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PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
MARIA JULIA DE CARVALHO
CASCAVEL
2008
Secretaria de Estado da Educação Superintendência da Educação
Departamento de Políticas e Programas Educacionais Coordenação Estadual do PDE
2
IDENTIFICAÇÃO
ÁREA: MATEMÁTICA
PROFESSORA PDE: MARIA JULIA DE CARVALHO
PROFESSORA ORIENTADORA IES: Profª Drª PATRÍCIA SANDALO PEREIRA
PROFESSORA CO-ORIENTADORA: Profª Ms. ARLENI ELISE SELLA
IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ – CAMPUS DE FOZ DO
IGUAÇU
TEMA DE ESTUDO DA INTERVENÇÃO
A utilização das novas tecnologias no ensino da Matemática
TÍTULO
A UTILIZAÇÃO DO LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA PARA O ENSINO DE
GEOMETRIA NO ENSINO FUNDAMENTAL
3
LISTA DE FIGURAS
Página Figura 1 - Mosaico romano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Figura 2 - Circle Limit III , 1959. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Figura 3 - Day and Night – Xilogravura de 1938. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Figura 4 - Triângulo regular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Figura 5 – Quadrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Figura 6 - Hexágono regular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Figura 7 - Pentágono regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Figura 8 - Pentágono regular com lacuna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Figura 9 - Pentágono regular com sobreposição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Tabela 1 – Ângulos internos em polígonos regulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Figura 10 - Mosaico com triângulos eqüiláteros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Figura 11 - Mosaico com quadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Figura 12 - Mosaico com hexágonos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Figura 13 - Mosaico quadrados auto-afins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Figura 14 - Mosaico triângulo eqüilátero afim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Figura 15 - Mosaico hexágono regular afim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Figura 16 - Layout do GeoGebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Figura 17 - Ícones do menu principal do GeoGebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Figura 18 - Ícone ativado mostrando abas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Figura 19 - Instruções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Figura 20 - Pavimentação de Voderberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Figura 21 - Hexágonos regulares e estrelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Figura 22 - Pavimentação de Penrose. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Figura 23 - Carpete ou empacotamento de Apolónio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Figura 24 - Estrutura da molécula de metano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Figura 25 – Hidrocarbonetos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Figura 26 - Estrutura do grafite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4
INTRODUÇÃO
Com esta unidade didática, pretende-se contribuir com o ensino de matemática,
propondo formas de abordagens diferenciadas quanto ao trabalho do conteúdo de
geometria, porque entendemos que trabalhar matemática significativamente, consiste em
levar o aluno a construir o próprio conhecimento, incorporando os significados de forma a
compreender a linguagem dessa disciplina existentes nas atividades, sejam elas no
ambiente midiático ou não.
Devido à sua abrangência, o leque de oportunidades exploratórias é expressivo,
dessa forma, o direcionamento das atividades pode ser bem diferenciado, o que pode se
traduzir em enriquecimento de oportunidades de investigações, visto que, todo trabalho
deve ser desenvolvido levando-se em consideração os diferentes níveis de rigor e
profundidade.
Nessa unidade faremos um breve relato da história da geometria, estendendo-se
também à aplicações geométricas, principalmente sobre seu uso na pavimentação do plano.
Comentaremos um pouco sobre Escher e seus mosaicos e, por fim, serão sugeridas
algumas atividades para serem trabalhadas em sala de aula.
Grande parte do desenvolvimento dessas atividades pedagógicas será realizada no
laboratório de informática, no ambiente da Geometria Dinâmica, mais especificamente, o
GeoGebra.
I - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
1.1 GEOMETRIA: Seu significado e sua história.
É muito provável que a matemática surgiu de necessidades básicas e da mesma
forma, a geometria. A palavra geometria vem do grego geo = terra + metron = medida, ou
seja, "medir terra".
A geometria é um ramo da matemática que estuda as formas, planas e espaciais,
com as suas propriedades. Está apoiada sobre alguns axiomas, postulados, definições,
teoremas e corolários.
No estudo da geometria é necessário entender representações simbólicas e suas
relações conceituais, para isso, é fundamental o uso de linguagem e procedimentos
apropriados. Conforme Murari (2005, p.198), “Ela é um ramo da Matemática que possui um
campo muito fecundo, e a maneira como for estudada irá refletir no desenvolvimento
intelectual, no raciocínio lógico e na capacidade de abstração e generalização do aluno”.
Conforme Imenes (1996, p.28), “Há indícios de que crianças que trabalham com formas
5
geométricas, tornam-se mais organizadas, desenvolvem coordenação motora e visual,
melhoram a leitura, compreendem mais rapidamente gráficos, mapas e outras informações
visuais”.
A geometria é parte da Matemática que lida com as propriedades do espaço,
empregando um sistema que utiliza pontos, linhas, superfícies e sólidos. Sobre a sua
origem, J. Coolidge, citado por Gerdes (1992, p.14), afirma: “Qualquer que seja a nossa
definição de Homo sapiens, ele deve ter tido algumas idéias geométricas; de fato, a
geometria existiria, mesmo se não tivesse havido Homo sapientes nenhum”. Para a maioria
dos autores a geometria teve seu início na Mesopotâmia. Ainda conforme Gerdes (1992),
A geometria nasceu como uma ciência empírica ou experimental. (...). Depois de ter sido reunido suficiente material factual respeitante às formas espaciais mais simples, tornou-se possível, sob condições sociais especiais, como, por exemplo, no Egito antigo, Mesopotâmia e China, sistematizar consideravelmente o material factual recolhido. Com isso começou a transformação da geometria de uma ciência empírica numa ciência matemática. (p.17)
A necessidade de medir terras determinou os primeiros passos da geometria. As
atividades incluíam observações, comparações e relações entre formas e tamanhos.
Observa-se também, diversos outros momentos em que foi usada pelos povos considerados
primitivos, na construção de objetos de decoração, de utensílios em geral e na criação de
desenhos para a pintura corporal. Formas geométricas, com grande riqueza e variedade,
aparecem em cerâmicas, cestarias e pinturas de diversas culturas. Nestas manifestações
artísticas já apareciam formas como triângulos, quadrados, círculos, entre outros.
Figura 1 - Mosaico romano1
A figura 1 é exemplo de pavimentação com formas geométricas e essa
pavimentação tem relação com a arte dos mosaicos, cuja repetição permite-nos obter
padrões harmoniosos.
1 Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Mosaico
6
Segundo Murari (2005, p. 202), “O vocábulo pavimentação tem como sinônimos
“tesselação” ou “mosaico” quando utilizado no sentido de recobrimento de uma porção do
plano (euclidiano ou não)”.
Barbosa (1993), afirma que,
Os mosaicos são conhecidos desde os tempos antigos. Estiveram presentes nas civilizações assíria, babilônica, persa, egípcia, grega, chinesa e outras, empregados em padrões que não raro permaneceram até os dias atuais. Muitos mosaicos encontrados em pisos, tetos e painéis de parede, de templos ou palácios, atestam a íntima relação entre determinados padrões e a arte da decoração. (...) O objetivo do artífice era e é encontrar um certo tipo de simetria ornamental com o emprego de figuras relativamente simples, cuja repetição e interação formem um todo harmonioso e estético. (p.1)
Um grande estudioso desse tema foi M.C. Escher. Mauritus Cornelis Escher nasceu
em 1898, em Leeuwarden na Holanda, faleceu em 1970. Escher foi para a Escola de Belas
Artes de Haarlem para estudar arquitetura onde conheceu o seu mestre, Jesserum de
Mesquita, um professor de Artes Gráficas. Conheceu as técnicas de desenho e apaixonou-
se pela arte da gravura. Teve grande interesse pela arte árabe, sendo esta, a base do
interesse e da paixão de Escher pela divisão regular do plano em figuras geométricas que
se repetem e refletem, pelas pavimentações.
