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1Emilio Picasso
Series Cronológicas
2Emilio Picasso
Introducción
3Emilio Picasso
Series CronológicasDefinición
t: tiempo, espacio, variable que induce un orden.
1 2 (equiespaciada)
Población Proceso estocástico ( )
Muestra , ... Serie cronológica n t
x z t
x x x z
4Emilio Picasso
Series CronológicasMomentos
2 2
0
0
( ) ( )
( ) ( )
( ( ); ( )) autocovarianza de rezago
autocorrelación de rezago
Observación:
z
k
k
k
k k
t z t
t z
z t z t k k
k
E
E
V
5Emilio Picasso
Series CronológicasEstacionariedad
Proceso estacionario (estricto):
» Un proceso estacionario tiene la función de densidad de probabilidad constante, por
lo tanto todos sus momentos son constantes.
Proceso débilmente estacionario:
» El caso más importante es para m=2:
» La estacionariedad estricta es difícil de determinar.
» Si coinciden las definiciones de estacionariedad estricta y débil.
1 2 1 21 2( ) estacionario , , ... : ( , ,..., ) ( , ,..., )m mm t t t t h t h t hz t m t t t f z z z f z z z
Sus momentos hasta el orden son constantes( ) estacionario de orden z t m m
kcte cte
:z N
6Emilio Picasso
Series CronológicasEstacionariedad
Cantidad diaria de autos defectuosos
Rendimiento diario Merval Demanda anual de Tabaco
Estacionaria en y 2 Estacionaria en pero no en 2 No estacionaria
7Emilio Picasso
Series CronológicasEstacionalidad y Ciclo
Demanda trimestral de cerveza Precio mensual del polipropileno
8Emilio Picasso
Series Cronológicas
300
400
500
600
700
800
900
1000
83 88 93 98 3 8
Producción de Leche
9Emilio Picasso
Series CronológicasMomentos Empíricos
Dada la serie (muestra):
Son necesarias muestras grandes porque la autocorrelación puede “retener” al
proceso en una zona durante cierto tiempo.
1
1
2 210 0
1
1
1
0
ˆ
ˆˆ ( )
ˆ ( )( )
ˆˆ
ˆ
T
tTt
T
z tTt
T k
k k t t kTt
k
k k
z z
c z z
c z z z z
r
1 2, ,... Tz z z
10Emilio Picasso
Modelo de Filtro Lineal
11Emilio Picasso
Series CronológicasNotación de Operadores
Definición:
Propiedades:
» Estos operadores son lineales y forman un álgebra conmutativa con las operaciones
suma y composición.
1
1
1
1
Retroceso:
Avance:
Diferencia:
Suma:
t t
t t
t t t
t t
Bz z
Fz z
z z z
Sz z
1
1 2
0
1
(1 ) (1 ...)
m
t t m
t t t t j
j
B z z F B B
Sz B z B B z z
12Emilio Picasso
Series CronológicasModelo de Filtro Lineal
ta tz
FiltroLineal
2: ruido blanco o innovación: VA indep. con: 0t t ta a a E V
( )t tz B a
2
1 2con: ( ) 1 ... función de transferenciaB B B
1 1 2 2 ...t t t tz a a a
13Emilio Picasso
Series CronológicasModelo de Filtro Lineal – Forma Autoregresiva
Asumiendo que la serie está centrada (sin pérdida de generalidad):2
1 2
2
1 2
forma de media móvil
forma autorregresiva
( ) ( ) 1 ...
( ) ( ) 1 ...
t t
t t
z B a B B B
B z a B B B
1( ) ( ) ( ) ( ) 1B B B B
2 3
1 2 3
2 3
1 2 3
2 3 4
1 1 1 1 1 2 1 3
2 2 3 4 5
2 2 2 1 2 2 2 3
3 3 4 5 6
3 3 3 1 3 2 3 3
1
1 1
B B B
B B B
B B B B B
B B B B B
B B B B B
1 1
2 1 1 2
3 2 1 1 2 3
0
0
0
:
1 1
1 1
j j
j j j i i j j i j i
i i
Permiten el cálculo recurrente
14Emilio Picasso
Modelos EstacionariosARMA(p,q)
15Emilio Picasso
Modelos de Media Móvil MA(q)
Definición:
Estacionariedad:
» Como es finito siempre converge. Luego son siempre estacionarios.
