Series de Fourier Teoria

Tema 7.- SERIES DE FOURIERAmpliación de Matemáticas.

Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Índice1. Series trigonométricas y series de Fourier. Coeficientes de Fourier 1

2. Series de Fourier de funciones pares y de funciones impares 2

3. Convergencia puntual de las series de Fourier 3

4. Series de cosenos y series de senos 3

5. Otras formas de expresión de las series de Fourier. Forma exponencial. 4

6. Espectro de líneas y síntesis de formas de onda 6

1. Series trigonométricas y series de Fourier. Coeficientes deFourier

Toda serie funcional que se pueda expresar en la forma

a02+∞Xn=1

µan cos

2πn

Tx+ bn sen

2πn

Tx

¶donde T ∈ R+, a0, a1, a2, . . . , b1, b2, . . . son constantes reales, se denomina serie trigonométrica y losan, bn son los coeficientes de la misma.

Dado un número real x0, observemos que si en la serie se sustituye la variable x por cualquier númerode la forma x0 + kT con k ∈ Z, la serie numérica obtenida es la misma cualquiera que sea k, puesto que:

an cos2πn

T(x0 + kT ) + bn sen

2πn

T(x0 + kT ) =

= an cos

µ2πn

Tx0 + 2knπ

¶+ bn sen

µ2πn

Tx0 + 2knπ

¶= an cos

2πn

Tx0 + bn sen

2πn

Tx0

Por esta razón, se puede afirmar que si la serie trigonométrica converge en el punto x0, entonces tambiénconverge en todo punto de la forma x0 + kT, y que su suma es la misma en cualquiera de dichos puntos.En consecuencia, si la serie trigonométrica converge, su suma será una función periódica, de período T .

Definición 1.1 Sea f una función integrable en [0, T ]. Se llaman coeficientes de Fourier de f a losnúmeros

an =2

T

Z T

0

f(x) cos2πn

Txdx n = 0, 1, 2, 3, . . .

bn =2

T

Z T

0

f(x) sen2πn

Txdx n = 1, 2, 3, . . .

1

Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 2

La serie trigonométrica que tiene estos coeficientes se denomina serie de Fourier de f en [0, T ].Cuando la función f es además periódica de período T , la serie citada se denomina simplemente serie deFourier de f .

Para construir la serie de Fourier de una función sólo hay que calcular sus coeficientes, y para ello, deacuerdo con la Definición 1, basta con que f sea integrable. Pero hasta ahora no se ha expuesto ningúnargumento que permita decidir nada acerca de la convergencia de esta serie, ni tampoco, si la suma eso no la función f . Es decir, una cosa es obtener la serie de Fourier de una función, y otra muy distintadeterminar su convergencia y eventualmente su suma. Dejaremos para más tarde estas últimas cuestiones.

Obsérvese que, en el caso de ser f una función T -periódica, los integrandos serían funciones de períodoT , y entonces, de acuerdo con la Proposición A.2 del Apéndice, es posible reemplazar el intervalo deintegración por cualquier otro intervalo de longitud T (como por ejemplo, el intervalo [−T/2, T/2]), loque en ciertas circunstancias puede facilitar el cálculo de los coeficientes de Fourier.

2. Series de Fourier de funciones pares y de funciones impares

En el cálculo de la serie de Fourier correspondiente a una función f , es posible evitar trabajo innecesarioal determinar los coeficientes de la serie cuando la función f considerada sea o bien una función par obien una función impar, como veremos a continuación:

Si f es una función integrable en [0, T ], y además periódica de período T , su serie de Fourier es

a02+∞Xn=1

µan cos

2πn

Tx+ bn sen

2πn

Tx

¶y sus coeficientes se obtienen empleando las fórmulas

an =2

T

Z T

0

f(x) cos2πn

Txdx n = 0, 1, 2, 3, . . .

bn =2

T

Z T

0

f(x) sen2πn

Txdx n = 1, 2, 3, . . .

que también se pueden expresar (considerando la periodicidad de f) en la forma

an =2

T

Z T/2

−T/2f(x) cos

2πn

Txdx n = 0, 1, 2, 3, . . .

bn =2

T

Z T/2

−T/2f(x) sen

2πn

Txdx n = 1, 2, 3, . . .

