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Sergio Andrés Zabala Vargas Ingeniero Electrónico UIS – Director Grupo GPS
““LLoo mmaarraavviilllloossoo ddee aapprreennddeerr aallggoo,, eess qquuee nnaaddiiee ppuueeddee aarrrreebbaattáárrnnoosslloo””
BB.. BB.. KKIINNGG
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INTRODUCCIÓN
La teoría de los filtros es una de las áreas más importantes y mas usada en Electrónica desde los orígenes, esto se debe a la necesidad de poder controlar y limitar las señales eléctricas en el dominio de la frecuencia, para que un sistema responda de diferente manera para señales de una frecuencia o de otra.
Debido a las características de los op-amp, estos se utilizan mucho en el diseño de filtros activos. Actualmente una de las áreas de investigación mas importante es la de el diseño de filtros activos que características muy especiales para un gran número de Aplicaciones, de aquí la importancia de empezar a introducirse en esta área.
El diseño de filtros es una de las pocas áreas de la ingeniería para las cuales existen toda una teoría de diseño, que se inicia desde el diseño y la especificación; y termina en la construcción del circuito.
La tecnología más antigua para diseño e implementación de filtros hace uso de inductores y condensadores, y los circuitos resultantes se llaman filtros pasivos. Estos aplican o funcionan bien a altas frecuencias, pero en aplicaciones de baja frecuencia [0 -10kHz] se requieren de bobinas grandes, alejándose de la idealidad esperada.
Existen también los filtros activos, los cuales utilizan básicamente amplificadores operacionales y elementos pasivos para llevar a cabo sus funciones básicas.
En este curso se hará una rápida revisión de las técnicas de diseño de filtros analógicos, pero buscando su implementación de manera digital recurriendo a alguna técnica de digitalización. Además se realiza la implementación de estrategias de diseño digital básico, como enventanado o filtros óptimos.
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1. ASPECTOS TEÓRICOS
1.1 Conceptos básicos
Los filtros que se van a estudiar son circuitos lineales que se pueden representar con la red general de dos puertos que se muestra en la figura 1.
Figura 1: Filtros como red de dos puertos
La función de transferencia de filtro T(s) en la relación existente entre el voltaje de salida Vo(s) y el voltaje de entrada Vi(s):
La función de transmisión de filtro (filtración sin atenuación por filtrado) se encuentra al evaluar T(s) para frecuencias físicas, s=jw, y se puede expresar en términos de su magnitud de la función de ganancia
Es común que la magnitud de transmisión se exprese en decibeles en términos de la función de ganancia
O bien, alternativamente, en términos de la función de atenuación
Un filtro da forma al espectro de frecuencia de la señal de entrada, Vi(jw) , según la magnitud de la función de transferencia T( jw) , evitando así Vo(jw) con un espectro:
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Del mismo modo, las curvas características de la señal se modifican a medida que pasa
por el filtro según la función de fase del filtro.
Para el caso del curso, el interés se centra específicamente en filtros que realizan una función de selección de frecuencia: pasan señales cuyo espectro de frecuencia está dentro de una banda especificada, y detienen señales cuyo espectro de frecuencia cae fuera de esta banda. Estos filtros tienen idealmente una banda (o bandas) de frecuencia sobre las cuales la magnitud de transmisión es unitaria (la banda pasante del filtro) y una banda (o bandas) de frecuencia sobre las cuales la magnitud de transmisión es cero (la banda suprimida del filtro). En la figura 2 se muestran las curvas características ideales de los de los cuatro tipos de filtros: de paso bajo(LP) en la figura 2(a), de paso alto (HP) en la figura 2(b), la banda pasante (BP) en la figura 2(c), y eliminador (BS) o de supresión de banda en la figura 2(d). Cabe resaltar que estos filtros tienen características ideales y no son realizables físicamente.
