Sistemas en Tiempo Discreto

Sistemas en tiempo discretoGamaliel Moreno ChvezSistemas Telemticos IIUniversidad Politcnica de San Luis PotosITEM

12 de agosto de 2015

Gamaliel Moreno Chvez Sistemas Telemticos IISistemas(Universidaden tiempoPolitcnicadiscretode San Luis Potos12 de ITEM)agosto de 2015

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Contenido

Denicin.Propiedades.Anlisis de sistemas LTI por descomposicinConvolucin.Sistemas discretos descritos por ecuaciones de diferencias.


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Sistema discreto

A los dispositivos que operan sobre seales de variable discreta (o tiempodiscreto) se les denomina sistemas discretos. En general, reciben una sealde entrada x(n) para producir una seal de salida y (n). Se dice que elsistema transforma x(n) en y (n).


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Sistema discreto

y (n) = T [x(n)]

donde T representa al operador de transformacin


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EjemploDeterminar la salida de los siguientes sistemas para la entrada(x(n)

3 |n|0

para 2 n 2para el resto

y (n) = x(n)y (n) = x(n 2)y (n) = max{x(n + 1), x(n), x(n 1)}nXx(k)y (n) =k=


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Propiedades


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Sistemas estticos y dinmicosEn un sistema esttico, o sin memoria, la salida y (n) depende solo de laentrada x(n) en el mismo instante n, y no de las entradas pasadas ofuturas. Todos los otros casos son sistemas dinmicos.

y (n) = ax(n) + nx 2 (n) + bx 3 (n)

y (n) =

nX

ak x(n k)

k=0


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Sistemas variantes e invariantes en el tiempo

Un sistema T en reposo es invariante en el tiempo o invariante aldesplazamiento si y slo si

T

T

x(n) y (n) x(n k) y (n k)


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Ejemplo

Determine si los siguientes sistemas son o no invariantes en el tiempo:y (n) = x(n) x(n 1)y (n) = x(n)cos(0 n)


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Sistemas lineales y no linealesUn sistema es lineal si satisface el teorema de superposicin, es decir, paracualesquiera dos constantes a1 , a2 y para toda seal x1 (n) y x2 (n) secumple

T [a1 x1 (n) + a2 x2 (n)] = a1 T [x1 (n)] + a2 T [x2 (n)]

y

T [x1 (n) + x2 (n)] = T [x1 (n)] + T [x2 (n)]

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Ejemplo

Compruebe si los siguientes sistemas son lineales.y (n) = nx(n)y (n) = x 2 (n)y (n) = e x(n)


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Sistemas causales y no causales

Un sistema es causal si y(n) depende nicamente de las entradas presentesy pasadas (x(n), x(n 1), x(n 2), ...), y salidas pasadas(y (n 1), y (n 2), ...), pero no de las entradas o salidas futuras(x(n + 1), x(n + 2), ...; y (n + 1), y (n + 2), ...). En caso contrario, el sistemaes no causal.


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Sistemas estables e inestables

Un sistema arbitrario en reposo se denomina estable de entrada acotada salida acotada (BIBO: bounded input - bounded output) si toda entradaacotada produce una salida acotada:

T

|x(n)| Mx < |y (n)| My < , n Z


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Anlisis de sistemas discretos lineales e invariantes en eltiempoEl anlisis de sistemas se simplica enormemente si estos son lineales einvariantes en el tiempo (LTI: Linear and Time Invariant). Existen dosmtodos bsicos para el anlisis del comportamiento de un sistema:

DescomposicinDescomposicin de la seal de entrada en seales elementales, cuyarespuesta es conocida.

Ecuacin de diferencias

Solucin de la ecuacin de diferencias, tcnica usada para el diseo deltros digitales.