Alguns de seus trabalhos
Figura 2 - Circle Limit III, 19592.
2 Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/M._C._Escher
7
Figura 3 – Day and Night – Xilogravura de 19383
O tema geometria é bastante amplo, nesta unidade trataremos de estudar com mais
afinco um recorte desse assunto relacionado à pavimentação do plano, usando polígonos
regulares na construção dos mosaicos. O seu estudo pode ser explorado nos diversos
níveis de escolaridade, e permite que vários conceitos geométricos sejam abordados, por
exemplo: ponto médio, simetrias, bissetriz, polígonos regulares, ângulos, entre outros.
1.2 - PAVIMENTAÇÃO DO PLANO
Conforme Barbosa, (1993, p.3). “Um conjunto de polígonos será uma pavimentação
do plano se, e só se, o conjunto de polígonos cobre sem cruzamentos o plano”. Quando
dizemos cobre, estamos dizendo que todo ponto do plano pertence a pelo menos um
polígono e quando na intersecção de dois polígonos não há lacuna dizemos que é sem
cruzamento.
Pavimentação lado-lado – “Uma pavimentação é lado-lado se, e somente se, toda
aresta é lado comum a dois polígonos (...). Um novo polígono só pode ser acrescentado se
os lados em contato são respectivamente congruentes. Caso contrário dirá simplesmente
que a pavimentação não é lado-lado” (BARBOSA, 1993, p.4).
Pavimentação Arquimediana, Uniforme e Platônica – Segundo o autor e obra acima
referenciada, quando a pavimentação cujos vértices apresentam-se todos com o mesmo
número de arestas concorrentes é chamada Arquimediana. Será Uniforme, quando a
pavimentação for Arquimediana, lado-lado e os polígonos ao redor de um vértice forem
sempre os mesmos e na mesma disposição. Será Platônica, quando a pavimentação for
3 Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Escher.htm
8
Arquimediana, se todos os polígonos possuírem o mesmo número de lados, e se toda
aresta é lado comum a dois polígonos (lado-lado).
1.2.1 - PAVIMENTAÇÃO DO PLANO COM POLÍGONOS REGULARES DE UM SÓ TIPO
Quais polígonos regulares pavimentam o plano?
Procedimento: Colocando os polígonos regulares de certo tipo ao redor de um ponto,
encostando-os lado a lado. Temos duas possibilidades.
Verificação dos ângulos ao redor do ponto. Seja k o número de polígonos colocados
e i o ângulo vértice (ângulo interno).
• Completamos a volta e os polígonos se ajustam bem;
Para isso devemos ter k. i = 360º
• Não completamos a volta, mas se colocarmos mais um haverá remonte.
Isso se k. i ˂ 360º e (k + 1). i ˃ 360º, quando constatamos a impossibilidade de
pavimentação.
Colocando novos polígonos regulares do mesmo tipo ao redor dos já colocados, por
anéis circundantes. No caso de obtermos êxito, concluímos que a pavimentação é possível
para o tipo.
Figura 4 - Triângulo regular Figura 5 – Quadrado Figura 6 – Hexágono regular
Triângulo: k = 6 e i = 60º, então 6 .60º = 360º
Quadrado: k = 4 e i = 90º, então 4. 90º = 360º
Hexágono: k = 3 e i = 120º, então 3.12º = 360º
Vamos experimentar pavimentar só com Pentágonos regulares? O seu ângulo
interno vale i = 108º.
Figura 7 – Pentágono regular
Se k = 3, ou seja, três pentágonos regulares ao redor de um ponto. (ocorre lacuna)
K = 3 e i = 108º, fazendo 3. 108º = 324º ˂ 360º
9
Figura 8 – Pentágono regular com lacuna
Se k = 4, ou seja, quatro pentágonos regulares ao redor de um ponto. (ocorre
superposição)
K = 4 e i = 108º, fazendo 4. 108º = 432º ˃ 360º.
Figura 9 – Pentágono regular com sobreposição
Como para todo polígono regular o ângulo interno é sempre menor que 180º,
devemos ter k ≥ 3 polígonos ao redor de um ponto; assim, a experiência deve parar no
hexágono regular, cujo ângulo vértice é i = 120º. Pois, para qualquer polígono regular de n ˃
6 lados, terá ângulo interno i ˃ 120º, e teríamos k. i ˃ 360º.
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono é sempre igual a 360º. Assim,
nos polígonos regulares, nos quais todos os ângulos são congruentes, para determinar a
medida de cada um deles basta dividir 360º pelo número de lados (MACHADO, 1989, p.27).
Um padrão de pavimentação é padrão regular se, e somente se, for construída de
polígonos convexos congruentes tal que cada figura vértice do padrão seja polígonos
regulares. Chamamos de figura-vértice o polígono que possui por vértice os pontos médios
dos lados que concorrem num mesmo vértice.
Tabela 1 – Ângulos internos em polígonos regulares
Polígono regular Soma das medidas de todos os ângulos internos
Medida de cada ângulo interno
Triângulo eqüilátero 180º 60º
Quadrado 360º 90º
Pentágono regular 540º 108º
Hexágono regular 720º 120º
Decágono regular 1440º 144º
Polígono regular de n lados
(n - 2). 180º ( )
n
n º1802−
Fonte: DANTE, L.R. Tudo é matemática. São Paulo, Ática, 2004, p.137.
10
1.2.2 - PAVIMENTAÇÃO DO PLANO COM POLÍGONOS REGULARES DE TIPOS
DIFERENTES
A pavimentação ao redor de um ponto com polígonos regulares de vários tipos,
congruentes entre si, pode ser realizada utilizando os mesmos procedimentos usados para a
pavimentação com polígonos regulares de um só tipo.
Ao conjunto de polígonos regulares que se ajustam ao redor de um ponto (vértice)
chamamos de configuração, a qual receberá uma notação que irá designar quais polígonos
a formam. Tomando por exemplo a configuração (3,4,6,4), devemos compreender que
existem os seguintes polígonos, dispostos rigorosamente nesta ordem: triângulo, quadrado,
hexágono e quadrado (MURARI, 1993, p.80).
Ainda Conforme Murari (1999, p.38-Anexos), das 21 configurações de polígonos
regulares em torno de um vértice só as configurações (3,3,3,3,3,3), (4,4,4,4) e (6,6,6)
pavimentam o plano.
1.3 - CONSTRUINDO ALGUNS MOSAICOS
Procuraremos mostrar como a partir de simples peças pode-se obter interessantes
mosaicos. Para isso usaremos apenas os três únicos polígonos regulares que pavimentam o
plano: os triângulos eqüiláteros, os quadrados e os hexágonos regulares.
A partir de uma peça triangular eqüilátera, com um friso interno, usando suas réplicas
obterá o mosaico.
Figura 10 – Mosaico com triângulos eqüiláteros
Considere uma peça quadrada, na qual fazemos um pequeno ornamento losangular.
Com suas réplicas podemos obter o padrão do mosaico a seguir.
Figura 11 – Mosaico com quadrados
11
Considere uma peça hexagonal regular, na qual fizemos um friso em 4 lados
consecutivos.
Figura 12 – Mosaico com hexágonos
COM FIGURAS-VÉRTICE DOS PADRÕES REGULARES
“Fazendo todas as figuras-vértice no padrão regular de quadrados, obtemos uma
nova pavimentação de quadrados com padrão regular.” (BARBOSA, 1993, p.21).
Figura 13 – Mosaico quadrados auto-afins
“Fazendo todas as figuras-vértice no padrão regular de triângulos eqüiláteros,
obtemos uma nova pavimentação, porém agora com hexágonos regulares e triângulos
eqüiláteros.” (BARBOSA, 1993, p.22).
