ = R′

y2

u∗1 = u∗2

y1

Figura 3.10 Il caso della redistribuzione senza costi con utilita marginale decrescente.La FBS utilitarista e la rawlsiana producono entrambe la soluzione egualitaria.

Scelta sociale 43

Si ha allora che la soluzione utilitarsita e la soluzione rawlsiana coincidononel prescrivere una eguale ripartizione della ricchezza e del benessere.

Si noti che i risultati dei casi 1 e 2 sono di portata generale. Per quanto riguar-da la FBS rawlsiana si puo, in particolare, formulare la seguente proposizione.

Proposizione 3.1.Una funzione del benessere sociale rawlsiana da sempre luo-go a una distribuzione perfettamente egualitaria del benessere quando la sommadelle utilita e costante.

3.4.3 Terzo caso: redistribuzione con costi e utilita marginale del red-dito decrescente

Il caso di redistribuzione con costie rappresentato nella Figura 3.11: lungo lacurva delle opportunita la somma dei redditi decresce man mano che ci si spostadall’intercettay2 all’intercettay1.

In questo caso solo con una FBS rawlsiana si ha la soluzione egualitaria nel-la distribuzione delle risorse(y∗1(R) = y∗2(R)) e del benessere(u∗1(R) = u∗2(R)).Con una FBS utilitarista la ripartizione delle risorse(y∗1(U) < y∗2(U)) e del be-nessere(u∗1(U) < u∗2(U)) favorisce, in termini relativi, l’individuo2, chee piu“produttivo”.

3.4.4 Quarto caso: redistribuzione con costi molto elevati e utilitamarginale del reddito decrescente

Anche una FBS rawlsiana non prescrivera una eguale ripartizione del benesserequalora i costi della redistribuzione siano talmente elevati che, oltre un certo li-

-

6

-y1

u2u∗2(U)

u∗2(R)R

u∗1(U) u∗1(R) u1

y2

u∗1(R) = u∗2(R)

y26

U ′

y∗1(U)

y∗2(U)

y1 < y2

y1

u1 < u2

y∗1(R) = y∗2(R)

y∗2(R)

u2

u1

R′

u∗1(U) < u∗2(U)y∗1(U) < y∗2(U)

y∗1(R)

UUUU

Figura 3.11 Il caso della redistribuzione con costi e con utilita marginale decrescente.Una FBS utilitarista e una rawlsiana non danno la stessa soluzione.

44 CAPITOLO 3

-

6

0

U

E

R

u2

u1

Figura 3.12 Anche nella soluzione rawlsiana non si ha una eguale ripartizione delbenessere tra i due individui.

mite, si riduca anche l’utilita dell’individuo a favore del quale sono indirizzate lepolitiche redistributive. Il casoe rappresentato nella Figura 3.12 dove il punto E,di intersezione tra la curva delle possibilita di utilita e la bisettrice, rappresenta lasoluzione egualitaria.

ESERCIZI

Esercizio 3.1. Scrivere la funzione del benessere sociale utilitarista e quellaispirata a Rawls. Ordinare le seguenti situazioni secondo l’una e secondo l’altra.

A B C D

u1 70 68 72 72

u2 50 55 55 50

u3 65 100 60 65

Esercizio 3.2. Indicare se le seguenti affermazioni sono vere o false.

1. Se una situazione domina un’altra sia nel senso di Pareto sia nel senso di Rawlsla domina anche da un punto di vista utilitarista.

Scelta sociale 45

V F

2. La funzione del benessere sociale rawlsianae del tutto insensibile al trade-offequita/efficienza

V F

3. La funzione del benessere rawlsiana implica, come quella utilitarista, la com-parabilita e la misurabilita in senso cardinale.

V F

Esercizio 3.3. Si consideri la seguente Frontiera delle utilita:

UA + 2UB = 10 (3.4)

Si individui graficamente l’allocazione ottimale (o le allocazioni ottimali) in baseai seguenti criteri:

1. Pareto2. Utilitarismo3. maximina la Rawls4. Egualitarismo

46

Capitolo 4Analisi della disuguaglianza

Questo capitoloe dedicato al tema delle disuguaglianze economiche e, in modoparticolare, al problema della misurazione della disuguaglianza in una di-

stribuzione delle risorse.La disuguaglianza tra le posizioni economiche dei diversi individui costitui-

sce un elemento di valutazione che, insieme al giudizio di efficienza, permettedi apprezzare la desiderabilita sociale di un dato assetto dell’economia. Oltrea essere intrinsecamente rilevante per la valutazione sociale, l’analisi della di-suguaglianzae necessaria alla comprensione di fenomeni sociali diversi, a essalegati da relazioni di tipo causale. Per esempio, ci si interroga sulla relazioneesistente tra grado di disuguaglianza e potenzialita di crescita di un’economia;tra grado di disuguaglianza (o “polarizzazione”) nella delle risorse e possibilitadi tensioni e conflitti sociali; viceversa, ci si domanda quale effetto abbia avuto laglobalizzazione dell’economia mondiale sul grado di disuguaglianza tra i paesi delmondo e all’interno dei singoli paesi. In tutti questi casi, lo scienziato sociale ha lanecessita di effettuare confronti tra distribuzioni sulla base della disuguaglianza:per confrontare le economie di un intervento pubblico sul grado di disuguaglianzain un paese, per studiare l’evolversi nel tempo della disuguaglianza in una dataeconomia.

Per quanto le disuguaglianze economiche tra gli individui possano manife-starsi nelle forme piu varie - disuguaglianze nel grado di istruzione, nel tipo dioccupazione, nel livello di reddito e di patrimonio, nella capacita di consumo -in questa sede si assumera che tutte queste dimensioni siano rappresentabili daun’unica variabile: il reddito. Il problema delle disuguaglianze economiche saradunque ridotto a un problema di tipo unidimensionale: si trattera di effettuaremisurazioni e confronti di disuguaglianza e di benessere fra diverse distribuzionidi reddito. Per semplicita, si limitera ulteriormente l’analisi al confronto di distri-buzioni con lo stesso numero di individui. In generale, date due distribuzioni diredditiX eY , si tratta di stabilire se la disuguaglianza inX sia maggiore, ugualeo minore della disuguaglianza inY.

48 CAPITOLO 4

La maniera forse piu elementare per valutare la disuguaglianza in una di-stribuzione consiste nel confrontare il reddito dell’individuo piu povero con ilreddito dell’individuo piu ricco. Una semplice generalizzazione consiste nel con-frontare, piuttosto che l’individuo piu povero con quello piu ricco, il gruppo diindividui piu poveri con il gruppo di individui piu ricchi. Guardando per esempioall’economia mondiale nel suo complesso, si osserva che nel 1960 il 20% piu ric-co della popolazione mondiale possedeva il 70,2% del reddito del mondo, mentreil 20% piu povero toccava circa il 2,3%: il rapporto tra il gruppo piu ricco e quellopiu povero era quindi di 30 a 1. Dopo circa 40 anni (nel 1998), il primo gruppoe giunto a disporre dell’86% delle risorse, mentre il 20% piu poveroe sceso al-l’uno per cento. Il rapporto tra i piu ricchi e i piu poverie passato a 86 contro 1.Differenze ancora piu rilevanti si osservano all’interno di singoli paesi.

Per quanto efficace e facilmente comprensibile, questo indicatore non ci dicenulla sulle posizioni intermedie. Sarebbe auspicabile utilizzare una misura cheguardasse a tutta la distribuzione, e non solo ai valori estremi.

Una modalita largamente utilizzata per rappresentare l’intera distribuzionedei redditi e per confrontare distribuzioni alternative sulla base della disuguaglian-zae basata sulla curva di Lorenz.

4.1 Ordinamenti parziali di distribuzioni del reddito

4.1.1 La curva di Lorenz

Si consideri una generica distribuzioneX = (x1, x2, . . . , xN ) in cui i redditiposseduti daN individui siano stati ordinati in maniera crescente:

x1 ≤ x2 . . . ≤ xN

La curva di Lorenz della distribuzioneX, LX , indica, per ogni percentuale cu-mulata di individui piu poveri, la percentuale di reddito complessivo da questiposseduta.E quindi il luogo dei punti di coordinate:

(pi,

1T

i∑

k=1

xk

)

dove:i = 1, . . . , N ;pi = i

N ;

T =∑N

k=1 xk.La curva di Lorenze rappresentata nella Figura 4.1.

Esempio 4.1.Si consideri la seguente distribuzione:

X = (10, 20, 30, 40, 60)

Analisi della disuguaglianza 49

Prop. di reddito totale6

0

Prop.

della perfettaeguaglianza

1T

∑5k=1 xk

-

Curva

6

-

di individui

6

1

-

¾

1/N 5/N N/N = 1

linea

di Lorenz

Figura 4.1 La curva di Lorenz.

Nella Tabella 4.1 si individuano le ascisse e le ordinate della curva di Lorenz.La popolazionee costituita da cinque persone, dunque ciascuna di esse rappresentaun quinto della popolazione. Al primo 20% della popolazionee attribuito il 6.2%del reddito complessivo: dunque, come si vede nella Figura 4.2, il primo puntodella curva di Lorenze individuato dalle coordinate (0.20; 0.062). Al secondo20% della popolazionee attribuito il 12.5% del reddito. Insieme al primo, essiformano il 40% della popolazione e posseggono il 18.7% del reddito complessi-vo: il secondo punto della curva di Lorenz sara individuato dalle coordinate (0.40;0.187). Cosı via fino all’ultimo punto, in corrispondenza del quale vie il 100%della popolazione che naturalmente possiede il 100% del redito totale. Dunque siavraLX (0) = 0 eLX (1) = 1.

Se i redditi fossero distribuiti esattamente in parti uguali, in modo che al 20%della popolazione piu povera fosse attribuito il 20% del reddito, al 40% il 40% direddito, e cosı via, la curva di Lorenz verrebbe a coincidere con la bisettrice delquadrato di lato uno, che dunque rappresenta la linea della perfetta uguaglianza.

Tabella 4.1 La curva di Lorenz.

i xi pi = iN

∑ik=1 xk L(pi) = 1

T

∑ik=1 xk

1 10 0,20 10 0,062

2 20 0,40 30 0,187

3 30 0,60 60 0,375

4 40 0,80 100 0,625

5 60 1 160 1

50 CAPITOLO 4

0, 2 10, 4 0, 6 0, 8

1

0, 062

0, 375

0, 187

0

0, 625

Figura 4.2 Il caso della Tabella 4.1.

Nel caso opposto, quando cioe tutto il reddito fosse concentrato nelle mani di unsolo individuo, la curva di Lorenz assumerebbe un andamento ad angolo retto,coincidente con l’asse delle ascisse e con il segmento verticale di destra. Al di ladi questi casi polari, la curva di Lorenz rimarra in genere al di sotto della retta diequa ripartizione, presentando una inclinazione negativa e un andamento conves-so. Quanto piu la curva di Lorenz sara vicina alla bisettrice, tanto piu egualitariala distribuzione. Quanto piu se ne distanziera, tanto maggiore la disuguaglianza.

