SECCIONES CÓNICAS Las secciones cónicas se pueden definir como lugares geométricos en el plano, sin embargo la definición clásica de las cónicas, que se debe a Apolonio de Perga, se hizo mediante un procedimiento distinto. Se definieron como las intersecciones de un plano con una superficie cónica, de ahí el nombre de secciones cónicas, o simplemente cónicas, que reciben. Se llama superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje.

Las secciones cónicas se obtienen de intersecar una superficie cónica con un plano. Dependiendo de la posición del plano con respecto a la superficie cónica, la sección obtenida será una u otra curva.

Si cortamos una de las hojas de la superficie cónica con un plano que sea perpendicular al eje de la superficie, la sección de se obtiene es una circunferencia.

Si el plano es oblicuo al eje y corta sólo a una de las hojas, de manera que la sección que se obtenga sea una curva cerrada, la sección que se obtiene es una elipse.

Si el plano corta a las dos hojas de la superficie cónica, sin pasar por el vértice de la unión de estas, la sección que obtiene, que tiene 2 ramas, es una hipérbola.

Si el plano es paralelo a la generatriz, sin pasar por el vértice, se obtiene una curva que no llega a cerrarse nunca, que se llama parábola.

A pesar de la importancia de las cónicas como secciones de una superficie cónica, para estudiar los elementos y propiedades de cada una de ellas en el plano, resulta más conveniente definirlas como lugares geométricos. Esto nos va permitir obtener una ecuación para cada cónica.

LA CIRCUNFERENCIA Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano que equidistan de un punto fijo O(a, b), llamado centro de la circunferencia. La distancia entre cada punto P y el centro O, es un número constante r, denominado radio de la circunferencia.

𝑑𝑖𝑠𝑡 (𝑃, 𝑂) = √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟

Elevando esta expresión al cuadrado se obtiene la ecuación de la circunferencia:

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 (1) Desarrollando los cuadrados y ordenándolos se obtiene:

𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑦2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏2 = 𝑟2

𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑦2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏2 − 𝑟2 = 0

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2 = 0

Si llamamos:

𝑚 = −2𝑎 𝑛 = −2𝑏

𝑝 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2

Obtenemos otra forma de expresar la ecuación de la circunferencia:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 + 𝑝 = 0 (2) De una expresión de tipo (2) también se puede conocer el centro y el radio:

Centro = 𝑂(𝑎, 𝑏) = 𝑂 (−𝑚

2, −

𝑛

2)

Radio = 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 − 𝑝 = √(𝑚

2)

2

+ (𝑛

2)

2

− 𝑝

Hay que tener en cuenta que 𝑟 > 0, por lo tanto se debe verificar que:

(𝑚

2)

2

+ (𝑛

2)

2

− 𝑝 > 0

Caso particular, circunferencia centrada en el origen C(0,0).

(1) : 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

(2) : 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑝 = 0

Ejercicios: pág. 237, nº 6(c y d), 7 y 9.

Rectas tangente y normal a una circunferencia en un punto

Determinación de una circunferencia

En cualquiera de las ecuaciones de la circunferencia aparecen 3 incógnitas, por lo tanto, para determinar la ecuación de una circunferencia son necesarias tres condiciones. A continuación aparecen algunas formas para definir una circunferencia.

Conociendo el centro O(a, b) y el radio r:

Ejemplo: Determinar la ecuación de la circunferencia de centro O(-1,2) y radio 3.

(𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 9

𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 4 = 0

Conociendo el centro O(a, b) y un punto de ella P(x1, y1):

Ejemplo: Determinar la ecuación de la circunferencia de centro O(1,3) y que pasa por P(2,3).

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 𝑟2

O(a, b)

P(x1, y1)

𝑟 = 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂, 𝑃) = √(2 − 1)2 + (3 − 3)2 = 1

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 1

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 6𝑦 + 9 = 0

Conociendo tres puntos de ella A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3):

Ejemplo: Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(3,0), B(0,-3) y C(0,0). Sustituyendo cada uno de los puntos en la ecuación se obtiene un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

A (3,0): 32 + 02 + 3𝑚 + 0𝑛 + 𝑝 = 0

B (0,-3): 02 + (−3)2 + 0𝑚 − 3𝑛 + 𝑝 = 0

C (0,0): 02 + 02 + 0𝑚 + 0𝑛 + 𝑝 = 0

Resolviendo el sistema se obtiene:

𝑝 = 0

𝑛 = 3

𝑚 = −3

𝑥2 + 𝑦2 − 3𝑥 + 3𝑦 = 0

Conociendo el centro O(a, b) y una recta tangente:

Ejemplo: Determinar la ecuación de la circunferencia de centro O(-1,4) y tangente a

la recta r: 4𝑥 + 3𝑦 + 2 = 0

El radio de la circunferencia será la distancia del centro a la recta tangente:

𝑟 = 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂, 𝑟) = |4 · (−1) + 3 · 4 + 2|

√42 + 32= 2

(𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 4)2 = 4

𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 8𝑦 + 13 = 0

Conociendo dos puntos de ella A(x1, y1) y B(x2, y2) y la recta en la que se sitúa su centro:

Ejemplo: Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1,0)

y B(2,3) y cuyo centro está en la recta r: 𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 .

Partiendo de la ecuación general, sabemos que el centro es 𝑂 (−𝑚

2, −

𝑛

2) y está en

r:

−𝑚

2+ 2 (−

𝑛

2) + 1 = 0

Sustituyendo los puntos dados en la ecuación de la circunferencia obtenemos:

12 + 02 + 𝑚 + 0𝑛 + 𝑝 = 0

22 + 32 + 2𝑚 + 3𝑛 + 𝑝 = 0

Resolviendo el sistema obtenemos: 𝑚 = 30, 𝑛 = −14 𝑦 𝑝 = −31

𝑥2 + 𝑦2 + 30𝑥 − 14𝑦 − 31 = 0

Ejercicios: pág. 237, nº 10, 11, 12, 13, 14, 18. Pág. 239, nº 52 ,53 ,54 ,55 ,56, 57,

58.

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia

Secantes: 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂, 𝑟) < 𝑟. Dos soluciones.

Tangentes: 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂, 𝑟) = 𝑟. Una solución.

Exteriores: 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂, 𝑟) > 𝑟. No tiene solución.

Ejercicios: pág. 237, nº 20, 21, 22 y 23. Pág. 239 nº 60. Posiciones relativas de dos circunferencias

Secantes: |𝑟1 + 𝑟2| > 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂1, 𝑂2) > |𝑟1 − 𝑟2|

Tangentes exteriores: 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂1, 𝑂2) = 𝑟1 + 𝑟2

Tangentes interiores: 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂1, 𝑂2) = |𝑟1 − 𝑟2|

Exteriores: 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂1, 𝑂2) > 𝑟1 + 𝑟2

Interiores: 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂1, 𝑂2) < |𝑟1 − 𝑟2|

Ejercicios: pág.239, nº 62.

LA ELIPSE Una elipse es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F y F’ es constante. Estos puntos se denominan focos de la elipse. La suma de distancias se representa como k y es la constante de la elipse.

Elementos característicos de la elipse

Además de los focos, vamos a enumerar otros elementos característicos de la elipse:

La recta que pasa por los focos y la mediatriz del segmento que los une se denominan ejes de simetría de la elipse.

El centro de la elipse (O) es el punto de corte de los ejes de simetría. Además es el centro de simetría.

La distancia entre los focos es la distancia focal y se denomina 2c. La distancia entre cada foco y el centro es la semidistancia focal, de valor c.

Se llama vértices (A, A´, B y B´) a los puntos de corte de la elipse con los ejes de simetría.

La distancia entre los vértices A y A´ es 2a y se llama eje mayor. La constante k, de la elipse es 2a. A la distancia entre A o A´ y el centro de la elipse (a) se le llama semieje mayor. Análogamente, la distancia entre B y B´(2b) es el eje menor y la distancia entre cada uno de ellos y el centro (b) es el semieje menor.

Observando el triángulo BOF’, se llega las siguientes conclusiones:

La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos vale 2a. Por lo tanto, la distancia del punto B a F o a F’ es a.

Aplicando el Teorema de Pitágoras se obtiene que a2 = b2 + c2, por lo tanto obligatoriamente a tiene que ser mayor que b.

Ecuación reducida de la elipse

Para simplificar la ecuación de la elipse vamos a situarla con el centro O en el origen de coordenadas y los focos sobre el eje OX. Las coordenadas de los focos serán F (-c, 0) y F’ (c, 0).

