SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO–OESTE – UNICENTRO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE

UNIDADE DIDÁTICA

MODELAGEM MATEMÁTICA

GUARAPUAVA

2011

KELI CRISTINA MINOSSO ZOCCHI

UNIDADE DIDÁTICA

Produção Didático Pedagógica de acordo com as atividades previstas no Plano

Integrado de Formação Continuada – 2010, em conformidade com as orientações da Coordenação do Programa de

Desenvolvimento Educacional – PDE/SEED, sob a orientação do professor UNICENTRO – Universidade do Centro- Oeste,

Guarapuava – Pr. Orientador: Prof. Ms. Carlos Roberto Ferreira

GUARAPUAVA

2011

UNIDADE DIDÁTICA

MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA

1. APRESENTAÇÃO

A unidade didática proposta é parte integrante das atividades do Programa

de Desenvolvimento Educacional – PDE da Secretaria de Estado da Educação do

Paraná, é construído com o acompanhamento do orientador da Instituição de Ensino

Superior – IES e com a colaboração de Grupos de trabalho em Rede – GTR.

Apresenta, portanto, a organização das estratégias de ação de forma descritiva e

seqüencial, que serão utilizadas na implementação do Projeto de Intervenção

Pedagógica na Escola sobre o tema: Modelagem Matemática.

Nos últimos anos a Educação Matemática vem dando especial atenção à

Educação Básica, com estudos e pesquisas visando desenvolver diversas

tendências metodológicas para amenizar o atual quadro crítico que se encontra o

ensino e aprendizagem da matemática. Uma das tendências é a Modelagem

Matemática que é objeto desta unidade didática.

Segundo as Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica

do Paraná (2006, p 64, 65) a modelagem matemática tem como pressuposto a

problematização de situações do cotidiano, ao mesmo tempo em que propõe a

valorização do aluno no contexto social, procura levantar problemas que sugerem

questionamentos sobre situações de vida.

Por meio da modelagem matemática, fenômenos diários, sejam eles físicos,

biológicos e sociais, constituem elementos para análises críticas e compreensões

matemática diversas de mundo e o trabalho pedagógico com a modelagem

matemática possibilita a intervenção do estudante nos problemas reais do meio

social e cultural em que vive, por isso, contribui para sua formação crítica. Considera

ainda que o modelo matemático buscado deva ser compatível com o conhecimento

do aluno, possibilitando novas oportunidades de aprendizagem.

Para fins de organização didática, o material encontra-se dividido em três

partes, sendo a 1ª parte referente à definição do que é Modelagem, a 2ª parte a

descrição das etapas da concepção de modelagem assumida e a terceira parte, um

exemplo para que os professores da rede tenham uma idéia de como trabalhar com

modelagem. Está proposta será desenvolvida com educandos da sexta série A da

Escola Estadual Irmão Isidoro Dumont – EF e será desenvolvido no segundo

semestre de 2011.

2. OBJETO DA UNIDADE DIDÁTICA

Apresentar aos professores e alunos de matemática da educação básica a

Modelagem Matemática como uma alternativa metodológica para amenizar o atual

quadro crítico em que se encontra o ensino e a aprendizagem da matemática.

3. MODELAGEM MATEMÁTICA

Escolhemos a Modelagem Matemática por acreditarmos que ela representa

uma alternativa viável para uma melhora significativa no ensino e aprendizagem da

matemática. Porém, pelas especificidades da metodologia, temos que ter uma

mudança na postura do professor e dos alunos que deixam de ser passivos ao

interagir com os problemas propostos por eles no decorrer do processo. A

Modelagem Matemática pode favorecer a integração com outras áreas do

conhecimento, a ruptura com a linearidade do currículo e ainda a socialização entre

educador e educando, educando e educando, escola e educando, entre outras

relações.

