Semantica operazionale dei linguaggi di Programmazione · Formalismo: sistemi di transizioni basati sugli alberi di derivazione dei programmi Linguaggio di riferimento: una versione

Semantica operazionale deilinguaggi di Programmazione

Sistemi di transizioni (1)

Rosario Culmone, Luca Tesei

Lucidi tratti dalla dispensa

“Elementi di Semantica Operazionale”

R. Barbuti, P. Mancarella e F. Turini

Universita degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Sistemi di Transizioni (1) – p.1/78

Introduzione

Presenteremo una tecnica per definire in manieraformale la semantica di un linguaggio diprogrammazione

Formalismo: sistemi di transizioni basati sugli alberi diderivazione dei programmi

Linguaggio di riferimento: una versione semplificata diJava


Semantica di un linguaggio formale

È il significato attribuito ad ogni stringa

Le stringhe di un linguaggio di per sé non hanno unparticolare significato

L’attribuzione del significato è un passo successivo eindipendente dalla definizione del linguaggio

Ad uno stesso linguaggio possono essere attribuite piùsemantiche


Come attribuire la semantica

La scelta del metodo è fondamentale:

“A parole”, con una prosa, informalmente

Semiformalmente utilizzando la prosa con l’aiuto dialcuni strumenti formali

In maniera rigorosa e formale, basandosi su unacaratterizzazione formale della sintassi


Linguaggi di programmazione

Attualmente la caratterizzazione sintattica dei linguaggidi programmazione è quasi sempre formale(Grammatica)

Su questa base si poggerebbe in maniera naturale unadefinizione rigorosa della semantica

Nei manuali invece la semantica risulta sempre definitain maniera informale

Ciò a scapito della chiarezza, della precisione delladefinizione e della possibilità di ragionarematematicamente sulla correttezza dei programmi


Strumenti

In questa parte descriveremo un modo percaratterizzare formalmente la semantica di un certolinguaggio

Lo strumento che useremo sono i Sistemi di Transizioni

Obiettivo finale: dare un sistema di transizioni in gradodi legare ogni programma ben formato di un linguaggioJava semplificato ad un significato preciso

Il significato sarà un certo elemento di un dominiosemantico definito formalmente


Sistemi di transizioni

Sono oggetti matematici molto versatili

Possono modellare il concetto di calcolo

Possono rappresentare sistemi di dimostrazione

Possono modellare processi, ambienti, sistemicomplessi

Permettono di dare la semantica operazionale di unlinguaggio di programmazione

...


Sistemi di transizioni

Possiamo per il momento considerarli come “automievoluti”

Esprimono una sequenza di azioni che portano ad unrisultato

Le azioni sono chiamate transizioni

Ogni passo ha una configurazione (stato) di partenza euna di arrivo

Le configurazioni (stati) possono essere infinite


Un primo approccio

Vediamo un semplice sistema di transizioni che modellail calcolo di una somma semplice

Il sistema, date due cifre e un riporto, deve calcolare laloro somma come cifra risultato e relativo riporto

Ad esempio: 3 + 5, 0 = 8, 0 (si legge “3 + 5 con riporto di0 è uguale a 8 con riporto di 0”)

Ad esempio: 8 + 7, 1 = 6, 1 (si legge “8 + 7 con riporto di1 è uguale a 6 con riporto di 1”)


Modello del calcolo

Possiamo pensare a questo calcolo come a unatransizione da una configurazione ad un’altra

Ad esempio 3 + 5, 0 è una configurazione da cuipossiamo fare un passo di calcolo e arrivare nellaconfigurazione 8, 0

Nella configurazione 8, 0 non possiamo fare nessunulteriore calcolo

Una configurazione del genere è detta terminale


Modello del calcolo

Rappresentiamo le configurazioni in questo modo:〈3, 5, 0〉 sta per 3 + 5, 0

〈8, 0〉 sta per 8, 0

Configurazioni del tipo 〈10, 0〉 o 〈3, 5, 2〉 non sonocontemplate perché non è possibile nel calcolo chestiamo modellando

Da una configurazione contemplata che non èterminale è possibile fare, in generale, zero o piu passi dicalcolo (il sistema può essere non deterministico)


Passi di transizione

Un passo di calcolo è modellato come un’associazionetra una configurazione e un’altra

Si scrive così: 〈3, 7, 1〉 → 〈1, 1〉

Non tutte le configurazioni sono associate!