Figura 2: Ejemplos de magnitud de filtros ideales1
Dependiendo de la aplicación, A máx oscila típicamente de 0.05 a 3 dB. Del mismo Como la transmisión de un circuito físico no puede cambiar abruptamente en el borde de la banda pasante, las especificaciones de la figura 3 dan una banda de frecuencias sobre las cuales la atenuación aumenta de cerca de 0 dB a A min.
La banda de transmisión se extiende desde el borde de la banda pasante wp al borde de la banda suprimida ws. La razón w s/wp suele utilizarse como medida de la precisión de la respuesta del filtro de paso bajo y recibe el nombre de factor de selectividad.
Finalmente, observemos que por comodidad la modo, como un circuito físico no puede dar transmisión cero a todas las frecuencias de banda suprimida, las especificaciones
1 Tomado de A. Sedra, K. Smith, Circuitos Microelectrónicas, Editorial Oxford, España , 1998
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de la figura 3 toman en cuenta alguna transmisión sobre la banda suprimida, pero las especificaciones requieren que las señales de banda suprimida sean atenuadas en cuanto menos A min (dB) con respecto a las señales de banda pasante.
Dependiendo de la aplicación del filtro, A min puede variar de 20 a 100 dB. La transmisión de banda pasante se especifica que es de 0 dB. Al filtro final, sin embargo, se le puede dar una ganancia de banda pasante, si se desea, sin cambiar sus curvas características de selectividad.
Figura 3: Especificaciones reales de filtros digitales
1.2 Comentarios generales de diseño
Para resumir, la transmisión de un filtro de paso bajo se especifica por cuatro parámetros:
1. el borde de banda pasante, wp.
2. la máxima variación permitida en transmisión de banda pasante, Amin
3. el borde de banda suprimida, ws
4. la atenuación mínima de banda suprimida requerida, A min
Cuanto más estrecha sean las especificaciones de un filtro, es decir, menor A max más alta A min y/o una razón de selectividad w s/wp más ceca de la unidad, la respuesta del filtro resultante será más cercana a la ideal. El circuito resultante, sin embardo, debe ser del orden más alto y por lo tanto más complejo y costoso.
Además de especificar la magnitud de transmisión, hay aplicaciones en las que la respuesta del filtro en fase también es de interés. El problema del diseño de un filtro es considerablemente complicado cuando se especifican magnitud y fase.
Una vez que se haya tomado la decisión sobre las especificaciones del filtro, el siguiente paso en el diseño es hallar una función de transferencia cuya magnitud satisfaga las especificaciones. Para satisfacer esta especificación, la curva de respuesta en magnitud debe encontrarse en el área no sombreada de la figura 3.
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La curva que se muestra en la figura es para un filtro que apenas satisface especificaciones. Observe que, para este filtro en particular, la respuesta en magnitud hace rizos en toda la banda pasante con los picos de rizo siendo todos iguales.
Como el rizo de pico es igual a A máx se acostumbra a dar a A máx el nombre de rizo de banda pasante y a wp el de ancho de banda de rizo. La respuesta del rizo en particular mostró rizos también en la banda suprimida, otra vez con los picos de rizo todos iguales y de un valor tal que la atenuación mínima de banda suprimida alcanzada es igual al valor especificado, Amín. Entonces se dice que esta respuesta en particular es de igual rizo tanto en la banda pasante como en la banda suprimida.
El proceso de obtener una función de transferencia que satisfaga especificaciones dadas se conoce como aproximación de filtro. Esta aproximación de filtro suele realizarse mediante el uso de programas de cómputo.
En casos sencillos, una aproximación de filtro se puede realizar usando expresiones de forma cerrada. Finalmente en la figura 4 muestra especificaciones de transmisión para un filtro de banda pasante y la respuesta de un filtro que satisface estas especificaciones. Para este ejemplo hemos escogido una función de aproximación que no hace rizo en la banda pasante sino que, más bien, la desviación decrece monótonamente en ambos lados de la frecuencia central, alcanzado la máxima desviación permisible en los dos bordes de la banda pasante.