Figura 14 – Mosaico triângulo eqüilátero afim
“Fazendo todas as figuras-vértice no padrão regular de hexágonos regulares,
obtemos também uma pavimentação com triângulos eqüiláteros e hexágonos regulares.”
(BARBOSA, 1993, p.22).
Figura 15 – Mosaico hexágono regular afim
“Isso leva a considerar que os padrões regulares de triângulos eqüiláteros e de
hexágonos regulares em relação à figura-vértice, são chamados de afins e os padrões
regulares de quadrados são auto-afins.” (BARBOSA, 1993, p.22).
12
II - ESTRATÉGIAS DE AÇÃO
As atividades serão desenvolvidas com alunos da oitava série, no laboratório de
informática na plataforma Linux da Paraná Digital. Usaremos o programa de geometria
dinâmica GeoGebra, um projetor multimídia, uma TV multimídia e um computador portátil.
Para o desenvolvimento dessa Unidade Didática, estão previstas 16 horas/aula de trabalho
com os alunos. Para maior agilidade do processo, será produzido material impresso. As
atividades serão realizadas em duplas e com o auxilio da professora PDE/regente de turma.
Proporemos aos alunos que observem objetos simples, do cotidiano, a partir daí,
propor atividades visando estimular o aprofundamento dos estudos, levando-os ao
conhecimento sistematizado e conceitual. Nessa perspectiva de trabalho, o professor terá
como função principal mediar o processo de ensino-aprendizagem e com tal proposta
pedagógica, espera-se que o aluno desenvolva suas atividades de forma mais autônoma.
2.1 - SEQUÊNCIA DAS ATIVIDADES
I – Informações preliminares aos alunos a respeito do tema Pavimentação do plano
com polígonos regulares.
II - No ambiente midiático:
• Familiarização ao funcionamento do sistema operacional Linux; Acesso à
internet para visitas aos sítios relacionados ao tema objeto de estudo. Acesso
ao ambiente (http://web.educom.pt/pr1305/), o qual permite a interação do
aluno com o objeto.
• Filmes (You Tube) sobre os mosaicos de Escher e outros. Por exemplo,
(http://youtube.com/user/chaos17 - Tributo a M.C. Escher – 03h54min
minutos, http://youtube.com/user/simalgo2 - Escher – Geometria e Arte –
03h54min minutos) entre outros.
• Familiarização dos alunos com relação ao software GeoGebra. Acesso ao
sítio http://videolog.uol.com.br/video.php?id=318748 (20 minutos de vídeo
sobre construções usando o software GeoGebra). Acessar o programa e
conhecer na prática, as janelas, os comandos, dicas entre outros.
III - Desenvolver as atividades propostas, dentre as quais algumas deverão culminar
com a pavimentação de planos com polígonos regulares.
13
III - UNIDADE DIDÁTICA
Iniciaremos o estudo com filmes relacionados à exploração do software GeoGebra,
na seqüência serão fornecidos materiais impressos, em forma de apostila, com uma rápida
apresentação, auxiliando o aluno que não tem familiaridade no manuseio destas
ferramentas. Proporemos uma seqüência de atividades para serem realizadas com o auxílio
do software, consideramos esta, uma etapa importante e necessária para o
desenvolvimento das demais tarefas a serem propostas.
3.1 - GEOGEBRA
É um programa livre, de geometria dinâmica e disponível na plataforma Linux. Foi
desenvolvido por Markus Hohenwarter, da Flórida Atlântica University, em 2001. Traduzido
para o português por J. Geraldes, disponível para Download (em
http://www.geogebra.org/cms/).
O GeoGebra é um software matemático que reúne Geometria, álgebra e Cálculo e
pode ser utilizado em qualquer nível de ensino de Matemática. Há duas janelas de
visualização: a janela de álgebra e a geométrica. Cada objeto visualizado na janela
geométrica tem sua representação algébrica simultaneamente mostrada na janela algébrica.
Na seqüência iremos apresentar algumas informações básicas sobre seu uso.
Ao iniciar o software, visualizaremos a seguinte janela:
Figura 16 – Layout do GeoGebra.
14
Barra de Ferramentas - Podemos acessar as funções via botões na Barra de
Ferramentas ou pelo Campo de Entrada. A barra de ferramentas está dividida em 9
botões, e em cada botão há várias ferramentas. Para acessar essas ferramentas, basta
clicar na parte inferior do ícone (conforme indicação a seguir).
Figura 17 – Ícones do menu principal do GeoGebra.
Arraste o cursor para baixo e de um clique para selecionar a função desejada
(observe a figura seguinte).
Figura 18 – Ícone ativado mostrando abas.
Janela de Álgebra - Ao iniciar o GeoGebra, geralmente a Janela de Álgebra já
aparece na tela. Caso não apareça, pode-se mostrá-la a partir da Barra de Menu, em
Exibir e marcando a opção Janela de Visualização. O procedimento é idêntico para
desmarcá-la, caso queira.
Janela de Gráficos – Ao introduzir um comando escrito, os correspondentes objetos
geométricos são desenhados na Janela de Gráficos.
Entrada de Comandos - Em alguns casos é mais fácil entrar usando este comando.
Esta opção pode ser ativada ou desativada no Menu Exibir marcando ou desmarcando a
opção Campo de Entrada.
Botão Direito do Mouse – Com o Botão Direito do Mouse, também se pode ativar
ou desativar Eixo e Malha. Podem-se tornar objetos visíveis ou invisíveis, renomear,
redefinir, apagar, e clicando em Propriedades, é possível alterar cor, linha, entre outros.
Algumas dicas
• O item Desfazer no menu Editar é uma ferramenta muito usada para anular as
últimas operações, pode-se usar também no teclado ctrl+z (desfazer) e ctrl+y
(refazer), esta opção também é encontrada no canto superior da tela.
15
• Cada vez que selecionamos uma ferramenta, o Geogebra dá informações de como
proceder para utilizá-la.
Figura 19 – Instruções
• O menu “Exibir – Protocolo de Construção“ fornece uma tabela listando todos os
passos que você tomou fazendo sua construção. Ele serve para revisar a construção
passo a passo utilizando as teclas de seta.
• É possível desativar ou ativar a janela de álgebra, o eixo cartesiano e a malha,
através do Menu Exibir.
• Outras informações podem ser obtidas no Menu Ajuda.
3.1.1 - APRESENTAÇÃO DE ATIVIDADES BÁSICAS PARA A FAMILIARIZAÇÃO COM
AS PRIMEIRAS FUNÇÕES DO GEOGEBRA.
ATIVIDADE 01
1- Nesta atividade serão utilizados a Janela de Álgebra, o Eixo e a Malha. No menu
Exibir aparecem essas três funções. Sempre que precisar, você poderá ativá-las ou
desativá-las.
2- Para criar um ponto selecione a ferramenta novo ponto , e dê um clique na
área de trabalho. Marque no plano cartesiano cada um dos seguintes pontos: A (2,
1); B (8, 1); C (8, -2) e D (2, -2)
3- Mude a cor dos pontos. Para mudar a cor do ponto, clique sobre ele com o lado
direito do mouse e aparecerá uma janela. Selecione a opção Propriedades e em
seguida a opção Cor. No lado esquerdo dessa janela aparecem os pontos. Clique
neles, um a um, e na cor desejada. Para a operação ser concluída, clique em
Fechar.
16
4- Utilizando a ferramenta polígono , clique sobre os pontos e forme o Polígono
ABCD. Lembre-se de fechar o polígono no ponto A.
5- Para mudar a cor do polígono, repita o procedimento utilizado para mudar a cor dos
pontos, clicando dentro do polígono com o lado direito do mouse.
