SEM0137 SEM0137 - Aula Aula 5 Cinemática Direta de ... · (Z 0,X 1,Z 2)→3 parâmetros Ângulos de Kardan (Z 0,Y 1,X 2)→3 parâmetros Web-Link 1 Web-Link 2 17/64. Representação

SEM0137 SEM0137 -- Aula Aula 55

Cinemática Direta de Cinemática Direta de Manipuladores Robóticos Manipuladores Robóticos Manipuladores Robóticos Manipuladores Robóticos

Prof. Dr. Marcelo BeckerProf. Dr. Marcelo BeckerEESC - USP

•• Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho

• Questões Cinemáticas

• Representação da Orientação

Sumário da AulaSumário da Aula

EESC-USP © M. Becker 2008 2/64

• Matriz de Transformação Homogênea

• Equações Cinemáticas

• Esquema Denavit-Hartenberg

• Exercícios Recomendados

• Bibliografia Recomendada

Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho

• Também chamado de “Envelope”

Máximo Restrito Operacional



Elos


Juntas Ferramenta

Base do Robô

2 GDL’s

Manipulador em Série com 6 GDL’s

TCP

Tool Center Point



• Espaço de Trabalho paralelepipídico, mas Ineficiente...

• Simples de programar, simples de controlar



CartesianCartesiano o TTTTTT

simples de controlar

• Espaço de Trabalho Cilíndrico.

• Alcance limitado



Cilíndrico TTRCilíndrico TTR

• Suporta carregamentos pesados• Freqüentemente montado em

robôs móveis para operações rápidas de pick and place.

• Difícil de Programar



Esférico Esférico (Polar)(Polar) RRTRRT

• Difícil de Programar

• Muito Rápido, mas suporta pouca carga

• Freqüentemente empregado em operações de montagem.



SCARASCARA

de montagem.

• Mais difícil de ser programado



Articulado RRRArticulado RRR


•• Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas

• Representação da Orientação








Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas

CINEMÁTICA DIRETA

• Dados: Coordenadas generalizadas de posição das Juntas;

• Procura-se: Posição do TCP e Orientação do Sist. de Coordenadas

da Ferramenta;

CINEMÁTICA INDIRETA (Inversa)

• Dados: Posição do TCP e Orientação do Sist. de Coordenadas da

Ferramenta;

• Procura-se: Coordenadas generalizadas de posição das Juntas;



IMPORTANTEIMPORTANTE::

Questões análogas são colocadas para relacionar as

velocidades e acelerações generalizadas das articulações, velocidades e acelerações generalizadas das articulações,

com a velocidade e aceleração do TCP, bem como a

velocidade e aceleração angular do Sistema de

Coordenadas da Ferramenta.


• Localização dos Objetos:- Elos e Juntas do manipulador, Peças,

Cinemática Direta → Descrição de Posição e Orientação



- Elos e Juntas do manipulador, Peças,Ferramentas, etc.

- Especificação de:- Juntas e Elos- Sistemas de Referência Fixo e Móveis- Área de Trabalho

Sistema de Referência da Ferramenta

Sistema de Referência do Punho

Ferramenta

Câmera


Sistema de Referência do Punho

Sistema de Referência do Robô

Sistema de Referência da Estação

Sistema de Referência da Peça




•• Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação








Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação

• Matriz de Rotação 3 x 3

• Cossenos Diretores

– 9 parâmetros

– 24 Conjuntos de Combinações [Kane et al., – 24 Conjuntos de Combinações [Kane et al.,

Spacecraf Dynamics, 1983] - ANEXO

Quaternions e Parâmetros de Euler

(4 parâmetros)

Indicador de Movimento e Tensor de Rotação

EESC-USP © M. Becker 2008

Ângulos de Roll, Pitch, Yaw

(X0, Y0, Z0) → 3 parâmetros

Ângulos de Euler

(Z0,X1,Z2)→ 3 parâmetros

Ângulos de Kardan

(Z0,Y1,X2)→ 3 parâmetros

Web-Link 1

Web-Link 2

17/64


CCCC 'B'B'EE

Cossenos Diretores


CCCC 'B'B

B''B'

EB'

EB =

Duas interpretações possíveis :

- Igualdade Final de Transformações,

- não da seqüencia.


