ELIANE MATESCO CRISTOVÃO

Equação do 2º Grau

I EQUAÇÕES

Aplicando as regras aqui expostas um homem inteligente pode inventar milhares de

problemas semelhantes. Assim como o Sol empalidece as estrelas Com o seu brilho, um homem discreto eclipsa a glória de outro homem nos concursos

populares, propondo e resolvendo problemas.

Este texto, extraído de um manual de Matemática da Índia Antiga, fala de um passatempo muito popular dos matemáticos hindus da época: a solução de quebra-cabeças em competições públicas, em que um competidor propunha problemas para outro resolver.

Escritos por sacerdotes brâmanes, os grandes clássicos matemáticos eram um misto de ciência e religião. Cada assunto consistia de um texto básico chamado sutra, que o professor lia em voz alta e os alunos repetiam centenas de vezes até que o texto se lhe grudasse na garganta , ou seja, até que

eles conseguissem decorar.

Os sutras eram constituídos de ditos populares, em forma de versos:

Alegravam-se os macacos divididos em dois bandos: sua oitava parte ao quadrado no bosque brincava.

Com alegres fritos, doze gritando no campo estão. Sabes quantos macacos há na manada no total?

Hoje, podemos traduzir este quebra-cabeça para o idioma da Álgebra, a equação. Veja:

............................................................ x

............................................................

........................................................ 12

...................................................... x =

+ 12

Alegravam-se os macacos divididos em dois bandos:

sua oitava parte ao quadrado no bosque brincava

Com alegres gritos doze gritando no campo estão

Sabes quantos macacos há na manada no total?

Desenvolvendo a equação temos:

x = + 12

x = + 12

64x = x2 + 64. 12

64x = x2 + 768

x2 - 64x + 768 = 0

Note que obtivemos uma equação que contém o termo x2.

Esta equação, que contém o termo x2, é chamada de equação do 2ª grau.

Levou muito tempo para os matemáticos desenvolverem uma fórmula resolutiva das equações do 2º grau. Mesmo sem conhecer a fórmula, os bravos matemáticos da Antiguidade, que escreviam as equações totalmente em palavras, inclusive os números, conseguiam resolver a maioria delas.

Como isto era possível?

Isso é o que vamos investigar a partir de agora, percorrendo o caminho geométrico de resoluções de equação até chegarmos a fórmula hoje tão conhecida...

Antes disso, tente resolver este quebra-cabeças, só para aquecer!

VAMOS JOGAR COM A MATEMÁTICA?

Traduza este quebra-cabeça hindu para o idioma da Álgebra:

De um enxame de abelhas, dirige-se a uma flor de lótus, a uma bananeira.

Um número igual a três vezes a diferença entre os dois números precedentes, oh, bela de olhos de gazela, voa em direção a uma arvore. Por fim, uma outra abelha, indecisa, voa errante para lá e para cá nos ares, atraída ao mesmo tempo pelo delicioso perfume do jasmim e do pândano.

Diga-me, oh, minha encantadora, quantas abelhas existem?

II - EQUAÇÃO DO 2º GRAU

PROBLEMAS

1- Quanto mede o lado de um quadrado cuja diagonal mede 4 cm?

2- Quanto deve medir a diagonal de um retângulo cujos lados medem 12 cm e 5 cm?

Como podemos notar, a resolução destes problemas pode ser expressa por uma equação da forma:

ax2 = c

x2 =

x = ±

Vamos resolver juntos, as seguintes equações:

a) 10x2 90 = 0 b) 10x2 + 90 = 0 c) -7x2 + 28 = 0 d) x2 16 = 0

Agora é a sua vez...

a) x2 121 = 0 b) 2x2 98 = 0 c) 2x2 = -8 d) 4x2 + 100 = 0 e) 5x2 50 = 0 f) x2 80 = 0

Vejamos agora algumas equações um pouco diferentes. Note que nessas equações temos a incógnita x aparecendo duas vezes! Quando isso acontece, é preciso usar um outro recurso da matemática: a fatoração. Vamos começar relembrando então a fatoração e depois analisando algumas afirmações importantes para entendermos a resolução desse tipo de equação.

