Señales y Sistemas

RAMIRO VALENZUELA PEAFIEL, MSc. | Seales y Sistemas i

ANLISIS DE SEALES Y SISTEMAS

INTRODUCCIN

Esta materia permite al estudiante observar como las matemticas se aplican en una forma

no trivial a la solucin de problemas de ingeniera. Se espera que aprendan no slo cmo

aplicar las herramientas matemticas tratadas en este curso sino tambin que aprecien la

utilidad de estas herramientas y entiendan la relacin entre los fenmenos fsicos y su

descripcin matemtica.

Otro objetivo importante de este curso es mostrar cmo un problema puede ser estudiado

desde diferentes puntos de vista y puede ser resuelto por diferentes mtodos, lo cual se

alcanzar al final del curso.

Los problemas a considerar estn relacionados por la pregunta cmo se desempean los

sistemas bajo algunas condiciones conocidas? Un objetivo principal es estudiar las

diferentes tcnicas matemticas para analizar el comportamiento de sistemas.

RAMIRO VALENZUELA PEAFIEL, MSc. | Seales y Sistemas 1

SEALES Y SISTEMAS

Seal: es una representacin fsica de un mensaje, es una cantidad fsica que puede

ser descrita por una funcin matemtica. Ejemplos: la onda de sonido de un

parlante; una secuencia de pulsos de voltaje desde un amplificador a

transistores es una seal que puede representar una cierta cantidad numrica,

un aumento de corriente elctrica en un circuito sensor de un sistema de

alarma de fuego es una seal que podra significar la deteccin de una

temperatura peligrosamente alta; un punto luminoso en la superficie de una

pantalla de rayos catdicos en un sistema de radar para control de vuelo es

una seal que podra indicar la presencia de un avin; etc.. En este curso,

interesan las varias formas de describir, caracterizar, manipular y generar

seales.

Sistema: es el conjunto de elementos fsicos que genera una o ms seales llamadas

salidas, cuando es estimulado por otras seales llamadas entradas. Las

seales de entrada se denominan estmulos y las de salida respuestas. En

otras palabras, un sistema puede ser visto como un transductor de seales que

transforma entradas o estmulos en salidas o respuestas. Por ejemplo, un

amplificador a transistores es un sistema que es una coleccin de transistores,

resistencias y capacitores; cuando es estimulado por una seal de entrada de

voltaje, el sistema responder con una seal de salida de voltaje que es una

rplica escalada de la seal de entrada. Como otros ejemplos, un parlante es

un sistema que transforma una corriente elctrica de entrada en una onda

sonora de salida; y, un lente es un sistema que transforma una seal luminosa

en otra seal luminosa. Estudiaremos las propiedades de varios sistemas y la

relacin entre sus seales de entrada y de salida.

SEALES CONTINUAS Y DISCRETAS

Al medir el voltaje de salida de un amplificador en un equipo de sonido, probablemente se

encontrar que el valor de la seal flucta con el tiempo. Podemos describir esta seal

expresando su valor como una funcin del tiempo. Una seal se dice ser una seal de

tiempo si su valor es funcin del tiempo. A veces, el valor de una seal vara con la

posicin espacial. Tambin, el valor de una seal podra variar tanto con el tiempo como

con la posicin espacial. O el valor de una seal podra variar con la posicin espacial en

el espacio tridimensional.

Matemticamente, una seal se describe por una funcin de una o ms variables

independientes. Se limita el estudio a seales uni-dimensionales, seales de tiempo, es

decir que la variable independiente es la variable tiempo.

Siendo una cantidad fsica, una seal asume valores reales en todos los instantes de tiempo,

sin embargo, por conveniencia matemtica, se supone que una seal puede asumir valores

complejos.

Una seal es continua dentro de cierto rango de tiempo si su valor se especifica de forma

nica para todos los instantes en ese rango de tiempo, excepto en las discontinuidades.


Ejemplo:

0.5 1( )

cos 1

tx t

t t

La seal x(t) es continua en el rango de tiempo - < t < . Una seal continua puede contener discontinuidades. Una seal continua x(t) tiene una

discontinuidad en t = to si para 0 :

0 0lim ( ) lim ( )o ox t x t

Se denota:

00

00

lim ( ) ( )

lim ( ) ( )

o

o

x t x t

x t x t

El valor de la discontinuidad en to se define por ( ) ( )o ox t x t ; en el ejemplo, x(t) contiene

una discontinuidad de 1.5 en t = 1.

Una seal es discreta si su valor se especifica slo en instantes de tiempo discretos n. Los

corchetes se usarn para enfatizar que la variable independiente n tomar slo valores

enteros.


