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UNLP – FIEstructuras IV - Aeronáutica
Alabeo restringido en secciones de paredes delgadasGuía de clase
Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero1
Secciones de paredes delgadas abiertascon alabeo restringido
Resolución del ejercicio:
Se estudiarán las deformaciones y el estado tensional debidas a un momento torsor con alabeo restringido sobre el larguero principal de un avión de mediano porte similar al Piper Azteca, con las siguientes características geométricas:
* Dimensiones en mm** Material: Aluminio 7075 – T6
UNLP – FIEstructuras IV - Aeronáutica
Alabeo restringido en secciones de paredes delgadasGuía de clase
Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero2
Interpretación conceptual de C.C.:
Equilibrio de fuerzas y momentos en todos los puntos del sólido (principios de la estática).
INT EXT
INT EXT
M M
F F
=
=∑ ∑∑ ∑
Qyz
y
En la sección transversal:
x x
y
y
A¿Cuánto vale ?τ
y x
x
Q SJ t
τ =
τ
Válido para los ejes principales de la sección.
Repaso
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Interpretación conceptual de C.C.:
¿Dónde debe aplicarse la carga de corte para que se cumplan éstas condiciones de equilibrio en flexión simple?
A
Qy
lA¿Cuánto es el giro de la sección en su plano?
0φ =
INT EXT
a aA
M M
r dA Q lτ
=
=
∑ ∑∫
INT EXT
A
F F
dA Qτ
=
=
∑ ∑∫
RepasoEn la sección transversal:
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Interpretación conceptual de C.C.:
¿Se cumple el equilibrio de fuerzas con las tensiones de corte de flexión simple?
¿Se cumple el equilibrio de momentos en la sección?
NO HAY EQUILIBRIO DE MOMENTOS
Por lo tanto, la sección gira: 0φ ≠
AQy
lA e
Otro caso:
HAY EQUILIBRIO DE FUERZAS
El estado tensional planteado es incompleto si la
resultante (Q) no pasa por el Centro de Corte de la sección.
y x
x
Q SJ t
τ⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎝ ⎠
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Interpretación conceptual de C.C.:
Si Q no está aplicado en el CC, las tensiones tangenciales totales son:
2
h ty x
Q Mtx
Q S MtJ t
τ τα
= =
Q +Total Mtτ τ τ=
+
y x x y
Totalx y
Q S Q SJ t J t
τ =
Considere un caso general de Q:
El equilibrio de esfuerzos en la sección se satisface cuando la resultante pasa por el C.C.
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Interpretación conceptual de C.C.:
Qy
C.C.
Qx
C.C.
A
A
x
x yQ
y
Q SJ t
τ =
y
y xQ
x
Q SJ t
τ =
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Interpretación conceptual de C.C.
Recordar:
Centro de flexión = Centro de corte (C.C.):
Es el punto donde aplicada una carga de corte la sección transversal de una viga no se genera un giro de la sección en el plano de la misma (torsión).
Ante una solicitación de momento torsor puro, todos los puntos de la sección giran alrededor del C.C.
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Calcular:1. Obtener el diagrama de área sectorial con polo (P) en el
C.C. (centro de flexión)
2. Considerando que la viga se encuentra libre de alabear y que la fuerza de sustentación excéntrica respecto del C.C. genera un Mt de 25Nm sobre la viga, determine y grafique el diagrama de alabeo de la sección. (Calcule el giro unitario a partir de la teoría de Saint Venant de torsión)
3. Si la raíz del ala se encuentra impedida de alabearse, obtenga y grafique la variación del giro unitario de las secciones en función de z.
4. Calcule las tensiones normales, tangenciales principales y secundarias para el inciso 3 en las estaciones indicadas en el esquema.Considerando los puntos donde la tensión tangencial resultante es máxima en las secciones analizadas, indique en una tabla el valor de las tensiones de cada sección analizada e indique el valor porcentual de las tensiones tangenciales principales y secundarias referidas a la tensión tangencial total.
