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SGC ライブラリ- 75
数物系のための
圏論導来圏，三角圏，A∞圏を中心に
梶浦 宏成 著
サイエンス社
まえがき
本書は圏論のホモロジー代数的側面に関する入門書である．特に，導来圏，三角圏，A∞ 圏とそ
れらの持つ性質について解説する．読む際に必要とされる知識はほとんどない（つもりである）．線
形代数に関してのみは，ある程度慣れ親しんでいる方が好ましい．
「○○ですー」と名前を言われれば相手の顔をみなくても誰だかわかる．知らない相手でも，名
前が違えば別人であろうこともわかる．血液型と生年月日を言ってもらえばさらによい∗1！ホモロ
ジーとはこのようなものである．数学的対象に対して数の羅列などを対応させるもののことであり，
一見区別しにくい数学的対象を分類する手段を与える．そして，ホモロジーを定めるための代数的
理論のことを一般にホモロジー代数という．幾何学においてはホモロジーは，例えば球面（ボール
の表面）とトーラス（ドーナツの表面）に対してそれぞれ (1, 0, 1), (1, 2, 1)という数の組を割り振
る．つまり球面とトーラスは別物である．しかし，ホモロジー代数は幾何学的対象しか相手にでき
ないわけではない．ではどのような状況でホモロジー代数が使えるのか？これを考えるには，どの
ような性質が必要だったか頭を整頓して考える必要がある．このような頭の整頓に適しているもの
として圏がある．
圏といえば「大気圏」，「首都圏」などという言葉が思い浮かぶが，数学においても圏とはおおよ
そ考える数学的対象の範囲を意味するものである．しかし範囲を指定するのみならず，その範囲に
属するものの間の相関関係などの構造までをみる．つまり，圏とは数学的対象の集まりの「入れ物」
であり，この入れ物に入れることによって物事が整頓されるのである．入れ物自体に関する一般論
は無味乾燥としてみえるかもしれないが，いったん物を入れるとそのすばらしさに気づく．ホモロ
ジー代数も，ある程度性質のよい入れ物（後でアーベル圏と呼ばれるもの）に入るものならば共通
の議論によって展開されることになる．実際，圏という概念は，このようなホモロジー代数の定式
化が発端であるらしい∗2．この圏論におけるホモロジー代数の王様的存在として君臨しているのが
導来圏，あるいは導来圏の構造を記述する三角圏である．導来圏はホモロジーのもととなる材料を
圏としたものであり，実際のところその圏構造がホモロジーを超えた情報まで含むこととなる．（原
論文は [P. Deligne, Cohomologie etale, Seminaire de geometrie algebrique du Bois-Marie SGA
4 1/2, Lecture Notes in Mathematics 569, Springer．], フランス語である．）
A∞ 圏はこれらに比べて新しい概念であるが，近年弦理論に関連する数理物理学と関連して盛ん
に議論されるようになってきていて，三角圏とも相性がよい．これは，三角圏の持つ，ホモロジー
を超えた情報がA∞構造と関係していることがあり，残念ながらその詳細までは本書で説明できな
かったが本文の「三角 A∞ 圏」，あるいは「三角圏の A∞ 増強」という概念において両者の理論の
∗1 もちろん嘘をいってはならない．矛盾なく定義された数学的操作は嘘をつかない．∗2 著者は歴史を語る人間としてはふさわしくない．[38], [39] など参照．
融合を見ることができる．本書の構成に関しては，この三角 A∞ 圏への道を中心軸にとった．
とにかくこのようなわけで，導来圏，三角圏，A∞ 圏の 3つを中心人物として選んだ．物理学に
おける弦理論の圏論的定式化のために最も中心的な役割をするであろうものもこれらの 3つである．
他にもいくらか興味深く，現在も発展しているものがあるが，著者の偏った主観によってそれらは
本書では取り扱われていない．例えば，モデル圏（Quillen [48]，cf. 土屋 [55]），高次の圏（A∞圏の
高次の積という意味とは直接関係はしない，cf. [39, XII章]）などがあり，後者は位相的場の理論
の数学的定式化への応用も議論されているところである（が著者はこの方向性について肯定的では
ない）．さらに，弦理論とも密接な関係のある三角圏の安定性条件 (Bridgeland, cf. [1]) などにつ
いても触れることができなかった．
本書で議論する内容の数学的，物理的背景について，はじめの 1章でひと通り説明したが，ここに
はたくさんの専門用語が定義なしに現れる．とりあえず様々なキーワードの間の相関関係に関する
表だと思えばよい．第 2章からは基礎的なものから 1つ 1つ定義していく．導来圏，三角圏などと
いう形式的で重い道具がテーマであるが，それらを少ない知識でできるだけ単刀直入に定義し，さ
らに下三角 2× 2行列とその表現を中心とした具体例に応用することでもって味わう方針をとった．
つまり例のために環論と表現論に関する議論を含むのであるが，これらの分野自体の標準的な基礎
を習得するには本書は十分でない．各章末に関連する参考文献のリストをあげているのでそちらも
参照されたい．それに加えて例えば「数理科学 2008年 3月号：現代物理のための数学キーワード」
において関連する概念についての専門家による解説があり，特に小林正典氏による「圏と関手」，浅
芝秀人氏による「Quiverの表現」などは本書に直接関係する．また「数理科学 2008年 9月号：ト
ポロジカルな弦の世界」には物理的背景（1.4節）に関連する話題がたくさん含まれている．また，
本書で扱う基本的な事柄のほとんどは岩波書店の数学辞典にも解説がある．ただし今のところA∞
代数に関する記述はない．
（数学の本全般について言えることだが）本書を読むにあたって気を付けるべき点が 1つある．ま
ずは定理，補題などの証明詳細はいったん気にせず，まず話の大枠を把握することが効率よく理解
するためのコツである．そして定義があまりに抽象的でわかりにくい場合には例を見ることが理解
を助ける．定理の主張があまりに抽象的でわかりにくいときは，その証明を見てみることが理解を
助けることもあるが，基本的には後まわしでよい．実際のところ，本書を証明まで追って始めから
順に読むのは危険である．何も知識を仮定せず，今後の研究の進展の期待できるところまで 1本の
道をつなげる試みであったが，多少無理があり，難易度にむらがある．特にA∞ 構造に関するいく
つかの基本的定理について証明を略さず書くつもりだったがその前にページ数の上限に届いて（を
超えて）しまったのが心残りである．しかし実際のところそれぐらいでちょうどよいのかもしれな
い．全般的に「証明の概略」と書いたものについては完全な理解は難しいと思われる．「詳細略」と
書いたものは紙面を食う行列を使う説明などを略しただけでそれほど難しくはない．
本原稿の執筆にあたり，書き続けたがる著者を辛抱強く脱稿まで導いてくださったサイエンス社
の平勢耕介氏に感謝したいと思います．
2010年 3月
梶浦 宏成
ii まえがき
目 次
第 1章 背景と概観 1
1.1 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 本書の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 理論の数学的背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 導来圏と三角圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 A∞ 代数構造とは？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 深谷圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.4 圏論的双対性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 弦理論との関係について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 弦理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 弦理論とホモトピー代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.3 Dブレーン圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.4 ミラー対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 圏論における技術的側面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.1 同型という概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.2 ホモトピー同値と局所化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.3 射のリフト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.4 普遍性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
