SECANTE, BAIRSTOW, NEWTON PARA RAÍCES MÚLTIPLES

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

UNIDAD ZACATENCO

ANÁLISIS NUMÉRICO

ACADEMIA DE COMPUTACIÓN

UNIDAD II “RAÍCES”

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

PROFESOR: BERNAL MENDOZA JOSE ANTONIO

GRUPO: 4CV2

INTEGRANTES:

LÓPEZ MENDEZ DAVID

MARIANO RAYA DIEGO

MARTÍNEZ GUADIÁN JORGE ISMAEL

SÁNCHEZ SALAS ALBERTO JESÚS

MORELOS LEAL ANA LAURA

“SECANTE, BAIRSTOW, NEWTON PARA RAÍCES MÚLTIPLES”

FECHA DE ENTREGA: 17- SEPTIEMBRE-2013

Métodos de Secante, Bairstow, Newton - Raphson para raíces múltiples. 0

INDICE

INDICE DE FIGURAS…………………………………………………………………………………………………………….………….2

INDICE DE TABLAS…………………………………………………………………………………………….……………………………2

OBJETIVO GENERAL Y PARTICULARES……………………………………………………………………………………………..3

MARCO TEÓRICO……………………………………………………………………………………………………………………………4

REDUCCIÓN DE ECUACIONES……………………………………………………………………………………………..4PARTICIÓN DE ECUACIONES……………………………………………………………………………………………….4TANTEO DE ECUACIONES……………………………………………………………………………………………………5

INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………………………………………………..………………6

DESARROLLO DE LOS MÉTODOS…………………………………………..……………………………………………..……….8

MÉTODO DE LA SECANTE……………………………………………..……………………………………………..…….8

ALGORITMO PARA EL MÉTODO DE SECANTE...…………………………………………..………10PROGRAMA DEL MÉTODO DE LA SECANTE……………………………………………..…………..10PROBLEMA RESUELTO……………………………………………..………..………………………………11

MÉTODO DE BAIRSTOW……………………….………………………..………………….…………………………..12

ALGORITMO PARA EL MÉTODO DE BAIRSTOW: …………………….………………….………..12PROGRAMA DEL MÉTODO DE BAIRSTOW……………………………….……………….………..13PROBLEMA RESUELTO…..……………………………………..……………………………………………..14

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON PARA RAÍCES MÚLTIPLES…………………………….………………16

ALGORITMO PARA EL MÉTODO DE NEWTON PARA RAÍCES MÚLTIPLES………………17PROGRAMA DEL MÉTODO DE LA NEWTON PARA RAÍCES MÚLTIPLES.…………………18PROBLEMA RESUELTO……………………………………………..…………………………………………19PROBLEMA RESUELTO……………………………………………..…………………………………………20

PRUEBAS DE ESCRITORIO…………………………………………………………………………………………………………..21

JUSTIFICACIÓN………………………………………………………………….……………………………………………..………….22

RESUMEN………………………………………………………………………………………………………………………..……………23

GLOSARIO DE TÉRMINOS……………………………………………………..……………………………………………………...24

CONCLUSIONES……………………………………………………………….…………………………………………………………..25

BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………….…………………………………………………………..26


INDICE DE FIGURAS

MÉTODO DE LA SECANTE...…………………………………………..…… ...…………………………………………..…..8-9

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON...………………………………….. ...…………………………………………..……..16

ÍNDICE DE TABLAS

MÉTODO DE LA SECANTE...…………………………………………..…… ...…………………………………………..……11

MÉTODO DE BAIRSTOW...…………………………………………..…… ...…………………………………………..…….14-15

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON...………………………………….. ...…………………………………………..…..19-20


OBJETIVO GENERAL Y PARTICULARES

Se debe de tener la suficiente información para aprovechar satisfactoriamente una amplia variedad de problemas de ingeniería, que se relacionan con las raíces de las ecuaciones. En general, se dominarán las técnicas, se habrá aprendido a valorar su confiabilidad y se tendrá la capacidad de escoger el mejor método (o métodos) para cualquier problema en particular. Así como los algoritmos de cómputo sencillos para ser implementadas las técnicas.

Las técnicas que nos permitirán resolver sistemas de ecuaciones no lineales, raíces de polinomios y raíces múltiples. Para esto, nos permitirá realizar los cálculos de manera más ágil y, sobre todo, presentar una interpretación geométrica del método. De esta manera, se entenderá por qué estos métodos requieren de numerosos cálculos.

Estudiaremos una fórmula que, mediante un planteamiento generalizado, nos permite proponer y explorar técnicas diferentes a las vistas anteriormente. Se recurrirá sistemáticamente a la interpretación gráfica de los métodos, a fin de mostrar visualmente su funcionamiento y de enriquecer las imágenes asociadas con ellos; de Igual manera, se generan tablas en la aplicación de cada técnica para analizar el comportamiento numérico y eventualmente detener el proceso.