Invertibilidad:
» Expresando el modelo en su forma auto-regresiva a veces los
coeficientes j aumentan con el rezago. Esto no tiene sentido práctico, y se dice que
el modelo no es invertible.
2
1 2
( )
( ) 1 . . .
t t
q
q
z B a
B B B B
: centradatz
( ) ( )B B
( ) t tB z a
( ) invertible / ( ) 0 : 1t tz B a B B B
16Emilio Picasso
Modelos de Media Móvil MA(q)Momentos
Varianza:
» Todos los términos cruzados tienen entonces:
Auto-covarianzas:
Estas ecuaciones permiten estimar y , pero esta estimación por momentos
no es buena.
2 2
0 ( ( ) )t tz B a E E
0t sa a E
2 2 2 2
0 1 2(1 ... )q
[ ( ) ( ) ]k k t t k t t kz z B a B a E E
2
1 1 2 2( ... )k k k k q q k
0
k
k
2 j
17Emilio Picasso
Modelos Auto-Regresivos AR(p)
Definición:
Estacionariedad:
Invertibilidad:
» Como es finito siempre converge. Luego son siempre invertibles.
» Si bien los coeficientes pueden crecer con el rezago, esto no continúa
indefinidamente pues para .
2
1 2
( )
( ) 1 . . .
t t
p
p
B z a
B B B B
: centradatz
( ) ( )B B
0 j j p
( ) estacionario / ( ) 0 : 1t tB z a B B B
18Emilio Picasso
Modelos Auto-Regresivos AR(p)Momentos
Varianza:
» Pero
» Porque con son independientes de , entonces:
2
0 1 1 2 2
1 1 2 2
[ ( ... )]
... [ ]
t t t t p t p t
p p t t
z z z z z a
z a
E E
E
2
1 1 2 2[ ] [( ... ) ]t s t t p t p t tz a z z z a a E E
2
0 1 1 2 2 ... p p
1 t j tjz a
2
0
1 1 2 21 ... p p
19Emilio Picasso
Modelos Auto-Regresivos AR(p)Momentos
Auto-covarianzas:
» Pues
Estas ecuaciones permiten estimar y , aunque las estimaciones por máxima
verosimilitud o cuadrados mínimos son mejores.
1 1 2 2 ...k k k p k p
2 j
1 1 2 2
1 1 2 2
[ ( ... )]
...
k t t k t t k t k p t k p t k
k k p k p
z z z z z z a
E E
indep de si 1 t k t ka z
1 1 2 2 ...k k k p k p
Ecuaciones deYule-Walker
20Emilio Picasso
Modelos ARMA(p,q)
Definición:
Estacionariedad:
» Un modelo ARMA es estacionario cuando su parte AR lo es.
Invertibilidad:
» Un modelo ARMA es invertible cuando su parte MA lo es.
2
1 2
2
1 2
( ) ( )
( ) 1 . . ....
( ) 1 . . .
t t
p
p
q
q
B z B a
B B B B
B B B B
: centradatz
( ) ( ) estacionario / ( ) 0 : 1t tB z B a B B B
( ) ( ) invertible / ( ) 0 : 1t tB z B a B B B
21Emilio Picasso
Modelos ARMA(p,q)Inversión
Reemplazando por en vertical:
Entonces:
» Que permite el cálculo recurrente de pues las se anulan para
.
1 1 2 2 1 1 2 2
0
1 1 1 0 1 1 1
2 2 1 1 2 2 0 2
......... .........
