2.° grado: Matemática

SEMANA 6

Determinamos la distancia recorrida por un ciclista

DÍA 3

Los recursos que utilizaremos serán:

Cuaderno de trabajo de matemática:Resolvamos problemas 2_día 3, página 189.

Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma. Días 3 y 4:Resolvamos…

¿Qué relación hay entre los términos de unaprogresión aritmética?

¿Conoces cómo calcular el último término de una progresión aritmética?

¿Sabías que se puede obtener la suma de términos de una progresión aritmética de una manera sencilla?

¿Cuántos bloques tiene la escultura?,

¿y si tuviera más pisos?

Escultura de bloques

Leemos y observamos la siguiente situación

Un ciclista baja por una pendiente acelerando su bicicleta. En el primer segundo recorre 3 m; en el siguiente segundo, 6 m; en el tercero, 9 m; en el cuarto, 12 m; y así sucesivamente.

Distancia recorrida por un ciclista

A partir de la situación responde:

1. ¿Cuántos metros habrá recorrido durante 5 segundos?

2. Si llega hasta la parte baja de la pendiente en 10 segundos, encuentra la distancia total recorrida.

1. ¿De qué datos se dispone en la situación? Explica.

• En el segundo uno: recorrió 3 m.

• En el segundo dos: recorrió 6 m.

• En el segundo tres: recorrió 9 m.

• En el segundo cuatro: recorrió 12 m.

3. ¿Qué te piden hallar en las preguntas de la situación?

Nos piden hallar la distancia que recorrió en 5 segundos y la distancia totalrecorrida en 10 segundos.

2. ¿Dichas distancias corresponden a una progresión aritmética?

Sí, porque aumentan en 3 m de forma constante en cada segundo.

Comprendemos la situación

1; 3; 5; 7

4. ¿Cómo podremos sumar los primeros términos de una progresión aritmética?

La suma de pocos números no es difícil, pero cuando son varios números puede ser trabajosoy además, requerir mucho tiempo. Pero los valores de una progresión aritmética tienen ciertascaracterística muy útiles.

Observa el siguiente ejemplo:

1.° Los 4 primeros números impares, son los términos de una progresión aritmética.

2.° Observamos que la suma del primero y el último término, es decir, 1 y 7, es igual a 8, y que la suma del segundo y tercer término, es decir, 3 y 5, también es 8.

3.° Podríamos decir que la suma de los 4 primeros términos de la progresión aritmética es 2 veces 8, es decir, 16.

+2 +2 +2

4.° ¿Y si nos hubieran pedido la suma de los 6 primeros términos: 1; 3; 5; 7; 9; 11?

Veamos:

▪ El primer y último término, es decir, 1 y 11, suman 12.

▪ El segundo y quinto término, es decir, 3 y 9, suman 12.

▪ El tercer y cuarto término, es decir, 5 y 7, también suman 12.

▪ Podemos decir que la suma de los 6 primeros términos

es 3 veces 12, es decir suman 36.

Observamos que:

• Cuando hay 4 términos, la suma resulta 2 veces 8, siendo 2 la mitad del número de términos y 8, la suma del primer y último término.

• Cuando hay 6 términos, la suma resulta 3 veces 12, siendo 3 la mitad del número de términos y 12, la suma del primer y último término.

1; 3; 5; 7; 9; 11

12

12

12

• Los términos serían 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15.

• Como hay 8 términos, la mitad del número de términos sería 4, y la suma del primer y último término es 16. Entonces, la suma sería 4 veces 16, es decir, la suma resultaría 64.

5. Siguiendo el procedimiento anterior, ¿cómo resultaría sumar los 8 primeros números impares?

Que para calcular la suma de los primeros términos de una progresión aritmética se debe hallar la mitad del número de términos, y multiplicarlo por la suma del primer y último término.

6. ¿Qué conclusión se puede obtener del procedimiento anterior?

Volvemos a la situación En general:Para sumar los 𝑛 primeros términos de una progresión aritmética:

También podría decirse que resulta del producto de la cantidad de términos por la mitad de la suma del primer y último término de la progresión.

𝑆𝑛 =𝑎1 + 𝑎𝑛

2× 𝑛

𝑎1: es el primer término de una progresión aritmética.

