Secciones Conicas en Tres Variables

8/17/2019 Secciones Conicas en Tres Variables

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Pr o f . En r iqu e Mat eus Nieves.D o c t o r a n d o en Ed u c a c ió n Ma t emá t i c a .

Cálculo multivariado

REPASO DE SECCIONES CONICAS


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SUPERFICIES CUADRICAS Y SUS TRAZAS

Elipsoide

Ecuación canónica: 122

2

2

2 c z

b y

a x 2

Secciones paralelas al plano xy: Elipses;Secciones paralelas al plano xz: Elipses;Secciones paralelas al plano yz: elipses.


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Hiperboloide de una hoja


2

2

2

c z

b y

a x 2

Secciones paralelas al plano xy: Elipses;Secciones paralelas al plano xz: HipérbolasSecciones paralelas al plano yz: Hipérbolas.

Hiperboloide de dos hojas.


2

2

2

c z

b y

a x 2

Secciones paralelas al plano xy: Elipses;Secciones paralelas al plano xz: Hipérbolas

Secciones paralelas al plano yz: Hipérbolas

Cono elíptico.


2

2

2

c z

b y

a x 2

Secciones paralelas al plano xy: Elipses;Secciones paralelas al plano xz: HipérbolasSecciones paralelas al plano yz: Hipérbolas


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Paraboloide elíptico

Ecuación canónica:c z

b y

a x 2

2

2

2

Secciones paralelas al plano xy: Elipses;Secciones paralelas al plano xz: ParábolasSecciones paralelas al plano yz: Parábolas

Paraboloide Hiperbólico

Ecuación canónica:c z

b y

a x 2

2

2

2

Secciones paralelas al plano xy: Hipérbolas;Secciones paralelas al plano xz: ParábolasSecciones paralelas al plano yz: Parábolas

CILINDROS

Un cilindro es la superficie formada por todas las rectas paralelas a una recta dada y quecortan a una curva dada C

Ejemplo :


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Ecuación de un cilindro

Una ecuación en la que intervengan solo dos de las tres variables x, y, y z representa en elespacio un cilindro cuyas generatrices son paralelas al eje correspondiente a la variable quefalta.

EJERCICIO 1.

Encuentre las trazas de la superficie dada en los planos x= k, y= k, z = k . Luego identifiquela superficie y dibújela.

122 z y x 1. 2 22 z y x 2. 36369 22 z y x4 3. 2

42 z2x 4. 2 122 y x4z 5. 2 2 y x z 6. 2 2 y z 7. 22 4100 x z25y 8. 2 22 z x y 9. 2

FUNCIONES VECTORIALES Y CURVAS EN EL ESPACIO.

Funciones vectoriales de una variable. Una función cuyo dominio es un conjunto denúmeros reales y cuyo recorrido es un subconjunto del espacio n-dimensional V n se denomina

función vectorial de una variable real .


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Definición de curva en el espacio. Una curva C en el espacio es el con junto de puntos (f(t),g(t), h(t)) que verifican las ecuaciones paramétricas x= f(t), y = g(t), z = h(t) siendo f, g, h funciones continuas de t en un intervalo I.

Ejemplo.

Representar la curva C dada por t. z t,cos3 y 2t,sen x Solución: A fin de eliminar el parámetro entre las dos primeras ecuaciones, escribimos:

,t sen2 x

y ,t cos3 y

y tras elevar al cuadrado y sumar, obtenemos: 19

2 y4

x 2 por

consiguiente, la curva C yace enteramenteen el cilindro elíptico de ecuación

19

2 y4

x 2

LIMITESi ,h(t) ),t (g ),t ( f )t (r entonces

h(t)limg(t),lim f(t),limr(t) limat at at at

siempre que los

límites de las funciones componentes existan.


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DERIVADA

El vector )t (r se llama vector tangente a la curva definida por r en el punto P siempre que)t (r exista y 0)t (r

hr(t)-h)r(t

lim(t)r dt dr

0h Por tanto k (t)h j(t)g(t)i f (t)h (t),g),t ( f )t (r

vector unitario )t (r )t (r

)t (T

VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

Si el vector k )t ( z j)t ( yi)t ( x)t ( R representa la posición de un objeto en el instante t,entonces los vectores k )t ( z j)t ( yi)t ( x)t ( R)t (V y

k )t ( z j)t ( yi)t ( x)t ( R)t ( A representan la velocidad y aceleración, respectivamente en dicho instante t

EJEMPLOUn objeto se mueve a lo largo de una curva C de ecuaciones paramétricas x= t, y =t 3 y z= 3t.Hallar los vectores velocidad y aceleración, así como el módulo de la velocidad del objeto en t=1 . Representar la curva, señalando los vectores velocidad y aceleración.

Solución: puesto que el vector de posición correspondiente a la curva es tk jt ti)t ( R 33

tendremos4

2

910

33

t V(t)

6tj)t ( A

k jt i)t (V

Así pues, en t= 1 será k jiV 33 y j A 6 ; y la velocidad será 191 )(V dt ds


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Bibliografía:

APOSTOL, Tom M. Análisis Matemático (Mathematical Analysis ), trad., ed. Reverté S. A. 1976. APOSTOL, Tom M. Cálculus Volumen 1 y 2 (Calculus ), trad., ed. Reverté S.A. 1984. BARTLE, Robert G. Introducción al Análisis Matemático (The Elements of Real Analysis ),

trad.,ed. Limusa S.A. 1982. BARTLE et al. Introducción al Análisis Matemático de una Variable (Introduction to Real

Analysis ), trad., ed. Limusa S.A. 2009. SPIVAK, Michael. Cálculo Infinitesimal (Calculus ), trad., ed. Reverté S.A. 1992

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