Ad esempio: 〈3, 7, 1〉 6→ 〈2, 1〉

Se lo fosse il sistema potrebbe fare dei calcoli sbagliati


Passi di transizione

La logica del sistema di transizioni, il suo modo difunzionare, è data da tutte le associazioni

Ogni associazione modella un possibile passo ditransizione

Le associazioni, in generale, possono essere infinite

Nel nostro esempio sono un numero finito


Formalizziamo

Un sistema di transizioni S è una tripla 〈Γ, T,→〉

Γ è l’insieme delle configurazioni

T ⊆ Γ è un sottoinsieme di Γ contenente leconfigurazioni terminali

→ è un insieme di coppie 〈γ, γ′〉 di configurazioni eviene detta relazione di transizione

L’appartenenza della coppia 〈γ, γ′〉 alla relazione →si indica così: γ → γ′

Tali coppie sono chiamate transizioni


Definizione delle configurazioni

In genere le configurazioni sono tuple (sequenze dielementi delimitate da 〈 e 〉)

Ogni elemento della tupla è un oggetto definitomatematicamente

Ad esempio: insieme, funzione, relazione, elemento diun insieme, stringa, simbolo di alfabeto, . . .

Nei sistemi che definiremo per dare la semanticaoperazionale dei linguaggi di programmazione glielementi saranno spesso alberi di derivazione o alberisintattici


Convenzione

In questa prima parte sui sistemi di transizioniadotteremo la seguente convenzione:

Se S è un simbolo non terminale di una certagrammatica data

allora l’espressione x ∈ S indica che x è una stringaassociata ad un albero di derivazione la cui radice è S

Nel seguito vedremo invece che x sarà spesso unalbero sintattico astratto la cui radice è S


Nell’esempio

Consideriamo questa semplice grammatica:

Cif ::= 0 | 1 | 2 | ... | 9

Definiamo formalmente il sistema dell’esempio

Diamo un nome al sistema e alle sue componenti:Scr = 〈Γcr , Tcr ,→cr 〉

Γcr è l’insieme di tutte le configurazioni possibili

Tcr è l’insieme delle configurazioni terminali

→cr è l’insieme delle associazioni (transizioni) cheesprimono i calcoli possibili


Configurazioni

Γcr = {〈c, c′, r〉 | r ∈ {0, 1} e c, c′ ∈ Cif} ∪

{〈c, r〉 | r ∈ {0, 1} e c ∈ Cif}

Tcr = {〈c, r〉 | r ∈ {0, 1} e c ∈ Cif}.

Per esprimere tutte le associazioni tra le configurazioniche modellano il calcolo in questo caso semplicepossiamo elencarle:


Transizioni

〈0, 0, 0〉 →cr 〈0, 0〉〈0, 0, 1〉 →cr 〈1, 0〉

〈0, 1, 0〉 →cr 〈1, 0〉〈0, 1, 1〉 →cr 〈2, 0〉

〈0, 2, 0〉 →cr 〈2, 0〉〈0, 2, 1〉 →cr 〈3, 0〉

. . . . . . . . . . . .〈9, 8, 0〉 →cr 〈7, 1〉〈9, 8, 1〉 →cr 〈8, 1〉

〈9, 9, 0〉 →cr 〈8, 1〉〈9, 9, 1〉 →cr 〈9, 1〉


Un sistema più complesso

Consideriamo la seguente grammaticaNum ::= Cif | Num CifCif ::= 0 | 1 | 2 | ... | 9

Una qualsiasi stringa n ∈ Num è la rappresentazione diun numero naturale in base dieci

Definiamo un sistema di transizioni cheprese due stringhe n e n’

calcoli una stringa m che rappresenta il numeroottenuto sommando n e n’

Diamo un nome al sistema: Sn+ = 〈Γn+, Tn+,→n+〉


Configurazioni

Sicuramente dobbiamo mettere nel sistema delleconfigurazioni 〈n, n′〉

Rappresentano lo stato in cui il sistema si appresta acalcolare la somma tra n e n′

Potremmo chiamarle configurazioni “iniziali”

Le configurazioni terminali che ci aspettiamo sono irisultati, cioè rappresentazioni (m) di un numeronaturale che sarà la somma

Sono sufficienti?