第 2章 集合論，環と加群の基礎 18
2.1 集合論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 加法群，環と体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 加法群，環と体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 準同型写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 部分加法群と剰余加法群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.4 部分環，イデアルと剰余環 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.5 体の標数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.6 環の局所化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 R加群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 R加群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2 R加群の生成系と自由加群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.3 ベクトル空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 直和，直積，テンソル積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1 直和と直積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.2 テンソル積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4.3 双線形写像，多重線形写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5 代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
第 3章 ベクトル空間と加群のホモロジー代数 45
3.1 準同型写像の核，像，余核，余像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1 加法群の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.2 R加群の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.3 ベクトル空間の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 複体と完全列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1 加法群の複体と完全列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2 R加群の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.3 ベクトル空間の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 複体の間の写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 複体のホモトピー同値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5 R加群の複体について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.1 短完全列の分裂 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.2 擬同型とホモトピー同値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6 ベクトル空間の複体について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7 複体の短完全列と写像錐 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.7.1 ベクトル空間の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.7.2 R加群の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.8 R加群のホモロジー代数についてもう少し . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.8.1 自由加群（再） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.8.2 射影加群と移入加群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.8.3 射影分解と移入分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
第 4章 導来圏 63
4.1 圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.1 圏と関手 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.2 自然変換，自然同値と表現可能性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.3 圏論における単射と全射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.4 圏論における直積と直和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2 加法圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3 アーベル圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4 複体の圏とそのホモトピー圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5 複体のコホモロジーと擬同型写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.6 アーベル圏において成り立つホモロジー代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
