Seznam domacih nalog - Matematicna fizika 12016/2017

V zavitih oklepajih so stevilke nalog, ki so relevantne za rezervacijo. Seznam nalog se bodopolnjeval, ko bo to potrebno.

Spletna stran za rezervacije: http: // fiz. fmf. uni-lj. si/ ~ ravnik/ mafidn/

Email naslov za oddajo: predmet.mafi1@fmf.uni-lj.siPozor, potrebno je hkrati oddati tudi tiskano verzijo v skatlico v studentski sobi.

1 Naloge za 1. kolokvij

123 Matematicna fizika I – 11. marec 1988 – 1. pismena nalogaOklopni kabel ima bakreno zilo debeline 1 mm in 2 mm debel plasc iz platicne snovi. Na 1 m dolgkos kabla, ki tehta 50 g, obesimo tezko utez in zavrtimo okrog prvega konca s frekvenco 5 obratov/s.Zila v plascu prosto drsi, le na obeh koncih sta trdo speta. Za koliko se kabel raztegne? Elasticnimodul bakra je 105 N/mm2, za sam plasc pa vemo le iz poskusa, da se 1 m dolg kos raztegne za 1cm pri sili 200 N.

124 Matematicna fizika I – 1. marec 1989 – 1. pismena nalogaNa 0.5 cm debelo svinceno plosco vpada v vakuumu sirok snop zarkov γ (gostota energijskega tokaje 30 W/cm2). Drugo stran plosce hladi voda s temperaturo 20C. Koliksna je temperatura napovrsini plosce?(µPb = 1.2cm−1, λPb = 30W/mK)

125 Matematicna fizika I – 1. marec 1989 – 1. pismena nalogaDodatna naloga: Kroglast radioaktivni izvor s premerom 1 cm je obdan z debelo plastjo svinca.Gostota energijskega toka zarkov γ na povrsini izvora je 10 W/cm2, temperatura na povrsini plascaje 20C. Koliksna je temperatura na povrsini izvora. Absorpcijo zarkov v izvoru lahko zanemarite.(Potrebne podatke pridobi iz zgornje naloge.)

126 Matematicna fizika I – 2002/2003 – 1. kolokvijEnakomerno navito 1 m dolgo vijacno vzmet z maso 1 kg in koeficientom 100 N/m nataknemo naenako dolgo valjasto vodilo in jo na obeh straneh pritrdimo nanj. Vzmet se vodilu prilega, vendarpo njem prosto drsi. Vodilo z vzmetjo postavimo pokonci: za koliko se premakne srednja tockavzmeti? Ne pozabi, da velja koeficient vzmeti samo za celo vzmet!

127 Matematicna fizika I – 2005/2006 – 1. kolokvijV projektu Auger gradijo velik detektor za mione v ultraenergijskih kozmicnih pljuskih. Detektorima v nacrtu obliko na tleh sedece polkrogle z radijem 20 m in je sestavljen iz izmenicnih slojevaluminijeve plocevine z debelino 4 mm in aerogela z debelino 6 mm. Gostota aluminija je 2.7·103

kg/m3, aerogela pa 100 kg/m3. Aluminijeve plosce so prakticno toge, aerogel pa se zaradi velikeporoznosti zlahka elasticno deformira, njegov elasticni modul je 2·109 N/m2. Za koliko je prava

1

visina detektorja manjsa od nacrtovane?Namig: aluminijeve plosce so tako toge, da je tlak v detektorju odvisen samo od visine in nic odprecnih koordinat.

128 Matematicna fizika I – 2009/2010 – 1. kolokvij1 m dolgemu, 1 cm sirokemu in 1 mm debelemu gumijastemu traku odrezemo polovico sirine napolovici dolzine. Trak obesimo cez majhen lahek skripec, prosta konca pa spodaj spnemo in nasponko obesimo utez 0.1 kg. Kje se ustali meja med siroko in ozko polovico traku, ce se je prvotni,neposkodovani trak s tezo te utezi raztegnil za 10 cm? (Neenakomerno porazeditev tlaka v blizinistika obeh polovic lahko zanemarimo.) Za koliko se spremeni rezltat, ce vracunamo tudi ucineklastne teze traku? Gostota gume je 2 g/cm3.

129 Matematicna fizika I – 2010/2011 – 1. kolokvijIz 5 mm debele gume izrezemo 1 m dolg in 12 mm sirok trak. Ko ga obesimo za en konec, seraztegne za 15 mm. Potem ga, se vedno obesenega, od spodaj navzgor razrezemo s premim, aposevnim rezom, tako da dobimo en trak, ki je zgoraj sirok 4 mm, spodaj pa 8 mm, drugi pa imaravno obratne mere. Za koliko se razikujeta visini spodnjih koncev?

130 Matematicna fizika I – 14. 3. 2012 – 1. kolokvijPred dolgim ravnim belim zidom stoji laser, vrtljiv okoli navpicne osi. Laser je poravnan vzporednoz zidom, nato pa ga s stalno kotno hitrostjo zavrtimo za kot π, tako da svetla pega njegovega zarkapretece zid po vsej dolzini. Ta zasuk laserja traja toliko casa, kolikor porabi svetloba za pot dozidu in nazaj po najkrajsi poti. Zid siplje svetlobo enakomerno v vse smeri. Opazovalec pri laserjuspremlja pot svetlobne pike s hitro kamero. Kdaj najprej opazi svetlo piko in iz katere smeri?Koliksna je zanj (navidezna) hitrost pike po zidu pri kotu π/4 proti pravokotnici?Dodatno vprasanje: Koliksna je pri kotu π/4 navidezna velikost svetle pege na zidu, kot jo izmeriopazovalec na hipnem posnetku (to je z zelo kratko ekspozicijo), ce je zid oddaljen 300 m in jedivergenca laserskega curka 1 kotna minuta?

131 Matematicna fizika I – 13. 3. 2013 – 1. kolokvijPrstan z maso 150g visi prosto obesen na lahki verizici dolzine 18cm. Konca verizice pripnemo naelipsoiden obesalnik –je oblike zgornjega dela elipse- , in sicer tako da konca verizice lahko prostodrsita po obesalniku. Doloci, koliksen kot v ravnovesju verizica oklepa z navpicnico. Velika poloselipticnega obesalnika je enaka a=10cm, mala polos pa b=15cm. Za koliko pa se a spremeni, ceveliko polos a raztegnemo za 0.1cm?

132 Matematicna fizika I – 12. 3. 2014 – 1. kolokvijGradimo pasivno hiso, ki mora zadostovati nekaterim predpisom in zeljam, obenem pa zelimo opti-mizirati njeno obliko, tako da bo imela hisa najmanjse toplotne izgube zaradi prevajanja skozi stenein streho (tla so dobro izolirana, zato lahko izgube skoznja zanemarimo). Hisa je enokapnica s pred-pisano visino slemena H=3.5m, dolzino b=10m in povrsino obeh enakih (frontnih) sten A=20m2.Ob takih predpisih in zeljah je optimalna sirina hise (ko so toplotne izgube najmanjse) a=6.10m.Ob sami gradnji pa se izkaze, da so mojstri nenatancni in sicer postavijo sleme za 10cm nizje odpredvidenega. Da hisa ostane toplotno optimalne oblike, lahko korigiramo samo s spremembo sirinehise, saj mora povrsina fasade obeh frontnih sten A ostati enaka. Za koliko moramo spremenitisirino hise?V racunu predpostavi, da je toplotna prestopnost strehe in zidov enaka.

2

133 Matematicna fizika I – 27. 6. 2014 – 1. izpit 1. nalogaOkrogel balon z radijem 10cm in maso m=100g potopimo pod vodo. S koliksno hitrostjo se balonizstreli iz vode (torej koliko je hitrost v trenutku, ko je ves balon iz vode), ce ga mirujocega izpustimo,ko je sredisce balona 0.3m pod vodo? Upor balona v vodi in zraku zanemari.

134 Matematicna fizika I – 5. 3. 2014 – 3. izpit 2. nalogaNabito kroglico z nabojem 1 mC, pritrjeno na elasticno vrvico, drzimo tik nad pozitivno elektrodoznotraj velikega ploscatega kondenzatorja. Cez koliko casa bo kroglica dosegla najvisjo tocko, ko joizpustimo? Masa kroglice je enaka 50g, vrvica je dolzine 5cm, razmik med ploscama kondenzatorja10 cm, napetost na kondenzatorju 100 kV in elasticna konstanta vrvice 10 N/m.

135 Matematicna fizika I – 19. 3. 2015 – 1. kolokvijNa ravni cesti zacne proti nam enakomerno pospesevati policijski avtomobil z vkljuceno sireno.Avtomobil je na zacetku miroval na razdalji 100 m vzdolz ceste od nas, mi pa stojimo 10m stran odceste. Izracunaj, kje je avtomobil oddal zvok, ki ga slisimo z najvisjo frekvenco? Kje pa je oddalzvok, ki ga slisimo z najnizjo frekvenco?

136 Matematicna fizika I – 18. 3. 2016 – 1. kolokvijElasticno telo v obliki prirezanega stozca (na sliki) je prilepljeno med dve ravni plosci na straneh Ain B. Za koliksen kot se zasuka stran A, ko stran A obremenimo z navorom T, stran B pa je fiksna?Radij r in visino stozca L poznamo, prav tako tudi strizni modul G.

137 Matematicna fizika I – 7. 1. 2016 – 3. izpit 1. nalogaAlpinist z maso 70kg se spusca hkrati privezan na dve razlicni vrvi, ki visita navpicno preko robaprevisne police. Za koliko sta vrvi raztegnjeni, ko je alpinist 10m pod previsom, ce je dolzinavsake neraztegnjene vrvi 200m. Debelina vsake vrvi (premer) je 0.8cm, masa na dolzinsko enoto je0.05kg/m, elasticni modul prve vrvi je E1=10GPa, druge pa elasticni modul prve vrvi je E2=3GPa.

138Med togi vzporedni steni damo enako debeli ploscici iz razlicnih kovin tako, da se stikata na osnovnihploskvah in se tesno prilegata rezi. Kolikokrat je v takem sistemu navidezni temperaturni razteznos-tni koeficient leve ploscice manjsi od normalnega? Leva ploscica je iz kovine, ki ima dvakrat vecjielasticni modul kot desna ploscica, temperaturni razteznostni koeficient pa je dve tretjini koeficientadesne ploscice.

3

139V mirnem morju plava v stalni legi crna boja iz bakrene plocevine, debeline 5 mm. Polmer bojeje 30 cm in je v morje potopljena do polovice. Opoldne padajo soncni zarki navpicno (gostotasvetlobnega toka je 1 kW/m2).Za koliko je tedaj temperatura na vrhu boje visja od temperature morja (toplotna prevodnost bakraje 380 W/mK)?

140Narisi funkcije:

a) y =√x2 + 1− x,

b) y = xe−x−1 ,

c) y = xe−x−1 + x

2.

Postopek opisi.