CCCC 'B'B

B''B'

EB'

EB =

Afirmação:

Uma seqüência de rotações ϕ1, ϕ2 e ϕ3 no Sistema de Coordenadas

Fixo ao corpo bi, bj, bk leva à mesma orientação final que uma

seqüência de rotações ϕ3, ϕ2 e ϕ1 no Sistema de Coordenadas Inercial

ek, ej, ei

- não da seqüencia.


• Aplicado no Robô Kuka do Laboratório




CCCC 'B'B

B''B'

EB'

EB =


−

−

−=

100

0

0

0

010

0

0

0

001

33

33

22

22

11

11 θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ cs

sc

cs

sc

cs

sc

++−

−+−+−

−

=

213132131321

213132131321

23232

θθθθθθθθθθθθ


θθθθθ

cccssscsccsc

csccssssccss

ssccc

Representação da OrientaçãoRepresentação da OrientaçãoCossenos Diretores

++−

−+−+−

−

=

213132131321

213132131321

23232



θθθθθ

cccssscsccsc

csccssssccss

ssccc

CE

B

Critérios para a Escolha dos Critérios para a Escolha dos Ângulos de Ângulos de OrientaçãoOrientação

1. Existem ângulos com correspondência física no sistema ?

2. Para quais ângulos a descrição se torna singular ?


++− 213132131321 θθθθθθθθθθθθ cccssscsccsc






•• Matriz de Transformação HomogêneaMatriz de Transformação Homogênea





• Matriz 3x3 de Cossenos Diretores CC (Rotação). – Sistema de Coord. com origens coincidentes.– Não permite representar Translação ...

• Matrizes 4x4 de Transformação Homogênea TT:

Matriz Matriz de de TransfTransf. Homogênea. Homogênea


EscalaEscala

Vetor de PosiçãoVetor de PosiçãoMatriz deMatriz de RotaçãoRotação

PerspectivaPerspectiva

• Matrizes 4x4 de Transformação Homogênea TT:

=

1x11x3

3x13x3i

1-i

ef

PRT

Matriz Homogênea

Roll

Pitch

Yaw

• Assim:

=

=pasnpasn

pasn

T yyyy

xxxx

1-i

Matriz Matriz de de TransfTransf. Homogênea. Homogênea


=

=1000

pasn

1000

pasn

pasnT

zzzz

yyyyi

1-i

an

s







•• Equações CinemáticasEquações Cinemáticas




Equações CinemáticasEquações Cinemáticas

=

1000

0100

00cθsθ

00sθ-cθ

T 11

11

01

TCPx3

TCPx3

θ3

L3

00cθsθ

L0sθ-cθ 122

c: cos s: sin

x0

y0

x2

y2

x1

y1

y3

x0

y0

x2

y2

x1

y1

y3

θ1

θ2

L1

L2

=

1000

0100

00cθsθT 2212

=

1000

0100

00cθsθ

L0sθ-cθ

T 33

233

23



TCPx3

TCPx3

θ3

L3 TCP

TCP

TCP

TCP

TCPrT.T.T.

1

z

y

x

r 323

12

01

0

0=

=

c: cos s: sin

x0

y0

x2

y2

x1

y1

y3

x0

y0

x2

y2

x1

y1

y3

θ1

θ2

L1

L2

=

1

0

0

3L

TCPr3



TCPx3

TCPx3

θ3

L3

++

++

=

z

y

x00

0

123312211

123312211

θθθ

θθθ

sLsLsL

cLcLcL

TCP

TCP

TCP

c: cos s: sin

x0

y0

x2

y2

x1

y1

y3

x0

y0

x2

y2

x1

y1

y3

θ1

θ2

L1

L2

11

z 0TCP

321123 θθθθ ++=

2112θθθ +=

Onde:









•• Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg



Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenbergEsquema genérico para a descrição da Cinemática de

Robôs

Limitações:

• Somente para cadeias cinemáticas abertas de corpos rígidos;

• Cada junta apresenta um único grau de liberdade de translação ou

rotação;

• Os diferentes elos do robô são numerados em ordem crescente

(Base = Elo 0 e Ferramenta = Elo N);

• Convenção rigorosa para a definição dos Sist. de Coord. adotados,

como também para as coordenadas de posição e orientação.