Ejemplo:

Figura 1.2 x[n] vs. n

x[n] puede ser descrita por:

Las seales discretas son de inters porque muchas seales son discretas en el tiempo. Por

ejemplo, si, en un sistema de control de procesos, un dispositivo de monitoreo mide la

temperatura dentro de una cmara de reaccin qumica una vez cada 30 segundos, la seal

de salida del dispositivo de monitoreo es una seal de tiempo discreto. Frecuentemente

tambin encontramos seales continuas cuyos valores cambian slo a momentos discretos

de tiempo que pueden ser descritas por seales discretas. A veces, nos interesan los

valores de una seal continua slo a ciertos tiempos discretos. En este caso, podemos

optar por especificar el valor de la seal slo a estos tiempos an cuando su valor puede

variar en el intermedio. Por ejemplo, cuando un computador digital es utilizado para

monitorear la posicin de un avin, sus coordenadas son ledas slo en tiempos discretos a

pesar de que la posicin del avin cambia continuamente con el tiempo.

MANIPULACIN DE SEALES

Sumador: es un sistema que produce una seal respuesta cuyo valor a cualquier

instante es la suma de los valores de las seales estmulo en ese instante.

Multiplicador: es un sistema que produce una seal respuesta cuyo valor a cualquier

instante es el producto de los valores de las seales estmulo en ese

instante.

132

10][

nn

nnx

n


Ejemplo:

Igualando los intervalos, se obtienen:

Luego:

Ejemplo:

-n

0 n -1[ ]

2 5 n -1

n 03 2[ ]

n 02

n

x n

y nn

0 t 0( )

sen t t 0

-sen t t 0( )

-sen t t 0

x t

y t sen t

-n

n

0 n -1

[ ] 7 n -1

2 5 n 0

3 2 n -1

[ ] 3/2 n -1

n 2 n 0

x n

y n

n

-n

-n

3 2 n 1

[ ] [ ] 17/2 1

2 n 7 0

0 n -1

[ ] [ ] 21/2 n -1

(n 2) (2 5) n 0

x n y n n

n

x n y n


Frecuentemente, encontramos seales que son sumas o productos de otras seales. Por

ejemplo, la seal de entrada de un radio receptor es la suma de las seales transmitidas por

distintas estaciones de radio.

Una seal discreta x[n] se puede formar por muestreo de una seal continua x(t).

Si las muestras son equidistantes, entonces:

x[n]=x(t)|t=nT

donde T es el intervalo de muestreo.

Si el interruptor de la figura se abre y se cierra luego de un segundo, la salida y(t) es igual

al producto de la seal de entrada x(t) con s(t) como se muestra. En la prctica el

interruptor no es mecnico sino electrnico, puede abrirse y cerrarse a una velocidad muy

alta.

Figura 1.3.a Interruptor

2

-sen t t 0( ) ( )

0 t 0

0 t 0( ) ( )

-sen 1/ 2 (cos 2 1) t 0

x t y t

x t y tt t

x (t) y (t)


Integrador: es un sistema que produce el integral de tiempo de una seal continua x(t);

cuyo valor a cualquier instante t es el rea acumulada bajo la curva x() desde - hasta t. Matemticamente se define como:

Figura 1.4 Integral de una seal

NOTA: La respuesta del integrador a una entrada con discontinuidades, no tiene

discontinuidades.

Derivador: es un sistema que provee la derivada de una seal continua x(t), td

txd )( si la

derivada existe para todo t. Note que se afirma que la derivada no existe en

las discontinuidades de x(t).

NOTA: La derivada de una seal sin discontinuidades puede contener

discontinuidades en los lmites entre dos regiones.

( ) ( )

t

y t x d


Las operaciones derivacin e integracin en el tiempo de una seal continua, se cancelan

mutuamente, esto es:

() =

[

()] = ()

Sumatorio: En el caso discreto la operacin correspondiente a la integral de tiempo es el

sumatorio de tiempo de x[n] que es una seal discreta cuyo valor a un

instante n es .

Diferenciador: Correspondiendo a la derivada de tiempo, en el caso discreto tenemos la

diferencia en adelanto de x[n], x[n] = x[n+1] x[n] para todo n, y la

diferencia en retraso de x[n], x[n] = x[n] x[n-1] para todo n.

Ejemplo:

Figura 1.5 Sumatorio y Diferencias de una seal

[ ] [ 1]

[ ] [ 1]

x n x n

x n x n

-4 -2 0 2 4-5

0

5

10

x[n

]

-4 -2 0 2 4-5

0

5

10

15

20

x

[i]

-4 -2 0 2-4

-2

0

2

4

x[n

]

n

-2 0 2 4-4

-2

0

2

4

x[n

]

n

[ ] [ ]n

k

y n x k


Las operaciones diferencia en retardo y sumatorio de tiempo de una seal discreta se

cancelan mutuamente, esto es:

[]

=

= [] = []

=

Las seales discretas a considerar tienen la forma Aan, donde A es una constante

multiplicativa. Con el fin de facilitar la evaluacin del sumatorio en el tiempo se presenta

las siguientes equivalencias:

[]

=

= []

1

=

+ []

=0

Si x[n] = 0 para n < 0, entonces:

[]