6- Observe a janela de álgebra. Os dados do polígono também mudaram de cor. O
objeto Poly1 traz a medida da área do Polígono P. Os objetos a, b, c, d, são as
medidas dos lados deste polígono.
7- A intensidade da cor do preenchimento do polígono pode ser alterada. Clique dentro
dele com o lado direito do mouse, a seguir, clique em Propriedades escolha a opção
Estilo, movimente com o mouse a seta de Preenchimento que pode intensificar ou
diminuir sua cor.
8- Para mover ou arrastar um objeto, selecione a ferramenta mover , clique no
polígono e arraste para o local desejado. Agora clique sobre um dos pontos e mova.
Clique sobre um dos lados e mova. Observe que a figura se altera.
9- Para salvar a atividade realizada, selecione o menu Arquivo clique na opção Gravar.
ATIVIDADE 02
1- Abra um arquivo novo clicando em Arquivo, na janela que surge selecione Novo.
2- Nesta atividade, não utilizaremos a Janela de Álgebra, Malha e nem o Eixo. A
Janela de Álgebra também pode ser fechada, clicando no x que aparece em seu
canto superior direito.
3- Construa uma reta utilizando a ferramenta Reta definida por dois pontos ,
selecione a ferramenta e depois clique em dois lugares quaisquer no plano.
4- Renomeie os pontos A e B para C e D. Para isso, clique sobre o ponto com o lado
direito do mouse, abrirá uma janela, selecione a opção Renomear. Digite a letra que
você identificará o ponto e clique em Aplicar.
5- Mova a reta. Para isso selecione o botão Mover , clique num dos pontos e
arraste-o.
6- Nomine a reta como r. Se a letra não aparecer, clique com o lado direito do mouse
sobre a reta e selecione Exibir rótulo.
7- Mude a cor da reta. (Use o mesmo procedimento utilizado para mudar a cor dos
pontos e do polígono).
17
8- Modifique a espessura da reta. Clique sobre ela com o lado direito do mouse,
selecione Propriedades e na função Estilo podemos aumentar ou diminuir a
espessura da reta movendo a seta correspondente. Também nesta janela pode-se
mudar o estilo da reta para pontilhado.
9- Construa um novo ponto fora da reta e represente-o pela letra P.
10- Construa uma reta paralela à reta r passando pelo ponto P. Clique na ferramenta
Reta paralela , a seguir clique na reta r e no ponto P (ou vice-versa).
11- Movimente a reta r clicando em um de seus pontos e observe o que acontece com a
reta paralela.
ATIVIDADE 03
1- Abra um arquivo novo.
2- Para esta atividade, não utilizaremos a Janela de Álgebra e o Eixo.
3- Selecione a opção Segmento definido por dois pontos e construa o segmento
AB.
4- Caso não esteja aparecendo o rótulo do segmento clique com o lado direito do
mouse sobre ele e selecione a opção Exibir rótulo. Você terá então, o segmento a.
5- Marque o ponto médio deste segmento. Selecione a opção Ponto médio ou centro
e clique nos pontos A e B.
6- Trace uma reta perpendicular ao segmento AB, passando pelo ponto médio C.
Selecione a ferramenta Reta perpendicular ·, clique no segmento e no ponto
C.
7- Selecione o botão Mover e mova os pontos.
Obs. Este trabalho foi inspirado e adaptado a partir do sítio (http://www.geogebra.org/cms/) e
da apostila do CEFET Campos, disponível em:
(http://www.es.cefetcampos.br/softmat/download/atividades1/geogebra.pdf).
3.1.2 - ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM PARA CONSTRUÇÕES DE POLÍGONOS
REGULARES.
3.1.2.1 - PAVIMENTAÇÃO COM AS FIGURAS VÉRTICES DOS PADRÕES REGULARES
18
ATIVIDADE 01
Verificar alguns conceitos de ponto, reta, segmento de reta e plano.
Nesta atividade serão utilizados a Janela de Álgebra, o Eixo e a Malha. No menu Exibir
aparecem essas três funções, sempre que precisar, você poderá ativá-las ou desativá-las.
1- Abra um arquivo novo, clique em Arquivo e selecione a opção Novo.
2- Com o botão direito do mouse, na janela de visualização, escolha a opção
EixoX:EixoY, verifique se está ativada a opção 1:1.
3- Selecione a opção Novo Ponto e clique na área de trabalho para marcar no
plano cartesiano os seguintes pontos: A (-1,5; 3), B(0,8; 3,5), C(0,8; 1,5) e D(-1,5; 1).
4- Selecione a opção Segmento definidos por dois pontos e clique nos pontos A
e B, e depois nos pontos B e C, C e D, por último em D e A, para criar os respectivos
segmentos.
5- Selecione a opção Novo Ponto e marque os pontos E (1,5; 2,2), F(3,8; 3),
G(3,8; 1) e H(1,5; 0,2).
6- Escolha a ferramenta Segmentos definidos por dois pontos e depois clique
nos pontos E e F, F e G, G e H, H e E, A e E, B e F, C e G e por último D e H.
7- Escolha a opção Novo Ponto , escolha o vértice F (pode ser outro). Escolha a
opção reta definida por dois pontos , clique no ponto F e em um outro ponto
qualquer da área de trabalho, repita essa operação para construírem várias retas
passando por esse ponto. (quantas quiserem)
8- Não será necessário salvar, caso queira, selecione o menu Arquivo e clique na
opção gravar ou gravar como.
9- Para pensar e responder:
• Olhando a figura, que características são possíveis notar? (lados, canto...).
• Que denominações são dadas a tais características matemáticas? (ponto, segmento de
reta,...)
• Que habilidades e saberes são desenvolvidos/aprendidos na construção das figuras?
(Coordenação motora, plano cartesiano, localização dos pontos.)
• É possível determinar o número máximo de retas que podem ser construídas
passando pelo ponto F? Com isso, a que conclusão pode-se chegar?
19
• Entre os pontos A e B é possível construir outros pontos? Quantos?
• Ao construir essa figura, foi possível perceber que, por dois pontos passam quantas
retas?
• Então podemos concluir que por um ponto, podem passar (infinitas) retas, e que,
por dois pontos pode passar (uma única) reta.
ATIVIDADE 02
Construir o quadrilátero regular.
Nesta atividade serão utilizados a Janela de Álgebra e a Malha. Clique no menu Exibir para
desativar o Eixo.
1- Abra um arquivo novo clicando em Arquivo e selecione a opção Novo.
2- Selecione a opção novo ponto e clique num lugar qualquer na área de
trabalho para criar os pontos A e B (neste momento a distância entre os pontos A e B
não importa).
3- Selecione a opção reta definida por dois pontos e clique nos pontos A e B para
criar a reta a.
4- Selecione a opção reta perpendicular e clique no ponto A e na reta a para
criar a reta b. Repita o procedimento clicando em B para criar a reta c.
5- Selecione a opção círculo definido pelo centro e um de seus pontos e clique no
ponto B e depois no ponto A.
6- Escolha a ferramenta intersecção de dois objetos e clique em um dos pontos
onde a circunferência intercepta a reta c, irá criar o ponto C.
7- Escolha a ferramenta reta paralela e clique no ponto C e na reta a para criar a
reta e.
8- Selecione a opção intersecção de dois objetos e clique nas retas b e e para
criar o ponto D (ou clique no ponto onde as retas se cruzam).
9- Observe as notações dos pontos e das retas, há diferenças? (ou veja na janela de
álgebra)? Quais?
20
10- Selecione a opção exibir/esconder objeto e clique nas retas e na circunferência
(quando você clica nos objetos eles ficam com a espessura da linha um pouco mais
grossa), depois clique na opção mover .