Figura 4: Especificaciones de diseño para un filtro de banda pasante
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2. DISEÑO CON TÉCNICAS CLÁSICAS
En esta sección se presenta una síntesis del diseño de filtros analógicos, tanto estructuras básicas de primer con operacionales, así como las técnicas clásicas de diseño Butterworth, Chebishev y elípticos. 2.1 Diseño filtros pasivos y activos analógicos -IIR Los filtros pasivos utilizan solamente elementos como resistencias, capacitancías y bobinas, los cuales no están en capacidad de amplificar las señales. En el caso de los activos se cuenta con operacionales que permiten, además de filtras, generar ganancias en la señal de salida.
Analicemos el siguiente caso de un filtro de paso bajo, tanto en el caso pasivo como en el caso activo. En la figura 5 se muestran los circuitos para ambos casos
Figura 5: Filtro paso bajo de primer orden pasivo y activo
La función de transferencia que rige el anterior filtro es:
Esta función esta compuesta por un polo ubicado en la frecuencia wo y por una ganancia a DC igual a a0/w0.
Ahora bien, la información completa para el diseño de estos filtros se presenta en las Tablas 1 y 2. Considero que analizar dichas tablas es lo bastante sencillo para comprender el diseño de estos filtros y no es necesario detenerse en más análisis matemático ni analítico.
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Tabla 1: Filtros de orden uno2
2 Tomado de A. Sedra, K. Smith, Circuitos Microelectrónicas, Editorial Oxford, España , 1998
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Continuación Tabla 1: Filtros de orden uno
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Tabla 2: Filtros de orden dos
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Continuación Tabla 2: Filtros de orden dos
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Continuación Tabla 2: Filtros de orden dos
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2.2 Diseño Butterworth En la figura 5 se ilustra una curva de la respuesta en magnitud de un filtro Butterworth. Este
filtro exhibe una transmisión que decrece en forma monótona con todos los ceros de
transmisión en w = ∞, haciendo un filtro para todo polo. La función de magnitud para un
filtro Butterworth de n-ésimo orden con un borde de banda pasante wp está dado por.
A w= wp,
Figura 6: Respuesta en magnitud de un filtro Butterworth
Entonces el parámetro determina la máxima variación en transmisión de banda pasante,
A máx según
Por el contrario, dada A máx, el valor de se puede determinar con:
Observe que en la respuesta de Butterworth, la máxima desviación en la transmisión de
banda pasante (desde el valor ideal unitario) ocurre sólo en el borde de banda pasante. Se
puede demostrar que las primeras derivadas 2N-1 de T en relación con w=0. Esta propiedad
hace la respuesta del filtro Butterworth muy plena cerca de w=0 y da a la respuesta el
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nombre de respuesta máximamente plana. El grado de planeidad de la banda pasante
aumenta a medida que aumenta el orden N, como se puede ver en la figura 6. Esta figura
también indica que, como es de esperarse, a medida que el orden N aumenta, la respuesta
del filtro se aproxima a la respuesta del tipo ideal.
En el borde de banda suprimida, w=ws, la atenuación del filtro Butterworth esta dada por:
Esta ecuación se puede utilizar para determinar el orden requerido de filtro, que es el
mínimo valor de entero de N que produce A(ws) ≥ A min.
La siguiente figura ilustra la respuesta del filtro Butterworth con diferentes valores de orden
N.
Figura 7: Respuesta del filtro Butterworth con diferentes valores de orden N.
2.3 Diseño Chebyshev
En los filtros de chebyshev lo que ocurre es que consiguen una caída de la respuesta en
frecuencia más pronunciada en frecuencias bajas debido a que permiten más rizado que
otros filtros en alguna de sus bandas. Se conocen dos tipos de filtros de chevyshev los
cuales son:
Filtros de Chevyshev de tipo I
Son filtros que únicamente tienen polos, presentan un rizado constante en la banda pasante
y presentan una caída monotónica en la banda no pasante.