Strategia

Prima di poter rispondere a questa domanda dobbiamodecidere in quale modo fare operare il sistema perottenere quello che vogliamo

Nel sistema precedente il calcolo poteva essere fattocon un solo passo di transizione

Un sistema di transizioni in generale può operarefacendo diversi passi di transizione in sequenza


Funzionamento di un sistema

È elementare:

In ogni momento il sistema si trova o viene posto in unadelle sue possibili configurazioni, diciamo γ

Il suo compito consiste nel fare un passo di derivazione,se possibile

Il sistema determina se c’è una configurazione γ′

associata con γ: cioè vale γ → γ′

Se esiste una (o più) γ′ di questo tipo allora il sistemacompie il passo di derivazione e si porta in γ′ (unaqualsiasi delle possibili, se più di una)


Funzionamento del sistema

La configurazione γ′ diventa la configurazione correntee il sistema si ritrova nella situazione iniziale in cui devecercare di fare un altro passo di derivazione

Continuando questo processo si possono verificare tresituazioni:


Funzionamento del sistema

1. Il sistema raggiunge una configurazione terminale(dalle quali in genere non è possibile nessun passo diderivazione) e conclude quindi il suo compito

2. Il sistema raggiunge una configurazione non terminaledalla quale non è possibile nessun passo diderivazione. In questo caso la configurazione si dicebloccata . Il sistema ha fallito nel portare a termine il suocompito

3. Il sistema continua a fare passi di derivazione all’infinito.Anche in questo caso consideriamo il compito fallito


Formalizziamo

Dato un sistema di transizioni S = 〈Γ, T,→〉

Una derivazione in S è una sequenza (eventualmenteinfinita) di configurazioni γ0, γ1, . . . , γi−1, γi, . . . tale cheper ogni k ≥ 1 γk−1 → γk

Una derivazione in S è indicata con γ0 → γ1 → . . . → γi

Indicheremo con γ∗

→ γ′ l’esistenza di una derivazioneγ0 → γ1 → . . . → γi in cui γ0 = γ e γi = γ′


Strategia

Una strategia per risovere il problema della somma dinumeri naturali si basa sul concetto di derivazione

L’idea è di svolgere il calcolo per fasi successiveseguendo il semplice algoritmo delle addizioni incolonna che abbiamo imparato alle scuole elementari

Facciamo un esempio. Supponiamo di voler sommare54 e 38. Lo stadio iniziale del calcolo lo possiamorappresentare così:

5438


Strategia

Il calcolo procede effettuando una somma semplice tradue cifre e calcolando un riporto:

15438----2

poiché 4+8=2 con riporto 1

Il calcolo ha prodotto un risultato parziale, 2, ed unriporto, 1


Modelliamo

Possiamo pensare di rappresentare lo stadio iniziale delcalcolo, nel sistema di transizioni, con la configurazione〈54, 38〉

Il primo passo di calcolo che abbiamo fatto può esseremodellato con una transizione da 〈54, 38〉 ad unaconfigurazione intermedia di questo tipo:〈5, 3, 2, 1〉

5 e 3 rappresentano i numeri ancora da sommare, 2 ilrisultato intermedio e 1 il riporto

A questo punto il sistema si trova in questaconfigurazione e deve continuare con un altro passo diderivazione


Strategia

Procedendo nell’algoritmo di somma in colonna siottiene:

05438----92

poiché 5+3+1=9 con riporto 0

A questa situazione corrisponde, nel sistema, latransizione da 〈5, 3, 2, 1〉 a 〈0, 0, 92, 0〉


Strategia

Non essendoci più cifre da sommare, il risultato è 92

A questa situazione corrisponde, nel sistema, latransizione da 〈0, 0, 92, 0〉 a 92

Il sistema, in questo caso, ha quindi eseguito laseguente derivazione:〈54, 38〉 →n+ 〈5, 3, 2, 1〉 →n+ 〈0, 0, 92, 0〉 →n+ 92


