1. 1. SERIE DE TAYLOR En matemticas, laserie de Taylorde una funcinf(x)infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto ( a - r ,a + r ) se define como la siguiente suma: Aqu,n ! es el factorial denyf ( n ) ( a ) indica la n-sima derivada defen el puntoa .
2. 2. Si esta serie converge para todoxperteneciente al intervalo ( a - r ,a + r ) y la suma es igual af ( x ), entonces la funcinf ( x ) se llamaanaltica . Para comprobar si la serie converge af ( x ), se suele utilizar una estimacin del resto del teorema de Taylor. Una funcin es analtica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la frmula de la serie de Taylor. Sia= 0, a la serie se le llamaserie de Maclaurin .
   • Esta representacin tiene tres ventajas importantes:
   • La derivacin e integracin de una de estas series se puede realizar trmino a trmino, que resultan operaciones triviales.
   • Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la funcin.
   • Es posible demostrar que, si es viable la transformacin de unafuncin a una serie de Taylor, es la ptima aproximacin posible.
3. 3. Una aproximacin de octavo orden de la funcin coseno en el plano de los complejos.
4. 4. EJEMPLO Usando los trminos de la serie de Taylor centrada en cero, aproxime la funcin f(x)=SEN X con base en el valor de la funcin f y sus derivadas en el punto x=0,5. Empiece con solo el termino n=0 agregando sucesivamente un trmino hasta el error porcentual sea menor que la tolerancia, tomando 3 cifras significativas.
5. 5. EJEMPLO Remplazando la funcin tenemos: Sen X= sen (0)+cos(o)x-sen (0) X^2/2!- cos (o) X^3 /3! + sen(0) X^4/4!Entonces,Sen X= X X^3/3!- X^5/5! Ahora remplazamos termino por termino para ver el error y de esta forma llegar a la tolerancia permitida Sen X 1 = 0.5 Sen X 2= 0.479 Sen X 3= 0.478
6. 6. EJEMPLO Con el tercer termino cumplimoscon la toleranciaexigida.
7. 7. EJEMPLO Con el tercer termino cumplimoscon la toleranciaexigida.