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Septiembre 2013. Pregunta 2B.- La velocidad de una partícula que describe un movimiento armónico simple alcanza un valor máximo de 40 cm s‒1. El periodo de oscilación es de 2,5 s. Calcule:
a) La amplitud y la frecuencia angular del movimiento. b) La distancia a la que se encuentra del punto de equilibrio cuando su velocidad es de 10 cm s‒1.
Solución. a. La expresión matemática de un movimiento armónico simple es:
( ) ( )oφt ω sen Aty += La velocidad del m.a.s. es la derivada de la posición con respecto al tiempo.
( ) ( ) ( )( ) ( )oo φt ω cosωAφt ω sen Adtd
dtty dtv +=+==
La expresión de la velocidad máxima será cuando la parte trigonométrica de la ecuación valga 1. ωAvmax =
La velocidad angular o frecuencia angular se puede calcular a partir del periodo:
srad5π4
5,2π2
Tπ2
ω ===
Conocida la velocidad angular, se calcula la amplitud del movimiento a partir de la velocidad máxima.
ωAvmax = cm 16m 16.0π21
5π41040
ω
vA2
max =≈=×==−
b. Partiendo de la expresión de la velocidad y operando con la ecuación se puede obtener una ecuación que relaciona la velocidad y la posición.
( )oφt ω cosωAv += Elevando al cuadrado ( )o2222 φt ωcosωAv +=
Por trigonometría se transforma el coseno en seno:
( )( )o2222 φt ωsen1ωAv +−= ( )
+−=444 3444 21
2x
o22222
φt ωsenAAωv ( )2222 xAωv −=
La última expresión permite despejar x en función de v
2
222
ω
vxA =− ; 2
222
ω
vAx −= ; 2
22
ω
vAx −=
( )( )
cm 15,4m 154,05π4
1010π21x 2
222==×−
=−
Junio 2013. Pregunta 2B.- En el extremo libre de un resorte colgado del techo, de longitud 40 cm, se cuelga un objeto de 50 g de masa. Cuándo el objeto esta en posición de equilibrio con el resorte, este mide 45 cm. Se desplaza el objeto desde la posición de equilibrio 6 cm hacia abajo y se suelta desde el reposo. Calcule:
a) El valor de la constante elástica del resorte y la función matemática del movimiento que describe el objeto.
b) La velocidad y la aceleración al pasar por el punto de equilibrio cuando el objeto asciende. Solución. a. m 4,0lo = g 50m = m 45,0l = m 06,0A =
lkF ∆⋅= mN 8,9
05,08,91050
lFk
3=⋅×=
∆=
−
La función matemática del movimiento es: ( ) ( )oφ tωsen Aty +=
kxxωm:xkFxωaamF
22 −=−
⋅−=−=
⋅= ; 2ωmk = ; s
rad 1410508,9
mk
ω 3 =×
== −
2
Para calcular el desfase inicial, se tiene en cuenta que: ( ) ( )
( ) ( )oo
φ0ωsen AA:A0y 0, tParaφ tωsen Aty
+⋅=−
−==+=
rad2π
φ1φ sen oo −=⇒−=
( )
−=2π14tsen 06,0ty
b. En el punto de equilibrio:
==
0avv máx
( ) ( )oφ tωsen Aty +=
( ) ( )( ) ( )oo φ tω cos ωAφ tωsen Adtd
dtdytv +=+==
( ) 1φ tωcosv omax =+⇔ ; 1max s m 84,01406,0ωAv −=⋅=⋅=
Modelo 2013. Pregunta 2A.- Un objeto está unido a un muelle horizontal de constante elástica 2×104 Nm‒1. Despreciando el rozamiento:
a) ¿Qué masa ha de tener el objeto si se desea que oscile con una frecuencia de 50 Hz? ¿Depende el periodo de las oscilaciones de la energía inicial con que se estire el muelle? Razone la respuesta.
b) ¿Cuál es la máxima fuerza que actúa sobre el objeto si la amplitud de las oscilaciones es de 5 cm?
Solución. a. Teniendo en cuenta la Ley de Hooke, el 2º principio de la dinámica y la expresión de la aceleración en un movimiento armónico simple (MAS), se obtiene una relación para la constante elástica en función de la masa y la velocidad angular.
22
2ω mkxω mx k:
xωa
a mx k:a mF
k xF=⇒−=−
−=
=−
=−=
( ) kg 2,050π4
102fπ4
kmf π2 mk:f π2ω
ω mk22
4
222
2=
⋅×==⇒=
==
El periodo de oscilación no depende de la energía inicial con la que se estire el muelle, depende de la masa unida al muelle y de la constante recuperadora del muelle.
mk
π2TTπ2 mk:
Tπ2
ω
ω mk 22
=⇒
=
==
b. Aplicando la ley de Hooke (F = ‒kx), si x = A ⇒ F = Fmax
N100005,0102AkF 4max −=⋅×−=⋅−=
Septiembre 2012. Pregunta 1A.- Un objeto de 100 g de masa, unido al extremo libre de un resorte de constante elástica k, se encuentra sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Se estira, suministrándole una energía elástica de 2 J, comenzando a oscilar desde el reposo con un periodo de 0,25 s. Determine:
a) La constante elástica y escriba la función matemática que representa la oscilación. b) La energía cinética cuando han transcurrido 0,1 s.
Solución. a. Teniendo en cuenta la Ley de Hooke, el 2º principio de la dinámica y la expresión de la aceleración en un movimiento armónico simple (MAS), se obtiene una relación para la constante elástica en función de la masa y la velocidad angular.
22
2ω mkxω mx k:
xωa
a mx k:a mF
k xF=⇒−=−
−=
=−
=−=
3
12
322
m N 17,6325,0π210100
Tπ2 mk:
Tπ2
ω
ω mk −− =
⋅×=
=
==
La posición de un MAS viene dada por la expresión:
( ) ( )oφt ω sen Atx += El valor de la energía mecánica suministrada al estirar el muelle, permite calcular la amplitud (A) de movimiento.
2M A k
21E = m 25,0
17,6322
kE2A M =⋅==
Para calcular el desfase inicial (ϕo), se tiene en cuenta que la masa empieza a oscilar desde la posición de elongación máxima “Se estira, suministrándole una energía elástica de 2 J, comenzando a oscilar desde el reposo”.
( ) ( )oφ0ωAsenA0tx +⋅=== 1φ sen o = 2π
φo =
La velocidad angular (ω) se calcular a partir del periodo
1s rad π825,0π2
Tπ2
ω −===
Sustituyendo en la expresión de la posición, se obtiene la función matemática que representa la oscilación.
( )
+=2πt π8 sen 25,0tx
b. El apartado se puede resolver por dos caminos diferentes:
• Mediante la definición de energía cinética, calculando la velocidad para t = 1 s: 2
c mv21E =
( )
+⋅=⋅
+⋅=
+⋅==2πt π8cosπ2π8
2πt π8cos25,0
2πt π8sen25,0
dtd
dtdxtv
( ) 1s m 7,32π0,1π8cosπ21,0v −−=
+⋅⋅=
( ) J 7,07,31010021mv
21E 232
c =−⋅×⋅== −
• Expresando la energía cinética en función de la posición:
( ) ( )( ) ( )( )o222
o22
o2222
c φt ωsenAAK 21
φt ωsen1AK 21
φt ωcosωA m21mv
21E +−=+−=+==
( )22c xAK
21E −=
La posición para t = 0,1 s es:
( ) 2,02π1,0π8 sen 25,01,0x −=
+⋅=
Sustituyendo en la expresión se obtiene la energía cinética.
( ) ( )( ) J 7,02,025,02,6321xAK
21E 2222
c =−−⋅=−= Nota: Para que en los cálculos coincidan ambos resultados se tienen dos opciones, o arrastrar los datos en todos los cálculos utilizando todos los decimales, o redondear los resultados a la primera cifra decimal.
4
Modelo 2012. Pregunta 2A.- Un objeto de 2 kg de masa unido al extremo de un muelle oscila a lo largo del eje X con una amplitud de 20 cm sobre una superficie horizontal sin rozamiento. El objeto tarda 9 s en completar 30 oscilaciones, y en el instante de tiempo t = 0 su posición era xo = +10 cm y su velocidad positiva. Determine:
a) La velocidad del objeto en el instante t = 1,2 s. b) La energía cinética máxima del objeto.
Solución.
A = 20 cm s 3,0309T ==
>==
= 0v
m 0,1cm 10y:0 tSi
a. Para calcular la velocidad del objeto en un instante determinado (t = 1,2 s) es necesario conocer la ecuación que describe el movimiento. El objeto realiza un movimiento armónico simple que viene descrito por la ecuación:
( )oφ tωsen A y +=
Donde A = 20 cm = 0,2 m; srad
3π20
3,0π2
Tπ2
ω === ; y el desfase inicial se calcula con los
datos de condiciones iniciales.
