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Seminário - Pitágoras
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VICOSA
CENTRO DE CIENCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
A Matematica Pitagorica
Clayton Cristiano Silva,
Edicarlos Vander Medina Vasconcelos e
Bruno Daniel Paiva
Prof. Allan de Oliveira Moura
Seminario de MAT232 - 2012-I
VICOSA
MINAS GERAIS - BRASIL
OUTUBRO/2012
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VICOSA
CENTRO DE CIENCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
RESUMO
A Matematica Pitagorica
Neste trabalho apresentaremos um pouco do que se sabe sobre os conhecimentos matemati-
cos desenvolvidos pelos pitagoricos. Dissertaremos sobre a figura mıtica de Pitagoras, a
fundacao de sua escola e sobre as crencas de seus membros. Falaremos sobre o famoso Teo-
rema de Pitagoras, principal resultado atribuıdo a eles e, finalmente, sobre a descoberta das
grandezas irracionais que levou indiretamente a decadencia das suas concepcoes filosoficas.
1
SUMARIO
Introducao 3
1 Pitagoras de Samos 4
2 Aritmetica Pitagorica 6
3 O Teorema de Pitagoras 8
4 Outros Conhecimentos Matematicos Atribuıdos aos Pitagoricos 9
Conclusao 12
Bibliografia 13
2
INTRODUCAO
Os ultimos seculos do segundo milenio a.C. testemunharam muitas mudancas economicas e
polıticas. Algumas civilizacoes desapareceram, o poder do Egito e da Babilonia declinou,
e outros povos, especialmente os hebreus, os assırios, os fenıcios e os gregos, passaram ao
primeiro plano. A Idade do Ferro que se anunciava trazia consigo mudancas abrangentes
no que se refere a guerra e a todas as atividades que exigiam instrumentos e ferramentas.
Inventou-se o alfabeto e se introduziram as moedas. O comercio foi crescentemente incen-
tivado e se fizeram muitas descobertas geograficas. O mundo estava pronto para um novo
tipo de civilizacao.
O aparecimento dessa nova civilizacao se deu nas cidades comerciais espalhadas ao longo
das costas da Asia Menor e, mais tarde, na parte continental da Grecia, na Sicılia e no litoral
da Italia. A visao estatica do Oriente antigo sobre as coisas tornou-se insustentavel e, numa
atmosfera de racionalismo crescente, o homem comecou a indagar como e por que.
E neste contexto que surge a matematica, no sentido moderno da palavra, nascida nessa
atmosfera de racionalismo das novas cidades comerciais localizadas na costa oeste da Asia
Menor.
3
CAPITULO 1
PITAGORAS DE SAMOS
Figura 1.1: Busto de Pitagoras
Pitagoras foi um dos matematicos mencionados no
Sumario Eudemiano de Proclo, que consistia nas
paginas de abertura do Comentario sobre Euclides,
Livro I, um breve resumo do desenvolvimento da
geometria grega ate Euclides. Pitagoras foi de tal
forma envolto numa nevoa de misticismo por seus
seguidores que pouco se sabe sobre ele com algum
grau de certeza. Ao que parece, Pitagoras nasceu
por volta de 572 a.C. na ilha egeia de Samos. E
possıvel que Pitagoras tenha sido discıpulo de Tales,
pois era cinquenta anos mais novo do que este e
morava perto de Mileto, onde vivia Tales. Depois
parece que residiu por algum tempo no Egito e pode
mesmo ter-se abalancado a viagens mais extensas.
Ao retornar a Samos encontrou o poder nas maos do
tirano Polıcrates e a Jonia sob o domınio persa: de-
cidiu entao emigrar para o porto marıtimo de Cro-
tona, uma colonia grega situada no sul da Italia.
La ele fundou a famosa escola pitagorica, que, alem de ser um centro de estudo da filosofia,
matematica e ciencias naturais, era tambem uma irmandade estreitamente unida por ritos
secretos e cerimonias. Com o tempo, a influencia e as tendencias aristocraticas da irmandade
tornaram-se tao grandes que forcas democraticas do sul da Italia destruıram os predios da
escola fazendo com que a confraria se dispersasse. Segundo um relato, Pitagoras fugiu para
Metaponto onde morreu, talvez assassinado, com uma idade avancada entre setenta e cinco
e oitenta anos de idade. A irmandade, embora dispersa, continuou a existir por pelo menos
mais dois seculos.