Esto, junto con el concepto de orden de convergencia, nos permitirá tener los elementos suficientes para seleccionar la técnica más adecuada para una situación dada.


MARCO TEÓRICO

Antes de desarrollar los métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales con varias incógnitas, se destacarán algunas de las dificultades que se presentan al aplicar estos métodos.

• Es imposible graficar las superficies multidimensionales definidas por las ecuaciones de los sistemas para n > 2.• No es fácil encontrar "buenos" valores iniciales.

REDUCCIÓN DE ECUACIONES

Resulta muy útil tratar de reducir analíticamente el número de ecuaciones y de incógnitas antes de intentar una solución numérica. En particular, hay que intentar resolver alguna de las ecuaciones para alguna de las incógnitas. Después, sustitúyase la ecuación resultante para esa incógnita en todas las demás ecuaciones; con esto el sistema se reduce en una ecuación y una incógnita. Continúe de esta manera hasta donde sea posible.

Por ejemplo, en el sistema

f 1 (x1 , x2 )=10 ( x2−x12)=0

f 2 (x1 , x2 )=1−x1=0

se despeja x, en la segunda ecuaciónx1=1

y se sustituye en la primera

10 (x2−12 )=0cuya solución, x2=1, conjuntamente con x1= 1 proporciona una solución del sistema dado, sin necesidad de resolver dos ecuaciones con dos incógnitas.

PARTICIÓN DE ECUACIONES

A veces resulta más sencillo dividir las ecuaciones en subsistemas menores y resolverlos por separado. Considérese por ejemplo el siguiente sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas.

f 1 (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )=0f 2 (x1 , x2 , , x5 )=0f 3 (x1 , x3 , x4 , x5 )=0f 4 (, x2, x4 )=0f 1 (x1 , x4 )=0


En vez de atacar las cinco ecuaciones al mismo tiempo, se resuelve el subsistema formado por f 2, f 4 y f 5. Las soluciones de este subsistema se utilizan después para resolver el subsistema

compuesto por las ecuaciones f 1 y f 3. En general, una partición de ecuaciones es la división de un sistema de ecuaciones en subsistemas llamados bloques. Cada bloque de la partición es el sistema de ecuaciones más pequeño que incluye todas las variables que es preciso resolver.

TANTEO DE ECUACIONESSupóngase que se quiere resolver el siguiente sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas.

f 1 (x2 , x3 )=0f 2 (x2 , x3 , , x4 )=0f 3 (x1 , x2 , x3 , x4 )=0f 4 (x1 , x2 , x3 )=0

No se pueden dividir en subsistemas, sino que es preciso resolverlas simultáneamente; sin embargo, es posible abordar el problema por otro camino. Supóngase que se estima un valor de x3 . Se podría obtener así x2 a partir def 1, x4de f 2 y x1de f 3 . Finalmente, se comprobaría conf 4 la

estimación hecha de x3 . Si f 4 fuese cero o menor en magnitud que un valor predeterminado o

criterio de exactitud E, la estimación x3 y los valores de x2 , x4 , y x1obtenidos con ella, serían una aproximación a la solución del sistema dado. En caso contrario, habría que proponer un nuevo valor de x3 y repetir el proceso.


INTRODUCCIÓN

Para la ecuación:

f ( x )=ax2+bx+c=0

Se tiene acostumbrado usar la fórmula cuadrática:

x=−b±√b2−4ac2a

A las ecuaciones calculadas de la ecuación se les llama “raíces” de la ecuación. Éstos representan los valores de x que hacen a la ecuación cuadrática igual a cero. Por lo tanto, se puede definir a la raíz de una ecuación como el valor de x que hace f ( x )=0. Por esta razón, algunas veces a las raíces se les conoce como ceros de la ecuación.

Aunque la fórmula cuadrática es útil para resolver la ecuación, hay muchas funciones que no se pueden resolver de manera tan sencilla. Por ejemplo, una función de apariencia simple tal como

f ( x )=e2−x no se puede resolver analíticamente. Así que se han usado métodos numéricos para obtener soluciones aproximadas a la respuesta.

Las raíces de las ecuaciones pueden ser reales o complejas. Aunque hay algunos casos en que las raíces complejas de las funciones no polinomiales son de interés, esta situación es menos común que para polinomios Por lo tanto, los métodos numéricos estándar para encontrar raíces, caen en dos áreas de problemas parecidos en principio, pero fundamentalmente diferentes.

1. La determinación de raíces reales de ecuaciones algebraicas y trascendentales. Estas técnicas se diseñaron para determinar el valor de una raíz simple de acuerdo con un conocimiento previo de su posición aproximada.

