8/16/2019 Señales y Sistemas en tiempo discreto

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Discrete-time Signals and SystemsVictoria Nicole Yánez Garzón

 Departamento de El´ ectrica y Electr ́  onica, Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE 

Sangolqu´ ı-Ecuador 

vnyanez@espe.edu.ec

 Resumen—El presente informe de laboratorio presenta unpeque ˜ no banco de ejercicios orientados a la aplicación de se ˜ nalesy sistemas en tiempo discreto. En esta práctica se ha hechouso de la herramienta computacional matemática MATLAB, lacual es utilizada constantemente en la carrera y cuyo manejo esfundamental para permitirnos realizar y comprobar conceptosadquiridos por teorı́a de se ˜ nales y sistemas.

 Abstract—This laboratory report presents a small Bank of exercises aimed at the application of signals and systems indiscrete time. This practice has been using the computationalmathematical MATLAB, which is used constantly in the raceand whose operation is essential to enable us to make and testconcepts acquired by theory of signals and systems.

I. INTRODUCCI ÓN

 I-A. Objetivos

Familiarizar al estudiante con el tratamiento de señales

discretas en Matlab.

Entender la funcionalidad de los diversos comandos

existentes en Matlab para el procesamiento de señales

discretas.

 I-B. Fundamento Te´ orico

Las señales discretas se representan con una secuencia de

números denominados muestras.

Una muestra de una señal o secuencia se denota por

x[n] siendo   n   entero en el intervalo   −∞   < n <   ∞(x[n] = x[nT ])[1]

Muestreo

El proceso de muestreo puede ser visto como un mapeo de

una función de tiempo continuo en un conjunto de muestrasde tiempo discreto. Sin embargo, dado este conjunto de

muestras, puede no especificar la función de tiempo continuo

original en una manera única. Para reducir esta incertidumbre,

debemos especificar la frecuencia de muestreo empleada para

generar las muestras concretas.

Por ejemplo, teniendo una función   f 1(t) = c o s 2π3t   de3   Hz  muestreada a   f s   = 10   muestras por segundo para unintervalo de 1seg de tiempo, se tiene:

Fig 1. Función en coseno en el tiempo y su muestreo (MATLAB)

Un ejemplo muy similar, con la misma frecuencia de

muestreo e intervalo de tiempo, desde una función coseno de

7  H z  dada por  f 2  = cos 2π7t

Fig 2. Función en coseno en el tiempo y su muestreo (MATLAB)

Para eliminar la ambigüedad mostrada en este ejemplo, se

debe usar el   teorema del muestreo. El resultado indica que

a 7Hz la función coseno no debe ser muestreada con   f s   =10 H z, ya que en este caso, la frecuencia mı́nima de muestreodebe estar por encima de  f s = 14  H z.

II. MÉTODOS Y MATERIALES

Computador con software Matlab instalado.

Uso de MATLAB R2013a

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III. PROCEDIMIENTO

 III-A. Ejercicio 1

Calcular la suma de convolución del siguiente par de

frecuencias usando el comando   conv  de MatLab.

x[n] =

1,   0 ≤ n ≤ 20,   3 ≤ n ≤ 6

1,   7≤

n≤

80, otherwise

y

h[n] =

  n,   1 ≤ n ≤ 4

0, otherwise

Fig 3. Código para la convolución (MATLAB)

 III-B. Ejercicio 2

Calcular y [n] = x[n] ∗ x[n] ∗ x[n] ∗ x[n], usando la funciónconv  de Matlab para la siquiente secuencia:

x[n] =

  n; 0 ≤ n ≤ 10;   casocontrario

Fig 4. Código para obtener 4 veces convolución de una señal, es decirtrabajamos con un sistema en serie. (MATLAB)

 III-C. Ejercicio 3

Escriba un programa en Matlab para graficar las muestras

de las soluciones de las siguientes ecuaciones de diferencias

desde n  = 0  a  n  = 20:

a)   y[n]+2y[n−1]+y[n−2] = 0, y[0] = 1   and y[1] = 0

Fig 5. Código paraobtener la respuesta a la ecuación de diferencias del literal  a