Zbirka nalog iz Matematicne fizike I, Borut Paul KersevanRacunanje z diferenciali

141Nihalo za precizno uro iz XIX. stoletja je v idealizirani obliki sestavljeno iz 1 m dolge zelezne palicez maso 0.5 kg, ki je vstavljena v nekoliko sirso bakreno cev in nanjo privarjena na spodnjem koncu.Masa cevi je enaka masi palice. Razteznostna koeficienta za Fe in Cu sta po vrsti 12 in 17 milijoninkna stopinjo C. Koliksen je nihajni cas tega nihala in koliksen je njegov temperaturni koeficient, cegre os skozi zgornji konec palice in je cev enako dolga kot palica? Ali je mogoce izbrati dolzino cevitako, da je nihajni cas neobcutljiv na majhne spremembe temperature?

142Po razsezni planparalelni 5 cm debeli plasti iz neke snovi tece elektricni tok z gostoto 90 A/cm2

vzdolz njene dolge osi. Plast z obeh strani oblivamo z ledeno vodo s temperaturo 0C. Nekje znotrajplasti se zgodi fazni prehod, v katerem se toplotna prevodnost spremeni od 30 W/mK pri nizjitemperaturi na 10 W/mK pri visji, v tabelah pa lahko najdemo podatek, da je temperatura faznegaprehoda snovi enaka 70C. Koliksen delez snovi dozivi fazni prehod? Koliksna je temperatura nasredini plasti? Specificna upornost snovi je 10 Ωmm2/m in se ob faznem prehodu ne spremeni.

143Tanka plasticna folija, dopirana z jodom, sibko prevaja elektricni tok. Upor kvadratnega centimetrafolije, merjen med vzporednima robovoma, je 100 ohmov. Koliksen je upor balona s premerom 1m, iz iste folije, ce ga merimo med kovinskima elektrodama v obliki diskov s premerom 4 cm,pritisnjenih ob nasprotnih polih balona? Kako se spremeni upor, ce balon dodatno napihnemo in stem povecamo premer za 1%? Privzemi, da se pri raztegovanju gostota plastike ne spremeni (kolikorse raztegne, se tudi stanjsa) in da se enako ne spremeni specificna upornost.

144V gravitacijskem detektorju polozimo testno maso 10 t na stiri stebricke, ki so postavljeni v ogliscihkvadrata. Stebricki so visoki 25 cm in imajo presek 3 cm2, po dva sta iz bakra in dva iz jekla,postavljeni so navzkriz. Njihove vrhnje ploskve so brusene na natanko enako visino, enako natancno

4

je brusena ravna spodnja ploskev testne mase. Za koliko se posedejo stebricki, ko previdno polozimomaso nanje, tako da je njeno tezisce ravno nad srediscem kvadrata? Kako je visina stebrickovodvisna od temperature? Za koliko se mora spremeniti temperatura, da nosita tezo samo dvastebricka? Proznostna modula jekla in bakra sta 2·1011 N/m2 in 8·1010 N/m2, koeficienta linearnerateznosti pa znasata 12·10−6 K−1 in 17·10−6 K−1.

2 Naloge za 2. kolokvij

145 Matematicna fizika I – 30. 3. 1990 – 2. pismena vajaVzdolz vodnika (dela cevi s tankimi stenami in v prerezu oblike kroznega loka) tece tok I. Izracunajtejakost magnetnega polja v tockah (a) in (b)! (glej sliko)

α(a) (b)

146 Matematicna fizika I – 11. 5. 1992 – 4. pismena vajaDve enako dolgi ravni nitki iz izolatorja sta napeti vodoravno v pravokotnih ravninah, tako da jemed njima najmanjsa razdalja 2 cm. Spodnja nitka je enakomerno naelektrena z linearno gostotonaboja 2·10−6 As/m. Zgornja nitka pa je nenabita, vendar se polarizira sorazmerno elektricnemupolju (p = k E), pri cemer dobi v polju 10−4 V/m linearno gostoto 5·10−11 Asm/m dipolnegamomenta. Koliksen je vektor sile?Dodatno vprasanje: Koliksna pa je sila, ce je zgornja nitka iz feroelektricne snovi s stalno gostotodipolnega momenta 5·10−12 Asm/m?

147 Matematicna fizika I – 15. 4. 1994 – 3. pismena vajaIz dolge cevi z radijem R in s tankimi stenami izrezemo tri vodnike (gl. skico), po katerih tecetrofazni izmenicni tok. Doloci velikost in casovno odvisnost gostote magnetnega polja v osi cevi.

5

60 °

148 Matematicna fizika I – 2008/2009 – 4. kolokvijDve razsezni tanki dielektricni plosci v obliki kvadrata postavimo vzporedno drugo nad drugo vrazmiku 1 cm. Plosci nosita enakomerno porazdeljen naboj (nasprotnih znakov) s ploskovno gostoto± 10−9 As/m2. Koliksno je elektricno polje v tocki, ki je na sredini med istoleznima vogaloma?Dodatno vprasanje: Koliko dela opravimo, ko prenesemo en elektron z vogala pozitivne plosce navogal negativne plosce?

149 Matematicna fizika I – 2010/2011 – 2. kolokvijDolg raven trak iz dielektrika, sirok 2a, je enakomerno posut z elektricnim nabojem, ploskovnagostota je ρS. Nad njegovo sredino v visini z je vzporedno s trakom napeta enakomerno naelektrenadielektricna nitka, linearna gostota je ρl. Koliksna je sila na dolzinsko enoto med obema dielek-trikoma?Dodatno vprasanje: Koliksna je sila na drug, enak trak, ki ga napnemo nad prvim v vzporedniravnini?

150 Matematicna fizika I – 28. 3. 2012 – 2. kolokvijDve dolgi ravni zici sta pravokotno prekrizani na vodoravni mizi. V sticiscu prispajkamo konectretje, navpicne zice in po njej posljemo elektricni tok I, ki se v spoju enakomerno razdeli v stirivodoravne krake. Doloci jakost in smer magnetnega polja v tocki na simetrali med navpicno zicoin enim krakom, v razdalji a od obeh. V kateri tocki na isti visini in v enaki razdalji od navpicnezice je polje najmocnejse?Dodatno vprasanje: Kje pa je tocka najmocnejsega polja v simetricni legi pod vodoravno ravnino(v razdalji a od premice navpicne zice in v razdalji a pod navpicno ravnino)?

151 Matematicna fizika I – 27. 3. 2013 – 2. kolokvijIzracunaj topoloski naboj defekta, ki se nahaja v koordinatnem izhodiscu vektorskega polja #n =(ax, by, cz)/r, kjer so x, y, z kartezicne koordinate, r je radij vektor, a, b, c pa so parametri polja,ki imajo lahko vrednost 1 ali -1. Topoloski naboj q se izracuna kot integral po zakljuceni povrsini,ki zaobjame defekt:

q =1

4π

σ

#n ·(∂ #n

∂u1× ∂ #n

∂u2

)du1 du2,

kjer sta u1 in u2 posploseni koordinati, ki opiseta zakljuceno povrsino s. Koliksen je topoloski naboj,za razlicne kombinacije vrednosti parametrov a, b in c?

6

Namig: Za u1 in u2 izberi znana sfericna kota q in j.

152 Matematicna fizika I – 1. 4. 2014 – 2. kolokvijNavpicna zica je prispajkana na vodoravno razsezno prevodno homogeno plosco. Izracunaj, koliksnaje jakost magnetnega polja in njena smer na visini h=5cm od plosce in 3cm od zice, ko po navpicnizici posljemo tok 5A.V morebitno pomoc:

a+ b sin2 x

c+ d sin2 xdx =

bx

d+

(−bc+ ad) arctan[tan(x)√

(c+ d)/c]

d√c(c+ d)

153 Matematicna fizika I – 2. 4. 2015 – 2. kolokvijPo dolzini enakomerno nabito zico dolzine l zvijemo v logaritemsko spiralo, ki je v cilindricnih ko-ordinatah (r, f, z) parametricno opisana kot:ρ = aekφ, φ ≥ 0kjer sta a in k konstanti (k = ctg a, kjer je tipicno a<p/2). Glej sliko primera take spirale spo-daj (za a = 1 in a = 0.3p). Celoten naboj na zici naj bo enak e0. Koliksen je elektricni po-tencial v srediscu spirale za poljuben a in k? Koliksno pa je elektricno polje v srediscu spirale?

154 Matematicna fizika I – 1. 4. 2016 – 2. kolokvijIzracunaj jakost elektricnega polja ter njegovo divergenco in rotor, ce je elektricni potencial podanz:

U( #r ) = A( #r · n)( #r · m)( #r · l)

r7,

7

kjer je A konstanta in so n, m in l paroma pravokotni enotski vektorji. Doloci tudi, kako jeporazdeljen naboj tega elektricnega polja?

155 Matematicna fizika I – 2. 7. 1990 – 1. izpitPo ravnem, tankem in dolgem kovinskem traku tece tok 10 A. Tok je po vsej sirini (a = 10 cm)enakomerno porazdeljen. Nad robom traku je v razdalji a fiksiran vrtljiv magnetni dipol (p = 10−1

Am2). Izracunaj silo na dipol, ce je njegova smer pravokotna na smer toka in

a) pravokotna na ravnino traku,b) [dodatno] v ravnini traku!

156 Matematicna fizika I – 25. 6. 1991 – Popravna vaja 2. nalogaProstor med dvema razseznima vzporednima ploscama z razmikom 3 mm je napolnjen z zivimsrebrom. Doloci tlak v sredi med ploscama, ce tece po zivem srebru vzporedno s ploscama tok zgostoto 10 A/mm2!

157 Matematicna fizika I – 6. 7. 1993 – 1. popravna pismena vajaNad razsezno superprevodno plosco tece vzporedno v razdalji a po ravnem vodniku tok I. Zunanjemagnetno polje ne prodre v notranjost superprevodnika, ker ga kompenzirajo tokovi, ki brez uporatecejo po tanki povrsinski plasti. Doloci linearno gostoto toka, ki tece po povrsini plosce! Koliksnaje sila na sibak tockast magnetni dipol, ki se nahaja na sredini zveznice med zico in plosco?Namig: Magnetno polje v polprostoru na strani zice lahko simuliramo tako, da zico ustrezno prezr-calimo.

158 Matematicna fizika I – 22. 9. 1993 – 2. popravna pismena vajaPo dveh enako dolgih 5 cm sirokih 1 cm razmaknjenih plocevinastih trakovih tece tok 1 A. Koliksnaje sila med njima na dolzinsko enoto? Koliksna je sila na tockast magnetni dipol (pm=10 Am2), kilezi na simetrali med trakovoma (glej skico)?

159 Matematicna fizika I – 28. 2. 2007 – Izpit 2. nalogaDva enaka asteroida priblizno palicaste oblike z dolzino 100 m in maso 5000 t letita vzporednopo vesolju, tako kot dve vzporedni stranici kvadrata. Koliksna sila deluje med njima, ce lahkoracunamo, da sta razmeroma tanka in da je masa porazdeljena enakomerno po dolzini?

160 Matematicna fizika I – 24. 3. 2009 – Izpit 2. nalogaIz bakrene zice napravimo kvadratno zanko s stranico 10 cm, nato pa jo prepognemo za pravi kotokoli diagonale. Koliksno je magnetno polje v (prvotnem) srediscu kvadrata, ko pozenemo po zankitok 10 A?

