SEMIARUL 11Valori si vectori proprii.

1. (a) Sa se determine valorile si vectorii proprii ai matricilor: 2 1 10 1 00 1 1

, 3 0 01 2 0

2 0 1

, 0 0 10 1 0

1 0 0

(b) Sa se verifice ca este valoare proprie a matricei 1 1 01 1 2

0 5 1

si sa se determine subspatiul caracteristic corespunzator.

(c) Sa se determine valorile si vectorii proprii pentru endomorfismul

f : R3 R3, f(x, y, z) = (x, y, 0).2. Fie f EndR(R3) cu matricea asociata

[f] =

2 2 15 3 31 0 2

(a) Sa se determine valorile proprii reale si vectorii proprii corespunzatori.

(b) Sa se arate ca x = (2, 2,2) este vector propriu si sa se determine f(x).

3. Se considera aplicatiile R - liniare f1 : R3 R3 si f2 : R4 R4,f1(x, y, z) = (x,y x, y x z),

f2(x, y, z, t) = (x+ y+ z+ t, 2y z t, y+ 2z+ t, x+ 3t).

Pentru ambele aplicatii determinati valorile proprii, si pletru toti Spec(f) sa determined, m si cate un sistem de generatori pentru V.

4. Fie f EndR(R3) cu matricea

a)

3 1 04 1 04 8 2

, b) 1 3 13 5 1

3 3 1

, c) 6 5 33 2 2

2 2 0

Sa se determine valorile si vectorii proprii corespunzatori. Este f diagonalizabil?

5. Fie f, g EndR(R4) cu matricile

[f] =

0 0 0 10 0 1 00 1 0 0

, [g] =

1 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

.(a) Sa se determine valorile si vectorii proprii.

(b) Sa se diagonalizeze f si g.

1

6. Fie matricea

A =

1 0 30 1 03 0 1

(a) Sa se determine valorile si vectorii proprii ai lui A.

(b) Sa se diagonalizeze matricea A.

2