Univerza v LjubljaniFakulteta za matematiko in fiziko

EPR paradoks

Avtor: Vasja Susic

Mentorica: dr. Andreja Sarlah

Februar 2010

Povzetek

Seminar pricnemo z obravnavo clanka Einsteina, Podolskega in Rosena iz leta 1935, kjerprvic predstavijo EPR paradoks: kompletnost kvantne mehanike in lokalni realizemskupaj implicirata nekonsistentno teorijo. V nadaljevanju na kratko povzamemoSchrodingerjev odgovor, ki ga je objavil v seriji treh clankov. Zaradi zgodovinskepomembnosti nato predstavimo Bohmov predlog EPR eksperimenta za Bellovo stanje,za katerega je Bell za skrite spremenljivke kasneje izpeljal svoje neenacbe. Seminarvsebuje tudi izpeljavo Heisenbergove neenacbe sklepanja kot kriterija za paradoks terpredstavitev aktualnih eksperimentalnih dosezkov pri merjenju njenih krsitev.

Vasja Susic EPR paradoks 2(18)

Kazalo

Uvod 2

1 Teoreticno in zgodovinsko ozadje 31.1 Originalni EPR clanek — kompletnost in lokalni realizem . . . . . . . . . . . 31.2 Schrodinger in kvantna prepletenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Bohm in Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Meritve paradoksa EPR 102.1 Od miselnega k pravemu eksperimentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Eksperimentalni kriteriji za EPR paradoks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Eksperimenti in njihovi rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Zakljucek 17

Literatura 18

Uvod

Kvantna mehanika je ena od dveh velikih teorij 20. stoletja. Kljub njenim napovedim,ki so se eksperimentalno izkazale kot zelo dobre, so v 30-ih letih 20. stoletja mnogi imelistevilne pomisleke o njeni pravilnosti. Med bolj znanimi kritiki je bil Albert Einstein, kije videl problem ze v sami formulaciji teorije, namrec zaradi njene inherentne nakljucnosti.Menil je, da se za kvantno mehaniko skriva fundamentalnejsa teorija, ki je po svoji naravideterministicna, in da je kvantno mehaniko zato potrebno dopolniti, ce zelimo dobiti celovitosliko sveta.

Leta 1935 so Albert Einstein, Boris Podolsky in Nathan Rosen izdali clanek, v kateremso zeleli dokazati, da kvantna mehanika ni kompletna in da jo je potrebno razsiriti [1]. Biliso namrec zagovorniki pogleda na svet, ki mu pravimo realizem, po katerem so vse fizikalnekolicine sistema dolocene neodvisno od tega, ali jih izmerimo ali ne. To je bilo v nasprotju sprevladujoco interpretacijo kvantne mehanike (ortodoksni pogled), po kateri fizikalne kolicinev resnici niso dolocene vnaprej, ampak zavzamejo konkretne vrednosti sele pri njihovi meritvi.Mozno bi bilo, da eksperimentalnih razlik med obema pogledoma ne bi bilo, in zato izbirapravega ne bi imela prakticnega pomena; potem bi to bilo zgolj filozofsko vprasanje, kot trdiagnosticni pogled. Nasprotno se je z objavo omenjenega clanka prvic izkazalo, da temu nitako.

V clanku so avtorji predlagali miselni poskus, iz katerega je razvidno, da cetudi delcune moremo hkrati izmeriti njegove pozicije in gibalne kolicine, ne da bi vsaj eno od njijuzmotili, mora delec se vedno imeti ti dve kolicini vnaprej doloceni: valovna funkcija obehinformacij ne more vsebovati, zato je potrebno teorijo razsiriti. S tem je bil navidez podprtrealizem. A v svoji argumentaciji so avtorji implicitno predpostavili, da na fizikalni sistem nemoremo vplivati na daljavo (ce je le-ta dovolj oddaljen in izoliran), kar se s stalisca klasicnefizike zdi smiselno, a se je v kvantni mehaniki izkazalo kot neupraviceno. Kljub neutemeljenipredpostavki pa je bil clanek zgodovinskega pomena: pokazal je, da se je potrebno odpovedatikompletnosti kvantne mehanike, ali pa se je potrebno sprijazniti, da gibalna kolicina in

Vasja Susic EPR paradoks 3(18)

pozicija delca ne moreta biti hkrati doloceni. Kvantna mehanika torej ne more biti hkratikompletna in realisticna. Tej nezdruzljivosti pravimo tudi Einstein-Podolsky-Rosen paradoksoziroma na kratko EPR paradoks. Medtem ko so prvotni avtorji zavracali kompletnost, padandanes vse kaze, da je realizem tisti, ki se mu moramo odpovedati in je torej potrebnosprejeti ortodoksni pogled.

V seminarju si bomo poleg originalnega EPR clanka ogledali odgovor ErwinaSchrodingerja, ki je bil objavljen v seriji treh clankov [2]. Schrodinger je v njem zagovarjalkvantno mehaniko in ortodoksni pogled, da vnaprejsnja dolocenost pozicije in gibalne kolicineni nujna. V teh clankih je tudi prvic omenjen koncept kvantne prepletenosti, ki je tesnopovezan z EPR paradoksom. V sklopu teoreticnega ozadja si bomo ogledali tudi Bohmovpredlog diskretnega EPR eksperimenta, kjer argumente EPR paradoksa lahko uporabimo zasingletno stanje spinov dveh delcev. V vsakem seminarju o EPR paradoksu je seveda tudinujna vsaj omemba Bellovih neenacb, ki so neke vrste nadaljevanje EPR argumentacije, kjerskusamo razsiriti kvantno mehaniko s skritimi spremenljivkami.

V drugem delu seminarja se posvetimo eksperimentalnemu preverjanju EPR paradoksa.Na kratko opisemo prehod iz miselnega eksperimenta na prakticno izvedljiv poskus. Napodrocju EPR tematike so sicer se posebej priljubljene Bellove neenacbe, a v tem seminarjuse bomo raje usmerili k poskusom, ki direktno realizirajo prvotno zamisljen EPR eksperimentbrez Bellovih neenacb. Sledili bomo aktualnemu pregledu tega podrocja, kot je predstavljenov pred kratkim objavljenem clanku “Colloquium: The Einstein–Podolsky–Rosen Paradox:From concepts to applications” [3].

Slika 1: Trojica EPR: Albert Einstein (1879–1955) [4], Boris Podolsky (1896–1966) [5] inNathan Rosen (1909–1995) [6].

1 Teoreticno in zgodovinsko ozadje

1.1 Originalni EPR clanek — kompletnost in lokalni realizem

Celotna z EPR paradoksom povezana tematika izhaja iz clanka z naslovom “Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?”, ki so ga AlbertEinstein, Boris Podolsky in Nathan Rosen objavili leta 1935 v reviji Physical Review [1].

Vasja Susic EPR paradoks 4(18)

Zato bomo seminar zaceli z vsebino tega zgodovinskega clanka, ki je bil gonilo za vsa nadaljnaraziskovanja tega podrocja.

