Upload
irina-spunky
View
4
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
24. Spnrr DE NUMERE REALE
24.1. Notiuni de teorie
1) Definifii qi proprietifi generale
Fie girul de numere reale (a,, ),,,0 cdruia ii asociem un alt gir
(s" , l , , ro cu s0 = l l0. s l =uo+ut, . , J, =u0+ut +. . .+a,, . . . , numrt
Sirul sumelor paryiale.Definitie. Se numegte serre de termen general u,, perechea de
. / \ / \ - \ -$trun (u, , / ,>0. (s, , r , ,>0 $l senoleaza Lu,, sau uo+ut+u2+.. .+u,,+. . . .,>o
Scna Z,, se nume$te convergentd dacd girul sumelorn>0
parliale (s,),,0 est€ convergent gi in acest caz s=lims,, se nume$te
+suma serrct. notancu-se s = Lu, .
Seriile care ,rr, .nnt'"oorr',r"arente se numesc divergente. Dacd
+ , - r / \rrm s,, = a@ aluncl punem Lu, = +@ , lar daca $trul (s, J,,0 nu are
.---"="limite atunci spunem cd )t,, este oscilantd.
,>0
Pin studiul naturii unei scrii se intelege precizarcaconvergentei respectiv divergenlei serici.
Proprietdli generale ale seriilorI . Natura unei serii nu se schimbl daod addugdm sau suprimim
un numir finit dc tcrmcni.2. Natura unei serii nu se modificd daci schimbdm ordinea unui
numdr finit de termeni.^
\ - \ -1t. Lr,, 9t LLu,, cu A e K au aceeagt natura.,>0 ,>O
,^-\-s ls- /+. uaca Lu,,, Lv,, sunl convergente, atuncl Z(a,, + yr ) cstc
n>0 ,20 , n>0
conversentd.
1 1 1 1 Probleme de analizl matematici
358 24. Serii de numere reale
5. Dacd )r, este convergentd, atunci lim a, = 0.,>0
6. Dacd (u"),ro nu are limitd sau limz, + 0 atunci lr, esten50
divergentd.Observatie. Dacd lima, = 0 nu rezulti nici convergenla dar
.<. inlcl dlvergenta senet Lur, .
x>0
2) Criterii de convergen{i pentru serii cu termeni'pozitivi
lr, ".t. "u termeni pozitivi dacd u,, > 0 (V)n > 0.
n>0
24. s
liml
lir.saslpoz-itivi fu,,, ) v" astfel incAt
,>0 ,>0
t 1, ' t fV\r>O- ' , - ' , r \ ' l ' - -
s1 \-a) Dacd )_v, este convergentd, atuncl Lu" esten>0 r>0
convergentA;- \ - 'b) Dacd /u,, este divergentd, atunci ) v, este divergentd.
,>0 t>0
2. Criteriul rdddcinii
Fie I r-r, o serie cu termeni pozitivi, aqa incdt existd,>0
1. C rite riu I c ompar aliei
Fie seriile cu termeni
so
Ir<li ='
es
tr
!
a) Daci /<1,atunci I r.r,,h>0
b) Daci i >l,atunci lr ,'|>0
este convsrgentA.
este divergentd.
I 1 I I Probleme de analizd matematici
ei::
I ;:-
3. Criteriul raportului
Fie lu,, o serie cu termeni pozitivi aqa incit existdr>0
limu,*, = I .
a) Dac6/ < 1 , atunci ) rz,, este convergentd.
b) Dacd / > 1 , atunci )u,, este divergentd.,>0
4, Criteriul Rsabe-Dulnmel
Fie seria cu termeui pozitivi lu,, pentru care existix>0
/ \. . l u, , , ll rmnl - - I l= L.,'-,- \ ,,+r .)
a) Dacd L> 1 , atunci lz,, este convergentd.n>0
b) Dacd I<1,atunci )u,, este divergentd.
Obscrvafie. folosind criteriul Raabe-Duhamel se aratd cd
seria armonici gener aliz'atd
F I =t+ I
* I+. . . . p.R-L nP 2p 3tr,> l "
cste convergentA pentru p>1 9i divergenti pentru p31 (a se vedea
problema 29).
3) Serii alternate
O serie alternatuT este de forma
>(- | I " u, , = r , - u, + Lt \ - u t+. . . +(- l ) " - r u, , +. . .
tr>l
i r care u, , >0, (V)n>1.
br i
-i.::
e-i:
ri
I:.a--
Criteriul lui Leibniz.
incdt u, , >u,, . , , (V)n >1 9i
: - r , - .x ]
L\-L) tlr este convergenta'r>l
- \ - / . ,n I
hlc sena al temata z(- l ) . l , , a$a,2I
1im r.r,, = 0 . Atunci seria altematd
n:: 1 I 1 1 Probleme de analizd matematicd
4) Serii absolut convcrgente
Defini$e. Seria 14 se nume$te absolut convergentd dacd,> l
sena modulelor termenilor ) 1,r,, j "st" "o.rlrogentI.a2l
Teoremi. Orice serie absolut convergente. este convergentd.Reciproca acestei teoreme nu este insd adevdratlSeriile care sunt convergente, fErd si fi" ubroiut
"orru"rg".rt"se numesc serz jconvergente.