=

= []

=0

Tambin, para n1 > 0:

x[k]

n2

k=n1

= x[k]

n2

k=0

[]

11

=0

Y, para n1 < 0:

x[k]

n2

k=n1

= x[k]

1

k=n1

+ []

2

=0

x[k]

n2

k=n1

= x[k]

n1

k=1

+ []

2

=0

x[k]

n2

k=n1

= x[k]

n1

k=0

+ []

2

=0

[0]


Cuando a = 1:

120

121121

2

1 nn

nnnnn

n

00

01][

n

nnxPara :

00

0][

n

nnnxPara :

2 0[ ] :

0 0

n nPara x n

n

0

1 0[ ] 1

0 0

1 0[ ] [ ] [ 1]

0 0

n n

k k

n nx k

n

nx n x n x n

n

0

( 1) 02

[ ]

0 0

1 0[ ] [ 1] [ ]

0 0

n n

k k

nn n

x k k

n

nx n x n x n

n

2

0

( 1)(2 1) 06

[ ]

0 0

2 1 0[ ] [ 1] [ ]

0 0

n n

k k

nn n n

x k k

n

n nx n x n x n

n


Cuando a 1:

1 2 1

2

1

2 2

1 1

2 11

0 2 1

n n

nk

k n

n nk k

k n k n

a an n

aa

n n

dka a a

da

=

=

=

00

0][

n

nanxPara

n

:

1

0

10

1[ ]

0 0

n

n nk

k k

an

ax k a

n

:00

0][

n

nnanxPara

n

0 0

[ ]n n n

k k

k k k

dx k ka a a

da

=

= {

+

,

, <

=

= {[

( )] +

( ),

, <

:00

0][

2

n

nannxPara

n

2

0 0

[ ]n n n

k k

k k k

d dx k k a a a a

da da


[]

=

=

=

=

=

=

[

=

]

=

= {[

( )

( + )

( )] +

( + )

( ),

, <

Por ejemplo, cuando a = -1:

(1)

=0

= {1

2(1) +

1

2, 0

0, < 0

(1)

=0

= {(

2+

1

4) (1)

1

4, 0

0, < 0

2(1)

=0

= {(

2

2+

2) (1), 0

0, < 0


Escalar la magnitud de una seal por una constante a significa multiplicar el valor de la

seal en todo instante de tiempo por la constante a o por otra seal cuyo valor es a para

todo instante de tiempo. Esta operacin se aplica tanto para seales continuas como

discretas.

Un sistema cuya salida es igual a la entrada escalada en magnitud por una constante a se

llama un amplificador si a 1 o un atenuador si a 1.

Escalar la variable de tiempo de una seal continua por una constante a positiva,

significa reemplazar la variable independiente t en la expresin de x(t) por at.

Ejemplo:

Figura 1.6 Escalamiento en tiempo de una seal

Fsicamente, escalar la variable de tiempo equivale a cambiar la escala de observacin de

tiempo. Escalar la variable tiempo por una constante positiva a 1 equivale a contraer el eje de tiempo y por tanto a contraer la seal; y escalar la variable tiempo por una constante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1

0

1

2

x(t

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1

0

1

2

x(2

t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1

0

1

2

t

x(t

/2)

( 2)/2

( 1)

( 4)/4

1 2 x(t)

2

1 1x(2t)

2 1

1 4

x(t/2)4

2

t

t

t

e t

sen t t

e t

sen t t

e t

sen t t


positiva a 1 equivale a expandir el eje de tiempo y por tanto a expandir la seal. Acorde a lo convenido, no se define la operacin escalamiento de la variable tiempo de una seal

discreta.

Trasladar una seal x[n] significa, analticamente, reemplazar la variable independiente n

en x[n] por n+k para algn k entero positivo o negativo. De forma similar, para trasladar

una seal x(t), reemplazamos la variable independiente t en x(t) por t+ para algn real

positivo o negativo. Si k y son positivos significa adelantar las seales, si k y son negativos significa retrasar las seales.

Ejemplo:

[] = {, <

+ ,

[ + ] = {, <

+ ,

[ ] = {, <

+ ,

Figura 1.7 Traslacin de una seal discreta

Otra forma de obtener la diferencia en retardo de x[n] es retrasarla una unidad para obtener

x[n-1] y realizar la operacin x[n]-x[n-1]. Lo mismo se aplica para obtener la diferencia en

adelanto utilizando traslacin de seales.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 30

5

10

x[n

]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 30

5

10

x[n

+2]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 30

5

10

x[n

-1]

n


Ejemplo:

() = {

, < + , <

, < ,

( + ) = {

, < + , <

, < ,

( ) = {

, < , < , < ,

Figura 1.8 Traslacin de una seal continua

Un sistema cuya seal de salida es una versin retrasada de su seal de entrada se llama

unidad de retardo. Un sistema cuya salida es una versin adelantada de su entrada se

conoce como predictor, el mismo que fsicamente es imposible construir.