Pri oceni uspesnosti fizikalne teorije si je po mnenju avtorjev clanka potrebno zastavitinaslednji vprasanji:

1. Ali je dana teorija pravilna? Zahtevamo namrec skladnost teorije z eksperimenti.

2. Ali je opis, dan s teorijo, kompleten? Avtorji se v definicijo kompletnosti ne spuscajo;kot potrebni pogoj zahtevajo, da za vsak element realnosti lahko najdemo ustrezenelement v teoriji. Z drugimi besedami: da smo z naso teorijo res opisali, “vse kar je”.Za potrebe tega seminarja naj bo omenjeni pogoj za kompletnost tudi zadosten.

Avtorji prav tako operirajo s konceptom imenovanim realizem, za katerega navedejonaslednji kriterij kot zadostni pogoj: ce lahko vrednost neke fizikalne kolicine predvidimo zgotovostjo (verjetnostjo 1) na nacin, da merjeni sistem ne zmotimo, potem obstaja elementrealnosti, ki ustreza tej fizikalni kolicini. Temu konceptu se denimo klasicna mehanikapodreja, avtorji pa so bili o tem prepricani tudi za kvantno mehaniko.

Bralca najprej na hitro spomnimo, kako je kvantna mehanika formulirana: tu bomonasteli lastnosti, ki so relevantne za nadaljno diskusijo o clanku. Kvantno opisemo sistemz valovno funkcijo Ψ, pri kateri je stevilo prostostnih stopenj odvisno od sistema, vedno paso njena kodomena kompleksna stevila C. Mnozica moznih stanj za sistem tvori funkcijskiprostor, ki je Hilbertov (vektorski prostor s skalarnim produktom, ki je poln v normi, ki joskalarni produkt naravno porodi; operaciji sestevanja in mnozenja s skalarjem sta za funkcijedefinirani “po tockah”). V interpretaciji kvantne mehanike navedemo, da so fizikalne kolicinev tej teoriji hermitski operatorji (A = A†), ki so (gosto) definirani na Hilbertovem prostoruvalovnih funkcij in imajo za svojo kodomeno isti Hilbertov prostor. Lastno stanje operatorjaA : H → H je taka valovna funkcija Ψ, da velja AΨ = A ·Ψ, kjer A ∈ C. Ker je A hermitksioperator, je A ∈ R. Eden od postulatov kvantne mehanike zahteva, da pri merjenju fizikalnekolicine, ki je v teoriji predstavljena z operatorjem A, lahko izmerimo le eno od lastnihvrednosti operatorja A, meritev pa poleg tega povzroci tudi kolaps valovne funkcije: valovnafunkcija se projecira na lastni podprostor izmerjene lastne vrednosti in nato renormalizira.

Po zgoraj povedanem dana fizikalna kolicina ustreza kriteriju realizma, ce se sistemnahaja v enem od lastnih stanj ustreznega operatorja: projekcija na lastnem podprostorudeluje enako kakor identiteta. Stanjem, ki niso lastna za dani operator, pa s stalisca, ki gaprivzamejo avtorji clanka, ne moremo direktno izmeriti pripadajoce fizikalne kolicine, ker zmeritvijo sistem zmotimo (in ga prisilimo v eno od lastnih stanj, s cimer unicimo informacijo oprvotnem stanju). Hkratno poznavanje dveh fizikalnih kolicin, katerih pripadajoca operatorjaA in B ne komutirata ([A,B] = AB − BA 6= 0), ni mozno: lastna funkcija enega odoperatorjev ni lastna funkcija drugega, zato bi morali z direktno meritvijo obeh stanje sistemaspremeniti.

Avtorji EPR clanka so napravili naslednjo logicno analizo: velja (a) ∨ (b), kjer

(a) Kvantna mehanika, formulirana z valovno funkcijo, ni kompletna.

(b) Ce operatorja dveh kolicin ne komutirata, potem za ti dve kolicini kriterij realizmahkrati ne more biti izpolnjen.

To res velja, kajti ce (b) ni res, torej ce je kriterij realizma za kolicini z nekomutirajocimaoperatorjema hkrati izpolnjen, bi informacijo o obeh kolicinah morala vsebovati valovna

Vasja Susic EPR paradoks 5(18)

funkcija Ψ, kar pa ni res — torej teorija ni kompletna. Kot primer pomanjkanja informacijesi lahko ogledamo “ravni val”

ψ(x) = eip0x/~. (1)

Ta ima “informacijo” o gibalni kolicini, ker pxψ = −i~∂xψ = p0ψ, a nima informacije oprostorski koordinati, ker xψ = xψ 6= x0ψ za vse x0 ∈ R. Pomembno je se, da imata izbranikolicini nekomutirajoca operatorja [x,p] = i~I 6= 0.

Z dokazom, da je tudi za nekomutirajoca operatorja kriterij realizma lahko hkratiizpolnjen, torej z dokazom ¬(b), bi ob upostevanju (a) ∨ (b) dobili logicno posledico, davelja (a): kvantna mehanika ni kompletna. To je zakljucek, do katerega pridejo avtorji voriginalnem EPR clanku, s tem da dokazejo negacijo trditve (b) na sledeci nacin.

Zamislimo si miselni eksperiment, pri katerem imamo dva sistema, oznacimo ju z A inB, katerih stanje ob t = 0 poznamo, za case t med 0 in t0 sistema interagirata, za t > t0pa ni vec interakcije med sistemoma (slika 2). Valovno funkcijo Ψ celotnega sistema A+ Blahko dolocimo s Schrodingerjevo enacbo; denimo, da jo dolocimo ob nekem dovolj poznemcasu t1, tako da t1 > t0. Denimo, da sta U in V operatorja za dve fizikalni kolicini, ki juzelimo meriti za sistem; lastne vrednosti operatorjev uredimo in jih oznacimo z Un in Vn,kjer n tece po naravnih stevilih, pripadajoce lastne funkcije pa z un in vn (te sestavljajokompleten sistem). Skupno valovno funkcijo Ψ lahko razvijemo tako po eni kot po drugi“bazi” prostora. Dobimo

Ψ(xA,xB) =∞∑

n=1

ψn(xA) · un(xB) =∞∑

n=1

ϕn(xA) · vn(xB). (2)

Tu smo z xA oznacili prostostne stopnje sistema A, z xB pa prostostne stopnje sistema B.Do razvoja v enacbi (2) smo prisli tako, da smo xA “fiksirali” (gledamo pri dani konfiguracijisistema A), nato pa valovno funkcijo, ki je odvisna le se od xB, razvijemo po izbrani bazi(sistema B). Tako so ψ in ϕ koeficienti razvoja, ki pa se s konfiguracijami sistema A lahkospreminjajo (zato so to funkcije spremenljivk xA). Z merjenjem “kolicine” U ali V sistema Bdobimo le en clen v zapored prvi in drugi vsoti enacbe (2): npr. Ψ(xA,xB) = ψk(xA)uk(xB) inΨ(xA,xB) = ϕl(xA)vl(xB). Tu sta pripadajoca faktorja ψk(xA) in ϕl(xA) kar valovni funkcijisistema A (potrebna je sicer se renormalizacija). Lahko se zgodi, da so funkcije ψk in ϕl

(za vse k,l ∈ N) zaporedoma lastne funkcije nekih operatorjev P in Q za sistem A, kjer[P ,Q] 6= 0. Z merjenjem U ali V sistema B lahko potemtakem posredno dolocimo vrednostikolicin nekomutirajocih operatorjev P in Q za sistem A: z meritvijo pri B lahko ustreznokolicino pri A dolocimo z gotovostjo, tako da ta dolocitev ne vpliva na sam sistem A, kerje po predpostavki sistem A izoliran od sistema B. Kolicini za P in Q potemtakem obezadoscata kriteriju realizma, s cimer krsimo trditev (b): ravno to smo pa tudi zeleli pokazati.Poudariti je se potrebno, da pri merjenju dveh kolicin sistema B z razlicnima projekcijamadobimo dve razlicni valovni funkciji za A: avtorji so sklepali, da lahko danemu stanju ustrezavec valovnih funkcij.

