Univerza v LjubljaniFakulteta za matematiko in fiziko

Oddelek za fiziko

Seminar 1a-1. letnik, II. stopnja

Adsorpcija koloidov na lipidno membrano

avtor: Bor Kavcic

mentor: prof. dr. Primoz Ziherl

Ljubljana, 13. januar 2013

Povzetek

Namen seminarja je obravnava adhezije koloidnega delca na membrano vesikla. Spoznamo sez iskanjem ravnovesja med omocitvijo delca, ki je energijsko ugodna, ter energijo deformacije, kiinvaginaciji nasprotuje. Rezultate umestimo v biolosko okolje, kar poenostavi interpretacijo ter nudiuvid v evolucijsko dognane parametre. Spoznamo se z numericnim simuliranjem adhezije mnozicedelcev na povrsino vesikla, kar odpre spekter moznih stanj.

Seminar I 13. januar 2013

Kazalo

1 Uvod 3

2 Limita majhnega delca 42.1 Energija proste membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Priblizna resitev membranskega profila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Bioloska umestitev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Numericne simulacije adhezije nanodelcev na vesikel 103.1 Brazdanje povrsine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Zakljucek 12

2

Seminar I 13. januar 2013

1 Uvod

Celica je v najohlapnejsem smislu najmanjsi prostor, ki ograjuje zivljenje. V njej potekajo razlicniprocesi, ki skrbijo, da celica raste, se razvija, spreminja, razmnozuje in umre. Sestavljajo jo razlicniorganeli, ki se razlikujejo po celicni funkciji in zgradbi. Zivahno dogajanje v celici lahko stece samo obusklajenem delovanju organelov. Kljucno vlogo igrajo organeli, ki jih prikaze sl. 1.

Slika 1: K predstavi celice: 1-jedrce, 2-jedro, 3-ribosomi, 4-vesikel, 5-zrnati endoplazmatski retikulum (ER),6-Golgijev aparat, 7-citoskelet, 8-gladki ER, 9-mitohondrij, 10-vakuola, 11-citosol, 12-lizosom, 13-centriola scentrosomi in 14-celicna membrana. Vir: [1].

Temeljni gradnik organelov je vesikel, mehurcek, ki ga omejuje lipidna membrana (sl. 2b). Obicajenvesikel ima en fosfolipidni dvosloj (sl. 2b), ki ga zamejuje. Imenujemo ga unilamelarni vesikel. Ce jeslojev vec, tako tvorbo imenujemo multilamelarni vesikel.

Fosfolipid:hidrofilna glava in

hidrofoben rep

Kemijska zgradbafosfolipida

(a) (b)

Slika 2: K enostavnemu vesiklu: Slika (a) prikazuje osnovni gradnik fosfolipidnega dvosloja, ki ga prikazuje sl.(b). Fosfolipidni dvosloj je osnova celicnega zivljenja in temelj vecine organelov. Vir: [1].

V celici prevzamejo vesikli razlicne naloge [2]. Vakuole (sl. 1) so skladisca vode. Zivalske celice imajomnogo manjse vakuole kot rastlinske. Rastlinske vakuole so uporabljene zvecine za osmotsko regulacijoin delno za zalogo hranil. Lizosomi so prebavni mehurcki. Pogosto se tvorijo ob prevzemu hrane skozimembrano – ta se ob stiku z delcem hrane uviha in tvori zakljucen mehurcek. Taksen nacin prebaveje ugoden, saj se v lizosomu tvori vsaj delno izolirano okolje, ki je lahko drugacno, agresivnejse odnotranjosti celice. V celici najdemo tudi transportne in izlocalne vesikle. Celica lahko izloca odpadke –funkcionalno pomembnejsi pa so izlocalni vesikli, ko hranijo proizvedeno ucinkovino, ki jo celica izlociv okolje. Tipicen primer celice, v kateri igrajo izlocalni vesikli pomembno vlogo, je zivcna celica – vizlocalnih (sinapticnih) vesiklih na zivcnih koncicih hrani zivcni prenasalec, ki se sprosti ob signalu.

Majhne vesikle imenujemo liposomi. Mehanika in lastnosti liposomov postajajo vedno pomembnejse,saj veliko modernih zdravil obdajamo z fosfolipidnimi ovoji in jih tako dostavljamo k tarcnim celicam.V preprostih modelih pa nam lahko vesikli sluzijo kot primitivne celice, ki ne vsebujejo citoskeleta inorganelov. So le celici podoben prostor, ki je ugoden za studij elasticnih lastnosti membran. Veliko jetudi govora o (ne)skodljivosti nanodelcev. Ti naj bi se uporabljali kot vektorji zdravil; pred klinicno rabomora vsak nov nacin dostave zdravil prestati sirok nabor testov, ki potrdijo njegov vpliv na organizem.