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la respuesta en frecuencia es:
para [11]
donde N es el orden del filtro, Ωc es la frecuencia de corte, Ω es la frecuencia analógica
compleja (Ω=j w) y TN(x) es el polinomio de Chebishev de orden N, que se define como:
Que pueden escribirse de forma recursiva como con
T0(x) = 1 y T1(x) = x
En estos filtros la frecuencia de corte no depende de N y el módulo de su respuesta en
frecuencia oscila (rizado) entre 1 y .
Filtros de Chebishev de tipo II
Estos filtros a diferencia de los Chebishev I presentan ceros y polos, su rizado es constante
en la banda no pasante y además presentan una caída monotónica en la banda pasante.
Su respuesta en frecuencia es:
para [12]
En un diagrama de circunferencia unidad, los polos estarían en una elipse y los ceros sobre
el eje imaginario.
En la figura 8 se ilustran funciones de transmisión representativas para filtros Chebyshev de
ordenes par e impar. El filtro Chebyshev exhibe una respuesta igualmente ondulada en la
banda pasante y una transmisión monótonamente decreciente en la banda suprimida.
Mientras que el filtro de orden impar tiene T(0) =1, el filtro de orden par exhibe su máxima
desviación de magnitud en w=0. En ambos casos, el número total de máximos y mínimos de
banda pasante es igual al orden del filtro, N. Todos los ceros de transmisión del filtro
Chebyshev están en w = ∞ , haciéndolo un filtro para todo polo.
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Figura 8: Respuesta del filtro Chebyshev de paso bajo
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3. DISEÑO FILTROS DIGITALES BASADOS EN FILTROS ANALÓGICOS-IRR
Existen básicamente dos tipos de técnicas para la conversión de filtros analógicos, la
invarianza al impulso y la transformación bilineal. Para el caso del curso revisaremos los dos
conceptos, pero realizando un mayor énfasis en la transformación bilineal como estrategia
de diseño, ya que es la utilizada por la herramienta FDATOOL de MATLAB.
3.1 Invarianza al impulso
En esta técnica se espera realizar un muestreo de la respuesta al impulso continua hc(t), con
el fin de lograr determinar una traza discreta que permita diseñar el filtro digital. La ecuación
a utilizar es la siguiente
[13]
Al realizar el procedimiento de muestreo se obtiene, como es bien sabido, replicas del
espectro original. Esto se evidencia en la siguiente ecuación:
[14]
El resultado del proceso realizado es entonces el siguiente:
Figura 9: Invarianza al impulso
La ecuación fundamental para llevar a cabo el proceso de invarianza es la siguiente:
[15]
Se observa que es una técnica aplicable solamente a diseño de filtros paso-bajo, pues tiene
el problema del solapamiento.
Es necesario recordar que existe un cambio en el rango de frecuencias discreta y continua
que se basa en el teorema de muestreo. El resultado es:
18
[16]
Ejemplo: Se plantea diseñar un filtro de paso bajo Butterworth de paso bajo con al técnica
de invarianza al impulso, que permita obtener el siguiente resultado:
Si se asume un T=1 y revisando la ecuación 15, se tiene que la frecuencia discreta y la
frecuencia continua son iguales.
Se realiza entonces el diseño analógico del filtro:
Donde se debe cumplir que:
Entonces:
Resolviendo las siguientes ecuaciones se obtiene:
N=5.8858 y Ωc=0.70474. Como N debe ser un parámetro entero, se realiza el procedimiento
de obtener la disposición de polos del filtro Butterworth como se muestra en la siguiente
figura:
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Figura 10: Disposición de polos para el ejemplo.
El resultado entonces será:
Figura 11: Curva de magnitud del proceso de filtrado.
Al realizar el proceso de muestro se obtiene entonces(aplicar la ecuación 15):
3.2 Transformación bilineal
La intención en la estrategia de transformación bilineal es convertir o llevar del plano S los
filtros analógicos al plano Z de los equivalentes discretos o digitales.