- a
- a - a
t t t p t p t t t q t q
t t
t t t
t t t
z z z z a a a a
a a
a a
a
2 2
3 3 1 2 3 2 1 3 3 3
- a - a
:
t
t t t t
a
a a
tz0
j t ja
1
j i j i j
i
j ,j j y i p j q
22Emilio Picasso
Modelos ARMA(p,q)Selección del Modelo
Los procesos MA(q) se detectan por la función de auto-correlación ya que:
Se demuestra que:
» Que permite ensayar y determinar q.
» Hay que considerar la reducción de a por ensayos simultáneos:
: 0kk q
21
1
: : (0; (1 2 ))q
k jTj
k q r
N
0 ) 0kH
1 (1 )ra a
23Emilio Picasso
Modelos ARMA(p,q)Selección del Modelo
Los procesos AR(p) se detectan por la función de auto-correlación parcial.
Las ecuaciones de Yule-Walker permiten estimar los j
El coeficiente p es la correlación entre zt y zt-p después de eliminar el efecto de zt-1
, zt-2 ,… zt-p+1 sobre zt :
Entonces se lo llama auto-correlación parcial de orden p:
Para cada k se puede estimar por Yule-Walker. Si se encuentra un
entonces el proceso es AR(p) con p=k-1.
1 1 2 2 ...k k k p k p
1 1 2 2 ...t t t p t p tz z z z a
pp
kk 0kk
24Emilio Picasso
Modelos ARMA(p,q)Selección del Modelo
Se demuestra que en un AR(p):
» Que permite ensayar y determinar p.
» Hay que considerar la reducción de a por ensayos simultáneos:
Los modelos ARMA(p,q) sólo pueden validarse después de ser estimados.
1ˆ: : (0; )kk Tk p N
0 ) 0kkH
1 (1 )ra a
25Emilio Picasso
Procesos No EstacionariosARIMA(p,d,q)
26Emilio Picasso
Procesos No Estacionarios
Se puede modelar a tendencia en función del tiempo y otras variables
(lineal, exponencial, etc.) y los residuos estacionarios por ARMA. O hacerlo
simultáneamente: ARMAX (no lineales).
Pero a veces el proceso pasa largas temporadas sobre o bajo la media.
Si alguna |B|< 1 el proceso diverge inexorablemente y pierde interés como proceso
estocástico. Ej: crecimiento bacteriano ad-libitum.
Si alguna |B|= 1 el proceso no es estacionario pero no diverge: es homogéneo.
Cuando B es compleja o B = -1 el proceso toma formas regulares artificiales.
Entonces el caso de interés práctico es B = 1.
( ) ( ) estacionario / ( ) 0 : 1t tB z B a B B B
27Emilio Picasso
Procesos No Estacionarios
Si hay d raíces unitarias B = 1:
Que es un modelo ARIMA(p,d,q)
» Donde la serie es estacionaria.
Se llama “integrado” porque
» Donde la serie es estacionaria.
( ) ( )(1 ) ( )d dB B B B
( ) ( )d
t tB z B a
d
tz
d d
t t t tz w z S w
tw
28Emilio Picasso
Procesos No Estacionarios
En la práctica d = 1 o 2, y los modelos más comunes son:
Los procesos integrados pueden ser difíciles de distinguir:
» Si son muy parecidos, aunque sus comportamientos futuros pueden ser bien
diferentes.
1 1
2
1 1 2 2
(1,1) :
(2,2) :
t t t
t t t t
IMA z a a
IMA z a a a
1 1
1 1
(1,1) :
(1,1) :
t t t t
t t t t
ARMA z z a a
IMA z z a a
1
29Emilio Picasso
Procesos No Estacionarios
Un correlograma largo es señal de un proceso no estacionario. Las series
diferenciadas deben mostrar correlogramas cortos.
Ejemplos de procesos no estacionarios:
» Precio de activos financieros.
» Ventas de algunos productos.
30Emilio Picasso
Pronóstico
31Emilio Picasso
Pronóstico
Dada la serie zt (centrada) observada en el instante t:
Expresando la serie según el modelo de filtro lineal:
Se define el pronóstico como:
» Donde Et : esperanza en el instante t .
Ahora:
Entonces:
( ) pronóstico para el instante con datos hasta el instante ( : lead time)
valor futuro de la serie en el instante , aleatorio.