Así, se tiene que:

i) Cuando f es par, al calcular los coeficientes an las funciones a integrar son funciones pares, ya quetanto f como los cosenos lo son; sin embargo, al calcular los bn las funciones a integrar son impares,porque f es par y los senos impares, de ahí que de acuerdo con la Proposición A.3 del Apéndiceresulte

an =4

T

Z T/2

0

f(x) cos2πn

Txdx n = 0, 1, 2, 3, . . .

bn = 0 n = 1, 2, 3, . . .

y por tanto la serie de Fourier obtenida es una serie cosenoidal, es decir, es de la forma

a02+∞Xn=1

an cos2πn

Tx


ii) Cuando f es impar, al calcular los coeficientes an las funciones a integrar son funciones impares,ya que f es impar y los cosenos pares; sin embargo, al calcular los bn las funciones a integrar sonpares, porque tanto f como los senos son impares, de ahí que de acuerdo con la Proposición A.3del Apéndice resulte

an = 0 n = 0, 1, 2, 3, . . .

bn =4

T

Z T/2

0

f(x) sen2πn

Txdx n = 1, 2, 3, . . .

y por tanto la serie de Fourier obtenida es una serie senoidal, es decir, es de la forma

∞Xn=1

bn sen2πn

Tx.

3. Convergencia puntual de las series de Fourier

Siendo f una función integrable en [0, T ], y además periódica de período T , podemos hablar de laserie de Fourier de f en [0, T ]. Sin embargo, como hemos aclarado antes, no hemos dicho que la serieconverja hacia la función f , ni siquiera que sea convergente.

Un teorema importante sobre la convergencia puntual de la serie de Fourier de una función f , quecubre la mayoría de las situaciones en las que se encuentran las funciones a considerar en las aplicaciones,es el que exponemos después de la siguiente definición.

Definición 3.1 Se dice que una función f es monótona por tramos en un intervalo [a, b], si existe unapartición {a = x0 < x1 < . . . < xn = b} del intervalo (a, b)a

x0 x1 x2 xn−1 xn

b

de modo que la función f es monótona en cada subintervalo (xi−1, xi).

Teorema 3.1 Si la función f es acotada y monótona a tramos en el intervalo [0, T ], y periódica deperíodo T , entonces la serie de Fourier de f es convergente en cada punto x de R, y su suma es

1

2

£f¡x+¢+ f

¡x−¢¤

donde f(x+) y f(x−) denotan respectivamente los límites por la derecha y por la izquierda de f en x, esdecir

f(x+) = lımh→0+

f(x+ h) y f(x−) = lımh→0+

f(x− h).

4. Series de cosenos y series de senos

A veces en las aplicaciones, surge la necesidad de representar mediante una serie de Fourier unafunción dada, que sólo está definida sobre cierto intervalo acotado de la recta real.

Supongamos que la función f está definida en el intervalo [0, ], y que se desea representar por unaserie de Fourier.

Puesto que toda serie de Fourier, cuando converge, representa una función periódica, resolveremos elproblema si consideramos una nueva función periódica, que coincida con la función f en el intervalo [0, ],y hallamos su serie de Fourier. Así si la serie de Fourier de la función construida a partir de f , representaa dicha función, también representará a f en el intervalo [0, ] en el que está definida. Con esta idea, sepodrían adoptar distintas formas de proceder, como las tres que se sugieren a continuación.


i) Construir una nueva función f∗, periódica de período , tal que en el intervalo (0, ) coincida conla función f . La serie de Fourier de f∗ representará a la función f en el intervalo (0, ), si estamosen las condiciones del teorema de convergencia.

ii) Construir una nueva función fp, periódica, de período 2 , que en el intervalo [− , ] se defina como

fp(x) =

½f (x) si x ∈ [0, ]f (−x) si x ∈ [− , 0)

La función fp así definida es una función periódica, de período 2 , y además es par. Por ello fptiene asociada una serie de Fourier cosenoidal. Dicha serie, que se denomina serie de cosenos def , representará a la función f en el intervalo [0, ], si estamos en las condiciones del teorema deconvergencia.

iii) Construir una nueva función fi, periódica, de período 2 , que en el intervalo [− , ] se defina como

fi(x) =

½f (x) si x ∈ [0, )−f (−x) si x ∈ (− , 0)

La función fi así definida es una función periódica, de período 2 , y además es impar. Por ellofi tiene asociada una serie de Fourier senoidal. Dicha serie, que se denomina serie de senos def , representará a la función f en el intervalo [0, ], si estamos en las condiciones del teorema deconvergencia.