Configurazioni

Se vogliamo che il sistema usi questa strategia percalcolare il risultato dobbiamo definire le relativeconfigurazioni possibili:

Γn+ = {〈n, n′〉 | n, n′ ∈ Num} ∪

{〈n, n′, m, r〉 | r ∈ {0, 1} e n, n′, m ∈ Num} ∪

{n | n ∈ Num}

Tn+ = {n | n ∈ Num}


Attenzione

In questo sistema abbiamo un numero infinito diconfigurazioni possibili

In questo sistema abbiamo un numero infinito diassociazioni fra configurazioni da definire affinché ilcalcolo che abbiamo visto possa avvenire fra duenumeri qualsiasi

Come fare per definire →n+, che è infinita, usando unadescrizione finita?

Ci vengono in aiuto le regole condizionali


Regole condizionali

Sono regole scritte in questa forma:

π1 π2 . . . πn

γ → γ′

π1, π2 . . . πn sono formule dette precondizioni o premessedella regola

γ → γ′ è la conclusione della regola

La transizione indicata nella conclusione può esserefatta solo se tutte le premesse πi sono verificate


Regole condizionali

In generale una regola contiene, sia nelle premesseche nella conclusione, variabili che possono assumerevalori in un certo dominio del discorso definito a priori

In realtà quindi una regola rappresenta un insieme,spesso infinito, di regole che si ottengono sostituendoopportunamente le variabili della regola

Formalmente dovremmo quindi parlare di schemi diregole

Che tipo di formule possono essere le premesse?


Premesse

Nel seguito saranno di un tipo tra questi:

un’uguaglianza del tipo x = t, dove x è una variabile e tè una espressione (termine) costruita a partire dacostanti, variabili e operatori elementari

un predicato del tipo t rel t′, dove t, t′ sono termini e relè un operatore di relazione elementare

una transizione del tipo δ → δ′, dove δ, δ′ sonoconfigurazioni e → è la relazione di transizione di unsistema di transizioni (può anche essere il sistema chesi sta definendo, che sarà quindi ricorsivo)


Lettura delle regole

Le regole possono essere lette in maniera logica odichiarativa: la conclusione è vera se e solo se tutte lepremesse sono vere

Esiste però anche un tipo di lettura operazionale

Noi scriveremo sempre regole che possono avere unacorretta lettura operazionale

Illustriamo questo modo di procedere scrivendo leregole per il sistema Sn+


Scrittura di una regola

In generale dobbiamo scrivere un insieme di regole inmodo da coprire tutte le possibili configurazioni nonterminali

In questo modo definiamo cosa fa il sistema in ognipossibile configurazione in cui si può trovare

Naturalmente alcune configurazioni potranno esserecomunque bloccate se non soddisfano le premessedelle regole

Ogni regola gestirà un insieme di configurazioni,mediante l’uso di variabili

La configurazione γ prima della freccia nellaconclusione della regola è il punto di inizio dellascrittura


Le regole diSn+

Partiamo con il considerare le configurazioni “iniziali”{〈n, n′〉 | n, n′ ∈ Num}

Ci aiuteremo sempre con la definizione della relativagrammatica se nelle configurazioni ci sono stringhe

Questo modo di scrivere le regole si chiama guidatodalla sintassi

Il caso più semplice di un Num è il caso base dellagrammatica Cif

Consideriamo quindi il caso più semplice di una coppiadi Num: {〈c, c′〉 | c, c′ ∈ Cif}


Le regole diSn+

c ∈ Cif, c′ ∈ Cif, ?

〈c, c′〉 →n+ ?

Per evitare di inserire sempre le premesse del tipo c ∈ Ciffissiamo delle metavariabili:

c, c′, c′′, . . . stanno per generiche cifre decimali, ovveroelementi della categoria sintattica Cif

r, r′, r′′, . . . stanno per elementi dell’insieme {0,1}, iriporti derivanti dalla somma tra due cifre

n, n′, m, . . . stanno per generici numeri decimali, ovveroelementi della categoria sintattica Num


Le regole diSn+

πi?

〈c, c′〉 →n+ γ′?