4
CAP. 1 • PITAGORAS DE SAMOS 5
Se Pitagoras permanece uma figura muito obscura isto se deve em parte a perda de
documentos daquela epoca. Varias biografias de Pitagoras foram escritas na antiguidade,
inclusive uma de Aristoteles, mas se perderam. Uma outra dificuldade para caracterizar
claramente a figura de Pitagoras provem do fato de que a ordem que ele fundou era comu-
nitaria, alem de secreta. Conhecimento e propriedade eram comuns, por isso a atribuicao de
descobertas nao era feita a um membro especıfico da escola. E melhor, por isso, nao falar na
obra de Pitagoras mas antes nas contribuicoes dos pitagoricos, embora na antiguidade fosse
usual dar todo o credito ao mestre.
A escola pitagorica era politicamente conservadora e tinha um codigo de conduta rıgido.
O vegetarianismo era imposto a seus membros, aparentemente porque o pitagorismo aceitava
a doutrina da metempsicose, ou transmigracao das almas, com a preocupacao consequente
de que se podia matar um animal que fosse a nova moradia da alma de um amigo morto.
Entre outros tabus da escola havia o de comer feijoes (ou melhor, lentilhas). Talvez a
mais notavel caracterıstica da ordem pitagorica fosse a confianca que mantinha no estudo da
matematica e da filosofia como base moral para a conduta. As proprias palavras ”filosofia”(ou
”amor a sabedoria”) e matematica (ou ”o que e aprendido”) supoe-se terem sido criadas pelo
proprio Pitagoras para descrever suas atividades intelectuais. Diz-se que ele estabeleceu
duas categorias de conferencias, uma so para membros da escola ou ordem, outras para os
da comunidade mais ampla. Presume-se que foi nas conferencias da primeira categoria que
Pitagoras apresentou as contribuicoes que fez a matematica, quaisquer que fossem essas.
A filosofia pitagorica baseava-se na suposicao de que a causa ultima das varias carac-
terısticas do homem e da materia sao os numeros inteiros. Isso levava a uma exaltacao e ao
estudo das propriedades dos numeros e da aritmetica (no sentido de teoria dos numeros),
junto com a geometria, a musica e a astronomia, que constituıam as artes liberais basicas
do programa de estudos pitagorico. Esse grupo de materias tornou-se conhecido na Idade
Media como quadrivium, ao qual se acrescentavam o trivium, formado de gramatica, logica
e retorica. Essas sete artes liberais vieram a ser consideradas como a bagagem cultural
necessaria de uma pessoa educada. O numero um, diziam os pitagoricos, e o gerador dos
numeros e o numero da razao; o dois e o primeiro numero par, ou feminino, o numero da
opiniao; tres e o primeiro numero masculino verdadeiro, o da harmonia, sendo composto de
unidade e diversidade; quatro e o numero da justica ou retribuicao indicando o ajuste de
contas; cinco e o numero do casamento, uniao dos primeiros numeros verdadeiros feminino
e masculino; e seis e o numero da criacao. Cada numero, por sua vez, tinha seus atrib-
utos peculiares. O mais sagrado era o dez ou o tetractys, pois representava o numero do
universo, inclusive a soma de todas as possıveis dimensoes geometricas. Um ponto gera as
dimensoes, dois pontos determinam uma reta de dimensao um, tres pontos nao alinhados
determinam um triangulo com area de dimensao dois, e quatro pontos nao coplanares de-
terminam um tetraedro de dimensao tres; a soma dos numeros que representam todas as
dimensoes e portanto, o adorado numero dez. E um tributo a abstracao da matematica
pitagorica que a veneracao do numero dez evidentemente nao era ditada pela anatomia da
mao ou pe humanos.
