Embed Size (px)
Citation preview
SECCIÓN 7.3 INTRODUCCION
A VECTORES Capítulo 7
Introducción
• Cantidades tales como área, volumen,
longitud, temperatura y tiempo se componen
únicamente de una magnitud y se pueden
describir completamente con un valor real.
• Estas cantidades se conocen como valores
escalares y el valor real correspondente se
conoce como un escalar.
Introducción - continuada
• Conceptos como: velocidad y fuerza tienen
magnitud y también dirección.
• Frecuentemente se representan como un
segmento de línea dirigido – esto es un
segmento de línea al que se le asigna una
dirección.
• Un segmento de línea dirigido se conoce como
un vector.
Vector de desplazamiento
• 𝑃𝑄 es un vector de
desplazamiento con punto
inicial P y punto final Q.
• El vector de desplazamiento
PQ, también se puede denotar
∆r
• Los componentes de ∆r = PQ
son <q1 – p1, q2 – p2>, donde
P tiene coordenadas (p1 , p2) y
Q, (q1 , q2) .
∆r
Vector de desplazamiento
• La magnitud del vector
𝑃𝑄 es la distancia
recorrida de P a Q y se
denota 𝑃𝑄
• 𝑄𝑃 es un vector con la
misma magnitud que
𝑃𝑄 pero que tiene
dirección opuesta.
Vectores Equivalentes
• Vectores que tienen la misma
magnitud y dirección se llaman
equivalentes.
• Los vectores 𝑢 𝑦 𝑣 son equivalentes
(𝑢 = 𝑣 )
• En matemáticas, un vector NO está
determinado por su localización,
sino sólo por su magnitud y
dirección.
• Un vector se puede trasladar,
siempre y cuando no se cambien
ni su magnitud ni su dirección..
Ejemplo Físicos
• Si un avión está descendiendo a una velocidad
constante de 100 km / h, y su línea de vuelo
forma un ángulo de 20 º con la horizontal.:
entonces el vector v es un vector de velocidad.
Suma de Vectores
• 𝐴𝐵 puede representar el movimiento de una partícula por una trayectoria sobre un segmento de línea que va de A a B.
• Entonces, nos referimos a 𝐴𝐵 como un vector de desplazamiento.
• Un desplazamiento 𝐴𝐵 seguido de un
desplazamiento 𝐵𝐶 se puede describir como
el desplazamiento 𝐴𝐶.
• Esto se representa como la suma de
vectores : 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶
Suma de Vectores(cont.)
• Dos vectores cualesquiera
se pueden sumar
colocando el punto inicial
del segundo vector en el
punto terminal del
primero…
• Luego, dibuje el segmento
de recta que une el punto
inicial del primer vector con
el punto terminal del
segundo.
• Esto se conoce como una
suma triangular.
Suma de Vectores(cont.) • Otra forma de sumar dos
vectores es trasladarlos para
que tengan el mismo punto
inicial, digamos 𝑃𝑅 𝑦 𝑃𝑄…
• Luego, crear vectores
equivalentes a los primeros dos,
𝑅𝑆 = 𝑃𝑄 𝑦 𝑄𝑆 = 𝑃𝑅, para
completar un paralelogramo.
• Luego, 𝑃𝑆 = 𝑃𝑅 + 𝑃𝑄
• Esto se conoce como la ley del
paralelogramo para la suma
de vectores .
Múltiplo escalar
• Si m es un escalar and v es un vector,
entonces mv es un vector con
• magnitud igual a m veces v (la
magnitud de v) y
• dirección igual a la de v (si m > 0) o
dirección opuesta a la de v (si m < 0).
• Llamamos a mv un múltiplo escalar de v.
Vectores como pares ordenados
• Si 𝑃𝑄es un vector en el
plano XY, entonces
existen muchos
vectores equivalentes a
𝑃𝑄
• Solo existe un vector
𝑎 = 0𝐴 con punto incial
en el origen, que es
equivalente a 𝑃𝑄.
Vectores como pares ordenados (cont.)
• Para cada vector, existe un par ordenado
único de números reales, (a1, a2) , que
describen el punto terminal de un vector
equivalente con punto inicial en el origen.
• Dicho de otra forma, cada par ordenado,
(a1, a2), determina un vector OA, donde 0 es
el origen y A tiene coordenadas (a1, a2).
• Por lo tanto, podemos interpretar un vector
como un segmento de línea dirigido o un par
ordenado de números reales.
Componentes de un vector
• Usamos el símbolo a1, a2
cuando un par ordenado
representa un vector y
escribimos : a = a1, a2.
• Los números a1 y a2 son los
componentes del vector a1, a2.
• Si A es el punto (a1, a2), como
se muestra, entonces llamamos
a OA el vector de posición
para a1, a2 o para el punto A.
Magnitud
• La magnitud de un vector a = a1, a2 se denota
𝑎 .
• Es, por definición, la longitud de su vector de
posición OA.
Ejemplo
• Trace los vectores en un
plano XY
a = –3, 2, b = 0, –2,
c = ⅘, ⅗
y determinar su magnitud.
• Solution
Ejemplo – (cont)
• … y determinar su magnitud.