Para t = 0: ( )oφ0ωsen 0,20,1y +⋅== :
=
==
6π5
φ
6π
φ
:21
φsen o
oo
Las posibles expresiones de la posición son:
+=6π
t3π20
sen 2,0y
+=6π5
t3π20
sen 2,0y
El signo de la velocidad para t = 0 nos permite deducir cual de las dos expresiones es la que corresponde al movimiento La expresión de la velocidad, es la derivada de la posición respecto del tiempo.
+=
+=
+==6π
t3π20
cos3π4
6π
t3π20
cos3π20
2,06π
t3π20
sen 2,0dtd
dtdy
v
+=
+=
+==6π5
t3π20
cos3π4
6π5
t3π20
cos3π20
2,06π5
t3π20
sen 2,0dtd
dtdy
v
Para t = 0:
<=
+⋅=
>=
+⋅=
06π5
cos3π4
6π5
03π20
cos3π4
v
06π
cos3π4
6π
03π20
cos3π4
v
• Posición:
+=6π
t3π20
sen 2,0y
• Velocidad:
+=6π
t3π20
cos3π4
v
Para t = 1,2: ( ) 1s m 6,36π
π8cos3π4
6π
2,13π20
cos3π4
2,1tv −=
+=
+⋅==
b. Se puede hacer de dos formas distintas:
• Por definición de energía cinética: 2c mv
21E =
5
( ) 2máxc mv
21
máxE =
( )( ) ωAv:
1φ tωcosvφ tωcos ωAv
máxomáx
o =
=+⇔+=
( ) ( ) J 5,173π20
2,0221
ωmA21
ωAm21
máxE2
2222c =
⋅⋅⋅===
• Por conservación de energía. ( ) ( ) 2pc kA
21
maxEmáxE ==
km
π2T = : 12
2
2
2m N 3,877
3,02π4
Tmπ4
k −=⋅
==
( ) ( ) J 5,172,03,87721
kA21
maxEmáxE 22pc =⋅===
Septiembre 2011. Cuestión 1B.- Se dispone de un oscilador armónico formado por una masa m sujeta a un muelle de constante elástica k. Si en ausencia de rozamiento se duplica la energía mecánica del oscilador, explique que ocurre con:
a) La amplitud y la frecuencia de las oscilaciones. b) La velocidad máxima y el periodo de oscilación.
Solución.
a. La energía mecánica del oscilador viene expresada por 2m KA
21E = . Si se duplica la energía
mecánica 2m AK
21E ′=′ , comparando ambas expresiones:
2
2
m
m
KA21
AK21
EE ′
=′
: mm E2E =′ : 2
2
AA2
′= : A2A ⋅=′
La amplitud aumenta. La frecuencia depende de la constante recuperadora del oscilador y de la masa, como estas no varían, la frecuencia tampoco.
km
π2f1 =
b. La velocidad máxima viene dada por ωAvmáx ⋅= , Si aumentamos la energía mecánica, la
nueva velocidad máxima vendrá expresada por ωAvmáx ′⋅′=′ , comparando:
ωAωA
vv
máx
máx⋅
′⋅′=
′
Teniendo en cuenta que A2A ⋅=′ y que ωω =′ ya que K y m permanecen constantes
2vv
máx
máx =′
: máxmáx v2v ⋅=′
La velocidad máxima de oscilador aumenta. Si la frecuencia permanece constante, el periodo también permanece constante. Junio 2011. Problema 1A.- Se tiene una masa m = 1 kg situada sobre un plano horizontal sin rozamiento unida a un muelle, de masa despreciable, fijo por su extremo a la pared, Para mantener estirado el muelle una longitud de x = 3 cm, respecto de su posición en equilibrio, se requiere una fuerza de F = 6 N. Si de deja el sistema masa-muelle en libertad:
a) ¿Cuál es el periodo de oscilación de la masa?
6
b) Determine el trabajo realizado por el muelle desde la posición inicial, x = 3 cm, hasta su posición de equilibrio, x = 0.
c) ¿Cuál será el módulo de la velocidad de la masa cuando se encuentre a 1 cm de su posición de equilibrio?
d) Si el muelle se hubiese estirado inicialmente 5 cm, ¿cuál sería su frecuencia de oscilación? Solución. a. El periodo de oscilación del muelle se obtiene a partir de la constante recuperadora del muelle.
mωk 2= ; km
π2T =
La constante k se obtiene aplicando la ley de Hooke( )xkF ⋅−= a los datos el enunciado. Usando la expresión en módulo:
xkF ⋅= ; mN200
m 103N 6
xF
k 2- =×
==
Conocido el valor de K y la masa se calcula el periodo.
s 44,02001
π2km
π2T ===
b. ( ) ( )( ) =
⋅−⋅−=−−=∆−= 2i
2fppp xk
21
xk21
inicialEfinalEEW
( ) J 09,010320021
020021 222 =
×⋅−⋅− −
c. Conocida la energía mecánica
⋅= 2m Ak
21
E y la posición (Energía potencial), se puede
calcular la energía cinética y de esta obtener la velocidad cpm EEE +=
222 vm21
xk21
Ak21
⋅+⋅=⋅
222 v121
01,020021
03,020021
⋅+⋅=⋅
16,0v2 = ; sm4,016,0v ==
d. Según pone de manifiesto la relación utilizada en el apartado a
=
km
π2T , el periodo, y por
tanto la frecuencia depende de k y m, y no de la amplitud, por lo tanto la frecuencia será la misma Hz 27,244,01T1ν ===
Modelo 2011. Cuestión 1A. Un cuerpo de masa 250 g unido a un muelle realiza un movimiento armónico simple con una frecuencia de 5 Hz. Si la energía total de este sistema elástico es 10 J:
a) ¿Cuál es la constante elástica del muelle? b) ¿Cuál es la amplitud del muelle?
Solución. a. Combinando la 2ª ley de la dinámica y la Ley de Hooke, se halla una relación entre la constante recuperadora y el periodo.
22
2 ωmK:xKF
xωmF:xωaamF
⋅=
⋅−=
⋅−=
−=⋅=
: fπ2ω ⋅=
( ) 122222 Nm 7,2465250,0π4f mπ4fπ2mK −=⋅⋅==⋅⋅= b. Conociendo la energía mecánica y la constante, se calcula la amplitud.
7
2T KA
21E = : m 285,0
7,246102
KE2A m =⋅==
Septiembre 2010 F.M. Cuestión 1A.- Una partícula que realiza un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud tarda 2 s en efectuar una oscilación completa. Si en el instante t = 0 su velocidad era nula y la elongación positiva, determine:
a) La expresión matemática que representa la elongación en función del tiempo. b) La velocidad y la aceleración de oscilación en el instante t = 0,25 s.
Solución.
a. A = 10 cm; T = 2 s; Para T = 0:
>=
0x0v
La expresión matemática de la elongación en función del tiempo tiene por expresión: ( )oφ tωsen A x +=
srad π
2π2
Tπ2
ω ===
Para calcular el desfase inicial (ϕ), se tienen en cuenta los datos de que para t = 0, la velocidad es nula y la elongación positiva.
( )( ) ( )ϕ+ωω=ϕ+ω== tcosA tsen A dtd
dtdxv
( ) ( )
−=
==⇔==+⋅==
2πφ
2πφ
:0φcos0φcosωAφ0ωcosωA0tvo
oooo
Para saber cual desfase corresponde al movimiento propuesto, se tiene en cuenta que para t = 0, la elongación es positiva
( ) ( )( ) ( ) ( ) 2
π0x:A1A2
πsen A2π0ωsen A 0tx:2
π Si
A1A2πsen A2
π0ωsen A 0tx:2π Si
=⇔>
−=−⋅=−=−⋅==−=
=⋅==+⋅===:
La elongación en función del tiempo viene dada por la expresión:
( ) ( )2π tπsen 1,0tx +=
b. ( ) ( ) ( )2
πt πcosπ 1,0 tωcosωAtv +=+=
( ) ( ) sm
20π2
4π3cos
10π
2π0,25πcosπ 1,025,0tv −==+⋅==
( ) ( )( ) ( ) ( )2π tπsenπ 1,0 tωsen ωA tωcosωA
dtd
dtdvta 22 +−=+−=+==
( ) ( ) 2
222
sm
20π2
4π3sen
10π
2π0,25πsenπ 1,025,0ta −=−=+⋅−==
Septiembre 2010 F.G. Problema 2A.- Una partícula se mueve en el eje X, alrededor del punto x = 0, describiendo un movimiento armónico simple de periodo 2 s, e inicialmente se encuentra en la posición de elongación máxima positiva. Sabiendo que la fuerza máxima que actúa sobre la partícula es 0,05 N y su energía total 0,02 J, determine:
a) La amplitud del movimiento que describe la partícula. b) La masa de la partícula. c) La expresión matemática del movimiento de la partícula. d) El valor absoluto de la velocidad cuando se encuentre a 20 cm de la posición de equilibrio.
Solución. a. La amplitud del movimiento se puede obtener a partir de la fuerza máxima y la energía mecánica total. La fuerza a la que se ve sometida la partícula esta expresada por la ley de Hook (F = −k · x), alcanzando su valor máximo cuando la elongación se iguala a la amplitud.
