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Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt

27.01.2009 1Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost

Einleitung Definitionen

Maximaler Dynamischer Fluss – Algorithmusvon Ford-Fulkerson

Techniken zur Lösung dynamischer FlussProbleme

Ausblick Anwendung: Evakuierung

27.01.2009Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost 2

Bisherige Netzwerkflussprobleme

Netzwerk =

▪ Gerichteter Graph G = (V,E)

▪

▪ Quelle s und Senke t,

▪


Fluss :f V V

G, c, s, t

Kapazitätsfunktion c :V V ,s V t V

Beispiel aus dem „Cormen“

Zeitliche Komponente wird nicht beachtet! Wenig realistisch für viele Anwendungen



,

, lg

,

,

lg

lg ,

, lg

9

7

5

5

8

6

...

Definiere Transit-Zeiten

Vancouver Edmonton

Vancouver Ca ary

Edmonton

Edmonton Saskatoon

Ca ary

Ca ary Edmonton

Saskatoon Ca ary

Dynamische Netzwerkflüsse besitzenzeitliche Komponente

Netzwerk =

▪

▪

Restliche Komponenten des Netzwerks sindgleich


G, c, s, t,

:Zeit Funktion V V

:Fluss f V V Zeit

Einheit, die zum Zeitpunkt von y nach z ge-schickt wird, erreicht z zum Zeitpunkt


, : ( ) ( )yz zy yzyz E t f t f t

t

yzt

a b

(0) 1, (0) 0baabf f

0T3ab

a b

(3) 0, (3) 1ab baf f

3T3ab

Menge an Fluss im Netzwerk bleibt erhalten

Fluss an einem Knotens:

Gesamtfluss ist Fluss in die Senke innerhalbder Zeit T:


=0

\{ , }: ( ) 0T

t zy

Vzy V s t f t

=0

| ( ) | ( )y

T

t zz

Vyf T f t

| ( ) | | ( ) |tf T f T

Die Kapazitätsfunktion bezieht sich auf jedeneinzelnen Zeitschritt

Wir benutzen keinen “Holdover-Flow” [Speicherung von Fluss an Knoten]


a b

(0) 1abf

0T1, 3ab abc

a b

(1) 1abf

1T1, 3ab abc

Fluss Fluss

Transport von Gütern

Steigerung der Effizienz

Senkung der Kosten

Evakuierungsberechnungen

Erstellen von Evakuierungsplänen

Optimierung von Gebäudearchitektur

Finden von “Bottlenecks” bei Evakuierungen


Algorithmus von Ford-Fulkerson [1]


Idee des AlgorithmusEine beispielhafte DurchführungBeweis

Ford-Fulkerson im statischen Netzwerk Solange es einen augmentierenden Weg von s nach t im

Restgraphen gibtAugmentiere f um diesen Weg

Ford-Fulkerson im dynamischen Netzwerk Jeder Knoten besitzt einen zeitlichen Zustand

Für jeden Zeitpunkt T werden maximale statischeFlüsse im Restnetz berechnet

Es werden im Restnetz nur Kanten betrachtet, die “zeitlich zulässig” sind

Berechnung einzelner Flüsse, die zeitlich wiederholtwerden


Knoten (0..n) sind nummeriert

Knoten 0 entspricht der Quelle und n der Senke

Zeitlicher Zustand von Knoten i: Statischer Fluss im Netz: Kapazität der Kanten: Menge an Zerlegungen des Flusses in Wege

von Quelle zur Senke:


0i

,{ }i jx

,i jc

, , ,Kante ist zulässig i j i j j i i jij x c


,{ }

initialisiere alle mit

solange

solange augmentierender Pfad existiert

v augmentierender Pfad (*)

augmentiere Fluss gemäß v

für alle von der Quelle nicht erreichte

i

n

i j

T

x

0

n Knoten i

++

Berechne Zerlegung des Flusses (Chain-Decomposition)

i

Routine I a)

Routine II

Routine I b)

(*) = betrachte zusätzlich nur zeitlich zulässige Kanten im Restnetzwerk

Nach Beendigung der Routine I liegtstatischer Fluss vor

Routine II zerlegt diesen Fluss in Wege von der Quelle zur Senke, so dass diese den gesamten Fluss ergeben


,{ }i jx

,

, ,

0

0

solange Weg P von nach n mit Fluss h existiert

wobei für alle enthaltenen Kanten gilt

i j

i j i j

ij x h

P

x x h


, ,

, , ,

Inv a)