• 1o Passo:– Numerar as corpos do mecanismo, à partir da base → 0,

1° Corpo Móvel → 1; ... etc.

– Identificar os eixos de movimento e representá-los como

Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenbergPara cada corpo um sistema de coordenadas Para cada corpo um sistema de coordenadas

linhas inf.;

– Determinar o sentido de movimento positivo e nomeá-lo como eixo zi-1;

Eixo i-1 Eixo iCorpo i-1

zi-1zi


2o Passo:– Encontrar o eixo perpendicular a zi e zi-1 (em vermelho);

– O eixo xi-1 encontra-se na direção deste eixo;


Corpo i-1

xi-1


zi-1 zi



3o Passo:– O eixo yi-1 é obtido por produto vetorial (regra da mão

direita);

Corpo i-1

xi-1


zi-1 zi

yi-1


4o Passo:• ai-1: distância ao longo de xi-1, de zi-1 a zi;

Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenbergPosição e orientação relativa entre dois eixosPosição e orientação relativa entre dois eixosParâmetros de DenavitParâmetros de Denavit--Hartenberg: aHartenberg: aii--11, , ααααααααii--11

Corpo i-1

xi-1


zi-1 zi

ai-1

yi-1


Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenbergPosição e orientação relativa entre dois eixosPosição e orientação relativa entre dois eixosParâmetros de DenavitParâmetros de Denavit--Hartenberg: aHartenberg: aii--11, , ααααααααii--11

5o Passo:• αi-1: ângulo entre zi e zi-1, com orientação positiva baseada no

sentido anti-horário;

Corpo i-1

xi-1


zi-1 zi

ai-1

yi-1

ααααi-1EESC-USP © M. Becker 2008 37/64

6o Passo:• di: distância entre xi a xi-1 ao longo de zi, . Orientação (+ ou -)

dada por zi;

Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenbergPosição e orientação relativa entre dois corposPosição e orientação relativa entre dois corposParâmetros de DenavitParâmetros de Denavit--Hartenberg: dHartenberg: dii, , θθθθθθθθii

Eixo i-1

Eixo iCorpo i-1

xi-1

Eixo i-1Corpo i-1

zi-1

zi

ai-1

yi-1

ααααi-1

xi

Corpo iyi

θθθθi

aidi


Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenbergPosição e orientação relativa entre dois corposPosição e orientação relativa entre dois corposParâmetros de DenavitParâmetros de Denavit--Hartenberg: dHartenberg: dii, , θθθθθθθθii

7o Passo:• θi: ângulo entre xi e xi-1 em torno de zi com orientação positiva

baseada no sentido anti-horário;

Eixo i-1

Eixo iCorpo i-1

xi-1

Eixo i-1Corpo i-1

zi-1

zi

ai-1

yi-1

ααααi-1

xi

Corpo iyi

θθθθi

aidi


Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenbergParâmetros de DenavitParâmetros de Denavit--HartenbergHartenberg

1. z0 = z1;

x0 = x1

Convenções adicionais para o primeiro e o último elo da cadeia cinemática

quando d1 = 0 (junta de translação), rsp.

quando θ1 = 0 (junta de rotação)

2. xN só precisa ser perpendicular a zN

3. α0 = 0

4. a0 = 0

5. d1 = 0 caso a junta 1 seja rotativa

6. θ1 = 0 caso a junta 1 seja de translação


Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenbergParâmetros de DenavitParâmetros de Denavit--HartenbergHartenberg

• Para cada junta articulada é possível definir dois sentidos

Ambigüidades da descrição de Denavit-Hartenberg

• Para cada junta articulada é possível definir dois sentidos para zi

• Caso zi e zi+1 se cruzem, existem dois sentidos possíveis para xi

• No caso de juntas de translação as ambigüidades aumentam.

�� ATENÇÃO: Diferentes autores adotam diferentes

convenções para D.H.


8o Passo:

• Obter a matriz de transformação

rT.r i1-ii

1-i=

Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenbergMatriz Matriz Genérica Genérica de Transformação de Transformação Homogênea Homogênea T.H.T.H.