2. La determinación de todas las raíces reales y complejas de un polinomio. Estos métodos se diseñan de manera específica para polinomios. Determinan sistemáticamente todas las raíces del polinomio en lugar de hacerlo sólo con una, dada la posición aproximada.

En éste trabajo se plantearán los métodos de “Secante, Bairstow, Newton para raíces múltiples” en los que se plantean diferentes maneras de hacerlo:

MÉTODOS ABIERTOS

Se basan en fórmulas que requieren únicamente de un solo valor de inicio x o que empiecen con un par de ellos, pero no necesariamente encierran a la raíz. Como tales a veces divergen o se alejan de la raíz verdadera a medida que crece el número de iteraciones. Sin embargo,


cuando los métodos abiertos convergen, por lo general lo hacen muchos más rápido que los métodos que usan intervalos. Por ejemplo el método de la Secante.

RAÍCES MÚLTIPLES

Una raíz múltiple corresponde a un punto donde la función es tangencial al eje x.

f ( x )=x 4−6 x3+12x2−10 x+3

Las raíces múltiples ofrecen ciertas dificultades.

1. El hecho de que la función no cambia de signo en raíces múltiples pares impide uso de los métodos confiables que usan intervalos. De esta manera, los métodos abiertos tienen la limitación de ser divergentes.

2. f ( x ) y f ' ( x ) se aproximan a cero. Estos problemas afectan a los métodos de Newton-Rhapson y al de la secante, los cuales contienen derivadas (o aproximaciones de ella) en el denominador de sus respectivas formulas. Esto provocaría una división entre cero cuando la solución converge muy cercana a la raíz. Ya que convergen en manera lineal y no cuadrática.

Ejemplo: Newton-Raphson modificado para el cálculo de raíces múltiples.

RAÍZ DE POLINOMIOS

Son los métodos para encontrar las raíces de ecuaciones polinomiales de la forma general

f n ( x )=a0+a1 x+a2 x2+…ax x

n

Donde n es el orden del polinomio y las a son coeficientes constantes. Aunque los coeficientes pueden ser números complejos, la discusión se limitará a los casos en que sean reales. Para tales casos las raíces pueden ser reales y/o complejas.

Las raíces de tales polinomios tienen las siguientes reglas:

1. Para la ecuación de orden n, hay n raíces reales o complejas. Se debe notar que esas raíces no necesariamente son distintas.

2. Si n es impar, hay al menos una raíz real.3. Si las raíces complejas existen, existe un par conjugado (esto es, λ + μi y λ – μi), donde i=√−1.

Ejemplo: Bairstow


DESARROLLO DE LOS MÉTODOS

MÉTODO DE LA SECANTE

El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto, lo cual puede llegar a resultar engorroso. Sin embargo, la forma funcional de f(x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. El método de la secante es casi idéntico al de regla falsa salvo por un detalle: no se tiene en cuenta el signo de la función para estimar el siguiente punto.

Se procede independientemente de los signos de la función. De todas maneras en algunos casos es más útil emplear el método de la secante. Este método, a diferencia del de bisección y regla falsa, casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando. Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va chequeando la intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca.

Fig. 1. Representación grafica del método de la secante

Una forma de evitar el cálculo de f '(x) consiste en considerar como aproximación a la derivada la recta que pasa por los valores de 2 iteraciones sucesivas (estima la tangente) es decir, la pendiente de la recta:


f ' ( X0 )=f ( X1 )−f (X0 )X1−X0

Esta variante se conoce con el nombre de método de la Secante. Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, se obtiene la expresión del método de la secante que proporciona el siguiente punto de iteración:

X2=X1−X1−X 0

f ( X1 )−f ( X0 )f (X1 )

Fig. 2. Representación geométrica de las iteraciones al aplicar el método de la secante.

La sucesión queda expresada en términos generales como:

X n=Xn−1−[( Xn−1−X n−2f ( Xn−1)−f ( Xn−2 )

)] f ( Xn−1 )

A partir de ciertos valores X 0 y X1 dados. El algoritmo deberá parar cuando |Xn+1−Xn|sea menor

que la precisión requerida. Obviamente, para poder arrancar el método se necesitan dos valores iniciales.

Forma de hacerlo:

Primero hay que definir algunos conceptos como:

X nEs el valor actual de X.

X n−1Es el valor anterior de X.

X n+1Es el valor siguiente de X.


Como su nombre lo dice, este método va trazando rectas secantes a la curva original, y como después del primer paso no depende de otras cantidades sino que solito va usando las que ya se obtuvieron, casi nunca falla porque se va acomodando y hará que encuentra la raíz.

