Serie de Taylor y MaclaurinIng. Antonio Crivillero

Serie de Taylor y MaclaurinQu funciones tienen representacin en serie de potencias?Cmo podemos encontrar esas representaciones?

Suponiendo que f es cualquier funcin representable mediante una serie de potencias:Serie de Taylor y Maclaurin

Serie de Taylor y Maclaurin

Serie de Taylor y MaclaurinTeorema: Si f tiene una representacin (desarrollo) en forma de serie de potencias en a, esto es, siLos coeficientes estn expresados por la frmula

Serie de Taylor y Maclaurin

Serie de Taylor y MaclaurinEJEMPLO 1 Determina la serie de Maclaurin de la funcin f(x) = ex y su radio de convergenciaSOLUCIN Si f(x) = ex , de modo que para toda n.En consecuencia, la serie de Taylor de f en 0 (esto es, la serie de Maclaurin) esPara hallar el radio de convergencia, sea . EntoncesDe modo que, de acuerdo con la prueba de la razn, la serie converge para toda x y el radio de convergencia

Serie de Taylor y MaclaurinLa conclusin a la que llegamos con el teorema 5 y el ejemplo 1 es que en caso de que ex tenga un desarrollo como serie potencias en 0, entoncesAs pues, cmo determinar si acaso ex posee una representacin en forma de serie de potencias?Investigaremos la pregunta ms general: en qu circunstancias una funcin es igual a la suma de su serie de Taylor? En otras palabras, si f tiene derivadas de todos los rdenes, cundo se cumple?

Serie de Taylor y MaclaurinAl igual que con cualquier serie convergente, esto significa que f(x) es el lmite de la sucesin de sumas parciales. En el caso de las series de Taylor, tenemos que las sumas son Observar que Tn es un polinomio de grado n llamado polinomio de Taylor de grado n-simo, de f en a. Por ejemplo, la funcin exponencial f(x)= ex, resultado del ejemplo 1, indica que sus primeros tres polinomios de Taylor en 0 (o sus polinomios de Maclaurin) con n = 1,2 y 3 son

Serie de Taylor y Maclaurin

Serie de Taylor y Maclaurin En la figura 1 se trazan las grficas de la funcin exponencial y de estos tres polinomios de Taylor. En general, f(x) es la suma de la serie de Taylor si Si ponemos y entonces se llama residuo de la serie de Taylor. Si pudiramos demostrar que entonces se desprendera

Serie de Taylor y Maclaurin Hemos demostrado el teorema que sigue.Cuando , entonces f es igual a la suma de su serie de Taylor en el intervaloTeorema: Si f (x) = Tn(x) + Rn(x), donde Tn es el polinomio de Taylor de n-simo grado de f en a yDesigualdad de Taylor: Si para , entonces el residuo Rn(x) de la serie de Taylor satisface la desigualdad

Serie de Taylor y Maclaurin DemostracinPara ver por qu es verdadero lo anterior en el n = 1, suponemos que . En particular se tiene , de manera que para tenemosUna antiderivada de f es f, de manera que en virtud de la parte 2 del teorema fundamental del clculo, tenemos o Luego

Serie de Taylor y MaclaurinPor un razonamiento semejante con , se obtiene Luego

Serie de Taylor y MaclaurinEJEMPLO 2 Escriba la serie de Maclaurin de sen x y demuestre que representa sen x para toda x.SOLUCIN Ordenamos nuestros clculos en dos columnas:

Serie de Taylor y MaclaurinEn vista de que las derivadas se repiten en ciclos de cuatro, podemos escribir la serie de Maclaurin de esta manera:Ya que ,sabemos que para toda x. De modo que podemos tomar M = 1 en la desigualdad de Taylor:

Serie de Taylor y MaclaurinPor la ecuacin 10 el lado derecho de esta desigualdad se acerca a 0 cuando n, de manera que |Rn(x)| 0 por el teorema del emparedado, se sigue que Rn(x) 0 cuando n, de modo que sen x es igual a la suma de su serie de Maclaurin, por el teorema 8.Para referencias futuras enunciamos el resultado del ejemplo 4.