3

Seminar I 13. januar 2013

Zato je kljucnega pomena razumevanje mehanike vstopa delca v celico ali vesikel. Doloceni virusi morajov celoti vstopiti v celico – zvecine preko endocitoze (celicnega “hranjenja”).

V seminarju zelimo ohlapno predstaviti dve poti obravnave adsorpcije delcev na membrano. V prvemdelu se posvetimo problemu bolj ali manj analiticno. Tudi v tem delu se srecamo z “na roko” neresljivimiproblemi, ki jih obvladamo numericno. Analiticna obravnava poda drugacen pogled na problem terdolocena stanja obrazlozi elegantneje. Kmalu tudi v tem delu zapustimo matematicni del in sledimoproblemu bolj fenomenolosko.

Drugi del se posveti numericnim simulacijam adhezije nanodelcev na povrsino vesikla. Del ponudizgolj ohlapen, a nujen pregled metode ter se raje posveti interpretaciji rezultatov. Numericne simulacijenakazejo dobro korelacijo z analiticnim delom.

2 Limita majhnega delca

Obravnavajmo uvihanje membrane, ko je koloidni delec mnogo manjsi od vesikla [3]. Ta naj bo sfericneoblike in polmera a. Ker velja a � R, lahko obravnavamo vesikel v obmocju uvihanja pred kontaktomkot raven. Zato resujemo problem v cilindricni geometriji, kar prikazuje sl. 3.

Energija sistema sestoji iz treh delov. Energija adhezije je sorazmerna s kontaktno povrsino injo karakterizira jakost adhezije w [J/m

2]. Adhezijska energija je negativna, saj je adhezija energijsko

ugodna. Nasprotujeta ji energija upogiba ter prispevek tlacne obremenitve membrane. Hitro uvidimo,da obstaja neki energijski minimum, v katerega bo silil sistem.

zar

ločna dolžina

s

a

lokalna normala

hdr

dhψ

ds

eh

erα

Slika 3: K geometriji problema; kot ψ oznacuje “naklon” membrane na kolobarju, ki ga definira locni parameters. Zelo pomembna kolicina je z; pove nam kako globok je nastali uvihek. Diferenciala dr ter dh opiseta za kolikose spremeni oddaljenost oziroma visina membrane, ko povecamo locno dolzino za ds. Ob sliki lahko odberemovecino robinih pogojev ter si bolj predstavljamo zveze med kolicinami. Vir: [3].

Adhezijska energija Ob sl. 3 in upostevanju simetrije je izracun povrsine sticne ploskve preprost.

Skont = 2π

∫ α

0

a2d cos θ = 2πa2 (1− cosα)︸ ︷︷ ︸z

= 2πa2z =⇒ Ead = −2πa2zw. (1)

Kolicina z je ureditveni parameter; doloci stopnjo omocitve delca. Adhezija zniza energijo, vendar vodi dodeformacije membrane. Pomembna je energijska bilanca v celoti. Elasticna clena uvihanju nasprotujeta.

Upogibna energija Izognemo se mikroskopskemu popisu in se zadovoljimo z obravnavo membranekot zveznega sredstva [4]. Izraz za gostoto energije upogiba zapisemo kot:

eupg =1

2κ(c1 + c2 − c0)2 + κc1c2. (2)

4

Seminar I 13. januar 2013

S ci smo oznacili obe glavni ukrivljenosti1. S c0 je oznacena spontana ukrivljenost membrane; ta je popredspotavki ravne membrane pred kontaktom 0. S κ in κ smo oznacili elasticna modula membrane.Produkt obeh glavnih ukrivljenosti c1c2 imenujemo Gaussova ukrivljenost. Preko Gauss-Bonnetovegateorema [5] lahko integral tega clena po povrsini prevedemo na integral po robu povrsine. Izkaze se,da je ta integral invarianten, cim ne spremenimo topologije povrsine in meje integracije. Ta clen dodak energiji le konstanto in ga zato v nadaljnji obravnavi ne upostevamo. V nasem primeru sta glavniukrivljenosti kar reciprocna polmera koloida in od tod dobimo

Eupg =1

2κ

(1

a+

1

a

)2

Skont = 4πκz. (3)

Povrsinska energija Ovijanje koloidnega delca poveca povrsino membrane. S tem se energija mem-brane poveca za delo, ki ga ta opravi proti lateralni napetosti σ:

Eten = πa2z2σ. (4)

Na tem mestu tvorimo t.i. vdorno globino λ

λ =

√κ

σ. (5)

Deformacije membrane na dolzinah, ki so manjse od λ, doprinesejo k upogibni energiji, medtem ko vdrugi limiti prevladuje povrsinska energija.