Observafie. Dacd seria l]lr,l ""rin"a
condifia de divergenli, r>l
din criteriul rdddcinii sau criteriul raportului, atunci seriadivergentS.
5) Calculul aproximativ al sumelor unor scrii
l1l I Probleme de anairErnat"matG
lz, estex>l
Menfiondm mai intdi cdteva notiuni privind erorile in calcululnumenc.Fie / :DcR+R o funct ie dat6 qi re D f ixat . Dacd in
calculul valorii f(x) se inlocuie;te -r prin FeD\{xJ, atunci sespune cd' x a fost aproximat prin F gi se scrie x=i. Numdrul r senume$te aproximantd sau valosre aproximatd a lui x . Oe cele maimulte ori i_este rational cu un numir linit de zecimale.Diferenla _r - i se
"u,-"gt: eroare in aproximarea -t = .r $ise noteazd e"=x-i iarfe,l=fx_;l s" nrrmegte
"roo re absolutd.
Dacd r este un numdr irational, adicd de forma x = a,arar...in care ce Z iar ftecare taproximants i a rui .r ," ojo""lT,,l"".ji,*Til'i l.;ti;ft;ide zecimale, adicd i = a,aiar...a,,. Analogdacd .r este ratlonal cu unnumdr mare de zecimale sau o infinitate de zecimale (dar in acest cazperiodice).
Pin trunchiere intr_o formuli de calcul se inlelege neglijareaunei pdrti finite sau infinite care compune fbrmula.Si presupunem cI, aplicdnd unul din criterii, s_a stabilitconvergenla seriei I r,t" , dar nu este posibil sd_i determin[m suma s.
^ ,>tIn acest caz trebuie sd ne multumim cu o valoare aproxrmativd asnmer s gt anume cu o sumi. parliald s, = ut + u2+... + 2,, oblinuti
24
pri
em
di!
cucq
s:
val
Err
s:
s:
ap
c2
trtirq
h
l ;
aii
I
3
E
i
I
o
-I
a
I
I
pr in t runchiere. NotAnd R^=u,*t+un*2+" ' avem s=s,, +R, $i
eroarea absolutd frcutd in aproximarea s = s,, este
l"-",,1=lt,lDe asemenea, o altl eroare in gdsirea sumei ' mai provine qi
din calculul aproximativ al termenilor ut,u1, .., Lt,, '
1. Calculul aproxinativ al sumelor seriilor alternate
Fies-, . , , I r , t ' l ,
) ( - i I t t t ,=t l t - I ' tz+u\-ut+ +(-1, uut" '
cu u,-"0, , , ,>0, u, ,>u,,*r , (V)n >1, adicd o ser ie al ternatd
convergentd in baza criteriului lui Leibniz Existd in acest caz
s = lims,, carc insd nu poate fi determinal pcnlru orice scric'
Eroarea absolutd in aproximarea s = s,, cste mai micd dccit
valoarea absolutd a primului termen neglijat, adic[
l " - ' , ,1<, , , ' ' (v)r > IEroarea este prin lipsd dacd n este par 9i prin adaos dacd n estc tmpar'
2, Aproximarea sumei seriilor cu termeni pozitivi
Dacd 14 este o seria cu temeni pozitivi convergentd qi,>0
s=l ims. =Ir . , , atunci s, , <s (V)r20 qi eroarea in aproximarea
- 's = s.,
"rt" " -
",, = 4, . Rezulte ci problema calculdrii valorii
aproxirnative a lui s revine la majorarea rcstului R, printr-o sene a
cdrei sumi o Putern calcula.in anumite situalii majorarea restului R, se poate face intr-o
manierd standard, utilizdnd criteriul rdddcinii respectiv criteriul
raportului.
a) Majorarea restului folosind criteriul ridicinii
Fie 1", o serie cu termeni pozitivi astfel incitr>0
lim tli =1 <1, adicd serie convergentd. Atunci oricate ar fi ke (/,1),
1 1 I 1 Problerne de analizd matematicd
362__ 24. Serii de numere reale
existd no e N astfel incdt d4 <k, (V)n>no.Dac6. n2no, atunci avem
R, = u,,u + u.*r + ...1 k,*t + k'*t + ...,adicd
*,=+,(v)n>no.
b) Majorarea restului folosind criteriul raportului
Fie lu,, o serie cu termeni pozitivi astfel incdt,>0
,l*; = t . I , adicd serie convergenti. Atunci oricare ar fi k e (t,l)
existd noeN astfel furci1 u! !L3l{ ,
(V)n|no, adicd u, ,* ,<ku,,
(Y)n > no. Deci pentru n ) no obtinem
R,, = u,*, + uh+2 + ...3 u,(k + k2 + ...)
R,<",* , (v)n>-no.
adica
1111 Probleme de anal6atematicE