Est “4.5”
Est “2”
Est “0”
z
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Resolución inciso 1:
Recordar:
Válido para el sistema de ejes principales de la sección con origen en el baricentro de la sección
. `. . `.; c c
x y
y w dA x w dAx y
I I
−= =∫ ∫
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Resolución inciso 1:
Baricentro de la sección:
Momento de inercia y
.0,112 i i
cgt
y Ay m
A= =∑
-06 42,77epyI m= x
xp
y=yp
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Resolución inciso 1:
Diagrama de área sectorial con polo y origen en el baricentro:
CG P O≡ ≡
+
-
-
-+
W´
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Resolución inciso 1:
Como el diagrama w´ es antisimétricoy el diagrama de “y” es simétrico la integral es igual a cero.
Recordar que el C.C. se ubica en los ejes de simetría de la sección, si ésta los tiene -> xc.c.= 0
. `.y w dA∫
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Resolución inciso 1:
. .
. `.0,071c c
y
x w dAy m
I= =∫
Referido a los ejes principales de inercia con origen en el baricentro
-
-
xp
+
- +
CG P O≡ ≡
+
-
-
-+
W´
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Resolución inciso 1:
Punto w´ [m2] w [m2]
1 -4,4E-03 -8,8E-04
2 -6,9E-03 -3,4E-03
cg 0 0
3 0 0
0 0 0
4 2,8E-03 4,6E-03
5 3,8E-03 5,6E-03
CG P O≡ ≡
+
-
-
-+
W´
CG P O≡ ≡
+
-
-
-+
CG P O≡ ≡
+
-
-
-+
W´
ccy P O≡ ≡
+
-
-
-+
ccy P O≡ ≡
+
-
-
-+
W
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Resolución inciso 2:
Alabeo de la sección:W= -θsv.w
Punto Alabeo (m) Alabeo (mm)
1 1,4E-05 0,01
2 5,4E-05 0,05
cg 0 0
3 0 0
0 0 0
4 -7,2E-05 -0,07
5 -8,8E-05 -0,09
31 . . .3
tSV
i i
M
G S tθ =
∑
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Resolución inciso 3:
1 3 . ( . )1/ 3. . .
t
i i
MC tanh LG S t
α=∑
1 2. ( ) . ( )
SV
C senh z C cosh z SPSPθ
θ= + +
=
0ddZ
θ=
Condiciones de borde1. Z=0, W=0 entonces θ = 0
2. Z=L, σ =0 entonces
2 31/ 3. . .t
i i
MCG S t−
=∑
)z.(senoh..C)z.cosh(..Cdzd
21 ααααθ+=
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Resolución inciso 3:
A partir de la obtención de las constantes se podrán obtener las derivada primera y segunda del giro unitario o específico:
E.It.S1/3.G.
t.S.G.3/1M..
dzd
w
3ii
3ii
t2
22
2
∑∑
=
−=−
α
αθαθ
∑∑−++= 3
ii
t3
ii
t21
t.S..G.3/1)L.tanh(.Mz.
t.S.G.3/1M)z.(senoh.C)z.cosh(.C
ααα
αα
αϕ
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Resolución inciso 3:
-2.0E-02
-1.5E-02
-1.0E-02
-5.0E-03
0.0E+00
5.0E-03
1.0E-02
1.5E-02
2.0E-02
0 1 2 3 4 5
z (m)
theta
theta.
theta..
theta SV
θ
θ θS.V. θ
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Resolución inciso 3:
0.0E+00
1.0E-02
2.0E-02
3.0E-02
4.0E-02
5.0E-02
6.0E-02
7.0E-02
8.0E-02
0 1 2 3 4 5
z (m)
Rad
.
