Upload
teodosio-pala
View
215
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Seminario di Matematica
Prof. Vigna
29 Maggio 2008
Riccardo Cristoferi
Corso di Laurea in Matematica
Università di Trento
Notazione e terminologia
Una per tutte – Seminario di Matematica –Cristoferi Riccardo
Uno spazio affine è una terna ordinata ),,( XX
X X
dove
è un insieme, è uno spazio vettoriale e
soddisfa a:
XXX :
)()(,,)1 QRRPQPXRQP
vPQctXQXvXP ..!,)2
Se è finitamente generato, si poneX )dim()dim( XX
Notazione e terminologia
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dati ),,( XX ),,( YY spazi affini, sia .XO
Sia YXf : una funzione insiemistica.
,
Definiamo
XXO :OPP
f è detta mappa affine se la funzione che fa commutare il
diagramma
Of
YX O )(Of
YX
è lineare.Of
f
Notazione e terminologia
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Uno spazio affine euclideo è una quaterna ordinata ),,,,( XX
),,( XX
.X
dove è uno spazio affine euclideo, e
è un prodotto scalare su
,
In tale spazio possiamo definire la distanza fra due punti come
QPQPQPQPdXQP ,||:),(,
ovvero se rispetta tutte le distanze.
Notazione e terminologia
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Una mappa affine fra due spazi affini euclidei
è detta isometria se la sua giacitura è ortogonale:
f YX ,
f
wvwfvfXwv ,)(),(,
Il Teorema
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Sia ),,,,( XX .2)dim( X
XXf :
uno spazio affine euclideo, e sia
Sia inoltre una funzione (insiemistica!) t.c.
1))(),((1),(, QfPfdQPdXQP
Allora f è un’isometria.
:Teorema
Dimostrazione
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Siano ctXCBA .,,
1),(),(),( CAdCBdBAd
allora
:1Lemma
CBA ,, non sono allineati
e quindi formano un riferimento affine di .X
Dimostrazione
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Costruiamo una mappa affine ..: ctXX
AAf ))((
BBf ))((
CCf ))((
:2Lemma è un’isometria.
allora
Idea dimostrazione
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
C
A B
C
A Bf
f(B)f(A)
f(C)
Se dimostro che
XId
allora ho vinto.
Idea dimostrazione
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
B
C
A
Come dimostro che è l’identità?
2. fissa tutti i punti dell’uni - reticolo
3. fissa tutte le rette del reticolo
4. fissa tutti i punti
1. rispetta la distanza
3
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - rispetta la distanza 3
:3Lemma
XQP , 3),( QPd
XGE , ),,(),,,( GEQGEP
Siano t.c.
Allora esistono t.c.
sono unitriangoli.
P
Q
E G23
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - rispetta la distanza 3
:6Lemma
Siano XQP , t.c. .1),( QPdAllora
),,(),,,(..,! SRQSRPctXSR
sono unitriangoli. Inoltre 3),( SRd
P
Q
R S
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - rispetta la distanza 3
Allora è impossibile costruire un unitriangolo i cui vertici stanno
sulla circonferenza di centro e raggio
:5Lemma
Sia .XP
P 1
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - rispetta la distanza 3
:4Lemma
Siano 3),(.., QPdctXQP
Allora
3),(1),(.. QEdPEdctE
P
Q
E
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - fissa tutti i punti del reticolo
BA
C
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - fissa le rette del reticolo
:eDefinizion
Sia ),( G un sottogruppo di .Gè detto denso se in ogni intervallo di c’è un elementodi .G
Noi considereremo il sottogruppo )],3[( ZZ dove
},3{]3[ ZbaconbaZZ
naturaleka ,0,
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - fissa le rette del reticolo
:11Lemma
)],3[( ZZ è denso in
:12Lemma
anmactknm 3.., naturali
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - fissa le rette del reticolo
:10Lemma
Sia distanza rispettata da , n un naturale positivo.
Se
nQPdXQP ),(,
allora
nQPd ))(),((
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - fissa le rette del reticolo
:4eroposizionP
Sia X P
Consideriamo 0X proiezione ortogonale di )(X su P.
Allora .0 XX
:.Dim
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - fissa le rette del reticolo
xvOX
xnm 30
vnmON )3(
mvOM
1 nxm
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - fissa le rette del reticolo
:13Lemma
Se vnmOX )3( con O
punto del reticolo, allora fissa . X
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - fissa le rette del reticolo
2 xxvOX
:.Dim
vXXdOQ 2))(,(4
2))(,(432 XXdnmx
vnmOP )3(
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - fissa tutti i punti
P
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - fissa tutti i punti
P
r
s
L M
N
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Conclusione