8
AkFmáx ⋅−= Las fuerzas involucradas en el movimiento armónico simple son centrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, la expresión de la energía potencial en función de la elongación (x), se obtiene integrado la expresión de la fuerza con respecto a la elongación y cambiándola de signo.
2P xk
21E ⋅=
En el punto de elongación máxima (x = A), toda la energía mecánica es potencial (v = 0), obteniendo una expresión para la energía mecánica total en función de la amplitud.
2T Ak
21E ⋅=
Con las expresiones de la fuerza máxima y la energía mecánica se plantea un sistema que permite despejar la amplitud, que se toma en valor absoluto.
m 8,0A : 2A
N 05,0J 02,0:
N 05,0FJ 02,0E
:2A
Ak
Ak21
FE
:Ak
21E
AkF
máx
T2
máx
P2
T
máx==
==
=⋅−
⋅=
⋅=
⋅−=
b. El valor de la masa se puede obtener a partir de la constante (k = m ω2)
2
222
222
T2T
2
T
A m2AT2 m
21A m
21E:
Ak21E
mk π=
π=⋅ω=
⋅=ω=
kg103,68,02
02,02
A2
ETm :
T
A m2E 3
22
2
22T
2
2
22
T−⋅=
⋅π
⋅=
⋅π
⋅=
π=
c. Ecuación general del movimiento armónico simple: ( )ϕ+ω= tsen Ax
A = 0,8 m
srad
22
T2 π=π=π=ω
Desfase inicial: Para t = 0 ⇒ x = A: ( )ϕ+⋅π= 0sen AA
1sen =ϕ : 2
1arcsen π==ϕ
Sustituyendo los valores se obtiene la ecuación del movimiento armónico simple
π+π=2
tsen 8,0x
d. A partir de la energía cinética se puede obtener una expresión de la velocidad en función de la posición.
( )( ) ( ) ( )( )22c tcos A m
21 tcos A tsen A
dtd
dtdxvmv
21E ϕ+ωω=
ϕ+ωω=ϕ+ω====
( )( )22 tcos A m21mv
21 ϕ+ωω= : ( )ϕ+ωω= tcosAv 2222
Teniendo en cuenta: ( ) ( )ϕ+ω−=ϕ+ω tsen1 tcos 22
( )( )ϕ+ω−ω= tsen1Av 2222 : ( )
ϕ+ω−ω=44 344 21
2x
22222 tsenAAv : ( )2222 xAv −ω=
sm4,22,08,0xAv 2222 =−π=−ω=
9
Junio 2010. La gráfica muestra el desplazamiento horizontal: x = x(t) respecto del equilibrio de una masa de 0,5 kg unida a un muelle.
a) Obtenga la constante elástica del muelle b) Determine la energía cinética y potencial del
sistema en el instante: t = 0,25 s. Solución. a. La constante del muelle se puede relacionar con la masa y la frecuencia angular (ω)
2
222
Tπ4m
Tπ2m
Tπ2
ωωmk ⋅=
⋅=
==⋅=
En la gráfica adjunta se puede leer el periodo T = 0,4 s
mN37,1234,0π45,0k 2
2=⋅=
b. La energía potencial viene dada por la expresión:
2p xk
21E ⋅=
La posición de la partícula esta expresada por la ecuación: ( ) ( )oφt ωsen Atx +=
Donde: sradπ54,0π2
Tπ2
ω ===
De la gráfica adjunta: A = 0,05 m El desfase inicial, se obtiene teniendo en cuenta que x(t = 0) = A
( ) ( ) Aφ0ωsen A0x o =+⋅= 1φ sen o = rad2π
φo =
La posición de la partícula viene dada por: ( )
+=2πt π5sen 05,0tx
( ) m 035,02205,0
2π7sen 05,0
2π,250 π5sen 05,025,0x −≈−==
+=
( ) J 077,0035,037,12321xk
21E 22
p =−⋅⋅=⋅=
La energía cinética se calcula teniendo en cuenta que la suma de energía cinética y potencial es la energía mecánica, que se puede calcular como energía potencial máxima.
cinéticapotencialmecánica EEE += ( ) 2potencialmecánica Ak
21máximaEE ⋅==
potencial2
potencialmecánicacinética EAk21EEE −⋅=−=
J 077,0077,005,037,12321E 2
cinética =−⋅=
Junio 2010 F.M. Cuestión 1B.- Una partícula realiza un movimiento armónico simple. Si la frecuencia de oscilación se reduce a la mitad manteniendo constante la amplitud de oscilación, explique qué ocurre con: a) el periodo; b) la velocidad máxima; c) la aceleración máxima y d) la energía mecánica de la partícula. Solución.
2f
f o=
a. Periodo. El periodo es inverso a la frecuencia
ooo
T2f1
2
2f
1f1
T ====
10
El periodo se duplica. b. Velocidad máxima. Para un movimiento armónico simple, la velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo.
( ) ( )( ) ( )oo t cosAt Asendtd
dttdy
v ϕ+ωω=ϕ+ω==
La velocidad será máxima cuando la componente trigonométrica sea 1 ω= Avmáx
La velocidad angular se puede expresar en función de la frecuencia (ω =2πf). Af2f2Avmáx π=π=
2
v
2Af2
2f
A2Af2v omáxoomáx =
π=π=π=
La velocidad máxima se reduce a la mitad. c. Aceleración máxima. Siguiendo un procedimiento análogo al apartado anterior de calcula la aceleración máxima.
( ) ( )( ) ( )o2
o t sen At cosAdtd
dttdva ϕ+ωω−=ϕ+ωω==
( ) 1t senaa omáx =ϕ+ω⇔= 2
máx Aa ω−= Sustituyendo ω por 2πf:
( )4
a
4Af4
2f
A4Af4f2Aa omáx2o
22o2222
máx =π−
=
π−=π−=π−=
La aceleración máxima se reduce la cuarta parte.
d. Energía mecánica. 2m Ak
21E ⋅= La dinámica permite expresar k en función de ω y m (k = ω2m).
{ } ( ) 2222222m mAf2Amf2
21f2Am
21E π=⋅π=π=ω=⋅ω=
4
E
4mAf2
mA2f
2mAf2E om22o
22
2o2222
m =π
=
π=π=
La energía mecánica se reduce la cuarta parte. Junio 2010 F.G. Problema 1A.- Un sistema masa-muelle está formado por un bloque de 0,75 kg de masa, que se apoya sobre una superficie horizontal sin rozamiento, unido a un muelle de constante recuperadora K. Si el bloque se separa 20 cm de la posición de equilibrio, y se le deja libre desde el reposo, éste empieza a oscilar de tal modo que se producen 10 oscilaciones en 60 s. Determine:
a) La constante recuperadora K del muelle. b) La expresión matemática que representa el movimiento del bloque en función del tiempo. c) La velocidad y la posición del bloque a los 30 s de empezar a oscilar. d) Los valores máximos de la energía potencial y de la energía cinética alcanzados en este sistema
oscilante. Solución.
Movimiento armónico simple.
==×=
=
−
−
1
2
s61
6010f
cm1020AKg 75,0m
a. Según la ley de Hooke F = −Kx, siendo K la constante recuperadora y x la elongación del muelle. Teniendo en cuenta el 2º principio de la dinámica F = m a, e igualando:
−K x = m a Si se aplica la igualdad al punto de elongación máxima:
máxmáx a mx K =−
11
Si la masa unida al muelle inicia un movimiento armónico simple, la posición, velocidad y aceleración vienen dados por:
• Posición o elongación: ( )ϕ+ω= tsen Ax ; Ax máx =
• Velocidad: ( )ϕ+ωω== tcos Adtdxv ; ω= Avmáx
• Aceleración: ( )ϕ+ωω−== tsen Adtdva 2 ; 2
máx Aa ω−=
Si en la igualdad se sustituyen los valores de x máx y a máx por las expresiones obtenidas del movimiento armónico simple:
( )2 AmAK ω−⋅=⋅−
Simplificando: 2 mK ω=
La velocidad angular se puede expresar en función de la frecuencia. f 2T2 π=π=ω
( ) mN82,0s
61Kg 75,04f m4f 2 mK
212222 =
⋅π=π=π= −
b. ( ) ( )ϕ+ω= tsen Atx : srad
362f 2
T2 π=π=π=π=ω
Para determinar la fase inicial se tiene en cuenta que para t = 0 la elongación es máxima, y por tanto la parte trigonométrica de la expresión debe ser uno.
Para t = 0: Axx máx == ⇔ ( ) 10 sen =ϕ+ω : 1sen =ϕ : rad2π=ϕ
( )
π+π=2
t3
sen 2,0tx
c. ( ) ( ) 02
cos302
210cos
302
230
3cos
32,0 tcos A
dtdxtv =ππ=
π+ππ=
π+⋅ππ⋅=ϕ+ωω==
( ) m 2,012,02
sen 2,02
10sen 2,02
303
sen 2,0 tsen Ax =⋅=π=
π+π=
π+π=ϕ+ω=
d. ( ) ( ) ( ) J 016,02,082,021A K
21máxEmáxEmáxE 22
mpc =⋅⋅====
Modelo 2010 Cuestión 1A.- Un sistema elástico, constituido por un cuerpo de masa 200 g unido a un muelle, realiza un movimiento armónico simple con un periodo de 0,25 s. Si la energía total del sistema es 8 J:
a) ¿Cuál es la constante elástica del muelle? b) ¿Cuál es la amplitud del movimiento?