Phi - Alabeo restringido "Phi - SV
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Resolución inciso 4:
Tensiones normales originadas por la restricción del alabeo:
dzd.w.E θσ −=
Tensiones tangenciales originadas por la restricción del alabeo:
]m[2.4edA.wI ,dA.wt.I
M 608-2w
w
22 ==
−= ∫∫τ
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Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero21
Resolución inciso 4:
ccy P O≡ ≡
+
-
-
-+
ccy P O≡ ≡
+
-
-
-+
W ∫ dA.w
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Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero22
Resolución inciso 4:
Estación1 2 cg 3 0 4 5
0 950 3644 0 0 0 -4913 -59910.5 585 2243 0 0 0 -3023 -36871 360 1379 0 0 0 -1860 -2268
1.5 221 848 0 0 0 -1143 -13932 135 519 0 0 0 -700 -853
2.5 82 315 0 0 0 -425 -5193 49 187 0 0 0 -253 -308
3.5 27 105 0 0 0 -141 -1724 12 47 0 0 0 -63 -77
4.5 0 0 0 0 0 0 0
σ (KPa)
Estación1 2 cg 3 0 4 5
0 112 0 0 -331 135 -212 00.5 69 0 0 -204 83 -130 01 42 0 0 -126 51 -80 0
1.5 26 0 0 -77 31 -50 02 16 0 0 -48 19 -31 0
2.5 10 0 0 -30 12 -19 03 6 0 0 -19 8 -12 0
3.5 4 0 0 -13 5 -8 04 3 0 0 -9 4 -6 0
4.5 3 0 0 -8 3 -5 0
τ2 (KPa)
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Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero23
¿Por qué τ2 no es cero en el extremo libre?
Las tensiones normales producto de la restricción del alabeo varían a lo largo de la sección, así como en la dirección longitudinal de la viga. La tensión tangencial secundaria aparece para equilibrar estas variaciones en las tensiones normales. x
y
dxa dxb
σa+dσa
σb+dσb
σa
σbτ2a
τ2b
z
z
y x
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¿Por qué τ2 no es cero en el extremo libre?
En el extremo libre, la tensión normal es cero. A pesar de esto, debe aparecer una tensión τ2 para equilibrar la variación longitudinal de las tensiones normales:
x
y
dxa dxb
dσa
τ2a
τ2b
dσb
z
z
y x
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Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero25
Resolución inciso 4:
Tensiones normales
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
0 1 2 3 4 5
z (m)
KPa
Tension normalpto 1Tension normalpto 2Tension normalpto cg - 3 & 0Tension normalpto 4Tension normalpto 5
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Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero26
Resolución inciso 4:
Tensiones tangenciales secundarias
-400
-300
-200
-100
0
100
200
0 1 2 3 4 5
z(m)
KPa
Tension de corte2 - pto 1
Tension de corte2 - pto 2-cg -5Tension de corte2 - pto 3
Tension de corte2 - pto 4
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Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero27
Resolución inciso 4:
Alabeo de las secciones
-1.0E-01
-8.0E-02
-6.0E-02
-4.0E-02
-2.0E-02
0.0E+00
2.0E-02
4.0E-02
6.0E-02
0 1 2 3 4 5
z (m)
w (m
)
Alabeo punto 1Alabeo punto 2Alabeo punto cgAlabeo punto 3Alabeo punto 4Alabeo punto 5
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Alabeo restringido en secciones de paredes delgadasGuía de clase
Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero28
Resolución inciso 4:
Valores porcentuales de τ2
Estación1 2 cg 3 0 4 5
0 3.7 0.0 0.0 -10.3 4.5 -6.8 0.00.5 2.3 0.0 0.0 -6.6 2.8 -4.3 0.01 1.4 0.0 0.0 -4.2 1.7 -2.7 0.0
1.5 0.9 0.0 0.0 -2.6 1.1 -1.7 0.02 0.6 0.0 0.0 -1.6 0.7 -1.0 0.0
2.5 0.3 0.0 0.0 -1.0 0.4 -0.7 0.03 0.2 0.0 0.0 -0.7 0.3 -0.4 0.0
3.5 0.1 0.0 0.0 -0.4 0.2 -0.3 0.04 0.1 0.0 0.0 -0.3 0.1 -0.2 0.0
4.5 0.1 0.0 0.0 -0.3 0.1 -0.2 0.0
τ2 %
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Alabeo restringido en secciones de paredes delgadasGuía de clase
Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero29
Momento torsor de SV y momento torsor por restricción de alabeo
∑=
−=
θ
θ
.t.S.G.31M
dzd.I.EM
3ii1
2
2
w2
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Alabeo restringido en secciones de paredes delgadasGuía de clase
Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero30
Variación del momento torsor
Momento torsor
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
30.0
0 1 2 3 4 5
z(m)
Nm
M1M2Mtotal
En la raíz de la viga el momento es absorbido únicamente por la restricción del alabeo producto que el giro unitario de esa sección es 0.