8

161 Matematicna fizika I – 15. 9. 2010 – Izpit 2. nalogaMnogozilni kabel za elektronske naprave je 2 cm sirok plasticni trak, v katerega je zalitih (vzporednov enakih razmikih) 20 tankih bakrenih zil. Koliksno je magnetno polje 1 cm nad sredino dolgegaravnega kosa kabla, po katerem tecejo po 19 zilah tokovi 10 mA v eno smer, po dvajseti (robni) zilipa skupni tok v nasprotno smer? Izmerimo se polje v razdalji 1 m od kabla: v kateri smeri je poljenajmocnejse?

162 Matematicna fizika I – 10. 7. 2012 – 1. izpit 2. nalogaNa dolgo napeto dielektricno nitko nanesemo elektricni naboj z gostoto 10−3 As/m, do polovicepozitiven naboj, na drugo polovico negativen. Po simetrijski ravnini napnemo drugo enako nabitonitko v razdalji 5 cm od prve, tako da sta najblizji tocki ravno delisci naboja. Doloci vektor silemed nitkama!

163 Matematicna fizika I – 4. 9. 2012 – 2. izpit 2. nalogaZicna zanka, po kateri tece tok I, ima obliko kvadrata s stranico a. Na osi zanke visi majhnamagnetna igla z magnetnim momentom pm. Smer momenta je vzporedna z diagonalo kvadrata.Na kateri visini nad ravnino zanke je sila na iglo najvecja? Na kateri visini je navor najvecji?

164 Matematicna fizika I – 3. 9. 2013 – 2. izpit 1. nalogaStiri prevodne zice so prispajkane na obroc z radijem R iz enake prevodne zice, po njih pa teceelektricni tok kot kaze slika. Doloci, kje na osi z je gostota magnetnega polja najvecja.

165 Matematicna fizika I – 5. 3. 2014 – 3. izpit 3. nalogaV ogliscih ploscate skatle velikosti a×a×b se nahajajo enaki naboji e. Izracunaj, kje vzdolz navpicnesimetrale, ki prebada skatlo, je najvecja sila na elektricni dipol pe, ki kaze vzdolz simetrale. V racunupredpostavi, da je b a. Nato izracunaj, za koliko se ta maksimalna sila spremeni, ce elektricnidipol nagnemo za kot 20C v smeri enega od oglisc.

166 Matematicna fizika I – 10. 10. 2014 – 2. izpit 2. nalogaPrevodna zica je zakopana v zemljo in zaradi prevajanja v okolico tok po zici pada z razdaljo.Izracunaj, kaksno je magnetno polje okrog ravne zice dolzine l, po kateri tok linearno pade z I0 nazacetku na I1 na koncu zice.

9

Zbirka nalog iz Matematicne fizike I, Borut Paul KersevanVektorski in tenzorski racun

167Izracunaj jakost magnetnega polja na osi polkrozne zanke z radijem R, po kateri tece tok I, kot toprikazuje skica!

168V ploscatem napajalnem kablu za posebne namene je v izolacijo zalit 1 cm sirok trak iz slabseprevodne snovi, ob robu katere tece (izolirana) tanka dobro prevodna bakrena zica. Dolg raven koskabla kratko sklenemo z dobro prevodno precko. Izracunaj magnetno polje 1 cm nad sredino precke- jakost in smer! Predpostavljamo, da je tok enakomerno porazdeljen po vsej sirini traku.

169Vesoljski lovci na kovine so nasli asteroid v obliki polovice krogle s polmerom 40 km in z gostoto12 ton na kubicni meter. Koliksen je tezni pospesek na tem asteroidu na polu in koliko v srediscuravne ploskve? Ko lovci vrtajo po asteroidu iscoc zepe posebno dragocenih kovin, v kateri tockiasteroida je tezni pospesek enak nic ?

10

170Dve dolgi dielektricni nitki napnemo v pravokotnih smereh, tako da je med njima najmanjsa razdaljaa (kot v znani nalogi v knjigi). Na nitki nanesemo elektricni naboj z enakomerno linearno gostotoσ, vendar na vsaki samo do polovice, to je (iz neskoncnosti) do tocke, v kateri sta si nitki najblize.Koliksna je sila med nitkama in kaksno smer ima?

171Vodnik je sestavljen iz treh vzporednih zic, zlozenih v enakostranicni trikotnik. Razdalja medsredisci posameznih zic je 6 R, pri cemer je R radij posamezne zice. Koliksna je jakost magnetnegapolja v tockah na povrsini zic, ki so najbolj oddaljene druga od druge? Koliksna sila deluje navsako zico? (Tok je seveda enakomerno porazdeljen po preseku vsake zice.)

3 Naloge za 3. kolokvij

172 Matematicna fizika I – 7. 4. 1989 – 3. pismena vajaDolocite gostoto elektricnega naboja, ki je izvor potenciala

U = U0 ln

(#r · #i + r

a

),

kjer sta U0 in a konstanti in je#

i enotni vektor!

173 Matematicna fizika I – 2001/2002 – 4. kolokvijPokazi (s pomocjo gradienta in divergence), da je skalarno polje

U( #r ) = A ln[a2r2 − ( #a · #r )2],

kjer je #a konstantni, #r pa krajevni vektor, potencial elektricnega polja v (skoraj) praznem prostoru.Kako so razmesceni naboji, iz katerih izvira to polje?Dodatno vprasanje: Ali lahko se katera funkcija argumenta w = a2r2− ( #a · #r )2 razen ln(w) ustvaripolje, ki ustreza tem pogojem?

174 Matematicna fizika I (VSS) – 2002/2003 – 3. kolokvijPotencial med neskoncno nabito zico in kovinskim valjem je podan z izrazom:

U( #r ) = A ln

(| #r − #a |

| #r −(Ra

)2#a |

)

v dveh dimenzijah, kjer vektor #a podaja lego nabite zice in R radij prevodnega valja (glej skico).

11

R

a

1. Pokazi, da ta potencial za | #r | ≥ R res ne izvira iz prostorsko porazdeljenih nabojev!

2. Pokazi, da je potencial na povrsini kovinskega valja (| #r | = R) konstanten, kot bi pricakoval zasmiselno stacionarno stanje.

Namig: V dveh dimenzijah je#∇ · #r = 2, drugace pa se pravila ne spremenijo. Uporaben je tudi

zapis:| #v ( #r )| =

√#v ( #r ) · #v ( #r ) =

√( #v ( #r ))2

175 Matematicna fizika I – 2005/2006 – 4. kolokvijMagnetno polje je podano z vektorskim potencialom:

#

A = −Ce ln |e× #r |,

kjer sta C konstanta in je e normiran konstanten vektor. Izracunaj jakost magnetnega polja in natotako rotor kot tudi divergenco tega polja brez uporabe specificnih koordinat. Kaksen je izvor tegapolja?

176 Matematicna fizika I – 2007/2008 – 5. kolokvijSkalarnemu polju

U( #r ) =[( #p × #r )× #r ] · #p

rm+2,

kjer je #p poljuben konstanten vektor, dodaj toliko polja

V ( #r ) =p2

rm,

da bo divergenca gradienta njune vsote (skoraj) povsod enaka nic. Za katere vrednosti parametram je to mogoce?Dodatno vprasanje: Kje so izviri vektorskega polja, ki je gradient kombinacije polj U in V?

177 Matematicna fizika I – 11. 4. 2012 – 3. kolokvijVektorsko polje v prostoru ima obliko

12

#

A( #r ) = [ #n ( #r · #n )− αn2 #r ]r−p,kjer je #n konstantni vektor. Kaksni vrednosti naj imata konstanti α in p , da je polje brezvrtincnoin brezizvirno? Kako se v tem primeru zapise skalarni potencial polja?

178 Matematicna fizika I – 10. 4. 2013 – 3. kolokvijDruzina vektorskih polj po prostoru ima obliko:

#

Bn( #r ) =

#a , za n = 0#r × #

Bn−1 , za n = 1, 2, 3,...(1)

kjer je #a konstantni vektro. Izracunaj div(#

Bn) in rot(#

Bn) za vsak n.

179 Matematicna fizika I – 16. 4. 2014 – 3. kolokvijV kapljici nematskega tekocega kristala z radijem R ustvarimo molekularno ureditveno polje, ki imaali radialno obliko #n ( #r ) = (x, y, z)/r ali pa hiperbolicno obliko #n ( #r ) = (x, y,−z)/r. Doloci prostoenergijo molekularnega polja F za obe obliki polja, ki jo izracunas kot:F =

fFOE dV ,

kjer integral tece po celotnem volumnu kaplice, fFOE pa je oblike:

fFOE =1

2K1(∇ · #n )2 +

1

2K2[

#n · (∇× #n )]2 +1

2K3[

#n × (∇× #n )]2.

K1, K2, K3 so pahljacasta, zvojna in upogibna elasticna konstanta nematika. V katerem rezimukonstant ima hiperbolno polje nizjo prosto energijo?

180 Matematicna fizika I – 22. 4. 2015 – 3. kolokvijMagnetni vektorski potencial podaja izraz:

#

A =µ0

2π

(#m× #n

r2− 2( #m× #r )( #r · #n )

r4

),

kjer je #r krajevni vektor, r njegova velikost, #m in #n pa sta konstantna enotska vektorja.(i) Izracunaj magnetno polje

#

B = ∇× #

A.

(ii) Izracunaj divergenco vektorskega polja#

A?

(iii) Doloci silo na magnetni dipolni moment, ki se nahaja na mestu#

R.

181 Matematicna fizika I – 17. 6. 1987 – Popravna pismena vaja 2. nalogaMed projekti za vojno zvezd, ki je tolikanj pri srcu predsedniku Reaganu, je tudi tako imenovanaionska bazuka. Gre za ionski pospesevalnik, ki zbere in pospesi ione ene vrste v mocan curek,preostali naboj pa pospesi v drugem curku z enako hitrostjo v nasprotni smeri. Kot prispevek krazorozitvi doloci elektricno in magnetno polje v okolici curkov.

182 Matematicna fizika I – 11. 3. 2004 – Izpit 2. naloga

Dve enaki krozni zanki iz bakrene zice (radij R) sta v razmiku 2R na skupni osi. Po njiju pozenemoenak elektricni tok v nasprotnih smereh. S pomocjo Maxwellovih enacb oceni jakost magnetnegapolja v tocki, ki je od simetrijskega sredisca odmaknjena 0.01 R po osi in 0.01 R pravokotno na os.

13

183 Matematicna fizika I – 30. 3. 1990 – 2. pismena vaja 2. nalogaElektricni potencial naj ima obliko

U( #r ) = U03( #r · #t )2 − r2

a2,

kjer sta U0 in a konstanti in je#

t enotski vektor. Dolocite in skicirajte ustrezno elektricno polje!Dolocite elektricni naboj, ki povzroca to polje!

184 Matematicna fizika I – 21. 1. 2013 – 3. izpit 2. nalogaPolje molekulskega ureditvenega polja okrog koloidnega delca v nematskem tekocem kristalu se vpriblizku multipolnega razvoja zapise kot

#n ( #r ) = #ez + A3( #ez · #r ) #r − r2 #ez

r5,

kjer je #ez enotski vektor v izbrani (z) simetrijski smeri, A je konstanta, #r pa je oddaljenost odsredisca delca. Izracunajte t.i. pahljacasto deformacijo tega polja ∇· #n in t.i. upogibno deformacijopolja |∇ × #n |.