1) Fatore o 1º membro das seguintes equações:

a) 2x2 + 3x = 0 b) x2 5x = 0

c) -3x2 2x = 0 d) x2 + x = 0

2) Coloque V ou F nas afirmações seguintes:

a. ( ) Se numa multiplicação de dois fatores um deles é 3 e o produto é zero, então, o outro fator é, necessariamente, igual a zero. b. ( ) Se numa multiplicação de dois fatores o produto é zero, então, um dos fatores é, necessariamente, igual a zero. c. ( ) Se numa multiplicação de dois fatores o produto é cinco, então, um dos fatores pode ser igual a 5. d. ( ) Se numa multiplicação de dois fatores o produto é 5, então, um dos fatores é, necessariamente, igual a 5. e. ( ) Se numa multiplicação de 100 fatores o produto é zero, então, um dos fatores é, necessariamente, igual a zero. f. ( ) Se numa multiplicação de dois fatores o produto é zero, então, ambos os fatores são, necessariamente, igual a zero. g. ( ) Se numa multiplicação de dois fatores o produto é zero, então, ambos os fatores podem ser iguais a zero.

3) Considerando os exercícios 1 e 2, encontre quais valores de x satisfazem as seguintes equações:

a) -3x = 0 b) x.x = 0 c) 5 (x 1) = 0

d) x (x + 2) = 0 e) 2x (x 5) = 0 f) x (3x + 9) = 0

4) Agora faça o mesmo para as equações do 1º exercício.

PROBLEMAS

1) Determinar o lado do quadrado cuja área é numericamente igual ao perímetro.

2) A soma do quadrado de um número não nulo com seu triplo é zero. Que número é esse?

Foi no século VI que ocorreu um dos maiores avanços de toda a história da Matemática: a invenção do zero na Índia. Enquanto o zero ainda não era conhecido, equações do 2º grau semelhantes à que acabamos de ver tinham somente uma resposta.

No século IX, as obras dos matemáticos hindus traduzidas para a língua árabe, o brilhante matemático árabe al-Khowarizmi tomou conhecimento dos fantásticos cálculos realizados na Índia. E qual não foi sua surpresa ao verificar que os hindus faziam todos aqueles cálculos utilizando apenas dez símbolos, por sinal bem estranhos:

Al-Khowarizmi quis logo divulgar para o mundo sua descoberta. Escreveu um livro chamado Sobre a arte hindu de calcular, explicando como aqueles dez símbolos maravilhosos .

A partir de então, o zero se incorporou definitivamente ao mundo da Matemática. E a forma de calcular dos homens sofreu uma radical transformação. Assim, o sistema de numeração decimal se impôs sobre todos os outros sistemas de numeração.

Com a introdução do zero no mundo da Matemática, equações do 2º grau como esta:

x2 = 2x

passaram a ser resolvidas corretamente.

Mas a resolução ainda era expressa totalmente em palavras e seguia exatamente estes passos

Primeiro os matemáticos subtraíam 2x dos dois membros de equação:

x2 2x = 2x 2x x2 2x = 0

Depois fatoravam a expressão do primeiro membro:

x . (x 2) = 0

Se o produto de dois números é zero, então um dos fatores é igual a zero, ou os dois simultaneamente são iguais a zero.

x = 0 x 2 = 0 x = 2

Logo, a resposta é 0 ou 2.

Esses dois tipos de equação do 2º grau eram facilmente resolvidos pelos matemáticos de todo o mundo, através de duas propriedades dos números:

x2 = 50 x2 = 2x

Uma grande descoberta para a Matemática

A operação inversa da

potenciação é a radiciação.

Se b.c = 0, então b = 0

ou c = 0.

III - EQUAÇÕES COMPLETAS

PROBLEMAS

1) Seu Joaquim comprou um terreno retangular de área igual a 140 m2. Se o comprimento do terreno mede 4 metros a mais que a largura, quais são as dimensões do terreno?

2) O produto de dois números inteiros consecutivos é 156, que números são estes?

A resolução dos dois últimos problemas se traduzem em equações do 2º grau do tipo ax2 + bx + c, ou seja, completa. Estas equações não podem ser resolvidas pelos métodos anteriores. As atividades que seguem têm por objetivos compreender um novo método que possibilita a resolução de equações completas do 2º grau.