Prepricajmo se, da do opisane situacije z operatorji U , V , P in Q res lahko pride. Najbo valovna funkcija ob casu t1

Ψ(xA,xB) =

∫ ∞

−∞ei(xB−xA−x0)p/~ dp =

∫ ∞

−∞2π~δ(x− xA − x0)δ(x− xB) dx. (3)

Vasja Susic EPR paradoks 6(18)

Slika 2: Shema EPR eksperimenta, ko za 0 < t < t0 sistema A in B interagirata, nato pa juza t > t0 med seboj locimo. Ce pri B merimo U ali V , bi lahko ob predpostavki lokalnostidolocili P ali Q za sistem A, ne da bi ta sistem zmotili. Sistem A bi imel potemtakem “ostrodolocena” P in Q, cetudi njuna operatorja ne komutirata.

Tu smo uporabili razvoj po dveh zveznih spektrih (zato integrali in ne vsote);U = pB = −i~∂xB

, V = xB, P = pA, Q = xA, ter po vrsti ustrezne lastne funkcijeup(xB) = eixBp/~, vx(xB) = δ(x− xB), ψp(xA) = e−i(xA−x0)p/~, ϕx(xA) = 2π~δ(x− xA − x0).Z δ smo oznacili Diracovo delta funkcijo, z x0 pa neko konstanto; normalizcije valovnihfunkcij nas tu ne bodo skrbele. Res velja, da Ψ =

∫ψpup dp =

∫ϕxvx dx, ter [xA,pA] 6= 0.

Ta primer opisuje situacijo, ko sta podsistema A in B kar dva delca, ki imata gibalni kolicinipo vrsti −p in p (letita v nasprotnih smereh), razdalja med njima pa je x0 (slika 3).

Slika 3: Zvezni EPR eksperiment: delca A in B, ki imata v danem trenutku popolnomakorelirano pozicijo in popolnoma antikorelirano gibalno kolicino.

Za konec analize EPR clanka naj se omenimo, da zahteva, da fizikalni kolicini sistemaA hkrati zadoscata kriteriju realizma, se ne pomeni, da ju lahko dolocimo hkrati (potembi morali tudi hkrati izmeriti kolicini sistema B, kar pa ni nujno mogoce). Omenjenazahteva pomeni le, da sta v danem trenutku obe kolicini sistema A “ostro doloceni”, inlahko katerokoli od obeh z gotovostjo dolocimo, ne da bi zmotili sistem A — vsako izbranokolicino lahko dolocimo, ne moremo pa nujno dolociti vec kolicin hkrati. Avtorji clankamoznost strozje oblike realizma, kjer zahtevamo, da lahko vse fizikalne kolicine danega naboraz gotovostjo in brez motnje dolocimo hkrati, za kvantno mehaniko zavrzejo na podlaginaslednjega razmisleka: fizikalni kolicini nekomutirajocih operatorjev nikoli ne moremodolociti hkrati, zato tudi ne moreta biti del istega nabora. Nasa izbira, kaj merimo priB, bi tako vplivala na to, katera kolicina pri A je ostro dolocena in katera ne, kar pa je pomnenju avtorjev absurdno. Popravljeni pogoj (b′), ko v (b) zamenjamo “realizem” s “strogirealizem”, bi bil vedno izpolnjen, zato bi trivialno tudi veljala disjunkcija (a) ∨ (b′).

Sklep clanka EPR, da kvantna mehanika ni kompletna, se je izkazal kot vprasljiv.Disjunkcija (a) ∨ (b) logicno velja, ampak pri dokazu negacije (b)-ja so avtorji implicitno

Vasja Susic EPR paradoks 7(18)

predpostavili, da sistema A in B res lahko izoliramo, tako da meritve pri B ne vplivajo naA, in kolicine pri A res dolocamo, ne da bi zmotili ta sistem. Predpostavki, da lahko merjenjesistema B povzroci spremembo na sistemu A le, ce sta sistema v neposrednem stiku (ko jemed njima interakcija), pravimo lokalnost. EPR clanek je torej v resnici pokazal, da obpredpostavki lokalnosti hkratna veljavnost kompletnosti kvantne mehanike in realizma vodido protislovja. Zavreci torej moramo kompletnost kvantne mehnike ali pa lokalni realizem,tj. lokalnost in realizem). To je zgodovinsko gledano sprozilo stevilne dvome o veljavnostilokalnega realizma (in ne kompletnosti, kot so upali avtorji), ki se ga je pred objavo tegaclanka obicajno implicitno privzemalo.

1.2 Schrodinger in kvantna prepletenost

Leta 1935 in 1936 je Erwin Schrodinger napisal zaporedje treh clankov, v katerih je opisaltakratno stanje v kvantni mehaniki [2]. V teh clankih je Schrodinger med drugim komentiralEPR paradoks, znani so pa tudi zaradi prve omembe koncepta “Schrodingerjeve macke”. Vtem podrazdelku bomo povzeli nacin razmisljanja Schrodingerja, ki se povsem razlikuje odnacina avtorjev EPR; v tem clanku je bil tudi prvic omenjen koncept kvantne prepletenosti,ki je tesno povezan z EPR eksperimentom.

Po mnenju Schrodingerja si je valovno funkcijo potrebno predstavljati kot “katalogpricakovanj” za fizikalni sistem; ta katalog vsebuje verjetnosti nahajanja za razlicnalastna stanja operatorjev. Casovni razvoj valovne funkcije med meritvami enolicno dolocaSchrodingerjeva enacba — katalog pricakovanj se s casom spreminja. Ce na sistemu opravimomeritev, pride v trenutku do spremembe valovne funkcije; sprememba je odvisna od izmerjenevrednosti, zato je ne moremo predvideti vnaprej (ne vemo vnaprej, na kateri podprostorbomo Ψ projecirali). Razumevanje meritve kvantnega sistema je po Schrodingerju kljucno,saj se moramo prav na tej tocki odpovedati realizmu. Ko merimo doloceno fizikalno kolicinokvantnega sistema, nismo izmerili njene prave vrednosti, temvec pred meritvijo ta fizikalnakolicina sploh ni imela dolocene vrednosti. Ta kolicina dobi vrednost sele po opravljenimeritvi, kar pa v skladu s principom ponovljivosti lahko preverimo z naknadnimi meritvamite kolicine, ki bi nam vrnile isto vrednost (ce vmes nic ni zmotilo nasega sistema). Konceptvnaprej dolocenih fizikalnih kolicin, kot ga pozna realizem, tako po mnenju Schrodingerja niaplikabilen na kvantno mehaniko.