),z).Rot(d,zTrans(),x).Rot(a,xTrans(T iiii1-i1-i1-i1-i1-ii θα .=

Rotação em Xi-1Translação

em Xi-1

Rotação em Zi

Translação em Zi

PPrT.r 1-i

i=


c: cos s: sin


8o Passo: (continuação...)

PPrT.r i1-i

i1-i

=

=

1000

0100

00cθsθ

00sθ-cθ

1000

d100

0010

0001

1000

0cs0

0s-c0

0001

1000

0100

0010

a001

T ii

ii

i1-i1-i

1-i1-i

1-i

1-ii

αα

αα

Rotação em Xi-1Translação

em Xi-1

Rotação em ZiTranslação

em Zi


− 0 asc θθ


PPrT.r i1-i

i1-i

=

−−

−

=−−−−

−−−−

−

−

1000

0

1111

1111

1

1

iiiiiii

iiiiiii

iii

i

idccscss

dsscccs

asc

Tαααθαθ

αααθαθ

θθ


Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenbergExemplos de AplicaçãoExemplos de Aplicação

A matriz de transformação do sistema de coordenadas inercial “0” para o sistema de coordenadas da “mão”do robô “n”

TCPTCPrT.r 50

50

=

Exemplo: Cálculo das coordenadas do Tool Center Position

para um robô com 5 eixos


robô “n”

TT...T.T.T 1-nn

23

12

01

0n =


Parâmetros de Denavit-Hartenberg

Junta ααααi-1 ai-1 di θθθθi range


1

2

3

4

5


Junta ααααi-1 ai-1 di θθθθi Range

1 0 0 d1 θ1M


1

2 -90o 0 0 θ2= θ2M - 90o

3 0 a2 d3 θ3= θ3M + 90o

4 0 a3 d4 θ4= θ4M + 90o

5 90o 0 0 θ5M



−−

−

=−−−−

−−−−

−

−

1000

0

1111

1111

1

1

iiiiiii

iiiiiii

iii

i

idccscss

dsscccs

asc

Tαααθαθ

αααθαθ

θθ

−

=

1000

0100

00

0

33

233

2

3

θθ

θθ

cs

lsc

T


−

=

1000

0100

00

00

11

11

0

1

θθ

θθ

cs

sc

T

−−

−

=

1000

00

0100

00

22

22

1

2θθ

θθ

cs

sc

T

−

=

1000

0100

00

0

44

344

3

4

θθ

θθ

cs

lsc

T

−−

−

−

=

1000

00

0100

00

55

55

4

5θθ

θθ

cs

sc

T


−

−

−−

−

−−−

−−

−−−

−

+

−

−−−

−

−

−−−

−−

−

−−−

−

)...(

)(

)...(

)...(

)...(

)...(

)...(

)...(

)(

)...(

)...(

)...(

)...(

)...(

321321332132143213215432132154

212

3213213

3213214

3213214

54

32132154

32132154

54

32132154

32132154

csl

sssccsl

cssscsc

sssccss

cssscsss

sssccssc

cssscscs

sssccscc

ccl

ssccccl

cscsccc

ssccccs

cs

cscsccss

ssccccsc

ss

cscscccs

sscccccc


−

−−

−−

−−

−−

−−−

−+

−−

−−−

−

−−−

−

−−−

=

1000

)...(

)(

)...(

)(

)...(

)(

)...(

)()...()...(

22

32323

32324

32324

323254

323254

323254

323254

2123213214

54

32132154

54

321321540

5

sl

sccsl

ccssc

sccss

ccssss

sccssc

ccsscs

sccscc

cslcssscsc

cc

cssscsss

cs

cssscscs

T



Robô PUMA 560


Junta ααααi-1 ai-1 di θθθθi Range

1 0 0 0 θ1M -160o ~ 160o

2 -90o 0 0 θ2M-225o ~ 45o


θ2M

3 0 a2 d3 θ3M -45o ~ 255o

4 -90o a3 d4 θ4M -110o ~ 170o

5 90o 0 0 θ5M -100o ~ 100o

6 -90o 0 0 θ6M -266o ~ 266o




ABB IRB 2400



Junta ααααi-1 ai-1 di θθθθi range


1

2

3

4

5

Quando faz sentido utilizar a Representação de Quando faz sentido utilizar a Representação de D.H.D.H. ??