Chiamiamo questa regola (i). A questo stadio la letturaoperazionale è la seguente:

se il sistema Sn+ si trova in una configurazione che famatch con 〈c,c′〉allora

se si possono rendere vere tutte le premesse πi

allora il sistema può effettuare un passo ditransizione verso la configurazione γ′


Lettura operazionale: copertura

Le variabili c e c’ possono essere viste come deiparametri di input

Attraverso il pattern matching con la configurazioneattuale del sistema, quando la regola verrà usata, esseassumeranno un certo valore

Questi valori, tramite il nome delle variabili, possonoessere usati nelle premesse per effettuare calcoli etrovare dei valori intermedi legati a nuove variabili


Lettura operazionale: copertura

La struttura della configurazione di arrivo γ′ (l’“output”)potrà essere specificata solamente tramite:

costanti

le variabili di “input” in γ

le variabili inserite nelle premesse per il calcolo deivalori intermedi

combinazione di queste con operatori noti


Le regole diSn+

〈c, c′, 0〉 →cr 〈c′′, r〉

〈c, c′〉 →n+ γ′?

Ad esempio rappresenta il seguente calcolo intermedio:0 14 ---> 48 8---- ------

2con c = 5, c′ = 5, c′′ = 1, r = 1

Siccome siamo all’inizio del calcolo poniamo il riporto iniziale

uguale a 0


Le regole diSn+

〈c, c′, 0〉 →cr 〈c′′, r〉

〈c, c′〉 →n+ γ′?

La premessa è una transizione del sistema Scr

La configurazione di partenza della transizione ècostruita con i valori delle variabili di “input”, cheavranno un valore definito quando la regola verràapplicata

La configurazione di arrivo contiene le nuove variabilic′′e r

Il loro valore dipende dal comportamento di Scr


Transizioni nelle premesse

Se una premessa è una transizione di un sistema ditransizioni (anche lo stesso):

La configurazione di partenza deve esserecompletamente specificata con costantim variabili di“input”, o comunque variabili “coperte”, e applicazioni dioperatori noti a queste

La premessa è soddisfatta se il sistema richiamato (siindividua dal nome della freccia), posto nellaconfigurazione specificata può effettuare unatransizione

Nella lettura operazionale il processo può essere vistocome una chiamata di funzione/procedura dell’altrosistema (ricorsiva se è lo stesso)


Transizioni nelle premesse

Se il sistema interpellato può effettuare la transizioneallora le nuove variabili nella configurazione di arrivoassumeranno un valore e risulteranno “coperte”

Le variabili coperte possono giocare lo stesso ruolodelle variabili di “input”

Nel caso non ricorsivo c’è una relazione gerarchica fra ilsistema chiamante e quello chiamato

Il sistema chiamato nelle premesse viene dettosottosistema


Le regole diSn+

〈c, c′, 0〉 →cr 〈c′′, r〉

〈c, c′〉 →n+ 〈0, 0, c′′, r〉

Costruiamo la configurazione di arrivo del sistema Sn+:

nei casi corrispondenti alla configurazione di partenzache fa match con 〈c, c′〉

in base ai valori calcolati dal sistema Scr incorrispondenza della relativa configurazione 〈c, c′, 0〉


Le regole diSn+

Abbiamo trattato, con la scrittura di questa regola, 100possibili configurazioni (2 cifre da 0 a 9) “iniziali” delsistema Sn+

Le possibili configurazioni sono infinite!

La prossima regola che scriviamo tratta infiniti casi

Seguendo sempre l’approccio guidato dalla sintassidobbiamo trattare ora il caso in cui il primo numerodella configurazione di Sn+ è del tipo nc, cioè sia unastringa composta da più di una cifra

Corrisponde al caso sintattico Num ::= Num Cif


Le regole diSn+

πi?

〈nc, c′〉 →n+ γ′?