11- Escolha e opção polígono e depois clique nos pontos A, B, C e D, fechando
em A.
12- Observe as notações dos pontos e dos segmentos de retas, há diferenças? (ou veja
na janela de álgebra)? Quais?
13- Selecione a opção ângulo e clique em dois segmentos consecutivos no sentido
horário, para obter o ângulo interno do polígono. Repita a operação até obter o valor
de todos os ângulos.
14- Observe a janela de álgebra e observe os valores (medidas) de todos os segmentos
e de todos os ângulos. Quando isso acontece dizemos que o polígono é um. . .?
15- Observe na janela de álgebra e note que aparecem os objetos livres, onde aparecem
os pontos A e B e os objetos dependentes, onde aparecem os outros objetos.
Selecione a opção mover e tente movê-lo clicando em cada ponto na janela de
gráficos. Quando movemos os pontos A e B o que acontece com o formato do
polígono? E com as medidas dos segmentos? E com poly1? O que representa
poly1?
16- Dois ângulos opostos quaisquer desse polígono são congruentes?
17- Escolha a opção Segmento definidos por dois pontos , clique nos pontos A e C
e em B e D. Selecione a opção ângulo , clique nas diagonais no sentido
horário, deverá surgir o valor do ângulo de 90º.
18- Podemos dizer que todo quadrado é retângulo e também é losango?
19- Não será necessário salvar, caso queira, selecione o menu Arquivo e clique na
opção gravar ou gravar como.
Nota.
Num paralelogramo: • Os lados opostos são congruentes; • Cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes; • Os ângulos opostos são congruentes; • As diagonais interceptam-se em seu ponto médio.
21
Retângulo: • As diagonais são congruentes; • É o paralelogramo em que os quatro ângulos são congruentes (retos).
Losango: • É o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes.
Quadrado • É o paralelogramo que os quatro lados e os quatro ângulos são congruentes. “Portanto todo quadrado é retângulo e também é losango”
ATIVIDADE 03
Deduzir a fórmula do perímetro e da área do quadrado.
Nesta atividade serão utilizados a Janela de Álgebra, o Eixo e a Malha.
1- Abra um arquivo novo.
2- Selecione a opção novo ponto e clique na área de trabalho para criar os
pontos A (1,2) e B(3,2).
3- Selecione a opção reta definida por dois pontos e clique nos pontos A e B para
criar a reta a.
4- Selecione a opção reta perpendicular e clique no ponto A e na reta a para
criar a reta b. Repita o procedimento clicando em B para criar a reta c.
5- Selecione a opção círculo definido pelo centro e um de seus pontos e clique no
ponto B e depois no ponto A.
6- Escolha a ferramenta intersecção de dois objetos e clique na intersecção da
circunferência com a reta c, irá criar o ponto C.
7- Escolha a ferramenta reta paralela e clique no ponto C e na reta a para criar a
reta e.
8- Selecione a opção intersecção de dois objetos e clique nas retas b e e, para
criar o ponto D (ou clique no ponto onde as retas se cruzam).
9- Selecione a opção exibir/esconder objeto e clique nas retas e na
circunferência, depois clique na opção mover .
22
10- Escolha e opção polígono e depois clique nos pontos A, B, C e D, fechando
em A.
11- Qual é o valor de poly1? No campo de entrada faça a adição dos quatro segementos
(abra parêntese, digite as medidas somando e feche parêntese) o resultado surgirá
na janela de álgebra em objetos livres, que valor apareceu?
12- Selecione a opção mover e arraste o ponto A para A(0,2). Agora qual é o valor
de poly1? Faça a nova soma no campo de entrada, que valor apareceu? Repita todo
o procedimento deixando o ponto para A(-1,2) e para A(-2,2).
A parte colorida do polígono chamamos de área (ou superfície), o contorno (ou seja,
a soma dos segmentos), chamamos de perímetro.
13- Selecione a opção mover e arraste o ponto A para A(-2,2). Agora qual é o valor
de poly1? Faça a nova soma no campo de entrada, que valor apareceu?
14- Complete a tabela:
Medida do lado do polígono
Valor de poly1 (área colorida do polígono)
Soma dos segmentos (contorno do polígono)
2 3 4 5 . . . . . . . . . n
15- Qual é a denominação matemática para a área colorida do polígono e para o
contorno do polígono?
16- Não é necessário salvar.
ATIVIDADE 04
Deduzir da fórmula da área de um triângulo qualquer e reforçar as diferenças entre
polígonos regulares e não-regulares.
Nesta atividade serão utilizados a Janela de Álgebra, o Eixo e a Malha.
1- Abra um arquivo novo.
2- Selecione a opção novo ponto e clique na área de trabalho para criar os
pontos A (2,3) e B(6,3) e C(6,5).
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3- Escolha e opção polígono e depois clique nos pontos A, B e C fechando em A.
4- Observe o valor de poly1 na janela de álgebra.
5- Selecione a opção novo ponto e para criar o ponto D(2,5).
6- Escolha e opção polígono e depois clique nos pontos A, B, C e D fechando
em A.
7- Observe o valor de poly2.
8- Com o botão mover , arraste os pontos C e D na posição C(6,6) e D(2,6). O
que aconteceu com os valores de poly1 e poly2?
9- Selecione a opção novo ponto para criar os pontos E (0, -3), F(4, -3) e G(2,0).
10- Escolha e opção polígono e depois clique nos pontos E, Fe G fechando em E.
11- Selecione a opção novo ponto para criar os pontos H(0,0) e I(4,0).
12- Escolha e opção polígono e depois clique nos pontos E, F, I e H fechando em
E.
13- Observe os valores de poly3 e poly4.
14- Escolha a opção ângulo , determine os ângulos poly1 e de poly2. Repita o
procedimento para outra figura.
15- Após a construção desses quatro polígonos é possível se chegar a alguma
conclusão quanto às suas áreas?
16- Agora, observando as medidas dos segmentos de cada polígono, podemos dizer que
são congruentes? E em relação aos ângulos? Agora discuta com seus colegas e
responda: podemos dizer que esses polígonos são regulares ou não e por quê?
17- Não é necessário salvar.
Nota: A área de um triângulo regular ou de um de triângulo qualquer será sempre a metade
da área de um paralelogramo.
ATIVIDADE 05
Construir o triângulo eqüilátero e determinar perímetro e área.
Nesta atividade não utilizaremos o Eixo e a Malha.
1- Abra um arquivo novo.
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2- Selecione a opção novo ponto e crie os pontos A e B.
3- Selecione a opção circulo definido pelo centro e um de seus pontos e clique no
ponto A passando pelo ponto B, e depois no ponto B passando pelo ponto A.
4- Escolha a opção intersecção de dois objetos , depois clique na intersecção das
circunferências.
5- Selecione a opção exibir/esconder objeto e clique em todas as circunferências
e depois clique na opção mover .
6- Escolha e opção polígono e depois clique nos pontos até fechar a figura.
7- Observe a janela de álgebra e veja as medidas dos lados do polígono. Converse
com seus colegas e conclua: é possível determinar as medidas dos ângulos sem o
recurso ângulo do software?
8- Vamos ver se acertaram. Selecione a opção ângulo e clique em dois
segmentos consecutivos no sentido horário, para determinar o ângulo interno do
polígono. Selecione a opção mover e arraste os rótulos para fora da área do
polígono.
9- Observe na janela de álgebra as medidas dos segmentos. Com a opção mover
, arraste o ponto A ou o ponto B, de forma que a distância entre eles seja de 3 cm.
10- Converse com seus colegas. Houve alguma alteração nas medidas dos ângulos?
Por quê?
11- Escolha a opção mediatriz e clique no segmento AB ( AB ) para criá-la.