F

F’

Queremos encontrar los puntos P (x, y) tales que:

𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐹, 𝑃) + 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐹′, 𝑃) = 2𝑎

√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 + √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 2𝑎

√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 2𝑎 − √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2

Elevamos los dos miembros al cuadrado:

𝑥2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 = 4𝑎2 + 𝑥2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2

−4𝑐𝑥 − 4𝑎2 = −4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2

𝑐𝑥 + 𝑎2 = 𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2

Elevando los dos miembros al cuadrado:

𝑐2𝑥2 + 𝑎4 + 2𝑐𝑎2𝑥 = 𝑎2(𝑥2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2) Agrupando términos obtenemos:

(𝑎2 − 𝑐2)𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2(𝑎2 − 𝑐2) Como ya comentamos anteriormente:

𝑎2−𝑐2 = 𝑏2 Por lo tanto:

𝑏2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2

Dividiendo por 𝑎2𝑏2 se obtiene la ecuación reducida de la elipse:

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1

Si en vez de tener los focos situados en el eje OX los tenemos en el eje OY la ecuación reducida de la elipse será:

𝑥2

𝑏2+

𝑦2

𝑎2= 1

Excentricidad

Se llama excentricidad de una elipse al cociente entre la distancia focal y el eje mayor. Este parámetro proporciona información sobre la forma de la elipse.

𝑒 =𝑐

𝑎

Como 0 < c < a, la excentricidad siempre va a ser un número comprendido entre 0 y 1. Cuanto mayor sea c, mayor será la excentricidad. Si la excentricidad es un número próximo a 0, entonces c es pequeño con respecto a la longitud de a y los focos van a estar muy juntos, como consecuencia, la forma de la elipse se aproximará a la de la circunferencia. Sin embargo si la excentricidad es un número próximo a 1, entonces c es grande con respecto a la longitud de a, lo que indicará que los focos están separados y, por tanto, la forma de la elipse será mas alargada. Dos elipses con la misma excentricidad son semejantes.

Recta tangente a la elipse en un punto

Perteneciente a la elipse:

Las rectas que unen el punto de tangencia con cada uno de los focos forman ángulos iguales con la tangente. Por lo tanto, la tangente será la bisectriz exterior de las rectas que unen el punto con los focos.

Exterior:

Las tangentes pasan por P y tienen un punto en

común con la elipse.

Ejercicios: pág. 238, nº 28, 29, 30, 31, 32, 33 y 34 (a y d). Pág. 239, nº 63. Pág. 240, nº 74, 75 y 78.

LA HIPÉRBOLA Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano tales que la diferencia (en valor absoluto) de sus distancias a dos puntos fijos, F y F’, es constante. Estos puntos se llaman focos. La diferencia de distancias se representa como k y es la constante de la hipérbola.

Elementos característicos de la hipérbola

Además de los focos, vamos a enumerar otros elementos característicos de la hipérbola:

La recta que pasa por los focos y la mediatriz del segmento que los une se denominan ejes de simetría de la hipérbola.

El centro de la hipérbola (O) es el punto de corte de los ejes de simetría.

La distancia entre los focos es la distancia focal y se denomina 2c. La distancia entre cada foco y el centro es la semidistancia focal, de valor c.

En la hipérbola sólo hay dos vértices, A y A’, que son los puntos de corte con uno de los ejes de simetría.

La distancia entre los vértices A y A´ es 2a y se llama eje de la hipérbola. La constante k, de la hipérbola es 2a. A la distancia entre A o A´ y el centro de la hipérbola (a) se le llama semieje.

Observando la gráfica de la hipérbola se llega las siguientes conclusiones:

Aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo AOQ se obtiene que c2 = a2 + b2, por lo tanto obligatoriamente c tiene que ser mayor que a.

La gráfica de la hipérbola se encuentra entre dos rectas de pendientes b/a y –b/a, que se llaman asíntotas de la hipérbola. La gráfica de la hipérbola se aproxima cada vez más a estas rectas a medida que nos alejamos del centro

Ecuación reducida de la hipérbola

Para simplificar la ecuación de la hipérbola vamos a situarla con el centro O en el origen de coordenadas y los focos sobre el eje OX. Las coordenadas de los focos serán F (-c, 0) y F (c, 0).