4.1.2 Ordinamento di Lorenz

Date due distribuzioni di reddito X e Y, diremo che la disuguaglianza in Yeminore della disuguaglianza in X in base al criterio di Lorenz se e solo se lacurva di Lorenz di Y giace sempre al di sopra della curva di Lorenz di X (Figura4.3). In termini analitici, definiamo l’ordinamento di Lorenz come segue.

Definizione 4.1 (Ordinamento di Lorenz). Date due distribuzioniX e Y , YdominaXnel senso di Lorenz (Y ÂL X) se e solo se

i∑k=1

yk

N∑k=1

yk

≥

i∑k=1

xk

N∑k=1

xk

per ogni i = 1, ..., N e LX 6= LY


6

L(p)

1

Lx(p)

p

1

0 ︸︷︷︸-

-

-

Ly(p)

Figura 4.3 La distribuzione Y domina, nel senso di Lorenz, la distribuzione X.

Nella Tabella 4.2 sono riportati i valori delle curve di Lorenz delle distribuzionidei redditi in Italia, relative agli anni 1980, 1989, 2000 (dati della Banca d’Italia).

E evidente come la distribuzione dei redditi relativa al 1980 domini nel sen-so di Lorenz la distribuzione del 1989, e quest’ultima domini quella del 2000.Emerge una indicazione chiara: la disuguaglianza in Italia, negli ultimi venti anni,e cresciuta in maniera costante.

L’ordinamento di Lorenze transitivo ma non completo. Nel caso in cui lecurve di Lorenz relative a due distribuzioni si intersechino tra loro (Figura 4.4),il confronto rimane indeterminato: le due distribuzioni sono non confrontabili inbase al criterio di Lorenz. Gli ordinamenti incompleti vengono chiamati ordina-menti parziali.

Tabella 4.2 La distribuzione dei redditi in Italia.

% popolazione % reddito-1980 % reddito1989 % reddito 2000

10 2,9 2,9 2,1

20 7,7 7,4 6,1

30 13,4 12,8 11,3

40 20,4 19,7 17,7

50 28,4 27,3 25,3

60 37,7 36,7 34,2

70 48,3 47,3 44,9

80 60,6 59,7 56,7

90 75,6 75,2 72,4

52 CAPITOLO 4

6

L(p)

1

p

1

0 ︸︷︷︸-

- Lx(p)

- Ly(p)

Figura 4.4 Le distribuzioni X e Y non sono confrontabili nel senso di Lorenz.

L’ordinamento di Lorenz soddisfa il principio dell’invarianza alla scala: se tutti iredditi in una distribuzione sono moltiplicati per una stessa costante positivak, lacurva di Lorenz non cambia.

Si considerino le seguenti distribuzioni:

• X = (10, 20, 30, 40, 60, 140);• Y = (10k, 20k, 30k, 40k, 60k, 140k);

dovek > 0.

E facile verificare che le curve di Lorenz relative alle distribuzioniX eY coinci-dono. La stessa curva di Lorenz puo quindi rappresentare due diverse distribuzionidel reddito. Le misure che rispettano l’invarianza alla scala sono dette misure re-lative di disuguaglianza. Per tutte le misure che rispettino questa proprieta, e peresempio indifferente che la distribuzione dei redditi sia espressa in valori nominalio reali, o che sia espressa in una divisa piuttosto che in un altra (dollari o euro, peresempio).

4.1.3 Ordinamento alla Robin Hood

Un trasferimento alla Robin Hoode un trasferimento di reddito da un individu-o piu ricco a uno piu povero, che lasci inalterata la posizione relativa dei dueindividui.

Definizione 4.2 (Trasferimento alla R.H.).Data una distribuzione dei redditi X,un trasferimento pari aδ > 0 fra gli individui j e k e un trasferimento alla R.H.se la nuova distribuzioneX ′ che si ottienee tale che:


1. xi = x′i per ognii 6= j, k

2. xj+δ = x′j

3. xk−δ = x′k

4. x′j≤ x

′k

Il principio del trasferimento alla Robin Hood asserisce che, ceteris paribus, iltrasferimento di una unita di reddito da una persona piu ricca a una piu povera,se lascia invariate le posizioni relative, deve ridurre il grado di disuguaglianza. Ilprincipio del trasferimento alla R.H. puo essere utilizzato per definire un nuovocriterio di disuguaglianza.

Definizione 4.3 (Dominanza di Robin Hood).Date due distribuzioni Y e X conla stessa media (µy = µx) se Y puo essere ottenuto da X mediante una sequenzadi trasferimenti alla R.H., allora Xe piu ineguale di Y e Y domina X nel senso diR.H.:

Y >R.H. X

Anche questo ordinamento, come quello di Lorenz,e transitivo ma non completo.In particolare, si noti che per poter confrontare due diverse distribuzioni di redditoin base al criterio di R.H.e necessario che queste abbiano medie eguali: non sarainfatti mai possibile modificare la media (o il reddito totale) di una distribuzioneattraverso una sequenza di interventi di pura redistribuzione come i trasferimentialla R.H. Due distribuzioni con media diversa sono non confrontabili in base alcriterio di R.H.

Esempio 4.2.Nella Tabella 4.3 sono riportate tre distribuzioni di redditi X, Y e Zrelative a cinque individui.

La distribuzione Xe piu ineguale della distribuzione Y: infatti quest’ultima si puoottenere da X mediante la sequenza di trasferimenti alla R.H. riportata alla Tabella4.4. Nessun confronto puo essere fatto tra X e Z e nemmeno tra Y e Z in quantonon esiste alcuna sequenza di trasferimenti che ci permetta di derivare la secondadalle prime. Quale relazione sussiste tra i due criteri di disuguaglianza finoraintrodotti?

E possibile dimostrare che,date due generiche distribuzioni di reddito X e Y,se X domina Y nel senso di R.H. allora X domina Y nel senso di Lorenz. Non valeil contrario.

Tabella 4.3 L’ordinamento alla Robin Hood.

i X Y Z

1 2 3 3

2 3 3 4

3 5 6 4

4 9 8 7

5 11 10 12

54 CAPITOLO 4

Tabella 4.4 Trasferimenti alla Robin Hood.

X 7→ X′ 7→ X′′ 7→ X′′′ 7→ Y

2 2 2 2 3

3 3 3 4 3

5 5 7 6 6

9 10 8 8 8

11 10 10 10 10

Che la dominanza di Lorenz non implichi la dominanza secondo R.H. puo esseredimostrato con il seguente esempio. Si consideri la distribuzioneX = (10, 20, 30) e si applichi a questa distribuzione un trasferimento di cinqueunita di reddito dall’individuo piu ricco a quello piu povero, ottenendo cosıla distribuzioneY = (15, 20, 25) . Y dominera X in base al criterio di R.H.:Y >RH X, e, da quanto detto in precedenza, segue cheX dominera Y anchesecondo il criterio di Lorenz:Y >L X. Si moltiplichino ora tutti i redditi diY peruna costantek. Si otterra una nuova distribuzioneZ = (15k, 20k, 25k) la quale,in base alla proprieta di invarianza alla scala, sara indifferente alla distribuzioneY secondo il criterio di Lorenz. Dunque risultera:

• Y >L X• Z ∼L Y

Essendo l’ordinamento di Lorenz un ordinamento transitivo, segue cheZ >L X.D’altro canto, le distribuzioniZ e X hanno media diversa: dunque non sarannoconfrontabili in base all’ordinamento di R.H. Abbiamo dimostrato che la domi-nanza di Lorenz non implica la dominanza alla R.H.

4.1.4 Ordinamenti parziali: benessere e disuguaglianza

Abbiamo finora introdotto i seguentiordinamenti di disuguaglianza:

1. Ordinamento di Lorenz: date due distribuzioniX e Y, X >L Y se e solo seLX(pi) ≥ LY (pi) per ognipi = i

N coni = 1, 2, . . . , N.2. Ordinamento di Robin Hood: date due distribuzioniX e Y, X >RH Y se e

solo seX puo essere ottenuto daY mediante una sequenza di trasferimentialla R.H.

Nel Capitolo 3e stato introdotto e discusso il criterio di scelta sociale basato sullafunzione di benessere sociale utilitaristica. In base al criterio utilitaristico, datedue distribuzioni delle risorseX eY , X sara preferita aY se e solo se la sommadelle utilita individuali inX e maggiore della somma delle utilita individuali inY :

X >U Y ⇔N∑

i=1

U(xi) >N∑

i=1

U(yi)


Si e anche visto come, pur esibendo neutralita rispetto alla disuguaglianza nelleutilit a, in presenza di funzioni di utilita individuali crescenti e concave il crite-rio utilitarista premi qualsiasi redistribuzione di risorse da un individuo ricco aun individuo piu povero. Si consideri la Figura 3.6: il trasferimento ipotizzatoe un esempio di trasferimento alla R.H.: un qualsiasi trasferimento alla R.H.ein grado di aumentare il benessere sociale in base al criterio utilitaristico, purchegli individui siano caratterizzati da utilita marginale positiva e decrescente. D’al-tro canto, sappiamo che applicando un trasferimento alla RH a una distribuzioneX di partenza, si otterra una nuova distribuzione Y che dominera X in base al-l’ordinamento di Lorenz. Queste osservazioni, opportunamente estese e genera-lizzate, costituiscono il contenuto del teorema fondamentale dell’economia delladisuguaglianza.

Teorema 4.1 (Teorema Fondamentale della Disuguaglianza).Date due distri-buzioni di reddito X e Y con media uguale (µX = µY ), le seguenti affermazionisono equivalenti:

1. Y >L X2. Y >R.H. X3. Y >U X per tutte le funzioni di utilita U crescenti e concave.

Il teorema fondamentale della disuguaglianza stabilisce una connessione tra lateoria del benessere e della scelta sociale (introdotta nel Capitolo 3) e la teoriadella misurazione della disuguaglianza. Si noti tuttavia che il risultato si applicasolo a confronti tra distribuzioni con media uguale. Entro il dominio costituitodalle distribuzioni con media uguale, il teorema fornisce una giustificazione rigo-rosa, basata su chiari e comprensibili giudizi di valore, a una metodologia statisti-ca facilmente implementabile: la curva di Lorenz. Il significato dell’equivalenzatra ordinamento di Lorenz e ordinamento utilitaristicoe duplice. Da un lato, seX dominaY in base all’ordinamento di Lorenz, alloraX sara preferita aY dallaFBS utilitarista - qualsiasi siano le funzioni di utilita individuali prescelte, purchecrescenti e concave. D’altro canto, seX dominaY per tutte le possibili funzioniindividuali crescenti e concave, aggregate secondo la regola utilitaristica, alloraX domineraY in base alla curva di Lorenz.