Chiamiamo questa regola (ii). Deve trattare, ad esempio,questo caso:

0 134 ---> 347 07

--- ----1


Le regole diSn+

Basta di nuovo chiamare il sistema Scr per fare un passo dicalcolo elementare e scrivere la configurazione di arrivo diSn+ di conseguenza:

〈c, c′, 0〉 →cr 〈c′′, r〉

〈nc, c′〉 →n+ 〈n, 0, c′′, r〉


Le regole diSn+

Manca il caso sintattico simmetrico al precedente e quelloin cui entrambi i numeri di partenza sono formati da più diuna cifra:

〈c′, c, 0〉 →cr 〈c′′, r〉

〈c′, nc〉 →n+ 〈0, n, c′′, r〉

〈c, c′, 0〉 →cr 〈c′′, r〉

〈nc, n′c′〉 →n+ 〈n, n′, c′′, r〉


Le regole diSn+

Mettendo tutto insieme:〈c, c′, 0〉 →cr 〈c′′, r〉

〈c, c′〉 →n+ 〈0, 0, c′′, r〉

(i)

〈c, c′, 0〉 →cr 〈c′′, r〉

〈nc, c′〉 →n+ 〈n, 0, c′′, r〉

(ii)

〈c′, c, 0〉 →cr 〈c′′, r〉

〈c′, nc〉 →n+ 〈0, n, c′′, r〉

(iii)

〈c, c′, 0〉 →cr 〈c′′, r〉

〈nc, n′c′〉 →n+ 〈n, n′, c′′, r〉

(iv)


Le regole diSn+

Abbiamo trattato tutte le possibili configurazioni “iniziali”di Sn+

La prova sta nel fatto che abbiamo trattato tutti i casisintattici della grammatica

Le stringhe nelle configurazioni sono tutte e sole quellegenerate dalla grammatica

Dobbiamo ora occuparci delle configurazioni intermediedel tipo 〈n, n′, m, r〉


Configurazioni intermedie

Nelle configurazioni intermedie ci troviamo nella stessasituazione di quelle iniziali

Abbiamo due stringhe n e n′ di Num, una terza stringa m

e una cifra di riporto

Le variabili che guidano il calcolo sono sempre n e n′,

mentre m e il resto sono accumulatori di comodo per ivalori intermedi


Le regole diSn+

〈c, c′, r〉 →cr 〈c′′, r′〉

〈c, c′, m, r〉 →n+ 〈0, 0, c′′m, r′〉

Gestisce il calcolo intermedio in cui sono rimaste due cifreda sommare:r r’0c ---> 00c’ 0----- -------m c’’m


Le regole diSn+

Gli altri casi sintattici si ripetono in maniera analoga:

〈c, c′, r〉 →cr 〈c′′, r′〉

〈nc, c′, m, r〉 →n+ 〈n, 0, c′′m, r′〉

〈c′, c, r〉 →cr 〈c′′, r′〉

〈c′, nc, m, r〉 →n+ 〈0, n, c′′m, r′〉

〈c, c′, r〉 →cr 〈c′′, r′〉

〈nc, n′c′, m, r〉 →n+ 〈n, n′, c′′m, r′〉


Terminazione

A questo punto abbiamo trattato tutte le possibiliconfigurazioni, ma...

In nessun caso il sistema va a finire in unaconfigurazione terminale!

Con le regole attuali il sistema continua a fare passiintermedi all’infinito aggiungendo delle cifre 0 allasinistra del risultato:

0 0 00 ---> 0 ---> 0 ---> ...0 0 0---- ----- -----m 0m 00m


Terminazione

Dobbiamo fare in modo che quando il sistema haconcluso il calcolo faccia una transizione verso laconfigurazione che contiene solo la stringa risultato

Tutte le configurazioni in cui questo deve accaderesono della forma 〈0, 0, m, 0〉

Aggiungiamo quindi questa regola, che non hapremesse:

〈0, 0, m, 0〉 →n+ m


Terminazione

Con questa nuova regola il sistema può decidere, inuna configurazione 〈0, 0, m, 0〉, di fermarsi

Tuttavia, nella stessa configurazione è ancoraapplicabile la regola:

〈c, c′, r〉 →cr 〈c′′, r′〉

〈c, c′, m, r〉 →n+ 〈0, 0, c′′m, r′〉


Non determinismo

Quando ci sono più regole applicabili il sistema puòsceglierne una qualsiasi

In altre parole i sistemi di transizioni possono esserenon deterministici

Per i nostri scopi cercheremo sempre di definire sistemideterministici

Se le grammatiche che usiamo non sono ambigue e setrattiamo ogni configurazione in un’unica regola ilsistema sarà deterministico