CAPITULO 2
ARITMETICA PITAGORICA
Os gregos antigos faziam distincao entre o estudo das relacoes abstratas envolvendo os
numeros e a arte pratica de calcular com numeros. Esta era conhecida como logıstica e
aquele como aritmetica. Essa distincao atravessou a Idade Media chegando ate por volta
do final do seculo XV, quando surgiram textos que tratavam as facetas teorica e pratica
da abordagem dos numeros sob a designacao unica de aritmetica. E interessante que hoje
aritmetica tenha seu significado original na Europa Continental, ao passo que na Inglaterra
e nos Estados Unidos o significado popular de aritmetica corresponde a logıstica grega. Nos
dois paıses citados usa-se a expressao teoria dos numeros para designar a faceta abstrata
do estudo dos numeros. Admite-se geralmente que os primeiros passos no sentido do desen-
volvimento da teoria dos numeros e, ao mesmo tempo, do lancamento das bases do futuro
misticismo numerico, foram dados por Pitagoras e seus seguidores movidos pela filosofia de
fraternidade. Assim e que Jamblico, um influente filosofo neoplatonico que viveu por volta
de 320 d.C., atribui a Pitagoras a descoberta dos numeros amigaveis. Dois numeros se dizem
amigaveis se cada um deles e igual a soma dos divisores proprios do outro. Por exemplo, 284
e 220, que constituem o par atribuıdo a Pitagoras, sao amigaveis porque os divisores proprios
de 220 sao 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110 cuja soma e 284, ao passo que os divisores
proprios de 284 sao 1, 2, 4, 71, e 142 cuja soma e 220. Esse par de numeros alcancou uma
aura mıstica, e rezava a supersticao posterior que dois talismas com esses numeros selariam
uma amizade perfeita entre os que os usassem. Os dois numeros vieram a ter um papel
importante na magia, na feiticaria, na astrologia e na determinacao de horoscopos. Tambem
se atribuem aos pitagoricos os numeros perfeitos, deficientes e abundantes que apresentam
ligacoes mısticas essenciais a especulacoes numerologicas. Um numero se diz perfeito se e
igual a soma de seus divisores proprios, deficiente se excede a soma de seus divisores proprios
e abundante se e menor que a soma de seus divisores proprios. Assim, Deus criou o mundo
em seis dias, um numero perfeito pois 1 + 2 + 3 = 6. Por outro lado, conforme observou
Alcuıno (735−804), toda a raca humana descende das oito almas da arca de Noe, sendo essa
criacao imperfeita porque 8 e deficiente, ja que 1+ 2+ 4 < 8. Embora nem todos os histori-
6
CAP. 2 • ARITMETICA PITAGORICA 7
adores da matematica entendam que os numeros amigaveis e perfeitos possam ser atribuıdos
aos pitagoricos, parece haver uma concordancia universal quanto a que os numeros figurados
se originaram com os membros mais antigos da escola. Esses numeros, que expressam o
numero de pontos em certas configuracoes geometricas, representam um elo de ligacao entre
a geometria e a aritmetica.
Figura 2.1: Alguns numeros figurados
Podem-se estabelecer muitos teoremas interessantes relativos a numeros figurados de
maneira puramente geometrica. De modo semelhante eram designados numeros poligonais
de todas as ordens; o processo naturalmente se estende facilmente ao espaco tridimensional,
em que se lida com numeros poliedrais. Encorajado por essas ideias, Filolau, ao que se conta,
afirmou que
”Todas as coisas que podem ser conhecidas tem numero: pois nao e possıvel que sem
numero qualquer coisa possa ser concebida ou conhecida.
A frase de Filolau parece ter sido artigo de fe da escola pitagorica, daı surgindo estorias
sobre a descoberta, por Pitagoras, de algumas leis simples da musica. Conta-se que Pitagoras
observou que quando os comprimentos de cordas vibrantes podem ser expressos em razoes
de numeros inteiros simples, como dois para tres (para a quinta) ou tres para quatro (para
a quarta), os tons serao harmoniosos. Em outras palavras, se uma corda produz a nota do
quando tocada, entao uma semelhante com o dobro do comprimento produzira o do uma
oitava abaixo; e os tons entre essas notas sao emitidos por cordas cujos comprimentos sao
dados por razoes intermediarias. Aqui temos talvez as mais antigas leis quantitativas da
acustica - talvez as mais antigas leis quantitativas da fısica.
CAPITULO 3
O TEOREMA DE PITAGORAS
A tradicao e unanime em atribuir a Pitagoras a descoberta independente do teorema so-
bre triangulos retangulos que hoje leva seu nome - que o quadrado sobre a hipotenusa de
um triangulo retangulo e igual a soma dos quadrados sobre os catetos. Esse teorema era
conhecido pelos babilonios dos tempos de Hamurabi, mais de um milenio antes, mas sua
primeira demonstracao geral pode ter sido dada por Pitagoras. As lendas de que Pitagoras
sacrificou um boi (cem bois segundo outras versoes) ao descobrir o teorema sao implausıveis,
tendo em vista as regras vegetarianas da escola. Muitas conjecturas tem sido feitas quanto a
demonstracao que Pitagoras poderia ter dado, mas ao que parece foi uma demonstracao por
decomposicao. Denotemos por a, b e c os catetos e a hipotenusa de um triangulo retangulo,
e consideremos dois quadrados, cada um de lados iguais a a + b. O primeiro quadrado esta
decomposto em seis partes - a saber, os dois quadrados sobre os catetos e quatro triangulos
retangulos congruentes ao triangulo dado. O segundo quadrado esta decomposto em cinco
partes - a saber, o quadrado sobre a hipotenusa e quatro triangulos retangulos congruentes ao
triangulo dado. Subtraindo-se iguais de iguais, conclui-se que o quadrado sobre a hipotenusa
e igual a soma dos quadrados sobre os catetos.