• Solución: (continucación)
Suma de Vectores (cont)
• Podemos expresar la suma de dos vectores
usando pares ordenados como sigue:
• Ejemplos:
Multiplicación por un escalar
• Si m es un escalar y 𝑂𝐴 corresponde a
a = a1, a2, entonces el par ordenado
determinado m𝑂𝐴 es (ma1, ma2).
• Multiplicación por un escalar se
define
Ejemplo
• Si a = 2, 1,
determinar 3a y –2a,
y trace cada vector.
• Solución:
3a =
= 32, 1
= 3 2, 3 1
= 6, 3
Ejemplo - continuación
• …–2a, y trace cada
vector.
• Solución:
–2a =
= –22, 1
= (–2) 2, (–2) 1
= –4, –2
Otras Definiciones
• El vector cero 0 y el opuesto de un vector
a = a1, a2, –a, se definen como sigue:
• Por ejemplo:
Propiedades de la suma de vectores
y de los múltiplos de vectores
Resta de Vectores
• Vector subtraction se define
a – b = a + (–b).
• Si expresamos lo anterior utilizando la notación
de par ordenado para a y b, entonces –b = –b1,
–b2, y por lo tanto:
Resta de Vectores -Ejemplo
Sea a =<5, – 4 > y b = < – 3, 2> hallar a – b y 2a – 3b.
Resta de Vectores (cont.)
Si representamos a y b
por el vector PQ y el
vector PR,
respectivamente, con el
mismo punto inicial,
entonces el vector a – b
se puede representar
como sigue:
Vectores especiales
•Dos vectores especiales, i y j, se definen
como sigue:
•Los vectores i y j son vectores unitarios.
•Un vector unitario es un vector de magnitud 1.
•Noten: 𝑖 = 12 + 02= 1
•El vector c = ⅘, ⅗ que vimos
anteriormente, es también un vector unitario.
Vectores especiales (cont)
• Los vectores i y j se pueden usar
para expresar vectores de una
forma alterna.
• Especificamente, si a = a1, a2,
entonces
a = a1, 0 + 0, a2
= a11, 0 + a20, 1
=a1i + a2 j
• De forma general cualquier vector
se puede escribir:
Vectores especiales (cont)
Por ejemplo:
Ejemplo
• Si a = 5i + j and b = 4i – 7j, expresar 3a – 2b como una
combinación linear de i y j.
• Solución
Componentes y ángulos
• Sea θ un ángulo en posición
estándar, medido desde el
lado positivo del eje de x
hasta el vector como se
muestra.
a = a1, a2 = a1i + a2j
• Note que
• Entonces, podemos obtener
las siguientes fórmulas.
Componentes y ángulos
• Fórmulas para los componentes horizontales y
verticales de a = <a1, a2>
Ejemplo
• Exprese el vector v como una combinación lineal de sus
componentes.
• Solución
• θ = 90° + 40° = 130°
Ejemplo
• Hallar un vector unitario que va en la misma dirección
que el vector a = 5, –12.
• Solución
• Primero debemos determinar la magnitud de a
• Un vector unitario, u, en dirección de a se puede hallar
dividiendo los componentes de a entre a:
SECCIÓN 7.4 EL
PRODUCTO PUNTO Capítulo 7
Producto punto
Sea a = < a1, a2> = a1i + a2 j y b = < b1, b2> = b1i + b2 j,
entonces el producto punto de a por b , se denota 𝑎 ∙ 𝑏 y se define:
• Note que a b es un valor real y NO un vector.
Ejemplo
• Determinar a b, si
• Solución
• a b =
Propiedades del Producto Punto
• Si a, b, y c son vectores y m es un numero real,
entonces
El ángulo entre vectores
• Dos vectores, distintos de cero, a = a1, a2 y b = b1, b2
se pueden representar en el plano coordenado como un
segmento de línea dirigido que empieza en el origen y
llega hasta los puntos A(a1, a2) and B(b1, b2),
respectivamente.
• El ángulo, θ, entre a y b es AOB, como se muestra:
El ángulo entre vectores (cont.)
Noten que
• 0 ≤ θ ≤ π
• a y b son paralelos si θ = 0 ó θ = π
• a y b son ortogonales o perpendiculares si θ =𝜋
2
• Si θ es el ángulo entre dos vectores a y b (diferente de
cero) entonces
Ejemplo
• Si el ángulo entre a = 4, –3 y b = 1, 2 es como se
muestra, determinar el ángulo entre los vectores.
• Solución
ó
Ejemplo
Sea a = ½i – 3j y b = –2i + 12j. Determinar si los vectores son paralelos.
Solution: Por definición a y b son paralelos si θ = 0 ó θ = π
• Como θ = arccos(–1), θ = π.
• Los vectores a y b son paralelos.
Vectores Ortogonales
Dos vectores, distintos de cero, a = a1, a2 y b = b1, b2 son
ortogonales (o perpendiculares) si y solo si el producto punto
de a por b es cero, 𝑎 ∙ 𝑏 = 0.
Demostremos que los siguientes vectores son
ortogonales:
a) i, j
b) 2i + 3j, 6i – 4j
Solución