La ecuación utilizada para llevar a cabo dicha transformación es la siguiente:
20
[16]
Con un trabajo matemático relativamente simple se obtienen los siguiente resultados:
[17]
[18]
En este caso se observa como se modifica el plano de las frecuencias, recibiendo una
alteración o transformación ligada a una función tangente. En la figura 7 se observa dicho
resultado:
Figura 12: Cambio de eje continúo a eje discreto
Ejemplo: Realizar un filtro digital por Transformación bilineal, basado en el mismo problema
resuelto en el caso anterior.
Se requiere entonces:
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Asumiendo nuevamente T=1, se obtiene que:
La ecuación que rige el filtro Butterworth es:
Por lo tanto se plantea:
De lo anterior se obtiene N y la frecuencia de corte
Con este resultado se puede concluir que la ecuación continua es:
Realizando la transformación bilineal con la formula 16 se tiene entocnes:
Es importante observar la aparición de ceros en la función de transferencia, los cuales no
aparecen en la versión analógica.
El resultado del filtro realizado en fdatool se muestra a continuación:
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Figura 13: Modelo K-polos y ceros
EJERCICIOS ASOCIADOS:
1-) Realizar el mismo diseño anterior recurriendo a filtros Chebyshev tipo I, tipo II y eliptico.
Analizar orden del sistema, respuesta en frecuencia, características de banda de paso y
banda de transición, oscilaciones en la respuesta, etc
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4. DISEÑO FILTROS DIGITALES FIR –CONCEPTOS BÁSICOS
La estrategia mas utilizada en el diseño de filtros digitales es el diseño de filtros FIR. Estos
tienen la particularidad de ser siempre estables, y según se determine su respuesta al
impulso pueden ser o no causales.
Es necesario recordar un par de características de los sistemas en el dominio de la
transformada Z y son las propiedades de causalidad y estabilidad.
1-) El sistema es causal si la región de convergencia de la función H(z) contiene al infinito.
2-) El sistema es estable si la región de convergencia de la función H(z) contiene a la
circunferencia de radio 1.
Uniendo las dos definiciones anteriores, es posible concluir que si se desea un sistema causal
y estable, H(z) debe contener todos sus polos en la circunferencia de radio 1.
4.1 Concepto de retardo de grupo y distorsión de fase
En el diseño de filtros muchas veces solo se considera la magnitud de la respuesta en
frecuencia denotada como |H(z)|, pero existen gran cantidad de casos donde el ángulo o
fase de dicha función es importante.
Es importante definir que de un sistema LIT de la forma:
[17]
[18a y 18b]
Donde la ecuación [18.b] presenta la fase de la señal de salida.
Sin entrar en detalles matemáticos fuertes, se define una figura de merito o relación
importante conocida como Retardo de grupo, el cual se definira simplemente como se
muestra en la siguiente ecuación
[19]
Esta ecuación indica que el retardo de grupo se obtiene derivando la fase de la respuesta en
frecuencia del sistema y multiplicando dicho resultado por un signo menos.
Ejemplo3:
Las siguiente figuras muestran el comportamiento de un sistema, donde la entrada tiene tres
pulsos consecutivos ubicados en frecuencia w=0.85pi, 0.25pi y 0.5pi.
3 Tomado de Oppenheim. Procesamiento de señales en tiempo discreto.
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La respuesta al impulso del filtro de paso bajo atenúa considerablemente la frecuencia
w=0.85pi, el pulso de esa frecuencia no aparece claramente a la salida. Se observa un
retardo de grupo de 200 muestras para una frecuencia y 50 muestras para la otra
frecuencia.
4.2 Sistemas inversos
Este es un concepto bastante sencillo, pero bastante útil. Si se define un sistema H(z), su
sistema inverso es igual a 1/H(z).
El siguiente ejemplo permite ilustrar el cálculo de un sistema inverso
Sea H(z) la siguiente función:
Con región de convergencia ROC z>0.9
Entonces el sistema inverso es igual a:
ROC z>0.5
4.3 Relación entre el módulo y fase –Sistema de fase cero
La respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante con el tiempo tiene una
particularidad bastante interesante que relaciona el módulo y la fase. Si se conoce la
magnitud del sistema existe un número finito de opciones para la fase y si se conoce la fase
existe un numero mínimo de opciones para la magnitud.