Solución. a) Si se aplica la Ley de Hooke ( )xkF ⋅−= al punto de máxima elongación (x = A):
AkF ⋅−= En el punto de máxima elongación, la aceleración del sistema es máxima, si se aplica la 2ª ley de la dinámica:
máxamF ⋅= Igualando ambas expresiones:
máxamAk ⋅=⋅− La aceleración se puede obtener a partir de la ecuación del movimiento armónico simple:
( ) ( )oφ tωsen Aty +=
( ) ( ) ( )( ) ( )oo φ tωcos ωAφ tωsen Adtd
dtty dtv +=+==
( ) ( ) ( )( ) ( )o2
o φ tωsen ωAφ tωcos ωAdtd
dttv dta +−=+==
12
La aceleración será máxima cuando la seno valga 1, quedando: 2
máx ωAa −= Sustituyendo en la expresión máxamAk ⋅=⋅− y simplificando se obtiene una relación entre la constante de elasticidad y la velocidad angular, la cual se puede expresar en función del periodo ó la frecuencia
mωAAk 2−=⋅− : mωk 2= : Tπ2
ω = : mTπ2k
2
=
( )mNπ8,1210200
25,0π2k 23
2=×⋅
= −
b) En el punto de máxima elongación la energía total del sistema será igual a la energía potencial elástica ya que en punto la velocidad es nula.
2p xk
21E ⋅=
La energía potencial es máxima en el punto de máxima elongación (x = A) y velocidad nula.
( ) 2Tp Ak
21EmáxE ⋅== : 22 Aπ8,12
218 ⋅= : m 356,0
π8,1228A 2 =⋅=
Septiembre 2009. Cuestión 2.- Una partícula realiza un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud y tarda 2 s en efectuar una oscilación completa. Si en el instante t = 0 su velocidad es nula y la elongación positiva, determine:
a) La expresión matemática que representa la elongación en función del tiempo. b) La velocidad y la aceleración de oscilación en el instante t = 0,25 s.
Solución. a. La posición de un cuerpo que describe un M.A.S. viene dada por una ecuación de tipo senoidal:
( ) ( ) ( ) ( )φ·tπsen 1,0ty:s
radπ2π2
Tπ2
ω:s 2T
m 0,1cm 10A:φ·tωsen Aty +⋅=
====
==+⋅=
Para calcular el desfase (ϕ) se tiene en cuenta que para t = 0, la velocidad es nula.
( ) ( ) ( )[ ] ( )φ·tπcosπ1,0φ·tπsen 1,0dtd
dtty dtv +⋅=+⋅==
( ) ( )2π
φ : 0φcos : 0φcosπ1,0 : 0φ·0πcosπ1,00tv ±====+⋅==
Teniendo en cuenta que para t = 0, la elongación (y) es positiva:
2π
φ +=
La expresión matemática que expresa la elongación del movimiento es:
( )
+⋅=2π·tπsen 1,0ty
b. ( ) ( )
+⋅=
+⋅==2π·tπcosπ1,0
2π·tπsen 1,0
dtd
dtty dtv
( ) sm22,0
4π3cosπ1,0
2π·0,25πcosπ1,025,0tv −=⋅=
+⋅==
( ) ( )
+⋅−=
+⋅==2π·tπ senπ1,0
2π·tπcosπ1,0
dtd
dtt vdta 2
( ) 222
sm7,0
4π3 senπ1,0
2π·0,25π senπ1,025,0ta −=⋅−=
+⋅−==
13
Junio 2009. Problema 1A.- Una partícula de 0,1 kg de masa se mueve en el eje X describiendo un movimiento armónico simple. La partícula tiene velocidad cero en los puntos de coordenadas x = −10 cm y x = 10 cm y en el instante t = 0 se encuentra en el punto de x = 10 cm. Si el periodo de las oscilaciones es de 1,5 s, determine:
a) La fuerza que actúa sobre la partícula en el instante inicial. b) La energía mecánica de la partícula. c) La velocidad máxima de la partícula. d) La expresión matemática de la posición de la partícula en función del tiempo.
Solución. Las magnitudes posición, velocidad y aceleración de un movimiento armónico simple que describe una partícula sobre el eje OX vienen dadas por las expresiones:
( )o tcosAx ϕ+ω=
( )( ) ( )oo tsen A tcosAdxd
dtdxv ϕ+ωω−=ϕ+ω==
( )( ) ( ) x tcosA tsen Adxd
dtdva 2
o2
o ω−=ϕ+ωω−=ϕ+ωω−==
Donde A es la amplitud, ω la velocidad angular y ϕ0 la fase inicial. Para calcular la amplitud se tiene en cuenta que en los puntos donde la velocidad es nula, la elongación es máxima y coincide con el valor de amplitud.
m 1,0Axx:0v max ==== La velocidad angular se obtiene a partir de periodo (T = 1,5 s)
srad
34
5,12
T2 π=π=π=ω
La fase inicial se calcula teniendo en cuenta que para t = 0 x = 0,1m, sustituyendo en la ecuación general:
( ) ( )oo 0cos1,01,0:m 0,1xm 1,0A
0t: tcosAx ϕ+⋅ω=
==
=ϕ+ω= : 1cos o =ϕ ; rad 0o =ϕ
Conocidos todos los parámetros del movimiento, sus ecuaciones son:
π= t34cos1,0x
( )
ππ−=
ππ⋅−=ϕ+ωω−= t34sen
152 t
34sen
341,0 tsen Av o
( )
π−=
ππ⋅π−=ϕ+ωω−= tπ34cos
458 t
34sen
34
152 tcosAa 2
o2
a. amF ⋅= Para t = 0: 222
sm
4580π
34cos
458a π−=
⋅π−=
N 175,0s
m458kg 1,0amF 2
2 −=
π−⋅=⋅=
El signo negativo corresponde al sentido de la fuerza b. En un movimiento armónico simple, hay una transformación continua entre la energía cinética y potencial, pero, en cualquier instante, la suma es constante y es igual a la energía mecánica total. Al valor máximo de energía cinética le corresponde un valor mínimo de energía potencial (nula) y viceversa.
22máx
22pcm Ak
21mv
21x k
21mv
21EEE ==+=+=
14
Con los datos de enunciado, se calcula la energía mecánica como la energía potencial máxima.
2m Ak
21E =
El valor de k se puede obtener si se tiene en cuenta:
xkam:xkFamF
⋅−=⋅
⋅−=⋅=
xa 2ω−= : xkxm 2 ⋅−=ω⋅− : 2mk ω⋅= Sustituyendo en la energía mecánica:
J108,81,0341,0
21Am
21E 32
222
m−×=⋅
π⋅=ω⋅=
c. ( )( ) ( )oo tsen A tcosAdxd
dtdxv ϕ+ωω−=ϕ+ω==
( )o tsen Av ϕ+ωω−=
( ) 1 tsen v omáx =ϕ+ω⇔ ; sm42,0
341,0Avmáx −=π⋅−=ω−=
d. ( )o tcosAx ϕ+ω= :
π= t34cos1,0x
Modelo 2009. Problema 1A.- En la figura se muestra la representación gráfica de la energía potencial (Ep) de un oscilador armónico simple constituido por una masa puntual de valor 200 g unida a un muelle horizontal, en función de su elongación (x).
e) Calcule la constante elástica del muelle f) Calcule la aceleración máxima del oscilador g) Determine numéricamente la energía cinética cuando la masa
está en la posición x = +2,3 cm. h) ¿Dónde se encuentra la masa puntual cuando el módulo de su
velocidad es igual a la cuarta parte de su velocidad máxima? Solución. a. En un movimiento armónico simple, la energía potencial
elástica viene dada por la expresión 2p x k
21E =
Particularizando para x = 5 cm y tomando los valores del gráfico se calcula la constante elástica del muelle.
( ) mN80k:105 k
211,0
22 =×= −
b. Para un movimiento armónico simple, la aceleración viene dada por la expresión:
( )o2
2
2tsenA
dt
xda ϕ+ωω−==
Al ser el seno una función que oscila entre –1 y 1; la aceleración máxima vale 2Aω . Para un muelle, la velocidad angular se puede expresar en función de la constante de elasticidad y de la masa unida al muelle por la expresión:
mK
mK 2 =ω⇒=ω
Sustituyendo en la expresión de la aceleración máxima:
15
2322
max sm20
kg10200m
N80m105
mKAAa =
××==ω=
−−
c. Por el principio de conservación de la energía, se cumple:
( ) ( ) ( ) J 1,0TotalEcm 5xEcm 3,2xE mmm =====
( ) ( ) ( )m103,2xEm103,2xEm103,2xE 2c
2p
2m
−−− ×=+×==×=
Teniendo en cuenta la expresión de la energía potencial elástica
= 2p x k
21E y el valor de la
constante de elasticidad del muelle calculada en el apartado a:
( ) c22 Em103,2
mN80
21J 1,0 +×⋅= − : ( ) J 08,0m103,2xE 2
c =×= −
d. Se aplica de nuevo el principio de conservación de la energía, pero en este caso para obtener la energía potencial conocida la energía cinética. Conocida la energía potencial se calcula la elongación (posición). La energía cinética se puede calcular de dos formas diferentes: Por comparación de energías cinéticas y teniendo en cuenta que la energía cinética es máxima cuando la potencial elástica es nula y por tanto coincide con la energía mecánica total.
( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )16
TE16maxE
xE16
4v
m21
vm21
xEmáxE
:4
vv:
vm21xE
vm21máxE
mcc2
max
2max
c
cmaxx
2xc
2maxc
==⇒=
⋅
⋅==
⋅=
⋅=
( ) ( )J 006,0
16J 1,0
16TE
xE mc ===
Con la definición de energía cinética y calculando la velocidad máxima.
( ) sm1
kg 2,0m
N80105
mKA
mKAv: tcosA
dtdxv 2
maxo =×==
=ω=ω=ϕ+ωω== −
Conocida la velocidad máxima, se calcula la energía cinética cuando la elongación es x mediante la relación propuesta por el enunciado:
( ) ( ) J 006,0sm0,25kg 2,0
21mv
21xEs
m25,041
4v
v22
xcmax
x =⋅==⇒===
Conocida la energía cinética en el punto de elongación x, se calcula la energía potencial elástica teniendo en cuenta que la energía mecánica total es constante.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) J 094,0006,01,0xETExE:xExETE cmpcpm =−=−=+= Conocida la energía potencial elástica se calcula la posición.
( ) 2p x k
21xE =
cm 4,8m 048,080
2094,0xxmN80
21J 094,0 2 ==⋅=⇒⋅⋅=
Septiembre 2008. Cuestión 2. Una partícula que realiza un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud tarda 2 s en efectuar una oscilación completa. Si en el instante t = 0 su velocidad era nula y la elongación positiva, determine:
a) La expresión matemática que representa la elongación en función del tiempo. b) La velocidad y la aceleración de oscilación en el instante t = 0,25 s.
16
Solución. a. La elongación x, velocidad v y aceleración a, vienen dadas por las ecuaciones:
( )ϕ+ω⋅= tsen Ax : ( )ϕ+ω⋅ω== tcosAdtdxv : ( )ϕ+ω⋅ω−= tsen Aa 2
Conocido el periodo (T = 2 s), se calcula la pulsación o velocidad angular:
srad
22
T2 π=π=π=ω
El desfase (ϕ) se puede calcular con el dato de la velocidad a t = 0.
Si cuando t = 0 la velocidad es nula: ( )
π−=ϕ
π=ϕ=ϕ⇔=ϕ+⋅ω⋅ω=
2
2:0cos00cosAv
• Para 2π−=ϕ en t = 0: 0A
20sen Ax <−=
π−⋅ω⋅=
• Para 2π=ϕ en t = 0: 0A
20sen Ax >=
π+⋅ω⋅=
Teniendo en cuenta que para t = 0, la elongación (x) es positiva, el desfase deberá ser 2π=ϕ ,
la elongación viene expresada por :
π+π⋅=2
tsen 1,0x
b. Las expresiones para la velocidad y la aceleración de la partícula son:
π+π⋅π−=
π+π⋅π=
2 tsen 1,0a
2 tcos 1,0v
2
t = 0,25 s: - sm22,0
43cos 1,0
20,25 cos 1,0v −=π⋅π=
π+π⋅π=
- 222
sm698,0
43sen 1,0
20,25 sen 1,0a −=π⋅π−=
π+π⋅π−=
Junio 2008. Cuestión 1. Un cuerpo de masa m está suspendido de un muelle de constante elástica k. Se tira verticalmente del cuerpo desplazando éste una distancia X respecto de su posición de equilibrio, y se le deja oscilar libremente. Si en las mismas condiciones del caso anterior el desplazamiento hubiese sido 2X, deduzca la relación que existe, en ambos casos, entre: a) las velocidades máximas del cuerpo; b) las energías mecánicas del sistema oscilante. Solución. Se trata de un movimiento armónico simple vertical, las ecuaciones que lo rigen son:
F = −K · x ( )ϕ+ω⋅= tcosAx
( )ϕ+ω⋅ω−=′== t sen Axdtdy
v ; ω−= Avmáx
E(mec) = E(c) + E(p), cuando la energía potencial es máxima, la energía cinética es nula 2
Mec AK21E ⋅=
Aplicando el 2º principio de la dinámica a la ley de Hook
m a = −K x Teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de la posición
xKx m −=′′ : ( )
( )
ϕ+ωω−=′′ϕ+ω⋅=
tcosAx tcosAx
2 : ( ) ( )ϕ+ω⋅−=ϕ+ωω− tcosA K tcosA m 2
mK=ω ; No depende de la amplitud
17
Si se aplica a cada caso teniendo en cuenta que lo único que varía es la amplitud y que no hay desfase:
a. La relación entre las velocidades máximas es la misma que la de las amplitudes
( )( ) ( ) ( )12
2
1 maxv2maxv21
x2 x
maxvmaxv
=⇒=ω−
ω−=
b. La relación entre las energías mecánicas es el cuadrado que la de las amplitudes
( )( ) ( )
( ) ( )122
2
2
1 mecE4mecE41
x2K21
xK21
mecEmecE
=⇒=⋅
⋅=
Junio 2007. Cuestión 2.- Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armónico simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz. Determine:
a) El periodo del movimiento y la constante elástica del muelle. b) La velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto.
Solución a) Para resolver esta cuestión necesitamos recordar ciertas fórmulas del movimiento armónico y de los muelles:
mFa
mk
ω
νπ2Tπ2
ων
1T
2 ==
⋅===
De donde fácilmente resulta:
122 mN 8,10747,205,2ωmksrad 7,203.3π2fπ2ω
s 3,03,3
1ν
1T
−⋅=⋅=⋅==⋅=⋅=
===
b) Para conocer la aceleración máxima calcularemos la fuerza máxima, que se produce en el
extremo, y dividiremos por la masa, despreciando la masa del muelle:
2máxmáx sm5,21
5,205,08,1074
mAk
mF
a =⋅=⋅==
Para calcular la velocidad máxima utilizaremos el principio de conservación de la energía, ya
que la energía potencial en el extremo será igual a la cinética máxima, que se tiene cuando la masa pasa por el punto de equilibrio.
( ) ( )
sm 04,15,2
8,107405,0v
mkAv ; vm
21Ak
21
máxEmáxE
máx
máx2máx
2
potencialcinética
=⋅=
⋅=⋅=⋅
=
18
Septiembre 2006. Cuestión 2.- Una partícula que describe un movimiento armónico simple recorre una distancia de 16 cm en cada ciclo de su movimiento y su aceleración máxima es de 48 mls2. Calcule: a) la frecuencia y el periodo del movimiento; b) la velocidad máxima de la partícula. Solución.
Un ciclo supone recorrer 4 veces la amplitud (A).
2max sm48a 4cmA cm16A4 ===
a) Frecuencia (ν) y período (T). A partir de la ecuación del movimiento armónico simple y derivando sucesivamente se obtienen las expresiones de la velocidad y aceleración de movimiento.
( )ϕ+ω⋅= tsenAx
( )ϕ+ω⋅ω== tcosAvdtdx
( )ϕ+ω⋅ω−== tsenAadtdv 2
El valor absoluto de la aceleración máxima será: Aa 2
máx ω= Conocida la aceleración máxima y la amplitud se calcula la velocidad angular (ω).
srad34´6 1200
m 040́s
m48
Aa 2
máx2 =ω⇒===ω
Conocida la velocidad angular se calcula el período y la frecuencia en el orden que uno quiera mediante las tres ecuaciones que la relacionan.