S stalisca klasicne fizike valovna funkcija nima vseh informacij o sistemu, saj kolicin znekomutirajocimi operatorji ne moremo izmeriti hkrati. To dejstvo je vgrajeno v kvantnoteorijo ze na matematicnem nivoju, zato se moramo hkratnemu poznavanju vseh kolicinodpovedati. Namesto tega gledamo na valovno funkcijo kot katalog, ki nam da najboljsemozno poznavanje nekega sistema — to poznavanje je maksimalno. Sprememba valovnefunkcije takoj po meritvi odraza novo pridobljeno informacijo o sistemu; nova valovnafunkcija ne vsebuje vseh informacij, ki jih je stara, a hkrati je kolicina informacij za novostanje tudi maksimalna. To pomeni, da nekatere resnicne izjave za staro valovno funkcijoniso vec resnicne za novo, torej se je z meritvijo stanje sistema moralo spremeniti. Polegtega Schrodinger trdi, da vsakemu fizikalnemu stanju ustreza natanko ena valovna funkcija,sicer nam poznavanje valovne funkcije ne bi dalo maksimalnega poznavanja tega stanja.

Z zgornjim pristopom zdaj lahko analiziramo, kaj bi se intuitivno lahko dogajalo priEPR eksperimentu. Najprej sta sistema A in B locena, kar pomeni, da imamo lahkovalovno funkcijo (katalog pricakovanj) za vsakega od obeh sistemov. Ko pa sistema med

Vasja Susic EPR paradoks 8(18)

seboj interagirata, moramo preiti na skupno valovno funkcijo, ki je zaradi interakcije nemoremo vec razbiti na valovni funkciji podsistemov — temu recemo kvantna prepletenost.Cetudi nato sistema A in B locimo, imamo se vedno le skupno valovno funkcijo, ki pa nampodaja maksimalno (v principu mozno) poznavanje skupnega sistema. Pri tem izgubimopoznavanje posameznih delov tega sistema na racun informacij, ki povezujejo kolicine enegain drugega sistema (korelacije kolicin med sistemoma). Z meritvami sistema B lahko prekoteh informacij posredno tudi dolocimo stanje sistema A. Matematicno recemo, da je valovnafunkcija Ψ(xA,xB) separabilna, kadar jo lahko zapisemo kot “direktni produkt” funkcij zapodsistema A in B, v Diracovem zapisu

| Ψ〉 = | ψ〉A | ϕ〉B. (4)

Stanje je prepleteno, ce ni separabilno. Skupna valovna funkcija se torej nahaja vHilbertovem prostoru H = HA ⊗HB, kjer sta HA in HB po vrsti Hilbertova prostora stanjza podsistema A in B. V skupnem prostoru H imamo poleg separabilnih stanj torej tudinjihove linearne kombinacije. Matematicni proces, kako s pomocjo poznavanja prepletenevalovne funkcije in meritve pri B dolocimo A, je opisan ze v razdelku 1.1 — ostane le en(renormaliziran) clen v enacbi (2). Fenomen prepletenosti in skupne valovne funkcije jeSchrodinger povzel z naslednjimi besedami: maksimalno poznavanje celotnega sistema nepomeni nujno maksimalnega poznavanja njegovih posameznih delov.

Koncept prepletenosti nam omogoci tudi boljse intuitivno razumevanje meritve. PoSchrodingerju merjeni sistem in merilni instrument skupaj sestavljata sistem. Pred meritvijoje stanje celotnega sistema separabilno, a pri opravljanju meritve obe komponenti sistemainteragirata. Zato dobimo prepleteno stanje merjenca in merilne naprave. Sele ko mipogledamo zabelezeno vrednost na merilni napravi, smo oba sistema locili (razpletli).Intuitivno si seveda predstavljamo, da s tem “miselnim dejanjem” nismo na daljavo vplivalina merjeni objekt, katerega stanje zdaj poznamo. Kolaps valovne funkcije objekta primeritvi je torej v resnici konstrukcija nove valovne funkcije po obdobju, ko sta objekt inmerilna naprava interagirala; v casu interakcije merjeni objekt ni imel lastne valovne funkcije(obstajalo je le prepleteno stanje z merilno napravo).

1.3 Bohm in Bell

Zvezni EPR paradoks z dvema gibajocima se delcema je presegal eksperimentalne zmoznosticasa, v katerem je izsel originalni EPR clanek. Alternativno izvedbo EPR eksperimenta si jezamislil David Bohm leta 1951. Eksperiment, znan pod imenom EPR–Bohmov eksperiment,bi ponovno vkljuceval dva delca, a tokrat nas ne bi zanimali pozicija in gibalna kolicina tehdelcev, temvec spin v smereh glavnih osi izbranega koordinatnega sistema (slika 4). Delcabi imela spin 1/2 in bi bila v singletnem prepletenem stanju. Skupno valovno funkcijotega stanja (oziroma njen spinski del) imenujemo EPR-Bohmovo stanje, se bolj pogosto paBellovo stanje, ker je za to stanje John Bell izpeljal svoje slavne neenacbe, ki jih bomo zgoljomenili na koncu tega razdelka. Bellovo stanje zapisemo kot

| ΨBell〉 =1√2

(|1/2〉Az |−1/2〉Bz − |−1/2〉Az |1/2〉Bz

). (5)

Vasja Susic EPR paradoks 9(18)

Zgoraj smo z | 〉Az in | 〉Bz po vrsti oznacili lastna stanja operatorjev spina SAz in SB

z za delcaA in B, tako da smo v ketu zapisali lastno vrednost stanja. Za komponente operatorja

spina ~S velja, da je njihov medsebojni komutator [Sk,Sl] = iεklmSm, kjer je i imaginarnaenota, k,l,m ∈ {1,2,3}, εklm Levi–Civita antisimetricni tenzor, osi x,y in z pa smo povrsti zaznamovali s stevilkami 1,2,3. Za nas bo na tem mestu pomembno predvsem to,da komutator operatojev spina v poljubnih dveh razlicnih smereh ni enak 0. To pomeni, dalahko naenkrat izmerimo le spin v eni smeri.

Slika 4: Diskretni EPR-Bohm eksperiment: delca A in B sta v singletnem stanju. Delcu Abi lahko dolocili spin v eni od smeri osi koordinatnega sistema, ce bi izmerili to komponentodelcu B.

Poglejmo, kako bi se Bellovo stanje izrazilo z bazo lastnih stanj obeh delcev se v smereh

x in y. Aktivna rotacija spina posameznega delca se lahko izrazi z Ua = e−iα~n· ~S/~, kjer je~n smer osi in α kot vrtenja okoli te osi (v pozitivni smeri po pravilu desnega vijaka). Porazvoju eksponentne funkcije v Taylorjevo vrsto dobimo rezulat

Ua = cos(ϕ/2)I − i(~n · ~σ) sin(ϕ/2), (6)

kjer smo s ~σ oznacili trojico Paulijevih matrik. Mi zelimo pasivno rotacijo, saj zelimo znanalastna stanja za Sz zapisati v drugi bazi: to dobimo s transformacijo α 7→ −α, kar prienacbi (6) povzroci pristevanje drugega clena. V nasih primerih zelimo zavrteti z–os v smerx ali y osi, kar se zgodi pri αx = αy = π/2, ~nx = (0,1,0), ~ny = (−1,0,0). Ko oboje vstavimov enacbo za pasivno rotacijo, dobimo