Figura 3.1: Demonstracao geometrica do Teorema de Pitagoras
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CAPITULO 4
OUTROS CONHECIMENTOS
MATEMATICOS ATRIBUIDOS
AOS PITAGORICOS
A Descoberta das Grandezas Irracionais
A descoberta da existencia de numeros irracionais foi surpreendente e perturbadora para
os pitagoricos. Em primeiro lugar porque parecia desferir um golpe mortal na filosofia
pitagorica segundo a qual tudo dependia dos numeros inteiros. Alem disso, parecia contraria
ao senso comum, pois intuitivamente havia o sentimento de que toda grandeza poderia ser
expressa por algum numero racional. A contrapartida geometrica era igualmente espantosa,
pois quem poderia duvidar que, dados dois segmentos de reta, sempre seria possıvel encon-
trar um terceiro segmento de reta, talvez muito, muito pequeno, que coubesse exatamente
um numero inteiro de vezes em cada um dos dois segmentos dados? Mas tomemos como
segmentos o lado s e a diagonal d de um quadrado. Entao, se existisse um terceiro segmento
t que coubesse exatamente um numero inteiro de vezes em s e em d, terıamos s = bt e d = at,
em que a e b sao inteiros positivos. Mas d = s√2 e portanto at = bt
√2, isto e, a = b
√2,
ou√2 = a/b que e um numero racional. Contrariamente a intuicao, existem entao segmen-
tos de reta incomensuraveis, ou seja, segmentos de reta para os quais nao ha uma unidade
de medida comum. A descoberta da irracionalidade de√2 provocou alguma consternacao
nos meios pitagoricos. Pois nao so ela parecia perturbar a suposicao basica da escola como
tambem porque a definicao pitagorica de proporcao, assumindo como comensuraveis duas
grandezas quaisquer similares, fazia com que todas as proposicoes da teoria pitagorica das
proporcoes se limitassem a grandezas comensuraveis, invalidando sua teoria geral das figuras
semelhantes. Tao grande foi o ”escandalo logico”que por algum tempo se fizeram esforcos
para manter a questao em sigilo. Conta uma lenda que o pitagorico Hipaso (ou talvez outro)
foi lancado ao mar pela acao ımpia de revelar o segredo a estranhos ou (de acordo com outra
versao) que ele foi banido da comunidade pitagorica, sendo-lhe ainda erigido um tumulo,
9
10
como se estivesse morto.
Identidades Algebricas
Imbuıdos da ideia de representacao de um numero por meio de um comprimento e care-
cendo completamente de qualquer notacao algebrica adequada, os gregos antigos idearam
processos algebricos engenhosos para efetuar operacoes algebricas. Atribui-se aos pitagoricos
parte consideravel dessa algebra geometrica que se acha espalhada por varios dos primeiros
livros dos Elementos de Euclides. Assim, o Livro II dos Elementos contem varias proposicoes
que em realidade sao identidades algebricas envolvidas numa terminologia geometrica. Parece
bastante certo que essas proposicoes tenham sido desenvolvidas pelos primeiros pitagoricos,
atraves de metodos de decomposicao. Podemos ilustrar o metodo considerando uma propo-
sicao do Livro II. A proposicao 4 do Livro II estabelece geometricamente a identidade
(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2
Figura 4.1: Demonstracao da formula do quadrado da soma de dois termos
Decompondo o quadrado de lado a + b em dois quadrados e dois retangulos de areas a2,
b2, ab e ba. O enunciado de Euclides para essa proposicao e:
Dividindo-se uma reta em duas partes, o quadrado sobre a reta toda e igual a soma dos
quadrados sobre as partes juntamente com o dobro do retangulo contido pelas partes.
Resolucao Geometrica de Equacoes Quadraticas
Em sua algebra geometrica, os gregos se utilizaram de dois metodos principais para
resolver certas equacoes simples - o metodo das proporcoes e o metodo da aplicacao de
areas. Ha indıcios de que ambos esses metodos se originaram com os pitagoricos.