1) Atividade a) Destaque a figura da folha anexa e monte com essas 4 peças um

quadrado de modo que os dois retângulos tenham um único ponto comum e formem com um dos quadrados uma configuração em forma de L .

b) Calcule a área de cada uma das peças que compõem o quadrado. Escreva cada área no interior de cada peça correspondente.

c) Qual é a medida do lado do quadrado formado pelas 4 peças?

d) Qual é a expressão que representa a área desse quadrado?

e) Escreva, em linguagem simbólica a relação existente entre a área desse quadrado e as áreas das 4 peças que o compõem.

f) Aplicando a propriedade distributiva efetue a potenciação (x + 3)2 =

g) Compare as respostas de e e f . O que você observa?

2) Para cada potenciação abaixo, faça o seguinte :

1º) desenvolva algebricamente, quando necessário; 2º) faça a correspondência entre cada um dos termos obtidos no desenvolvimento algébrico e a área de cada uma das partes da figura. Anote essas áreas no interior de cada parte. 3º) escreva na figura as medidas dos lados de cada quadrado e de cada retângulo.

a) (x + 5)2 = b) ( m + 1)2 = c) (a + 2)2 =

d) x2 + 12x + 25 e) y2 + 6y + 4

O que você observou nos itens d e e ?

Como se pode notar, eles não representam quadrados perfeitos.

3) Fatore os trinômios, que você verificará, através da geometria, se são quadrados perfeitos.

a) x2 + 12 + 36 b) x2 + x +

c) x2 + 10x - 39

4) Coloque V ou F nas afirmações seguintes:

a. ( ) Todo trinômio é um quadrado perfeito. b. ( ) Para que um trinômio seja um quadrado perfeito é suficiente que dois de seus termos representem as áreas de dois quadrados. c. ( ) Para que um trinômio seja um quadrado perfeito é suficiente que um de seus termos represente a soma das áreas de dois retângulos congruentes. d. ( ) Para que um trinômio seja um quadrado perfeito é necessário que dois de seus termos representem as áreas de dois quadrados e que o outro termo represente a soma das áreas de dois retângulos congruentes. e. ( ) Para que um trinômio seja um quadrado perfeito é necessário e suficiente que dois de seus termos representem as áreas de dois quadrados e que o outro termos represente a soma das áreas de dois retângulos congruentes cujos lados tenham medidas iguais dos quadrados.

5) Para cada trinômio, faça o seguinte:

1º) Verifique se é trinômio quadrado perfeito. 2º) Em caso afirmativo, fatore-o.

a) y2 + 10y + 25 = b) p2 + 16p + 64 = c) b2 + 6 + 5b = d) m2 + 6m + 16 = e) x2 + 2x + 1 =

6) Complete cada trinômio quadrado perfeito seguinte e em seguida fatore-o:

a) m2 + 18m + ____ = b) x2 + 7x + ____ =

c) x2 + x + ____ = d) x2 + + ____ =

IV - A FORMA ALGÉBRICA DE COMPLETAR QUADRADOS

Durante o reinado de Harun al-Raschid califa de Bagdá do ano 786 até 809 , os povos da

Península Arábica, abalados por uma grave crise econômica, travaram uma série de guerras de conquista.

Foi assim que o Museu de Alexandria se converteu em premio de guerra ao vencedor, livros escritos em grego foram transportados de Alexandria para Bagdá e traduzidos para a língua árabe.

Em 809, Harum al-Raschid foi sucedido por seu filho al-Mamum que, orgulhoso, dizia com toda a convicção.

Não há ninguém mais culto em todos os ramos do saber do que eu.

Procurando tornar Bagdá o maior centro científico do mundo, al-Mamum contratou os grandes sábios muçulmanos da época, entre eles al-Khowarizmi.

Foi em Bagdá que al-Khowarizmi escreveu sua grande obra: Hisab al-jabr wa-al-muqabalah.

Tecendo grandes elogios a al-Mamum, al-Khowarizmi confessou ter sido o califa quem o encorajara a:

Al-jabr: uma fonte

preciosa para a

resolução de equações

... compor uma breve obra sobre cálculos, restringindo-a ao que os homens constantemente necessitam em casos de heranças, legados, partições, processos legais e comercio, e em todas as suas transações uns com os outros, ou onde se trata de medir terras e escavar canais.

No Al-jabr

o livro mais importante de al-Khowarizmi , os matemáticos encontraram uma clara exposição de como resolver as equações, especialmente de 2º grau.

