MATEMÁTICA APLICADA A LOS

NEGOCIOS

1

6.1 Sesión presencial Unidad 4: Integrales

Integral indefinida. AplicacionesIntegral definida

Una compañía determina que la razón de cambio instantánea de sus ingresos está dada por:

dólares/unidad

donde q representa a las unidades producidas y vendidas del producto.

¿Cómo podemos obtener el ingreso por la venta de 50 unidades?

Motivación

233000)(' qqI

Al terminar la sesión presencial 6.1, el alumno:

Comprende el concepto de integral indefinida y definida;

Desarrolla y calcula integrales de funciones polinómicas; y emplea dichos conceptos para resolver aplicaciones en el campo económico.

Logro de la sesión

Dadas las funciones F(x) y f(x), si se cumple que:

para todo x en el dominio de f, entonces F(x) es una antiderivada de f(x).

Ejemplo:

La función

es una antiderivada de f(x) = x2 + 5, pues

Antiderivada

)()(' xfxF

313( ) 5 2F x x x

)()(' xfxF

Y las funciones siguientes:

¿también son antiderivadas de f(x) = x2 + 5?

La derivada de todas ellas sigue siendo: f(x) = x2 + 5

De lo cual se concluye que una función tiene más de una antiderivada.

Luego, podemos concluir que es la antiderivada

general de f(x) = x2 + 5.

Antiderivada

311 3

312 3

313 3

( ) 5 3

( ) 5 4

( ) 5 3

F x x x

F x x x

F x x x

KxxxF 531

)( 3

La Integral Indefinida

La antiderivada general de f(x) simbólicamente se expresa:

Expresión que se denomina integral indefinida de f.

donde F´(x) = f(x)

Fórmulas de integración para funciones polinómicas

RkKkxdxk .1

11

.21

nKnx

dxxn

n

Reglas de integración

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(.2

dxxfkdxxkf )()(.1

Ejemplo 1

Halle las siguientes integrales:

a)

b)

dxxx )1052( 3

dxxx

x )41

( 34

Nota: Recuerde que puede verificar su respuesta derivando.

Ejemplo 2

La razón de cambio instantánea de los costos con respecto de la cantidad producida (también llamada costo marginal) está dada por:

dólares/unidad

a.- Halle la función del costo total si se sabe que el costo de producir 10 artículos es 4 800 dólares.

b.- ¿Cuál es el costo fijo?c.- Halle el costo total de producir 90 artículos.

1004)(' xxC

Ejemplo 3

Una compañía determina que la razón de cambio instantánea de sus ingresos está dada por:

dólares/unidad

donde q representa a las unidades producidas y vendidas del producto. ¿Cuál es el ingreso por la venta de 50 unidades?

233000)(' qqI

Integral definida

Si F(x) y f(x) son dos funciones tales que F´(x) = f(x), x , entonces

donde F’(x) = f(x)

Observe que el resultado es un número real.

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

b

a

ba;

Ejercicios:

Calcule:

a)

b)

c)

3

0

23 )92( dxxx

4

2

2)25( dxx

3

1

3)23( dxxx

Cambio Neto

En muchas aplicaciones prácticas, se conoce la razón de cambio instantánea Q´(x) de una función y se requiere calcular el cambio de la función cuando x cambia de a a b.

)()()( aQbQa

bxQ(x)dx´QCN

b

a

El cambio neto es el cambio ocurrido en Q, cuando x varía desde x = a hasta x = b

Ejemplo 4

En cierta fábrica, el costo marginal es:

dólares/unidad

cuando el nivel de producción es q unidades. ¿En cuánto aumentará el costo total de fabricación si el nivel de producción se incrementa de 10 a 13 unidades?

2)5(6)( qqC

Ejemplo 5

El valor de reventa de cierta máquina industrial decrece durante un periodo de 10 años a una razón que cambia con el tiempo. Cuando la máquina tiene t años, la razón a la cual cambia su valor es V’(t) = -220(10 - t) dólares/año.

¿En cuánto se deprecia la máquina durante el segundo año?

Ejemplo 6

La utilidad marginal, medida en miles de dólares por docena de unidades, de cierta empresa es:

cuando el nivel de producción es x docenas de unidades. Si el nivel de producción disminuye de 60 a 48 unidades, ¿en cuánto varía la utilidad?

54)(' xxU

• Dada la derivada f ´(x) de una función, ¿cómo se hallaría la función f (x)?

• ¿Qué es una integral indefinida?

• ¿Cuál es la diferencia entre una integral indefinida y una integral definida?

• ¿Qué aplicaciones hemos trabajado con el uso de la integral definida?

Preguntas de reflexión