Reducirana energija Poznavanje znacilnih dimenzij problema nudi naraven nacin uvedbe brezdimen-zijskih kolicin. Tvorimo nove kolicine:

E =E

πκ, w =

2wa2

κ, σ =

σa2

κ=(aλ

)2. (6)

Numericne faktorje smo dodali za poznejso uporabo. Z novimi spremenljivkami lahko zapisemo energijokot:

E = −(w − 4)z + σz2 + Eprosta[z, σ]. (7)

Z Eprosta[z, σ] smo oznacili energijo membrane, ki ni v stiku z koloidnim delcem. Temu prispevku seposvetimo kasneje. Za hip ga zanemarimo in si oglejmo energijsko bilanco. Minimizacija funkcionalapoda pogoj za vezavo:

z0 =w − 4

2σ. (8)

Ocitno je, da je z lahko zgolj pozitiven. Od tod sledi, da je adhezija na membrano mozne le, ko w > 4.Ce pogoj ni izpolnjen, membrana delcev ne objame. Ko visamo w, membrana najprej delno objamekoloidni delec. V naslednjo fazo preidemo, ko presezemo mejo w > 4 + 4σ; delec je popolnoma zajet.

2.1 Energija proste membrane

Energija preostale membrane je funkcional, odvisen od oblike vesikla. Funkcional bomo zapisali v ci-lindricnih koordinatah, obliko bomo ob sl. 3 parametrizirali z locno dolzino s. Obe ukrivljenosti lahkopreko osnovne diferencialne geometrije izrazimo kot sinψ/r in ψ. V nadaljevanju vsi s piko oznaceniodvodi pripadajo odvodu po locni dolzini s. Funkcional v splosnem zapisemo kot:

Eprosta =

∫ ∞0

ds L(ψ, ψ, r, r, h, λr, λh). (9)

Lagrangeva funkcija L je enaka

L = r

[(ψ +

sinψ

r

)2

+2σ

a2(1− cosψ)

]+ λr(r − cosψ) + λh(h− sinψ). (10)

1Glavni ukrivljenosti sta lastni vrednosti operatorja oblike.

5

Seminar I 13. januar 2013

Clen v oglatih oklepajih opise upogibno in povrsinsko energijo; dodatna clena zadostita neholonomnimavezema h = sinψ in r = cosψ preko Lagrangevih parametricnih funkcij λr(s) in λh(s).

Opazimo, da je Eprosta odvisna zgolj od strukturnega parametra σ ter preko robnih pogojev od vdorneglobine; to je razlog, da je σ ugodna os v faznem diagramu. Ker je Lagrangeva funkcija neodvisna odintegracijske spremenljivke s, je pripadajoca Hamiltonova funkcija H konstanta problema. Hamiltonovopis je naravnejsi in zato presedlamo nanj. Najprej definiramo konjugirane momente, saj je H funkcijageneraliziranih koordinat ter njim prirejenih impulzov.

pψ =∂L

∂ψ= 2r

(ψ +

sinψ

r

), (11a)

pr =∂L

∂r= λr, (11b)

ph =∂L

∂h= λh. (11c)

Legendrovo transformiranko zapisemo po obicajnem predpisu:

H = ψpψ + rpr + hph − L, (12)

H =p2ψ4r− pψ sinψ

r− 2σr

a2(1− cosψ) + pr cosψ + ph sinψ. (13)

Iskanje minimuma funkcionala (9) nas pripelje do sistema diferencialnih enacb:

ψ =pψ2r− sinψ

r, pψ =

(pψr− ph

)cosψ +

(2σr

a2+ pr

)sinψ, (14a)

r = cosψ, pr =pψr

(pψ4r− sinψ

r

)+

2σ

a2(1− cosψ), (14b)

h = sinψ, ph = 0. (14c)

Dobljeni sistem diferencialnih enacb je tezko resljiv. Resujemo ga numericno ob znanih robnih pogojih.Ce si dovolimo analogijo z mehaniko: impulzi v nasem primeru opisejo hitrost spreminjanja ukrivljenostimembrane z ozirom na spremembo locne dolzine s.

Membrana je dalec proc od mesta stika ravna, ob samem stiku pa gladko nalega na povrsino delca.Vecino robnih pogojev lahko odberemo s sl. 3. V tocki odcepa membrane od povrsine delca (s = 0)veljajo enacbe:

r(0) = a sinα, (15a)

h(0) = −a cosα, (15b)

ψ(0) = α. (15c)

Asimptotska limita pove, da se morata ψ ter njegov odvod ψ blizati 0: lims→∞ ψ = 0 in lims→∞ ψ = 0.Ta pogoj tudi pove, da so energijski prispevki upogiba v veliki oddaljenosti poljubno majhni. Zahtevnejsimatematicni prijemi dolocijo tudi preostale konstante.