• Muito útil para programas genéricos de simulação, nos quais, qualquer cinemática de robôs possa ser representada de forma simples e prática.

Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenbergComentáriosComentários

• Útil para análises cinemáticas (numéricas) e simulações de movimentos de um determinado robô caso o tempo de calculo não seja importante (off-line).

• Impróprio para cálculo da cinemática em tempo real para sistemas embarcados, devido a ineficiência numérica.


Comentários sobre a Ineficiência NuméricaComentários sobre a Ineficiência Numérica

1. Equações analíticas menores e mais simples (influenciados freqüentemente pela escola dos Sistemas de Coordenadas e do algoritmo/procedimento de dedução);


2. Nenhuma multiplicação por 0 e por 1 (constantes);

3. Cálculo de uma coluna / linha (resp. um elemento) como produto vetorial das outras colunas / linhas;

4. Introdução de variáveis intermediárias;

5. Providências relacionadas com a escolha da linguagem de programação: Linguagem, Cálculo vs. Tabelas, Inteiros vs. Pontos Flutuantes.


Relativo ao Ponto 1Relativo ao Ponto 1

Matriz de Transformação Completa com θ23 = θ2 + θ3 e θ234 = θ2 + θ3 + θ4

c23 = cos θ23 c234 = cos θ234ci = cos θi


−−−

+−−−

+−−−

=

1000

)(

)(

2332223452345234

233221234151523415152341

233221234151523415152341

0

5sLsLcsscs

cLcLsssccscsscccc

cLcLcsccssccssccc

T

s23 = sen θ23 s234 = sen θ234si = sen θi


Relativo ao Ponto 4Relativo ao Ponto 4

z3 = L2 c2 z4 = L3 c23z2 = s1 c234z1 = c1 c234 z5 = z3 + z4


−−−

−−−

−−−

=

1000

2332223452345234

51234151525152

51234151515151

0

5sLsLcsscs

zsssccszsccz

zcsccsszsscz

T










•• Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados


Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados• Grupos: até 5 alunos• Exercícios: TODOS, devem ser entregues os seguintes:

– Ex. 3.5 Livro do Craig, J.J. (2005): pg. 93 – Acrescente a

representação gráfica do volume de trabalho do robô;

– Ex. 3.8 Livro do Craig, J.J. (2005): pg. 94;

– Exercício Matlab 3 - Livro do Craig, J.J. (2005): pg. 100, uso do – Exercício Matlab 3 - Livro do Craig, J.J. (2005): pg. 100, uso do

Toolbox de Robótica (Peter Corke);

– Usando o Toolbox de Robótica (Peter Corke), desenvolva a

representação de D.H. para o Robo Kuka KR16. Apresente a matriz

de T. Homogênea para o punho do robô. As dimensões do Robô

podem ser encontradas em arquivos CAD do proprio fabricante

na Web .• Data de entrega: Dentro de 2 semanas










•• Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados

•• Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada

Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada

• Craig, J.C., 2005, Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 3rd Edition, Pearson Education Inc., ISBN 0-201-54361-3

• Fu, K.S., Gonzales, R.C., and Lee, C.S.G., 1987, Robotics: Control, Sensing, Vision, and Intelligence,


Robotics: Control, Sensing, Vision, and Intelligence, McGraw-Hill Int. Editions, ISBN 0-07-100421-1.

• Paul, R. P., 1981, Robot Manipulators. Mathematics, Programming and Control, The MIT Press.

• Hartenberg, R. S. and Denavit, J., 1964, Kinematic Synthesis of Linkages, McGraw Hill, ISBN 64-23251.

• Corke, P., Robotics Toolbox for MatLab (Release 7).

ANEXOANEXO

• Cópia de Kane et al., SpacecrafDynamics, 1983


63/43EESC-USP © M. Becker 2008 63/64


Documents

SEM0137 SEM0137 - Aula Aula 5 Cinemática Direta de ... · (Z 0,X 1,Z 2)→3 parâmetros Ângulos de Kardan (Z 0,Y 1,X 2)→3 parâmetros Web-Link 1 Web-Link 2 17/64. Representação