4.1.5 Curva di Lorenz generalizzata

Per quanto l’ordinamento di Lorenz sia applicabile anche a distribuzioni con me-dia diversa, la giustificazione normativa - basata sul teorema fondamentale -e lim-itata al solo caso di distribuzioni con media uguale.E tuttavia possibile formulareun criterio di dominanza tra distribuzioni il quale abbia un supporto normativoanche nella ipotesi, altamente realistica, di confronto tra distribuzioni con mediadiversa. Si tratta del criterio basato sulla curva di Lorenz generalizzata, ottenutamoltiplicando la curva di Lorenz per la media della distribuzione.

La curva di Lorenz generalizzata di una distribuzioneX, GLX , indica, perogni percentuale cumulata di individui piu poveri, la percentuale di reddito com-

56 CAPITOLO 4

plessivo da questi posseduta moltiplicata per il reddito medio della distribuzio-ne. Quindi, sull’asse delle ordinate, la curva di Lorenz generalizzata riportal’ammontare cumulato di reddito, espresso in termini procapite dell’intera popo-lazione.

Analiticamente, data una generica distribuzioneX = (x1, x2, . . . , xN ), lacurva di Lorenz generalizzata della distribuzioneX, GLX , e il luogo dei punti dicoordinate:

(pi,

1N

i∑

k=1

xk

)

dovei = 1, . . . , N epi = iN .

E facilmente verificabile che le curve di Lorenz generalizzate siano ottenute dalprodotto delle normali curve di LorenzL(p) per la media della distribuzioneµ.Infatti, ricordando che, data una distribuzioneX, per ognii = 1, ..., N, LX (pi) =1T

∑ik=1 xk e cheµX = T

N , otteniamo

GLX (pi) =T

N

1T

i∑

k=1

xk =1N

i∑

k=1

xk.

E immediato verificare cheGL (0) = 0 eGL (1) = µX .

4.1.6 Ordinamento di Lorenz generalizzato

Definizione 4.4.Date due distribuzioniX eY , X dominaY nel senso di Lorenz

generalizzato (X ÂGL Y ) se e solo se1Ni∑

k=1

xk ≥ 1N

i∑k=1

yk per ognii = 1, ..., N

eGLX 6= GLY .

Nel caso particolare di due distribuzioni con media uguale, l’ordinamento di Lo-renz generalizzato coincide con l’ordinamento di Lorenz. A differenza dell’or-dinamento di Lorenz, chee un puro ordinamento di disuguaglianza, il criterio diLorenz generalizzato riflette sia considerazioni di equita sia considerazioni di ef-ficienza. A illustrazione di questo punto, si consideri la distribuzioneX = (10, 20) . Si supponga ora di aumentare del 50% il reddito dell’individuopiu ricco, in modo da ottenere la distribuzioneY = (10, 30) . Pur essendo aumen-tato il grado di disuguaglianza (cosa che potra essere verificata osservando cheXdominaY in base al criterio di Lorenz), la curva di Lorenz generalizzata diY eal di sopra della curva diX : dunqueY ÂGL X. Si supponga ora di modificarela distribuzioneY attraverso un trasferimento alla Robin Hood, in modo da ot-tenere la distribuzioneZ = (15, 25) . E facile verificare cheZ ÂGL Y (in questocaso, confrontando distribuzioni con la stessa media, gli ordinamenti di Lorenz edi Lorenz generalizzato coincidono). L’ordinamento delle distribuzioniX, Y eZ


GLy

6

-0

GL(p)

µx

µy

1

GLx

p

Figura 4.5 La distribuzione Y domina la distribuzione X nel senso di Lorenz generaliz-zato.

sara il seguente:Z ÂGL Y ÂGL X, dove la prima relazione di dominanza ri-flette considerazioni di carattere esclusivamente distributivo e la secondae dovutaall’aumento del reddito aggregato.

Anche l’ordinamento di Lorenz generalizzato, al pari dell’ordinamento di Lo-renz,e un ordinamento incompleto: puo darsi il caso di due distribuzioni le cuicurve di Lorenz generalizzate si intersechino.

Il seguente teorema, stabilendo l’equivalenza tra ordinamento di Lorenz ge-neralizzato e ordinamento di benessere utilitaristico, fornisce la giustificazionenormativa del criterio di Lorenz generalizzato.

Teorema 4.2 (Shorrocks).Date due distribuzioni di reddito X e Y,Y >GL X sesolo seY >U X per tutte le funzioni di utilita crescenti e concave.

In questo teorema, a differenza di quanto accade con il teorema fondamentale,none richiesta l’uguaglianza delle medie.

4.2 Ordinamenti completi di distribuzioni del reddito

Nel caso in cui gli ordinamenti parziali di disuguaglianza (ordinamento di Lo-renz, di RH, ...) non diano una risposta univoca, i confronti tra distribuzionipossono essere effettuati utilizzando un indice di disuguaglianza. Un indice didisuguaglianzae una funzione che assegna a ogni distribuzione un numero reale:data una distribuzione di redditiX e un indiceI, I(X) sara il livello di disu-guaglianza nella distribuzioneX in base all’indiceI. Date due distribuzioni

58 CAPITOLO 4

X e Y , diremo che la distribuzioneX e piu disuguale della distribuzioneY seI(X) > I(Y ). Poiche i numeri sono sempre confrontabili, non si verificherannocasi di non confrontabilita tra distribuzioni (non ci saranno casi di incompletez-za dell’ordinamento). Tuttavia, esiste una pluralita di indici di disuguaglianza,ciascuno basato su un insieme di giudizi di valore, e puo darsi il caso di due in-dici che, nel confronto tra due distribuzioni, diano due risposte diverse. Date duedistribuzioni di redditoX e Y , e due diversi indici di disuguaglianzaI1 e I2, epossibile il seguente risultato:I1(X) > I1(Y ) eI2(X) < I2(Y ). Questo succedeperche diversi indici in genere catturano aspetti diversi della disuguaglianza: peresempio, alcuni indici attribuiscono un peso relativamente maggiore alla disugua-glianza presente nella coda bassa della distribuzione, cioe alla disuguaglianza tragli individui piu poveri; altri indici attribuiscono una importanza particolare alleposizioni relative degli individui (al rango), piuttosto che ai livelli di reddito; ecosı via. Si tratta allora di scegliere l’indice di disuguaglianza che meglio rifletta igiudizi di valore dell’analista.E possibile domandarsi quale relazione sussista traindici di disuguaglianza. Pur senza entrare nel dettaglio,e possibile individuare uninsiemeS di indici di disuguaglianza, basati su una serie di proprieta desiderabili,tra le quali il principio di invarianza alla scala e il principio del trasferimento allaRH, in modo da ottenere il seguente risultato: date due generiche distribuzioniXeY , X domineraY in base all’ordinamento di Lorenz se e solo seI(X) < I(Y )per tutti gli indici appartenenti alla famigliaS. Gli indici nella famiglia S sonochiamati indici consistenti con l’ordinamento di Lorenz. In altre parole, la domi-nanza di Lorenz corrisponde alla unanimita tra i componenti la famigliaS. Segueche, nel caso di intersezione tra le curve di Lorenz di due distribuzioniX e Y ,esisteranno di sicuro almeno due indici,I1 e I2, appartenenti alla famigliaS, chenel confronto traX e Y daranno dominanze di segno opposto. Nei paragrafi cheseguono si descrivono due tra gli indici di disuguaglianza piu utilizzati.

4.2.1 Il coefficiente di Gini (G)

Intuitivamente, il coefficiente di Gini misura di quanto la Curva di Lorenz di unadistribuzione sia distante dalla linea della perfetta uguaglianza. Il coefficiente delGini e dato da:

G =A

A + B= 2A = 1− 2B

dove Be l’area al di sotto della curva di Lorenz e A l’area compresa tra la curvadi Lorenz e la linea della perfetta eguaglianza (Figura 4.6).

L’indice G puo assumere valori compresi tra 0 e 1. Sara uguale a 0 nel casodi perfetta uguaglianza - l’area A, in questo caso, si annulla. Sara uguale a 1nel caso in cui tutto il reddito sia concentrato nelle mani di un solo individuo: inquesto caso sara l’area B ad annullarsi. In generale, maggioree il valore assuntodal coefficiente di Gini, maggioree il grado di disuguaglianza.Nel discreto abbiamo le seguenti espressioni:


Prop. di reddito totale6

0

Prop.

della perfettaeguaglianza

1

-

A

B

-

di individui

6

1

-

linea

Figura 4.6 Il coefficiente di Gini e dato dal rapporto tra l’area A e l’area (A+B):quest’ultimae pari a 1/2.

G(x) = 1 +1N− 2

∑Ni=1(N − i + 1)xi

N2µ=

=(

12N2µ

) N∑

i=1

N∑

j=1

|xi − xj | .

4.2.2 L’indice di Atkinson-Kolm-Sen

L’indice di AKS e stato formulato all’interno di un approccio alla disuguaglianzabasato sul benessere sociale, sotto l’ipotesi che la distribuzione dei redditi de-termini direttamente il livello di benessere sociale. L’indice di AKS misura ladistribuzione dei redditi come la riduzione percentuale del reddito complessivoche potrebbe essere sopportata, grazie a una redistribuzione egualitaria del red-dito rimanente, senza ridurre il benessere sociale. Si basa cioe su valutazioni diquesto tipo: un reddito totale inferiore del 20% (per esempio) a quello attuale, sefosse distribuito in maniera egualitaria, darebbe lo stesso livello di benessere delreddito attuale, piu elevato ma distribuito in maniera diseguale.

Analiticamente l’indice di AKSe derivato esplicitamente da una funzione delbenessere sociale.

Consideriamo la distribuzioneXα = (xα1 , xα

2 ) e supponiamo che la FBS siadefinita direttamente sui redditiW (X) = W (xα

1 , xα2 ). Consideriamo la Figura

4.7:

60 CAPITOLO 4

-

6

0

x2

xa1

xa2

µ

XEED

EXEED

A

µB

C

W ∗

D

x1

Figura 4.7 Il REED.

• W ∗ e una curva di indifferenza sociale passante per la distribuzioneXα;• la rettaDE con pendenza−1 passante perXα individua tutte le possibili di-

stribuzioni aventi la stessa media della distribuzioneXα data daµ = (xα1 +xα

2 )2 ;

• la retta bisettriceOC individua tutte le possibili distribuzioni di reddito perfet-tamente egualitarie;

• l’intersezione diOC con la rettaDE, indica, tra le distribuzioni egualitarie,quella con la stessa media della distribuzioneXα;

• l’intersezione diOC con la curva di indifferenza socialeW ∗ indica, tra le distri-buzioni egualitarie, quella che garantisce lo stesso livello di benessere socialedella distribuzioneXα.

Si definisce il Reddito Equivalente Egualmente Distribuito (REED) di una distri-buzioneX = (x1, x2) come quell’ammontare di redditoxEED che, se dato aciascun individuo, da luogo a una nuova distribuzione socialmente indifferente aX.

Definizione 4.5. Il RedditoEquivalenteEgualmenteDistribuito e quel livello diredditoxEED che soddisfa la seguente equazione:

W (xα1 , xα

2 ) = W (xEED, xEED)

Graficamente questa nuova distribuzione si individua nel punto A di intersezionetra la curva di indifferenza sociale e la bisettrice OC.