Ob znanih robnih pogojih in diferencialnih enacbah, ki medsebojno sklopijo kolicine, lahko prekoenacbe (9) izracunamo energijo membrane kot funkcijo penetracijske globine z ter vrednosti σ. Prekominimizacije reducirane energije izracunamo se vrednost z, ki nam pove do kaksne stopnje membranaobjame delec. Iz definicije z je ocitno, da zavzame le vrednosti iz intervala [0,2], kjer 0 oznacuje tockastdotik delca oziroma prosti delec, 2 pa popolno zajetje delca. Ob tako izracunanih z lahko izdelamostrukturni fazni diagram (sl. 4), ki nam pove, ob kaksnih pogojih pride do nicnega, delnega oziromapopolnega zajetja delca.

Meja W kaze, da ob zanemaritvi energije prostega dela membrane v poglavju 2 prav napovemomejo zacetka invaginacije vesikla. V prej omenjenem poglavju je tudi ocitno, da je prispevek povrsinskeenergije sele kvadraticno odvisen od stopnje vgreznitve, prav taksnega reda pa je tudi energija prostegadela membrane. Pomembno je, da meja W oznacuje zvezen prehod v delno ugreznitev. Locnica Eoznacuje nezvezen prehod med polno in delno invaginacijo.

6

Seminar I 13. januar 2013

3 4 5 60.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

w

delno zajetdelec

popolnomazajet

S1

ES2

Slika 4: Strukturni fazni diagram; slika pregledno prikaze obstoj razlicnih faz ter prehode med njimi. Zarisaneso tudi meje metastabilnih stanj (med S1 ter S2) ter locnica med pojavom uvihanja ter odsotnostjo deformacije.Vir: [3].

Mejo zaznamuje energijska bariera; zvecine je posledica napetosti proste membrane in manj upo-gibne energije. Izkaze se, da je lahko visina energijske pregrade kar precejsnja. Za tipicno vrednostσ = 0.02 × 10−3 N/m [6], velikost2 a = 30 nm ter κ = 20kBT lahko izracunamo vrednost σ ≈ 0.22, karpoda visino energijske pregrade Ebar ≈ 22kBT . Bariera je visoka in je termicne fluktuacije ne morejopremostiti. Cim se pomaknemo k visjim vrednostim w, se energijska ovira zniza, dokler pri meji S1

popolnoma ne izgine. Zanimivo pa je, da se pri tem pojavi histereza (sl. 5). Ce je delec popolnoma zajetin pricnemo z nizanjem w, se bo prehod zgodil pri nizji vrednosti, kot se je zgodil v nasprotno smer;prehod oznacuje meja S2.

(a) (b)

Slika 5: K energijski bareri in histerezi. Slika (a) prikazuje visino bariere Ebarier = Ebar/πκ. Izracun je izvedenza nizkonapetostni rezim (σ < 1) pri vrednosti w na meji prehoda med delnim in polnim objetjem. Vstavljenaslika predstavlja pomen energijske prepreke pri σ = 0.5. Slika (b) prikazuje histerezno zanko: ko spreminjamo w(pri stalnem σ = 1), sistem preide vec stanj, ki niso zgolj funkcije parametrov, temvec tudi poti. Za nezajet delecse zajetje pojavi pri w = 4, pri vrednosti w ≈ 6.1 postane polno zajeto stanje stabilno; sele pri w ≈ 7.5 izginebariera visine 66kBT . “Odmocitvena” veja prikazuje, do kaksne stopnje je sistem metastabilen ter pri kaksnivrednosti w bariera izgine in se delec izvije iz zajetega stanja v prosto. Vir: [3].

Oba brezdimenzijska parametra sistema – w in σ – sta kvadraticno odvisna od polmera koloidnegadelca, kar sledi iz definicije (6). Zato lahko ob dani vrednosti parametrov membrane κ, σ in stika wpovemo, do koliksne mere membrana zajame delec. Ob taki obravnavi se pokaze kljucnost kolicine λ;fazni diagram lahko na novo prerisemo, kot prikaze sl. 6a.

Minimalna vrednost razmerja w/σ ≤ 1.37 pove, da membrana ne bo objela v celoti delcev takih

2Polmer kapside virusa Semliki.

7

Seminar I 13. januar 2013

100 101 102 1030

5

4

3

2

1

popolno zajetje

delno zajetjeprost

w/σ

4.4

1.37

(a) (b)

Slika 6: (a) Fazni diagram: dimenzijska interpretacija. (b) Potek fazne locnice med delnim in polnim objetjem.Abscisa v logaritemskem merilu podaja vrednosti reducirane napetosti σ. Prekinjeni crti oznacujeta napovediobeh limit, polna crta pa numericno izracunan potek. Vir: [3].

lastnosti in to ne glede na njihovo velikost. V primeru, ko je w/σ ≥ 2, se delci dovoljsnje velikosti vceloti pogreznejo v membrano. V vmesnem obmocju 1.37 ≤ w/σ ≤ 2 je stopnja zajetja delca odvisna odnjegove velikosti. Na meji popolnega zajetja (w/σ = 1.37) je radij delca a ≈ 4.4λ.