185 Matematicna fizika I – 5. 3. 2014 – 3. izpit 1. nalogaIzracunaj ravnovesno odvisnost kota enotskega molekulskega polja #n = (cosφ(z), sinφ(z), 0) v TNtekocekristalnem zaslonu vzdolz osi z, ki prebada zaslon. Zaslon lezi v xy ravnini in je debeline d.Ravnovesni profil kota f znotraj tekocekristalne plasti v zaslonu ustreza minimumu gostote Frankoveelasticne proste energije

f =1

2K

∑i,j=x,y,z

(∂ni∂xj

)2

,

kjer je K elasticna konstanta, ni so komponente molekulskega ureditvenega polja, xj pa so kartezicnekoordinate. Minimum se doloci z uporabo Euler-Lagrangevega formalizma za iskanje minimuma,∂f∂q− d

dxj

∂f∂(∂q/∂xj)

= 0, za vsak j, kjer je q kolicina, po kateri se minimizira. V TN zaslonu sta

smeri ureditvenega polja #n na obeh omejujocih povrsinah tekocekristalne plasti tocno pravokotne.Skiciraj tudi tako polje.

186 Matematicna fizika I – 14. 9. 2015 – 2. izpit 1. nalogaVrtincni tok tekocine okrog navpicnega dolgega cilindra se lahko opise v cilindricnih koordinatah spotencialom tokovnega polja oblike:

ψ = V∞r sin θ

(1− R2

r2

)+

Γ

2πln r,

kjer je R radij cilindra, G je vrtincnost, r pa je oddaljenost od osi cilindra. Izracunaj hitrostno poljeter doloci silo na cilinder v smeri toka in pravokotno na tok.

Zbirka nalog iz Matematicne fizike I, Borut Paul KersevanVektorski in tenzorski racun

187Elektrostatski potencial v delu prostora | #r | > a/2 ima obliko

U( #r ) =e

4πε0

(1

| #r − #a |− 1

|2 #r − #a /2|

)14

Pokazi, da je potencial konstanten na sferi, ki omejuje prostor. Doloci ploskovno gostoto naboja natej sferi.

188Posebna konfiguracija izvirov da elektrostaticno polje s skalarnim potencialom

U( #r ) = qArsh#a · #r√

r2 − ( #a · #r )2= q ln

√r − #a · #rr + #a · #r

,

kjer je q jakost izvirov in #a enotni vektor. Doloci jakost elektricnega polja in pokazi, da to poljenima v prostoru zvezno porazdeljenih izvirov.Dodatno vprasanje: Kje pa so izviri tega polja?

189Vektorsko polje ima obliko:

#v = Ae−(#a× #r )2(

#

b × #r ),

kjer je A konstanta, #a in#

b pa poljubna konstantna vektorja. Kaksna morata biti #a in#

b , dagornji izraz opise fizikalno veljavno magnetno polje? Kaksna je prostorska porazdelitev tokov, kiustvarjajo to polje?Dodatno vprasanje: Kaksna sila deluje v tem polju na majhen magnetni dipol, ki stoji v tocki #r 0,podani z | #a × #r 0| = 1, in ki ima smer vektorja #a × ( #a × #r )?

190Elektricni potencial v blizini izhodisca ima obliko A ln(s), kjer je s = | #a × ( #a × #r )|, pri cemer je#a poljuben enotski vektor in #r radij vektor. Pokazi, da to polje nima zvezno porazdeljenih izvirov!Od kod torej izvira?

4 Naloge za 4. kolokvij

191 Matematicna fizika I – 23. 5. 1986 – 6. pismena vajaNeka posebna vrsta eksoticnega lesa je izotropna pri temperaturah pod lediscem vode. Za tem-perature nad lediscem ostane toplotna prevodnost v obeh smereh povprek na vlakna enaka kot vizotropni fazi, toplotna prevodnost vzdloz vlaken pa narasca linearno s temperaturo, tako da pritemperaturi vrelisca vode doseze ze dvakratno vrednost pri lediscu in pod njim.Iz tega lesa izdelamo razsezno homogeno ravno plosco, ki je rezana tako, da oklepa smer vzdolzvlaken kot 30 z normalo na plosco. Eno plast plosce hladimo z mesanico vode in ledu (0C), drugopa grejemo z mokro paro (100C). Koliko znasa temperatura v srediscu plosce, potem ko se tem-peraturna slika ustali?Dodatno vprasanje: Koliko bi znasala temperatura v sredimi plosce, ce bi povrsino greli na + 50C,drugo pa hladili na - 50C?

192 Matematicna fizika I – 1987 – 5. pismena vajaCetrt metra dolga palica s presekom 0.5 cm2 je iz enoosne snovi, rezane tako, da os palice sovpada zglavno smerjo z µ1 = 1.0005, v precni smeri pa sta lastni vrednosti µ2 = 1.0002. Palico ukrivimo v

15

krozni lok s srediscnim kotom 50 in jo postavimo v dolgo tuljavo tako, da je os tuljave tangenta napalico v enem izmed krajisc. V tuljavi je homogeno magnetno polje z gostoto 0.1 T. Doloci navorna palico!Dodatno vprasanje: Doloci silo in navor na palico, ce izvira magnetno polje od dolgega ravnegatokonika, ki pravokotno prebada ravnino palice v srediscu njene krivine. Tok v vodniku je 20 A.

193 Matematicna fizika I – 20. 4. 1989 – 3. pismena vajaIzracunaj tenzor vztrajnostnega momenta modela molekule CH4 (H+ ioni se nahajajo v ogljiscihtetraedra s stranico a, ion C4− je 12-krat tezji od H, ima 4-kratni nasprotni naboj in se nahajateziscu tetraedra)! Dolocite vrtilno kolicino molekule, ce se vrti okoli osi C–H oziroma okoli H–H skotno hitrostjo ω0?Koliksna je sila med tako molekulo in tockastim nabojem v veliki oddaljenosti od molekule, ceupostevamo samo prve odvode elektrocnega polja (∂Eα/∂rβ, α, β = x, y, z)?

194 Matematicna fizika I – 8. 5. 1989Po dolgem traku enakomernega preseka (sirina je cm in debelina 1 cm) tece elektricni tok 5mA. Prevodnik je anizotropen in ima razlicne lastne vrednosti specificne prevodnosti (σ1 = 2 ·106 m−1Ω−1, σ11 = σ111 = 106 m−1Ω−1). Lastna smer z najvecjo prevodnostjo lezi v ravnini sirseploskve in tvori kot 60 s smerjo toka.a) Premislite, kaksno smer imajo tokovnice elektricnega toka!b) Koliksna je razlika napetosti med tockami, ki lezijo na nasprotnih stranicah?c) Popisite polje napetosti v preseku zice!

195 Matematicna fizika I – 8. 5. 1989 – 4. pismena vajaKoliksen tok bi tekel skozi neidealen ploscati kondenzator pri napetosti 10 V, ce je narejen in kristalaz izotropno dielektricno konstanto in z enoosno anizotropno specificno upornostjo (glavna os oklepaz normalo na plosci kot 30, ζ‖ = 5 · 105 Ωm, ζ⊥ = 105 Ωm, S = 2 cm2, d = 0.5 mm)?

196 Matematicna fizika I – 13. 5. 1991 – 4. pismena vajaIz lesta, katerega toplotna prevodnost vzdolz vlaken meri 0.35 W/mK, poprek pa 0.14 W/mK,izstruzimo cev premera 10 cm s 5 mm debelo steno, tako da je os cevi pravokotna na vlakna. Koliksentoplotni tok na dolzinsko enoto tece skozi plasc cevi, po kateri pihamo vroc zrak s temperaturo100C, zunaj pa jo hladimo z zrakom pri 0C? Koliksen je toplotni tok, ce hladimo cev, pri katerimeri kot med osjo cevi in vlakni 30?

197 Matematicna fizika I – 25. 5. 1992 – 5. pismena vajaTri centimetre debela razsezna deska iz svezega lesa je rezana tako, da oklepajo vlakna kot 20 spovrsino. Na desko pritisnemo z obeh strani debeli bakreni elektrodi, ki ju prikljucimo na napetostnorazliko 10 V.a) Koliksno moc na ploskovno enoto elektrod trosi deska? Upornost v smeri vlaken znasa 300 Ωcm,v precni smeri pa 500 Ωcm.b) Koliksen je v stacionarnem stanju temperaturni gradient v lesu tik pod elektrodama, ki sta nastalni temperaturi. Toplotna prevodnost lesa vzdolz vlaken je 4 W/mK, poprek nanje pa 2 W/mK.

198 Matematicna fizika I – 14. 5. 1993 – 4. pismena vajaRazsezno plast slabega elektricnega prevodnika damo med dve kovinski plosci, med katerima jenapetost 10 mV. Razdalja med ploscama je 1 mm. Prevodnik je enoosno anizotropen z lastnimi

16

vrednostmi za upornost: ζ‖ = 1Ωcm, ζ⊥ = 1Ωcm in osjo nagnjeno za ϑ = 30 glede na normalo naplosci. Tak kondenzator postavimo v magnetno polje B = 1 T, ki je v ravnini plosc in pravokotnona os prevodnika.Izracunaj razliko med gostoto tokov, ki tecejo med loscama brez prisotnosti magnetnega polja (efektmagnetostrikcije). Gostota elektronov v prevodniku je n = 1023 m−3.Fizikalni napotek: V splosnem primeru Ohmov zakon pomeni sorazmernost elektricnega toka incelotne sile na nosilce naboja (elektrone).

199 Matematicna fizika I – 18. 5. 1995 – 4. pismena vajaNovoodkrit mineral kristalizira v dolgih palicastih kristalih in je dielektricno precej anizotropen.Zlahka ugotovimo, da poteka ena os vzdolz kristalne palicice in ji izmerimo ε = 4.2. Preostalihdveh osi iz oblike kristala ne moremo dolociti, zato iz njega izbrusimo tri tanke ploscice. Vse trivsebujejo vzdolzno os, prvi dve sta med seboj pravokotni, tretja pa lezi na simetrali med njima. Nanjih izmerimo po vrsti efektivne dielektricnosti 3.8, 3.2 in 3.6. Kako zapisemo tenzor dielektricnostiv koordinatnem sistemu, ki ga dolocata vzdolzna os in prva ploscica (vzdolzna naj bo os z, normalana ploscico pa os y)? Kako je lastni sistem tenzorja zasukan proti izbranemu sistemu? Kaksne solastne vrednosti dielektricnosti?

200 Matematicna fizika I – 8. 7. 2002 – Izpit 2. nalogaTanek obroc (kot hulahup) je sklopljen iz dveh enakih delov. Na enem stiku ju razklopimo inokoli drugega sticisca zavrtimo, tako da je med njunima ravninama kot π/2 (nekaksen zlomljen S).Izracunaj vztrajnostni tenzor tega telesa okoli tezisca. Ali je os, ki gre skozi tezisci obeh polkroznihdelov, lastna os?