12- Escolha a opção intersecção de dois objetos , clique na mediatriz e depois no
segmento perpendicular à altura, irá determinar o ponto D. Escolha segmentos
definidos por dois pontos , clique nos pontos C e D, estaremos determinando a
altura do triângulo equilátero.
25
13- O que a mediatriz faz? Escolha a opção distância ou comprimento e clique nos
pontos A e D e depois em D e B. Agora ficou mais fácil?
14- Selecione a opção ângulo e clique na altura do triângulo e depois no segmento
perpendicular à altura para determinar o ângulo reto do triângulo retângulo recém
criado.
15- Observando o polígono e a janela de álgebra, discuta com seus colegas e diga: os
lados e os ângulos do triângulo ABC são congruentes? Podemos dizer que esse
polígono é regular? E o triângulo BCD é regular? Por quê?
16- Determine os perímetros e as áreas dos triângulos ABC e BCD. É uma excelente
oportunidade de aplicação do Teorema de Pitágoras.
10- Não será necessário salvar, caso queira, selecione o menu Arquivo e clique na
opção gravar ou gravar como.
ATIVIDADE 06
Construir o hexágono regular, deduzir a fórmula da área do triângulo equilátero e
determinar perímetro e área do hexágono.
Nesta atividade utilizaremos a janela de álgebra e a Malha.
1. Abra um arquivo novo.
2. Selecione a opção novo ponto e clique num lugar qualquer da área de trabalho
para criar o A.
3. Selecione a opção círculo dados centro e raio , com centro em A e raio r=2,
clique em aplicar para criar a circunferência c.
4. Com a mesma Seleção, clique num ponto qualquer da circunferência para criar o
ponto B, digite 2 para raio r=2, clique em aplicar para criar a circunferência d.
5. Selecione a opção mover e arraste o ponto B. A circunferência recém criada
deve girar vinculada à primeira.
6. Selecione a opção círculo dados centro e raio , clique na intersecção das
circunferências irá criar o ponto C, digite 2 para raio r=2, irá criar a circunferência e.
7. Repita a operação clicando na intersecção das circunferências c e e para criar o
ponto D e r=2, irá surgir a circunferência f. Depois clique na intersecção das
circunferências f e c para criar o ponto E e r=2, irá criar a circunferência g.
26
8. Escolha a opção intersecção de dois objetos , clique na intersecção das
circunferências g e c para criar o ponto F e na intersecção c e d para criar o ponto G.
9. Selecione a opção mover e arraste o ponto B. Se todos os pontos giram
vinculados à circunferência c, sua construção está correta.
10. Selecione a opção exibir/esconder objeto e clique em todas as circunferências.
Depois Selecione a opção mover .
11. Escolha e opção polígono e depois clique nos pontos até fechar a figura.
Permanecendo apenas o ponto A no centro. Escolha a opção mover e arraste
os pontos A e B. Houve alguma alteração de poly1? Por quê?
12. Escolha a ferramenta Segmentos definidos por dois pontos e clique nos
pontos A e B e depois nos pontos A e C. Escolha a opção Ponto médio ou centro
e clique no segmento b, irá criar o ponto H. Novamente segmentos definidos
por dois pontos , clique nos pontos A e H, irá criar o segmento i (altura do
triângulo).
13- Selecione a opção ângulo , clique na altura do triângulo (segmento i) e depois
no segmento b (sentido horário), deverá aparecer o ângulo de 90º. Com a opção
Segmentos definidos por dois pontos clique nos pontos C e H, irá surgir o
segmento j.
14- Observe as medidas dos segmentos h, i e j. Podemos dizer que o triângulo criado é
eqüilátero? No hexágono há outros triângulos eqüiláteros? Quantos?
15- Posicione o mouse em cima do segmento i e com o botão direito do mouse selecione
propriedades, na aba estilo, escolha opção tracejada e clique em fechar.
16- Usando lápis e papel, calcule o perímetro e a área do hexágono. Verifique se o
cálculo da sua área confere com o valor de poly1. Sugerimos que, para isso, deduza-
se a fórmula da área do triângulo eqüilátero junto com os alunos.
17- Não será necessário salvar, caso queira, selecione o menu Arquivo e clique na
opção gravar ou gravar como.
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3.1.2.2 - PAVIMENTAÇÃO DO PLANO COM POLÍGONOS REGULARES DE UM SÓ TIPO
ATIVIDADE 07
MOSAICOS SOBRE MALHA TRIANGULAR
Pára esta atividade podemos desativar a Malha, o Eixo e a Janela de álgebra.
1- Abra um arquivo novo.
2- Seleciona a opção novo ponto e na janela de gráficos, clique para criar os
pontos A e B.
3- Escolha a opção reta definida por dois pontos , clique nos pontos A e B.
4- Escolha a opção distância ou comprimento , arraste o ponto A ou o B, de forma
que a distância entre elas seja de 1 cm.
5- Escolha a opção círculo definido pelo centro e um de seus pontos . Clique em
A, passando por B, depois clique em B, passando por A.
6- Escolha a opção intersecção de dois objetos , clique em um dos pontos de
intersecação das circunferências, irá surgir o ponto C.
7- Selecione a opção exibir/esconder objeto , clique na reta e nas circunferências
e depois em mover .
8- Escolha a opção exibir/esconder rótulo , clique nos rótulos.
9- No menu opções, escolha rotular, clique em menos para objetos novos.
10- Selecione a opção reflexão com relação a uma reta , clique no triângulo e
depois em um dos segmentos, repita o procedimento para os três segementos. Esse
processo funciona como um espelho, continue o procedimento até obter uma malha
com as dimensões desejadas.
11- Com o lado direito do mouse, clique em cima de um ponto (escolha um ponto
qualquer) e selecione propriedades. Na janela que se abre, no lado esquerdo,
aparecerão todos os pontos da construção, use a tecla ctrl ou shift para agilizar a
seleção dos pontos (se fizer de um por um, será muito demorado. Selecione em
média 10 pontos por vez, selecione só pontos, cuide para não selecionar outros
28
objetos). Clique na aba cor e selecione a opção branco, depois clique na aba estilo ,
arraste a seta para 1. Esse procedimento fará com que os pontos na malha fiquem
bem discretos. Em propriedades podemos também mudar a cor, a espessura das
retas, dos segmentos e outros. A sua malha está pronta.
12- Clique no botão mover , selecione a malha que você construiu, no menu clique
em arquivo, selecione Exportar, depois selecione Copiar para a área de
transferência, abra uma página de edição de desenhos (Paint no Windows, no Linux
use o editor correspondente), pinte de forma a obter outras formas geométricas,
usando essas formas podemos criar uma grande variedade de mosaicos.
13- Salve essa atividade se julgar conveniente ou copie e salve num editor de texto se
for necessário.
ATIVIDADE 08
O mosaico a seguir foi construído seguindo as orientações do exercício anterior. Baseado
nisso, calcule a área:
• Total dos triângulos equiláteros (inclusive os incompletos);
• Total dos trapézios (inclusive os incompletos);
• Total dos hexágonos (inclusive os incompletos);
• Total do mosaico;
• Um hexágono (em amarelo) representa que fração em relação ao todo da figura?
Issa dá quanto em porcentagem?
• Que fração representa a relação de um triângulo (em azul) para a figura toda? E de
todos os triângulos para a figura toda? Quanto isso representa em porcentagem?
• Dê cinco exemplos de retas paralelas e cinco de retas concorrentes.
29
ATIVIDADE 9
MOSAICO SOBRE QUADRILÁTERO REGULAR
Abra um arquivo novo. Usando o conhecimento que você já adquiriu construa um
quadrilátero regular. Use a ferramenta setor circular dados o centro e dois pontos para fazer
o ornamento na peça quadrada (ajuste a medida do segmento=2 cm). A partir do modelo
(figura a), usando o recurso reflexão com relação a uma reta, obtemos o mosaico (figura b).