iv 目 次
4.7 圏の局所化と導来圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.8 射影分解と導来圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.8.1 射影分解とホモロジー次元 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.8.2 なぜ導来圏か？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.8.3 アーベル圏の導来圏への埋め込み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.8.4 導来関手とコホモロジー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
第 5章 三角圏 90
5.1 三角圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.1.1 三角圏と三角関手 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.1.2 完全三角系列から従う事実について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.1.3 三角部分圏と三角圏の生成系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 ホモトピー圏の完全三角構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3 三角圏の局所化と導来圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.1 三角圏の局所化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.2 導来圏（再） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4 射影分解と導来圏（再） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.4.1 アーベル圏における射影分解の基本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.4.2 射影分解のホモロジー的摂動理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.4.3 射影分解に関するもう 1つの基本的定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.4.4 結論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.5 三角 DG圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.5.1 ホモトピー圏と DG圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.5.2 DG圏から三角圏を構成する方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5.3 三角 DG圏における生成定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.6 三角圏の例外的生成系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.6.1 例外的対象系とその変異 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.6.2 変異の満たす性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.7 セール関手 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.7.1 セール関手 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.7.2 例外的対象系とセール関手 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
第 6章 有限次元代数の表現論 145
6.1 有限次元代数とその上の加群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2 箙と道代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.3 箙の道代数の表現論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.4 関係式付き箙の表現論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.4.1 箙における関係式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.4.2 関係式付き箙の表現論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
v
6.5 導来圏 Db(mod−A) の生成系とその変異 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.5.1 mod−A の単純対象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.5.2 mod−A の射影対象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.5.3 mod−A の移入対象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.5.4 単純対象と射影対象，移入対象の関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.5.5 変異とセール関手 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.6 三角圏の強例外的生成系と有限次元代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.7 圏のグラフ表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.7.1 クルル・シュミット圏のAR箙 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.7.2 関係式付き順序付き箙の有界導来圏のクルル・シュミット性 . . . . . . . . . 169
6.7.3 AR箙の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
第 7章 A∞ 圏と三角圏 172