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DescomposicinSupngase que la entrada x(n) puede expresarse como una sumaponderada de funciones elementales xk (n)

x(n) =

X

ck xk (n)

k

donde ck son los coecientes de ponderacin o pesos de la descomposicionde la seal x(n). Si la respuesta del sistema en reposo a xk (n) es yk (n), esdecir

yk (n) = T [xk (n)]


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Descomposicin

Entonces con la propiedad de linealidad se obtiene

yk (n) = T [xk (n)] = T

"Xk

#ck xk (n) =

Xk

ck T [xk (n)] =

X

ck yk (n)

k

En otras palabras, si el sistema es lineal, la respuesta y (n) del sistema auna entrada x(n) es igual a la suma ponderada de las repuestas yk (n) acada una de las componentes xk (n) en que se puede descomponer x(n)


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Descomposicin

En esta descomposicin, la eleccin de las funciones elementales dependerde las caractersticas de las seales a evaluar. Dos clases de funciones sonusuales: impulsos ((n k)) y funciones exponenciales complejas e jk n ,esta ltima utilizndose frecuentemente en el llamado anlisis frecuencial.


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DescomposicinUtilizando impulsos desplazados como funciones elementales puedeexpresarse cualquier seal x(n) como:

x(n) =

X

x(k)(n k)

k=

Ejemplo. Descomponga la seal

x(n) = {0, 1, 2, 1, 1/2, 1}


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ConvolucinSi se denota con h0 (n, k) la respuesta del sistema a un impulso desplazadok unidades (n k)

h0 (n, k) = T [(n k)]

entonces la salida de un sistema lineal puede calcularse con las repuestaselementales a dichos impulsos desplazados:

y (n) =

Xk

ck yk (n) =

X

x(k)h0 (k, n)

k

donde se han utilizado xk (n) = (n k) como entradas elementales y porlo tanto los coecientes ck = x(k)Gamaliel Moreno Chvez Sistemas Telemticos IISistemas(Universidaden tiempoPolitcnicadiscretode San Luis Potos12 de agostoITEM)de 2015

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ConvolucinSi el sistema es adems invariante en el tiempo, entonces conh(n) = T [(n)] se tiene que h0 (n, k) = h(n k) y por lo tanto

y (n) =

X

= x(k)h(n k) = x(n) h(n)

k=

que se denomina sumatoria de convolucin. Se dice entonces que larespuesta del sistema LTI y (n) a una entrada x(n) es igual a la convolucinde x(n) con la respuesta al impulso h(n). Esto quiere decir que

Respuesta de un LTIEn un sistema LTI en reposo su respuesta a cualquier entrada puededeterminarse con slo conocer dicha entrada y la respuesta al impulso h(n)

y (n) = x(n) h(n)


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Propiedades de la convolucin

Conmutatividadx(n) h(n) = h(n) x(n)

Asociatividad[x(n) h1 (n)] h2 (n) = x(n) [h1 (n) h2 (n)]

Distributividadx(n) [h1 (n)] + h2 (n)] = x(n) h1 (n) + x(n) h2 (n)


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Sistemas de respuesta nita e innita

Es til distinguir los sistemas entre aquellos con una respuesta nita alimpulso (FIR: Finite Impulse Response) y aquellos con respuesta innita alimpulso (IIR: Innite Impulse Response) por las consideraciones prcticasque los distintos conceptos conllevan


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Sistemas discretos descritos por ecuacin de diferencias

El clculo de la convolucin

y (n) =

X

h(k)x(n k)

k=

slo es posible para sistemas FIR, puesto que en el caso de sistemas IIR serequerira de una memoria innita para almacenar h(n), y un nmeroinnito de multiplicaciones y adiciones para calcular una sola muestra de lasalida. Las llamadas ecuaciones de diferencias permiten trabajar consistemas IIR


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Sistemas discretos recursivos y no-recursivos

La salida y (n) de los sistemas recursivos depende de salidas pasadasy (n 1), y (n 2), ... Ejemplo: promedio acumulativo

y (n) =

1

n+1

nX

x(k)

k=0


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Sistemas discretos recursivos y no-recursivos

La salida y (n) de los sistemas no recursivos depende solamente de entradaspresentas y pasadas x(n), x(n 1), x(n 2), ...x(n M) Ejemplo: SistemFIR causal

y (n) =

MX

h(k)x(n k)

k=0


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