Para trasponer una seal, reemplazamos en su expresin analtica, la variable

independiente n por n para una seal discreta y t por t en una continua. Intuitivamente, transposicin significa intercambiar el pasado con el futuro de una seal, otra operacin

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

0.5

1

x(t

)

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

0.5

1

x(t

+2)

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

0.5

1

t

x(t

-1)


0 n 1 [ ]

2 5 n 1nx n

0 t 1

1 0 t 1( )

1 -1 t 0

0 t -1

tx t

...

...

-2 -1 0 1 2 3 n

(0) (0)

(6) (7)

(5.25) (5.5)

x[-n]

que es imposible realizar fsicamente. Grficamente, para trasponer una seal se gira esta

funcin alrededor del eje n = 0 o t = 0.

Ejemplo:

Figura 1.9 Transposicin de seales

Seales pares si x [n] = x [-n] o x (t) = x (-t)

Ejemplo: x (t) = cos t

Seales impares si x [n] = -x [-n] o x (t) = -x (-t)

Ejemplo: x (t) = sen t

Toda seal continua o discreta que no es par ni impar puede descomponerse como la suma

de una seal par ms una seal impar.

-1 0 1 t

x(-t)

-1 0 1 t -1 0 1 t


( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ]

p i

p i

x t x t x t

x n x n x n

Para el efecto son tiles las siguientes relaciones:

1 1(t) [ ( ) ( )] (t) [ ( ) ( )]

2 2

1 1[ ] ( [ ] [ ]) [ ] ( [ ] [ ])

2 2

p i

p i

x x t x t x x t x t

x n x n x n x n x n x n

Para la seal x(t) del ejemplo anterior:

0 t -1

/ 2 1 -1 t 0( )

1 / 2 0 t 1

0 t 1

0 t -1

t /2 -1 t 0( )

/ 2 0 t 1

0

p

i

tx t

t

x tt

t 1

Para la seal discreta descrita por:

[] = {0, < 0

1, 0= {

0, < 01, = 01, > 0

[] = {1, < 01, = 00, > 0

[] = {1/2, < 0

1, = 01/2, > 0

[] = {1/2, < 0

0, = 01/2, > 0


Si se reemplaza n por n + k o t por t + la seal ser trasladada y transpuesta, sin

embargo, k o positivos provocan que la seal transpuesta se retrase, mientras k o negativos hacen que la seal transpuesta se adelante.

Ejemplo:

1- n 52

10

n

n

nx

1- n 524

10

1- 2-n-52

120

2)2( nn

nn

nx

Ejemplo:

1 t 0

2t1 1

3t2 3

3 t 0

2t

tx

Grficamente puede hacerse de 2 maneras:

a) adelantar x (t) y luego transponerla

b) transponer x (t) y luego retrasarle

0 1 2 3 t

-1 0 1 t

x (t)

-3 -2 -1 0 t

x(t+2)

0 1 2 3 t

x (-t+2)

-1 0 1 t

x (t)

-1 0 1 t

x(-t) x(-t+2)= x{-(t-2)}


Para una seal continua x(t), la seal x (at+) grficamente puede obtenerse de 2 maneras:

a) trasladar x (t) y luego escalar t por una constante a , o

b) escalar t y trasladarla una cantidad /a

Ejemplo:

3

4- t 0

3

4

3

5- 1

3

5t2- 63

-2 t 0

53t

t

tx

Estas operaciones pueden ejecutarse grficamente de dos formas:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 t

x(t+5)

-2 -4/3 -1 0 t

x(3t+5)

-1 -1/3 0 1/3 t

x(3t)

-2 -4/3 -1 0 t

x(3t+5)


SEALES ELEMENTALES CONTINUAS

Cuando existen discontinuidades en una seal continua x(t), se afirma que la derivada de

x(t) no existe en estas discontinuidades. En consecuencia, x(t) no es una seal de tiempo bien definida. Sin embargo, es deseable incluir este tipo de seales y sus derivadas en el

anlisis. Por esta razn se incluye en el estudio un conjunto de funciones llamadas

singulares.

Funcin paso o escaln unitario:

00

01)(

t

ttU

Esta funcin permite la representacin matemtica compacta de una seal continua como

alternativa al uso de intervalos de tiempo. El producto de una expresin matemtica con

un escaln unitario permite validar tal expresin para los instantes de tiempo en que el

escaln es igual a 1; y, la anula para cuando el escaln es igual a 0. Lo mismo se aplica a

la versin discreta, la funcin escaln unitario discreto U[n].

Funcin rampa unitaria

0

0( ) ( ) 1 ( )

0 0

( ) ( )

t t t tr t U d d tU t

t

dU t r t

dt


Funcin impulso unitario

( ) ( )

( ) ( )

t

dt U t

dt

U t d


Podemos considerar la funcin impulso como el lmite de la derivada de la siguiente

funcin v(t) cuando 0.