T1 2
T2 =νν⋅π=ωπ=ω
• Período. s 180s
rad6'34
rad 22T ′=
π=
ωπ
=
• Frecuencia. ( )1sHz 55rad 2
srad643
2−′=
π
′=
πω=ν
b) Velocidad máxima de la partícula. Se puede resolver de dos formas. Según la expresión de la
velocidad de un movimiento armónico simple ( )( )ϕ+ω⋅ω= tcosAv , alcanzará su valor máximo cuando la componente trigonométrica valga 1, y en ese caso la velocidad máxima será:
sm 38'1643 040Avmáx =′⋅′=ω=
A la misma expresión se puede llegar teniendo en cuenta que la velocidad máxima de la partícula se produce en el origen 0x = , donde la energía mecánica es toda cinética:
ω==ω= A v vmAm mv21kA
21
máx2max
222max
2
Junio 2006. Problema 2B.- Una masa puntual de valor 150 g unida a un muelle horizontal de constante elástica k = 65 N m−1 constituye un oscilador armónico simple. Si la amplitud del movimiento es de 5 cm, determine:
a) La expresión de la velocidad de oscilación de la masa en función de la elongación. b) La energía potencial elástica del sistema cuando la velocidad de oscilación es nula. c) La energía cinética del sistema cuando la velocidad de oscilación es máxima. d) La energía cinética y la energía potencial elástica del sistema cuando el módulo de la aceleración
de la masa es igual a 13 m s−2. Solución.
cm5A
mN65k
gr150m
===
19
a) En un momento cualquiera del movimiento en que la elongación es x y la velocidad v, la energía del sistema es:
22cp mv
21kx
21EEE +=+=
Cuando la elongación es máxima y la velocidad es cero la energía será: 2kA
21E =
Como la energía se conserva:
( )22222 XAmkvmv
21kx
21kA
21 −=⇒+=
Dando valores:
( ) scm cmx258,20v 2−=
b) La energía potencial elástica cuando la velocidad es nula es simplemente:
J 081,0KA21E 2
p ==
c) Cuando la velocidad es máxima la elongación es nula y la energía cinética coincida con la energía total
J 081,0Ec = d) Las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración son respectivamente:
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )o2
o
o
tsenAdt
tdvta
tcosAdt
tdxtv
tAsentx
φ+ωω−==
φ+ωω==
φ+ω=
donde 1-s rad 8,20mk ==ω
Si llamamos t1 al instante en que 2ms13a −=
( ) ( )o12
1 tsen7,21s m 13ta φ+ω−== − Operando se despeja sen(ωt1 + φo) y mediante le ecuación fundamental de la trigonometría
(sen2α + cos2α = 1) se despeja el cos(ωt1 + φo).
( ) 6'07'21
13tsen o1 −=−
=φ+ω
( ) ( ) ( ) 8,06'01tsen1tcos 201
201 =−−=φ+ω−=φ+ω
Conocidas las razones trigonométricas se calcula la posición y la velocidad para t1, y a partir de
estas las energías potencial y cinética. ( ) ( )
( ) ( ) ( ) m1036,0m105tx:6'0tsen
tAsentx 221
o1
o −− ×−=−⋅×=
−=φ+ωφ+ω=
( ) ( )( ) ( ) s
m832'08'08'20105tv:8'0tcos
tcosAtv 21
o1
o =⋅⋅×=
=φ+ωφ+ωω= −
• Energía potencial ( ) J 029'01036521kx
21Ep
222 =×−⋅⋅== −
• Energía cinética es J 052'0832'0150'021mv
21E 22
c =⋅⋅==
20
Modelo 2006. Problema 1B.
a) Determine la constante elástica k de un muelle, sabiendo que si se le aplica una fuerza de 0,75 N éste se alarga 2,5 cm respecto a su posición de equilibrio.
Uniendo al muelle anterior un cuerpo de masa 1,5 kg se constituye un sistema elástico que se deja oscilar libremente sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Sabiendo que en t = 0 el cuerpo se encuentra en, la posición de máximo desplazamiento, x = 30 cm, respecto a su posición de equilibrio, determine:
b) La expresión matemática del desplazamiento del cuerpo en función del tiempo. c) La velocidad y la aceleración máximas del cuerpo. d) Las energías cinética y potencial cuando el cuerpo se encuentra a 15 cm de la posición de
equilibrio. Solución. a.
El punto de equilibrio es donde se igualan las fuerzas. La fuerza elástica será entonces oe xkF ⋅=
mN30kN75'0m025'0k xx =⇒=⋅
Uniendo al muelle anterior un cuerpo de masa 1,5 kg se constituye un sistema elástico que se deja oscilar libremente sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Sabiendo que en t = 0 el cuerpo se encuentra en, la posición de máximo desplazamiento, x = 30 cm, respecto a su posición de equilibrio, determine:
b. De la masa del objeto y la constante elástica deducimos la frecuencia de oscilación del sistema
11 s 47'4s 205'1
30mk −− ====ω
la amplitud del movimiento es el máximo desplazamiento cm30A =⇒
( ) ( ) ( ) ( )φ+⋅=⇒φ+ω⋅= − ts 4'47sencm 30txt senAtx 1
Para calcular el desfase (φ) se tiene en cuenta que en ( ) cm 300x:0t ==
21 sen sencm 30cm 30 π=φ⇒=φ⇒φ⋅=
sustituyendo en la ecuación:
( )
π+⋅= −2
t s 4'47sencm 30tx 1
c. Por definición, la velocidad es la derivada de la posición con respecto de x.
( ) ( )dt
tx dtv =
( ) ( )[ ] ( )φ+ωω⋅=φ+ω⋅= tcos A t senAdtdtv
La velocidad máxima se obtiene cuando la expresión trigonométrica vale 1
( ) ( )( ) Av:
1 tcosv tcos Atv
máxmáx
ω⋅=
=φ+ω⇔φ+ωω⋅=
Sustituyendo valores
sm341'1s
cm1'134s 47'4cm 30v 1max ==⋅= −
21
La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo
( ) ( ) ( )[ ] ( )φ+ωω−=φ+ω⋅ω== t senA tcosAdtdtv
dtdta 2
Al igual que en el caso de la velocidad, la aceleración máxima se obtiene cuando la expresión
trigonométrica vale 1.
( ) 22212
max sm6
scm600s 20cm 30Aa ==⋅=ω= −
d. Cuando la masa está en el extremo toda la energía es potencial,
J 35'13'03021Ak
21xk
21EE 222
pot =⋅=⋅=⋅==
y coincide con la energía total el sistema.
Cuando x = 15 cm, la energía potencial es:
J 3375,0EJ 3375,015'03021xk
21E pot
22pot =⇒=⋅=⋅=
La energía cinética se calcula como diferencia entre la energía total del sistema y la energía
potencial en este punto. J 1625,13375,035,1EEEEEE potcinpotcin =−=−=⇒+=
J 1625,1Ecin =
Septiembre 2005. Cuestión 1. Se tienen dos muelles de constantes elásticas k1 y k2 en cuyos extremos se disponen dos masas m1 y m2 respectivamente, y tal que m1 <m2. Al oscilar, las fuerzas que actúan sobre cada una de estas masas en función de la elongación aparecen representadas en la figura. a) ¿Cuál es el muelle de mayor constante elástica? b) ¿Cuál de estas masas tendrá mayor período de oscilación? Solución. a. La expresión de la fuerza elástica ó ley de Hooke es F = −k · x. Si se aplica a cada uno de los muelles:
xkFxkF
22
11⋅−=⋅−=
Si se observa la figura en el semieje positivo de las x
21 FF <
sustituyendo por sus expresiones: xkxk 21 ⋅−<⋅−
simplificando 21 kk −<− ordenando 21 kk >
b. La frecuencia de oscilación de un muelle es:
mk
ω =
y la relación de esta con el periodo es:
22
Tπ2
ω =
igualando ambas expresiones se puede despejar el periodo en función de la masa y de la constante elástica.
km
π2TTπ2
mk:
Tπ2
ω
mk
ω⋅=→=
=
=
Aplicando la expresión anterior a ambos muelles y comparando:
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
22
1
11
kk
mm
TT
km
π2
km
π2
TT:
km
π2T
km
π2T⋅=→
⋅
⋅=
⋅=
⋅=
Teniendo en cuenta la relación de masas del enunciado y la relación del constantes del apartado anterior:
1TT1
kk
mm:
1kkkk
1mmmm
2
1
1
2
2
1
1
221
2
121
<⇒<⋅
<⇒>
<⇒<
ordenando 21 TT <
Modelo 2005. Problema 1A.- Una partícula de masa 100 g realiza un movimiento armónico simple de amplitud 3 m y cuya aceleración viene dada por la expresión x9a 2π−= en unidades SI. Sabiendo que se ha empezado a contar el tiempo cuando la aceleración adquiere su valor absoluto máximo en los desplazamientos positivos, determine:
a) El periodo y la constante recuperadora del sistema. b) La expresión matemática del desplazamiento en función del tiempo x = x (t). c) Los valores absolutos de la velocidad y de la aceleración cuando el desplazamiento es la mitad
del máximo. d) Las energías cinética y potencial en el punto donde tiene velocidad máxima.
Solución. a. Sabiendo que en un m.a.s:
xa 2ω−= y por otro lado, según el enunciado:
x9a 2π−= comparando ambas expresiones: s
rad3 9 22 π=ωπ=ω
la constante recuperadora del sistema k se relaciona con w: 222 9'091'0mk π=π⋅=ω⋅=
Conocida la velocidad angular, el periodo se calcula con:
seg32T
32T : tantoPor
w2T =
ππ=π=
b.
( ) ( )otsen·Atx ϕ+ω= De esta expresión lo único que falta por determinar es oϕ . La fase inicial la hallamos sabiendo
que en :A x,0t ==
23
( ) ( )2
1 sen A0Asen0 x oooπ=ϕ=ϕ=ϕ+⋅ω=
Por tanto, la expresión para la ecuación del movimiento es:
( ) ( )2t3sen3tx π+π=
c. Para calcular la velocidad y la aceleración cuando m23
2Ax == , se tiene en cuenta la
2222
sm
227a
23·9a x·a π=π=ω−=
Conociendo la relación entre v, a y x, despeja v:
sm
227
427
239·3v
xAv2
22
==
−π=
−⋅ω=
d. El punto donde tiene velocidad máxima es el origen, o punto de elongación cero, ya que tiene que conservarse la energía mecánica total de la partícula, y en el origen esta solo tiene energía cinética, que por tanto es máxima. (como consecuencia, su velocidad también lo es).