Atualmente, vários autores desenvolvem pesquisa em Modelagem

Matemática com concepções distintas, sendo de várias maneiras de conceber e

materializar a Modelagem Matemática em sala de aula. Um estudo desenvolvido por

KLÜBER (2007) aponta que as concepções de Modelagem Matemática dos

pesquisadores Rodney Carlos Bassanezi, Dionísio Burak, Maria Salete Biembengut,

Jonei Cerqueira Barbosa e Ademir Donizeti Caldeira mantêm alguma intercessão no

que concerne à área e às discussões sobre Modelagem Matemática, porém, com

algumas diferenças que apresentamos seguir.

Segundo Rodney Carlos Bassanezi1 (2002), a Modelagem Matemática

“consiste na arte de transformar problemas reais com os problemas matemáticos e

resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real” (BASSANEZI,

1

Prof. Dr. Rodney Carlos Bassanezi, professor titular do Instituto de Matemática, Estatística e Computação

Científica (IMECC) da Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP, Campinas – SP. Coordenou inúmeros

cursos sobre modelagem em diversas instituições no país. (BASSANEZI, 2002).

2006, P. 16). Modelagem Matemática é o processo que envolve a obtenção de um

modelo, este, sob certa óptica, pode ser considerado um processo artístico, visto

que para se elaborar um modelo, além de conhecimento de matemática, o

modelador precisa ter uma dose significativa de intuição e criatividade para

interpretar o contexto, saber discernir que conteúdo matemático melhor se adapta e

também ter senso lúdico para jogar com as variáveis envolvidas (BIEMBENGUT &

HEIN, 2005, p.12).

Para Maria Salett Biembengut2 (1999) define modelagem como “um

processo que envolve a obtenção de um modelo”. (p.20). Nesse processo a

modelagem é uma forma de interligar matemática e realidade, que, na visão da

autora, são disjuntas. Biembengut (1997) trata a modelagem em uma perspectiva

motivacional, onde o “O importante é não perder a motivação.” (p.105), solicitando

segurança por parte do professor para a realização da proposta. Para ela as etapas

são: 1) interação: reconhecimento da situação-problema e familiarização com o

assunto a ser modelado (pesquisa),2) matematização, formulação (hipótese) e

resolução do problema em termos matemáticos. 3 ) modelo matemático:

interpretação da solução e validação do modelo (uso). Com isso a autora visa e

acredita que Modelagem Matemática é “traduzir a linguagem do mundo real para o

mundo matemático.” (BIEMBENGUT, 1990, p. 10).

Para Jonei Cerqueira Barbosa3 (2001) afirma: “À medida que não

compreendo as atividades de Modelagem contendo encaminhamentos e fins a priori,

sustento que os alunos podem investigar matematicamente uma dada situação, sem

necessariamente construir um modelo matemático”, (p. 36). Nesse sentido, assume

que a Modelagem é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são

convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemática, situações oriundas

de outras áreas da realidade.” (BARBOSA, 2001, p. 6, grifos do autor).

2 Prof. Dr. Maria Salett Biembengut. Professora da Universidade Regional de Blumenau, FURB. Possui mestrado

em Educação Matemática pela UNESP – Rio Claro – SP, em 1990. Doutorado em Engenharia de Produção e

Sistemas, pela Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC – SC, em 1997, e pós-doutorado em

Metodologia de Ensino e Pesquisa pela Universidade de São Paulo – USP, em 2003.

3 Prof. Dr. Jonei Cerqueira Barbosa. Professor do Departamento de Ciências Exatas da Universidade Estadual de

Feira de Santana – UEFS - BA. Coordena o Núcleo de Pesquisas em Modelagem Matemática (NUPEMM) e atua

no Programa de Pós-Graduação em Ensino. Possui doutorado em Educação Matemática pela Universidade

Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho – UNESP – Rio Claro, no ano de 2001.