17

201 Matematicna fizika I – 25. 4. 2012 – 4. kolokvijJuznoameriski trdi les quebracho ima v smeri vlaken toplotno prevodnost 14 W/mK, v smeri pra-vokotno na letnice 10 W/mK in v tretji smeri, vzporedno z letnicami, 11 W/mK. Iz lesa izstruzimo10 cm dolgo palicico s premerom 8 mm z osjo v smeri, ki oklepa enake kote z vsemi tremi last-nimi osmi. Palicico po plascu toplotno izoliramo, na konca pa pritisnemo dva razsezna kosa bakra,katerih temperatura se razlikuje za 10 K. Koliksen toplotni tok tece po palicici, ko se ustali? Zakaksen kot so proti osi palicice nagnjene izotermne ploskve v sredini palicice?

202 Matematicna fizika I – 24. 4. 2013 – 4. kolokvijIz dolgega lesenega hloda simetricno glede na sredino hloda izrezemo tram, s presekom 0.5m ×0.5m, nato pa tram naprej nazagamo v enake tanke deske. Izracunaj topolotno prestopnost deskv smeri precno na deske (tj. vzdolz daljse stranice preseka deske), kjer upostevaj, da je toplotnaprevodnost lesa pravokotno na letnice enaka λ⊥ 10 W/mK, vzdolz letnic pa λ‖ 10.5 W/mK. Priizracunu prestopnosti lahko upostevas, da sta λ⊥ in λ‖ podobni.V opomin: Toplotna prestopnost je skalarna kolicina, ki je definirana z zvezo:

P/S = −Λ∆T,

kjer je P jakost toplotnega toka skozi povrsino preseka S in je ∆T padec temperature preko materialas prestopnostjo L.

203 Matematicna fizika I – 14. 5. 2014 – 4. kolokvijRazsezen ploscat kondenzator s povrsino plosc S in debelino d je napolnjen z enoosnim anizotropnimdielektrikom, kateremu se dve lastni smeri dielektricnega tenzorja vrtita vzdolz smeri x za kot φ = kx(glej skico spodaj). Izracunaj kapacitivnost takega kondenzatorja.

18

204 Matematicna fizika I – 13. 5. 2015 – 4. kolokvijObravnavamo prevajanje toplote skozi razsezno toplotno anizotropno plast debeline d, ki jo postavimomed dva velika toplotna rezervoarja z razliko temperatur DT . Anizotropna plast je sestavljena izdveh medsebojno dobro zmesanih komponent A in B z masnima delezema wA in wB, ki sta toplotnoanizotropni, in sicer z razlicnima enoosnima tenzorjema toplotne prevodnosti. Izredna lastna osprve komponente oklepa kot q1 z normalo na plast, izredna lastna os druge komponente kot q2, enood dveh rednih lastnih osi pa imata obe komponenti vzporedno. Izracunajte gostoto toplotnegatoka, ki tece v smeri pravokotno na plast. Doloci tudi, kaksna bi morala biti sestava snovi (relativnikot med izrednima lastnima smerema obeh komponent in masna deleza snovi), da bi bila taka snovefektivno izotropna.

205 Matematicna fizika I – 15. 9. 2010 – Izpit 1. nalogaTri homogene palice z maso 0.2 kg in dolzino 50 cm zvarimo v palicje: najprej povezemo dve palicis koncema pod pravim kotom, nato pa privarimo tretjo s sredino na konec druge palice, spet podpravima kotoma na obe prejsnji palici. Doloci vzrajnostni tenzor palicja za vrtenje okrog teziscneosi. Koliksen kot oklepata kotna hitrost in vrtilna kolicina pri vrtenju okoli osi druge palice?

206 Matematicna fizika I – 9. 7. 2013 – 1. izpit 3. nalogaTristrano prizmo z maso 0.1kg, visino 4.17cm in osnovno ploskvijo, ki je pravokotni trikotnik s kate-tama a=2cm in b=5cm, vpni v teziscu. Zapisi tenzor vztrajnostnega momenta prizme v kartezicnemsistemu, v katerem je x os vzporedna s stranico a in y os vzporedna s stranico b. Nato doloci rotaci-jsko os, pri vrtenju okrog katere je deviacijski moment najvecji.

207 Matematicna fizika I – 3. 9. 2013 – 2. izpit 2. nalogaV toplotno anizotropnem enoosnem materialu, ki ima dve t.i. redni lastni vrednosti tenzorjatoplotne prevodnosti enaki Io, ena t.i. izredna pa je enaka Ie, se lastni vektor, ki ustreza izrednitopolotni prevodnosti spreminja vzdolz osi z kot: #n = (cosφ sin θ0, sinφ sin θ0, cos θ0), kjer je θ0 jekonstanten azimutalni kot, φ pa je polarni kot, ki se spreminja vzdolz osi z kot φ = 2πz/d. Tankoplast takega materiala z debelino prav d stisnemo med dve razsezni ravni plosci z razlicnima tem-peraturama (T1 in T2) in opazujemo toplotni tok. Doloci, kako se v stacionarnem stanju spreminjagostota toplotnega toka v opisani plasti anizotropnega materiala?(Opisan problem ustreza pribliznemu izracunu prevodnosti LCD 90TN tekocekristalnega zaslona.)

208 Matematicna fizika I – 27. 6. 2014 – 1. izpit 3. nalogaNa gumo se v zunanji obod na razdalji x od roba zarije oster kamencek z maso m, zato se na osvrtenja kolesa pojavi dodaten nezelen navor. Kam na rob notranjega oboda gume naj namestimodve protiutezi m1 in m2, da bomo kompenzirali prisotnost kamencka. Koliksni naj bosta ti dvemasi? Za gumo predpostavi da je v obliki valjastega kolobarja z notranjim radijem a, zunanjimradijem b ter sirino gume d.Namig: Razmisli o legi tezisca in o deviacijskem momentu.

209 Matematicna fizika I – 10. 10. 2014 – 2. izpit 3. nalogaObravnavamo stik med dvema anizotropnima toplotnima prevodnikoma A (lA1 6= lA2 = IA3) in B(lB1 6= lB2 = IB3), ki imata lastne osi tenzorja topolotne prevodnosti kot kaze slika spodaj. Izracunaj,koliksna je in kam kaze gostota toplotnega toka v prevodniku B, ce je v sredstvu A gradient tem-perature enak (DTx,DTy,0). Glej sliko.

19

210 Matematicna fizika I – 29. 6. 2015 – 1. izpit 2. nalogaIz dveh razlicnih magnetno anizotropnih enoosnih kristalov izrezemo kocki velikosti 2a × 2a × 2a.V prvi kocki se izredna os magnetne susceptibilnosti spreminja kot #n = (x, y, z)/r, v drugi pa kot#n = (x, y,−z)/r, kjer je #r = (x, y, z) radij vektor iz sredisca posamezne kocke. Izracunajte navorna vsako od kock, ce jih postavimo v homogeno magnetno polje B, ki je nagnjeno za kot θ v smeriene od stranic kock

#

B = B(sin θ, 0, cos θ).Namig: Prostorsko odvisen tenzor magnetne suspetibilnosti se lahko zapise kot χ = k #n ⊗ #n , kjer

je k konstanta magneten anizotropije, #n pa je izredna lastna os.

Zbirka nalog iz Matematicne fizike I, Borut Paul KersevanVektorski in tenzorski racun

211Anizotropni dielektrik ima lastne vrednosti enake ε1 = 4, ε2 = 3 in ε3 = 3. Iz velikega bloka tesnovi izrezemo dve razsezni plosci debeline 2 cm in povrsine 2 m2, pri cemer je kot med normalona plosco in lastnim vektorjem, ki pripada prvi lastni vrednosti, pri prvi plosci enak 45 in pridrugi 60. Obe plosci tesno staknemo in na zunanji povrsini naparimo plast kovine. Koliksna jekapaciteta tako dobljenega kondenzatorja?

212Kroglica z radijem 5 mm iz dielektricne snovi z lastnimi vrednostmi dielektricnosti 2, 2.5 in 3.5je v elektricnem polju z gostoto 1000 V/m. Smer polja oklepa enake kote z osmi dielektricnegatenzorja. Koliksen navor deluje na kroglico in kako je usmerjen? Kaksna sila deluje na kroglico, cepolje izvira iz tockastega naboja v razdalji 50 cm?

213Iz lesa z gostoto 800 kg/m3 izstruzimo stozec z radijem osnovne ploskve 10 cm in visino 10 cmter ga prezagamo skozi os v dve skladni polovici. Za nastali polstozec doloci tenzor vztrajnostnegamomenta za vrtenje okrog tezoscnih osi. S koliksnim navorom deluje to telo na lezaje, ce ga vrtimos kotno hitrostjo 10 π s−1 okoli osi, ki je vzporedna geometrijski osi stozca in gre skozi tezoscetelesa? Koliksen je kot med kotno hitrostjo in vrtilno kolicino?Dodatno vprasanje: Doloci lastne vrednosti tenzorja. Kako so usmerjene lastne osi?Namig: Racun se najlazje iztece v cilindricnih koordinatah. Ne pozabi na tezisce!

20

214Na tanek obroc z maso 200 g in radijem 30 cm namestimo tri majhne utezi z maso 25 g. Prva je 2cm nad ravnino obroca, druga 2 cm pod njo, tretja pa v ravnini obroca. Vse tri so na radiju 25 cm,pritrdisca pa so razmaknjena po obrocu za 120, tako da tezisce sistema ostane v srediscu obroca.Doloci vztrajnostni tenzor sistema. Za koliksen kot se nagne os najvecje lastne vrednosti?

215Enoosni anizotropni toplotni prevodnik ima eksoticno lastnost, da je smer osi, v kateri materialanizotropno prevaja (s koeficientom λ‖= 200 W/mK, v ostalih precnih smereh pa λ⊥ = 40 W/mK)funkcija polozaja. Iz tega materiala izrezemo razsezno plast debeline 1 cm tako, da je smer ani-zotropne osi odvisna samo od globine plasti in se enakomerno zasuce od kota 0 (vzporedno znormalo na plast) na eni strani plasti do kota 90 na drugi strani plasti. To plast polozimo medtoplotna rezervoarja s temperaturno razliko 10 K. Koliksna je gostota prepuscenega toplotnegatoka?

216Dolocena vrsta lesa ima toplotno prevodnost vzdolz vlaken 12 W/mK, povprek nanje pa 8 W/mK.Iz tega lesa izrezemo dve plasti z debelino 5 mm. V eni je kot med vlakni in normalo na ploskvi 30,v drugi pa 60. Obe plasti zlepimo s tankim slojem dobro prevodnega lepila v nekaksno furnirnoplosco. Koliksno gostoto toplotnega toka prepusca ta plosca pri temperaturni razliki 10 K?

217Tanko okroglo plosco z maso 1 kg in radijem 20 cm prepognemo okoli premera za pravi kot. Dolocivztrajnostni tenzor telesa. Koliksen kot oklepa vrtilna kolicina s kotno hitrostjo, ce se telo vrti okoliteziscne osi, ki oklepa enake kote z osmi pravokotnega sistema, polozenimi po vrsti v smeri pregibain obeh smeri, ki razpolavljata polkroga?