Serie de Taylor y MaclaurinEJEMPLO 3 (a) Cul es el mximo error posible al emplear la aproximacinSOLUCIN a) Observar que la serie de MaclaurinCuando ? Use esta aproximacin a fin de calcular sen 12, con seis decimales(b) Para qu valores de x esta aproximacin tiene una exactitud de 0.00005?Es alternante para todos los valores de x, distintos de cero, de modo que podemos aplicar el teorema de estimacin de series alternantes. El error cometido al aproximar sen x mediante los tres primeros trminos de la serie de Maclaurin es, cuando mucho

Serie de Taylor y MaclaurinSi , entonces , modo que el error es menor quePara calcular sen 12, primero convertirnos a radiantes:

Serie de Taylor y MaclaurinPor consiguiente, , con cinco decimales.(b) El error ser menor que 0.00005 siAl despejar x, de esta desigualdad, obtenemosDe suerte que la aproximacin dada posee una precisin de 0.00005 cuando |x| < 0.82 .

Serie de Taylor y MaclaurinY si hubiramos empleado la desigualdad de Taylor para resolver el ejemplo 3? Dado que f (7)(x)= -cos x, tenemos y luegoDe modo que se obtienen las mismas estimaciones que con el teorema de estimacin de series alternantes.Y si recurrimos a mtodos grficos? En la figura 4 se exhibe la grfica de

Y ah se muestra que cuando . Es la misma estimacin que obtuvimos en el ejemplo 3. Para la parte (b) deseamos que , de modo que graficamos y (figura 5) . Al poner el cursor en la interseccin de la derecha, la desigualdad se satisface cuando . Es la misma estimacin obtenida en la solucin del ejemplo 3.Serie de Taylor y Maclaurin

Serie de Taylor y Maclaurin Si en el ejemplo 3 se nos hubiera pedido aproximar sen 72 en lugar de sen 12, habra sido ms adecuado usar los polinomios de Taylor en en lugar de , ya que son mejores aproximaciones a los valores de sen x cuando x est prxima a . Observe que 72 es prximo a 60, o radianes, y que es fcil calcular las derivadas de sen x en .

Serie de Taylor y MaclaurinLa Figura 6 representa la grficas de las aproximaciones con polinomios de Taylor A la senoide. Puede ver que, al aumentar n, Tn(x) es buena aproximacin a sen x en un intervalo cada vez mayor.

Serie de Taylor y Maclaurin Uno de los empleos de este tipo de clculos, como los de los ejemplos anteriores, se presenta en las calculadoras y computadoras; por ejemplo, cuando se oprime la tecla sen o ex en la calculadora, o cuando un programador emplea una subrutina para definir una funcin trigonomtrica, exponencial o de Bessel, el clculo en muchas mquinas es una aproximacin polinomial. A menudo, se trata de un polinomio de Taylor modificado para repartir el error con ms uniformidad en un intervalo.

Serie de Taylor y MaclaurinEJEMPLO 4 En la teora especial de la relatividad de Einstein, la masa de un objeto se mueve a la velocidad v esEn donde m0 es la masa del objeto cuando est en reposo y c es la velocidad de la luz. La energa cintica del objeto es la diferencia entre su energa total y su energa en reposo:(a) Demuestre que cuando v es muy pequea, en comparacin con c, la ecuacin para calcular K concuerda con la que se obtiene en la fsica clsica newtoniana:(b) Emplee la desigualdad de Taylor a fin de estimar la diferencia entre estas expresiones para calcular K cuando |v| 100 m/s.

SOLUCIN (a) Con las expresiones dadas para K y m, obtenemosSerie de Taylor y MaclaurinCon , la serie de Maclaurin de (1+x)1/2 se calcula con ms facilidad como una serie binomial con k= -1/2. (Mientras que |x|

Serie de Taylor y MaclaurinSi v es mucho menor que c, todos los trminos despus del primero son muy pequeo en comparacin con el primero. Si los omitimos, llegamos a(b) Si , y M es un nmero tal que , entonces por la desigualdad de Taylor podemos escribir

Serie de Taylor y MaclaurinComo y se tiene , tenemosAhora, con As cuando , la magnitud del error cometido al usar la expresin de Newton para la energa cintica es, cuando mucho