Zanimivo je, da energija Eprosta izgine tudi ob polnem zajetju. Do podobnega primera pride tudipri studiju spoja dveh vesiklov [7]. V tej limiti se oblika membrane bliza katenoidi, ki pripada druziniminimalnih povrsin. Te zaznamuje nicelna povprecna ukrivljenost v vsaki tocki, kar preko enacbe (2) nedoprinese k energiji sistema. Bistvena poenostavitev k problemu je ocitna: ce nas zanima, ali membranapopolno omoci delec, primerjamo polno objeto stanje z neobjetim. Tako dobimo priblizno mejo w = 4+2σza opis locnice E na sl. 4. Posledica je daljnosezna in nudi enostavno razlago nezveznosti prehoda. V faznidelnega objetja delca deformacija membrane nasprotuje uvihanju. Ko presezemo doloceno energijskomejo, pa sistem vedno zdrsne v polno objetje, ker je deformacijska energija takega stanja bistvenougodnejsa. Smemo reci, da od te locnice dalje deformacijska energija spodbudi polnejso invaginacijomembrane.

Limito σ → ∞ lahko beremo kot κ → 0, saj postane energija proste membrane zanemarljiva. Opi-rajoc se na enacbo (8) lahko izdvojimo ravnovesno vrednost z = w/2σ. Upostevaje definicijo z intrigonometrijske identitete lahko izpeljemo Young-Duprejevo enacbo [8]:

w = σ[1 + cos(π − α)]. (16)

V tej limiti lahko opisemo mejo prehoda v polno objeto stanje z w = 4σ. Rzmislek nas vodi do dvehskrajnih popisov membrane: limita majhne deformacijske energije (meja faznega prehoda w = 4 + 2σ,za majhne deformacije prikaze izracun poglavje 2.2), ki velja pod σ ' 1, ter visokonapetostna limitaw = 4σ ' 4+4σ. Izkaze se, da obe limiti dobro opiseta obnasanje sistema v velikem razponu parametrov,kar prikaze sl. 6b.

2.2 Priblizna resitev membranskega profila

Denimo, da se nahajamo v delu faznega diagrama, kjer je sicer ravninska membrana le malo deformiranain je napetost σ dovolj nizka. Takrat se parametrizacija poenostavi; funkcional (9) bomo prepisali vanaliticno obvladljivo obliko. V Mongeovi reprezentaciji zapisemo funkcional kot integral po povrsini:

Eprosta =

∫d2r√

1 + (∇h)2

κ2[∇ · ∇h√

1 + (∇h)2

]2+ σ

(17)

S h smo oznacili ugrez membrane, ki je funkcija r. Za majhno deformacijo velja ∇h � 1; izraz lahkorazvijemo do najnizjega clena v gradientu:

Eprosta ≈∫

d2r[κ

2(∇2h)2 +

σ

2(∇h)2

]. (18)

8

Seminar I 13. januar 2013

Variacija funkcionala δE = 0 da linearno diferencialno enacbo:

∇2(∇2 − λ−2)h = 0. (19)

Dobljeno enacbo resujemo v cilndricnem koordinatnem sistemu. Resitve so lastne funkcije Laplaceovegaoperatorja z lastnimi vrednostmi 0 in λ−2. Splosno resitev zapisemo kot linearno kombinacijo parcialnih:

h(r) = h1 + h2 ln(r/λ) + h3K0(r/λ) + h4I0(r/λ). (20)

Funkciji K0 in I0 sta modificirani Besselovi funkciji. Iz robnih pogojev dolocimo koeficiente. Ker I0divergira v limiti r → ∞, je koeficient h4 enak 0, prav tako se znebimo tudi koeficienta h2, saj drugacegostota energije ni integrabilna. Ostale koeficiente dolocimo iz drugega robnega pogoja: membrana segladko loci od koloidnega delca, njen potek pa je zvezen. Profil membrane opisemo z

h(r)

a= z − 1 +

λ

2

k

1− zK0(ka/λ)−K0(r/λ)

K1(ka/λ). (21)

Uvedli smo dodatno oznako k = sinα. V tem primeru lahko analiticno izracunamo energijo prostegadela membrane; enacbo (21) vstavimo v enacbo (18) in izracunamo:

Eprosta =a

λ

(k3

1− k2

)K0(ka/λ)

K1(ka/λ). (22)

Za majhne vrednosti parametra vgreznitve z (oziroma kota α) priblizek dobro opise dejanski potekmembrane. Za vecje stopnje uvihanja membrane priblizek napove “prepocasno” izravnavo membrane,kar prikaze sl. 7.

Slika 7: Priblizni (prekinjena crta) in tocni (krepka crta) potek membrane za dve razlicni vrednosti α = 30o in60o. Poteka sta prikazana za σ = 0.1. Vir: [3].