(ax

bx

)= (I + iσ2)/

√2

(az

bz

)⇒ |1/2〉z =

1√2

(|1/2〉x− |−1/2〉x

), (7)

|−1/2〉z =1√2

(|1/2〉x+ |−1/2〉x

), (8)(

ay

by

)= (I − iσ1)/

√2

(az

bz

)⇒ |1/2〉z =

1√2

(|1/2〉y − i |−1/2〉y

), (9)

|−1/2〉z =1√2

(− i |1/2〉y+ |−1/2〉y

). (10)

Dobljene vrednosti vstavimo za oba delca v enacbo (5), ter dobimo za Bellovo stanje v novihbazah

Vasja Susic EPR paradoks 10(18)

| ΨBell〉 =1√2

(|1/2〉Ax |−1/2〉Bx− |−1/2〉Ax |1/2〉Bx

), (11)

| ΨBell〉 =1√2

(|1/2〉Ay |−1/2〉By − |−1/2〉Ay |1/2〉By

). (12)

Vidimo, da je Bellovo stanje singletno, ne glede na to, v kateri od treh smeri osi gazapisemo. Pri EPR–Bohm eksperimentu bi merili komponento spina delca B v smeri x, yali z, s tem bi pa lahko dolocili komponento spina delca A za isto os (vrednost spina zaA bi bila v dani smeri ravno nasprotna kot za B, kot vidimo iz enacb (5), (11) in (12)).Ob predpostavki lokalnosti, bi meritev izvedli, ne da bi delec A zmotili, kar pomeni dabi v skladu z realizmom imel delec A ze vnaprej dolocene komponente spina v vseh trehsmereh, cetudi valovna funkcija take informacije ne more vsebovati — kvantna mehanika nebi bila kompletna. Z zgornjim argumentom smo se prepricali, da gre tu res za izvedbo EPReksperimenta.

Leta 1964 je John S. Bell objavil svoj clanek [7], v katerem je pokazal, da kvantnamehanika za Bellovo stanje napove drugacne rezultate kot teorije z lokalnimi skritimispremenljivkami. Slednje so take teorije, ki bi po predlogu EPR skusale dopolniti kvantnoteorijo, tako da bi nakljucnost kvantne mehanike odpravili z uvedbo novih spremenljivk(fizikalnih kolicin): te bi bile tisti v kvantni mehaniki manjkajoci elementi realnosti, kibi deterministicno dolocili razvoj sistema. Glavni rezultat Bellovega clanka so bile takoimenovane Bellove neenacbe, ki bi veljale v primeru teorije s skritimi spremenljivkami — ce bijih eksperimentalno krsili, bi s tem lahko zavrgli teorije z lokalnimi skritimi spremenljivkamiin posledicno tudi lokalni realizem.

2 Meritve paradoksa EPR

2.1 Od miselnega k pravemu eksperimentu

Predlagani zvezni EPR eksperiment iz originalnega EPR clanka je bil po svoji naravi miselnieksperiment. Z merjenjem gibalne kolicine delca B bi poznali gibalno kolicino delca A,ista implikacija velja tudi za ustrezni poziciji. A v praksi z meritvami omenjenih kolicinzgolj za delec B ne bi mogli narediti nikakrsnega zakljucka. Sklepanje, kaksna je vrednostkolicin delca A, mora biti v praksi podprta se z meritvami teh kolicin. Ker meritvi pri Ain B v praksi ne moremo izvesti istocasno, zahtevamo, da je pri danem δt obeh meritevrazdalja med delcema dovolj velika: zelimo, da sta delca kavzalno nepovezana. Kavzalnostje princip, da lahko na dani dogodek vplivajo le tisti dogodki, ki so znotraj svetlobnegastozca, ki izvira iz prvotnega dogodka in se siri nazaj v casu. Se drugace receno: na danidogodek lahko vplivajo le tisti, ki so se casovno zgodili pred njim, in se to dovolj blizu, daje svetloba lahko pripotovala od enega do drugega. To je v skladu s teorijo relativnosti, kjerse informacije ne morejo siriti hitreje kot svetloba. V realnih eksperimentih EPR paradoksazato zahtevamo, da sta delca kavzalno locena, da delec B ne more “sporociti” rezultatanase meritve delcu A, preden uspemo izvesti meritev se na slednjem. Eksperimentalni pogojdovolj velike oddaljenosti, da sta sistema kavzalno nepovezana, lahko zapisemo z enacbo

L > c(|tA − tB|+ ∆t), (13)

Vasja Susic EPR paradoks 11(18)

kjer smo z L oznacili razdaljo med sistemoma, s c svetlobno hitrost, s tA in tB casa letovobeh sistemov (do trenutka zacetka obeh meritev), z ∆t pa trajanje meritve posameznegasistema.

Pomembno je lociti tri vrste eksperimentov, povezanih z EPR tematiko, ki demonstrirajorazlicne fenomene:

1. Kvantna prepletenost : z eksperimenti, za katere pravimo, da demonstrirajo kvantnoprepletenost, preverjamo prepletenost dveh sistemov — da z interakcijo med sistemomaA in B res pride do prepletenega stanja, ki ga lahko opisemo zgolj s skupno valovnofunkcijo. Eksperimentalno tu preverjamo korelacije med sistemoma A in B. Pri EPR–Bohmovemu eksperimentu bi tako na primer preverjali, ali je spin delca A res vednonasproten spinu delca B. Oba sistema sta kavzalno locena, da delec B ne more sporocitirezultata nase meritve delcu A: s tem preverjamo, da pride do kolapsa skupne valovnefunkcije po vsem prostoru hkrati. Pogosto recemo, da kvantna prepletenost kaze nanelokalnost, saj z meritvijo sistema B lahko v trenutku vplivamo na sistem A, cetudije ta na drugem koncu vesolja (“vplivanje na daljavo”). A ne smemo pozabiti, daizmerjene korelacije se vedno ne izkljucujejo moznosti, da sta bili merjeni kolicini obehsistemov v resnici ze ves cas doloceni (kvantna mehanika tega ne predvidi, zato ne bibila kompletna).

2. Merjenje EPR paradoksa: tako pravimo eksperimentom, ki z meritvami demonstrirajonekonsistentnost lokalnega realizma in kompletnosti kvantne mehanike, torejeksperimentalno demonstrirajo EPR paradoks. V seminarju se nismo opisali, kaksnemeritve bi bilo za tovrstno demonstracijo v praksi potrebno napraviti: to je predmetnaslednjih podrazdelkov. Uspesna izvedba eksperimenta z EPR paradoksom biimplicirala tudi kvantno prepletenost, saj brez slednje dolocanje kolicin A z merjenjempri B ni vec mozno (to pa je ravno osrednja ideja EPR). Demonstracija EPR paradoksatako da mocnejso trditev kot sama kvantna prepletenost, a jo je eksperimentalno tezjepreveriti.

3. Merjenje Bellovega teorema: ti eksperimenti skusajo dobiti zbirko meritev, ki krsiBellove neenacbe oziroma njihove posplositve (idejo Bellovega clanka lahko apliciramotudi na druge primere, ne samo na Bellovo stanje in merjenje spinov). KrsenjeBellovih neenacb bi zavrglo teorije s skritimi spremenljivkami, kar pa bi posrednodemonstriralo tudi EPR paradoks in kvantno prepletenost. Morebitni ugodnirezultati teh eksperimentov bi tako od vseh treh vrst imeli najvecje posledice, a seeksperimentalno izkaze, da je Bellove neenacbe tudi najtezje krsiti.