Ademir Donizeti Caldeira4 concebe a Modelagem pensando-a como advinda

de projetos, sem a preocupação de reproduzir os conteúdos apresentados no

currículo, enfatizando, contudo, que não se podem perder os conceitos universais da

Matemática. Ele acredita na eficácia da Modelagem, uma vez que ela, enquanto

concepção de Educação Matemática pode “oferecer aos professores e alunos um

sistema de aprendizagem como uma nova forma de entendimento das questões

educacionais da Matemática.” (CALDEIRA, 2005, p. 3).

Para o pesquisador a Modelagem pode ser um forte instrumento de

criticidade, oportunizando a clareza da importância da matemática na vida das

pessoas, porque as aplicações feitas através da Modelagem Matemática “dão luz”

aos conteúdos matemáticos. ”O conteúdo deixa de ser totalmente previsível

dependendo da direção tomada pelos alunos na solução de problemas propostos e

da capacidade do professor em direcionar a discussão. Portanto é flexível e poderá

não seguir rigorosamente a ordem em que aparece nos livros-textos, como também

pode aparecer algum conteúdo não programado para a série em que o professor

estiver trabalhando.” (Caldeira, 2004, p. 4).

Dionísio Burak5 (1987) afirma que a Modelagem Matemática é um “conjunto

de procedimentos cujo objetivo é construir um paralelo para tentar explicar

matematicamente os fenômenos do qual o homem vive o seu cotidiano, ajudando-o

a fazer predições e a tomar decisões.” O desenvolvimento de uma atividade de

Modelagem Matemática, na perspectiva de BURAK (1998 e 2004), sugere cinco

etapas que devem ocorrer a partir do interesse do grupo e das informações colhidas

do meio onde ele está inserido: As etapas a ser seguidas sugeridas pelo autor são:

1. Escolha do tema. 2. Pesquisa Exploratória. 3. Levantamento dos problemas. 4.

Resolução dos problemas e desenvolvimento do conteúdo matemático no contexto

do tema. 5. Análise crítica das soluções.

4 Prof. Dr. Ademir Donizeti Caldeira. Professor colaborador da Universidade de Uberaba, professor adjunto „i‟ da

Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC, e colaborador da Universidade Federal do Paraná - UFPR.

Possui mestrado em Educação Matemática pela Universidade Estadual de São Paulo – UNESP, em 1992.

Doutor em Educação pela UNICAMP, no ano de 1998.

5Prof. Dr. Dionísio Burak. Professor titular na Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO – PR.

Primeira dissertação de mestrado na área de Educação Matemática, sobre Modelagem Matemática, na UNESP

– Rio Claro, 1987, e tese de doutorado na área de Educação, também sobre Modelagem Matemática, no ano de

1992, na Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP - SP.

4. ETAPAS DE UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA

Nesta Unidade Didática estamos assumindo a proposta por BURAK, a

escolha desta concepção dá-se pelo fato de que nela a Modelagem Matemática vem

ao encontro das expectativas do educando, dá sentido ao que ele estuda, satisfaz

suas necessidades de aprendizagem partindo de seus interesses o que lhe

possibilitará realizar alguns de seus objetivos.

1. Escolha do tema - Na escolha do tema o educador como mediador, vai instigar,

estimulando os alunos a falarem sobre os temas, é a etapa em que o professor

discute com os estudantes alguns temas que possam gerar interesse ou deixa que

eles sejam escolhidos ou sugeridos pelos próprios alunos. Os temas podem ser dos

mais variados, uma vez que não é necessário que tenham nenhuma ligação

imediata com a Matemática ou com conteúdos matemáticos, e sim com o que os

estudantes manifestem interesse em desenvolver atividades de modelagem. O

educador neste momento é o facilitador da aprendizagem, pois deverá dar o melhor

encaminhamento para que a opção dos alunos seja respeitada.