7.1 A∞ 代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.1.1 A∞ 代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.1.2 バー構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.1.3 A∞ 写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.1.4 極小模型定理と分解定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.1.5 A∞ ホモトピー同値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.1.6 A∞ モーラー ·カルタン方程式とモジュライ . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.2 A∞ 圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.3 三角 A∞ 圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.3.1 A∞ 圏から三角圏を構成する方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.3.2 この構成による三角圏における帰結 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.4 A∞ 加群の圏と米田埋め込み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.4.1 A∞ 代数の米田埋め込み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.4.2 A∞ 圏における米田埋め込み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.5 A∞ 代数と A∞ 圏の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
参考文献 199
索 引 202
vi 目 次
第 1 章
背景と概観
本書で議論する導来圏，三角圏，A∞圏とそれらの間の関係に関する数学的，
物理的背景について述べる．たくさんの専門用語が出てくるが知らなければ気
にしなくてよい．必要なものは第 2章以降で定義する．
1.1 はじめに
圏とは，対象と呼ばれる数学的対象の集まりと，それらの間の射（写像）達
であって，適切な条件を満たすものとして定義される．例えば，集合達の成す
圏 Setとは，集合 1つ 1つを対象とし，2つの対象，つまり集合 A,B に対し
て写像 f : A→ B を Aから Bへの射としたものである．写像の合成に対応し
た射の合成が圏において定義されていて，合成に関する結合律などが圏の定義
における「適切な条件」の中に含まれている．その他，圏の例として位相空間
(topological space)の圏 Top，加法群 (Abelian group)の圏 Abなどがある．
一方，幾何学的対象，例えば位相空間，多様体や様々な構造付きの多様体な
どに対して圏を対応させる標準的な方法があり，圏達の間に適切な同値関係が
定義されていれば，圏を（構造付きの）位相空間に対するある種の不変量とし
て応用できることが期待できる．例えば，位相空間 X 上のベクトル束らの成
す圏を通して定まる K0 群などがその例である．現在では複素多様体，あるい
は代数多様体 X 上の連接層 (coherent sheaf)らの成す圏 coh(X) についての
研究も盛んである．この例においては，X によっては圏 coh(X) の持つ構造の
詳細がわかるレベルにあり，coh(X) の上である種のホモロジー代数が展開さ
れる．特に，coh(X) からあるホモロジー代数的操作を施すことによって得ら
れる導来圏が主な研究対象の 1つとなっている．同様に導来圏が定義でき，そ
の構造について研究ができるレベルにあるものとして，有限次元代数A上の加
群の成す圏mod−Aなどがある．コンツェビッチ (Kontsevich)によるホモロジー的ミラー対称性 (homological
第 2 章
集合論，環と加群の基礎
本書で扱う基本的な道具についてまとめておく．集合論，環，体，加群など
についてだいたい知っていればいったん読みとばして必要に応じて戻ってくれ
ばよい．
2.1 集合論
集合 (set)とは，はっきりと特徴付けを持った数学的対象の集まりのことで
ある．集合 Aに属する数学的対象 aのことを元 (element)と呼び，aが Aの
元であるということを a ∈ Aと書く．集合 Aと B について，任意の Aの元
x ∈ Aについて x ∈ B であるとき，Aは B の部分集合 (subset)であるとい
い，A ⊂ B と書く．A ⊂ B かつ A ⊃ B であるとき，またそのときに限り，
A = B，つまり，集合 Aと B は等しい．
一般に 2つの集合を比べるときには，それらの間の写像を考える．集合 A,
B に対して，写像 f : A → B とは A のすべての元 a ∈ A に対して B の元
f(a) ∈ B を対応されるもののことである．B の部分集合
Im(f) := {f(a) ∈ B | a ∈ A}
を Aの f による像 (image)という．B の部分集合B′ に対し，Aの部分集合
f−1(B′) := {a ∈ A |f(a) ∈ B′}
を B′ の f による逆像 (inverse image) という．特に，元 b ∈ B に対し，bのみから成る B の部分集合 {b}の逆像を f−1({b}) = f−1(b)と書く．
写像 f : A → B は任意の 2 つの異なる元 a, a′ ∈ A, a �= a′ に対して
f(a) �= f(a′)となるとき単射 (injection) といい，すべての元 b ∈ B に対してf(a) = b となる元 a ∈ A が存在するとき全射 (surjection) という．つまり，f
が単射であることは，任意の元 b ∈ Im(f)について f−1(b) が 1点から成る（A
第 3 章
ベクトル空間と加群のホモロジー代数
ベクトル空間の複体と加群の複体に関するホモロジー代数についてまとめる．
R加群であってR = Zとしたものが加法群，R = K を体としたものがベクト
ル空間であるので一般のR加群について成り立つことは加法群，ベクトル空間
についても成り立つことに注意する．
3.1 準同型写像の核，像，余核，余像
3.1.1 加法群の場合
加法群X, Y に対して，準同型写像 f : X → Y とは，ゼロ元を保ち，和 +
の演算と両立するもののことであった（定義 2.14）．
定義 3.1 加法群の間の写像 f : X → Y の核 (kernel) Ker(f)，像 (image)
Im(f)，余核 (cokernel) Coker(f)，余像 (coimage) Coim(f) が以下で定義さ
れる．
Ker(f) := {x ∈ X | f(x) = 0Y }, Im(f) := {f(x) | x ∈ X},
Coker(f) := Y/Im(f), Coim(f) := X/Ker(f).
ここで Y/Im(f), X/Ker(f)は剰余加法群（定義 2.21）である．一方，Ker(f)
はX の部分加法群，Im(f)は Y の部分加法群であることもわかる．
補題 3.2 (準同型定理) 加法群の同型 Coim(f) � Im(f)が存在する．
証明 準同型写像 f : X → Y から自然に構成される準同型写像
X/Ker(f)→ Im(f) ⊂ Y
が全単射であることを確認すればよい． �
3.1.2 R加群の場合
右 R加群の間の R準同型写像 f : M → N に対して，その加法群の準同型
写像としての核Ker(f)，像 Im(f)，余核 Coker(f)，余像 Coim(f)を考える．
第 4 章
導来圏
圏の定義からはじめて導来圏までを定義する．その過程において，4.7節では
環の局所化（2.2.6節）の圏論への自然な一般化を行う．第 3章で議論したよう
なホモロジー代数も，圏論におけるものとして再構成される．
4.1 圏
4.1.1 圏と関手
定義 4.1 圏 (category) C とは，•ある数学的対象のクラス∗1 Ob(C)，•任意の 2 つの元 X,Y ∈ Ob(C) に対して集合 HomC(X,Y )，ただし
X,X ′, Y, Y ′ ∈ Ob(C)に関してX �= X ′ または Y �= Y ′ ならば
HomC(X,Y ) ∩HomC(X ′, Y ′) = ∅,
•任意の元 X,Y, Z ∈ Ob(C) に対して写像
◦ : HomC(Y, Z)×HomC(X,Y )→ HomC(X,Z) (4.1)
が与えられていて以下の 2つの条件を満たすものである．
（結合律）: X,Y, Z,W ∈ Ob(C), f ∈ HomC(X,Y ), g ∈ HomC(Y, Z),
h ∈ HomC(Z,W ) に対して
h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f.