( )
J05'499'021E
EAk21
vm21
E
22c
TOTAL22
maxc
π=⋅π⋅=
⋅=⋅=
La energía potencial depende de la elongación X, por tanto es nula en el origen.
( ) 0E 0x x·k21E p
2p ===
Junio 2004. Cuestión 1.- Al colgar una masa en el extremo de un muelle en posición vertical, este se desplaza 5 cm;
a) ¿De qué magnitudes del sistema depende la relación entre dicho desplazamiento y la aceleración de la gravedad?
b) Calcule el periodo de oscilación del sistema muelle-masa anterior si se deja oscilar en posición horizontal (sin rozamiento).
Dato: aceleración de la gravedad g = 9’81 m·s−2 Solución. a. La relación entre el desplazamiento y la constante del muelle se establece calculando la posición de equilibrio: K·x = m·g, en este caso x es la distancia entre la posición de equilibrio sin gravedad y con gravedad.
gm105
gx
km
105g
mkm05'0
kgmx
2
2
−
−×==→
×=⇒=⋅=
expresión el le que se observa que depende de K y de m. b. En posición horizontal el periodo será:
seg45,081'9105
π2gx
π2kmπ2
km
ω
1ωmk
ω
π2TTπ2
ω22
=×===
=⋅=
==→=−
Modelo 2004. Problema 1B.- Una partícula de 5 g de masa se mueve con un movimiento armónico de 6 cm de amplitud a lo largo del eje X. En el instante inicial (t=0) su elongación es de 3 cm y el sentido del desplazamiento hacia el extremo positivo. Un segundo más tarde su elongación es de 6 cm por primera vez. Determine:
a) La fase inicial y la frecuencia del movimiento. b) La función matemática que representa la elongación en función del tiempo, x = x(t).
24
c) Los valores máximos de la velocidad y de la aceleración de la partícula, así como las posiciones donde los alcanzan.
d) La fuerza que actúa sobre la partícula en t = 1 s y su energía mecánica. Solución.
a. La ecuación general de un M.A.S es:
( ) ( )otcosAtx ϕ+ω⋅= Para calcular la fase inicial, utilizamos las condiciones iniciales del movimiento:
m103)0(x 2−×= sustituyendo en la ecuación general:
( )o2 0cosA103)0(x ϕ+⋅ω⋅=×= −
Teniendo en cuenta que la amplitud(A) vale 6×10−2 3×10−2 = 6×10−2 · cos ϕo
3 21 cos oo
π=ϕ=ϕ
b. Utilizamos la segunda condición y conocido el desfase inicial se puede calcular la velocidad angular:
( ) ( )3cos106m1061x 22 π+ω⋅×=×= −−
despejando
( ) ( ) srad
35 23 13cos π=ωπ=π+ω=π+ω
Conocida la velocidad angular(ω), el desfase inicial(ϕo) y la amplitud(A) la ecuación que
representa la elongación en función del tiempo(x(t)) es:
( )
π+π⋅×= −3t
35cos106tx 2
c. Derivando la expresión anterior se obtiene la expresión de la velocidad en función del tiempo:
( ) ( )
π+ππ−== −3t
35sen
35·10·6
dtt xdtV 2
Cuyo valor máximo se produce cuando:
13t3
5sen =
π+π
y por tanto la velocidad máxima es:
10VMAX
π=
Esta velocidad máxima se alcanza en x = 0 (ya que en este punto, la energía cinética es máxima, y por tanto la velocidad.)
La aceleración de un M.A.S. viene expresada por: xa 2ω−=
Por lo que, su valor máximo se alcanza cuando x llega a un valor máximo, Aa ±= , en los extremos del oscilador.
22
2
MAX sm65'1a 10·6·
35a =
π= −
25
d. La fuerza que actúa sobre la partícula en t = 1, cuando x = A, sigue la ley de Hooke:
-k·AF kxF =−=
Donde 2mk ω= es la constante de oscilación, y el signo (−) indica que la fuerza siempre actúa en sentido contrario a la elongación.
Calculando k:
N10·22'8Fy mN0'14k
35·kg005'0k 4
2−==
π=
Puesto que el M.A.S. se produce debido a una fuerza conservativa (solo depende de la posición),
la energía total o mecánica del sistema se mantiene constante en todo el movimiento y su valor es: 2
m Ak21E ⋅=
Sustituyendo valores: J10523'2E 4
m−⋅=
Junio 2003. Problema 1B. Un bloque de 50 g, conectado a un muelle de constante elástica 35 N/m, oscila en una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 4 cm. Cuando el bloque se encuentra a 1 cm de posición de equilibrio, calcule:
a) La fuerza ejercida sobre el bloque. b) La aceleración del bloque. c) La energía potencial elástica del sistema. d) La velocidad del bloque.
Solución.
a. F = −K · x = −35 N/m · 0’01 m = −0’35 N. El signo indica que la fuerza va hacia la posición de equilibrio. b. Aplicando el segundo principio de la dinámica:
23 sm 7
Kg 1050N 35'0
mFa : amF −=
×−==⋅= −
El signo al igual que antes indica el sentido del vector
c. ( ) J 1075'101'03521xK
21E 322
p−×=⋅⋅=⋅=
d. La velocidad se calcula a partir de la energía cinética.
( )222c xAK
21vm
21E −⋅⋅=⋅⋅=
despejando v de la segunda igualdad
( ) ( ) sm 02'11050
01'004'035m
xAKv 3
2222=
×−⋅=−⋅= −
26
Junio 2002. Problema 1B. Una masa de 2 kg está unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora es k = 10 N/m. El muelle se comprime 5 cm desde la posición de equilibrio (x = 0) y se deja en libertad. Determine:
a) La expresión de la posición y la masa en función del tiempo, x = x(t). b) Los modulo de la velocidad y de la aceleración de la masa en un punto situado a 2 cm de la
posición de equilibrio. c) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra en los extremos de la trayectoria. d) La energía mecánica del sistema oscilante.
Nota: Considere que los desplazamientos respecto a la posición del equilibrio son positivos cuando el muelle está estirado. Solución. a. x = x (t)
La amplitud del movimiento es A = 0’05 m. La ecuación general del M.A.S que describe la
masa es: ( ) ( )o·tω cos Atx +=
de esta expresión, queda por hallar la velocidad angular(ω) y la fase inicial oϕ :
Conocidas la masa(m) y la constante(k) del muelle:
srad5ω 2
10ω
mk
ω ===
sustituyendo en la expresión del M.A.S. ( )ot·5 cos05'0)t(x +⋅=
Aplicando la ecuación al momento inicial, y teniendo en cuenta que x (t = 0) = −A:
( ) rad 1 cos cos05'005'00x ooo π=ϕ−=ϕϕ=−=
Por tanto, la expresión para el movimiento de la partícula queda de la siguiente forma: ( ) ( )πt5cos05'0tx +=
b. Si .cm2x = , los módulos de la velocidad y la aceleración se calcula teniendo en cuenta:
( )
=⋅== 222
sm1'002'05a x·ωa
Teniendo en cuenta que
( ) ( ) ( )sm1025'0v 02'005'0·5V xAωv 2222 =−=−⋅=
c. La fuerza recuperadora, en módulo, es:
kxF −= (se opone siempre a la elongación del movil) para los extremos de oscilación x = ± A
( )
−==−⋅−==−=⋅−=
−=A xpara 0'5NF 0'0510F
A xpara 0'5NF 0'0510F:A·kF
d. La energía mecánica del sistema oscilante viene expresada por:
2m A·k
21E =
sustituyendo por los datos del problema
27
( ) J 0'0125E 05'0·10·21E m
2m ==
Modelo 2002. Problema 1B.- Un cuerpo de 200 g unido a un resorte horizontal oscila, sin rozamiento, sobre una mesa, a lo largo del eje de las X, con una frecuencia angular ω = 8,0 rad/s. En el instante t = 0, el alargamiento del resorte es de 4 cm respecto de la posición de equilibrio y el cuerpo lleva en ese instante una velocidad de -20 cm/s. Determine:
a) La amplitud y la fase inicial del movimiento armónico simple realizado por el cuerpo. b) La constante elástica del resorte y la energía mecánica del sistema.
Solución. a. La posición y la velocidad de un movimiento armónico simple vienen dadas por las expresiones:
( )oφ tωsen Ax +=
( )oφt ωcosωAdtdxv +==
Para t = 0: ( )( )
+⋅=×−+⋅=×
−
−
o2
o2
φ0ωcosωA1020φ0ωsen A104 :
×−=×=
−
−
2o
2o
1020φcosωA104φsen A
Comparando ambas expresiones se obtiene la fase inicial
2
2
o1020
104φ tg
ω
1−
−
×−×= :
==
−=−=rad 3,5φ
rad 1,2φ:
58
5ω
φ tgo
oo
Para discernir cual de los desfases corresponde al movimiento propuesto se estudian los signos de la posición y de la velocidad inicial para cada desfase.
