Upload
aglaia
View
32
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini. Kuliah terbuka kali ini berjudul “ Pilihan Topik Matematika -II”. Disajikan oleh Sudaryatno Sudirham melalui www.darpublic.com. Sesi 3. Integral Tak Tentu Integral Tentu. 1. Integral Tak Tentu. Pengertian-Pengertian. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini
1
Kuliah terbuka kali ini berjudul
“Pilihan Topik Matematika -II”
2
Sesi 3
1. Integral Tak Tentu2. Integral Tentu
4
Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga
dalam rentang nilai x tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan
)(xfdx
dy
Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti ini disebut persamaan diferensial.
036
652
222
2
2
yxdx
dyxy
dx
yd
xxdx
dy
Contoh persamaan diferensial
Pengertian-Pengertian
5
1. Integral Tak Tentu
)(xFy Suatu fungsi dikatakan merupakan solusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat
diturunkan dan dapat memenuhi
)()(
xfdx
xdF
)(xfdx
dyTinjau persamaan diferensial
0
)()()(
dx
xdF
dx
dK
dx
xdF
dx
KxFdKarena maka
KxFy )(fungsi juga merupakan solusi
6
Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum
KxFdxxf )()(
dxxfxdF )()(
Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini
disebut integral tak tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari
)()(
xfdx
xdF
7
dapat dituliskan
45xdx
dy
dxxdy 45
dxxxd 45 5)(
Kxxddxxy 554 )(5
Cari solusi persamaan diferensial
ubah ke dalam bentuk diferensial
Kita tahu bahwa
Contoh:
oleh karena itu
8
Carilah solusi persamaan
yxdx
dy 2
Contoh:
dxyxdy 2 kelompokkan peubah sehingga ruas kiri dan kanan
mengandung peubah berbeda dxxdyy 22/1
dyyyd 2/12/12 dxxxd 23
3
1
32/1
3
12 xdyd
Jika kedua ruas diintegrasi
23
12/1
3
12 KxKy
KxKKxy 312
32/1
3
1
3
12
9
Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaya pendugaan
tersebut.
Kydy
1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K.
dyaady
2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan
1 jika ,1
1
nKn
ydyy
nn
3. Jika bilangan n 1, maka integral dari yndy diperoleh dengan menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).
10
Penggunaan Integral Tak Tentu
Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang.
Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari
berapa nilai yang dimiliki oleh K.
kurva 210xy adalah kurva bernilai tunggal
50
100
-5 -3 -1 1 3
5x
y = 10x2
y
50
100
-5 -3 -1 1 3
5
K1
K2
K3
yi = 10x2 +Ki
y
x
Kxdxx
23
103
10kurva
adalah kurva bernilai banyak
11
Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi
awal. Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai
30 sPosisi benda pada waktu t = 0 adalah ; tentukanlah posisi benda pada t = 4.
Contoh:
tatv 3
kecepatan percepatan waktu
dt
dsv Kecepatan adalah laju perubahan jarak,
dt
dva Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,
.
vdtds
KtKt
atdts 22
5,12
3
274 ssehingga pada t = 4 posisi benda adalah
K03 3KKondisi awal: pada t = 0, s0 = 3
35,1 2 ts
12
Luas Sebagai Suatu Integral )(xfy Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu
kurva sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.
Contoh:y = f(x) =2
y
x0
2
p x x+x q
Apx Apx
)(2 xfx
Apx
atau
2)(lim0
xf
dx
dA
x
A pxpx
xKxdxdAA pxpx 22
Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p
Kp 20 pK 2 atau
xApx 2
pxApx 22 )(222 pqpqApq
13
Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang qxp
p x x+x q
y
x
y = f(x)
0
f(x)f(x+x )
Apx Apx
Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan
Apx = f(x)x atau Apx = f(x+x)x
xxxfxxfxxfApx )()()( 0x0 adalah suatu nilai x
yang terletak antara x dan x+x
Jika x 0: )(lim0
xfdx
dA
x
A pxpx
x
KxFdxxfdAA pxpx )()(
qppq xFpFqFA )()()(
14
Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit.