Si noti che, per qualsiasi FBS avversa alla disuguaglianzaxEED sara sempreminore o al massimo eguale (nel caso di neutralita all’ineguaglianza) al reddito


medioµ.

Nµ e il reddito complessivo della distribuzione attualeXα;

Nx il reddito complessivo della distribuzione egualitaria socialmente indifferentealla distribuzioneXα;

(Nµ − NxEED) = N(µ − xEED) rappresenta il costo della disuguaglianza,ovvero l’ammontare di reddito cui si potrebbe rinunciare al fine di ottenere unadistribuzione egualitaria.

Se rapportiamo il costo della disuguaglianzaN(µ−xEED) al reddito complessivodella distribuzione di partenzaNµ, otteniamo il seguente indice di disuguaglian-za:

IAKS(x) =N(µ− xEED)

Nµ=

µ− xEED

µ= 1− xEED

µ

Questo indicee noto come indice di Atkinson-Kolm-Sen. L’indice di Atkinson-Kolm-Sen mette in evidenza quella percentuale di reddito totale che si sarebbedisposti abruciare al fine di ottenere una distribuzione egualitaria.IAKS(X)dunque cattura la perdita di benessere sociale imputabile alla disuguaglianza,ovvero l’inefficienza della disuguaglianza.

A parita di mediaµ, il valore dell’indice cresce al crescere del grado di avver-sione alla disuguaglianza della FBS (espresso graficamente dalla convessita dellecurve di indifferenza sociali). A parita di avversione alla disuguaglianza (quin-di data una mappa di curve di indifferenza sociale), quanto maggiore il grado didisuguaglianza della distribuzione, tanto minore sara il REED e maggiore sara ilvalore dell’indice.

Esempio 4.3.Data una distribuzione di redditiX, si consideri una funzione delbenessere sociale utilitarista:W =

∑Ni=1 U (xi) , dove le funzioni individuali di

utilit a siano date daU (xi) = x1−εi

1−ε , conε > 0.

Dunque avremo

W (X) =N∑

i=1

x1−εi

1− ε

Il REED in questo casoe definito dall’equazione

N∑

i=1

x1−εi

1− ε=

N∑

i=1

x1−εEED

1− ε

ovvero

62 CAPITOLO 4

N∑

i=1

x1−εi

1− ε= N

x1−εEED

1− ε

da cui, dopo qualche semplice passaggio, si ottiene

xEED =

(1N

N∑

i=1

x1−εi

) 11−ε

Scegliendo, per esempio,ε = 12 otterremo

xEED =

(1N

N∑

i=1

√xi

)2

Si consideri ora la distribuzioneX = (4, 9, 25, 36) . In questo caso

µ = 18, 5

e

xEED =(

14

(2 + 3 + 5 + 6))2

= 42 = 16

Quindi

IAKS = 1− xEED

µ= 1− 16

18, 5=

537

ESERCIZI

Esercizio 4.1. Si considerino le seguenti distribuzioni di reddito:

1. X=(8,14,14,18,20)2. Y=(13,14,14,15,18)3. Z= (8,12,16,18,20)

Si indichi l’ordinamento delle tre distribuzioni in base ai seguenti criteri:

1. Dominanza di Lorenz2. Dominanza di Lorenz generalizzata3. Dominanza di Robin Hood


4. Criterio utilitaristico (W =∑N

i=1 U(xi), U e crescente e concava)

Esercizio 4.2. Si scrivano due distribuzioni del reddito, relative a 4 individui,non confrontabili in base all’ordinamento di Lorenz.

Esercizio 4.3. Introduciamo le seguenti definizioni:

• ºL: ordinamento di Lorenz• ºGL: ordinamento di Lorenz generalizzato• ºRH : ordinamento di Robin Hood• ºU : ordinamento utilitaristico

Indicare, quindi, se le seguenti affermazioni sono vere false.

1. Date due distribuzioni, X e Y, XºL Y implica cheX ºU Y .

V F

2. La dominanza di Robin Hoode una condizione sufficiente perche ci sia domi-nanza di Lorenz.

V F

3. Date due distribuzioni, X e Y, con media eguale,X ºGL Y implica cheX ºRH

Y .

V F

4. Date due distribuzioni, X e Y, con media eguale,X ºGL Y implica cheX ºU

Y .

V F

64

Capitolo 5Economia delle scelte pubbliche

5.1 Introduzione

Nei sistemi democratici a economia mista le decisioni economiche vengonoprese essenzialmente attraverso due meccanismi di scelta: il mercato e il

processo politico democratico. In particolare, le decisioni di prelievo e di spesada parte del settore pubblico vengono assunte attraverso un processo di sceltaoperato dal sistema politico.

L’oggetto del presente appuntoe l’analisi dei processi decisionali operati daun sistema politico democratico. In realta, i processi decisionali che hanno luogoin una democrazia sono complessi e dipendono dai comportamenti di una pluralitadi attori politici e istituzionali: gli elettori, i partiti politici, i legislatori, l’ammi-nistrazione, i gruppi di pressione. In un sistema politico ciascun attore agisce alfine di massimizzare la propria funzione obiettivo sulla base delle informazioni dicui dispone, e le decisioni finali sono il risultato della interazione dei diversi attorisulla base delle regole politiche democratiche vigenti.

In questo appunto, tuttavia, ci si limitera ad analizzare i processi politicientro un contesto estremamente semplificato: ci concentreremo sui sistemi didemocrazia diretta, in cui cioe il passaggio dalle volonta e dagli interessi presentinel corpo elettorale alle decisioni collettivee diretto; sara in particolare ignoratoil ruolo di mediazione che in una democrazia rappresentativae tipicamente svoltodai partiti politici. Lo studio sara condotto utilizzando un modello fortementestilizzato: si considerera un generico gruppo di individui che debba scegliere unatra diverse alternative possibili, e si assumera che ciascun individuo sia dotatodi un ordinamento di preferenza definito sull’insieme delle alternative. In questocontesto un processo di decisione collettivae allora semplicemente una regola divoto: un meccanismo che traduce (aggrega) l’insieme delle preferenze individualiin un ordinamento di preferenza dell’intero gruppo e quindi in una scelta collet-tiva. Le alternative tra cui scegliere sono interpretabili sia nel senso di politiche

66 CAPITOLO 5

i cui effetti ricadono direttamente sull’assemblea; sia nel senso di candidati daeleggere al fine di rappresentare l’assemblea in altre sedi.

L’analisi sara di tipo positivo e normativo: si cerchera di spiegare il funzio-namento delle diverse regole di voto, individuando i possibili esiti e le eventualidifficolta associate ai diversi meccanismi; si cerchera anche di valutare le diverseregole di voto sulla base di criteri di desiderabilita formulati in maniera esplicita.

Il modello

Si consideri una assembleaN composta dan individui, N = {1, ..., n}, chiamataa scegliere tram politiche alternative: siaX l’insieme delle politiche ex, y, z, ...le varie opzioni o politiche possibili,X = {x, y, z, ...}.Si supponga inoltre che ciascun individuoi in N sia dotato di un ordinamentodi preferenza sull’insieme delle politicheX : Âi e l’ordinamento di preferen-za dell’elettorei, e {Â1,Â2, ... Âi, ...,Ân} l’insieme delle preferenze individu-ali, chiamato ancheprofilo di preferenze. Per ogni individuoi si assumera chel’ordinamento di preferenza sia completo, transitivo e lineare: la completezzaimplica la capacita di esprimere un giudizio in merito a qualsiasi confronto tradue opzioni; la transitivita e un requisito di coerenza; la linearita implica che lepreferenze siano sempre di tipo forte: non ci sono cioe casi di indifferenza traopzioni. Quest’ultima ipotesi, pur non essendo cruciale per i risultati, semplificafortemente l’esposizione.

Sia infineÂS l’ordinamento di preferenza dell’assembleaN . Una regola divoto potra allora essere rappresentata come una funzione la quale, per qualsiasi in-sieme di politicheX, associ un ordinamento di preferenza socialeÂS a un profilodi preferenze individuali.

5.2 Le regole di voto: analisi descrittiva

5.2.1 La regola della unanimita

In base alla regola dell’unanimita, una alternativax e socialmente preferita a unaalternativay se e solo se tutti gli elettori preferisconox ay. Segue che, dato un

insieme di alternativeX, l’alternativax sara collettivamente scelta se e solo sex el’alternativa preferita da tutti gli elettori.E agevole rilevare la corrispondenza traregola dell’unanimita e criterio del Pareto: qualsiasi scelta effettuata in base allaregola dell’unanimita e efficiente nel senso di Pareto. Una qualunque altra regolache consenta di approvare un’opzione che none preferita all’unanimita violera ilcriterio paretiano.

Il criterio dell’efficienza sembrerebbe dunque spingere per l’adozione dell’u-nanimita quale regola di voto in un’assemblea. D’altronde, la richiesta di consen-so unanime potrebbe rendere il processo decisionale lungo e costoso; al limite,potrebbe impedire la scelta collettiva. Questo succede perche, vigente la regoladell’unanimita, a ciascun individuoe riconosciuto un potere di veto. Se, in ungruppo din persone,n − 1 elettori preferiscono l’opzionex a tutte le altre e un

Economia delle scelte pubbliche 67

100%0

6 costi

CE + CDCDCE ) q

q∗

6costi

Figura 5.1 Determinazione percentuale ottima.Modello di Buchanan e Tullock (1962).

solo elettore preferisce un’altra opzioney a x, in base alla regola dell’unanimitaquesto gruppo non potra effettuare alcuna scelta.

Proposizione 5.1.La regola dell’unanimita genera un ordinamento di preferenzasociale incompleto.

Ci si puo chiedere cosa accada quando, abbandonando la regola della unanimi-ta, si riduca progressivamente ilquorum, ossia la percentuale di voti necessariaper l’approvazione. In generale, piu elevato il quorum, piu prossima la regola divoto alla soddisfazione dell’efficienza paretiana - minore infatti il numero deglielettori che potrebbero essere danneggiati dalla decisione. Al tempo stesso, piuelevato il quorum, piu lungo e costoso il processo decisionale. Sie in presenza diun trade off: maggiore la capacita di prendere una decisione collettiva (o gradodi decisitivita della regola di voto), minore la capacita di rappresentare compiuta-mente le preferenze e gli interessi coinvolti nella scelta (grado dirappresentativitao democraticita della regola di voto). Come vedremo, si tratta di una tensione chepercorre profondamente i sistemi di decisione collettiva. Indicando le due voci diquesto trade off con CD (costi di decisione) e CE (costi esterni, ovvero costi sop-portati dalla minoranza),e possibile calcolare la percentuale ottima di voti comequella che minimizza il costo totale dato da CE+CD (si veda la Figura 5.1).

Evidentemente, l’applicazione concreta di questo modello richiede la cono-scenza delle curve CE e CD.