La derivada de tUa es ta , un impulso de valor (rea) a. El doblete unitario t' ser la derivada de (t). El triplete unitario t'' ser la derivada de t' y as sucesivamente.

Las seales (t) y sus derivadas se denominan funciones singulares. Y, se las representa grficamente de la siguiente manera:

Las operaciones de seales definidas se aplican a funciones singulares o a seales que

contienen funciones singulares. As:

t3t4t5t2

Ejemplo:

2tU2

1tsentx

2t

2

1tcos

dt

tdx

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-2,3 -0,3 1,7 3,7 5,7t

x(t)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 0 2 4 6t

x'(t)

(1/2

v(t)

1

0 t

v(t)

1/

0 t

(t)

0 t

(1)

(t)

0 t

(1)

(t)

0 t

(1)


Se define el producto de una seal por una seal impulso as:

t0xttx

si x (t) est definida de forma nica en t = 0; y

txttx

si x (t) est definida de forma nica en t = .

Intuitivamente, esto significa que un impulso captura el valor de una seal continua x(t) en

el instante en que el impulso ocurre.

Se deduce el producto de una seal por un doblete de la siguiente manera:

' '

' '

' ' '

' ' '

0 0

0 0

0 0

dx t t x t t x t t

dt

dx t x t t x t

dt

x t x t t x t

x t t x t x t

si x (t) y x (t) estn definidas de forma nica en t = 0.

En general: txtxttx '''

si x (t) y x(t) estn definidas de forma nica en t = . O sea que el producto de un doblete con una funcin continua da lugar a un doblete y a un

impulso cuyos valores dependen de la funcin y su derivada al tiempo que el doblete

ocurre.

Ejemplo:

4

1

24

1

2

1

4

1

4

1

2

1

4

1

'' tttsent

ttsent

Ejemplo:

1tU :que

tdttdtNote

sentdtsentdtsentdtwtsen


En general:

x t t dt x

x t t dt x

si x (t) se define de forma nica en t = .

Y, para k 0

1

1

.

kkk

k

t

kkk

k

t

k

k

d x tx t t dt

dt

d x t

se define de forma ni

x t t dtdt

d x tsi ca

te

dn t

Para representar grficamente y resolver una operacin con una seal singular escalada en

tiempo, usamos la siguiente relacin, para k 0:

ta

1at k

1k

k

Ejemplo:

tt

tt

'4

12'

2

12

Si trasponemos una funcin singular debe cumplirse que:

0k t1t kkk

en otras palabras, (t), (t), iv(t),..., son funciones pares, mientras (t), (t), v(t),... son impares.

NOTA: La derivada de una funcin par en el tiempo es impar y viceversa.


Ejemplo:

t 0

6 t 0

t 0

( ) ( ) 6 ( ) ( )

t

t

t t

e

x t t

e

x t e U t t e U t

3

3

3 3

t 0

6 3 2 t t 03

t 0

x(3t) ( ) 2 ( ) ( )

t

t

t t

e

tx t

e

e U t t e U t

Tambin se puede evaluar expresiones como la siguiente:

5

53

5

22

5

5

2

5

5

2

27

14

3

20

9

25

3

144

3

17'

4

1

3

5

3

144

142'5344214'3544

t

ttdttttt

dtttttdttttt

-2,1 -1,6 -1,1 -0,6 -0,1 0,4 0,9 1,4 1,9t

x(t)

(6)

0


SEALES ELEMENTALES DISCRETAS

Funcin rampa unitaria discreta:

1

0[ ] [ 1] 1 [ ]

0 0

n n

k k

n nr n U k nU n

n

Funcin escaln unitario discreto:

][][

00

01][][

nrnU

n

nknU

n

k


Funcin impulso unitario discreto:

00

01][][

n

nnUn

El producto de una seal discreta con un impulso unitario es un impulso de valor la seal

evaluada donde ocurre el impulso.

x[n][n] = x[0][n]

x[n][n-k] = x[k][n-k]

Como se ha definido:

[n] = U[n] U[n-1]

U[n] = [n] + U[n-1]

U[n] = [n] + [n-1] + U[n-2]

y, as sucesivamente.

En general, una seal discreta puede ser descompuesta como una combinacin lineal de

impulsos discretos trasladados.

[] = + [1] [ + 1] + [0] [] + [1] [ 1] + [2] [ 2] +

[] = [] [ ]

+

=


Tambin puede ser funcin de escalones discretos trasladados o rampas discretas

trasladadas.

[ ] [ ] r[n 1] r[n]

[ 1] [ 1] r[n] r[n 1]

r[n] U[n 1] r[n 1]

r[n] U[n 1] [ 2] r[n 2]

U n r n

U n r n

U n

y, as sucesivamente.

En general, una seal discreta puede ser descompuesta como una combinacin lineal de

escalones discretos trasladados.