（恒等射の存在）: 任意の元 X ∈ Ob(C) に対して元 idX ∈ HomC(X,X) が存
∗1 クラス (class) とは適切な性質を持った数学的対象の集まりのことであって，集合はクラスであるが集合より「大きい」ものもクラスとして扱うことができる．圏論においてはすべての集合から成る圏 Set なども扱うが，すべての集合の集まりを集合とみなすと矛盾が起こることはラッセル (Russel)の逆理として有名である．本書ではこのような集合論的側面については深入りしない (cf. [39, I.6], etc.)．実際，本書で扱われる具体例などにおいてはそのような集合論的な問題は影響しない．
第 5 章
三角圏
三角圏の定義と基本的性質について述べた後，その典型例として加法圏 C のホモトピー圏K(C)の成す三角圏について議論し，さらにアーベル圏 C の導来圏D(C)が三角圏を成すことを確認する．5.5節では，三角圏のDG増強につい
て議論する．ホモトピー圏，導来圏など，通常我々が扱う三角圏は自然に DG
増強を持つ．DG増強を持つ三角圏に関しては，いくつかより強い性質が成り
立つ．5.6節，5.7節では三角圏における付加構造について議論する．これらは
難解な議論を含むが，これらの構造が第 6章において応用される．
5.1 三角圏
まず三角圏の定義を述べ，その後でその定義の意味について議論する．
5.1.1 三角圏と三角関手
三角圏は，完全三角構造を持つ加法圏として定義される．
定義 5.1 T を加法的自己同型関手 T : T → T を持つ加法圏とする．つまりT は T から T 自身への加法的同型関手（定義 4.13）である．対象X,Y, Z ∈ Tと射 u : X → Y , v : Y → Z, w : Z → T (X) の組
(X,Y, Z;u, v, w) := Xu→ Y
v→ Zw→ T (X)
を T における三角系列 (triangle) と呼ぶ．注意 5.2 名前の通り，三角系列 (X, Y, Z; u, v, w)は
Xu �� Y
v���������
Z
w (+1)
!!$$$$$$$,
Xu �� Y
v���������
Z
w
!!$$$$
などと表されることもある．（w : Z → T (X)の表示に注意．）
第 6 章
有限次元代数の表現論
体 K を固定し，K 上の有限次元代数のうち比較的性質のよいクラスのもの
の上の加群の成すアーベル圏と導来圏の構造について議論する．
6.1 有限次元代数とその上の加群
体K を固定し，ベクトル空間，代数はK 上で考える．
定義 6.1 体K 上の代数 Aは，AがK 上のベクトル空間として有限次元であ
るとき有限次元K 代数 (finite dimensional algebra) と呼ばれる．
例 6.2 K を成分とする n× n行列の空間Matn(K)，下三角行列の成す部分
K 代数（例 2.75）などは有限次元 K 代数である．多項式環 K[x]は有限次元
K 代数ではない．
Aを有限次元K代数とする．K代数は環であるので，代数Aに対する（右，左）
A加群を環A上のA加群として定めることができる．このときすべての有限生
成（右）A加群M はK ベクトル空間として有限次元となる．実際，M の生成
元を ξ1, . . . , ξn とするとM は自由 A加群 F := A⊕n からの全射 π : F → M
を持つ（命題 3.28）．F は有限次元であり π は線形全射であるのでM も有限
次元である．さらに，2つの有限生成（右）A加群M , N の間のA準同型写像
f : M → N に関して，Ker(f), Coker(f)は K ベクトル空間として有限次元
であり，そのK ベクトル空間としての基底を右加群の生成系としてとれるので
これらも有限生成である．つまりK 代数 A上の有限生成右 A加群の成す加法
圏mod−Aはアーベル圏を成す．mod−Aの構造はAが有限次元K 代数であ
れば簡単であるというわけではないが，mod−Aの構造が十分に理解できるような有限次元K 代数 Aのクラスがいくらか存在する．特に，次章以降では箙
の（関係式付き）道代数として得られる有限次元K 代数について議論する．こ
れらが基本代数と呼ばれるクラスの代数の具体的な記述を与えることが知られ
ている（定理 6.31）．関係する言葉の準備をしておく．
第 7 章
A∞圏と三角圏
A∞ 代数，A∞ 圏を導入した後，A∞ 圏から三角圏を構成する方法について
議論する．A∞ 圏は DG圏を特別な例として含み，この A∞ 圏からの三角圏
の構成法は A∞ 圏が DG圏の場合には 5.5節の DG圏からの三角圏の構成法
に帰着する．こうして A∞圏から得られる三角圏の持つ様々な性質について議
論する．
7.1 A∞代数
以降，体K を固定し，K 上ベクトル空間のことを単にベクトル空間と呼ぶ．
わかりにくければすべての議論においてK は標数ゼロ，特にK = Q,R,Cな
どとして考えても差し支えない．実際，我々の興味の対象もまずはそのような
場合にある．
7.1.1 A∞ 代数
次数付きベクトル空間 V に結合的な積構造が入ったものを（K 上）次数付き
（結合）代数という．これは，次数付き微分（結合）代数（Differential Graded
代数）の微分が自明な場合である．そして，DG代数は，一般に高次の積を含
む A∞ 代数の，高次の積が自明な場合である．
定義 7.1 Z次数付きベクトル空間 (graded vector space) とは，Zでラベル
付けられたベクトル空間 V r (r ∈ Z) の直和 ⊕r∈ZVr のことをいう．
以降，Z次数付きベクトル空間のことを単に次数付きベクトル空間と呼ぶ．
例えば，ベクトル空間の複体 {V i, di}i∈Zが与えられているとき，V := ⊕i∈ZVi
は次数付きベクトル空間である．この複体のコホモロジーの直和 ⊕i∈ZHi(V )
も次数付きベクトル空間である．
定義 7.2 V = ⊕i∈ZVi を次数付きベクトル空間とする．各 j ∈ Z に対し，
自然な単射 ιj : V j → V によって V j の元と ιj(V j) ⊂ V を同一視する．元
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201