68 CAPITOLO 5

5.2.2 La regola della maggioranza

Nel caso vi sianon individui e due sole alternative, una regola comunementeaccettatae quella della maggioranza semplice: tra due alternativee scelta quellapreferita dalla maggioranza degli elettori, ovvero da un numeroN di elettori noninferiore al 50% piu uno dell’elettorato:

N ≥ n

2+ 1 (con n pari) (5.1)

N ≥ n− 12

+ 1 (con n dispari) (5.2)

Quando le alternative sono piu di due le cose possono complicarsi.

Il vincitore di Condorcet Una generalizzazione della regola precedente al casodi piu due opzionie la seguente: datem alterative, vince quell’alternativax chebatte tutte le altre in confronti di coppia secondo la regola della maggioranzasemplice. Questa alternativa, se esiste,e chiamata ilvincitore di Condorcet.

Definizione 5.1 (La regola della maggioranza semplice.).Data un’assembleaN e due opzionix e y, x e preferita ay secondo la regola della maggioranzasemplice

x ÂM y (5.3)

se e solo sex riceve piu voti diy.

Definizione 5.2 (Il vincitore di Condorcet). . Dato un insieme di opzioniXx ∈ X e il vincitore di Condorcet se e solo se∀y 6= x ∈ X, x ÂM y.

Al fine di studiare le caratteristiche del voto a maggioranza semplice si suppongache un’assemblea di 3 individui,N = {A,B, C}, sia chiamata a pronunciar-si su tre possibili opzioni,X = {x, y, z}. Si supponga ancora che l’individuoA preferiscax a y e y a z (e, data la transitivita delle preferenze individuali,preferiscax a z); che l’individuo B preferiscay a z e z a x; l’individuo C infinepreferiscax a z e z a y. Le preferenze dei tre individui sono sintetizzate nellatabella seguente:

Posizione Individui

A B C

I x y x

II y z z

III z x y

Ponendo in votazione le tre coppie{x, y}, {x, z} e{y, z} secondo la regola dellamaggioranza si ottengono le relazioni seguenti:

• x ÂM y• x ÂM z


• y ÂM z

L’ordinamento di preferenza sociale sara cioex ÂM y ÂM z. Il vincitore di Con-dorcet in questo casoex. Si rilevi l’indipendenza del risultato dall’ordine seguitonelle votazioni.

Si supponga ora che le preferenze dell’individuoC cambino. La tabella seguenteriporta il nuovo profilo delle preferenze individuali.

Posizione Individui

A B C

I x y z

II y z x

III z x y

Ponendo ancora in votazione le tre coppie{x, y}, {x, z} e{y, z} secondo la regoladella maggioranza si ottiene il seguente risultato:

• x ÂM y• y ÂM z• z ÂM x

In base all’ordinamento di preferenza socialex e preferito ay e y e preferito az. Il presupposto della transitivita vorrebbe che x fosse a sua volta preferito az.In questo casox sarebbe il vincitore di Condorcet. Ma, come si rileva, esiste unamaggioranza che preferiscez ax. L’ordinamento sociale none transitivo e, comeconseguenza, non c’e un’alternativa preferita a tutte le altre. Non c’e un vincitoredi Condorcet. Pertanto, la regola del voto a maggioranza, espresso su coppie dialternative, puo portare a scelte sociali contraddittorie.Questo risultatoe noto comeParadosso del voto a maggioranza o Paradosso diCondorcet.

Il paradosso di Condorcet

Proposizione 5.2 (Paradosso di Condorcet).Pur in presenza di preferenze in-dividuali complete e transitive, il voto a maggioranza puo condurre a un ordina-mento di preferenza sociale intransitivo.

Questo risultato, dovuto a Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, meglio notocome marchese di Condorcet (1743-1794), mostra che, anche se le preferenzedei singoli votanti rispetto alle varie alternative sono complete e transitive, lavotazione a maggioranza puo produrre un ordinamento sociale circolare, in cuiciascuna delle tre alternativee in grado di vincere su tutte le altre (si veda laFigura 5.2).

Poiche la votazione a maggioranza su piu di due alternativee un sistemalargamente applicato in assisi locali, nazionali e sovranazionali, l’interesse delparadossoe evidente.

70 CAPITOLO 5

¾j

x

y

z

*

Figura 5.2 Ordinamento sociale circolare.

Paradosso di Condorcet e unimodalita delle preferenze E opportuno esam-inare i motivi della mancata esistenza di un vincitore globale nel voto a maggio-ranza.Si supponga che le alternative in votazione siano rappresentabili lungo un’unicadimensione, dal valore piu piccolo a quello piu grande, oppure graficamente dasinistra verso destra. Si pensi, per esempio, a livelli via via crescenti di spesapubblica, oppure a quantita diverse di bene pubblico da produrre. Si suppongapure che sia possibile parlare di distanza tra le diverse alternative: data una coppiadi alternative{x, y}, siad (x, y) la distanza trax ey. E possibile ora introdurre ledefinizioni di politica ideale e di preferenze unimodali.

Definizione 5.3 (Alternative ideali). L’alternativa x ∈ X e l’alternativa idealeper l’individuo i se e solo se,∀y 6= x ∈ X, x Âi y.

Definizione 5.4 (Preferenze unimodali).Un ordinamento di preferenzaÂ su uninsieme di opzioni Xe unimodale se e solo se, data l’alternativa idealex ∈ X,per ogni coppia di alternativey, z ∈ X e tali che:(i) y < x ez < x oppure(ii) y > x ez > x,

d (x, y) > d (x, z) ⇔ z Â y (5.4)

Per esempio un ordinamento di preferenzae unimodale quando esiste una alter-nativa ideale, e le altre alternative sono classificate in base alla distanza rispet-to a questa. Un profilo di preferenzee unimodale se tutti gli individui hannopreferenze unimodali.

Le Figure 5.3 e 5.4 riportano, rispettivamente, casi di preferenze unimodali emultimodali.

La unimodalita delle preferenze individuali appare ipotesi del tutto plausibilein alcuni contesti, estremamente improbabile in altri. In particolare, la multi-modalita delle preferenzee frequente nei casi in cui lo spazio politico sia mul-tidimensionale - ciascuna opzione rappresenta in verita una pluralita di aspetti edimensioni da valutare - ovvero nel caso si tratti di politiche distributive. Nelseguito sono riportati due esempi atti a esemplificare i due casi.

Esempio 5.1 (Preferenze unimodali).Nel primo esempio, si consideri il voto suuna questione politica unidimensionale: la spesa pubblica per la difesa. Vi siano


-

6

0

B

A

II

C

x z

I

III

y

Posizioni Votanti

A B C

I x y z

II y x y

II z z x

Figura 5.3 Esempio di preferenze unimodali.

tre possibili livelli di spesa,(100, 50, 30) , e si ipotizzi che l’intero corpo elet-torale sia diviso in tre gruppi. La politica ideale del primo gruppo sia 100, quelladel secondo sia 50, quella del terzo sia infine 30. Appare del tutto ragionevoleipotizzare che l’ordinamento completo del I gruppo sara 100 Â 50 Â 30, quelladel II gruppo50 Â 30 Â 100, quella del III infine30 Â 50 Â 100.

Il voto a maggioranza su coppie di alternative permettera di ottenere un ordi-namento sociale completo e un vincitore di Condorcet, la politica di spesa ugualea 50.

Esempio 5.2 (Preferenze non unimodali).Si considerino tre individui(A,B,C)i quali debbano dividersi una somma pari a 100. Si supponga vi siano tre opzionipossibili (x, y, z), corrispondenti a tre diverse ipotesi distributive: Assumendomonotonicita e razionalita delle preferenze individuali, il profilo di preferenze diquesta collettivita per le tre opzioni sara il seguente:

• Preferenze diA : x Âa y Âa z• Preferenze diB : y Âb z Âb x

72 CAPITOLO 5

-

6

0

A

B

C

x y z

I

II

III

Posizioni Votanti

A B C

I x y z

II z x y

II y z x

Figura 5.4 Esempio di preferenze multimodali.

• Preferenze diC : z Âc x Âc y

Votando a maggioranza si otterra il seguente risultato:x ÂM y, y ÂM z ez ÂM x! Le preferenze sono multimodali e il voto a maggioranza porta agliesiti paradossali previsti da Condorcet.

Opzioni Individui

A B C

x 50 20 30

y 30 50 20

z 20 30 50

Il seguente teorema stabilisce la rilevanza della unimodalita delle preferenze egeneralizza il risultato dei due esempi precedenti.

Teorema 5.1 (D. Black, 1948).Se le preferenze sono unimodali, allora esiste unvincitore di Condorcet.


Si noti che la unimodalita del profilo di preferenzee una condizione sufficiente manon necessaria per l’esistenza di un Vincitore di Condorcet. Se vie unimodalita,certamente non vi saranno cicli. Se non vie unimodalita, e probabile, ma noncerto che vi sia un ciclo. Quantoe probabile? La probabilita che vi sia un cicloaumenta con il numero delle politiche (alternative). D’altronde, a parita di nu-mero di politiche, maggiore l’omogeneita delle preferenze individuali , minore lapossibilita di cicli.

Il teorema dell’elettore mediano Data un’assemblea e un insieme di opzionirappresentabili lungo una dimensione, si definisce elettore mediano l’elettore taleche la meta dei componenti l’assemblea preferisce opzioni a sinistra e la metaopzioni a destra rispetto a quella da lui preferita.

Definizione 5.5 (Elettore mediano).Sia dato un insieme di politiche unidimen-sionali X e un ’assembleaN composta dan individui; sia x∗i ∈ X la politicaideale di un generico individuoi appartenente all’assembleaN e siaX∗ l’in-sieme delle politiche ideali. Si consideri ora un individuom ∈ N , la cui politicaideale e indicata daxm. Sia NR il numero di individui la cui politica idealee maggiore dixm ∈ X∗ (in formule, NR = |{i ∈ N : x∗i ≥ xm}|) e sia NL

il numero di individui la cui politica idealee minore dixm ∈ X∗(in formule,NL = |{i ∈ N : xm ≥ x∗i }|). L’individuo m ∈ N e l’elettore mediano se e soloseNR ≥ n

2 eNL ≥ n2 .

Teorema 5.2 (Teorema dell’elettore mediano).Dato uno spazio politico unidi-mensionale e un profilo di preferenze unimodali, la politica ideale dell’elettoremediano sara la politica vincente con la regola della maggioranza.

Per illustrare il teorema, si consideri un’assemblea di 15 individui che debba de-cidere la quantita ottimale di un bene pubblico da produrre. Il costo medio diproduzioneCM , che si assume essere costante, sara diviso in parti uguali tra icomponenti l’assemblea: siaCMi = CM

15 il costo medio procapite, coincidentecon il costo marginale individuale. Per ciascun individuo la quantita ottima saraindividuata dall’uguaglianza tra costo marginaleCMi e beneficio marginale. Sup-poniamo esistano 5 gruppi di individui nell’assemblea, ciascun gruppo caratteriz-zato da una uguale funzione del beneficio marginale. La struttura dei gruppie laseguente:

Gruppi I II III IV V

Numero componenti 2 3 2 1 7

La Figura 5.5 riporta le funzioni di benefico marginale individuale per ciascungruppo. Le intersezioni con la curva del costo marginale individualepermettono di individuare le quantita ottimali per ciascun gruppo di elettori:(xI , xII , xIII , xIV , xV ). Per ciascun individuo, la quantita ottimale corrispondeall’uguaglianza tra beneficio e costo marginale: allontanandosi progressivamentedal punto di ottimo, si allarga la forbice tra costi e benefici unitari e dunque siriduce il surplus. Le preferenze degli agenti sono quindi di tipo unimodale.