2.3 Bioloska umestitev

Prav je, da razmislimo, kateri izmed rezimov je v naravi pogostejsi. Oglejmo si tipicne vrednosti para-metrov problema in orisimo v katerih bioloskih procesih do njih pride. Tipicna napetost membrane σznasa 10−8-10−5 N/cm. Visja natezna napetost vodi v razpad dvosloja. κ znasa med 10-100kBT [9],pri cemer upostevamo zgolj upogib membrane in ne morebitne deformacije dodatnih struktur. Vdornaglobina (5) je v intervalu med 10 ter nekaj 100 nanometri. Zanimivo pri vsem tem je, da to sovpadas tipicno razseznostjo delcev, ki vstopajo v obravnavani proces. Za delce, katerih dimenzija je manjsaod 10 nm, poteka transport zvecine preko temu namenjenih kanalov. Koloidni delci velikosti µm papovzrocijo deformacijo globlje v celici (deformira se aktinsko mrezje) in zato za opis procesa nas modelni primeren.

Pomembno pa je, da je model primeren za studij mnozice primerov. Najpomembnejsi so virusi; pri-meri druzin bi bili: Toga-, Korona- (bolezni prebavnega trakta; npr.: SARS), Retrovirusi (predstavnikHIV) ter se mnogi drugi [10]. V zakljucni fazi (sl. 8a, korak e), se virusna kapsida ovije v membranodvosloja (bodisi membrano endoplazmatskega retikuluma bodisi zunanjo celicno membrano). Velja pre-pricanje, da je dogodek popolnoma neodvisen od preostalega dogajanja v celici in je v tem smislu pasiven.

V najenostavnejsem smislu lahko predpostvimo, da je adhezija zgolj posledica iterakcije med virusnokapsido ter membrano-primer so kapside retrovirusov tipa D. Virusno kapsido cesto prerascajo tran-smembranski proteini, ki sluzijo kot sidrisca. Za primer si oglejmo virus Semliki. Premer kapside je

9

Seminar I 13. januar 2013

30 nm in ima na povrsini 80 “bodic”. Za κ vzamemo 20kBT ; denimo, da smo ravno na meji W (sl. 4) inje w = 4. Izracunamo, da posamezno pritrdisce doda 6kBT adhezijske energije, kar je smiselno. Vstopvirusa v celico prikaze sl. 8b.

Zapisani razmislek umesti nas problem v obmocje nizkonapetostne limite in v blizini obeh faznihlocnic. Blizina obeh faznih mej je razumljiva: tako je mogoce, da ze drobna sprememba povzroci prehodiz enega v drugo stanje, kar je v bioloskih sistemih pogosto. Pomembno pa je, da na prehodu se vednoobstaja energijska bariera; o naravi nizanja prepreke se se ne ve veliko.

(a) (b)

Slika 8: (a) Faze “zivljenja” virusa. Tako zacetek cikla kot tudi njegov konec temeljita na uvihanju memebrane.Vir: [11] (b) Endocitozni sprejem virusa Semliki. Virus se v celici nahaja v endosomu. Slika je bila posneta zelektronskim mikroskopom. Vir: [12].

3 Numericne simulacije adhezije nanodelcev na vesikel

Ze v limiti majhnega delca smo naleteli na analiticno neobvladljive matematicne prepreke. Cim postanerazseznost koloidnega delca primerljiva z znacilno dimenzijo vesikla, nam preostane zgolj numericnomodeliranje.

Na ta nacin lahko studiramo membranske strukture, ki nastanejo ob adheziji vec delcev na povrsinovesikla [13]. Pomembno je, da v analizo vstopajo tudi druge karakteristike vesikla kot celote in ne zgoljlastnosti membrane ter stika s koloidnim delcem.

Reducirana prostornina Prostornina vesikla je lastnost, ki kljucno vpliva na konfiguracijo delcev napovrsini koloida ter na koncno obliko membrane. Oprimemo se brezdimenzijske definicije, katere intervalje omejen. Reducirano prostornino definiramo z v ≡ 3

√4πV /A3/2 ≤ 1. Reducirana prostornina v ne

more preseci vrednosti 1; ta pripada krogli, ki je telo z najvecjo prostornino pri dani povrsini. Simulacijauposteva skleronomne vezi: prostornina vesikla in njegova povrsina se ohranjata.

Energijski prispevki V poglavju 2 smo zapisali osnovne energijske prispevke. Ti so tudi v temrazdelku podobni:

E = Eup + Ead. (23)

Celotna energija je sestavljena iz adhezijske energije, ki je sorazmerna s povrsino stika, in upogibneenergije, ki je posledica uvihanja membrane. Vesikel v simulaciji predstavimo s triangulirano ploskvijo.Energijo v tem primeru zapisemo kot:

Eup = 2κ

nv∑α=1

M2α

Aα. (24)

Z Mα smo oznacili srednjo ukrivljenost na mestu posameznega trikotnika, z Aα pa povrsino. Na podobennacin opisemo adhezijsko energijo:

Ead = −w∑〈α〉

Aα. (25)

10

Seminar I 13. januar 2013

V tem primeru stejemo po vseh trikotnikih, katerih razdalja do povrsine sfericnega delca je manj kot dc.Z w smo oznacili jakost adhezije.