5. Otras formas de expresión de las series de Fourier. Formaexponencial.

En términos de los coeficientes an y bn, las series de Fourier adoptan la forma

a02+∞Xn=1

µan cos

2πn

Tx+ bn sen

2πn

Tx

¶pero a veces se utilizan otros coeficientes A0, An,ψn relacionados con éstos mediante las igualdades

A0 = a0an = An cosψnbn = An senψn

⎫⎬⎭ n = 1, 2, 3, . . .

siendo An ≥ 0 y 0 ≤ ψn < 2π, lo que permite escribir

an cos2πn

Tx+ bn sen

2πn

Tx = An cosψn cos

2πn

Tx+An senψn sen

2πn

Tx

= An cos

µ2πn

Tx− ψn

¶,

así que la serie quedaA02+∞Xn=1

An cos

µ2πn

Tx− ψn

¶.

Si ahora introducimos el parámetro ω mediante la igualdad

ω =2π

T


las series de Fourier se pueden escribir

a02+∞Xn=1

(an cosnωx+ bn sennωx) o bienA02+∞Xn=1

An cos (nωx− ψn)

Ahora, usando una terminología muy común en Física, llamaremos

an cosnωx+ bn sennωxAn cos (nωx− ψn)

¾armónico de orden n

An amplitud del armóniconωx− ψn fase del armónico

nω pulsación o frecuencia angular del armónicoψn constante de fase del armóniconω

2πfrecuencia del armónico

FORMA EXPONENCIAL DE LAS SERIES DE FOURIER

La forma trigonométrica de la serie de Fourier de una función f , periódica de período T , dada por

a02+∞Xn=1

µan cos

2πn

Tx+ bn sen

2πn

Tx

¶donde los coeficientes son los de la Definición 1, puede adoptar otra expresión a menudo más cómoda entérmino de funciones exponenciales complejas como mostraremos seguidamente.

Si escribimos

cos2πn

Tx =

e2πinxT + e−

2πinxT

2

sen2πn

Tx =

e2πinxT − e− 2πinx

T

2i

tendremos

an cos2πn

Tx+ bn sen

2πn

Tx =

1

2

han

³e2πinxT + e−

2πinxT

´− ibn

³e2πinxT − e− 2πinx

T

´i=

1

2

h(an − ibn) e 2πinxT + (an + ibn) e

− 2πinxT

iDe modo que definiendo b0 = 0, cn =

1

2(an − ibn), y llamando cn a su conjugado, podremos expresar la

serie de Fourier en la forma

c0 +∞Xn=1

³cne

2πinxT + cne

− 2πinxT

´y si por último llamamos c−n = cn quedará la forma exponencial de la serie:

∞Xn=−∞

cne2πinxT

cuyos coeficientes complejos, utilizando las expresiones de an y bn dadas en la Definición 1, se puedenobtener utilizando la fórmula

cn =1

T

Z T

0

f(x)e−2πinxT dx para todo n ∈ Z


En términos de la pulsación ω, los coeficientes de Fourier quedarían

cn =ω

2π

Z 2π/ω

0

f(x)e−inωxdx para todo n ∈ Z

y la serie∞X

n=−∞cne

inωx

6. Espectro de líneas y síntesis de formas de onda

Existe un procedimiento gráfico para estudiar la contribución de cada armónico en una serie de Fourier.Consiste en un diagrama cartesiano en cuyo eje horizontal se representa la frecuencia de cada armónico,y en el vertical la amplitud del mismo. Ello da origen a un diagrama de segmentos verticales que seconoce con el nombre de espectro de líneas. Una simple inspección del mismo da una idea rápida dela velocidad de convergencia de la serie y de la contribución de cada armónico a la onda dada por laserie. Los armónicos que más contribuyen tienen mayores amplitudes, y en el espectro de líneas aparecenrepresentados por segmentos de mayor longitud.