A palavra Al-jabr que deu origem ao nome álgebra, significa restauração, refere-se á passagem de um termo para o outro lado da equação:

9x + 12 = 6x + 30 9x = 6x + 30 - 12

A palavra muqabalah quer dizer redução ou equilíbrio, e significa o cancelamento de termos semelhantes em lados opostos de uma equação:

9x = 6x + 30 12 9x = 6x + 18

9x

6x = 6x + 18 6x 3x = 0 + 18 x = 6

A primeira coisa necessária para um estudioso da Álgebra era compreender os quadrados, as raízes e os números assinalados no Al-jabr.

Al-Khowarizmi não utilizava nenhum tipo de símbolo. Ao invés de x2, ele escrevia quadrado, no lugar de x, colocava raízes; e por números, entendia os coeficientes das variáveis e os termos independentes.

Uma equação do 2º grau, como por exemplo 2x2 = 5x, seria expressa mais ou menos deste modo:

Se o quadrado junto a dois é igual a cinco raízes, digam-me, quanto vale uma raiz?

No Al-jabr al-Khowarizmi separou e classificou as equações do 2º grau em vários tipos:

Quadrados iguais e raízes

x2 = 5x x2 = 10x 2x2 = 5x

Quadrados e números iguais a raízes

x2 + 21 = 10x x2 + 51 = 20x x2 + 50 = 15x

Raízes e números iguais a quadrados

3x + 4 = x2

5x + 6 = x2

2x + 35 = x2

Quadrados e raízes iguais a números

x2 + 10x = 39

Estudando o Al-jabr

Al-Khowarizmi resolvia as equações utilizando somente palavras, inclusive para expressar os números, e seu método consistia em completar o quadrado

............ x2 + 10x = 39

............. (Al-Khowarizmi toma, na

linguagem matemática de hoje, a metade do coeficiente termo em x.)

..............

.............. x2 + 10x + 25 =

64

............... ( x + 5)2 = 64

x + 5 =

x + 5 = 8 ............... x = 8 - 5

x = 3

Essa equação do 2º grau tem duas raízes: uma positiva e outra negativa. Al-Khowarizmi não conhecia os números negativos. Por isso, seus métodos determinavam somente as raízes positivas e o zero.

Mas al-Khowarizmi era um matemático brilhante: ele resolvia uma equação do 2º grau totalmente com palavras, por meio de um método que só seria usado por outros matemáticos anos mais tarde, após a invenção da Álgebra puramente simbólica.

Em primeiro lugar voc ês devem perc eber que somando o quadrado c om dez ra ízes, vamos encontrar trinta e nove.

Portanto, devemos determinar a metade das raízes nesta forma

E multip lic a r esta metade por si mesma, o que dá vinte e cinco.

Vinte e c inc o somado ao quadrado e ás dez ra ízes resulta sessenta e quatro.

Compreendam, então, que o número que multip lic ando por si mesmo dá sessenta é o oito.

E se do oito d iminuirmos c inc o

V - COMO RESOLVER GEOMETRICAMENTE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Seja, por exemplo, resolver a equação x2 + 6x 7 = 0

1º) Verificar se o trinômio dado na equação é um trinômio quadrado perfeito. No caso da equação acima é fácil perceber que não é um trinômio quadrado perfeito uma vez que -7 não representa a área de um quadrado. 2º) Neutralizar o termo independente da equação. Para isso, devemos somar 7 a ambos os membros da equação.

x2 + 6x

7 = 0 x2 + 6x 7 + 7 = 0 + 7 x2 + 6x = 7

A expressão x2 + 6x representa a soma das áreas de um quadrado cujo lado mede x, e de dois retângulos cujos lados medem 3 e x. Como nos indica o 2º membro da equação a soma dessas áreas deve ser igual a 7. Representando essas áreas geométricas, temos:

x

3 3 3 x x

x 3

3º) A fim de tornar a figura acima um quadrado perfeito, devemos completá-la com um quadrado cuja área é 9.