74 CAPITOLO 5

quantita0

costi

costo medio

N

xV

BMV (7)

xIII xIVxII

BMI (2)

costo medio

BMIV (1)

benefici

?

-

BMIII (2)

xI

6

66

66

BMII (3)

6

6

Gruppi Alternative sottoposte al voto

xI xII xIII xIV xV

I (2 componenti) si no no no no

II (3 componenti) si si no no no

III (2 componenti) si si si no no

IV (1 componenti) si si si si no

V (7 componenti) si si si si si

Totale favorevoli 15 13 10 8 7

Totale sfavorevoli 0 2 5 7 8

Figura 5.5 Teorema dell’elettore mediano.

Supponiamo ora si voti per decidere la quantita di bene pubblico da produrre.Ci sono diverse modalita di applicazione della regola della maggioranza, le qualipero portano a risultati equivalenti. Supponiamo si voti su incrementi succes-sivi di produzione: si inizia votando sulla opportunita di produrre la quantita xI ,quindi si prosegue con la votazione suxII , e cosı via. Ciascun elettore valuterapositivamente la proposta fino a quando il beneficio marginale supera o eguaglia ilcosto marginale. Dunque, la prima proposta sara approvata all’unanimita: in cor-rispondenza dixI tutti gli individui hanno beneficio marginale maggiore o ugualeal costo marginale; la seconda (il passaggio daxI axII) sara approvata dai gruppiII, III, IV e V ma avra il voto contrario del gruppo I: dunque la proposta passeracon una maggioranza di 13 contro 2.E agevole verificare che saranno accettati amaggioranza tutti gli incrementi fino alla quantitaXIV . L’ultima votazione riguar-da il passaggio daxIV a xV : voteranno contro i membri dei gruppi I, II, III, e


IV; voteranno a favore i membri del gruppo V. Dunque la proposta sara battutacon una maggioranza di 8 contro 7. In definitiva, sara scelta la quantitaxIV . Unaprocedura alternativa consiste nel mettere in votazione a maggioranza le diversequantita di bene pubblico a due a due, individuando cosı il vincitore globale: lostudente potra verificare chexIV risulta essere l’unica alternativa che batte tuttele altre nei confronti di coppia. In sintesi, con il voto a maggioranza prevalel’alternativa xIV , che e l’alternativa preferita dall’unico componente del grup-po IV: l’elettore mediano, cioe quell’elettore che occupa la posizione mediananella distribuzione delle preferenze per il bene pubblico tra i componenti l’assem-blea. Risulta cioe dimostrata la prevalenza dell’elettore mediano: pur in assenzadi votazione o di simulazione della votazione, il teorema dell’elettore medianoavrebbe potuto indicarci i risultati del voto.

Si rilevi la differenza tra alternativa preferita dall’elettore mediano e alternati-va mediana. Nell’esempio precedente l’alternativa preferita dall’elettore medianoe la quantitaxIV , l’alternativa mediana inveceexIII .

Esempio 5.3.Si consideri una societa in cui gli individui abbiano delle preferenzeunimodali intorno al livello di spesa pubblica. Nella tabella seguente per ciascungruppo di elettorie riportata la numerosita del gruppo e la politica ideale.

Votanti per gruppo 3 3 3 2 1 1 2 1 2 1 1

Spesa pubblica ideale 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Il vincitore di Condorcet corrispondera all’alternativa preferita dall’elettore medi-ano, cioe la politica 3. L’alternativa mediana invecee 5.

Il teorema dell’elettore mediano ha una estrema importanza per analisi di caratterepredittivo. Data un’assemblea elettorale e un insieme di politiche possibili, sarasufficiente conoscere la politica ideale dell’elettore mediano per prevedere l’esi-to di un voto a maggioranza. Rimarrebbe la difficolta di conoscere le politicheideali di tutti i componenti l’assemblea, al fine di individuare l’elettore mediano.Tuttavia, queste informazioni non sono sempre necessarie: la posizione medi-anae individuabile spesso sulla base di altre variabili individuali osservabili. Unesempio servira a illustrare il punto.

Supponiamo si tratti di decidere la quantita di risorse pubbliche da destinarealle politiche sociali, e supponiamo che il livello ideale di spesa sociale sia, perogni individuo, funzione decrescente del reddito: i piu ricchi preferiranno menospesa sociale, e viceversa. Per conoscere il livello di spesa sociale che sara votatoa maggioranza none necessario simulare le votazioni; sara sufficiente conoscerela politica ideale che occupa la posizione mediana tra le politiche ideali dei com-ponenti la societa. Ma, data la relazione tra livello del reddito e preferenze sullaspesa sociale, la posizione mediana tra le politiche ideali coincidera con la politicapreferita dall’individuo che occupa la posizione mediana nella distribuzione deiredditi della societa. Sara quindi sufficiente conoscere la distribuzione dei redditi,e le preferenze dell’individuo che occupa la posizione mediana, per prevedere illivello di spesa sociale che sara votato a maggioranza.

76 CAPITOLO 5

5.2.3 L’intensita delle preferenze

Nella descrizione del voto a maggioranza le decisioni collettive si sono basate su-gli ordinamenti di preferenza degli individui. In altre parole, la base informativaesclusiva delle decisioni di gruppoe stata costituita dalle preferenze individua-li. Ora, un ordinamento di preferenza traduce la desiderabilita individuale (o ilbenessere individuale) delle diverse opzioni in informazioni di carattere esclu-sivamente ordinale. Ogni informazione circa l’intensita delle preferenze vieneesclusa alla radice. Questa parsimonia informativa puo condurre un’assembleaad assumere decisioni altamente indesiderabili. Illustriamo il problema con unesempio.

Esempio 5.4.Supponiamo che si debba votare tra due opzionix e y, e che leutilit a di tre individui (A, B, C) componenti la collettivita siano le seguenti:

x y

Benefici A 1000 200

Benefici B −400 100

Benefici C −500 −400

Benefici sociali 100 −100

In questo caso se si votasse a maggioranza trax e non x, x verrebbe rigettataanche se il beneficio nettoe positivo; se si votasse tray e nony, y verrebbeaccettata anche se il beneficio nettoe negativo. Inoltre, se si dovesse scegliere trax ey, secondo la votazione a maggioranza si sceglierebbey anche sex comportaun beneficio netto maggiore. La ragione di queste potenziali inefficienze del votoa maggioranza risiede nel carattere puramente ordinale delle informazioni regi-strate con questa modalita di voto. Esiste una regola attraverso cui tener conto diinformazioni di natura cardinale sulla desiderabilita delle diverse opzioni?

5.2.4 Il logrolling

Un metodo indiretto per rivelare l’intensita delle preferenze, dunque estrarre in-formazioni di natura cardinale,e il log-rolling, ossia lo scambio di voti.E statosuggerito che, allo stesso modo in cui nei mercati privati l’intensita delle prefe-renze viene rivelata mediante il meccanismo del prezzo, si potrebbe tener contodell’intensita delle preferenze mediante la compravendita del voto.

Supponiamo ci siano tre individui A, B e C che debbano scegliere tra:x, pro-durre un bene che beneficia B (oppure no); ey, produrre un bene che beneficia C(oppure no). Supponiamo che il costo sia di 600 euro e sia egualmente distribuito,200 euro a testa, e i benefici siano pari a 700 euro. Avremo dunque:

x non x y non y

Benefici A -200 0 -200 0

Benefici B 500 0 -200 0

Benefici C -200 0 500 0

Benefici sociali +100 0 +100 0


Dunque, siax chey implicano un beneficio sociale positivo, ma sarebbero bocciatidal voto a maggioranza. Si suggerisce dunque che se B e C potessero “barattare”il voto, si rifletterebbe l’intensita delle preferenze e si otterrebbero decisioni piuefficienti: B voterebbe Si pery e C voterebbe Si perx, poiche il loro vantaggionetto sarebbe di 300 euro, e si raggiungerebbe la scelta efficiente.

Tuttavia, anche il logrolling puo portare a scelte inefficienti. Lo scambio delvoto impone infatti un costo agli altri individui non coinvolti nello scambio, eche non viene considerato nelle scelte individuali (si tratta di una esternalita). Inparticolare, non vie nessuna garanzia che il vantaggio dello scambio di voto traB e C superi il costo imposto a A. Supponiamo per esempio che il costo del benesia di 900 invece di 700:

x y

Benefici A -300 -300

Benefici B 400 -300

Benefici C -300 400

Benefici sociali -200 -200

Il beneficio netto per B e C nel caso siax chey vincanoe sempre positivo, +100,ma il benefico totale nettoe negativo, quindi lo scambio del voto ha portato a unadecisione inefficiente.

Il logrolling puo portare a costi elevatissimi di inefficienza nelle decisionipubbliche, specialmente quando si debba decidere tra progetti il cui costo siadiviso tra molte parti.

Un secondo limite del logrolling concerne la stabilita dell’equilibrio. Il log-rolling non risolve il problema dei cicli.Si consideri l’esempio precedente:

x non x y non y

Benefici A -200 0 -200 0

Benefici B 500 0 -200 0

Benefici C -200 0 500 0

Benefici sociali +100 0 +100 0

Ora si supponga abbiano luogo gli scambi.

Scambi Coppiavincente

Coppiaperdente

Votanti chescambiano

Benefici A Benefici B Benefici C

1 x,y non x, non y B e C -400 300 300

2 x, non y x,y A e B -200 500 -200

3 non x, non y x, non y A e C 0 0 0

La situazione di partenza e data dalla coppia (non x, non y).Poiche (x, y)Â (non x, non y), lo scambio n.1 sara effettuato. Tuttavia, la coppia(x, non y) e preferita alla coppia (x, y), dunque un secondo scambio sara effettua-to. Infine, (non x, non y) Â (x, non y), quindi un terzo scambio sara effettuato.

78 CAPITOLO 5

Ma (non x, non y) era la situazione di partenza, dominata dalla coppia (x, y):(x, y) Â (non x, non y). Si e in presenza di un ciclo!

Dunque, il sistema di voto a maggioranza semplice, anche attraverso il log-rolling, puo generare cicli e quindi puo risultare nell’assenza di un vincitore.

Rivolgiamo ora la nostra attenzione a delle regole di voto che assicurinosempre un vincitore.

5.2.5 Il voto a maggioranza sequenziale

Una possibile soluzione al paradosso di Condorcete rappresentata dal voto amaggioranza sequenziale: secondo questa regola, dopo il voto a maggioranzasu una coppia di alternative, l’alternativa sconfitta viene eliminata, mentre lavincente viene opposta a un’altra; questo processo continua fino a quando nonsiano esaurite le opzioni disponibili. Evidentemente, un aspetto decisivo in questaprocedurae l’ordine di votazione.