En el epígrafe A.4 del Apéndice se muestran algunos desarrollos de Fourier y sus correspondientesespectros de línea.

Describimos a continuación otro concepto en relación con las aplicaciones de las series de Fourier. Laidea central de toda la teoría de series de Fourier es que en condiciones bastante generales, una funciónperiódica se puede expresar como una “suma” de infinitos armónicos. La convergencia de las series deFourier hace que los sucesivos armónicos tengan cada vez menor amplitud, por lo que la suma de unospocos de ellos basta para obtener una buena aproximaciónde la función. Supongamos que tenemos unafunción periódica y calculamos sus primeros armónicos. Podemos entonces reconstruir aproximadamentela función sumando tantos armónicos como se considere necesario para conseguir la precisión deseada.Este proceso se conoce con el nombre de síntesis de formas de onda y para ponerlo de manifiesto, loaplicaremos a algunos ejemplos que se describen en el epígrafe A.5 del Apéndice.

Obsérvese que en el ejemplo b) podemos conseguir una buena síntesis tomando pocos armónicos, adiferencia de lo que ocurre en los casos a) y c) en los que el número de armónicos necesario es mayor. Elloes debido a que la velocidad de convergencia de la serie de Fourier es tanto mayor (y en consecuencia tantomenor el número de armónicos que se necesitan para la síntesis) mientras más “suave” sea la función, esdecir, mientras más derivadas continuas tenga la función.


APÉNDICE.-

A.1. Proposición. Para todo n, p ∈ {0} ∪ N se cumple que:

a)

Z T

0

cos2πn

Tx cos

2πp

Txdx =

⎧⎨⎩ T si n = p = 0T/2 si n = p > 00 si n 6= p

b)

Z T

0

sen2πn

Tx sen

2πp

Txdx =

⎧⎨⎩ 0 si n = p = 0T/2 si n = p > 00 si n 6= p

c)

Z T

0

cos2πn

Tx sen

2πp

Txdx = 0

Demostración:a) Utilizando la relación cosα cosβ =

1

2[cos(α+ β) + cos(α− β)] resulta que:

TZ0

cos2πn

Tx cos

2πp

Txdx =

1

2

Z T

0

cos

µ2πn

T+2πp

T

¶xdx+

1

2

Z T

0

cos

µ2πn

T− 2πp

T

¶xdx

=

⎧⎨⎩ T/2 + T/2 si n = p = 00 + T/2 si n = p > 00 si n 6= p

b) Se demuestra de manera análoga utilizando la relación

senα senβ =1

2[cos(α− β)− cos(α+ β)]

c) Se demuestra de forma análoga utilizando la relación

cosα senβ =1

2[sen(α+ β)− sen(α− β)]

A.2. Proposición. Si g : R→ R es una función T -periódica e integrable en un intervalo de longitud T ,entonces se verifica: Z a+T

a

g (x) dx =

Z T

0

g(x)dx para todo a ∈ R

es decir, la integral en todo intervalo de longitud T toma siempre el mismo valor.

Demostración: Z a+T

a

g(x)dx−Z T

0

g(x)dx =

=

Z 0

a

g(x)dx+

Z T

0

g(x)dx+

Z a+T

T

g (x) dx−Z T

0

g(x)dx

=

Z 0

a

g(x)dx+

Z a+T

T

g(x)dx

y esta última suma es cero, ya que haciendo el cambio de variable x = t+ T en la integralZ a+T

T

g(x)dx,

resulta ser igual a −Z 0

a

g(x)dx.

A.3. Proposición. Si f : [−a, a]→ R es integrable, se puede asegurar que:


a) Si f es par, entoncesZ a

−af(x)dx = 2

Z a

0

f(x)dx.

b) Si f es impar, entoncesZ a

−af(x)dx = 0.