ALGORITMO PARA EL MÉTODO DE SECANTE:

1) Se dan 2 valores: Xi y Xi-1

2) Se calcula f (xi) y f (xi-1)

3) Se obtiene Xi+1 mediante la fórmula de la secante

4) Se vuelve al paso 2 para encontrar una nueva raíz

PROGRAMA DEL MÉTODO DE LA SECANTE

#include<conio.h> #include<math.h> #include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include<iostream.h>

double f(float Xi); double f1(float Xr);

int main(void){ int SI=1; do{ system("cls" ); float Xi=0,Ea=0,Xz=0,Xr=0; int cont=0; printf("ttPRACTICA #5n" ); printf("t METODO DE LA SECANTEn" ); printf("tbasado en una practica de salonnn" ); printf("instroduce Xi:n" ); scanf("%f",&Xi); printf("nnI Xi-1 Xi Xi+1 f(Xi-1) f(Xi) Ean" );

do{ Xr=(Xi-1); Xz= Xi-((f(Xi)*(Xr-Xi))/(f1(Xr)-f(Xi))); Ea=fabs((Xz-Xi)/Xz)*100; printf("%d %f %.5f %.5f %.5f %.5f %fn",cont,Xr,Xi,Xz,f1(Xr),f(Xi),Ea); cont++; Xi=Xz; }while(Ea>=0.05); printf("nnn" );


printf("DESEAS REALIZAR LA OPERACION OTRA VEZ? SI[1] NO[2]n" ); scanf("%d",&SI); }while(SI<=1); system("PAUSE" ); }

double f(float Xi){ return (exp(-Xi))-Xi; }

double f1(float Xr){ float n = (exp(-Xr))-Xr; return n; }

PROBLEMA RESUELTO MÉTODO SECANTE

Encuentre una raíz aproximada en el intervalo: [0,1] para la siguiente ecuación, usando aritmética de cuatro dígitos:

Si tomamos como semillas x1=0 , x2=1 , llenamos la siguiente tabla:

1 0 1 -3 0.5598 3.5598

2 1 0.8428 0.5598 -0.5120 6.8180

3 0.8428 0.9179 -0.5120 -0.0323 6.3880

4 0.9179 0.9230 -0.0323 0.0021 6.7990

5 0.9230 0.9227 0.0021 0 6.8239

En el ejemplo anterior no hubo necesidad de calcular la primera derivada de la función. Si se

quisiera aplicar el método de Newton-Raphson hubiera sido necesario encontrar así:

f ' ( x )=x2cos ( x )+2xsen ( x )+xex+ex


MÉTODO DE BAIRSTOW

Se trata de un proceso iterativo que combina los métodos de Muller y Newton-Raphson.

El acercamiento de Bairstow es utilizar Método del neutonio para ajustar los coeficientes u y v en cuadrático x2 + ux + v hasta que sus raíces son también raíces del polinómico que son solucionadas. Las raíces de la ecuación cuadrática pueden entonces ser determinadas, y el polinomio se puede dividir por la ecuación cuadrática para eliminar esas raíces. Este proceso entonces se itera hasta que el polinomio llega a ser cuadrático o linear, y se han determinado todas las raíces.

División larga de un polinomio por x2 + ux + v rinde un cociente y un resto cx + d tales que las variables c, d, y {bi} son las funciones de u y v. Pueden ser encontrados recurrentemente como sigue.

La ecuación cuadrática divide uniformemente el polinomio cuando valores de u y v para cuál ocurre él puede ser descubierto escogiendo valores que comienzan e iterando el método del neutonio en dos dimensiones hasta convergencia ocurre.

El método consiste en un procedimiento para el cálculo de las raíces de un polinomio buscando factores cuadráticos x2−rx−s del mismo, es decir, tales que:

p ( x )=x2−rx−s p1(x )

ALGORITMO PARA EL MÉTODO DE BAIRSTOW:

El procedimiento general para el método de Bairstow es:

Dado f n ( x ) y r0 y s0


1) Utilizando el método de Newton Rapshon calculamos f 2 ( x )=x2−rx−s y f n−2 ( x ), tal que, el

residuo de f n ( x )f 2 ( x )

sea igual a cero.

2) Se determinan la raíces f 2 ( x ) , utilizando la formula general.

3) Se calcula f n−2 ( x )=f n ( x )f 2 ( x )

.

4) Hacemosf n ( x )=f n−2 ( x )

5) Si el grado del polinomio es mayor que tres regresamos al paso 2; en caso contrario, terminamos.