Inv b)

0j i i j i j

j i i j i j i j

x

x c

, ,max(0, )t t t

i j j i i j

über P(i), 0 , sei ein Pfad von 0 nach ni k

Hochgestelltes t bedeutet “Zustand” nach täußeren Schleifendurchläufen, insbesondere:

, ,max(0, )i j j i i j


1

( ), ( 1)0 ( ( ),) ( 1) ( 1, )

I) Pfade P von Quelle zur Senke, über die Fluss fließt, gilt:

( ) : 0tk t

P i P ii P i P Pi P m mt m

, , , , , , ,II) Sei der Wert des Flusses { }: ·i i j i j i j ij j i j i jv x tv x c

1

, ,,

III) | ( ) | · und | ( ) | ist maximalT

i j i ji j

f T c f T

*Beweis siehe Tafel bzw. [1]


,

, ,,

,

,0

,

0

Knoten:

Kanten: mit

Superquelle / Supersenke

i j

tt i j

t

tt

i ji j

i j

i t T

i j c c

t T

Äußere Schleife von Routine I wird genau T+1

oft durchgeführt, da in Routine I b) beijeder Durchführung um 1 inkrementiert wird

Augmentierende Pfade werden beliebigausgewählt, es können maximal integraleaugmentierende Pfade gefunden werden

Zusätzlich wird in jedem äußeren Durchlaufeinmal kein augmentierender Pfad gefundenwerden


n

(| || | | | )O E f E T

| |f

Routine I liefert einen statischenNetzwerkfluss

Routine II berechnet für diesen statischenFluss eine Zerlegung in einzelne Pfade

Diese Zerlegung entspricht dem Finden der augmentierenden Pfade im statischen Netz


(| || |)O E f

“Dynamischer” Ford-Fulkerson: Mit Edmonds-Karp:

Im Expanded-Netzwerk mit statischem Ford-Fulkerson

Im Expanded-Netzwerk mit Edmonds-Karp


(| || | | | )O E f E T2(| | | | | | )O E V E T

(| || | )O E f T

2 3(| | | | )O E V T

Gemäß II) und III) gilt

Maximaler Fluss in einem dynamischenNetzwerk entspricht einem “Minimum-Cost Circulation” im erweiterten Netzwerk, wobeiKosten der Zeit entsprechen

erweitertes Netzwerk ist Netzwerk mit Kante


, , ,| ( ) | · ·i j i j i jt xf t v

,0 ,00 ( 1) mit und nnn T c

“Time-Expanded Networks”

Grundlage für Lösung des maximalenFlussproblems in dynamischen Netzwerkenmittels “Minimum-Cost Circulation”

kann in streng polynomieller Zeit bestimmtwerden

(Standard-)Chain-Decomposable Flows


Möglichkeit der Reduktion dynamischerNetzwerkflussprobleme auf statische Probleme

Laufzeit und Platzbedarf nehmen polynomiellzu

Viele dynamische Probleme werden über Time-Expanded Networks gelöst


Ford-Fulkerson haben Zerlegung von dynamischen Flüssen eingeführt

Dabei werden nur Pfade entlang der Flussrichtung betrachtet

Verallgemeinerung: Fluss wird entgegen der eigentlichen zeitlichen Richtung zugelassen





mehrere Quellen und mehrere Senken jede Quelle hat bestimmtes Angebot an Fluss Ziel: Sende den gesamten Fluss in minimaler

Zeit durch das Netzwerk

Modelliert Evakuierungssituation

Hoppe: erster polynomieller Algorithmusmittels Chain-Decomposable Flows


maximiert für jeden Zeitschritt den eingehenden Fluss in die Quellen



Beispiel-Berechnungen von Nadine Baumann

[1] Ford, L.R. and Fulkerson, D.R., Constructing maximal dynamic flows from static flows. Operations Research. v6. 419-433

[2] Ford, L.R. and Fulkerson, D.R., Flows in Networks. 1962. Princeton University Press, Princeton, NJ

[3] R. K. Ahuja, T. L. Magnanti, and J. B. Orlin. Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications. Prentice Hall, NJ, 1993

[4] Bruce Edward Hoppe, Efficient dynamic network flow algorithms, Cornell University, Ithaca, NY, 1996

[5] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, and C. Stein. Introduction to Algorithms. 2nd edition, McGraw-Hill Book Company, Boston, MA, 2001

[6] Nadine Baumann, Evacuation by Earliest Arrival Flows, UniversitätPotsdam, 2007


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