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Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2012-I

Semana 4CURSO : CLCULO I

Tema :

OPERACIONES CON FUNCIONES

Se pueden formar nuevas funciones a partir de funciones dadas mediante adicin,sustraccin, multiplicacin y divisin de sus valores. De acuerdo con esto, las nuevas

funciones se conocen como la suma, diferencia, producto y cociente de las funcionesoriginales.

Si definimos la suma gf + por la ecuacin)()())(( xgxfxgf +=+

Entonces el segundo miembro de la ecuacin tiene sentido si tanto )(xf como )(xg estndefinidas; es decir, si x pertenece al dominio de f y tambin al de g . Si el dominio de f es A y el de g es B , entonces el dominio de gf + es la interseccin de ambos, es decir,

BA .

De manera anloga podemos definir la diferencia gf y el producto fg , y sus dominiostambin son BA . Pero al definir el cociente gf/ , debemos recordar no dividir entrecero.

Definicin de la suma, diferencia, producto y cociente de dos funciones.Sean f y g dos funciones . Entonces las funciones gf + , gf , fg y gf/ se definecomo sigue:

)()())(( xgxfxgf +=+ )()()( gDomfDomgfDom =+ )()())(( xgxfxgf = )()()( gDomfDomgfDom =

)().())(( xgxfxfg = )()().( gDomfDomgfDom =

)()()(

xg

xfx

g

f=

)()()/( gDomfDomgfDom = - }0)(:{ =xgx

Ejemplo:

1.

Si xxf =)( y 24)( xxg = encuentre las funciones gf + , gf , fg y gf/ .

SOLUCION

El dominio de xxf =)( es >,0[ . El dominio de 24)( xxg = consta de todos

Operaciones con funciones Composicin de funciones

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los nmeros x tales que 042

x ; es decir, 042

x . Luego 0)2)(2(

+ xx ,

de modo que el dominio de g es el intervalo ]2;2[ . La interseccin de los dominios def y g es

]2;0[]2;2[,0[ =>

Por tanto, segn las definiciones, tenemos

24))(( xxxgf +=+ )( gfDom + = ]2;0[ 24))(( xxxgf = )( gfDom = ]2;0[

32 44))(( xxxxxfg == ).( gfDom = ]2;0[

22 44)(

x

x

x

xx

g

f

=

=

)/( gfDom = >2;0[

Note que el dominio de gf/ es el intervalo >2;0[ , porque debemos excluir los puntosen donde 0)( =xg ; es decir 2=x .

2.

Dado que f y g son las funciones definidas por2

3)( =

xxf y xxg =)( .

SOLUCIONDe las funciones podemos obtener RfDom =)( y >+= ;0[)(gDom . Luego

>+>=+ ;0[;0[R As tenemos que,

xx

xgf +

=+2

3))(( )( gfDom + = >+;0[

xx

xgf

=2

3))(( )( gfDom = >+;0[

xx

xfg .2

3))(( = ).( gfDom = >+;0[

x

xx

g

f

2

3)( =

)/( gfDom = >+< ;0

Hemos excluido el 0 del dominio de gf/ para evitar la divisin entre cero.

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3.

Considerar las funcionesf

yg

dadas por

+

=

8;0;2-2

0;4[;2

7;10[;

)(2

2

xsix

xsix

xsix

xf ,

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COMPOSICIN DE FUNCIONESExiste otra manera de combinar dos funciones para obtener una nueva funcin. Por

ejemplo, suponga que uufy == )( y 1)( 2 +== xxgu . Como y es una funcin de u y,a su vez, u es una funcin de x , se concluye que, finalmente, y es unja funcin de x .Calculamos esto por sustitucin:

1)1())(()( 22 +=+=== xxfxgfufy

El procedimiento se llama composicin porque la nueva funcin se compone de las dosfunciones dadas, f y g .

Definicin.Dadas dos funciones f y g , la funcin compuesta gf o (tambin llamada la composicinde f y g ) esta definida por

( ) ( ))()( xgfxgf =o

Y el dominio de gf o es el conjunto de todos los nmeros x del dominio de g tales que)(xg est en el dominio de f , es decir

)}()()(:{)( fDomxggDomxRxgfDom =o

Ejemplo:1. Sean las funciones 225)( xxxf = , >< 10;1x y xxg 32)( = , > 5;1[x . Hallar

gf o .Solucin

Primero calculamos el dominio de gf o

10321

10;1325;1[

)}()()(:{)(

=

=

x

xx

fDomxggDomxRxgfDom o

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>=

+=

+=

1Si,1

1Si,2)(

xx

xxxf ,

+

=

6;0,-1

1;2[,1

2

)(

xx

xxxg

4. Dadas las funciones xxf = 7)( y xxg 85)( = , obtener el dominio de gf o , y

( ) )(xgf o .

5. Sean las funciones 3)( += xxf y5

1)(

2

=x

xg . Calcular

a)dominios def y g.b)el dominio y regla de correspondencia de [ ])(xfg

6.

Sean 1)( = xxf y 23)( += xxg , determine

a)Los dominios def y g.b)

( ) )(xgf o y ( ) )(xfg o indicando el dominio en cada funcin.

7. Sean2

1)(

+=

xxf y

x

xxg

3)( += . Hallar )()( fgDomgfDom oo .

8. Sea xxf 32)( = , > 5,1[x y 225)( xxxg = , >< 10,1x . Hallar ))(( xgf o