X 3

3 3

x x x 3

Como vimos anteriormente, a soma das áreas da figura em forma de L é 7, isto é, x2 + 6x = 7

Acontece que, ao transformarmos essa figura em forma de L

num quadrado perfeito, acrescentamos um quadrado cuja área é 9. Desta forma, a área total do quadradão passa a ser 16, isto é,

x2 + 6x + 9 = 7 + 9 x2 + 6x + 9 = 16

1º

2º

3x

x2 3x

3x 9

x2 3x

O lado desse quadradão assim construído mede (x + 3) e a sua área será (x + 3)2. Logo (x + 3)2 = 16. Se a área desse quadradão é 16, concluímos que a medida do lado desse quadradão é 4, pois 42 = 16. Assim:

x + 3 = 4 x + 3 3 = 4 3 x = 1

Geometricamente o valor de x = 1 representa a medida do lado do quadrado, bem como a medida de um dos lados de cada retângulo da figura 2.

Teríamos ainda, para essa equação, uma outra solução ou raiz, para a qual não é possível dar uma interpretação geométrica. Vamos chamá-la de raiz algébrica. Essa raiz surge pelo fato de podermos legitimamente supor que na equação (x + 3)2 = 16 o binômio x + 3 seja igual a -4, valor esse que também satisfaz a equação, pois (-4)2 = 16. Logo se x + 3 = -4, temos:

x + 3 3 = -4 3 x = -7

Se quiséssemos resolver a equação de forma puramente algébrica teríamos:

x2 + 6x 7 = 0 (equação dada)

x2 + 6x 7 + 7 = 0 + 7 (somando 7 aos dois membros da equação)

x2 + 6x = 7 (equação equivalente à equação dada)

x2 + 6x + 9 = 7 + 9 (somando 9 a ambos os membros da equação a fim de completar o quadrado ou afim de tornar a expressão do 1º membro um trinômio quadrado perfeito)

x2 + 6x + 9 = 16 (equação equivalente a equação dada)

(x + 3)2 = 16 (fatorando o trinômio quadrado perfeito do 1º membro da equação)

x + 3 = 4 ou x + 3 = -4 (pois tanto 4 como -4 elevado ao quadrado resultam 16)

x + 3 -3 = 4 -3 ou x + 3 -3 = -4 3 (subtraindo 3 de ambos os membros da equação)

x = 1 ou x = -7 (raízes da equação dada)

VI - ATIVIDADES

1. Resolva, utilizando o método geométrico, as seguintes equações:

a) x2 + 4x 5 = 0 c) p2 10p 11 = 0

b) m2 + 2m 24 = 0 d) x2 + 8x = 0

2. Agora resolva apenas algebricamente as equações:

a) x2 8x + 7 = 0

b) x2 2x + 1 = 0

c) p2 + 3p + 2 = 0

d) 2m2 + 10m + 7 = 0

e) 4y2 20y 24 = 0

f) ax2 + bx + c = 0

Ao resolver a equação do item f , você deve ter encontrado dificuldades que podem ser eliminadas se você acompanhar o desenvolvimento dessa equação comparando-a com uma equação numérica como segue:

O fato de resolvermos uma equação onde os coeficientes são letras, na verdade nos dá a generalização da resolução de qualquer equação de 2º grau, pois as letras podem ser substituídas por qualquer número, o que formará infinitas equações.

Podemos então concluir que as raízes de uma equação são dadas pela seguinte fórmula:

ou

onde = b2 4ac (discriminante da equação)

2x2 5 + 3 = 0 ..... ax2 + bx + c = 0 a 0

.....

x2 -

= -

..... x2 +

.....

.....

x -

..... x +

x -

..... x +

x =

..... x =

x =

..... x =

Esta é, então, a fórmula que permite resolver qualquer equação do 2º grau com uma incógnita. No Brasil esta formula é conhecida como fórmula de Bháskara. Mas não foi o matemático Bháskara quem a descobriu. Portanto, no mundo todo, ela é conhecida apenas como fórmula resolutiva da equação do 2º grau.

Para que serve o ?

Quando o < 0, a equação não tem soluções reais, pois o

está dentro da raiz quadrada, e não existe raiz quadrada de número negativo.

Quando

= 0, a solução é pois raiz quadrada de 0 é igual a 0.