Queremos encontrar los puntos P (x, y) tales que:

|𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐹, 𝑃) − 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐹′, 𝑃)| = 2𝑎

√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 − √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = ±2𝑎

√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = ±2𝑎 + √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2

Elevamos los dos miembros al cuadrado:

𝑥2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 = 4𝑎2 + 𝑥2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 ± 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2

−4𝑐𝑥 − 4𝑎2 = ±4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2

𝑐𝑥 + 𝑎2 = ±𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2

Elevando los dos miembros al cuadrado:

𝑐2𝑥2 + 𝑎4 + 2𝑐𝑎2𝑥 = 𝑎2(𝑥2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2) Agrupando términos obtenemos:

(𝑐2 − 𝑎2)𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2(𝑐2 − 𝑎2) Como ya comentamos anteriormente:

𝑐2−𝑎2 = 𝑏2 Por lo tanto:

𝑏2𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2

Dividiendo por 𝑎2𝑏2 se obtiene la ecuación reducida de la elipse:

𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= 1

En este caso, las asíntotas serán las siguientes rectas:

𝑦 =𝑏

𝑎𝑥; 𝑦 =

−𝑏

𝑎𝑥

Si en vez de tener los focos situados en el eje OX los tenemos en el eje OY la ecuación reducida de la hipérbola será:

−𝑥2

𝑏2+

𝑦2

𝑎2= 1

En este caso, las asíntotas serán:

𝑦 =𝑎

𝑏𝑥; 𝑦 =

−𝑎

𝑏𝑥

Excentricidad

Se llama excentricidad de una hipérbola al cociente entre la distancia focal y el eje mayor. Este parámetro proporciona información sobre la forma de la hipérbola.

𝑒 =𝑐

𝑎

Como 0 < a < c, la excentricidad siempre va a ser un número mayor que 1. Cuanto mayor sea c, mayor será la excentricidad. Si la excentricidad es un número próximo a 1, entonces c es parecido a la longitud de a y los focos van a estar muy juntos a los vértices, como consecuencia, la forma de la elipse será estirada. Sin embargo si la excentricidad es un número mucho mayor que 1, entonces a es pequeño con respecto a la longitud de c, lo que indicará que los focos están separados de los vértices y, por tanto, la forma de la elipse será alargada. Dos hipérbolas con la misma excentricidad son semejantes.

Recta tangente a la hipérbola en un punto

Perteneciente a la hipérbola:

La tangente será la bisectriz interior de las rectas que unen el punto con los focos.

Exterior:

Las tangentes pasan por P y tienen un punto en

común con la hipérbola.

Ejercicios: pág. 238, nº 37, 38, 40, 41, 42 y 43 (b, d, f y h, sin dibujar). Pág. 240, nº 69, 70 y 76.

LA PARÁBOLA Una parábola es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano que equidistan de una recta d, llamada directriz y un punto F, que es el foco de la parábola.

Elementos característicos de la parábola

Además del foco y la directriz, vamos a enumerar otros elementos característicos de la parábola:

La recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco es el eje de simetría de la parábola.

La intersección de la parábola con el eje de simetría se denomina vértice de la parábola.

La distancia del foco a la directriz se denomina p.

Ecuación reducida de la parábola

Para simplificar la ecuación de la parábola vamos a tomar como vértice el origen de coordenadas y directriz una recta paralela al eje OY. Las coordenadas del foco serán F(p/2, 0), y la directriz

será 𝑑 ≡ 𝑥 = −𝑝/2. Queremos encontrar los puntos P (x, y) tales que:

𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐹, 𝑃) = 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑑, 𝑃)

√(𝑥 − 𝑝 2⁄ )2 + 𝑦2 = 𝑥 + 𝑝 2⁄

Elevamos los dos miembros al cuadrado:

𝑥2 − 𝑝𝑥 + 𝑝2 4⁄ + 𝑦2 = 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑝2 4⁄

−𝑝𝑥 + 𝑦2 = 𝑝𝑥

𝑦2 = 2𝑝𝑥

Si en vez de abrir hacia la derecha la parábola abre hacia la izquierda, su ecuación será:

𝑦2 = −2𝑝𝑥 Si en vez de tener la directriz paralela al eje OY la tuviera paralela al eje OX, la ecuación de la hipérbola sería:

𝑥2 = 2𝑝𝑦

Si la parábola abre hacia abajo su ecuación será:

𝑥2 = −2𝑝𝑦

Excentricidad

La excentricidad de la parábola siempre es 1. Como la excentricidad de todas es la misma, todas las parábolas son semejantes.

Recta tangente a la parábola en un punto

Perteneciente a la parábola:

La tangente será la bisectriz de las recta que une el punto con el foco y de la perpendicular a la directriz que pasa por el punto.

Exterior:

Las tangentes pasan por P y tienen un punto en

común con la parábola.

Ejercicios: pág. 239, nº 46, 47, 48 y 49 (b y d). Pág. 240, nº 77. Ejercicios: pág. 239, nº 50. Pág. 240 nº 80.