2. Pesquisa exploratória - Na pesquisa exploratória, com o tema a ser pesquisado

já escolhido, orienta-se e discute-se com os alunos formas de conhecer mais e

melhor sobre o assunto. Aspectos teóricos, curiosidades, conteúdos técnicos,

materiais dos mais diversos, que contenham informações e noções prévias sobre o

que se quer desenvolver/pesquisar, favorecem a formação de atitudes de

investigação. Os sites, a pesquisa bibliográfica e as pesquisas de campo sobre o

assunto são fontes ricas de informações e estímulo, bem como se constituem como

meios de se conhecer o objeto de estudo.

3. Levantamento dos problemas - No levantamento dos problemas, de posse dos

materiais e informações coletadas na pesquisa exploratória, os alunos são

incentivados a conjeturar sobre tudo que pode ter relação com o tema. Essas podem

ensejar questões, sejam elas matemáticas, econômicas, ambientais, entre outras,

que decorrem do tema e possibilitam elaborar problemas ou indagar sobre situações

simples ou complexas que os permitam vislumbrar a possibilidade de aplicar ou

aprender conteúdos matemáticos. Isso com a ajuda do professor, que não se isenta

do processo, mas se torna o „mediador‟ das atividades.

4. Resolução dos problemas e desenvolvimento do conteúdo matemático no

contexto do tema - o importante nesta etapa é levar os alunos a encontrarem as

respostas para as questões levantadas e perceber qual o nível de compreensão dos

alunos para então tentar resolvê-las a partir da matemática formal. Os conteúdos

serão compreendidos no momento em que os alunos perceberem que estes são

possíveis em situações do seu cotidiano e que suas possíveis soluções originam os

modelos matemáticos. Na resolução de problemas, estaremos seguindo as etapas

propostas por POLYA (2006) e nem sempre essas etapas são fixas, são sugestões

que orientam durante o processo.

5. Análise crítica das soluções: ao refletir sobre os resultados obtidos no

desenvolvimento da atividade verão se esses contribuíram na tomada de decisões e

nas ações do grupo, pois a modelagem permite a formação de alunos que serão

cidadãos participativos, autônomos e críticos e capazes de transformar a

comunidade onde se inserem.

Nesse sentido, entendemos que o detalhamento das etapas propostas por

BURAK (1998 e 2004) é muito esclarecedora para encaminhamentos das atividades

de Modelagem em sala de aula. Vale destacar que a preocupação do autor está

centrada no processo de ensino e de aprendizagem da Matemática, principalmente

no âmbito Educação Básica.

Essas etapas propostas por Burak devem-se sempre levar em conta:

1. O interesse do grupo;

2. A obtenção de informações e dados do ambiente, onde se encontra o

interesse do grupo. Sendo assim o professor é o mediador, orientador e

problematizador.

5. EXEMPLO DE UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA

O professor pode sugerir vários temas para os alunos e também incentivar

que eles façam sugestões e depois, em comum acordo, definam apenas um tema

para trabalhar, sendo que o importante é que todos fiquem motivados para trabalhar

com o tema escolhido. Como exemplos de temas podem citar: produção de leite,

construção de uma casa, plantação de batatas, construção de uma piscina, criações

em geral, consumo de água entre outros.

Nesta Unidade Didática vamos apresentar como exemplo o trabalho da

professora Karin Regina Minosso Gnoatto, projeto desenvolvido para o programa do

PDE/turma 2009 tendo como título: Modelagem Matemática na Educação

Matemática: uma experiência no ensino fundamental – o aproveitamento da

água da chuva.

Aliando a Modelagem Matemática as questões ambientais, o projeto seguiu

as etapas propostas. Iniciou-se apresentando a nova proposta metodológica que iria

ser desenvolvida na próxima atividade, observando qual o conhecimento ou

experiência que os alunos tinham sobre MM e verificou-se que eles nunca tinham

participado de nenhuma experiência com esta metodologia. O procedimento

metodológico e o desenvolvimento do trabalho seguiram os passos já descritos

anteriormente:

Escolha do tema

Iniciou-se com a escolha do tema, sendo esse de interesse dos alunos.