Quando > 0, as soluções são obtidas pela fórmula:

3. Resolva as equações seguintes, aplicando a fórmula ou outro método que você aprendeu.

a) x2 8x + 15 = 0 b) 4x2 12x + 9 = 0 c) x2 + 3x + 4 = 0 d) x2 + 8x + 15 = 0 e) x2 6x + 5 = 0 f) x2 x 6 = 0 g) x2 11x + 28 = 0 h) 4x2 4x 3 = 0 i) x2 + 14x + 49 = 0

j) x2 + 11x 28 = 0 k) 5y2 9y 2 = 0 l) 4t2 20t + 25 = 0 m) (x 5)2 = 2x (x 5) n) (2x + 1) 2 = (3x 1).(6x 1)

o)

p) 0

4. Com base na atividade anterior, coloque V ou F nas afirmações seguintes:

a. ( ) Qualquer equação de 2º grau com uma incógnita sempre possui duas raízes diferentes. b. ( ) Existem equações de 2º grau com uma incógnita que possuem uma única raiz. c. ( ) Existem equações de 2º grau com uma incógnita que não possuem raízes reais. d. ( ) Existem equações de 2º grau com uma incógnita que possuem mais de duas raízes diferentes. e. ( ) Toda vez que o discriminante (

de uma equação de 2º grau com uma incógnita for

igual a zero a equação possui uma única raiz real.

f. ( ) Toda vez que o discriminante ( ) de uma equação de 2º grau com uma incógnita for

maior que zero (isto é, um número positivo) a equação possui duas raízes diferentes.

g. ( ) Toda vez que o discriminante ( ) de uma equação de 2º grau com uma incógnita for

menor que zero (isto é, um número negativo) a equação não possui raízes reais.

5. Resolva as seguintes equações fracionárias.

a)

b)

c)

d)

e)

f) x +

g)

h)

i)

j)

6. Resolva as seguintes equações literais, na incógnita x, aplicando a fórmula.

a) x2 8mx + 12m2 = 0

b) x2 2abx 3a2b2 = 0

c) 6x2 13mx + 6m2 = 0

d) 4x2 3ax a2 = 0

e) x2 (a + b) x + ab = 0

f) ax2 mx = 0

g)

h) ax2 + 2x = 0

i) x2 2mx + m2 9 = 0

j) x2 + bx + c = 0

7. Agora vamos resolver alguns problemas que podem ser expressos por uma equação do 2º grau:

a) A soma do quadrado com o dobro de um mesmo número é igual a 48. Calcule esse número.

b) Dados dois números naturais, o maior supera o menor em 5 unidades. Sabendo-se que o produto deles é 14, determinar os dois números.

c) Determine um número tal que o seu quadrado seja igual ao seu dobro

d) Determine um número tal que o dobro do seu quadrado seja igual a 200.

e) O produto de números inteiros e consecutivos é 156. Quais são esses números.

f) A representação geral de um número par é 2n. Calcule, então, dois números pares naturais e consecutivos cujo produto é igual a 80.

g) A representação geral de um número ímpar é 2n + 1. Calcule então, dois números ímpares naturais e consecutivos cujo produto é 323.

h) Um terreno de forma retangular tem 300m2. Sabendo que a diferença entre o comprimento e a largura desse terreno é 5m, calcule as medidas desse terreno.

i) As medidas dos lados e triângulo retângulo são expressas por 3 números inteiros positivos e consecutivos. Determine as medidas dos lados desse triângulo.

j) Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 13 cm. Sabendo-se que a medida de um cateto supera a do outro em 7 cm, determine as medidas dos catetos desse triângulo.

k) A fórmula para determinar o número de diagonais de um polígono é:

, onde d

representa o número de diagonais e n

representa o número

de lados.

1) Qual é o polígono cujo número de diagonais é 5?

2) Qual é o polígono cujo número de diagonais é 35?

l) Determine as medidas dos catetos de um triângulo isósceles cuja área mede 169 cm2.

(OBS: Um triângulo retângulo é isósceles quando as medidas dos catetos são iguais.)

BIBLIOGRAFIA

Imenes, Jakubo, Lellis. Equação do 2º Grau. Ed. Atual

Guelli, Oscar. Contando a hist. da Matemática Eq. 2º Grau. Ed. Atica

Nacarato, A. Miguel, A. Funcia, M. Tópicos do Ensino da Matemática 16

Eq. 2º Grau. Delta Xis Ed. Ltda.

Imenes, Jakubo. Telecurso do 2º Grau. Ed. Globo

Jakubo, Lellis. Matemática na Medida Certa 8ª série. Ed. Scipione

FOLHA ANEXA

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