(MATLAB)

b)   y[n]+y[n−1]+2y[n−2] = 0, y[−1] = 1   and y[0] = 1

Fig 6. Código paraobtener la respuesta a la ecuación de diferencias del literal  b

(MATLAB)

 III-D. Ejercicio 4

Escriba un programa Matlab para calcular las respuestas

de impulso de los sistemas descritos siguiendo ecuaciones de

diferencias:

a)   y[n] + y[n − 1] + y[n − 2] =  x[n]

Iniciamos primero estableciendo que nuestra señal

de entrada x[n] trabajará o sera considerada como

un impulso unitario en tiempo discreto, para que de

esa forma la solución a la respuesta impulso de laecuación diferencial planteada posee una respuesta

particular igual a cero y de es forma su resolución no

se complique demasiado.

Por lo tanto mediante el uso de bucle finitos como el

lazo for crearemos nuestra señal con rango en n y no

en su amplitud, y de esa forma para hallar su resultado

trabajaremos con las señales que dependen del presente

y del pasado, es decir con un sistema causal.

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Fig 7. Código para resolver una ecuación diferencial y obtener surespuesta impulso de a). (MATLAB)

b)   4y[n] + y[n − 1] + 3y[n − 2] =  x[n] + x[n − 4]

De igual forma como el ejercicio anterior asumimos que

nuestra señal de entrada x[n] es un impulso unitario en

tiempo discreto, por lo que de igual forma para esta-

blecer estas señales y la respuesta al impuso debemos

utilizar el ciclo repetitivo finito con lazo for.

Fig 8. Código para resolver una ecuación diferencial y obtener surespuesta impulso de b). (MATLAB)

 III-E. Ejercicio 5

Escriba un programa en Matlab para graficar la respuesta

en estado estable para la entrada   x[n] = s i n (ωn)µ[n]   delos filtros descritos por las siguientes tres ecuaciones de

diferencias. Con un  ω  =  π/3  y  ω  =  π:

a)   y[n] + y[n − 1] + y[n − 2] = x[n]

Se establecen las secuencias dadas, usando la condición

en estado estable, se van formando los valores x[n] con

el ciclo for para esta función discreta. Luego con otro

ciclo for realizamos el mismo procedimiento usando la

misma longitud de   n   se van almacenando los valoresdiscretos en la función resultante  y [n]

Fig 9. Código para obtener la respuesta en estado estable para laentrada x[n] con  ω  =  π/3  (MATLAB)

El mismo código se utiliza cuando se cambia   ω, elreemplazo se realiza en la generación de la secuencia

x[n]  con ω  =  π.

b)   y[n] −1

2y[n − 1] =  x[n]

Para éste y el siguiente literal el cambio que se realiza es

en la secuencia de entrada  x[n]  para los dos diferentesω.

Fig 10. Código para obtener la respuesta en estado estable para laentrada x[n] con  ω  =  π/3  (MATLAB)

c)   y[n] = x[n − 2] + 2x[n − 1] + x[n]

Fig 11. Código para obtener la respuesta en estado estable para laentrada x[n] con  ω  =  π/3  (MATLAB)

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 III-F. Ejercicio 6 

Supongamos que queremos procesar la señal en tiempo

continuo xa(t) = 3cos(2π1000t) + 7sen(2π1000), usando unsistema de tiempo discreto. La frecuencia de muestreo usada

es 4000 muestras por segundo. El procesamiento en tiempo

discreto llevó a cabo en las muestras de la señal   x(n)   sedescribe por la siguiente ecuación en diferencias:

Fig 12. Código para obtener la señal continua y discreta muestreada a una

frecuencia establecida por el ejercicio. (MATLAB)

IV. RESULTADOS Y AN ÁLISIS

 IV-A. Ejercicio 1

En esta aplicación se usó las 11 muestras de las funciones

entrada e impulso, en la figura podemos observar que a partir

de n  = 12, la función es cero. Esto se debe a que en la entradase tienen 11 muestras (de las cuales 5 son diferentes de cero)

y cuatro en el impulso  h[n].