索 引
ア安定ホモトピー圏 (stable homotopy category)
144
イデアル (ideal) 25
極大イデアル (maximal ideal) 26
素イデアル (prime ideal) 26
移入的 (injective)
右 R加群が— 61
移入分解 (injective resolution)
右 R加群の— 62
箙 (quiver) 146
オペラッド (operad) 7
A∞— 8
次数付き微分 (DG= differential graded)—
8
カ可逆元 (invertible element) 22
非可逆元 (non-invertible element) 22
核 (kernel) 45
アーベル圏の射の— 17, 74
加群 (module)
A∞ 代数圏の— 195
A∞ 代数上の— 190
左 R加群 (left R-module) 33
左 R部分加群 (left R-submodule) 34
右 R加群 (right R-module) 33
右 R部分加群 (right R-submodule) 34
加法群 (additive group = abelian group) 22
商加法群 (factor additive group) 24
部分加法群 (additive subgroup) 24
加法的関手 (additive functor) 73
カラビ ·ヤウ圏 (Calabi-Yau category) 140
環 (ring) 22
可換環 (commutative ring) 22
局所環 (local ring) 26
部分環 (sub-ring) 25
関係式 (relation)
箙の道代数の— 154
関手 (functor)
完全— (exact functor) 89
共変関手 (covariant functor) 65
三角関手 (triangle functor) 93
充満忠実関手 (faithful functor) 66
忠実関手 (faithful functor) 66
同型— 66
導来— (derived functor) 89
中山— 160
反変関手 (contravariant functor) 65
左完全 (left exact)— 89
右完全 (right exact)— 89
完全 (exact)
アーベル圏の複体が— 78
加法群の複体が— 47
完全三角系列の公理 (axiom of exact triangles)
91
完全列 (exact sequence) 47
短完全列 (short exact sequence) 47
基底 (basis)
自由加群の— 36
ベクトル空間の— 36
擬同型
擬同型射 (quasi-isomorphism) 81
基本代数 (basic algebra) 146
逆元 (inverse element) 22
既約射 (irreducible morphism) 168
逆写像 (inverse map) 19
逆像 (inverse image) 18
極小 (minimal)
—A∞ 圏 186
—A∞ 代数 178
極小模型
A∞ 圏の— 186
A∞ 代数の— 178
局所化 (localization) 28, 85
局所環 (local ring) 26
クイーバー (quiver) 146
組紐関係式 (braid relation) 136
クラス (class) 63
クルル・シュミット (Krull-Schmidt) 166
クロネッカー箙 (Kronecker quiver) 153
形式的 (formal) 180, 186
系列 (sequence)
加法群の— 46
加法圏における
i次の対象 76
加法圏における— 76
ゲージ同値 (gauge equivalent) 183
結合的 (associative) 173
圏 (category) 63
A∞ 圏 (A∞-category) 184
アーベル圏 (abelian category) 75
加法圏 (additive category) 71
逆圏 (opposite category) 66
充満部分圏 (full subcategory) 65
左直交 (left orthogonal) — 140
右直交 (right orthogonal) — 140
小圏 (small category) 64
部分圏 (subcategory) 65
原始直交冪等元分解 (primitive orthogonal idem-
potent decomposition) 146
懸垂 (suspension)
A∞ 圏の— 185
A∞ 代数の— 175
複体の— 57, 100
圏同値 (equivalent) 66
圏同値関手 (equivalence) 66
合成 (composition) 64
コシュール符号 (Koszul sign) 175
コホモロジー (cohomology) 46
コホモロジー的関手 (cohomological functor) 93
サ三角系列 (triangle) 90
三角圏 (triangulated category) 92
三角 A∞ 圏 (triangulated A∞-category)
187
三角 DG 圏 (triangulated DG-category)
128
充満三角部分圏
最小の— 99
充満三角部分圏 (full triangulated subcate-
gory) 99
三角圏同値 (triangulated equivalent) 93
三角構造 (exact triangle) 5, 92
次元 (dimension) 36
自己準同型環 (endomorphism ring) 72
自己準同型写像 (endomorphism)
右 R加法群の— 34
次数 (degree) 173
多重線形写像の— 173
次数付き圏 (graded category) 126
自然同値 (natural equivalence) 67
自然変換 (natural transformation) 67
始点 (starting point, source)
箙の関係式の— 154
箙の射の— 146
箙の道の— 147