PROGRAMA MÉTODO BAIRSTOW

#include<stdio.h>#include<conio.h>#include<math.h>#define ESP 0.001#define F(x) (x)*(x)*(x) + (x) + 10#define a3 1#define a2 0#define a1 1#define a0 10//#define c3 0void main(){ double u,v,u1,v1,u2,v2,b3,b2,p,b1,b0,c2,c1,c0,U,V; int i=1; float c3=0; clrscr(); printf("\nEnter the value of u: "); scanf("%lf",&u); printf("\nEnter the value of v: "); scanf("%lf",&v); b3=a3; b2=a2+u*b3; b1=a1+u*b2+v*b3; b0=a0+u*b1+v*b2; c2=b3; c1=b2+u*c2+v*c3; c0=b1+u*c1+v*c2; p=c1*c1-c0*c2; U=((-(b1*c1-b0*c2))/(p)); V=((-(b0*c1-c0*b1))/(p)); u1=u+U; v1=v+V; printf("\n\n b0 = %lf",b0); printf("\n\n b1 = %lf",b1); printf("\n\n b2 = %lf",b2); printf("\n\n b3 = %lf",b3); printf("\n\n c0 = %lf",c0); printf("\n\n c1 = %lf",c1);


printf("\n\n c2 = %lf",c2); printf("\n\n c3 = %lf",c3); printf("\n\n * * * u = %lf * * *",u1); printf("\n\n * * * v = %lf * * *",v1);

do { u=u1; v=v1; b3=a3; b2=a2+u*b3; b1=a1+u*b2+v*b3; b0=a0+u*b1+v*b2; c2=b3; c1=b2+u*c2+v*c3; c0=b1+u*c1+v*c2; p=c1*c1-c0*c2; U=((-(b1*c1-b0*c2))/(p)); V=((-(b0*c1-c0*b1))/(p)); u2=u+U; v2=v+V; printf("\n\n b0 = %lf",b0); printf("\n\n b1 = %lf",b1); printf("\n\n b2 = %lf",b2); printf("\n\n b3 = %lf",b3); printf("\n\n c0 = %lf",c0); printf("\n\n c1 = %lf",c1); printf("\n\n c2 = %lf",c2); printf("\n\n c3 = %lf",c3); printf("\n\n u = %lf ",u2); printf("\n\n v = %lf ",v2);

if(fabs(u1 - u2) < ESP && fabs(v1-v2) < ESP) { printf("\n\nREAL ROOT = %.3lf",u2); printf("\n\nREAL ROOT = %.3lf",v2); i=0; } else { u1 = u2; v1 = v2; } }while(i!=0);getch();}

PROBLEMA RESUELTO MÉTODO BAIRSTOW

Dado el polinomio f5(x) = x5 - 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 - 3.875x + 1.25, determinar los valores de r y s que hacen el resido igual a cero. Considere r0 = -1 y s0 = 2.

Iteración 1La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -x + 2.0 da como resultado3(x) = x3 - 4.5x2 + 9.25x - 16.125 Residuo = {30.75, -61.75}


Aplicando el método de Newton tenemos-43.875 16.75 dr -30.75108.125 -43.875 ds 61.75

De donder1 = -1.0 + 2.7636812508572213 =1.763s1 = 2.0 + 5.403374022767796 =7.403

Iteración 2 La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -1.763x - 7.403 da como resultadof3(x) = x3 - 1.736x2 + 7.091x - 1.776 Residuo = {51.756, 105.685}

Aplicando el método de Newton tenemos27.628 14.542 dr -51.756

208.148 27.628 ds -105.685

De donder2 = 1.7636 - 0.047 = 1.716s2 = 7.403 - 3.469 = 3.934

Iteración 3 La división sintética con el polinomio f2(x)= x2 - 1.716x - 3.934 da como resultadof3(x) = x3 - 1.783x2 + 3.622x + 1.326Residuo = {12.654, 28.188}

Aplicando el método de Newton tenemos13.834 7.441 dr -12.65465.679 13.834 ds -28.188

De donder3 = 1.716 - 0.116 = 1.599s3 = 3.934 - 1.483 = 2.450

En resumen,

K R s Residuo0 -1 2 30.75 -61.751 1.763 7.403 51.756 105.685


2 1.716 3.934 12.654 28.1883 1.599 2.450 2.899 8.1544 1.333 2.186 0.760 2.5225 1.118 2.113 0.271 0.6076 1.027 2.023 0.043 0.1117 1.001 2.001 0.002 0.0068 1.000 2.000 1.139E-5 2.675E-5

La solución es:

f3(x) = x3 - 2.53x2 + 2.25x - 0.625 y f2(x) = x2 - x - 2

Las raíces de f2(x) = x2 - x - 2, son

x1 = 2x2 = -1

METODO DE NEWTON-RAPHSON PARA RAÍCES MÚLTIPLES

Entre los métodos de aproximaciones sucesivas para encontrar algunas de las raíces de una ecuación algebraica o trascendente, el de Newton-Raphson es el que presenta mejores características de eficiencia, debido a que casi siempre converge a la solución y lo hace en un número reducido de iteraciones.

Este método es aplicable tanto en ecuaciones algebraicas como trascendentes y con él es posible obtener raíces complejas.