Na tem mestu bomo povzeli rezultate eksperimentov tipa 1 in 3. Za kvanto prepletenostje bilo leta 2008 doloceno, da ustrezne korelacije meritev sisemov A in B veljajo pri zelovelikih medsebojnih razdaljah, relativno glede na casovni razmak obeh meritev: morebitnisignal, ki bi ga sistem B poslal, bi moral potovati s faktorjem vsaj 104 svetlobne hitrosti [8].Eksperimenti, ki zelijo potrditi krsenje Bellovih neenacb, so sicer med najbolj popularnimi.Vecinoma opravljajo meritve na paru prepletenih fotonov, ki letita vsak v svojo smer.Najvecja eksperimentalna tezava so pri teh poskusih detektorji fotonov, ki posamezen fotonzaznajo le z verjetnostjo okoli 5%. Tovrstni eksperimenti zato za zdaj ne morejo ovreci vsehmoznih teorij s skritimi spremenljivkami, a so ze uspeli zavreci vecino najbolj zanimivih,zato vse kaze, da predpostavka lokalnega realizma ne velja ([3], str. 1732).

Vasja Susic EPR paradoks 12(18)

Preostanejo le se eksperimenti tipa 2, torej merjenje EPR paradoksa, ki si jih bomo vtem seminarju ogledali nekoliko podrobneje.

2.2 Eksperimentalni kriteriji za EPR paradoks

V tem podrazdelku si bomo ogledali predvsem primere, ko merimo zvezni spremenljivkix in p, torej zvezni EPR eksperiment (podrazdelek temelji na [3]). V miselnem poskusuimamo opravka z idealiziranim primerom, ko sta poziciji in gibalni kolicini delcev A in Beksaktno korelirani (z dolocitvijo kolicine delca A lahko eksaktno dolocimo to isto kolicinodelcu B). V praksi tega seveda ni mozno doseci, saj so nase meritve vedno obremenjene znapakami, poleg tega pa za dano stanje delca B v separabilnem skupnem stanju ni nujno, danajdemo delec A v lastnem stanju (izmerimo potem le eno od vec moznih lastnih vrednosti).Zato je potrebno razsiriti koncept lokalnega realizma na stohasticni primer, kjer elementirealnosti niso tocne vrednosti, ki bi jih izmerili z gotovostjo in ne da bi sistem zmotili,ampak verjetnostne porazdelitve: razlicne vrednosti pri merjenju pricakujemo z razlicnopogostostjo. S teoreticnega vidika so te porazdelitve seveda povsem dolocene s stanjemskupnega sistema, torej sledijo iz valovne funkcije. V primeru diskretnih spremenljivk bi teporazdelitve na primer imele ostre vrhove pri tocno dolocenih lastnih vrednostih. V praksipovsem eksaktna meritev porazdelitve seveda ni mozna, zato eksperimentalno pricakujemo,da se ostri vrhovi nekoliko razsirijo zaradi merskih napak.

Naj xA, xB, pA in pB oznacujejo izmerjene vrednosti ustreznih kolicin sistema A ali B,kot smo dolocili ze v razdelku 1.1. Recimo, da smo za delec B izmerili xB in iz tega sklepamo,kaj bi izmerili za xA pri A. To oceno, ki je seveda odvisna od izmerjene vrednosti pri B,oznacimo z xo

A(xB). Potem definiramo povprecno napako sklepanja o vrednosti xA za daneocene xo

A kot RMS (“root mean square”, koren povprecja odstopanj) ustrezne porazdelitve,tako da velja

δ2s(xA) =

∫ (xA − xo

A(xB))2

P (xA,xB) dxA dxB. (14)

Z δ2s smo oznacili varianco sklepanja kolicine za tem simbolom, s P (xA,xB) pa smo oznacili

verjetnostno gostoto, da stanje sistema A + B najdemo blizu vrednosti xA in xB. Kotnajboljsa ocena za xo

A pri dani izmerjeni vrednosti xB se izkaze pricakovana vrednost xA zapogojno verjetnostno porazdelitev P (xA|xB). Namrec pogojna varianca sklepanja, izrazenakot

δ2s(xA|xB) =

∫ (xA − xo

A(xB))2

P (xA|xB) dxA, (15)

se za xoA(xB) =

∫xAP (xA|xB) dxA spremeni v obicajno varianco δ2(xA|xB) pogojne

verjetnostne porazdelitve P (xA|xB). Kar se tice notacije, naj omenimo se, da pogojneporazdelitve zaznamujemo z |, kjer levo od te crte stojijo tekoce spremenljivke, desno patiste spremenljivke, katerih vrednosti smo fiksirali. Na primer P (xA|xB) pomeni verjetnostnoporazdelitev P (xA,xB), v kateri smo vrednost xB fiksirali, nato pa dobljeno funkcijo enespremenljivke se renormalizirali, da pri izbranem xB velja

∫P (xA|xB) dxA = 1. Nadalje

definiramo se minimalno varianco sklepanja, tako da za vsak xB vzamemo za xoA optimalne

Vasja Susic EPR paradoks 13(18)

ocene, in sicer pricakovane vrednosti ustrezne pogojne porazdelitve, ter pogojne varianceustrezno utezene sestejmo po vseh moznih rezultatih xB, torej

V xA|B =

∫δ2(xA|xB)P0(xB) dxB. (16)

Dogovorimo se, da bomo zaradi boljse preglednosti oznacevali porazdelitve, ki niso odvisneod spremenljivke xA, temvec zgolj od razlicnih moznosti za spremenljivko xB sistema B, zniclo v indeksu, torej s P0.

Za splosno varianco sklepanja velja δ2s(xA) ≥ V x

A|B, saj nismo nujno vzeli optimalnih ocenza xo

A. Kar smo do zdaj definirali za operator x, lahko analogno definiramo tudi za operatorp, ce v definicijah tega podrazdelka zamenjamo v vseh enacbah simbol x s simbolom p.

Zdaj pa predpostavimo lokalni realizem. Potem se za merjenjem kolicine xA “skriva”spremenljivka µx

A: to je tisti element realnosti, katerega vrednost doloci verjetnostnoporazdelitev meritev vrednosti xA (v nestohasticnem lokalnem realizmu bi ta elementrealnosti dolocil eno samo vrednost xA, ki bi jo pri dani vrednosti µx

A z gotovostjo izmerili).Analogno naj µp

A predstavlja element realnosti, ki doloca verjetnostno porazdelitev meritevkolicine pA. Po predpostavki realizma mora imeti delec A obe vrednosti µx

A in µpA

doloceni, cetudi ju z meritvami porazdelitev eksperimentalno ne moremo dolociti hkrati.Za “vrednosti” spremenljivke µx

A so primerne vrednosti xB, saj le–te prav tako podajajoverjetnostne porazdelitve za xA: s poznavanjem xB vemo porazdelitev meritev xA, zatopoznamo tudi vrednost µx

A (a zaradi lokalnosti z meritvijo xB ne vplivamo na vrednostµx

A). Zato je tudi verjetnostna porazdelitev primerov, da ima delec A vrednost µxA enaka

porazdelitvi rezultatov za xB — s tem argumentom dobimo P (xA|xB) = P (xA|µxA) ter