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Por otra parte, si se aplica la restricción de fase mínima, el módulo de la respuesta en
frecuencia determina de forma única la fase.
Se define el sistema:
C(z)=H(z)H(1/z*) [20]
Donde H(z) se presenta de la siguiente forma:
[21]
Es fácil verificar que este sistema cuenta con la característica de ser de Fase cero.
Ejemplo: Evaluar la función C(z) de los siguiente sistemas:
Determinando C(z) se observa que en ambos casos se obtiene el mismo resultado:
Los sistemas originales son:
Figura 14 : H1(z) y H2(z)
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Figura 15 : C(z) para ambos casos
En conclusión, por cada polo que existe en H(z) existe un polo en el reciproco conjugado. Lo
mismo ocurre con los ceros.
4.4 Sistema pasa todo
Para este sistema se cuenta con la siguiente ecuación:
Estos sistemas tiene la particularidad de contar con un retardo de grupo siempre positivo.
Para diseñar estos filtros se requiere ubicar, por cada cero o polo en H(z) ubicar un polo o
cero en el reciproco conjugado.
4.5 Sistema de fase minima
Del conjunto de sistemas de C(z) existe uno y solo uno de los casos que es de fase minima.
La definición es bastante sencilla, solo se requiere que tanto H(z) como 1/H(z) sean estables
y causales. Para esto se debe garantizar que tanto polos como ceros de H(z) se encuentren
dentro de la circunferencia de radio 1.
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5. DISEÑO FILTROS DIGITALES FIR – ENVENTANADO
La estrategia de enventanado o uso de ventanas es una de las mas comunes para el diseño
de filtros digitales FIR.
Esta técnica se basa principalmente en realizar una convolución con diferentes tipos de
ventanas, las que generan filtros con características interesantes en el dominio de la
frecuencia.
Las siguientes son las ecuaciones que rigen a las ventanas mas utilizadas y encontradas en
la literatura:
Figura 16 : Modelo de 4 ventanas destacables4
Figura 17 : Señal en el dominio del tiempo de las diferentes ventanas5
4 Tomado de Oppenehim. Procesamiento de señales discretas. 5 Tomado de Oppenehim. Procesamiento de señales discretas.
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La siguiente tabla ilustra los calculos y valores necesarios para la determinación del filtro,
como son amplitudes relativas, ancho de lóbulos, error maximo y la equivalencia con la
ventana de Kaiser
La ventana de Kaiser es un modelo que permite construir, con el ajuste de parámetros,
cualquiera de las restantes 5 ventanas. Esta se basa en la manipulación del polinomio de
Chebishev.
La ecuación general para la ventana de Kaiser es:
[21]
Donde Io representa la función de Bessel de orden cero.
5.1 Diseño por ventana de Kaiser
Para el diseño práctico se deben considerar las siguientes relaciones
La determinación empírica del parámetro beta se muestra a continuación:
El orden del filtro se obtiene de:
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6. INTERFAZ DE FDATOOL
A continuación se presentan las ventanas principales del programa FDATOOL
• Ventana principal
• Menú de herramientas
• Información del filtro
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• Especificaciones del filtro
• Elección del tipo de respuesta del filtro y del método de diseño.
• Ingreso de información de diseño: orden, frecuencias criticas, niveles de tolerancia,etc
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• Comandos principales Zona enmarcada en color rojo (arriba-abajo)
1. Creación de un filtro multibanda 2. Transformación de filtro 3. Parámetro de cuantización 4. Realización de modelo 5. Diagrama de polos y ceros 6. Importar filtro 7. Diseño de filtro
Zona enmarcada en color azul (izquierda-derecha)
1. Magnitud 2. Fase 3. Magnitud y fase 4. Retardo de grupo 5. Retardo de fase 6. Respuesta al impulso 7. Respuesta al escalon 8. Coeficientes del filtro 9. Información del filtro