[] = ([] [ 1])[ ]

=


SISTEMAS

Un sistema puede ser visto como un transductor de seal que transforma un conjunto de

seales de entrada en un conjunto correspondiente de seales de salida. Cuando nos

interesa slo el comportamiento a los terminales del sistema, podemos representarlo por

una caja negra. Uno de nuestros objetivos ser el estudiar varias formas de describir la

relacin entrada salida de sistemas. Nuestra discusin ser limitada a sistemas con una entrada y una salida, a pesar que muchos de los conceptos a desarrollarse pueden

extenderse a sistemas con entradas y salidas mltiples. Para un sistema dado de una

entrada y una salida, usaremos la notacin H{x(t)} = y(t) o H{x[n]} = y[n] para indicar que

corresponde a una seal de entrada x, una seal de salida y.

A continuacin describiremos algunas de las propiedades generales de sistemas.

Un sistema es continuo si acepta seales continuas como entradas y genera seales

continuas como salidas.

Un sistema es discreto si acepta seales discretas como entradas y genera seales discretas

como salidas.

Un sistema es hbrido si acepta seales continuas (discretas) como entradas y genera

seales discretas (continuas) como salidas.

Ej: un parlante, un computador digital, un televisor.

Un sistema es causal o realizable o no anticipatorio si no responde antes de ser estimulado.

Esto es, para un sistema continuo causal, si una seal de entrada es cero para t t0 entonces

la seal de salida correspondiente es igual o cero para t t0; de igual forma se define un sistema discreto causal pero para n < n0.

Ej : Sistema causal: y [n] = x [n] + x [n-2]

Sistema no causal: y [n] = x [n] + x [n+2]

Si:

-1n

1- n 0

n otro 0

0 n

any

anx

son un par de seales de entrada y salida de un sistema, ste es no causal, as como

un sistema que genera x (-t) o x (t+5) como salidas a una entrada x(t) , mientras que

un sistema que genera x(t-) para 0 es causal. Es obvio que todos los sistemas que pueden ser construidos fsicamente son sistemas causales. Ej: parlante,

computador digital.

Un sistema es instantneo o sin memoria si su respuesta en cualquier instante depende

slo del valor del estmulo en ese instante. Un sistema no instantneo se dice que es


dinmico o que tiene memoria. Ej: un amplificador cuya salida es txa , es instantneo as como un sistema cuya salida es la derivada de su entrada, mientras que un sistema

discreto cuya seal de salida es el sumatorio en el tiempo de su seal de entrada, es

dinmico, as como los sistemas que generan x (-t), x (t-) para 0 y x(at) para a 1.

Un sistema es estable si a una seal de entrada acotada en magnitud a todo tiempo,

responde con otra seal de salida acotada a todo tiempo. Este concepto es conocido como

estabilidad tipo BIBO (boundary input, boundary output). Ej: un sistema que genera la

integral en tiempo de su seal de entrada no es estable, mientras que un sistema discreto,

cuya salida es la diferencia en adelanto o retraso de su entrada es estable, as como un

sistema que traslada o traspone su seal de entrada, o escala en magnitud o en tiempo su

seal de entrada por una constante finita es tambin estable.

Un sistema es invariante en el tiempo si a una seal de entrada trasladada un cierto tiempo

le corresponde la seal de salida trasladada ese mismo tiempo.

Para un sistema invariante en el tiempo continuo:

)(tytxH implica que tytxH para todo .

Para un sistema invariante en el tiempo discreto:

[ ] [ ]H x n y n implica que [ ] [ ]H x n k y n k para todo k.

Derivadores y amplificadores son sistemas invariantes en el tiempo, pero un sistema que

transpone su seal de entrada es uno variante en el tiempo. Ej: un receptor de radio es

variante si consideramos que sus componentes envejecen, de otra forma puede

considerarse aproximadamente invariante.

Un sistema es homogneo si la respuesta del sistema a una seal a x es a multiplicado por la respuesta del sistema a x para cualquier constante a.

Esto es,

txHatxaH

[ ] [ ]H a x n a H x n

Un sistema es aditivo si la respuesta del sistema a una seal x1 + x2 es igual a la suma de

las respuestas del sistema a las seales x1 y x2. Esto es,

txHtxHtxtxH 2121 1 2 1 2[ ] [ ] [ ] [ ]H x n x n H x n H x n

Un sistema es lineal si es homogneo y aditivo o sea que:

txHatxHatxatxaH 22112211

1 1 2 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ] [ ]H a x n a x n a H x n a H x n


Asumimos que la condicin de linealidad puede extenderse a sumas e integrales infinitas.

Ejemplo: un sistema en el que y(t) = x(t)sen120t es lineal, mientras un sistema en el que y[n] = x[n]x[n] es no lineal.

() = {()} = () 120

{11() + 22()} = [11() + 22()] 120

= 11() 120 + 22() 120

= 1{1()} + 2{2()}

Relacin que evidencia la propiedad de linealidad del sistema.