Durante as discussões foram propostos temas como seca, chuva, drogas e eleições.

Mas o tema que prevaleceu foi AGUA DA CHUVA e a questão principal a ser

respondida foi “Quanto à escola economizaria de água utilizando a água da

chuva?”

Como parte da motivação para o tema realizou-se uma palestra com um

professor da UTFPr6 campus Dois Vizinhos, cujo tema era, “De quem é a

responsabilidade em cuidar do meio ambiente?”, fez-se uma exposição sobre o

que é o meio ambiente, o desafio do mundo, biodiversidade, a situação da água em

nosso planeta. Ainda nessa fase foi realizado visita técnica a dois locais, uma escola

estadual da zona rural e a UTFPr Campus de Dois Vizinhos, com intenção de

conhecer o sistema de captação, armazenamento e utilização da água da chuva

(sistema cisterna), como e quem construiu, o sistema de mutirão utilizado na

construção, foram feitos registros através de fotos, viram onde era utilizada a água

coletada: horta, horto, banheiros, etc e todo o sistema de encanamento.

6 Universidade Tecnológica Federal do Paraná.

Coleta de dados e elaboração dos problemas

Definido o tema passou-se à formação e organização dos grupos, para

elaboração dos problemas auxiliares e coletas de dados. Para responder a questão

proposta listaram quais procedimentos seriam necessários:

a. Definir onde a água seria coletada, pois temos o pátio e o telhado. Pelas

informações técnicas anotadas, o telhado seria mais adequado;

b. Onde seria armazenado? Ficou decidida a construção de uma cisterna;

c. Onde será utilizada a água armazenada? Como não podemos utilizar para

consumo humano, pois não é tratada, a água armazenada da chuva será

utilizada nos banheiros, limpeza e irrigação do campo de futebol.

Definido estas questões passaram a elaboração dos problemas auxiliares:

1. Qual o índice pluviométrico da região?

2. Qual a área do telhado que irá captar a água da chuva?

3. Qual o tamanho da calha?

4. Qual a forma da cisterna com menor custo esférica ou cilíndrica?

5. Qual o custo para construção da cisterna?

6. Qual a capacidade da cisterna a ser construída?

7. Qual o consumo de água na escola anualmente?

8. Quanto à escola vai economizar se utilizar a água da chuva?

Com as questões elaboradas, os alunos passaram a coletar os dados, como:

qual a media anual de chuva da nossa região, qual a área do telhado, tamanho da

calha necessária, custo de material de construção, o consumo de água da escola,

quanto de água da chuva será utilizada (vasos sanitários, limpeza geral, lavanderia,

irrigação de jardim).

Resolução dos problemas

Com os dados em mãos os alunos foram reunidos em grupos de três para a

fase de Resolução dos Problemas, em que professor colocou o primeiro problema

no quadro e ai seguindo as etapas propostas por Polya, fez-se a leitura,

interpretação, pergunta, discutiu-se quais dados seriam necessários para resolver

esse problema, como resolver (plano de ação) e após a análise e verificação da

resposta, assim prosseguiram em todas as atividades seguintes.

Para resolver as questões foram trabalhados os conteúdos matemáticos

envolvidos: áreas de figuras planas, unidades de medidas de superfície e de

capacidade, volume de sólidos geométricos, porcentagem e regra de três.

Análise crítica das soluções

Finalmente fez-se uma análise crítica de todos os resultados encontrados,

houve uma grande participação, todos queriam opinar. O professor voltou à questão

central: Quanto à escola economizaria de água utilizando a água da chuva?

Ao observar a pergunta central, alguns alunos falaram que pelo custo da

cisterna não valia apenas construir e que esse valor daria para pagar a conta da

água por muito tempo e a escola não economizaria nada. Falou-se que a economia

seria de R$ 67,75 ao mês e que a cisterna custaria R$ 5.320,29, mais o custo da

calha, o que daria para pagar 78 meses de água, mais ou menos, 6 anos. Instigando

e motivados pelo professor, refletiram sobre o depois da cisterna paga, quanto seria

a economia da escola em um ano, calculou-se que seria de R$ 813,00 ao ano, o que

daria em dez anos, sem contar os juros, R$ 8.130,00.