P0(xB) = P0(µxA). Ker ima sistem A hkrati dolocena oba elementa realnosti µx

A in µpA

(realizem), lahko govorimo o skupni verjetnostni porazdelitvi P (µxA,µ

pA), ki je odvisna od

obeh elementov (ta skupna porazdelitev je glavni razlog, zakaj smo vpeljali elemente µA).Omenimo se, da bomo po dogovoru bolj zavoljo preglednosti kot korektnosti oznacevali nanovo vpeljane verjetnostne porazdelitve, ki so odvisne od spremenljivk µx

A in/ali µpA, z vijugo

nad P -jem. Z zgoraj ugotovljenimi lastnostmi teh porazdelitev lahko zapisemo minimalnovarianco sklepanja s spremenljivko µx

A namesto z xB kot

V xA|B =

∫δ2(xA|µx

A)P0(µxA) dµx

A =

∫δ2(xA|µx

A)P0(µxA,µ

pA) dµx

A dµpA. (17)

V kvantni mehaniki je dobro poznan “Heisenbergov princip nedolocenosti”, oz.Heisenbergova neenacba: za operatorja A in B velja za poljubno stanje | Ψ〉 neenakost

δAδB ≥ 1

2|〈[A,B]〉|. (18)

V enacbi (18) smo oznacili pricakovane vrednosti operatorjev z 〈A〉 = 〈Ψ | A | Ψ〉, ter

“nedolocenosti” z δA =

√〈A2〉 − 〈A〉2. V primeru x = A in p = B bi dobili dobro znano

enacbo δxδp ≥ ~/2 oziroma δxδp ≥ 1, ce produkt “merimo v enotah ~/2”. Zdaj poleglokalnega realizma, ki omogoca uvedebo µx

A in µpA, predpostavimo se kompletnost kvantne

mehanike — situacijo z elementi realnosti µA lahko opisemo z valovnimi funkcijami. Potem

Vasja Susic EPR paradoks 14(18)

obicajna Heisenbergova neenacba δxAδpA ≥ 1 implicira neenacbo δ(xA|µxA)δ(pA|µp

A) ≥ 1, sajse v vsaki valovni funkciji skriva porazdelitveni opis s spremenljivkama µx

A in µpA, ki sta za

dano valovno funkcijo natanko doloceni. Potem po definiciji pricakovane vrednosti in pravkarizpeljani neenakosti sledi

|〈δ(xA|µxA)δ(pA|µp

A)〉|2 =∣∣∣ ∫

δ(xA|µxA)δ(pA|µp

A)P0(µxA,µ

pA) dµx

A dµpA

∣∣∣2, (19)

|〈δ(xA|µxA)δ(pA|µp

A)〉|2 ≥∣∣∣ ∫

1 · P0(µxA,µ

pA) dµx

A dµpA

∣∣∣2, (20)

|〈δ(xA|µxA)δ(pA|µp

A)〉|2 ≥ 1. (21)

Nadalje lahko upostevamo po vrsti Cauchy–Schwarzovo neenakost, zapis minimalne variancesklepanja v enacbi (17) skupaj z definicijo pricakovane vrednosti operatorja, ter moznoneoptimalno izbiro ocen xo

A, ter dobimo

1 ≤ 〈δ2(xA|µxA)〉〈δ2(pA|µp

A)〉 = V xA|BV

pA|B ≤ δ2

s(xA)δ2s(pA). (22)

Ob predpostavkah kompletnosti in lokalnega realizma smo torej dobili neenakostδs(xA)δs(pA) ≥ 1 (korenjena neenacba (22)). Ker smo to neenacbo izpeljali iz Heisenbergoveneenacbe, a velja za povrecne napake sklepanja, ji pravimo tudi Heisenbergova neenacbasklepanja. Morebitna eksperimentalna potrditev negacije te enacbe, torej zveze

δs(xA)δs(pA) < 1, (23)

bi demonstrirala EPR paradoks. Analogni postopek, kot smo ga v tem podrazdelku izvedli zakolicini x in p, bi lahko ponovili in izpeljali neenacbo za poljubni kolicini z nekomutirajocimaoperatorjema.

Ugotovili smo torej, da se splaca meriti pogojni verjetnosti P (xA|xB) ter P (pA|pB), takoda bi vedno pripravili enako stanje dveh delcev, nato pa pomerili kolicino delcu B in takojnato isto kolicino (kavzalno locenemu) delcu A, ter naredili statistiko meritev. Nato biz izracunom povprecnih napak iz izmerjene statistike po metodi RMS preverili, ali smozadostili kriteriju v enacbi (23). V praksi se izkaze, da merjenje pogojnih verjetnosti ninajbolj ugodno, zato se pogosto uporablja linearni kriterij

ε2 ≡ δ2(xA − gxB)δ2(pA + g′pB) < 1, (24)

ki ga je z nekoliko truda moc izpeljati iz kriterija v enacbi (23) ([3], str. 1734). Pritem kriteriju sta g,g′ ∈ R (poljubni), prednost je pa ta, da ni potrebno meriti pogojnihporazdelitev (ni vec napak sklepanja). Tu le pripravimo dano prepleteno stanje, opravimomeritev ustrezne linearne kombinacije, ter ta postopek ponavljamo in si belezimo statistiko.Seveda zahtevamo, da sta ustrezni meritvi delcev A in B (ki ju sestejemo/odstejemo) casovnodovolj blizu, da ne moreta biti kavzalno povezani.

Za konec razdelka navedimo se en kriterij. V enacbo (24) vstavimo g = g′ = 1, terupostevamo neenakost ab ≤ (a2+b2)/2 (kvadrirana neenakost med geometrijsko in kvadratno

Vasja Susic EPR paradoks 15(18)

sredino) za a = δ(xA − xB) in b = δ(pA + pB). Iz neenacbe δ2(xA − xB) + δ2(pA + pB) ≤ 2zaradi δ(xA − xB)δ(pA + pB) < (δ2(xA − xB) + δ2(pA + pB))/2 sledi neenacba (24) in s temposledicno tudi EPR paradoks. S simbolom D definiramo kolicino

D ≡(δ2(xA − xB) + δ2(pA + pB)

)/4. (25)

To je se posebej prakticen parameter, saj D < 1/2 demonstrira EPR paradoks (je zadostnipogoj zanj), za D < 1 pa se izkaze, da je to dovoljsnja korelacija za kvantno prepletenost([3], str. 1739), ki je manj strog kriterij od EPR paradoksa.

2.3 Eksperimenti in njihovi rezultati

V praksi se eksperimentalno preverja EPR paradoks s kriterijem v enacbi (24) ali (25),oziroma njunih analogov za situacijo z drugimi fizikalnimi kolicinami. Obicajno seeksperimentalno meri enega od naslednjih naborov kolicin:

(a) pozicijo in gibalno kolicino (zvezni EPR eksperiment),

(b) spin v razlicnih smereh (EPR–Bohmov eksperiment),

(c) polarizacije fotonov v dveh razlicnih smereh,

(d) razlicne fazne amplitude elektromagnetnega valovanja.