シフト関手 (shift functor, translation functor)
92
射 (morphism) 64
箙の表現の間の— 150
恒等射 (identity morphism) 64
三角系列の— (morphism of triangles) 91
射影次元 (projective dimension) 86
射影的 (projective)
十分射影的 (enough projective) 85
対象が 85
右 R加群が— 60
射影分解 (projective resolution)
アーベル圏における— 85
長さ (length) 86
右 R加群の— 62
写像 (map, morphism)
A∞ 写像 (A∞-morphism) 177
A∞ 擬同型写像 (A∞-quasi-isomorphism)
203
178
A∞ 同型写像 (A∞-isomorphism) 178
擬同型— (quasi-isomorphism) 49
線形写像 (linear map) 37
複体の— 48, 76
写像錐 (mapping cone) 101
DG圏の— 95, 128
斜体 (division ring, skew field) 22
自由 (free) 35
集合族 (family of set) 20
終点 (ending point, target)
箙の関係式の— 154
箙の射の— 146
箙の道の— 147
順序付き箙 (ordered quiver) 149
準同型写像 (homomorphism) 23
加群の— 34
加法群の— 23
環準同型写像 (ring homomorphism) 24
余代数の間の— 177
商環 (ring of quotient, ring of fraction) 28
商集合 (quotient set) 19
剰余環 (factor ring) 26
スタシェフ多面体 (Stasheff polyhedron) 7, 13
斉次 (homogeneous) 173
生成系 (generator system) 35
三角圏の— 99
正則元 (unit) 22
セール関手 (Serre functor) 137
積 (product)
代数の— 173
積閉系 (multiplicative system) 82
積閉集合 (multiplicative set) 28
—の左分母条件 29
—の右分母条件 29
ゼロ系 (null system) 106
全射 (surjection) 18
（圏における）全射 (epimorphism) 69, 70
選択公理 (selection rule) 20
全単射 (bijection) 19
像 (image) 45
アーベル圏の射の— 17, 74
双線形形式 (bilinear form) 40
双線形写像 (bilinear map)
R双線形写像 42
タ体 (field) 22
代数的閉体 (algebraic closed field) 37
部分体 (sub-field) 27
対象 (object) 64
ゼロ対象 (zero object) 72
代数 (algebra) 43
A∞ 代数 (A∞-algebra) 174
次数付き— (graded algebra) 173
有限次元— 145
多元環 (algebra) 43
多重線形写像 (multilinear map) 43
n重線形写像 43
単位元 (unit)
A∞ 代数の— 174
単元 (unit) 22
単射 (injection) 18
（圏における）単射 (monomorphism) 69, 70
単純 (simple) 156
長完全列 (long exact sequence) 59
アーベル圏の— 82
頂点 (vertex)
箙の— 146
直既約 (indecomposable) 72, 167
直積 (direct product)
R加群の— 40
加法群の— 38
圏における— 70
集合の— 19
集合の無限直積 (infinite direct product) 20
ベクトル空間の— 40
直和 (direct sum) 38
R加群の— 40
加法群の— 38
圏における— 70
集合の— 19
ベクトル空間の— 40
直和因子 (direct summand) 40
加法群の— 38
対象の— 72
ベクトル空間の— 40
テンソル積 (tensor product) 40
テンソル代数 (tensor algebra) 44
同型 (isomorphic) 21
204 索 引
加法群の— 23
環の— 24
圏の— 66
三角系列の— 91
対象の— 15, 64
複体の— 49
ベクトル空間の— 37
右 R加群の— 34
関手の— (isomorphism of functors) 67
同型射 (isomorphism)
完全三角系列の— 91
対象の— 64
同型写像 (isomorphism)
加法群の— 23
複体の— 49
同値関係 (equivalence relation) 19
導来関手 (derived functor) 89
導来圏 (derived category) 85
ハバー構成 (bar construction) 175, 176
八面体公理 (octahedral axiom) 92
捻り複体 (twisted complex)
A∞ 圏の— 187
A∞圏の片側捻り複体 (one-sided twisted com-
plex) 187
DG圏の— 127
DG圏の片側捻り複体 (one-sided twisted com-
plex) 128
表現 (representation)
箙の— 150
表現可能 (representable) 68
標準的な射影 (canonical projection) 19
標数 (characteristic) 27
深谷圏 (Fukaya category) 9
複体 (complex)
加法群の— 46
加法圏における— 76
右 R加群の— 48
有界な (bounded) — 46, 76
複体の圏 (category of complexes) 76
フロベニウス圏 (Frobenius category) 144
分裂 (split) 53