Demostración:

a) Z a

−af(x)dx =

Z 0

−af(x)dx+

Z a

0

f(x)dx =

Z 0

−af(−x)dx+

Z a

0

f(x)dx =

pero las dos últimas integrales quedan, después de hacer el cambio de variable t = −x en lapenúltima de ellas, así

=

Z 0

a

−f(t)dt+Z a

0

f(x)dx =

Z a

0

f(t)dt+

Z a

0

f(x)dx = 2

Z a

0

f(x)dx

b) Z a

−af(x)dx =

Z 0

−af(x)dx+

Z a

0

f(x)dx =

Z 0

−a−f(−x)dx+

Z a

0

f(x)dx =

pero las dos últimas integrales quedan, después de hacer el cambio de variable t = −x en lapenúltima de ellas, así

=

Z 0

a

f(t)dt+

Z a

0

f(x)dx = −Z a

0

f(t)dt+

Z a

0

f(x)dx = 0

A.4. Espectro de líneas.A continuación se describen algunas funciones periódicas, sus desarrollos de Fourier y las amplitudes

de los armónicos. También se representan los correspondientes espectros de líneas.

a) f(x) =½0 si − 5 < x < 03 si 0 < x < 5

y periódica de periodo T = 10

3

2+6

π

µsen

πx

5+1

3sen

3πx

5+1

5sen

5πx

5+ · · ·

¶An =

6

(2n− 1)π n = 1, 2, 3, . . .

2

1

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1


b) f(x) = sen x en [0,π] y periódica de periodo T = π

2

π− 4

π

µcos 2x

3+cos 4x

15+cos 6x

35+ · · ·

¶

An =4

(4n2 − 1)π n = 1, 2, 3, . . .

1/π 2/π 3/π 4/π 5/π

0.25

0.5

c) f(x) = x2 en (0, 2π) y periódica de periodo T = 2π

4π2

3+4

1cosx− 4π

1senx+

4

4cos 2x− 4π

2sen 2x+

4

9cos 3x− 4π

3sen 3x+ · · ·

An =4

n2

p1 + n2π2 n = 1, 2, 3, . . .

1/2π 2/2π 3/2π 4/2π 5/2π 6/2π

5

10

A.5. Síntesis de formas de onda.

En los ejemplos que siguen se muestran algunas funciones periódicas, la suma de sus primeros armóni-cos, y superpuestas en el mismo diagrama, las gráficas de la suma de armónicos y de la función, sobre unintervalo de longitud igual a un período. Debe observarse cómo la suma de los armónicos se adapta cadavez mejor a la función, mientras más sumandos tenga.

a) f(x) = x en (−π,π) y periódica de periodo T = 2π

S2(x) = 2 senx− sen 2xS5(x) = 2 senx− sen 2x+ 2

3sen 3x− 2

4sen 4x+

2

5sen 5x


-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

b) f(x) = x3 − x en [−1, 1] y periódica de periodo T = 2

S1(x) = −12π3

senπx

S2(x) = −12π3

senπx+3

2π3sen 2πx

-1 -0.5 0.5 1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

-1 -0.5 0.5 1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Obsérvese que bastan sólo dos armónicos para reproducir casi exactamente la función f . Ello esdebido, como se comentó en la Sección 6, a que f tiene (compruébese) derivada primera continua.

c) f(x) = u(x) =½0 si x < 01 si x 0

(función escalón unidad) definida en (−1, 1) y periódica de periodoT = 2

S2(x) =1

2+2

πsenπx

S4(x) =1

2+2

πsenπx+

2

3πsen 3πx

S7(x) =1

2+2

πsenπx+

2

3πsen 3πx+

2

5πsen 5πx+

2

7πsen 7πx

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1


d) f(x) = sen x en [0,π] y periódica de periodo T = π

S2(x) =2

π− 4

3πcos 2x− 4

15πcos 4x

S4(x) =2

π− 4

3πcos 2x− 4

15πcos 4x− 4

35πcos 6x− 4

63πcos 8x

S7(x) =2

π− 4

3πcos 2x− 4

15πcos 4x− 4

35πcos 6x− 4

63πcos 8x−

− 4

99πcos 10x− 4

143πcos 12x− 4

195πcos 14x

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

En este ejemplo, también la aproximación de la suma de armónicos a la función es bastante buena,debido a que f es continua, pero no tan buena como en el ejemplo b), porque ahora, en los extremos delintervalo, la derivada no es continua.

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