Esempio 5.5.Le preferenze di tre individui{A, B, C} su tre alternative{x, y, z}sono sintetizzate nella tabella seguente:

Posizione Individui

A B C

I x y z

II y z x

III z x y

Si considerino ora i tre possibili ordini di voto, individuando i relativi vincitori:

1. Ordine del giorno 1:x controy, il vincente controz.

• x controy : x ÂM y → y eliminata• x controz : z ÂM x → x eliminata• Risultato finale : vincez.

2. Ordine del giorno 2:x controz, il vincente controy.

• x controz: z ÂM x → x eliminata• z controy: y ÂM z → z eliminata• Risultato finale : vincey.

3. Ordine del giorno 3:z controy, il vincente controx.

• z controy: y ÂM z → z eliminata• x controy: x ÂM y → y eliminata• Risultato finale : vincex.

Un problema di questa regolae l’arbitrarieta del risultato o “dipendenza dal sen-tiero”: a seconda dell’o.d.g. adottato, tutte le opzioni potrebbero risultare vincitri-ci. Dunque la scelta dipende dal caso oppure dall’abilita di chi gestisce l’o.d.g, nel


caso conosca le preferenze individuali. Tipicamente, le opzioni votate per ultimehanno minor probabilita di essere battute e quindi eliminate: il presidente dellacommissione, cioe chi decide l’ordine del giorno,e incentivato a far votare la pro-pria opzione preferita alla fine. Questo risultato spiega in parte l’importanza dellebattaglie procedurali che hanno luogo nelle assemblee sull’ordine delle votazioni.

La dipendenza del risultato dall’ordine di votazione none l’unico limite diquesta regola decisionale.

Esempio 5.6.Supponiamo ci siano 4 alternative(x, y, z, s), e il seguente profilodi preferenze:

Posizione Individui

A B C

I x z y

II y x s

III z y z

IV s s x

Supponiamo si voti con il seguente ordine del giorno: primax controy, il vin-cente controz, il vincente contros. L’opzione socialmente preferita, dato il pro-filo di preferenze, sarebbes. Si noti tuttavia chey e preferita as da tutti e tregli individui: la regola della maggioranza sequenziale viola il principio Pare-tiano o dell’unanimita! Tutti preferisconoy a s, e tuttavia questa regola conducel’assemblea a sceglieres.

Sembra proprio che il paradosso di Condorcet non lasci scelta. O si votano tuttele alternative una contro l’altra, e allora puo succedere che nessuna ottenga lamaggioranza. Oppure si votano le varie alternative in un certo ordine, e allorala vincitrice dipende dall’ordine scelto. Come se cio non bastasse, un particolareordine di votazioni puo permettere a un’alternativa di vincere anche quando neesista un’altra che lee unanimemente preferita.

Un ulteriore problema del voto a maggioranza sequenzialee il seguente. Siconsideri il caso dell’Esempio 5.6, e si assuma il seguente ordine del giorno:ycontroz, il vincente controx, il vincente contros.

Se tutti i votanti votassero sinceramente,x vincerebbe. Consideriamo ora ilvotante C. Per C,x e la peggiore opzione possibile; se votasse perz invece chepery nel primo voto, alla fine vincerebbes, che egli preferisce ax. L’individuo Cha incentivo a votare in maniera strategica, cioe a votare in maniera non sincera.In questo caso si dice che il sistema a maggioranza sequenziale none a prova distrategia (strategy-proof): non c’e un incentivo per gli individui a votare secondole loro vere preferenze.

Definizione 5.6.Una regola di votoe a prova di strategia quando ogni agente haincentivo a rivelare correttamente le proprie preferenze.

80 CAPITOLO 5

5.2.6 Il sistema maggioritario a turno unico

Con questo metodo, si presentano tutte le alternative simultaneamente, ciascunvotante dichiara la propria alternativa preferita, e vince quella che riceve il mag-gior numero di voti. A differenza dei metodi precedenti, in cui era richiesta laconoscenza dell’intero ordinamento di preferenza di ciascun elettore, in questocasoe sufficiente conoscere l’insieme delle alternative ideali.

Questo sistema garantisce l’esistenza di un vincitore, il quale risulta essereindipendente dall’ordine seguito nella votazione. Inoltree soddisfatto il criteriodell’unanimita.Anche questo sistema, tuttavia, presenta dei limiti rilevanti. In primo luogo ilvincitore con il maggioritario potrebbe non essere il vincitore di Condorcet, cioel’opzione che batte tutte le altre in confronti diretti a maggioranza.

Esempio 5.7.Si considerino quindici votanti, che debbano scegliere rispetto allealternativex, y e z. Supponiamo che gli ordini di preferenze individuali siano iseguenti:

• 6 votanti preferisconox ay, ey az;• 4 votanti preferisconoy az, ez ax;• 5 votanti preferisconoz ay, ey ax.

Posizione N. votanti

6 4 5

I x y z

II y z y

III z x x

Quando si pongano in votazione le alternative con il maggioritario a turno unico,x vince suz per 6 a 5, ez vince suy per 5 a 4:e scelta l’alternativax. Quandoinvece si pongano in votazione le alternative a maggioranza, alloray vince suzper 10 a 5,z vince sux per 9 a 6, e coerentementey vince sux per 9 a 6:e sceltal’alternativay. I due sistemi di votazione producono dunque ordinamenti socialidiversi, e diversi vincitori.

Un secondo limite del sistema maggioritario a turno unico risiede nella possibilitache risulti vincitrice un’opzione chee fra le meno preferite dagli elettori.

Esempio 5.8.Si considerino diciassette votanti, che debbano scegliere rispettoalle alternative(x, y, z, s, t) . La tabella seguente riporta le preferenze per i diversigruppi.



5 2 3 3 4

I x y z s t

II y z y y y

III z s s z z

IV s t t t s

V t x x x x

Il sistema maggioritario scegliex. Ma x e giudicata l’opzione peggiore da 12votanti su 17! Per ogni altra alternativa, vie una maggioranza che la preferiscead x. In generale, i limiti dei sistemi maggioritari dipendono dal fatto che nel-la votazione si considera soltanto una parte dell’informazione contenuta nei variordini di preferenza individuali: precisamente, l’alternativa ideale. In effetti, ilsistema maggioritarioe indicato solo nel caso di due alternative. Questa consid-erazione porta a formulare il prossimo meccanismo di voto.

5.2.7 Il sistema maggioritario a doppio turno

Con questo metodo, nel primo turno ciascun individuo vota per un’unica alter-nativa. Se esiste un’alternativa con una maggioranza superiore al 50% dei voti,questae l’alternativa vincente. Altrimenti, si vota una seconda volta a maggio-ranza semplice per le due opzioni che nel primo turno hanno ottenuto il maggiornumero di voti. Il vincitore di questo secondo turno vince l’elezione.Anche questo sistema garantisce l’esistenza di un vincitore, il quale risulta essereindipendente dall’ordine seguito nella votazione. Inoltree soddisfatto il criteriodell’unanimita.

Anche con il maggioritario a doppio turno il vincitore potrebbe non coin-cidere con il vincitore di Condorcet, cioe l’opzione che batte tutte le altre in con-fronti diretti a maggioranza. Nel caso dell’Esempio 5.8 il sistema maggioritario adoppio turno porterebbe a scegliet invece diy).

Il maggioritario a doppio turno puo, inoltre, dar luogo al paradosso descrittodall’Esempio 5.9:

Esempio 5.9.Si considerino diciassette votanti, che debbano scegliere rispettoalle alternative(x, y, z). La tabella seguente riporta le preferenze per i diversigruppi.


6 5 4 2

I x z y y

II y x z x

III z y x z

Al primo turno le opzionix e y ricevono il massimo numero di voti; al secondoturno si vota trax ey e vincex.

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Supponiamo ora che le preferenze dei due elettori dell’ultimo gruppo cambi-no, diventando le seguenti:x Â y Â z.

Votando,x e z vincerebbero la prima tornata, ez la seconda. Dunque, nono-stante la gente abbia cambiato le proprie preferenze in favore dix rispetto diy, xnon vince piu e invece vincey. None rispettata la seguente proprieta.

Monotonicit a: se l’opzionex vince secondo una certa regola elettorale, e l’in-tensita della preferenza perx aumenta per qualche elettore senza diminuire pernessun altro,x deve continuare a vincere.

Infine il sistema maggioritario none a prova di strategia: con riferimento all’E-sempio 5.9, i due votanti dell’ultimo gruppo avrebbero incentivo a scegliere comenel primo caso, ammesso che le vere preferenze siano come nel secondo.

5.2.8 Il metodo di Borda

Il metodo di Bordae il piu semplice tra i sistemi di voto ponderato, sistemi chepermettono l’espressione della intensita delle preferenze individuali sulle diversealternative attraverso l’esplicita attribuzione di pesi.

Supponiamo ci sianon alternative. Ciascun votante, classificando le alterna-tive in base alle proprie preferenze, attribuisce alla prima in classifican punti, allasecondan− 1 punti, alla terzan− 3, e cosı via. Vince l’alternativa che registra ilmaggior punteggio.

Esempio 5.10.Le preferenze di tre agenti{A,B,C} rispetto a 4 alternative{x, y,z, s} sono:

• Preferenze diA : x Âa y Âa z Âa s;• Preferenze diB : y Âb z Âb s Âb x;• Preferenze diC : z Âc s Âc x Âc y.

Ora vediamo il punteggio attribuito alle 4 alternative con il metodo di Borda:

x y z s

A 4 3 2 1

B 1 4 3 2

C 2 1 4 3

Totale 7 8 9 6

In questo caso vince l’alternativaz.

Il metodo di Borda none a prova di strategia. Nel caso dell’esempio precedente,l’individuo A ha incentivo a mentire: dichiarando (strategicamente) di preferireyax es az, farebbe vincerey invece diz.


Supponiamo ora che le preferenze dell’individuo A cambino effettivamente ediventino le seguenti:y Âa x Âa s Âa z. L’esito di questo cambiamento sara cheora il vincitoreey invece diz. Si noti che la preferenze di tutti gli individui - e inparticolare dell’individuoA - tray ez none cambiata:e cambiata la posizione diy e diz rispetto ad altre alternative, ma none cambiata in alcun modo la preferen-za tra le due. E tuttavia l’ordinamento sociale tray ez e cambiato. Si puo ritenereche questa proprieta sia indesiderabile. Quando si verifica questo caso allora laregola di voto non rispetta la seguente proprieta:

Indipendenza dalle Alternative Irrilevanti (IAI): la preferenza sociale tra duealternativex e y deve dipendere solo dalle preferenze individuali su tali alterna-tive.