Fig 13. Resultado de la convolución de las secuencias  x[n]  y  h[n](MATLAB)

 IV-B. Ejercicio 2

Lo que nos muestra estos resultados es que cuando tra-

bajamos con sistemas que se encuentran en serie realizando

convoluciones con el mismo tipo de señal de entrada, en esta

caso obtendremos una señal par que se va a ir desplazando en

su eje n, y su amplitud tiende a aumentar para las muestras

del centro y disminuye como se muestra en la figura, y esto

se debe a la realimentación que existe entre los sistemas.

Fig 14. Resultado de la convolución de un sistema en serie realimentadocon la misma señal de entrada y de salida. (MATLAB)

 IV-C. Ejercicio 3

Para las dos ecuaciones de diferencias se ha realizado un

pequeño cambio en la amplitud de los términos   y[n − 1]   yy[n − 2], intercambiando el número   2   en cada uno de ellosrespectivamente. El resultado es notablemente diferente; para

la primera ecuación su respuesta es un muestreo sobre y debajo

del eje, que crece paulatimante a diferencia del resultado de

y[n]  para la segunda ecuación de diferencias.

a)

Fig 15. Solución a la ecuación de diferenciasy[n] + 2y[n− 1] + y[n− 2] = 0  (MATLAB)

b)

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Fig 16. Solución a la ecuación de diferenciasy[n] + y[n− 1] + 2y[n− 2] = 0  (MATLAB)

 IV-D. Ejercicio 4

En el resultado que podemos apreciar por parte de esteprograma es que nuestra respuesta de impulso de nuestra

ecuación diferencial para valores menores que cero siempre

será nulo, lo que nos puede demostrar que nuestro sistema

esta relajado, esta gráfica tiene valores para mayores o igual

a cero.

a)Fig 17. Resultado de la convolución de las secuencias  x[n]  y  h[n]

(MATLAB)

b)

Fig 18. Resultado de la convolución de las secuencias  x[n]  y  h[n](MATLAB)

 IV-D. Ejercicio 5

La conclusión para este banco de figuras correspondiente

a las respuestas en estado estable de diferentes ecuaciones

de diferencias está en que para diferentes   ω   de la entradax[n] = sin(ωn)µ[n],   y[n]   es distinta. No obstante se tieneuna excepción en el literal   c)   ya que variando la entrada

con  ω   =  π/3   y  ω  =  π, nuestro  y[n]   es el mismo. Podemosatribuir esto a los similares valores matemático que toma

sin(π/3)  y  sin(π).

a)

Fig 19. Respuesta en estado estable  y [n]  con  ω  =  π/3  (MATLAB)

Fig 20. Respuesta en estado estable  y [n]  con  ω  =  π  (MATLAB)

b)

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Fig 21. Respuesta en estado estable y [n]  con  ω  =  π/3  (MATLAB)

Fig 22. Respuesta en estado estable y [n]  con  ω  =  π  (MATLAB)

c)

Fig 23. Respuesta en estado estable y [n]  con  ω  =  π/3  (MATLAB)

Fig 24. Respuesta en estado estable  y [n]  con  ω  =  π  (MATLAB)

 IV-E. Ejercicio 6 

Fig 25. Simulación de las señales en tiempo continuo y discreto dada la

frecuencia de muestreo. (MATLAB)

VI. CONCLUSIONESEl utilizar la herramienta de cálculo Matlab permite

realizar procesos de muestreo, y trabajar con las señales

en tiempo continuo y discreto de dichas muestras de

una forma que me permite apreciar el funcionamiento

de los procesos digitales, dando mayor facilidad a la

compresión de los mismos.

Matlab la herramienta fundamental para el desarrollo y

entendimiento de esta asignatura pues mediante este se

puede comprar fenómenos como el proceso y la condicio-nes de la frecuencia de Nyquist además de comprender

como se visualiza las señales de ruido y como funciona

un filtro.

REFERENCIAS

[1] Martı́nez Sober, M., Serrano López, A. J., & Gómez Sanchis, J. (2009). Introducci´ on al procesado digital de se˜ nales. Obtenido de Universidadde Valencia: http://ocw.uv.es/ingenieria-y-arquitectura/1-1/tema3.pdf