Tal vez, de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton-Raphson sea la más ampliamente utilizada. Si el valor inicial para la raíz es xi, entonces se puede trazar una tangente desde el punto [xi,f(xi)] de la curva. Por lo común, el punto donde esta tangente cruza el eje x representa una aproximación mejorada de la raíz.


Fig.3. El método de Newton-Rapshon se deduce a partir de esta interpretación geométrica.

El método de Newton-Raphson, como todos los de aproximaciones sucesivas, parte de una

primera aproximación y mediante la aplicación de una formula de recurrencia se acercara a la raíz

buscada, de tal manera que la nueva aproximación se localiza en la intersección de la tangente a la

curva de la función en el punto y el eje de las abscisas.

De la figura se tiene que la primera derivada en x es equivalente a la pendiente:

f ' (x i )=f (x i )−0x i−x i+1

Que se reordena para obtener:

x i+1=x i−f (x i )f ' (x i )

La cual se conoce como fórmula de Newton-Raphson.

ALGORITMO PARA EL MÉTODO DE NEWTON PARA RAÍCES MÚLTIPLES


Para calcular el punto xi+1, calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

Hacemos y=0:

Y despejamos x:

Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:

, si

PROGRAMA DEL METODO DE NEWTON RAPHSON

#include<stdio.h> #include<conio.h> #include<math.h> #include<stdlib.h> #include<iostream.h>

double f(float Xi); double f1(float Xi); double f2(float Xi);

int main(void){ int SI=1; do{ system("cls" ); float Xi=0,Ea=0,Xz=0; int cont=0;


printf("tt PRACTICA #6n" ); printf("t METODO DE NEWTON-RAPSON MODIFICADOn" ); printf("t basado en una practica de salonnn" ); printf("introduce Xi:n" ); scanf("%f",&Xi); if(Xi>=1){ // entra condicion si valor es igual a 0 printf("nNO ES FACTIBLE REALIZAR LA PRUEBA CON NUMEROS AYORES A CERO:n" " ttn" ); // le dices al user que el fac de 0 es 1 } else{ printf("nnI Xi f(Xi) f'(Xi) f''(Xi) Ean" ); do{ Xz=Xi-((f(Xi)*f1(Xi))/((pow(f1(Xi),2))-(f(Xi)*f2(Xi)))); Ea=fabs((Xz-Xi)/Xz)*100; printf("%d %.6f %.6f %.6f %.6f %f n",cont,Xi,f(Xi),f1(Xi),f2(Xi),Ea); Xi=Xz; cont++; }while(Ea>=0.005); } printf("nnn" ); printf("DESEAS REALIZAR LA OPERACION OTRA VEZ? SI[1] NO[2]n" ); scanf("%d",&SI);

}while(SI<=1); system("PAUSE" ); return 0; }

double f(float Xi){ float z= pow(Xi,3)-5*pow(Xi,2)+7*(Xi)-3; return z; }

double f1(float Xi){ float n = 3*pow(Xi,2)-10*(Xi)+7; return n; } double f2(float Xi){ float l = 6*(Xi)-10; return l; }

PROBLEMA RESUELTO METODO DE NEWTON RAPHSON

Usando el método de Newton-Raphson y el método de Newton mejorado, encuentre una raíz

negativa para la ecuación:

Primero que todo ubicamos la raíz, la cual está en el intervalo: [-2,-1]

a) Usando el método de Newton-Raphson, se encuentra la siguiente tabla, con cuatro dígitos

significativos. Tomando como semilla: x1=−1


1 -1 -48 184 -0.2649

2 -0.7351 -12.5925 86.7659 -0.1451

3 -0.5900 -3.3072 42.2507 -0.0783

4 -0.5117 -0.8505 20.8004 -0.0409

5 -0.4708 -0.2159 10.3125 -0.0209

6 -0.4499 -0.0546 5.1431 -0.0106

7 -0.4393 -0.0138 2.5703 -0.0053

8 -0.434 -0.0035 1.293 -0.0027

9 -0.4313 -0.0009 0.6505 -0.0014

10 -0.4299 -0.0002 0.3252 -0.0007

11 -0.4299

b) Para aplicar el método de Newton mejorado se requiere de la segunda derivada, así:

f ''( x )=294 x−112

Empezamos con la misma semilla

1 -1.0 -0.2609 0.0.4244 -0.6147 -48

2 -0.3853 0.0218 0.5093 0.0429 -0.2188


3 -0.4282 0.0020 0.5001 0.0040 -0.0002

4 -0.4286 0 0.5 0 0

En sí mismos, los resultados son bastante claros. En el caso que nos ocupa, la ecuación tiene una

raíz doble en x=47≃0 .4286

es decir, el método de Newton mejorado no sólo converge más rápidamente, sino que proporciona un valor más exacto