ˆ :
:
t
t l
l t l t l
t l
z
z
1 1 2 2 ... ...t t t t j t jz a a a a
( )ˆt t t llz z E
2
conocido (no observado)
aleatorio
: 0
: 0
j t j j t j
j t j t j
j t a a a a
j t a a a
E V
E V
1 1 2 2 1 1( )ˆ [ ... ...]t t t l t t l t l t l l t l tlz z a a a a a E E
1 1( )ˆ ...t l t l tlz a a
32Emilio Picasso
Pronóstico
El error de pronóstico es:
1 1 2 2 1 1( )
El error mínimo cuadrático concide con la varianza y es mínimo
ˆ ... ...
0
t l t t l t l t l l t
t
lz z a a a a
E
1 1 2 2 1 1[ ... ...]t t l t l t l t l l t l tz a a a a a V V
2 2 2
1 1(1 ... )t t l lz V Que permite hacer el intervalo de pronóstico
33Emilio Picasso
Pronóstico
Naturaleza de los impulsos aleatorios:
» El impulso aleatorio es el error de pronóstico con lead time = 1
1 1 2 2
1 2 1
1 1 1 2 2
1
(1)
(1)
(1)
...
ˆ ...
ˆ ...
ˆ
t t t t
t t t
t t t
t t t
z a a a
z a a
z a a
z z a
34Emilio Picasso
Pronóstico a partir de un Modelo ARIMA
Todo modelo ARIMA(p,d,q) puede expresarse como una modelo ARMA(p+d,q).
Entonces, sin pérdida de generalidad analizaremos un modelo ARMA.
Por ejemplo para el ARMA(3,2):
Ahora:
Entonces:
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2( )ˆ
t t t t t t t
t l t l t l t l t l t l t l
t t t l t t l t t l t t l t t l t t l t t ll
z z z z a a a
z z z z a a a
z z z z z a a a
E E E E E E E
1 (1):
ˆ
t j j
t j j j
z zj t
a z z
E
E( )ˆ
:0
t j t
t j
j tz zj t
a
E
E
1 2 1 3 2 1 2 1
1 2 3 1 2
1 2 3
1 2 3
(1)
(2) (1)
(3) (2) (1)
(4) (3) (2) (1)
ˆ 0
ˆ ˆ 0 0
ˆ ˆ ˆ 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 0
:
t t t t t t
t t t t t
t t t t
t t t t
z z z z a a
z z z z a
z z z z
z z z z
35Emilio Picasso
Pronóstico a partir de un Modelo ARIMA
Para un modelo ARI los predictores se calculan recursivamente hacia el futuro.
Cuando el modelo tiene componentes MA , el calculo se inicia ab aeterno. En la
práctica en el pasado remoto: t-h , cuando se puede despreciar at-h , no por pequeño
sino porque casi no influye sobre el presente.
Asumiendo se pueden estimar a partir de estas
h+1 ecuaciones recursivamente empezando de la ultima.
1 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2
2 1 1 1 2 2 3 3 4 1 1 2 2 3
1 1 1 2 1 3 2 1 1 2 1
1
(1)
(1)
(1)
(1)
ˆ
ˆ
:
ˆ
ˆ
t t t t t t t t t t
t t t t t t t t t t
t h t t h t h t h t h t h t h t h t h
t h t
z z z z z z a a a
z z z z z z a a a
z z z z z z a a a
z
E
E
E
E 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2t h t h t h t h t h t h t h t hz z z z z a a a
1: 0t jj h a ...t h ta a
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 , 1...0t h t j t j t j t j t j t ja z z z z a a j h h
36Emilio Picasso
Pronóstico a partir de un Modelo ARIMA
Con las se pueden calcular los pronósticos:
Sólo se usan:
Bandas de pronostico:
...t h ta a ( )ˆt lz
1...t t qa a
1 /2
2 2 2
1 1
( ) ˆˆ:
ˆ ˆˆ ˆ(1 ... )
t l
t l
t l t z
z l
lz z z a