5 Naloge za 5. kolokvij

218 Matematicna fizika I – 3. 6. 1988 – 6. pismena vajaNeraztegnjeno vijacno vzmet na koncu togo vpnemo, na tretjini dolzine od vsakega konca papritrdimi dve enaki masi.Sistemu vsiljujemo nihanje tako, da sinusno premikamo eno krajisce vzmeti z amplitudo, ki je enakasestini dolzine in s frekvenco, ki je dvakrat vecja od frekvence, s katero bi nihala prva masa, ce bidrugo fiksirali. S koliksnima amplitudama nihata masi po dolgem casu?Opisite gibanje sistema po tem, ko iz mirovanja (hitro) stisnemo vzmet na enem krajiscu za sestinonjene dolzine!

219 Matematicna fizika I – 31. 5. 1991 – 5. pismena vaja10 kg tezka in 2 m dolga deska je na obeh koncih podprta z dvema vijacnima vzmetema s koefi-cientoma 10 N/cm in 20 N/cm, ki sta pritrjeni tako, da je v ravnovesju deska vodoravna. Vzmetista naviti okoli navpicnih vodil, ki dovoljujeta premike samo v navpicni smeri. Dolocite lastnanihajna nacina deske za majhna nihanja! Za koliksen kot se deska najvec nagne v teku nihanja, kiga zazenemo tako, da celi desko vzporedno premaknemo navzdol za 1 cm, in potem spustimo?

21

220 Matematicna fizika I – 16. 3. 1992 – 1. pismena vajaMilni mehurcek napihnemo do prostornine 1 L skozi 10 cm dolgo slamico z notranjim premerom1 mm. Nato pustimo, da se skoznjo prazni. V koliksnem casu se mu radij zmanjsa za 1%? Vkoliksnem casu pa se popolnoma izprazni? (Povrsinska napetost milnice je 0.025 N/m, viskoznostzraka pa 1.7·10−5 Ns/m2.)

221 Matematicna fizika I – 26. 3. 1993 – 2. pismena vajaDve enaki kroglici z maso m sta povezani z vzmetjo. V zacetku mirujeta v viskozni tekocini. Enaod kroglic je nabita z nabojem e.V nekem trenutku vkljucimo elektricno polje vzporedno z zveznico med kroglicama. Opisite gibanjekroglic, ce je upor zaradi viskoznosti tekocine:a) zanemarljiv,b) koncen, vendar je dusenje nadkriticno!

222 Matematicna fizika I – 25. 3. 1994 – 2. pismena vajaZ dvema vzmetema s koeficientom k pripnemo klado z maso m na coln, ki plava v viskozni tekocini(glej. skico). Masa colna je zanemarljivo majhna v primerjavi z maso klade. Sila upora tekocini nacoln je sorazmerna s hitrostjo colna, F = γv. Klada drsi po colnu brez trenja.a) S koliksno frekvenco zaniha klada, ce je vzdolz vzmeti izmaknemo iz mirovne lege?b) Doloci vrednost γ = γ0, pri kateri je nihanje kriticno duseno!c) Doloci casovni potek lege klade in colna za primer, ko klado izmaknemo iz mirovne lege za x0 inje γ = 2γ0!

223 Matematicna fizika I – 12. 4. 1994 – 2. pismena vaja (popravna)Telo z maso m = 10 g je s stirimi neraztegnjenimi vzmetmi s k = 1 N/m in dolzino 5 cm pripetana vodoravni gladki podlagi (glej skico).a) Doloci lastne frekvence za majhna nihanja!b) Zapisi casovni potek gibanja telesa po tem, ko ga izmaknemo iz mirovne lege v smeri ene odvzmeti za 0.5 cm in izpustimo!c) Dodatno vprasanje: Pod koliksnim kotom naj bodo vzmeti, da bodo mozni zakljuceni tiri telesa- Lissajousove krivulje?

22

224 Matematicna fizika I – 1. 6. 1995 – 5. pismena vajaLahka vzmet, ki ima na spodnjem koncu obeseno utez, je na zgornjem koncu pripeta na navpicnoos, okrog katere jo vrtimo s konstantno kotno hitrostjo. V ravnovesju oklepa z osjo kot 45 in je√

2-krat daljsa kot v neobremenjenem stanju. Doloci frekvenci in smeri majhnih lastnih nihanj!Ucinek Coriolisove sile zanemari!Dodatno vprasanje: Kako se spremeni rezultat, ce upostevamo se Coriolisovo silo?

225 Matematicna fizika I – 31. 5. 1996 – 5. pismena vajaV valjasti cevi dolzine l in notranjega polmera R tici malo ozja in enako dolga tanka cev z masom, med njima pa je tanka plast olja debeline d R z viskoznostjo η. Cevi polozimo precno nasmer gravitacijskega polja g, zunanjo cev pa vrtimo s konstantno kotno hitrostjo ω. Na notranjemplascu ozje cevi privarimo majhno a tezko kroglico enake mase m.

• Poisci zastojne tocke (ravnovesne lege) sistema za ne prevelike kotne hitrosti ω!

• S koliksno frekvenco zaniha kroglica, ce jo malo izmaknemo iz ravnovesne lege?

• Koliksna mora biti viskoznost η, da dobimo kriticno dusenje?

• Kako se pri podkriticni viskoznosti giblje kroglica, ki je bila v zacetku v ravnovesju, ce spre-menimo kotno hitrost zunanje cevi za 1%?

Dodatna vprasanje:

• Razisci obnasanje zastojnih tock v odvisnosti od kotne hitrosti zunanje cevi ω. Ce obstaja,izracunaj kriticno kotno hitrost ωC nad katero (ω > ωC) sistem ne bo imel vec zastojnih tock.Kako se tedaj giblje kroglica po dolgem casu?

• Opisi gibanje v blizini (zadnje) zastojne tocke pri ω = ωC .

23

226 Matematicna fizika I – 14. 5. 1996 – 4. pismena vajaNa vrtljivi plosci je s stirimi neraztegnjenimi vzmeti pritrjena utez z maso m (vzmeti vzdolz radialnesmeri imata koeficienta k1, vzmeti v tangentni smeri pa k2). V nekem trnutku zacnemo plosco vrtetis konstantno hitrostjo ω. Opisite gibanje utezi, kadar(a) je k1 k2 (utez se lahko giblje le radialno);(b) sta k1 in k2 poljubna!Predpostavimo lahko, da so odmiki utezi majhni v primerjavi z dolzino vzmeti, in da je trenje medplosco in utezjo zanemarljivo.

227 Matematicna fizika I – 30. 5. 2007 – 6. nalogaVzmetno nihalo sestavimo iz lahke vijacne vzmeti s koeficientom k, na katero obesimo maso m.Nihalo zanihamo v navpicni smeri in ko doseze najvisjo tocko, a = cm nad mirovno lego, obesimonanj nalahko, brez dodatnega sunka, se eno enako maso. Kako globoko pod mirovno lego zanihanihalo in v koliksnem casu prvic doseze to tocko?Kako se spremenita gornji vrednosti, ce je nihalo duseno? Prvotnemu nihalu se zmanjsa amplitudaz vsakim nihajem za faktor 0.9, sila dusenja pa se z dodatno maso ne spremeni.

228 Matematicna fizika I – 209/2010 – 4. kolokvijDve enaki vzmetni nihali, sestavljeni iz lahke vijacne vzmeti s koeficientom 5 N/cm in utezi 50 g,obesimo na konca 20 cm dolge homogene toge precke z maso 0 g, vrtljive okrog tezisca. Masi staprevrtani in nataknjeni na vodili, ki omejujeta njuno gibanje na navpicno smer. Kaksna so lastnanihanja sistema za majhne nagibe precke? Doloci lastne frekvence in (kvalitativno) oceni smerigibanj teles.Dodatno vprasanje: Kako se giblje sistem iz mirovanja, ko eno od utezi od spodaj frcnemo navzgors hitrostjo 2 cm/s?

229 Matematicna fizika I – 2010/2011 – 4. kolokvij VSSPlosci ploscatega kondenzatorja s povrsino 1 dm2 in maso 1 g povezemo s plasticno vzmetjo skoeficientom 10−3 N/m, ki je neraztegnjena dolga 5 cm. Kondenzator je priklopljen na konstantnonapetost 100 V. Koliksna je ravnovesna razdalja med ploscama in s koliksno frekvenco zanihataplosci, ko ju malo izmaknemo iz ravnovesne lege?

230 Matematicna fizika I – 30. 5. 2012 – 5. kolokvijDve enaki, 0.5 m dolgi lahki vijacni vzmeti s koeficientom 5 N/cm spnemo s koncema in ju vpnemomed dva toga zidova, ki sta 0.5 m vsaksebi. Na sticisce vzmeti obesimo utez. Kako je frekvencamajhnih nihanj utezi (v navpicni smeri) odvisna od povesa v ravnovesni legi? Zapisi (v priblizku

24

majhnih nihanj) casovni potek gibanja utezi z maso 50 g od trenutka, ko jo spustimo na sticisce (seneraztegnjenih) vzmeti.Namig: Ni se treba truditi z eksplicitno izrazavo povesa v odvisnosti od obtezbe. Zadosti je, dapoves uporabimo kot neodvisen parameter, s katerim je mogoce izraziti maso utezi.

231 Matematicna fizika I – 15. 5. 2013 – 5. kolokvijZanima nas pretakanje obravane vode skozi tri enake ponvice (cebricke) z volumnom 10l kotprikazuje spodnja slika. Na zacetku je polna le prva ponvica, v kateri je v vodi raztopljenih 0.5kgbarvila. V nekem trenutku odpremo pipo, iz katere zacne v prvo ponvico teci cista voda z volum-skim tokom 0.05l/s. Ker je bila prva ponvica polna, se zacne takoj iz nje (obarvana) voda prelivati vdrugo ponvico. Ko je polna le-ta, se voda naprej preliva v tretjo ponvico. Izracunaj, koliksna je kon-centracija barvila v vsaki ponvici, ko se ravno do konca napolni ponvica 3. V racunu predpostavi,da se v vsaki ponvici barvilo in voda stalno dobro mesata in je koncentracija zato ob vsakem casuhomogena. Glej sliko.

232 Matematicna fizika I – 29. 5. 2013 – 6. kolokvijPet valjev je preko torzijskih vzmeti s koeficientom D v osi rotacijsko vpetih v oglisca pravilnegapetkotnika. Nadalje je vsak od valjev z vijacnima vzmetema povezan s sosednjima valjema, kakorkaze slika. Doloci lastne frekvence majhnih torzijskih nihanj valjev in opisi pripadajoce lastnevektorje. Elasticno konstanto vseh vzmeti oznaci s k, radij valjev z R in maso valjev z m.

25

233 Matematicna fizika I – 28. 5. 2014 – 5. kolokvijTanka palica z maso 0.1kg in dolzino 0.5m je na vsakem koncu z vzmetjo (s konstanto 2000N/m innenapeto dolzino 0.2m) vpeta med navpicni steni, tako da je v ravnovesju vodoravna. Doloci obetranslacijski in rotacijsko lastno frekvenco za majhna nihanja v vodoravni ravnini.Steni sta na razdalji 1m, torej sta vzmeti prednapeti; poves sistema zaradi teze je zanemarljiv.