𝑎𝑛: es el enésimo término de una progresión aritmética.

𝑛: es número de términos de la progresión aritmética.

𝑆𝑛: es la suma de los 𝑛 primeros términos de una progresión aritmética.

Recuerda: Para calcular el enésimo término en una progresión aritmética utilizamos 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 × 𝑟.

𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; 𝑎4; … ;𝑎𝑛

+𝑟 +𝑟 +𝑟

Recuerda:No es lo mismo decir el quinto estudiante que decir 5 estudiantes, el primero indica a un solo estudiante y su posición, y el segundo indica a un conjunto de estudiantes.

¿Qué procedimiento seguirías para dar respuesta a las preguntas de la situación?

1.° Organizo los datos en una tabla.2.° Verifico que la distancia recorrida por el ciclista en cada segundo, forma una progresión

aritmética.3.° Determino la distancia que recorre en el segundo 5 y la distancia recorrida en 5 segundos.4.° Determino la distancia recorrida en el segundo 10 y luego la distancia recorrida en los 10

segundos.

Diseñamos una estrategia o plan

1.° Organizo los datos de la situación en la siguiente tabla.

2.° Cada intervalo de segundo, la distancia que recorre va aumentando en 3 m, por lo tanto, se tratade una progresión aritmética.

3.° En el segundo 5, el ciclista recorrerá 15 m, la distancia total recorrida en 5 segundos resulta desumar 3 + 6 + 9 + 12 + 15, y resulta 45 m.También se puede usar la fórmula de la suma de los 𝑛 primeros términos de una progresión:

𝑆𝑛 =𝑎1+𝑎𝑛

2× 𝑛. Por lo tanto, 𝑆5 =

3 + 15

2× 5 = 45 m.

Respuesta: El ciclista recorre 45 m en 5 segundos.

Ejecutamos la estrategia o plan

Intervalo de segundo 1 2 3 4 5

Distancia recorrida (m) 3 6 9 12 15

+3 +3 +3+3

Respuesta: La distancia recorrida en la pendiente por el ciclista es 165 m.

4.° Para calcular la suma de términos en una progresión aritmética, debemos tener, por lo menos, el primer término(a1), el último término(an) y el número de términos (n). Sabemos que el ciclista recorre 3 m en el primer segundo y que hay 10 intervalos de un segundo, pero no sabemos cuánto recorre en el décimo segundo. Debemos calcular primero el décimo término.

𝑎𝑛 = 𝑎1+ 𝑛 − 1 × 𝑟

𝑎10 = 3 + 10 − 1 × 3

𝑎10 = 3 + 9 × 3

𝑎10 = 3 + 27

𝑎10 = 30

• Ahora que ya tenemos todos los elementos requeridos

(𝑎1 = 3, 𝑎10 = 30 y 𝑛 = 10),

procedemos a calcular la suma.

𝑆𝑛 =𝑎1 + 𝑎𝑛

2× 𝑛

𝑆10 =3 + 30

2× 10

𝑆10 = 165

• Sabemos que:- El primer término es 3,

𝑎1 = 3.- La razón es 3, r = 3.- Hay 10 intervalos de

un segundo, es decir, hay 10 términos,

n = 10.

Aplicamos la fórmula del enésimo término para calcular el décimo término(𝑎10).

1. ¿Podrías usar otro procedimiento para responder las preguntas de las situación?

Respuesta libre:A manera de ejemplo presento la siguiente respuesta:Podría hallar la distancia que el ciclista recorre en cada intervalo y luego sumar las cantidades, sin embargo, podría tomar más tiempo en realizar la adición.

Reflexionamos sobre lo desarrollado

2. ¿Qué se debería tener en cuenta para usar la fórmula de la suma de términos para una progresión aritmética?

Respuesta libre:1.° Que los términos correspondan a una progresión aritmética.2.° Que tenga por lo menos los tres elementos de la fórmula, el primer término,

el enésimo término y la cantidad de términos que se van a sumar.

Para seguir aprendiendo en casa

Disponible en la sección Guía de actividades Día 4.

Estimada(o) estudiante, con la finalidad de afianzar tus aprendizajes matemáticos te invitamos a revisar la actividad del día 4, donde encontrarás otras situaciones similares que deberás resolver.

Días 3 y 4

Gracias