I paragrafi precedenti hanno dimostrato la difficolta di disegnare una regola divoto soddisfacente. Tutte le regole di voto considerate, pur presentando pregi

di rilievo, si caratterizzano per limiti e difetti.In questo paragrafo si seguira un percorso inverso: si formuleranno delle

proprieta eticamente desiderabili (assiomi), e ci si porra la seguente domanda:quale regola (o quale insieme di regole) di voto soddisfa queste proprieta di base?Si tratta cioe di dedurre, attraverso un processo logico, il meccanismo di decisionecollettiva da alcuni principi largamente condivisibili.

Il metodo assiomatico, introdotto nella teoria delle scelte collettive da Arrow[1951], scompone una regola di voto in un insieme di assiomi elementari, ottenen-do in tal modo due diversi risultati: rende trasparenti i giudizi di valore impliciti inuna regola di voto; rende chiaro e rigoroso il confronto tra meccanismi di voto al-ternativi. E dunque un contributo molto ricco alla riflessione logica e al confrontoragionato.

5.3 L’approccio assiomatico deduttivo

5.3.1 Il teorema dell’ impossibilita di Arrow

Si tratta del risultato piu importante nella teoria delle scelte collettive, sia per ilmetodo assiomatico per la prima volta introdotto in questo campo di studi, sia peril risultato sorprendente e paradossale messo in luce.

Il modello e quello gia utilizzato nelle pagine precedenti: una assembleaNcomposta dan individui deve scegliere tram politiche alternative, appartenentiall’insiemeX. Ciascun individuoi in N e dotato di un ordinamento di preferen-za, completo e transitivo, sull’insiemeX. Âi e l’ordinamento di preferenza del-l’elettore i, {Â1, ...,Ân} il profilo di preferenzeindividuali eÂS l’ordinamentodi preferenza sociale. Una regola di votoe una funzione la quale, per qualsiasi in-sieme di politicheX, associ un ordinamento di preferenza socialeÂSa un profilodi preferenze individuali.

Arrow [1951] formula il seguente problema: esiste una regola di voto la qualesoddisfi contemporaneamente un insieme di proprieta desiderabili?

84 CAPITOLO 5

Le proprieta desiderabili (assiomi) proposti da Arrow sono i seguenti:

1. Completezza e transitivita dell’ordinamento di preferenza collettivoÂS ;2. Dominio non ristretto : ammissibilita di qualsiasi ordinamento di preferenza

individuale, purche completo e transitivo;3. Unanimit a: se per tutti gli individui xe preferito a y, allora anche per la societa

x deve essere preferito a y;4. Assenza di dittatura: non esiste alcun individuoi in N il cui ordinamento

di preferenzaÂi suX coincide sempre e comunque con l’ordinamento socialeÂS ;

5. Indipendenza dalle alternative irrilevanti : la preferenza sociale tra due alter-native x e y deve dipendere solo dalle preferenze individuali su tali alternative.

Arrow [1951] dimostra che i 5 assiomi precedenti sono tra loro incompatibili.

Teorema 5.3 (Teorema di Impossibilita di Arrow [1951]). Non esiste alcunaregola di voto la quale soddisfi le condizioni 1-5.

Per una semplice dimostrazione, si veda Dardanoni (2002).Dunque, non esiste alcuna regola di voto la quale possa soddisfare contem-

poraneamente le cinque proprieta formulate. Ogni regola di voto, secondo Arrow,deve necessariamente violare almeno una di queste proprieta. Per esempio, la re-gola dittatoriale, in cui un individuo sceglie per tutti, rispetterebbe tutte le altrecondizioni.

Il teorema svela l’esistenza di una difficolta profonda dei sistemi democratici,rendendo tra l’altro manifesta l’esistenza di un conflitto tra esigenze di rappresen-tativita democratica delle regole di voto (espresse dagli assiomi 3 e 4) ed esigenzedi decisivita delle stesse (espresse dagli assiomi 1 e 2). Si tratta di un risultato cer-tamente negativo. Tuttavia, il senso dei risultati assiomatici di impossibilita nonequello di suggerire la rinuncia alle richieste di fondo che sottendono le proprietaformulate. Un risultato di impossibilita individua il limite estremo cuie possibilespingersi con le diverse richieste espresse dagli assiomi. Indebolendo uno o piuassiomi, soluzioni positive sono possibili. E in effetti la ricchissima letteraturanata dal teorema di Arrow ha dimostrato come, indebolendo uno qualsiasi degliassiomi originari,e possibile ottenere risultati positivi, cioe regole elettorali. Ilteorema pero permette di individuare in maniera rigorosa a cosa si sta rinuncian-do con una qualsiasi delle regole di voto possibili.E quindi da interpretare comeuna paradigma di riferimento: ogni regola di votoe ora confrontabile con qualsiasialtra in un’unica griglia interpretativa.

Il teorema di Arrow e il benessere sociale Il risultato dimostrato con il teo-rema di Arrow, e in genere la teoria delle scelte collettive,e suscettibile di unainterpretazione diversa da quella discussa fino a ora. Piuttosto che di analisi deiprocessi decisionali che hanno luogo in una assemblea di individui, il problemaformulato da Arrow puo essere interpretato nel senso di una modalita per ag-gregare gli interessi individuali in una espressione dell’interesse collettivo. Una


regola di voto sarebbe, in questa interpretazione, una funzione che permette dipassare dai livelli di interesse o benessere individuale a un livello di benesserecollettivo: ossia una funzione del benessere sociale welfarista e individualista (siveda Longobardi-Peragine, 2005, cap.II). In questa interpretazione, il teoremasegnalerebbe una difficolta nella costruzione di una nozione robusta e coerente dibenessere sociale. Tuttavia, sotto questo profilo interpretativo gli assiomi propostida Arrow appaiono meno cogenti. Appare in particolar modo discutibile l’ulti-mo degli assiomi di Arrow, l’Indipendenza dalle Alternative Irrilevanti. Questoassioma in buona sostanza sancisce la parsimonia informativa della regola di vo-to. Con l’assioma IAI non solo si esclude che la regola possa andare al di la diinformazioni meramente ordinali circa le preferenze degli individui; si escludeanche, in maniera decisiva, che sia possibile confrontare le posizioni dei diversiindividui. Come dimostrato da Sen (1970), se si traduce la teoria di Arrow nel lin-guaggio delle utilita individuali, l’assioma IAI stabilisce che le utilita individualisiano ordinali e non confrontabili. Ora, evitare il confronto ed eventualmente lacompensazione tra le posizioni dei diversi individui puo apparire scelta plausibilenelle regole di voto democratico. Tuttavia, questa scelta appare moto piu dis-cutibile quando si tratti di aggregare gli interessi individuali in un’unica nozionedi bene o utilita collettiva. In questo campo, infatti, la nozione di bene collet-tivo nasce - deve nascere - da uno sforzo di mediazione e di sintesi di interessidiversi. Ma rinunciando ai confronti inter-personali (con l’assioma IAI), si rin-uncia esattamente alla mediazione degli interessi; non stupisce quindi che in uncontesto informativo talmente povero risulti impossibile una nozione di benesserecollettivo che sia sintesi degli interessi individuali.

Dunque, se interpretato nel senso del benessere sociale, il teorema di Arrownon dimostrerebbe l’impossibilita di una definizione coerente e condivisa di be-nessere collettivo. Piuttosto, sarebbe una prova della impossibilita di basare lanozione di benessere sociale su di una classe di informazioni individuali limitata.In aggiunta, il teorema mostra che la determinazione di che cosa sia possibile eche cosa no puo dipendere in modo cruciale da quelle che sono le informazioni dicui si tiene effettivamente conto nel prendere decisioni sociali.

5.3.2 Il teorema dell’ impossibilita di Gibbard-Satterthwaite

Utilizzando lo stesso modello proposto da K. Arrow, Gibbard [1973] e Satterth-waite [1975] propongono i seguenti assiomi:

1. Decisivita dell’ordinamento di preferenza collettivoÂS : si richiede semplice-mente l’esistenza di un vincitore, e non di un ordinamento completo tra tutte lealternative sub-ottimali;

2. Dominio non ristretto ;3. Assenza di dittatura;4. A prova di strategia.

Teorema 5.4 (Teorema di Gibbard- Satterthwaite).Non esiste alcuna regoladi decisione collettiva la quale soddisfi le condizioni 1-4.

86 CAPITOLO 5

Il teorema di Gibbard-Satterthwaite ha aperto la strada a una letteratura scientifi-ca molto ampia, nel campo dell’economia pubblica, in cui si cerca di disegnareregole e meccanismi pubblici in grado di incentivare gli agenti privati, individui eimprese, che in diversi contesti hanno rapporti con il settore pubblico, a rivelarecorrettamente le informazioni di cui dispongono.

5.3.3 Il teorema di May

Utilizzando lo stesso modello proposto da K. Arrow, May [1952] propone i seguen-ti assiomi:

1. Simmetria: le identita degli individui sono irrilevanti;2. Neutralit a: il nome delle alternative non altera il risultato (qualsiasi permu-

tazione applicata a tutte le preferenze individuali determina la stessa permu-tazione della preferenza sociale);

3. Monotonicit a.

Teorema 5.5 (Teorema di May).Il voto a maggioranza semplicee l’unica regoladi voto che soddisfa le proprieta 1-3.

Suggerimenti per ulteriori letture

I testi classici, gia citati nel testo, rimangono: Arrow [1951], Buchanan andTullock [1962], Gibbard [1973], May [1952], Satterthwaite [1975] e Sen [1970].Si consiglia anche la lettura dei seguenti testi: Dardanoni [2002], Roemer [2001]e Sen [1986].

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Bibliografia

Arrow, K. (1951). Social Choice andIndividual Values. 2nd ed. 1963.Wiley, New York.

Buchanan, J. and Tullock, G. (1962).The Calculus of Consent. TheUniversity of Michigan Press, AnnArbor.

Dardanoni, V. (2002). “A pedagog-ical proof of Arrow’s impossibili-ty theorem”. Social Choice andWelfare.

Gibbard, A. (1973). “Manipulationof voting schemes”.Econometrica,(41):587–601.

Hardin, G. (1978). “The Tragedy of theCommons”.Science.

Longobardi, E. (2005). Economiatributaria. McGraw-Hill, Milano.

May, K. (1952). “A set of indepen-dent, necessary and sufficient condi-tions for simple majority decision”.Econometrica, (20):680–684.

Rawls, J. (1971). A Theory of Jus-tice. Harvard University Press, Cam-bridge. Tadudzione italinaUnateoria della giustizia, Feltrinelli,Milano, 1991.

Roemer, J. (2001).Political Competi-tion. Harvard University Press.

Satterthwaite, M. A. (1975). “Strategy-proofness and Arrow’s conditions:existence and correspondence theo-rems for voting procedures and so-

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Sen, A. K. (1970). Individual choiceand Social Welfare. Holden-Day, SanFrancisco.

Sen, A. K. (1977). “On Weights andMeasures: Informational Constraintsin Social Welfare Analysis”.Econo-metrica, (45). Traduzione italiana inScelta, Benessere, Equita, Il Mulino,1986.

Sen, A. K. (1986). Scelta, benessere,equita. Il Mulino, Bologna.

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