PRUEBA DE ESCRITORIO

MÉTODO DE SECANTE

# Xi Xd Fxi Fxd Nuevo Xm Error

1 -3 -2 -14 6 -2.3 -0.3

2 -3 -2.3 -14 1.533 -2.51 -0.21

3 -2.51 -2.3 -2.323251 1.533 -2.3207255520505 -0.020725552050473

4 -2.51 -2.3207255520505 -2.323251 1.1803871495748 -2.395969027827 -0.075243475776506

5 -2.395969027827 -2.3207255520505 -0.15043075408291 1.1803871495748 -2.3460753250876 -0.025349773037123

6 -2.395969027827 -2.3460753250876 -0.15043075408291 0.74096319530987 -2.3903292274407 -0.044253902353135

7 -2.3903292274407 -2.3460753250876 -0.04789074483039 0.74096319530987 -2.3828609830056 -0.036785657917969


8 -2.3903292274407 -2.3828609830056 -0.04789074483039 0.087191294668852 -2.3898758357919 -0.0070148527863751

9 -2.3898758357919 -2.3828609830056 -0.039667231209549 0.087191294668852 -2.3873888543541 -0.0045278713485732

10 -2.3898758357919 -2.3873888543541 -0.039667231209549 0.0053886529350926 -2.3890981847273 -0.0017093303731688

11 -2.3890981847273 -2.3873888543541 -0.025569238087972 0.0053886529350926 -2.387593289098 -0.00020443474381393

12 -2.3890981847273 -2.387593289098 -0.025569238087972 0.0016883143877866 -2.3878552371823 -0.00026194808438618

13 -2.3878552371823 -2.387593289098 -0.0030539102982061 0.0016883143877866 -2.3876095139854 -1.6224887400274E-5

MÉTODO BAIRSTOW

# rs residuo

0 -1 2 30.75 -61.751 1.76368 7.403374 51.756406 105.685782 1.71640 3.93426 12.65471 28.188143 1.599731 2.450680 2.89958 8.154674 1.33354 2.18666 0.760122 2.5222285 1.11826 2.11302 0.271940 0.6076886 1.02705 2.02317 0.04313 0.111857 1.00165 2.00153 0.00277 0.006348 1.00000 2.00000 1.13930E-5 2.67534E-5

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

#Fxn

Dfxn Nuevo Xm

1 18 4 -3.52 -30.375 37.75 -2.69536423841063 -6.2771541041392 22.794965133108 -2.4199896516334 -0.59229583988115 18.569049742033 -2.38809271301155 -0.0073539466744812 18.108960417816 -2.38768661865246 -1.1814129692311E-6 18.103142166676 -2.3876865533923

JUSTIFICACIÓN

A lo largo de los años, han existido los números y las matemáticas aplicadas a la resolución de casos reales, existen aplicaciones que nos dan un resultado pero algunas veces no es lo que se espera, ya que existe un error.

Para esto empezaron a usar algoritmos, que dieron resultados a sistemas matemáticos con una mayor precisión, lo cual llevo a crear métodos con el fin de bajar el margen de error, tener resultados con una mayor precisión en el aspecto real.

Los métodos son confiables con el uso de las cifras significativas, que son las que se encuentran después del punto decimal, el propósito de los métodos es encontrar un valor entre el valor ideal y


el valor aproximado, a este valor se le conoce como raíz, el propósito es encontrar que la función f(x), sea acerque o sea igual a cero: f(x)=0.

El error aceptable para este tipo de cálculos, se le denomina error de tolerancia que es del 0.005% en base con la IEEE. Donde Es= error de tolerancia y detención de cálculos.

Ahora existen varios métodos que nos permiten resolver funciones cuando se quiere saber un solo resultado o varios, es decir, una raíz o múltiples raíces, los principales métodos son los siguientes:

- Método de la Secante- Método de Newton-Raphson- Método de Bairstow

Con la ayuda de estos métodos, la información correcta del problema y un margen de error de cálculo muy pequeño, nos podemos evitar muchos cálculos, mucha teoría y encontrar una aplicación lo menos compleja que se pueda, ya que esto se programará, con algún dispositivo con el que sea compatible y factible usar dicho método.


RESUMEN

Para los métodos que se muestran se requieren diferentes métodos, el de la secante requiere que las funciones sean diferenciales, y por lo tanto continúas, en un intervalo donde se apliquen aquellas. También se puede intentar utilizarlos para funciones no diferenciales o discontinuas en algunos puntos, pero en este caso el llegar al resultado dependerá aleatoriamente de que durante la aplicación del método no se toquen esos puntos.Se puede definir a la raíz de una ecuación como el valor de x que hace a f ( x )=0.Los métodos abiertos utilizan una fórmula para predecir la raíz. Esta fórmula puede desarrollarse como una iteración simple

Para los métodos de Newton para varias raíces y Bairstow se aplica cuando las raíces son múltiples.Las raíces múltiples son determinados de ecuaciones polinómicas que tienen la forma general:

f n ( x )=a0+a1 x+a2 x2+…ax x

n

Donde n es el grado del polinomio y son los coeficientes. Las raíces de los polinomios pueden ser reales y/o complejos, y cumplir con las tres reglas:

1. En una ecuación de grado n, hay n raíces reales o complejas. Cabe señalar que las raíces no son necesariamente diferentes.