234 Matematicna fizika I – 4. 6. 2015 – 5. kolokvijMajhna kroglica z maso m je preko treh razlicnih vzmeti (s konstantami k1, k2 in k3) vpeta naokrogel obroc, ki lezi v vodoravni ravnini in sicer tako, da je v ravnovesju kot α med vzmetema 1 in2 enak kotu med vzmetema 1 in 3, kot med vzmetema 2 in 3 pa je enak 2π−2α. Dolzina nenapetihvzmeti je ravno enaka radiju obroca R. Doloci lastne frekvence in lastne vektorje za nihanje kroglicev vodoravni ravnini. Nato se izracunaj spremembo lastnih frekvence, ce na kroglico deluje uporviskozne tekocine z viskoznostjo γ.

235 Matematicna fizika I – 24. 6. 1988 – 2. popravna pismena vaja 3. nalogaV veliko posodo z vodo potopimo do roba drugo lonceno posodo valjaste oblike (visoko 50 cm, spremerom 50 cm in z 1 cm debelo steno). Stena le-te ima od vrha do dna 0.1 mm siroko razpoko,skozi katero voda pocasi pronica. V koliksnem casu se valjasta posoda napolni do polovice? (ν=10−3

kg/ms)

236 Matematicna fizika I – 5. 9. 1989 – 2. popravna pismena vaja 2. nalogaV rokah drzimo 1 m dolgo vrvico z utezjo. V nekem trenutku zacnemo v vodoravni smeri vrviconihati z amplitudo 1 cm in nihajnim casom 1 s. Izracunajte in skicirajte casovno odvisnost legeutezi! Koliksen je odmik utezi po prvem nihaju? Koliksna je maksimalna amplitudo? (Upostevajte,da so odmiki nihala iz ravnovesne lege majhni.)

237 Matematicna fizika I – 2. 7. 1990 – 1. izpit 2. nalogaV navpicni cevki enakomernega preseka (S = 1 cm2) zapira bat (masa 10 g) spodnji del s plinom.V mirovanju je bat 10 cm nad dnom.a) Bat porinemo navzdol s hitrostjo v0. Zapisite resitev za gibanje bata v obliki integrala. Kako jemaksimalni odmik odvisen od v0? Trenje zanemarite, temperatura plina je stalna.b) Koliksna je frekvenca nihanja pri majhnih v0?c) Cevko zacnemo vertikalno nihati z majhno amplitudo in z resonancno frekvenco? Izracunajtecasovni potek odmika bata!d) [dodatno] Skicirajte fazni diagram nihanja pri vecjih amplitudah in kvalitativno opisite vsiljenonihanje!

26

238 Matematicna fizika I – 6. 9. 1990 – 2. izpit 2. nalogaDve telesi, ki sta z vzmetemi obesen na strop (glej sliko), drzimo tako, da je razdalja med njimaenaka razdalji gornjega telesa od pritrdisca.a) V nekem trenutku telesi izpustimo.b) Hkrati, ko telesi izpustimo, zacnemo gornje krajisce dvigati in spuscati z amplitudo x0 infrekvenco ω.V obeh primerih izracunajte legi teles ob poljubnem casu, ce je m = 2 g, M = 4 g, k = 2 N/m, l =3 cm, x0 = 0.5 cm, ω = 2 s−1 in je dolzina neraztegnjenih vzmeti 4 cm!

239 Matematicna fizika I – 25. 6. 1991 – Popravna pismena vaja 3. nalogaNa mizo postavimo v razdalji 10 cm dve majhni magnetnici, ki sta prosto vrtljivi na navpicnih osehin z dipolnima momentoma 1 Acm2. Kaksna so majhna nihanja magnetnic okoli ravnovesnih leg?Kako se gibljeta, ce eno od njiju sunemo iz mirovne lege s kotno hitrostjo 0.1 s−1? Vztrajnostnamomenta manetnic sta 10−12 kgm2.

240 Matematicna fizika I – 1. 7. 1992 – Popravna pismena vaja 3. nalogaStiri enake vzmeti in tri enake mase sklopimo izmenoma v linearno verigo, katere prosta konca statogo vpeta.a) Doloci lastno nihanje tega sistema.b) Prvo maso v verigi rahlo sunemo v vzdolzni smeri. V kaksnem razmerju se njena energijaporazdeli med lastna nihanja sistema?

241 Matematicna fizika I – 22. 9. 1993 – 2. popravna vaja 2. nalogaDve enako nabiti kroglici z maso 1 g sta speti z lahko vzmetjo, katere dolzina v nenapetem stanjuje 10 cm, s kroglicama pa se raztegne na 11 cm. Koliksna je frekvenca majhnih nihanj tega sistema.Kako se giblje sistem, ce eno kroglico sunemo proti drugi s hitrostjo 1 cm/s? (k0=0.1 kg/s)

242 Matematicna fizika I – 9. 6. 1996 – Popravna vaja 3. nalogaRazisci majhna nihanja linearne molekule CO2 (C –– O –– C) v smeri osi molekule. Izracunajrazmerje med frekvencama netrivialnih lastnih nihanj molekule in poisci ustrezna lastna vektorjarelativnih premikov treh atomov. mO/mC = 16/12 = 4/3.

27

243 Matematicna fizika I – 12. 9. 1996 – Pisni izpit 3. nalogaNa klado z maso 0.5 kg, deluje pri drsenju po vodoravni podlagi v nasprotni smeri hitrosti konstantnasila trenja, Ft = −ktmgv/|v| z majhnim koeficientom trenja, kt = 0.001. Klado pripnemo na vzmets konstanto K = 10N/m in jo za 10 cm izmaknemo iz ravnovesne lege. Kako pojema amplitudanihanja klade s casom? Ali se v tem modelu klada kdaj povsem ustavi? Ce se, kdaj?

244 Matematicna fizika I – 8. 7. 2002 – Izpit 3. nalogaLahka cevka dolzine 20 cm, ki ima na obeh koncih enaka svincena cepa z maso 1 kg, je simetricnovtaknjena v kratek nosilec, ki je pritrjen na navpicno vrtilno os. Na tej osi cev vrtimo s stalnokotno hitrostjo ω = 10s−1 in zaradi simetrije cev ostane na svojem mestu. Potem na en konec sedemuha z maso 10 mg. V koliksnem casu zdrsne cev iz lezisca, ce med njo in nosilcem ni trenja?

245 Matematicna fizika I – 15. 9. 2005 – Izpit 3. nalogaV posodo v obliki polkrogle z radijem 20 cm nalivamo vodo, tako da je volumski tok 2 litra naminuto. Posoda, ki ima na dnu majhno luknjico, se napolni v 10 minutah. Cez koliko casa potem,ko zapremo pipo, se izprazni?

246 Matematicna fizika I – 28. 2. 2007 – Izpit 3. nalogaVodoravna cevka je na enem koncu pritrjena na vijacno vzmet in sinusno niha vzdolz svoje osi sfrekvenco 0.25 Hz in amplitudo 1 cm. V cevki je kovinsko jedro (krogljicni lezaj), ki se cevki tesnoprilega in je podmazano s kapljo olja. Ce kovinsko jedro v mirujoci cevki porinemo z neko zacetnohitrostjo, se mu hitrost zmanjsa na polovico zacetne po eni sekundi. S koliksno amplitudo nihakaplja? Kaksen je fazni zamik?

247 Matematicna fizika I – 24. 3. 2009 – Izpit 3. nalogaZanko iz 1 m dolgega gumijastega traku obesimo prek dveh majhnih skripcev v isti visini, tako daima pri zelo sibki napetosti obliko enakostranicnega trokotnika z vodoravno zgornjo stranico. Nanjoobesimo utez 0.15 kg, zaradi cesar se obesisce zanke zniza za 5 cm. Kaksen je nihajni cas, ko utezizmaknemo za 5 mm v navpicni smeri?

248 Matematicna fizika I – 15. 9. 2010 – Izpit 3. nalogaMilni mehurcek ima radij 10 cm, v njem je nadtlak 3 Pa. Kratek kos cevke, s katero smo ga napihnili,ima notranji presek 1 mm2, in mehurcek se skozenj prazni. Ucinek viskoznosti pri iztekanju plinaskozi cevko lahko zanemarimo, prav tako tudi ucinek malih sprememb tlaka na gostoto plina. Kolikocasa traja, da se mehurcek izprazni? Koliko casa se prazni do polovice zacetne prostornine?

249 Matematicna fizika I – 10. 7. 2012 – 1. izpit 3. nalogaNa konec 1 m dolge gumijaste vrvice, ki visi s stropa, obesimo utez 50 g, pri cemer se vrvica podaljsaza 20 cm. Nato utez dvignemo do stropa in jo spustimo. Cez koliko casa bo dosegla najnizjo tocko?

250 Matematicna fizika I – 4. 9. 2012 – 2. izpit 3. nalogaRiba plava tik pod gladino jezera v stalni smeri s hitrostjo 0.5 m/s. Ribji orel jo opazi, ko je tiknad njo v visini 50 m. Zacne se spuscati proti njej z navpicno hitrostjo 2 m/s, hitrost v vodoravnismeri pa prilagaja tako, da je ves cas usmerjen proti plenu. Za koliko se premakne v vodoravnismeri, ko se spusti do polovicne zacetne visine?Namig: problem se prevede na linearno enacbo; najlaze je resljiva, ce izkljucimo casovno spre-menljivko in uporabimo metodo variacije konstante.

28

251 Matematicna fizika I – 9. 7. 2013 – 1. izpit 1. nalogaObesek visi na 10cm dolgi lahki vrvici na vzvratnem ogledalu v avtomobilu, ko zacnemo avtomobilpospesevati s stalnim pospeskom 1m/s2. S koliksno frekvenco zaniha obesek? Doloci tudi, kako sekot vrvice, na kateri visi obesek, spreminja s casom. Uporabis lahko priblizek majhnih nihanj.

252 Matematicna fizika I – 9. 7. 2013 – 1. izpit 2. nalogaNavzdol obrnjen stozec je napolnjen z vodo do visine 30cm, ko se po plascu strozca od dna dovrha pojavi ravna razpoka kotne sirine 1. Izracunaj, s koliksno hitrostjo se premika gladina vodev trenutku, ko pade na visino 29cm, ce posodo stalno dodatno polnimo s pipo, ki ima volumskipretok 0.1dm3/s. Koliko casa pa pretece, da gladina pade iz 30cm na 29cm? Radij osnovnice stozcaje enak 80cm in visina stozca pa je enaka 1m.

253 Matematicna fizika I – 3. 9. 2013 – 2. izpit 3. nalogaKroglica z maso m je preko treh vijacnih vzmeti z elasticno konstanto k pripeta na okrogel okvir.Vzmeti so vpete tako, da so nenapete in med seboj oklepajo kot 120, ce obroc in kroglica lezijovodoravno na tleh. Doloci lastna nihanja kroglice (frekvence in vektorje) v ravnini okvirja, ce okvirpostavimo v navpicno ravnino in je ena od vzmeti tocno navpicna! Kaksna pa so lastna nihanja vravnini okvirja, ce je le-ta se vedno v navpicni ravnini, ena od vzmeti pa oklepa kot 30 z navpicnico?