Mientras que,

[] = [] []

{[]} = [] []

{[]}

Lo que indica que el sistema no es homogneo y, por lo tanto, que es no lineal.

Nuestra atencin se centrar en el estudio de sistemas lineales invariantes en el tiempo que

se los encuentra en la prctica o que pueden ser aproximados por sistemas lineales

invariantes en el tiempo.


RESPUESTAS A SEALES ELEMENTALES

Para el clculo de las respuestas a seales elementales tanto continuas como discretas se

considera al sistema como causal o inicialmente en reposo.

Respuesta rampa continua:

( ) ( ) ( )t t

f t H r t H U d H U d

Respuesta paso continua:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

t t

g t H U t H d H d

d dg t H U t H r t H r t

dt dt

Respuesta impulso continua:

( ) ( ) ( )d d

h t H t H U t H U tdt dt

Respuesta rampa discreta:

n

k

n

k

kUHkUHnrHnf ]1[]1[][][

Respuesta paso discreta:

][][][][

][][][][

nrHnrHnUHng

kHkHnUHngn

k

n

k

Respuesta impulso discreta:

][][][][ nUHnUHnHnh


Interconexin de sistemas

Sistemas grandes estn constituidos de sistemas pequeos llamados subsistemas. Desde el

punto de vista de diseo y construccin de sistemas grandes, es una necesidad fsica usar

sistemas pequeos como bloques constitutivos (componentes).

Tambin desde el punto de vista de anlisis y mantenimiento de sistemas es deseable poder

dividir sistemas complejos en subsistemas simples.

Existen dos formas bsicas de interconectar sistemas: en conexin en cascada donde la

salida de un sistema es la entrada del siguiente y en una conexin en paralelo en donde la

seal de entrada es comn a todos los sistemas y cuya salida es la suma de las seales de

salida de los subsistemas.

Figura 1.10 Interconexin en serie o cascada

Subsistema 1 Subsistema 2 H1{x(t)} y(t)=H2[H1{x(t)}]x(t)

Figura 1.11 Interconexin en paralelo

x[n]

H2{x[n]}

y[n]=H1{x[n]}+H2{x[n]}

Subsistema 1

Subsistema 2

+

H1{x[n]}

Otra forma de interconexin a considerar es la conexin de realimentacin que tiene la

siguiente representacin:

Figura 1.12 Interconexin en realimentacin

x[n]

H2{y[n]}

y[n]=H1{x[n]-H2(y[n])}Subsistema 1

Subsistema 2

+

-

Estas interconexiones son vlidas tanto para sistemas continuos como discretos.


RESPUESTA DE SISTEMAS USANDO PROPIEDADES

Al combinar ciertas operaciones con seales puede cambiarse el orden de su aplicacin con

el mismo resultado. Las operaciones que satisfacen la propiedad conmutativa corresponden

a Sistemas Lineales e Invariantes en el tiempo continuo o discreto. Es decir que la

siguiente representacin tiene la misma respuesta del sistema de la Figura 1.10, siempre y

cuando los sistemas sean lineales e invariantes en el tiempo.

Subsistema 2 Subsistema 1 H2{x(t)} y(t)=H1[H2{x(t)}]x(t)

Si se conoce la respuesta a una seal de entrada trasladada o transpuesta o escalada, se

puede calcular la respuesta a la entrada no afectada por tales operaciones aplicando la

operacin adecuada a la respuesta conocida. Lo mismo ocurre si conozco las respuestas

impulsiva, paso o rampa unitarias, se puede aplicar las operaciones necesarias a fin de

obtener la respuesta deseada.

El procedimiento a seguir para obtener la respuesta de un Sistema Lineal e Invariante en el

tiempo tanto continuo como discreto es descomponer la seal de entrada en una

combinacin lineal de funciones elementales trasladadas para luego, aplicando las

propiedades de linealidad e invariancia en el tiempo, obtener la respuesta del sistema como

una combinacin lineal de respuestas a funciones elementales trasladadas. Finalmente, se

realiza el reemplazo correspondiente y se obtiene lo requerido.

Ejemplo:

Si la respuesta paso transpuesta y trasladada de un SLID es la seal

g[-n-2] = -16n(-4)n U[-n-2],

obtener y[n], la respuesta a la seal de entrada x[n] definida por:

2 1

[ ] 1 2

0

n

x n n

otrosn

Como se conoce la respuesta paso, se expresa la seal de entrada como una combinacin

lineal de escalones trasladados; y de igual forma, la seal de salida como la misma

combinacin lineal de respuestas paso trasladadas.

x[n] = 2 U[n-1] 3 U[n-2] + U[n-3] y[n] = 2 g[n-1] 3 g[n-2] + g[n-3]

La respuesta paso g[n] se obtiene por un cambio de variables (n -n-2).

g[n] = (n+2)(-1/4)n U[n]