2. Si n es impar hay al menos una raíz real.

3. Si hay raíces complejas, estas se encuentran en pares conjugados.


GLOSARIO DE TÉRMINOS

Método: conjunto de procedimientos preestablecidos que determinan un comportamiento con respecto a una situación determinada.

Raíz: valor buscado para que la función sea igual a cero, el cuál puede ser uno solo o múltiples valores.

Secante: es un método para encontrar múltiples raíces dependiendo del sistema matemático. El cual se basa en dos valores iniciales y a partir de ahí se retroalimenta.

Iteración: cálculo específico repetitivo para conocer el error, el cual consta de tomar en cuenta la información del problema como:

- Error absoluto=│valor verdadero - valor aproximado│- Error relativo verdadero=│error absoluto/valor verdadero│*100%- Error relativo aproximado=│(aprox. actual-aprox. previa)/aprox. actual│*100%- Error relativo aproximado<Error de tolerancia(Es=0.005%)

Algoritmo: conjunto de pasos ordenados en forma secuencial y lógica que nos permite resolver un problema específico.

Método numérico: aplicación del método y del algoritmo para disminuir la complejidad de modelos físicos y ecuaciones matemáticas, encontrando una solución precisa y con menor número de cálculos y un error mínimo.

Incógnita: valor que no se conoce, generalmente representada con las últimas letras del alfabeto x, y, z.

Bisección: método numérico que va partiendo la ecuación en dos intervalos reduciendo el espacio hasta llegar al intervalo más cercano a la raíz.

Convergencia: la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado.

Divergencia: mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.


http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_sucesi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1tica

CONCLUSIONES INDIVIDUALES

LÓPEZ MENDEZ DAVID

Con este conjunto de procedimientos que investigamos podemos realizar cualquiera sin problema alguno ya que el uso de los mismos nos permitirá darle una solución lógica a los problemas que nos encontramos día con día en la vida cotidiana.

MARIANO RAYA DIEGO

El uso de métodos numéricos permite disminuir fallas en instrumentos, dispositivos, cálculos, o eventos de la vida diaria, para esto es importante siempre poder conocer el problema, la mejor forma de resolverlo y con que nos podemos ayudar en cuanto a herramienta física o virtual, para entonces poder llevarlo a la aplicación real y dar una solución lógica y lo menos compleja posible.

MARTÍNEZ GUADIÁN JORGE ISMAEL

Con esta investigación observé que los problemas con los que nos hemos encontrado a lo largo de los años tienden a tener un índice de error por más pequeño que parezca y que aún siendo mínimo este influye de una manera un tanto significativa por lo que los diversos métodos que hemos desarrollado tanto en clase como los investigados en este trabajo nos facilitaran la forma de encontrar que tanto estamos aproximados a encontrar el resultado ideal.

MORELOS LEAL ANA LAURA

Para resolver algunos problemas a nivel ingeniería, a veces no es posible realizarlo a través de métodos o fórmulas simples, ya que pueden generar datos erróneos ó tener errores considerables. Así que se desarrollaron distintos métodos para que esto no suceda y así poder tener resultados precisos. Aunque su uso no es cotidiano, es bueno conocerlos así como los márgenes de error que éstos pueden generar. Al conocer bien los distintos métodos, los casos en los que se puede utilizar y el problema que se nos presente, al usuario se le ahorrará tiempo y el riesgo de equivocarse.

SÁNCHEZ SALAS ALBERTO JESÚS

Gracias a la elaboración de esta investigación pude conocer mejor cada método, de que trata cada uno y con estos conocimientos poder solucionar problemas que se suscitan en la industria ya que gracias a estos, se pueden resolver algunos problemas de manera más sencilla y con un error mínimo que no son tan fáciles resolverlos de manera analítica o gráfica.


BIBLIOGRAFÍA

1. - Stoer, J. and Bulirsch, R.: Introduction to Numerical Analysis. Springer-Verlag, 1985.

2.- Steven C. Chapra, Métodos Numéricos para ingenieros, 6° ed., Mc. Graw Hill.

3.-Conde, C. y Winter, G.: Métodos y algoritmos del ´algebra numérica. Editorial Reverté, 1990.


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SECANTE, BAIRSTOW, NEWTON PARA RAÍCES MÚLTIPLES