254 Matematicna fizika I – 21. 1. 2013 – 3. izpit 3. nalogaNotranjost vodoravne gladke 1m dolge valjaste cevke je razdeljena na stiri enake volumske predeles tremi prosto gibljivimi bati z maso 1kg, konca cevke pa sta neprodusno zaprta. V vsakem odvolumskih predelov je 10g plina helija (M=4kg/kmol) pri konstantni temperaturi 300K. V priblizkumajhnih odmikov izracunajte lastne frekvenci vseh treh batov, ce prozno silo pri odmiku od mirovnelege povzrocajo le spremembe tlaka plina.

255 Matematicna fizika I – 27. 6. 2014 – 1. izpit 2. nalogaTockast naboj z maso m in nabojem e je ujet v ravnini znotraj enakostranicne trikotne kletke sstranico a, ki ima v vsakem vogalu (razlicne) fiksne enako predznacene naboje e1, e2 in e3. Dolocilastne frekvence in lastne nacine (vektorje) nihanja tako ujetega naboja okrog ravnovesne lege.

256 Matematicna fizika I – 10. 10. 2014 – 2. izpit 1. nalogaSfericna koloidna delca sta povezani z vzmetjo z elasticno konstanto k, in potopljena v viskoznotekocino z viskoznostjo g. Izracunaj lastne frekvence in lastne nihajne nacine obeh delcev, pricemer upostevaj, da med gibajocima delcema deluje tudi t.i. hidrodinamska sklopitvena sila, ki jeza izbran delec sorazmerna razliki hitrosti sosednjega delca in delca samega.

257 Matematicna fizika I – 29. 6. 2015 – 1. izpit 1. nalogaStirje do vrha polni cebricki so postavljeni v kvadrat, pri cemer je v prvem cebricku (Cebricek 1)obarvana voda s koncentracijo barvila c0, v ostalih treh cebrickih pa je samo voda. Izracunajte,kako se s casom spreminja koncentracija barvila po cebrickih, ce v Cebricek 1 zacnemo tociti cistovodo s stalnim volumskih pretokom Fv, vsa voda iz Cebricka 1 pa se enakomerno preliva v Cebricka2 in 3, in nato iz 2 in 3 v Cebricek 4? Kako pa se koncentracije spreminjajo s casom, ce povezemose cebricka 1 in 4, tako da se voda enako preliva iz Cebricka 1 v 2, 3 in 4, nato pa iz 2 in 3 v 4.Predpostavite lahko idealno mesanje vode po cebrickih.

258 Matematicna fizika I – 14. 9. 2015 – 2. izpit 2. nalogaOkrogla dezna kaplja z radijem r0 pada skozi zrak z viskoznostjo h, ko zadane oblak debeline h, kjer

29

se viskoznost zraka poveca za 10%. Doloci, kako velika je kapljica, ko preleti tak enakomerno gostoblak, ce pobere vso vodo, ki je neposredno na njeni poti. Predpostavis lahko, da sta sila upora insila teze stalno uravnovesena. Masna volumska koncentracija vode v zraku znotraj oblaka je enakan.

Zbirka nalog iz Matematicne fizike I, Borut Paul KersevanDiferencialne enacbe

259Gorsko jezero v Kolumbiji ima prostornino 0.5 km3. Napajajo ga lokalni studenci z dokaj stalnimtokom 1000 m3/dan cez vse leto, enako stalen je tudi izliv. V vodi pritokov je raztopljen redkielement skandij in sicer 2 mg/liter. Ob jezeru deluje tovarna, ki zajema 2000 m3 jezerske vodena dan in iz nje s svojimi ionskimi izmenjevalci izloci ves skandij (ter vodo nato vraca v jezero).Kako se je s casom spreminjal dnevni pridelek skandija od zagona tovarne dalje? Koliksen je dnevnipridelek skandija danes, 3 leta po zacetku obratovanja?

260Dve drobceni utezi mase M z radijem r, povezani z vzmetjo s koeficientom K, lebdita v viskoznitekocini z znanim η. Skozi tekocino spustimo valovanje (zvok), katerega valovni vektor je vzporedenz vzmetjo in ima frekvenco enako Ω =

√3K/M , njegova valovna dolzina pa je stirikrat vecja od

razdalje med njima, torej je hitrost tekocine na mestu x ob casu t podana z izrazom #v= Re[(v0, 0,0)exp(ikx - iΩt)]. Kako se gibljeta utezi po dolgem casu?

261Dve razsezni bakreni plosci v vakuumu postavimo vzporedno, tako da je med njima konstantenrazmik. Na notranjih ploskvah sta pocrnjeni, navzven pa zrcalno zglajeni: tako si lahko izmen-jujeta toploto s sevanjem, izmenjavo z okolico pa lahko zanemarimo. Kako se spreminjata njunitemperaturi s casom, ce sta v zacetku 290 K in 300 K? Plosci sta debeli 5 mm, gostota bakra je 8.9g/cm3, specificna toplota pa 380 W/kgK. Stefanova konstanta je σ = 5.67·10−8 W/m2K4.

262Napravimo si nihalo iz kroglice z maso 5 g, ki jo nataknemo na konec 10 cm dolge lahke palicice,drugi konec palicice pa je prosto vrtljiv okoli vodoravne osi. Nihalo postavimo navpik in ga z obehstrani omejimo s togima stenama, ki mu dovoljujeta odklon 5 na vsako stran in na katerih sekroglica prozno odbije. Koliksna je hitrost kroglice v vrsni (navpicni) legi, ce je perioda gibanja 1s?

263Posoda ima obliko stozca z radijem odprtine 20 cm in visino 20 cm, konica stozca, ki je spodaj, paje odrezana, tako da je nastala luknjica z radijem 1 mm. V prazno posodo zacnemo nalivati vodos stalnim tokom 10 cm3/s. V kolikem casu je posoda polna?

264Majhno homogeno gumijasto kroglico s polmerom r vstavimo caso s kroglastim dnom z radijem 10r. Kroglica se po posodi kotali brez zdrsavanja. Poisci frekvenco majhnih nihanj okoli ravnovesnelege!

30

265Dva vozicka z maso 0.5 kg se gibljeta po tiru z zanemarljivim trenjem. Spojena sta z amortizerjem,ki je v bistvu bat (pritrjen na prvi vozicek) v dolgem valju (pritrjenem na drugem vozicku), takoda deluje med vozickoma viskozna sila (tanke plasti olja med batom in valjem), ki je sorazmernaz relativno hitrostjo, sorazmernostni koeficient je 50 Ns/m. Sistem miruje, dokler enega vozickane sunemo, da dobi hitrost 0.1 m/s. Opisi gibanje vozickov v casu po sunku. Za koliko se v tekuposkusa spremeni razdalja med vozickoma? (Masi bata in valja sta ze vsteti v maso vozickov.)

266Homogena, 1 m dolga deska je vzdolz krajse stranice obesena na vodoravno os, okrog katere je prostovrtljiva. Pravokotno na desko piha stalen veter: njegov navor je sorazmeren kvadratu kosinusa kotamed desko in navpicnico, ravnovesje pa je dosezeno pri kotu 35. S koliksno frekvenco zaniha deska,ce jo malo zmotimo iz ravnovesnega odklona?

267Dve enaki nitni nihali sestavimo iz nitk z dolzino 50 cm in majhnih kovinskih kroglic z maso 20g. Nihali sta obeseni z vodoravnega nosilca 20 cm vsaksebi. Koliksni sta lastni frekvenci nju-nih (majhnih) nihanj, ko ju sklopimo s tem, da ju naelektrimo z nabojema 10−7 As nasprotnegapredznaka?

268V votlo bakreno kroglo z zunanjim radijem 10 cm in notranjim radijem 3 cm vstopa skozi tanko,dobro izolirano izvrtino voda s temperaturo 30C in s pretokom 20 ml na minuto. Skozi enakoizvrtino voda na drugi strani izstopa. Na zunanji povrsini je krogla hlajena na 0C. Koliksna jetemperatura izstopajoce vode ob privzetku, da se voda v votlini ucinkovito mesa?

269Na milni mehurcek z radijem 5 cm in debelino stene 1 mikron (v zraku pri normalnih pogojih)nanesemo elektricni naboj 10−8 As, ki se hipoma porazdeli enakomerno po povrsini mehurcka.Koliksna je frekvenca nihanja, s katerim se mehurcek prilagodi na novo velikost? Ucinke dusenjazanemari! (γ = 0.025 N/m).

270Majhen elektricni colnicek ima maso 200 g, njegov motorcek pa razvija stalno moc 0.02 W. Zaradimajhnih hitrosti racunamo, da deluje na colnicek linearni viskozni upor, pri hitrosti 1 cm/s jesila upora enaka 0.005 N. Zapisi enacbo za gibanje colnicka, upostevaje da je moc pogona (ne sila!)konstantna in da je sila upora sorazmerna s hitrostjo. Uvedi smiselne brezdimenzijske spremenljivkein resi enacbo. Koliksna je casovna konstanta, s katero se hitrost priblizuje svoji limitni vrednosti?V koliksnem casu doseze colnicek iz mirovanja polovico limitne hitrosti?Namig: ce ne gre drugace, poskusi resiti enacbo za kineticno energijo colnicka.

271Po mocno viskozni tekocini plava modelska podmornica z maso 0.3 kg in pogonom s stalno mocjo50 W. S tem motorjem doseze pri premem gibanju v vodoravni smeri najvecjo (koncno) hitrost 10cm/s. V koliksnem casu doseze polovico te hitrosti, ce se zacne gibati iz mirovanja?

272Vzmet s koeficientom 20 N/m je z enim koncem pritrjena na strop, na njenem drugem koncu pa

31

je obesena majhna utez z maso 50 g. Zaradi sibkega dusenja pade amplituda nihanja na polovicozacetne vrednosti po 50 nihajih. Nihalo vzbujamo z elektricno silo, ki ima amplitudo 0.1 N inkrozno frekvenco 20 s−1. Sila zacne delovati ob casu t = 0 na mirujoce nihalo in ima casovni poteksinωt. Koliksen je odmik nihala ob casu, ko je sila opravila tri nihaje? Koliksna je hitrost nihala vtem trenutku?

273Na krozno plosco z radijem 20 cm in maso 1 kg, ki je vrtljiva okrog vodoravne osi skozi sredisce,obesimo na diametralnih tockah, ki sta na isti visini kot os, dve vzmetni nihali z utezema z masama20 g in z vzmetema, ki podelita nihaloma nihajni cas 2 s. Kaksne so lastne frekvence sklopljenihnihanj sistema? (Kaksni so lastni nihajni nacini?)

274Utez maso 1 kg je pripeta na konec vijacne vzmeti s koeficientom 200 N/m. Drugi konec vzmeti, ki jev neraztegnjenem stanju dolga 1 m, je pripet na stalno os. Maso in vzmet pozenemo v enakomernokrozenje, tako da opisuje masa krozni tir z radijem 1.2 m. S kaksno frekvenco zaniha masa, ko jomed enakomernim krozenjem rahlo sunemo v radialni smeri? Ali je mogoce nastaviti kotno hitrost(in radij) enakomernega krozenja tako, da bo masa opisovala zakljucen tir? (Masa vzmeti je sevedazanemarljivo majhna.)

32