Reemplazando se obtiene:

y[n] = 2 [-4(n+1)(-1/4)n] U[n-1] 3 [16n(-1/4)n] U[n-2] + [-64(n-1)(-1/4)n] U[n-3]

y[n] = (-8n-8)(-1/4)n U[n-1] 48n(-1/4)n U[n-2] + (-64n+64)(-1/4)n U[n-3]

y[n] = 4 [n-1] 3/2 [n-2] + (-8n-8)(-1/4)n U[n-3] 6 [n-2] 48n(-1/4)n U[n-3] +

+ (-64n+64)(-1/4)n U[n-3]

y[n] = 4 [n-1] 15/2 [n-2] (120n-56)(-1/4)n U[n-3]

n

0 1

4 1y[ ]

15 / 2 2

( 120 56)( 1/ 4) 3

n

nn

n

n n

Como alternativa x[n] puede expresarse como la suma de dos impulsos discretos lo que

permite que y[n] sea obtenida como una combinacin lineal de respuestas impulsivas

discretas.

x[n] = 2 [n-1] [n-2]

y[n] = 2 h[n-1] h[n-2]

[n] = U[n] = U[n] U[n-1]

h[n] = g[n] = g[n] g[n-1]

h[n] = (n+2)(-1/4)n U[n] [-4(n+1)(-1/4)n] U[n-1]

h[n] = 2 [n] + (n+2)(-1/4)n U[n-1] + 4(n+1)(-1/4)n U[n-1]

h[n] = 2 [n] + (5n+6)(-1/4)n U[n-1]

y[n] = 2{2 [n-1] - 4(5n+1)(-1/4)n U[n-2]} {2 [n-2] + 16(5n-4)(-1/4)n U[n-3]}

y[n]=2{2 [n-1] 11/4 [n-2]-(20n+4)(-1/4)n U[n-3]} {2[n-2] + (80n-64)(-1/4)n U[n-3]}

y[n] = 4 [n-1] 15/2 [n-2] (120n-56)(-1/4)n U[n-3]

Tambin es posible expresar x[n] como una combinacin lineal de rampas discretas r[n]

trasladadas y y[n] como la misma combinacin lineal de respuestas rampa f[n] trasladadas.

Para el efecto se necesita conocer la respuesta rampa discreta del sistema.

r[n] = [ 1]=

f[n] = [ 1]=

g[k-1] = -4(k+1)(-1/4)k U[k-1]

g[k-1] = -4(k+1)(-1/4)k U[k] + 4 [k]

f[n] = 4(k + 1)(1/4)k U[k] = + 4 [k]=


f[n] = -4 (1

4)

k 4 =0 k(1/4)

k =0 + 4 U[n]

f[n] = -4[1 (-1/4)n+1]/(1 + ) U[n] 4 (-1/4) d/d(-1/4) (1

4)

k =0 + 4 U[n]

f[n] = -16/5[1 + 1/4(-1/4)n]U[n] + [-(n+1)(-1/4)n5/4 + 1 + 1/4(-1/4)n]/(1 + )2U[n] + 4 U[n]

f[n] = [4/5 - 4/5 (-1/4)n 4/5 (n+1) (-1/4)n + 16/25 + 4/25 (-1/4)n] U[n]

f[n] = [36/25 (4/5 n + 36/25)(-1/4)n] U[n]

Si se observa la composicin de las respuestas rampa f[n], paso g[n] e impulso h[n] se

encuentra que los trminos comunes corresponden al aporte del sistema lineal e invariante

en el tiempo discreto y se conocen como forma homognea de la solucin.

Ejemplo:

Si la respuesta paso transpuesta, trasladada y escalada en tiempo de un SLI es la seal:

g(-2t + 3) = [1 (4t - 5) exp(4t 6)] U(-2t + 3),

obtener y(t) la respuesta del sistema a la seal:

x(t) = (2t 3)U(t) - (t).

Primero se debe obtener g(t) la respuesta paso del sistema, reemplazando t por (-t+3)/2:

g(t) = [1 + (2t 1) exp(-2t)] U(t)

x(t) = 2t U(t) 3 U(t) - (t)

y(t) = 2f(t) - 3g(t) h(t)

() = ()

() = ()

() = [1 + (2 1)2]

0

f(t) = t [1 exp(-2t)] U(t)


h(t) =

()

h(t) = (-4t + 4) exp(-2t) U(t)

y(t) = 2{t [1 exp(-2t)] U(t)} - 3[1 + (2t 1) exp(-2t)] U(t) - (-4t + 4) exp(-2t) U(t)

y(t) = [2t 3 (4t + 1) exp(-2t)] U(t)

Si se observa la composicin de las respuestas rampa f(t), paso g(t) e impulso h(t) se

encuentra que los trminos comunes corresponden al aporte del sistema lineal e invariante

en el tiempo continuo y se conocen como forma homognea de la solucin.

En general, para un Sistema Lineal e Invariante tanto continuo como discreto, su respuesta

a dos seales de entrada cualquiera contiene trminos comunes llamados homogneos.

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Señales y Sistemas