Copie e cole no Paint no Windows (no Linux use o editor correspondente) e mude as cores
para cinza e azul. Vamos usar essas figuras para as atividades a seguir.
Junte-se a um colega para fazer a atividades propostas.
• Qual é o perímetro e a área da peça modelo (figura a)?
• Qual é o perímetro e a área do mosaico (figura b)?
• Que fração representa a área da figura a em relação à área da figura b? Como
podemos representar esse valor de forma decimal e em porcentagem?
• Qual é a área da região azul da figura b? Essa área representa aproximadamente
quanto por cento da área total da figura b?
• e) Qual é a área da região cinza da figura a? Essa região corresponde a que
percentual em relação à região cinza da figura b?
ATIVIDADE 10
A calçada de uma empresa da cidade de Cascavel apresenta a forma do mosaico a seguir.
Cada modelo (peça) tem a forma de um quadrilátero regular de 50 cm de lado.
Esse mosaico foi obtido calçando pequenas pedras irregulares, de forma a obter o desenho
da figura abaixo (não são lajotas inteiras). A dimensão da calçada é de 3 m (lado menor) por
15 m (lado maior). Com base nessas informações, calcule:
• A área do setor circular (em amarelo)
formada por uma peça e a área total
desses setores.
• A área total de uma peça;
• A área total da região cinza do mosaico;
30
• A área total da calçada.
• No Mosaico foi usado a medida de 1 cm de lado para representar uma peça, então,
qual foi a escala utilizada?
• Esse mosaico pode ser utilizado para o estudo de outros conteúdos
ATIVIDADE 11
MOSAICO SOBRE MALHA QUADRICULADA
Nessa atividade não usaremos a Janela de álgebra, o Eixo e a Malha.
1. Abra um arquivo novo.
2. Aplicando o que você já aprendeu, construa um quadrilátero regular.
3. Opção novo ponto, crie os pontos A e B.
4. Com a opção distância ou comprimento, arraste o ponto A ou o B, de forma que a
distância entre elas seja de 1 cm.
5. Opte por reta definida por dois pontos, clique em A e B para criar a reta a.
6. Opte por reta perpendicular, clique em A e na reta a para criar a reta b. Repita o
procedimento clicando em B para criar a reta c.
7. Com a opção círculo definido pelo centro e um de seus pontos, clique no ponto B e
depois no ponto A.
8. Use a ferramenta intersecção de dois objetos e clique em um dos pontos onde a
circunferência intercepta a reta, irá criar o ponto C.
9. Use a opção reta paralela e clique no ponto C e na reta para criar a reta e.
10. Com a opção intersecção de dois objetos, clique nas retas b e e, para criar o ponto D
(ou clique no ponto onde as retas se cruzam).
11. Use a opção exibir/esconder objeto e clique nas retas e na circunferência depois
escolha a opção mover.
12. Com a opção polígono, clique nos pontos A, B, C e D, fechando em A.
13. Use a opção exibir/esconder rótulo, clique nos rótulos.
14. No menu opções, escolha rotular, clique em menos para objetos novos.
15. Use a opção reflexão com relação a uma reta , clique no quadrado e depois em um
dos segmentos do quadrado. Repita esse processo até obter uma malha com as
dimensões desejadas.
16. Com o lado direito do mouse, clique em cima de um ponto (escolha um ponto
qualquer) e selecione propriedades. Repita o procedimento realizado no exercício 7.
17. Clique no botão mover, selecione a malha que você construiu, copie e cole onde
desejar (siga os mesmos procedimentos utilizados no itens 12 e 13 do exercício 7).
31
Usaremos esse mosaico para as próximas atividades.
Vamos supor que cada quadradinho do mosaico corresponda a um azulejo também
quadrado de 30 cm de lado. Vamos imaginar que o proprietário de uma loja qualquer tem
uma sala com formato dessa figura e tem necessidade de trocar o piso. Feito o orçamento,
constatou-se que o custo por metro quadrado do piso pretendido custa R$18,00 para
pagamento no prazo de 30 dias e à vista é dado 4% de desconto.
• Qual foi a escala usada, sendo usados para o mosaico lado maior 8,4 cm e lado
menor 4,2 cm?
• Qual é a área total da sala em metros quadrados. Quantos metros quadrados serão
necessários (calcule 10% a mais para recortes e eventuais quebras).
• Quanto economizará se comprar à vista?
• Use sua imaginação e obtenha outros mosaicos.
ATIVIDADE 12
TRABALHANDO A IDÉIA DE FRAÇÕES NO TRIÂNGULO EQUILÁTERO
1. Abra um arquivo novo. Usando os conhecimentos que você já adquiriu construa um
triângulo regular.
2. Com o botão mover, arraste o ponto A ou B até obter a distância de 16 cm entre eles
(não se preocupe se a figura não ficar totalmente visível, observe as medidas na
janela de álgebra).
3. Com a opção ponto médio ou cento, clique nos três segmentos do triângulo e usando
a opção polígono, clique nos pontos médios até fechar o polígono, irá surgir os
pontos D, E e F (poly2).
4. Que fração representa as medidas dos segmentos d, e e f, relação às medidas dos
segmentos a, b e c.
5. Use a opção ponto médio ou centro, clique nos segmentos de poly2, use a opção
polígono, clique nos pontos médios de poly2 até fechar o novo polígono, irá surgir os
pontos G, H e I (poly3).
32
6. Repita a operação para poly3, teremos os pontos J, L e M (poly4).
7. Repita a operação para poly4, poly5, poly6 até obter poly7.
8. Repare na janela de álgebra.
• Quais são as medidas dos segmentos de poly3? Esses valores representam o dobro
ou a metade de poly2?
• Que fração representa poly3 em relação à poly1?
• Qual segmento é maior, de poly2 ou de poly3?
• Podemos concluir que a fração que representa poly2 é menor que a fração que
representa poly3? Por quê?
• Observe as medidas dos segmentos de poly5. Que fração representa os segmentos
de poly5 em relação aos segmentos de poly1?
• Pense e responda o que poderia ocorrer se continuássemos com as construções de
novos polígonos?
• Assim, podemos concluir que quanto maior o denominador da fração, menor é o
segmento? Por quê?
• Se achar oportuno, utilize essa atividade para exploração de outros conteúdos.
3.1.2.3 - PAVIMENTAÇÃO COM POLÍGONOS REGULARES DE TIPOS DIFERENTES
ATIVIDADE 13
CONSTRUIR O POLÍGONO VERIFICANDO A SOMA DOS ÂNGULOS VÉRTICE
Nessa atividade não usaremos a Janela de álgebra, o Eixo e a Malha.
1. Abra um arquivo novo e construa a figura conforme orientação do seu professor (a).
2. Crie os pontos A e B, meça a distância entre eles e arraste-os de forma que fiquem a
2 cm um do outro.
3. Opção polígono regular, clique em A e em B, na caixa que se abre escreva 6
(pontos) e clique aplicar. Opção polígono regular, clique em B e depois em A
(sentido horário), escreva 4 (pontos) e clique aplicar. Repita a operação para C e B e
assim sucessivamente até completar a volta.
4. Meça os ângulos em torno de um vértice do hexágono. É possível fechar as lacunas
usando algum tipo de polígono regular? Qual?
5. Vamos tentar inserir o triângulo regular? Use a opção polígono regular, clique em
dois pontos no sentido horário, na janela escreva 3 e clique aplicar. Repita a
operação até completar a volta.
33
6. Use a opção reflexão em relação a uma reta, e vá clicando polígono e depois no
segmento pelo qual de deseja refletir.