<=>=
=01,2cosωAv02,1sen Ax
:rad 1,2φo ;
=<=
=30,5cosωAv
05,3sen Ax:rad 3,5φo
El desfase inicial es rad 1,2φo = Conocido el desfase inicial se calcula la amplitud.
2o 104φsen A −×= ; m 046,0
1,2sen 104
φsen 104A
2
o
2=×=×=
−−
b. La constante elástica del muelle se saca combinando la 2ª ley de Newton y la ley de Hooke.
1222
m N 8,1282,0ω mK:KxF
xωmmaF −=⋅==
−=−==
J 0135,0046,08,1221AK
21E 22
m =⋅⋅=⋅=
Septiembre 2001. Cuestión 2.- Una partícula efectúa un movimiento armónico simple cuyo período es igual a 1 s. Sabiendo que en el instante t = 0 su elongación es 0’70 cm y su velocidad 4,39 cm/s, calcule:
a. La amplitud y la fase inicial b. La máxima aceleración de la partícula.
Solución.
a. T = 1s ⇒ 1s rad π21π2
Tπ2
ω−===
La posición de una partícula que realiza un movimiento armónico simple viene descrita por la expresión:
( ) ( )oφt ω sen Atx += ⇒ ( ) ( ) oo φ sen Aφ0ω sen A0x =+⋅= La velocidad de un M.A.S es la derivada de la posición respecto del tiempo:
( ) ( ) ( )[ ] ( )oo φt ωcosωAφt ω sendtdA
dttx dtv +=+=== ⇒ ( ) ( ) oo φcosωAφ0ωcosωA0v =+⋅=
28
Dividiendo la posición y la velocidad, se despeja el desfase inicial. ( )( ) o
o
oφ tg
ω
1φ sco ωAφ sen A
0v0x
== ⇒ ( )( ) rad
4π1 arctg
1039,41070,0π2arctg
0v0xωarctgφ 2
2
o =≈×
×⋅=⋅= −
−
Conocido el desfase inicial se calcula la amplitud.
( ) oφ sen A0x = ⇒ ( ) m109,9
4πsen
1070,0φ sen0xA 3
2
o
−−
×=×==
b. ( ) ( ) ( )[ ] ( )o2
o φt ωsen ωAφt ω cosωAdtd
dttv dta +−=+==
El valor máximo de la aceleración será cuando la parte trigonométrica de la expresión valga ±1. ( ) 2232
máx s m 39,0)π2109,9ωAa −− =⋅×== Junio 2001. Cuestión 2. Un muelle cuya constante de elasticidad es k está unido a una masa puntual de valor m. Separando la masa de la posición de equilibrio el sistema comienza a oscilar. Determine:
a) El valor del período de las oscilaciones T y su frecuencia angular ω. b) Las expresiones de las energías cinética, potencial y total en función de la amplitud y de la
elongación del movimiento del sistema oscilante. Solución. a. La masa oscila realizando un M. A. S. De ecuación:
( ) ( )oφtωcosAtx +=
La frecuencia del movimiento viene dada por:
mk
ω =
La relación entre ω y T es:
Tπ2
ω =
por tanto:
seg π2·kmT
mkπ2T
ω
π2T ===
b. La Energía cinética viene expresada por 2c mv
21E =
Si la posición de la masa viene expresada por ( ) ( )oφtωcosAtx +=
derivando se obtiene la expresión de la velocidad de la partícula
( ) ( ) ( )oφtωsenωAdx
t xd tv +−=
con estas expresiones se plantea el sistema:
( ) ( )( ) ( )
+=+−=
o
oφtωcosAtx -2-φtωsenωAtv -1-
Si operamos con las ecuaciones (1) y (2) de la posición y la velocidad:
( )
( )
+=
+=
o222
o22
2
2
φtωcosAx
φtωsenAω
v
sumando estas ecuaciones y sacando factor común en el segundo miembro de A2
222
2Ax
ω
v =+
29
( )2222222
2xAω v xA
ω
v −=−=
por tanto, la energía cinética es:
( )222c xAωm
21E −=
La energía Potencial viene expresada por:
2kx21Ep=
Energía total es la suma de ambas: pcT EEE +=
( ) 22222T xωm
21xAωm
21E +−=
2T
22T kA
21E Aωm
21E ==
Septiembre 2000. Problema 1B.- Un oscilador armónico constituido por un muelle de masa despreciable, y una masa en el extremo de valor 40 g, tiene un periodo de oscilación de 2 s.
a) ¿Cuál debe ser la masa de un segundo oscilador, construido con un muelle idéntico al primero, para que la frecuencia de oscilación se duplique?
b) Si la amplitud de las oscilaciones en ambos osciladores es 10 cm, ¿cuánto vale, en cada caso, la máxima energía potencial del oscilador y la máxima velocidad alcanzada por su masa?
Solución.
a. Si el periodo es T = 2 s, la frecuencia es Hz 5'021
T1 ===ν y la velocidad angular
es ω = 2π · ν, sustituyendo, sradπ=ω
Con estos datos se puede hallar la constante del muelle:
( ) mN 4'0s
rad kg 4'0mk 222 π=π⋅=ω⋅=
La masa del segundo oscilador m’ debe duplicar la frecuencia:
Hz1212' 2' =⋅=νν=ν
al duplicar la frecuencia, también se duplica la velocidad angular
srad2π=ω
Si se despeja la masa en la ecuación de la constante(k es una característica del muelle, y por tanto constante)
( )0'1kgm
2
0'4m km ·mk2
2
22 =
π
π=ω
=ω=
b. Si la amplitud de los dos osciladores es la misma, su energía potencial máxima también lo es, ya que:
2mecp A·k
21EE máx ==
y su valor por tanto es:
( ) J 0197'01'0·4'021E 22
pmáx =π=
La máxima velocidad alcanzada por la masa, dependerá del máximo valor alcanzado por la energía mecánica
2máxcmecp
2 vm21EEEAk
21
máxmáxmáx ⋅====⋅
30
puesto que la máxcE , es igual a la energía mecánica máxima
2máxvm
210197'0 ⋅=
para el primer oscilador: gr40m =
sm 993'0
040'00197'02
m
E2v máxc
máx =⋅==
para el segundo: gr10m =
sm 987'1
010'00197'02
'm
E2v máxc
máx =⋅==
En un columpio de 2 metros de longitud se cuelga una masa de 2 kg. Se desplaza hasta que la cuerda forma un ángulo de 10º con la vertical y se suelta para que empiece a oscilar. Calcular:
a) Periodo de oscilación b) Velocidad y aceleración máxima c) Energía mecánica d) Ecuación del movimiento
Solución. a. Se columpio se puede considerar un péndulo simple, y el movimiento que describe un movimiento armónico simple ya que ( )radianesθθ sen ≈ .
1745,0180πº101736,0º10sen =⋅≈=
En un péndulo simple que describe un m.a.s., se cumple:
Lg
Tπ2
Lg
ω Tπ2
ω
= →==
s 84,28,9
2π2
gL
π2T ≈==
b. La máxima velocidad del columpio se puede hacer de dos formas diferentes: Por energías: Teniendo en cuenta que la velocidad será máxima en el punto de equilibrio, la energía mecánica en ese punto será únicamente cinética. Igualando la energía potencial máxima con la energía cinética máxima se despeja la velocidad máxima.
( ) ( )máxEmáxE cp = 2máxmax mv
21mgh = maxmáx gh2v =
La altura máxima se puede obtener por trigonometria. ( ) ( ) sm77,0º10cos228,92θcosLLg2vmáx =⋅−⋅⋅=⋅−=
Por m.a.s. ( ) ( )oφt ω sen Atx += ( ) ( )oφtω cos ωAtv += ωAvmáx = La amplitud se calcula por trigonometria ( )m 35,0º10 sen2θ senLA =⋅=⋅=
sm77,084,2π235,0
Tπ2AωAvmáx ≈⋅=⋅==
( )o2 φt ω senωAa +−= 2
máx ωAa −= 22
2máx sm71,1
84,2π235,0ωAa ≈
⋅==
c. ( ) ( )máxEmáxEEEE pcpcmecánica ==+=
( ) J 59,077,0221mv
21máxEE 22
máxcmecánica =⋅⋅===
O también: ( ) ( ) ( ) J 59,0º10cos228,92º10cosllmgmghmáxEE máxpmecánica =⋅−⋅⋅=⋅−⋅===
d. Movimiento armónico simple:
31
( ) ( )
+⋅=
+⋅=+⋅= ooo φt 2,84π2 sen35,0φt
Tπ2 senAφt ω senAtx
El desfase inicial se calcula teniendo en cuenta que el columpio se suelta desde la posición más elevada, y por tanto, ( ) A0x =
( ) ( )oφ0ω senAA0x +⋅⋅== 1φ sen o = rad2π
φo =
( )
+⋅=2πt ,212 sen35,0tx