Colocaram que para obter-se um resultado econômico demoraria muito,

mesmo aplicando a economia em uma caderneta de poupança, mas como na fase

de motivação tiveram uma palestra que falava sobre a importância de proteger os

recursos naturais e sobre a água e sua importância, alguns alunos já se

manifestaram defendendo e disseram que não, pois precisamos cuidar do meio

ambiente e que se armazenássemos a água ela não cairia no solo de uma só vez,

então conforme ela ia sendo gasta ia infiltrando e chegando ao lençol freático e que

se não poderia ocorrer erosão, ela iria toda para as sangas, rios e

conseqüentemente cairia no mar transformando-se em água salgada, então mesmo

com um custo elevado concluiu-se que, a economia financeira a curto prazo não

seria muita, mas em questões ambientais, preservação e conservação do meio seria

muito importante a construção da cisterna.

Por fim, ao trabalhar com a Modelagem Matemática verificou-se que o aluno

apresentou criatividade, interesse e motivação nas aulas de matemática. O modo de

agir dos alunos durante o trabalho e seus depoimentos levaram a crer que, além do

aprendizado de alguns conteúdos matemáticos, desenvolveram a capacidade

comunicativa, de decisão e a capacidade critica sobre diversos fenômenos, em que

a temática ambiental integrada a diversas disciplinas, no aspecto social, cultural e

econômico levando-o a ser um cidadão participativo, atuante e consciente dos

problemas da sociedade.

REFERÊNCIAS:

BARBOSA, J. Modelagem na Educação Matemática: contribuições para o debate teórico, 2001.

BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-Aprendizagem com Modelagem

Matemática. São Paulo: Contexto, 2002.

BIEMBENGUT, Maria Salete. Modelagem Matemática & Implicações no Ensino-

Aprendizagem de Matemática. Blumenau: Ed. FURB, 1999.

BURAK, D. Modelagem matemática: uma alternativa para o ensino de

matemática na 5ª série. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) –

Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 1987.

__________ A Modelagem Matemática e a sala de aula. In: Encontro Paranaense

de Modelagem em Educação Matemática - I EPMEM, 1, 2004, Londrina. Anais...

Londrina P. 1-10, UEL, 2004.

__________ Formação dos pensamentos algébricos e geométricos: uma

experiência com modelagem matemática. Pró-Mat. – Paraná. Curitiba, v.1, n.1,

p.32-41, 1998.

__________ Modelagem matemática: ações e interações no processo de

ensino-aprendizagem. Tese (Doutorado em Educação) – Universidade Estadual de

Campinas, Campinas, 1992.

__________ Modelagem Matemática: avanços, problemas e desafios. In:

Encontro Paranaense de Modelagem em Educação Matemática, – II EPMEM, 2,

2006, Apucarana, PR. Anais... Modelagem Matemática: Práticas, Críticas e

Perspectivas de Modelagem na Educação Matemática, p.1-9. Apucarana: FAP,

2006.

KLÜBER, T. E. Modelagem Matemática e Etnomatemática no contexto da

Educação Matemática: Aspectos Filosóficos e Epistemológicos. Ponta Grossa,

2007, 151 p. Dissertação (Mestrado em Educação). Programa de Pós-graduação em

Educação. Universidade Estadual de Ponta Grossa – UEPG, 2007.

PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Paraná. Curitiba:

SEED, 2008.

POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.

Secretaria de Estado da Educação Departamento de Matemática, São Paulo.

Projeto TEIA DO SABER 2006- Programa de Formação Continuada de

Professores. Disponível em: http://educarparacrescer.abril.com.br/indicadores/ideb-

. Acessado em 06/12/2010.