Kot zanimivost si bomo podrobneje ogledali eksperimentalno postavitev tipa (d), ker jele-ta najveckrat uporabljena v praksi (slika 5). Za medij, v katerem pripravimo prepleteno

stanje, uporabimo nelinearen kristal, tj. tak kristal, v katerem elektricna polarizacija ~P nilinearno odvisna od jakosti elektricnega polja ~E (v izrazu za ~P nastopajo poleg tenzorjadrugega reda tudi tenzorji visjih redov). Ce na ustrezen kristal svetimo z laserjem frekvenceωA +ωB, dobimo dve loceni polji s frekvencama ωA in ωB, ki sta prepleteni in se razsirjata izkristala v razlicnih smereh. Vsako od valovanj vodimo v detektor, ki uporablja homodinskiprincip merjenja, kar bomo zdaj opisali v par stavkih. V detektorju se nahaja interferometer,kjer valovanje sistema A interferira z valovanjem locenega vira s konstantno amplitudo (nasliki oznaceno z LOA), pri cemer imata obe valovanji frekvenco ωA. Polpropustno zrcalov interferometru je posrebreno tako, da sta odbiti in prepusceni del valovanja iz EPR viraenaki, za valovanji iz lokalnega oscilatorja pa pride do fazne razlike π. Na preostalih krakihinterferometra sta postavljeni fotodiodi, s katerima merimo vpadli energijski tok (oziromanjegovo casovno povprecje). Izkaze se, da je razlika tokov na obeh fotodiodah homodinskegadetektorja premo sorazmerna ustrezni fazni amplitudi valovanja iz EPR vira. Slednji pojempotrebuje dodatno pojasnilo. Lokalno polje v homodinskem detektorju ima lahko razlicnefaze θ glede na polje iz EPR vira. Za fazi θ = 0 in θ = π/2 definiramo po vrsti fazniamplitudi kot XA = a† + a in YA = i(a† − a), kjer je a bozonski operator polja iz EPR vira.Operatorja XA in YA bosta opazljivki nasega eksperimenta (res sta ta operatorja hermitska);zanju bi z izracunom komutatorja lahko iz neenacbe (18) izpeljali Heisenbergovo neenacboza ta konkretni primer, nato pa posledicno se kriterij podoben enacbi (24), kjer bi kolicina Xnastopala namesto x, Y pa namesto p. Prej smo omenili, da je razlika tokov na fotodiodahhomodinskega detektorja sorazmerna faznima amplitudama, torej kolicinama XA za θ = 0 in

Vasja Susic EPR paradoks 16(18)

Slika 5: Eksperiment tipa (d): merjenje faznih amplitud dveh elektromagnetnih polj, kismo ju med seboj prepletli. Za fazi lokalnih polj, ki sta pri posamezni izbiri na homodinskihdetektorjih (kvadratna okvircka) za A in B enaki, izberemo θ1 = 0 in θ2 = π/2. Vir: narisanopo [3], str. 1736.

YA za θ = π/2. Iz EPR vira torej izhajata dve polji, za kateri s homodinskima detektorjemaizmerimo njuni fazni amplitudi. Signal polja B nato pomnozimo z nekim realnim faktorjemg in ga pristejemo ali odsejemo signalu iz detektorja za polje A. Z merjenjem fluktuacijkombiniranega signala pri dveh razlicnih zamikih θ tako lahko preverjamo neenakost δ2(XA−gYA)δ2(XB + g′YB) < 1, in s tem EPR paradoks. Ker sta g in g′ poljubna, ju empiricnoizberemo tako, da so eksperimentalno fluktuacije cim manjse (da cimlazje dosezemo zelenoneenakost).

Za konec si oglejmo se rezultate eksperimentov, ki so skusali meriti EPR paradoks.Spomnimo se, da sta zadostna pogoja za demonstracijo paradoksa ε2 < 1 ali D < 0,5(enacbi (24) in (25)). Rezultati so prikazani na sliki 6, kjer so razvrsceni po letih izvedbe.Mnogi eksperimenti so ze dosegli obmocje EPR paradoksa; do zdaj je najboljsi dosezeneksperimentalni rezultat ε2 = 0,58. Vcasih je mozno napraviti oceno ε2 tudi iz meritev, kine merijo direktno povprecnih odklonov porazdelitev; te ocene obicajno vsebujejo dodatnepredpostavke, zato so manj zanesljive kot direktne meritve. Najnizja ocenjena vrednost zatovrstne eksperimente je ε2 = 0,42. Na sliki so ocenjeni rezultati oznaceni s kolobarji namestos polnimi krogi.

Iz prikazanih rezultatov lahko zakljucimo, da je bil EPR paradoks tudi eksperimentalnodemonstriran, ker rezultati poskusov ovrzejo kompletno realisticno teorijo kvantne mehanike.

Vasja Susic EPR paradoks 17(18)

Slika 6: Zgodovina EPR eksperimentov: eksperimenti, kjer so dolocili ε2 (zgoraj) in D(spodaj). Zadostni pogoj za EPR paradoks je ε2 < 1 in D < 0,5, tip posameznegaeksperimenta pa oznacuje barva. S kolobarjem so oznaceni eksperimenti, kjer so le ocenilivrednost na podlagi dodatnih predpostavk. Vir: narisano po [3], str. 1747.

Zakljucek

EPR paradoks se je skupaj s kvantno prepletenostjo izkazal kot ena pomembnejsih tem prirazumevanju kvantne mehanike, se posebej njenih neklasicnih napovedi. Eksperimentalnipodatki kazejo, da inherentna nezduzljivost kvantne mehanike kot kompletne teorije inlokalnega realizma dejansko obstaja. Ceprav se eksperimentalno paradoks pogosto preverjas krsenjem Bellovh neenacb, so direktni EPR eksperimenti kljub temu pomembni, saj je vpraksi demonstracija krsitev Bellovih neenacb bistveno tezja.

Fenomena nelokalnosti in kvantne prepletenosti, katerih izvor lahko izsledimo prav v serijiclankov povezanih z EPR paradoksom, sta gonilo mnogih predlogov tehnolosih aplikacij.Podrocje kvantne kriptografije je na primer pogojeno z razumevanjem omenjenih konceptov.Kot eksperimentalni izziv za same EPR eksperimente pa se v prihodnosti kaze zanimanjeza kavzalno cimbolj locene sisteme, ter merjenje prepletenih stanj z objekti, ki bi se blizalimakroskopski skali.

Vasja Susic EPR paradoks 18(18)

Literatura

[1] A. Einstein, B. Podolsky in N. Rosen, Phys. Rev. 47, 777 (1935).Dostopno na: http://prola.aps.org/pdf/PR/v47/i10/p777 1 (3. 2. 2010).

[2] E. Schrodinger, Naturwiss. 23, 807 (1935).E. Schrodinger, Proc. Cambridge Philos. Soc. 31, 555 (1935).E. Schrodinger, Proc. Cambridge Philos. Soc. 32, 446 (1936).Prevod vseh treh dostopen na: http://www.tu-harburg.de/rzt/rzt/it/QM/cat.html(10. 2. 2010).

[3] M. D. Reid et al., Rev. Mod. Phys 81, 1727 (2009).

[4] [slika] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/78/Einstein1921 by F Schmutzer 4.jpg (3. 2. 2010).

[5] [slika] http://www.xavier.edu/physics/images/podolsky.jpg (3. 2. 2010).

[6] [slika] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/d/d7/NathanRosen.jpg

(3. 2. 2010).

[7] J. S. Bell, Physics (Long Island City, N.Y.) 1, 195 (1964).

[8] D. Salart et al., Nature 454, 861 (2008).Dostopno tudi na: http://arxiv.org/abs/0808.3316v1 (10. 2. 2010)