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Alabeo restringido en secciones de paredes delgadasGuía de clase
Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero31
Simulación numérica
Modelo de Elementos Finitos (FEM)
UNLP – FIEstructuras IV - Aeronáutica
Alabeo restringido en secciones de paredes delgadasGuía de clase
Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero32
Simulación numérica
Tensiones Normales
UNLP – FIEstructuras IV - Aeronáutica
Alabeo restringido en secciones de paredes delgadasGuía de clase
Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero33
Simulación numérica
Tensiones Normales. Comparación con resultados analíticos
¿Tiene sentido el valor de tensión normal encontrado para el extremo libre en el modelo de elementos finitos?
Estación [m] 2 5 2 5 2 50 3644212 -5990723 3770000 -6080000 3.5% 1.5%2 519166 -853457 480000 -790000 -7.5% -7.4%
4.5 0 0 285000 -240000 - -
Error %Punto en la secciónPunto en la sección Punto en la sección
FEMAnalítico
Tensiones Normales en Pascales
UNLP – FIEstructuras IV - Aeronáutica
Alabeo restringido en secciones de paredes delgadasGuía de clase
Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero34
Simulación numérica
Tensiones Tangenciales
UNLP – FIEstructuras IV - Aeronáutica
Alabeo restringido en secciones de paredes delgadasGuía de clase
Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero35
Simulación numérica
Tensiones Tangenciales. Comparación con resultados analíticos
¿Son confiables los resultados del modelo de elementos finitos en los extremos de la viga? ¿Por qué?
Estación [m] 2 5 2 5 2 50 2887948 2887948 180000 170000 -93.8% -94.1%2 2887948 2887948 2160000 2150000 -25.2% -25.6%
4.5 2887948 2887948 300000 365000 -89.6% -87.4%
Analítico FEM Error %Punto en la sección Punto en la sección Punto en la sección
Tensiones Tangenciales en Pascales
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Alabeo restringido en secciones de paredes delgadasGuía de clase
Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero36
Simulación numérica
Tensiones de Von Mises
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Alabeo restringido en secciones de paredes delgadasGuía de clase
Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero37
Simulación numérica
Giro de la sección
Giro en el extremo [Rad.]Analítico FEM Error %0.0551 0.0574 4.25%
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Alabeo restringido en secciones de paredes delgadasGuía de clase
Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero38
Simulación numérica
Alabeo
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Alabeo restringido en secciones de paredes delgadasGuía de clase
Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero39
Simulación numérica
Alabeo de la sección. Comparación con resultados analíticos
Estación [m] 2 5 2 5 2 50 0 0 0 0 0% 0%2 4.59E-05 -7.55E-05 4.75E-05 -7.83E-05 3.5% 3.8%
4.5 5.23E-05 -8.60E-05 5.00E-05 -8.78E-05 -4.4% 2.1%
Punto en la sección Punto en la sección Punto en la secciónAnalítico FEM Error %
Alabeo en metros.
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Alabeo restringido en secciones de paredes delgadasGuía de clase
Ing. Federico Antico - Ing. Cristian Bottero40
Simulación numéricaConclusiones:
• La simulación numérica es una herramienta que debe ser utilizada con precaución dado que sus resultados pueden no ser correctos.
•La resolución numérica del problema no asegura la obtención del resultado exacto de las incógnitas (desplazamientos y rotaciones). Es de esperar que, si las variables del problema tienen error, los parámetros obtenidos a partir de éstas (por ej. tensiones), tengan mayor error.
• Los resultados de una simulación numérica deben validarse mediante otro tipo de cálculos o mediante ensayos.
• Sin criterio, la simulación numérica es otra herramienta mal usada.