Si chiama sezione aurea di un segmento AB, quella parte del segmento AM media proporzionale tra l'intero segmento AB e la parte restante,essendo AM > MB. (a x) = MB

a = AB x = AM

AB : AM = AM : MB

a : x = x : (a - x)

x = a(a x)x + ax a = 0Si ricava un'equazione di 2grado. Svolgiamola: x, = -a a+ 4a = -a 5a = -a a5 = a(5-1) 2 2 2 2Tralasciamo il segno negativo poich non pu rappresentare la misura di un segmento nella geometria euclidea.

La sezione aurea di un segmento = (5-1)a 2

Il triangolo OBA isoscele poich i due lati OB e OA sono i due raggi della circonferenza goniometrica.BH=18e BA=36; in quanto decima parte di un angolo giro, la base del triangolo AB il lato di un decagono regolare inscritto in un circonferenza goniometrica di centro O e di raggio OB= 1. Dalla geometria si sa che il lato di un decagono regolare la sezione aurea del raggio: AB = l = 5-1 2 = 0,618

Il seno dell'angolo di 18 sar la misura del segmento BH il quale la met di AB poich il triangolo isoscele. BH=sen(18)= AB, AB= 5 -1 BH=5-1; sen (18)= 5-1. 4 Per ricavarci il coseno dellangolo,ovvero la misura di OH, dobbiamo prendere in considerazione la 1 relazione fondamentale: cos(18)+(5-1)=1, cos(18)=1-(5-1)= 10+25 16 4

2126

=

A livello storico vi sono varie questioni: non si sa ,con sicurezza, se la sezione aurea fosse conosciuta e praticata prima dei greci,popolo che la utilizzava nelle sue opere. La definizione del rapporto aureo viene fissata attorno il VI secolo a.C, ad opera della scuola pitagorica . La definizione del rapporto aureo viene ricondotta allo studio del pentagono regolare , il cui numero dei lati simboleggiava l'amore e il matrimonio, dovuto all'unione del principio maschile e quello femminile(rispettivamente il 2 e il 3). Inoltre, il simbolo della setta pitagorica era la stella a cinque punte inscritta in un pentagono regolare. Le diagonali che formano la stella si intersecano in modo da formare un altro pentagono pi piccolo e capovolto rispetto al primo. Se si tracciano le diagonali di quest'ultimo, ne viene fuori un altro pentagono ancora e cos via fino all'infinito.

Intersecandosi lun con l'altra, due qualsiasi di queste diagonali si dividono in due parti disuguali; il rapporto dell'intera diagonale con il segmento pi lungo uguale al rapporto di quest'ultimo con il segmento pi breve, e questi rapporti si trovano in tutte le diagonali successive. Tale rapporto detto sezione aurea e, da come abbiamo calcolato precedentemente, un numero irrazionale uguale a 1,618. Infatti

Quindi ,la sezione aurea connessa con la geometria del pentagono: il rapporto aureo pari al rapporto fra il lato BC e la sua diagonale AB, ma anche fra AB e BD, fra AD e AC'e, a sua volta, fra AD e DC', e in un'infinit di relazioni simili. Euclide, intorno al 300 a.C, lasci la pi antica testimonianza scritta sull'argomento. La se 5 +12= 1,61zione aurea strettamente legata alla successione di Fibonacci che una

successione di numeri interi naturali in cui un numero

il risultato della somma dei due precedenti. E una successione ricorsiva per cui perdeterminare ln-esimo termine necessario conoscere quelli che lo precedono. Allaumentare di n il rapporto tra ogni termine ed il termine che lo precede tende ad av-vicinarsi a 1,618..ovvero alla sezione aurea.

. Esistono in geometria dei poligoni definibili aurei, poich presentano, in alcune delle loro parti, il rapporto aureo.Il caso pi emblematico il rettangolo aureo. Se si disegna un rettangolo con i lati,che stanno in rapporto aureo fra di loro, lo si pu dividere in un quadrato e in un altro rettangolo, simile a quello grande poich anche i suoi lati stanno in rapporto aureo fra di loro.A questo punto,il rettangolo minore pu essere di-viso in un quadrato e in un rettangolo avente, anch' esso, i lati in rapporto aureo, e cos via fino all'in- finito. Per costruire il rettangolo aureo,si disegna un quadrato di lato ai cui vertici sono AEFD. Il la-

lizziamo il compasso, puntato in A'per disegnare un arco che da E intersechi il prolungamento DF in C. Con un squadra si disegna il segmento BC -lare a DF e il segmento EB perpendicolare a EF. EB:AE=AE:AB

to lo si divide in due, ove A' il punto medio. Uti

Tale rapporto stato ritrovato, tra l'altro,nella dimensio-ne delle foglie,nella distribuzione dei rami negli alberi,nella disposizione dei semi di girasole, perfino nel corpoumano. Infatti, la forma del pentagono riscontrabile,molto spesso, in natura, come, ad esempio,in alcune piante grasse(come nella foto). La spirale logaritmica non cambia aspetto nel corso della crescita, un fatto che spiega come mai si trovi cos spesso in natura: nella morfologia della conchiglia del Nautilus e di alcuni microrganismi e perfino nella forma delle galassie!!Quindi in natura esistono organismi a forma di spirale fatta secondo i numeridi Fibonacci. Infatti, gi dai tempi dell'antico Egitto, si assumeva l'organicismo della Natura e le sue leggi nu-meriche come fattori essenziali chepreesistono a tutti gli eventi i quali se-

guono sempre lo stesso divenire.

I greci pensavano che il rapporto aureo rappresen-tasse la proporzione idealetra parti del corpo comeil viso e il torso, o tra gli arti il corpo intero. Diversi dipinti sono stati effettuatati secondo la sezione aurea.In realt dimostrato che la percezione umana mo-stra una naturale preferenza e predisposizione versole proporzioni in accordo con la sezione aurea.Gli artisti e i matematici del Rinascimento, tra cui Leonardo da Vinci, Piero della Francesca e Sandro Botticelli rimasero molto affascinati dalla sezione aurea.Allora essa era consideratauna divina proportione. In particolare,Leonardo incorpor la sezione aurea in tre suoi capolavori: La gioconda, L'ultima cena e L'uomo di Vitruvio.

Nell'architettura del XX seco-lo, una delle pi interessanti ap-plicazioni della sezione aurea fu senz'altro segnata dallanascita del Modulor, letteralmente modulo d'oro. L'ideatore fu l'architetto svizzero Le Corbusier che si prefisse di utilizzare la sezione aurea e la successione di Fibonacci quale sistema su cui basare le proporzioni di tutti gli spazi, conl'intento di creare uno standard che fosse allo stesso tempo armonico e funzionale alleesigenze del vivere quotidiano. Lo stesso Corbusier utilizz gli schemi del Modulor in diversi suoi progetti. La sezione aurea gi presente come ideale di bellezza nel Partenone diAtene; il rapporto fra lunghezza e larghezza nel Partenone corrisponde alla sezione aurea.nella grande piramide di Giza, costruita molti secoli prima delPartenone, il rapporto tra l'altezza di una facciata e la met di un lato della base corrisponde ancora una volta alle sezione aurea.

Francesca De Agostino V IF I N E

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