In casi come questo ci può essere la necessità di porredelle condizioni per ottenere il determinismo


Condizioni di applicazione

Vogliamo escludere la possibilità che il sistema applichila regola che fa un passo intermedio nellaconfigurazione 〈0, 0, m, 0〉

Per far questo basta aggiungere una condizione logicao nelle premesse o a destra della regola

In questo caso poniamola a destra per mettere inevidenza che si tratta di una condizione di applicabilitàsulla configurazione:

〈c, c′, r〉 →cr 〈c′′, r′〉

〈c, c′, m, r〉 →n+ 〈0, 0, c′′m, r′〉

se 〈c, c′, r〉 6= 〈0, 0, 0〉


Sn+ completato

〈c, c′, 0〉 →cr 〈c′′, r〉

〈c, c′〉 →n+ 〈0, 0, c′′, r〉

(i)

〈c, c′, 0〉 →cr 〈c′′, r〉

〈nc, c′〉 →n+ 〈n, 0, c′′, r〉

(ii)

〈c′, c, 0〉 →cr 〈c′′, r〉

〈c′, nc〉 →n+ 〈0, n, c′′, r〉

(iii)

〈c, c′, 0〉 →cr 〈c′′, r〉

〈nc, n′c′〉 →n+ 〈n, n′, c′′, r〉

(iv)


Sn+ completato

〈0, 0, m, 0〉 →n+ m (v)

〈c, c′, r〉 →cr 〈c′′, r′〉

〈c, c′, m, r〉 →n+ 〈0, 0, c′′m, r′〉

se 〈c, c′, r〉 6= 〈0, 0, 0〉 (vi)

〈c, c′, r〉 →cr 〈c′′, r′〉

〈nc, c′, m, r〉 →n+ 〈n, 0, c′′m, r′〉

(vii)

〈c′, c, r〉 →cr 〈c′′, r′〉

〈c′, nc, m, r〉 →n+ 〈0, n, c′′m, r′〉

(viii)


Sn+ completato

〈c, c′, r〉 →cr 〈c′′, r′〉

〈nc, n′c′, m, r〉 →n+ 〈n, n′, c′′m, r′〉

(ix)


Derivazioni

Proviamo adesso a porre il sistema in una certaconfigurazione e ad applicare le regole

Eseguiamo tutte le transizioni passo dopo passocostruendo una derivazione

Alla fine il sistema si troverà in una configurazioneterminale

Per operare dobbiamo istanziare le regole che abbiamoscritto e fare delle sostituzioni


Esempio di derivazione

Supponiamo di porre il sistema Sn+ nella configurazione〈927, 346〉 e facciamo il primo passo di transizione:

〈927, 346〉

→n+ {(iv), 〈7, 6, 0〉 →cr 〈3, 1〉 }

〈92, 34, 3, 1〉

È stata applicata la regola (iv)

Il matching con la configurazione implica:n = 92, c = 7, n′ = 34, c′ = 6


Sostituzione

Sostituendo i valori nella configurazione della premessaotteniamo:〈7, 6, 0〉 →cr 〈c′′, r〉

Il sistema Scr associa a quella configurazione dipartenza la configurazione di arrivo 〈3, 1〉

Quindi, per rendere vera la premessa della regola(iv), dobbiamo porre c

′′ = 3 e r = 1

In questo modo c′′ e r divengono coperte, cioè

vengono associate a valori intermedi del calcolo

Otteniamo quindi la configurazione risultato sostituendoi valori alle variabili nella configurazione di arrivo dellaregola (iv)


Istanza della regola

La regola che abbiamo applicato è la (iv):

〈c, c′, 0〉 →cr 〈c′′, r〉

〈nc, n′c′〉 →n+ 〈n, n′, c′′, r〉

La sua istanza effettivamente applicata si ottienesostituendo alle variabili tutti i valori che abbiamo loroassociato:

〈7, 6, 0〉 →cr 〈3, 1〉

〈92 7, 34 6〉 →n+ 〈92, 7, 3, 1〉


Derivazione

La configurazione in cui siamo arrivati non è terminale,continuiamo con altri passi:

〈92, 34, 3, 1〉

→n+ {(ix), 〈2, 4, 1〉 →cr 〈7, 0〉 }

〈9, 3, 73, 0〉

→n+ {(vi), 〈9, 3, 0〉 →cr 〈2, 1〉 }

〈0, 0, 273, 1〉

→n+ {(vi), 〈0, 0, 1〉 →cr 〈1, 0〉 }

〈0, 0, 1273, 0〉


Derivazione

Siamo nella configurazione immediatamente precedente aquella terminale:

〈0, 0, 1273, 0〉

→n+ {(v)}

1273

Il sistema, dopo la derivazione, si trova nella configurazione

terminale 1273


Copertura: definizione formale

Data una configurazione γ di un sistema di transizioni oun termine t costruito usando costanti, variabili eoperatori:V ars(γ) (risp. V ars(t)) indica l’insieme di tutte e sole levariabili che compaiono γ (risp. t)

Data una regola condizionale R:V ars(R) è l’insieme di tutte e sole le variabili checompaiono in R

Data una R:π1 π2 . . . πn

γ → γ′


Copertura: definizione formale

Sia x ∈ V ars(R). Diciamo allora che x è coperta in R se esolo se vale una delle seguenti condizioni:

(1) x occorre in γ

(2) esiste in R una premessa πi del tipo y = t tale che y ècoperta in R e x ∈ V ars(t)

(3) esiste in R una premessa πi del tipo x = t tale che tuttele variabili in V ars(t) sono coperte

(4) esiste in R una premessa πi del tipo δ →′ δ′ tale chetutte le variabili in δ sono coperte in R e x ∈ V ars(δ′)


Copertura

Se in una regola ci sono variabili non coperte allora laregola può essere priva di significato operazionale:

〈c, c′, 0〉 →cr 〈c′′, r〉, p, k > 0, p = k + 1

〈nc, n′c′〉 →n+ 〈n, n′, c′′, r〉

Le variabili p e k non sono coperte e difatti non sonologicamente legate al significato della regola

Noi considereremo solo regole in cui le variabili che

appaiono sono tutte coperte


Sostituzione: definizione formale

Sia V = {x1, . . . , xn} un insieme di variabili distinte e siac1, . . . , cn una sequenza di costanti

L’insieme di associazioni ϑ = {c1/x1, . . . , cn/xn} è dettasostituzione per le variabili in V

Esempio: ϑ1 = {92/n, 7/c, 34/n′, 6/c′, 3/c′′, 1/r}


Applicazione di sostituzione

Sia X un termine o una configurazione e siaV = V ars(X) l’insieme delle variabili che vi compaiono

Sia inoltre ϑ una sostituzione per le variabili in V

L’applicazione di ϑ a X, denotata da (X)ϑ, è il termine ola configurazione che si ottiene rimpiazzando in X ognivariabile x con la costante c tale che c/x ∈ ϑ

Il termine o configurazione (X)ϑ verrà detto istanza di Xvia ϑ


Applicazione di sostituzione

Sia R una regola condizionale, sia V = V ars(R)l’insieme di tutte e sole le variabili che occorrono in R esia ϑ una sostituzione per le variabili in V

L’istanza di R via ϑ è la regola condizionale che si ottieneapplicando ϑ a tutti i termini e a tutte le configurazioniche occorrono in R

Esempio: applicando alla regola (iv) la sostituzione ϑ1 siottiene

〈7, 6, 0〉 →cr 〈3, 1〉

〈92 7, 34 6〉 →n+ 〈92, 7, 3, 1〉


Regole e relazione di transizione

Sia S = 〈Γ, T,→〉 un sistema di transizioni la cui relazione ditransizione → è definita mediante un insieme finito di regolecondizionali (r1), . . . , (rn)

Date due configurazioni γ, γ′ ∈ Γ, la coppia (γ, γ′)appartiene alla relazione → se e soltanto se esiste unasostituzione ϑ per le variabili in V ars(ri), con 1 ≤ i ≤ n, taleche:

tutte le premesse di (ri)ϑ sono soddisfatte

la conclusione di (ri)ϑ è γ → γ′


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