冪等元 (idempotent) 146, 166
原始 (primitive)— 146
ベクトル空間 (vector space) 36
次数付き— (graded vector space) 172
蛇の補題 (snake lemma) 82
変異 (mutation)
左変異 (left mutation) 135
右変異 (right mutation) 135
飽和 (saturated) 141, 142
ポストニコフ系 (Postnikov system) 100
ホッジ分解 (Hodge decomposition) 179
ホモトピー結合代数 (homotopy associative alge-
bra) 9
ホモトピー圏 (homotopy category) 77
ホモトピー同値 (homotopy equivalent) 50, 77
A∞ ホモトピー同値 (A∞-homotopy equiva-
lent) 182
ホモトピー同値射 (homotopy equivalence) 77
ホモトピー同値写像 (homotopy equivalence) 50
A∞ ホモトピー同値写像 (A∞-homotopy
equivalence) 182
ホモトピック (homotopic) 49, 77
ゼロホモトピック (null homotopic) 77
ホモロジー次元 (homological dimension) 86
ホモロジー的摂動理論 (homological perturbation
theory) 120
ホモロジー的ミラー対称性 (homological mirror
symmetry) 1
マ右許容 (right admissible) 140
道 (path) 147
道代数 (path algebra) 147
関係式付き— (path algebra with relations)
154
モーラー ·カルタン方程式 (Maurer-Cartan equa-
tion) 127
A∞— 182
ヤ矢 (arrow) (箙の) 146
有限型 (finite type)
箙の— 146
—三角圏 133
有限集合 (finite set) 19
有限生成 (finitely generated) 35
誘導 (induce) 49
205
余核 (cokernel) 45
アーベル圏の射の— 74
余結合的 (coassociative) 175
余像 (coimage) 45
アーベル圏の射の— 75
余代数 (coalgebra) 175
余微分 (coderivation) 175
ラライプニッツ則 (Leibniz rule)
DG圏における— 126
DG代数の— 173
ループ (loop) 149
例外的生成系 (full exceptional collection) 133
例外的対象 (exceptional object) 133
例外的対象系 (exceptional collection) 133
連結準同型写像 (connecting homomorphism)
58
欧字5項補題 (five lemma) 82
AR箙 (AR-quiver) 169
A∞ オペラッド (A∞-operad) 8
A∞ 加群 (A∞-module) 190, 195
A∞ 関手 (A∞-functor) 185
A∞ 擬同型関手 (A∞-quasi-isomorphism) 186
A∞ 擬同型写像 (A∞-quasi-isomorphism) 178
A∞ 空間 (A∞-space) 7
A∞ 圏 (A∞-category) 184
極小 (minimal)— 186
恒等射を持つ (unital)— 185
三角 (triangulated) — 187
順序付き (directed)— 189
A∞ 写像 (A∞-morphism) 177
A∞ 増強 (A∞-enhancement) 14, 187
A∞ 代数 (A∞-algebra) 6, 174
極小 (minimal)— 178
弱 A∞ 代数 177
線形可縮 (linear contractible)な— 180
A∞ 同型写像 (A∞-isomorphism) 178
A∞ ホモトピック (A∞-homotopic) 181
A∞ホモトピー同値 (A∞-homotopy equivalent)
182
A∞ ホモトピー同値写像 (A∞-homotopy equiva-
lence) 182
A∞ モーラー · カルタン方程式 (A∞-Maurer-
Cartan equation) 182
—のモジュライ (moduli) 183
DG圏 (DG-category) 126, 185
三角 (triangulated) — 128
DG増強 (DG-enhancement) 14, 128
DG代数 (DG-algebra) 173, 174
Ext 88g.e.∼ 183h.e.∼ 50, 77
L∞ 代数 13n.e. 67
206 索 引
著者略歴
梶かじ浦うら宏ひろ成しげ
1974 年 岡山県生まれ2003 年 東京大学大学院数理科学研究科博士課程修了
数理科学博士（東京大学）2008 年 千葉大学大学院理学研究科准教授
現在に至る専門 代数的位相幾何学と数理物理学
臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ- 75
『数物系のための圏論 導来圏，三角圏，A∞ 圏を中心に』（電子版）
著 者 梶浦 宏成2016年 5 月 25日 初版発行 ISBN 978–4–7819–9913–5
この電子書籍は 2010年 7月 25日初版発行の同タイトルを底本としています．
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組版 ビーカム
![弦理論の代数的基礎...Manin[6] およびKashiwara–Schapira[16] を挙げておく． 2.1 圏 本書では，集合論の範疇で考えることのできる圏のみを扱う．](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/61170840ef4b1344e6422b15/cecc-manin6-kashiwaraaschapira16-oei.jpg)