7. Arraste o ponto A ou o B, e veja o que acontece, a figura se deforma? Esconda todos
os rótulos usando a opção exibir/esconder rótulo e no menu opções, clique em
rotular e depois em menos para objetos novos.
8. Arraste o ponto A ou ponto B, observando para que a distância entre eles seja de 1
cm. Você conseguiria fazer isso tão rápido com lápis e papel?
9. Observe o mosaico seguinte e vá refletindo todos os polígonos, quando não for mais
possível use o recurso vetor. Opção vetor definido por dois pontos, clique em
qualquer lugar fora da figura, depois veja qual polígono deseja copiar, então dê o
segundo clique na direção a qual se deseja copiar o polígono. Na seqência use a
opção trasladar por um vetor, clique na figura e depois no vetor. Com o mouse em
um dos pontos do vetor tente encaixar o polígono trasladado. Repita as operações
até obter a figura desejada. Para concluir esconda os pontos usando o procedimento
que você já aprendeu. Sua malha está pronta.
11- Para a realização das atividades vamos usar a malha que acabamos dei construir.
(Siga os mesmos procedimentos utilizados no itens 12 do exercício 7). A princípio
vamos colorir criando o mosaico sugerido pelo professor (a).
• Vamos supor que esse mosaico representa uma paisagem real feita de azulejos, no
qual os azulejos com formato quadrado têm 12 cm de lado. Vamos calcular:
O perímetro e a área de cada peça (quadrado, triângulo eqüilátero e hexágono
regular) inteira e parcial.
• Você saberia dizer a área aproximada desse mosaico, sem efetuar cálculos? Então
agora vamos calcular sua área total e também seu perímetro.
• Use a malha que você construiu e tente criar um mosaico diferente. Se for
necessário, consulte o material disponível na biblioteca.
• Essa atividade pode ser usada para estudo de outros conteúdos.
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ATIVIDADE 14
Para a construção dos mosaicos abaixo, foi produzido um modelo (peça) de cada, e depois,
para as suas construções, foram usados quais movimentos para cada figura reflexão,
translação ou rotação?
Figura a Figura b
ATIVIDADE 15
Use sua criatividade. Valendo-se dos polígonos regulares construídos, crie padrões e
obtenha mosaicos bem interessantes.
ATIVIDADE 16
JOGANDO COM AS REFLEXÕES
Acessar a web site Escolovar, na página Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales,
no endereço http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html e clique em Geometría, depois em: (o
programa é em espanhol, mas da para entender bem).
1- Transformaciones – Rotación:
• Tente montar um hexágono regular usando as peças do programa;
• Mude o arco para 90º e tente montar o hexágono, é possível?
• Tente montar outras figuras.
2- Transformaciones – Reflexión:
• Construa uma casa usando os polígonos: quadrado, losango e triângulo;
• Tente construir outras figuras.
• Qual é a diferença entre rotação e reflexão?
3- Transformaciones – Translación:
• Traslade alguns polígonos e construa uma figura qualquer;
• Movimente a seta e veja o que acontece;
• Conseguiu perceber as diferenças entre os três tipos de movimento?
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3.2 – CURIOSIDADES
Existem algumas pavimentações bem curiosas, veja:
Figura 20 - Pavimentação de Voderberg4 Figura 21 – Hexágonos regulares e estrelas
Figura 22 – Pavimentação de Penrose Figura 23 – Carpete ou empacotamento de Apolónio
Você sabia que a Geometria molecular é o estudo de como os átomos estão
distribuídos espacialmente em uma molécula? Esta pode assumir várias formas
geométricas, dependendo dos átomos que a compõem. As principais classificações são:
linear, angular, trigonal plana, piramidal e tetraédrica.
Figura 24 – Estrutura da molécula de metano5
A tetraédrica acontece quando há quatro nuvens eletrônicas na camada de valência
do átomo central e todas fazem ligações químicas. O átomo central assume o centro de um
tetraedro regular. Ângulo de 109º 28'
4 Fonte das figuras 20 a 23 desta página http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm16/curiosidades.htm
5 Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Tetraedro
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Numerosos minerais e compostos químicos têm uma estrutura tetraédrica. O metano
(um gás inodoro e incolor) é um exemplo.
Veja que interessante a estrutura química de alguns hidrocarbonetos.
Figura 25 – Hidrocarbonetos6
Veja também a estrutura do grafite.
Figura 26 – Estrutura do grafite7
IV – AVALIAÇÃO
A avaliação ocorrerá durante todo o processo de ensino-aprendizagem e serão
considerados, principalmente, o comprometimento na realização da atividades, bem como
demonstrar conhecimentos sobre os conceitos e propriedades das figuras poliédricas
trabalhadas. Essas atividades avaliativas ocorrerão em forma de relatórios e de questões
objetivas e dissertativas. Deverão ser realizadas em duas etapas: a primeira avaliação será
através de relatórios e deverá acontecer quando atingir aproximadamente cinquenta por
cento do projeto em andamento; a segunda avalição deverá ocorrer no final da
implementação do mesmo, quando os alunos deverão desenvoler relatório e também serão
submetidos a avaliação com questões objetivas e dissertativas. Essas atividades avaliativas
deverão servir de subsídios para uma análise da validade ou não do projeto, verificando
vantagens e desvantagens da sua implementação.
6 Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Benzeno
7 Fonte: http://www.cdcc.sc.usp.br/elementos/carbono.html
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REFERÊNCIAS
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CARPETE OU EMPACOTAMENTO DE APOLÓNIO. Disponível em <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm16/curiosidades.htm>. Acesso em 21 nov. 2008.
CIRCLE LIMIT III - Xilogravura de 1938. Disponível em: <http://en.wikipedia.org/wiki/M._C._Escher>. Acesso em 21 nov. 2008.
DANTE, L.R. Tudo é matemática. São Paulo, Ática, 2004.
DAY AND NIGHT. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Escher.htm>. Acesso em 21 nov. 2008.
ESTRUTURA DA MOLÉCULA DE METANO. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Tetraedro>. Acesso em 21 nov. 2008. (O texto desta página está sob a GNU Free Documentation License).
ESTRUTURA DO GRAFITE. Disponível em: <http://www.cdcc.sc.usp.br/elementos/carbono.html>. Acesso em 21 nov. 2008.
GERDES, P. Sobre o despertar do pensamento geométrico. Curitiba: UFPR, 1992.
HEXÁGONOS REGULARES E ESTRELAS. Disponível em <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm16/curiosidades.htm> Acesso em 21 nov. 2008.
HIDROCARBONETOS. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Benzeno>. Acesso em 21 nov. 2008. (O texto desta página está sob a GNU Free Documentation License).
IMENES, L.M. Geometria dos mosaicos. São Paulo: Scipione, 1997.
___________. Ministério da Educação e do Desporto – Secretaria de Educação à Distância. Cadernos da TV Escola. Conversa de Professor: MATEMÁTICA. Brasília, 1996.
MACHADO, N.J. Os poliedros de Platão e os dedos da mão. São Paulo, Scipione, 1989.
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MURARI C. Ensino-Aprendizagem de Geometria nas 7a. e 8a. séries, via
caleidoscópios. Rio Claro, 1999. Tese (Doutorado em Educação Matemática – UNESP.
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__________. Espelhos, caleidoscópios, simetrias, jogos e softwares educacionais no ensino e aprendizagem de Geometria. In: BICUDO, M. A. e BORBA, M. C. (orgs.). Educação Matemática - pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2005. p.198-212. PAVIMENTAÇÃO DE PENROSE. Disponível em <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm16/curiosidades.htm>. Acesso em 21 nov. 2008.
PAVIMENTAÇÃO DE VODERBERG. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm16/curiosidades.htm>. Acesso em 14 nov. 2008.