Simulacije vodijo do zanimivih rezultatov. Za doseganje dovoljsnje gladkosti povrsine in bogatepodrobnosti potrebujemo gosto mrezo. Avtorji clanka [13] so simulirali mrezo s 2562 oglisci, pri cemerje vsako izmed njih “prezivelo” vec kot 10 milijonov iteracij.

Na sliki 9 opazimo, da z manjsanjem reduciranega volumna dovolimo vedno globljo penetracijo v no-tranjost vesikla. Ugodnejse je, da gredo delci v zgolj en membranski uvihek, cim je reducirana prostorninadovolj majhna, da dovoljuje globoko penetracijo.

Slika 9: Slika (a) prikazuje stanje z najnizjo energijo za dva delca pri v = 0.96 in brezdimenzijski energiji adhezijeu ≡ wR2

p/κ = 2; tu je Rp polmer delca. Slika (b) prikazuje konfiguracijo pri v = 0.92 in u = 2.33, (c) pa stanjeza v = 0.88 in u = 2. Vir: [13]

Zanimivo je tudi, na kaksen nacin vpliva na energijo medsebojna razdalja in medsebojna orientacijabliznjih delcev. Rezultate lepo povzema sl. 10. Ob sl. 10a opazimo, da morajo delci, preden se dvevdolbini zdruzita v eno preskociti energijsko bariero. Poleg tega uvidimo, da je globina energijske globelitesno povezana z vrednostjo reduciranega volumna. Slika 10b prikaze, da je najugodnejse konfiguracijadelcev linearna. Zanimivo je, da potek ni monoton – obstaja energijska prepreka pri spremembi izenakostranicne v linearno konfiguracijo.

(a) (b)

Slika 10: (a) Energija konfiguracij v odvisnosti od medsebojne razdalje med delci. Graf prikaze pomen reduciraneprostornine: cim manjsa je, tem globlja je penetracija in tem nizja energija je dosegljiva. To je razumljivo, sajlahko membrana omoci vecjo povrsino koloidov. Dobro je definirana energijska bariera, ki je posledica velikeupogibne energije “hriba” med bliznjima delcema. (b) Slika prikazuje energijo v odvisnosti od relativne orientacijetreh delcev v istem uvihku. Zaradi obstoja dodatne ukrivljenosti se pojavi energijska bariera med prehodom izenakostranicne v linearno konfiguracijo. Vir: [13].

3.1 Brazdanje povrsine

Zanimivo je, da lahko ze s pasivnim modelom adhezije razlozimo brazdanje povrsine in formacijo po-vrsinskih struktur vesikla. Na podoben nacin pristopijo k obravnavi tudi v clanku [14]. V tem primeru

11

Seminar I 13. januar 2013

imamo koloidne delce ujete v sam vesikel; delci zavihajo povrsino navzven. Pri obravnavi predpostavimotanko membrano, znotraj katere postavimo Np kroglastih delcev. Membrano sestavimo iz Nb kroglic pol-mera σ, povezanih z elasticnimi vezmi najvecje dolzine

√3σ, ki membrano povezejo v mrezo trikotnikov.

Energija upogiba je opisana podobno kot v razdelku 3 s konstanto upogiba κ. Bolj zanimiv je pristop kpopisu adhezije. Adhezijo predstavimo kot silo kratkega dosega in sicer kar z reciprocno potenco:

Vpr = −D0

(σMr

)6. (26)

Z σM smo oznacili razdaljo (σ + σp)/2, kjer je σp = σZ z Z = 2, 3, 4, 6, 8. D0 podaja jakost adhezije. Vizogib neskoncnemu dosegu uvedemo odsecno razdaljo rod = 1.5σM . Podoben potencial uporabimo tudiza simulacijo van der Waalsovih interakcij. V simulacijo vkljucimo tudi prispevek povrsinske energijeEγ = γA, kjer je A povrsina vesikla.

S tako definiranimi potenciali ze lahko simuliramo razlicne konfiguracije delcev. Vecina rezultatovje prikazana za κ = 5kBT in γ = 1kBT/σ

2 (kar ustreza 10−2-10−3 pN/nm). Uvedimo se parameterpokritosti χ, ki je mera za pokritost povrsine delcev. Rezultate povzema sl. 11.