Transformacoes de Areas
Os pitagoricos interessavam-se pelo problema de transformar a area de uma figura retilınea
noutra figura retilınea. A solucao dada por eles ao problema basico da construcao de um
CAP. 4 • OUTROS CONHECIMENTOS MATEMATICOS ATRIBUIDOS AOSPITAGORICOS 11
quadrado de area igual a de um polıgono dado pode ser encontrada nas Proposicoes 42, 44
e 45 do Livro I e Proposicao 14 do Livro II dos Elementos de Euclides.
Os Solidos Regulares
Um poliedro se diz regular se suas faces sao polıgonos regulares congruentes e se seus
angulos poliedricos sao todos congruentes. Embora existam polıgonos regulares de todas
as ordens, sucede-se que so ha cinco poliedros regulares diferentes. Os poliedros regulares
sao designados de acordo com o numero de faces que possuem. Assim, ha o tetraedro com
quatro faces triangulares, o hexaedro, ou cubo, com seis faces quadradas, o octaedro com
oito faces triangulares, o dodecaedro com doze faces pentagonais e o icosaedro com vinte
faces triangulares.
Figura 4.2: Os cinco poliedros regulares convexos
Os primordios da historia dos poliedros regulares perdem-se nas brumas do passado. Ha
um indıcio de tratamento matematico desses solidos no Livro XIII dos Elementos de Eu-
clides. O primeiro escolio desse livro observa que se ”ira tratar dos solidos de Platao, assim
chamados incorretamente, porque tres deles, o tetraedro, o cubo e o dodecaedro se devem
aos pitagoricos, ao passo que o octaedro e o icosaedro se devem a Teeteto”. E bem possıvel
que isso corresponda aos fatos. De qualquer maneira Platao, em seu Timeu, apresentou uma
descricao dos cinco poliedros regulares e mostrou como construir modelos desses solidos,
juntando triangulos, quadrados e pentagonos para formar suas faces. O Timeu de Platao e
o pitagorico Timeu de Locri, a quem possivelmente encontrou quando visitou a Italia. No
trabalho de Platao, Timeu misticamente associa os quatro solidos mais faceis de construir -
o tetraedro, o octaedro, o icosaedro e o cubo - com os quatro ”elementos”primordiais empe-
doclianos de todos os corpos materiais - fogo, ar, agua e terra. Contornava-se a dificuldade
embaracosa em explicar o quinto solido, o dodecaedro, associando-o ao Universo que nos
cerca.
O Raciocınio Postulacional
Em algum momento entre Tales, 600 a.C., e Euclides, 300 a. C., rematou-se a nocao de
discurso logico como uma sequencia de deducoes rigorosas a partis de algumas suposicoes ini-
ciais explicitamente enunciadas. Esse processo, o chamado metodo postulacional, tornou-se
a verdadeira essencia da matematica moderna; indubitavelmente, grande parte do desen-
volvimento da geometria segundo esse modelo deve-se aos pitagoricos. Sem duvida uma das
maiores contribuicoes dos gregos primitivos foi o desenvolvimento desse metodo de raciocınio
postulacional.
CONCLUSAO
Caso tenha realmente existido, o mestre Pitagoras de Samos deixou muitas contribuicoes,
sendo a mais importante e conhecida o Teorema de Pitagoras. Atribui-se a ele tambem
a criacao das palavras Filosofia (amor a sabedoria) e Matematica (o que e aprendido).
Costuma-se creditar tambem a Pitagoras o tıtulo de ”reitor da primeira universidade”, a
escola pitagorica.
Devemos aos pitagoricos o metodo de raciocınio postulacional, o fundamento de toda a
matematica desenvolvida ate hoje. Seu ponto de vista filosofico, mıstico e religioso tambem
fez com que a matematica se desvencilhasse dos conhecimentos empıricos dos egıpcios e
babilonios. Assim, Pitagoras e tambem o primeiro matematico puro.
Os estudos de aritmetica e de geometria dos pitagoricos motivaram inumeros problemas
de Teoria dos Numeros ainda hoje nao resolvidos. O famoso ”Ultimo Teorema de Fermat”,
por exemplo, foi inspirado no Teorema de Pitagoras e demonstrado em 1994 pelo matematico
britanico Andrew Wiles.
Enfim, podemos concluir que a matematica pitagorica e uma fascinante pagina da historia
do desenvolvimento do conhecimento humano e seus problemas certamente influenciarao a
mente de estudiosos por varias geracoes.
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] C. B. Boyer, Historia da Matematica, 1a edicao, Sao Paulo, 1996.
[2] Howard Eves, Introducao a Historia da Matematica, Editora Unicamp, Sao
Paulo, 2004.
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