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
Bidang dibagi dalam segmen-segmen
Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas segmen
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0 p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk)xk
Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk+x)xk
Ada dua pendekatan dalam menghitung luas segmen
15
2. Integral Tentu
kkkkkk xxxfxxfxxf )()()( 0
k
n
kk
n
kkk
n
kkk xxxfxxfxxf
110
1
)()()(
Jika xk 0 ketiga jumlah ini mendekati suatu nilai limit yang
sama
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0 p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk)xk
Luas tiap segmen dihitung sebagai
f(xk+x)xk
Jika x0k adalah nilai x di antara xk dan xk+1 maka
Nilai limit itu merupakan integral tentu
16
q
ppq dxxfA )(
)()()()( pFqFxFdxxfA qp
q
ppq
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
Luas bidang menjadi
17
Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh y=f(x) dan sumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di
atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.
Definisi
Contoh:
xxy 123
-20
-10
0
10
20
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x 75,33)5425,20(0
64
)12(
0
3
240
3
3
x
xdxxxAa
75,33)0(5425,20
64
)12(
3
0
243
0
3
x
xdxxxAb
5,67)755,33(75,33 bapq AAA
18
Luas Bidang
Luas antara y = x3 – 12x dan sumbu-x dari x = 3 sampai x = +3.
Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi mengenai Apx, formulasi
))()( pFqFdxxfAq
p
tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-
x
pq
y
xA4
A1
A2
A3
y = f(x)
))()( pFqFdxxfAq
ppq
4321 AAAAApq
19
Luas Bidang Di Antara Dua Kurva
)(11 xfy )(22 xfy berada di atas
p q
y
x 0
y1
y2
x x+x
Apx
xxfxfAA pxsegmen )()( 21
Rentang qxp dibagi dalam n segmen
xqx
px
n
segmen xxfxfA )()( 211
jumlah semua segmen:
q
p
n
segmenpq dxxfxfAA )()(lim 211
Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga x menuju nol kita sampai pada suatu limit
20
30)12(186)2(4( 32
3
2
xdxApq
41 y 22 yJika dan berapakah luas bidang antara y1 dan y2 dari x1 = p = 2 sampai x2 = q =
+3.
Contoh:
21 xy 42 yJika dan
berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.
Contoh:
Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y1 dan y2.
2 ,24 212
21 qxpxxyy
3
32
3
16
3
16
3
88
3
88
34)4(
2
2-
32
2
2
xxdxxApq
0
2
4
-2 -1 0 1 2
y2
y1y2
di atas y1
y
x
21
221 xy xy 2Jika dan
berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.
Contoh:
Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva
22
811 ;1
2
811
02atau 2
2
2
2
1
2221
qxpx
xxxxyy
5,4 22
1
3
142
3
8
223
)2(
2
1
232
1
2
x
xxdxxxApq
-4
-2
0
2
4
-2 -1 0 1 2
y1 di atas y2
y1
y2
y
x
22
Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ?
Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka
yang memberikan dt
dwp pdtw
[kWh]hour Watt kilo 8,0
[Wh]r Watt.hou800100 10080
8
0
8
0
tdtpdtw
Penerapan Integral
Contoh:
Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah
23
dt
dqi idtq
coulomb 625,02
25,1
2
05,005,0
5
0
5
0
25
0 ttdtidtq
Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ?
sehingga
Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah
Contoh:
Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.
24
Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk menghitung volume.
Balok
x
Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+x) adalah luas irisan di sebelah
kanan maka volume irisan V adalah
xxxAVxxA )()(
Volume balok V adalah q
p
xxAV )(
luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+x).
Apabila x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu:
q
p
xxAV )(
Jika x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka :
q
p
q
pox
dxxAxxAV )()(lim
25
Volume Sebagai Suatu Integral
Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x
y
x
x
O Q
P
A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan garis OP.
hhh
dxxmdxxrdxxAV0
22
0
2
0)()(
m : kemiringan garis OP h : jarak O-Q.
3
3
PQ/OQ)(
32
3232
kerucuth
rhhm
V
Jika garis OP memotong sumbu-y maka diperoleh kerucut terpotong
26
Rotasi Bidang Sembarang
y
x
x
0 a b
f(x) 22 )()()( xfxrxA
b
adxxfV 2)(
Rotasi Gabungan Fungsi Linier
Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada gambar di samping ini terdapat tiga rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.
y
x
x
0 a b
f2(x)f1(x)
f3(x)
27
Kuliah Terbuka
Pilihan Topik Matematika II
Sesi 3
Sudaryatno Sudirham
28