(a) (b)

Slika 11: (a) Slika prikazuje histerezo, ki obstaja med cevasto ter brazdato strukturo. Abscisa podaja konstantoadhezije, ordinata pa meri pokritost delcev. Opazimo, da ni vseeno, kaksno je zacetno stanje; ce pricnemo z“lovko”, se bo ta spremenila v brazdo pri nizji vrednost D0 kot ce pricnemo z brazdo ter visamo D0. (b) Faznidiagram membranskih struktur. Mozne konfiguracije so: cevasta (T), linearna brazda (L), zajetje posameznegadelca (B), ki ga prikazuje vstavljena slika, ter “plinska faza” – delci so prosti v notranjosti vesikla. Desna stranprikazuje dve znacilni strukturi T in L. V simulaciji prostornina vesikla ni bil omejena. Simulacija potrdi, da jepotrebna bistveno visja vrednost D0 za dosego popolnejsega zajema delca (strukture B in T). Relativno nizkavrednost D0 je potrebna za tvorbo brazd L, pri se nizji vrednosti se delci ne vezejo na membrano. Vir: [14].

4 Zakljucek

Besedilo prikaze dobro ujemanje med fizikalno razlago, naravnimi pojavi in naso predstavo o problemu.Nasprotujoca si prispevka adhezijske ter upogibne energije napovesta obstoj vezanega stanja. Zanimiv jepojav histereze, ki je posledica obstoja energijske bariere med posameznimi stanji. Biolosko relevantnevrednosti parametrov umestijo obravnavo v blizino faznih prehodov – mozna je regulacija stanja zgoljz majhnimi spremembami parametrov. Numericne simulacije uvedejo dodatno dimenzijo problema, sajv obravnavo vstopi dimenzija in prostornina vesikla, ki se izkaze za kljucno. V obeh obravnavanih pri-merih se posvetimo kofiguracijam vec delcev na povrsini vesikla. Prvi primer prikaze pomen reduciraneprostornine, ki vpliva na globino uvihanja membrane vesikla. Drugi se posveti studiju membranskihstruktur kot posledice adhezije mnozice koloidov na notranjo stran membrane. Ponovno se pojavi histe-reza; obstaja energijska bariera med posameznimi stanji. Spekter stanj je izredno barvit, saj se povrsinavesikla grobo brazda oziroma tvori “lovkaste” strukture.

Seminar nas pouci, da lahko fizika izredno elegantno razlozi mnoge bioloske procese in nakaze pestropaleto moznih tem za raziskave in seminarje. Zanimiv je studij adhezije nabitih delcev [15], vesiklov z

12

Seminar I 13. januar 2013

diskretnimi elementi fosfolipidnega dvosloja [16], endocitoza delcev razlicnih oblik [17] ter adhezije samihvesiklov na povrsine [18, 19]. Nadaljnji studij je vedno kompleksnejsi in manj analiticno obvladljiv.

Literatura

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Vesicle_(biology) (dosegljivo 13. januar 2013).

[2] B. Alberts, A. Johnson, J. Lewis, M. Raff, K. Roberts in P. Walter, Molecular Biology of the Cell,5th edition (Garland Science, New York, 2008)

[3] M. Deserno, Phys. Rev. E 69, 031903 (2004).

[4] L. D. Landau in E. M. Lifshitz, Theory of Elasticity, (Butterworth-Heinmann, Oxford, 1986).

[5] http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2%80%93Bonnet_theorem, (dosegljivo 13. januar 2013)

[6] C. E. Morris in U Homann, J. Membr. Biol. 179, 79 (2001).

[7] B. Fourcade, L. Miao, M. Rao, M. Wortis in R. K. P. Zia, Phys. Rev. E 49, 5276 (1994).

[8] J. S. Rowlinson in B. Widom, Molecular Theory of Capillarity (Dover, New York, 2002).

[9] U. Seifert in R. Lipowsky, Structure and Dynamics of Membranes, v R. Lipowsky in E. Sackmann(ur.) Handbook of Biological Physics, Vol. 1A (Elsevier, Amsterdam, 1995).

[10] http://en.wikipedia.org/wiki/Viral_entry, (dosegljivo 13. januar 2013)

[11] http://www.pnas.org/content/102/27/9469/F1.expansion.html (dosegljivo 13. januar 2013)

[12] http://openi.nlm.nih.gov/imgs/rescaled512/2254911_1707fta1.png (dosegljivo 13. januar2013)

[13] A. H. Bahrami, R. Lipowsky in T. R. Weikl, Phys. Rev. Lett. 109, 188102 (2012).

[14] A. Saric in R. Cacciuto, Phys. Rev. Lett. 109, 188101 (2012).

[15] Y. Li in N. Gu, J. Phys. Chem. B 114, 2749 (2010).

[16] H. Noguchi in M. Takasu, Biophys. J. 83, 299. (2002).

[17] R. Vacha, F. J. Martinez-Veracoechea in D. Frenkel, Nano Lett. 11, 5391 (2011).

[18] S. Das in Q. Du, Phys. Rev. E 77, 011907 (2008).

[19] R. Lipowsky in U. Seifert, Lagmuir 7, 1867 (1991).

13