Shafts and Shaft Components

2103320 Des Mach Elem Mech. Eng. Department

Chulalongkorn University

Part 2 : Shaft Design for stress

Shaft Design for Stress

Critical locations: การคานวณความเคนในเพลาเพอออกแบบ ไมจาเปนตองทาทกจด

เลอกทาเฉพาะบางจดทคาดวาจะมความเคนมากทเรยกวา Critical locations เทานน

Critical locations การพจารณา

ผวนอกของเพลา

ตาแหนงทม torque มาก FBD

ตาแหนงทมคา bending moment มาก SFD, BMD คดทงสองระนาบ และรวมกน

แบบ vector

ตาแหนงทม stress concentration มาก ตาแหนงทเปนบาเพลา รองลม รอง

retaining ring

ความเคนในแนวแกนเนองจากชนสวนเชน helical gear, bevel gear มกจะมคานอย เมอเทยบ

กบ bending moment จงมกจะไมนามาคานวณ

Critical locations

Critical locations การพจารณา

ผวนอกของเพลา

ตาแหนงทม torque มาก FBD

ตาแหนงทมคา bending

moment มาก

SFD, BMD คดทงสองระนาบ

และรวมกนแบบ vector

ตาแหนงทม stress

concentration มาก

ตาแหนงทเปนบาเพลา รองลม

รอง retaining ring

z

y

x-z Plane

x-y Plane

Total bending moment

Torque

Fluctuating Stresses

เนองจาก bending moment ทตาแหนงใดตาแหนงหนงบน

เพลา จะเปลยนแปลงไปเมอเพลาหมน ดงนนความเคนทเกด

ในเพลาจงมลกษณะเปลยนแปลงเปนคาบกลบไป-กลบมา

2minmax σσσ +

=m

2minmax σσσ −

=aAlternating component

Midrange component

Amplitude ratio

Stress ratio max

min

σσ

=R

m

aAσσ

=

สมการขางตนอาจเปลยนความเคน σ เปนคาอนๆ เชน

Bending moment M หรอ Torque T ได

Shaft Stresses

ภาระทเพลารบมกจะมาจาก bending moment และแรงบด โดยแรงในแนวแกนมกจะมคานอย

ความเคนทเกดในเพลาหาไดจาก

IcMK a

fa =σ

JcTK a

fsa =τShear stress

Bending stress

IcMK m

fm =σ

JcTK m

fsm =τ

กรณเพลาตนกลม

3

32dMK a

fa πσ =

3

32dMK m

fm πσ =

3

16dTK a

fsa πτ =

3

16dTK m

fsm πτ =

m : midrange component

a : alternating component

Kf : fatigue stress-concentration factors for bending

Kfs : fatigue stress-concentration factors for torsion

Stress Concentrations (1)

เมอรปรางของเพลามการเปลยนแปลง เชนการทา Shoulders, holes, grooves จะเกด Stress

Concentration ขน ทาให Stress เพมมากขนในบรเวณทมการเปลยนแปลง

)1(1 −+= tf KqK

tK tsK

)1(1 shear −+= tsfs KqK

Stress concentration factor Kt (bending) and Kts (torsion) for round shaft with shoulder fillet

Stress Concentrations (2)

)1(1 −+= tf KqK

tK tsK

)1(1 shear −+= tsfs KqK

Stress concentration factor Kt (bending) and Kts (torsion) for grooved round bar

Stress Concentrations (3)

tKtsK

Stress concentration factor Kt (bending) and Kts

(torsion) of round shaft with flat-bottom groove

)1(1 −+= tf KqK )1(1 shear −+= tsfs KqK

Notch-sensitivity, q

Notch-sensitivity charts for steel and UNS

A92024-T wrought aluminum alloys

subjected to reversed bending or reversed

axial loads.

For larger notch radii, use the values of q

corresponding to the r = 0.16 in (4 mm)

ordinate.

คา Kt จากตารางกอนหนาเปนคาทคานวณไดทางทฤษฎ แตในความเปนจรง วสดตางชนดกนกม

ความไวตอการเปลยนแปลงรปราง (Notch-sensitivity, q) ไมเทากน ดงนนคาทใชคานวณจงปรบ

จาก Kt เปน Kf โดยความสมพนธ

)1(1 −+= tf KqK

Notch-sensitivity, qshear

)1(1 shear −+= tsfs KqK

คา Kts กตองปรบแกเปน Kfs เชนกน โดยใชคา Notch-sensitivity for shear, qshear

ดงแสดงดวยความสมพนธ

Notch-sensitivity charts for materials in

reverse torsion.

For larger notch radii, use the values of

qshear corresponding to the r = 0.16 in (4

mm).

Kt, Kts for the first iteration

• ในกรณทยงไมทราบขนาดของเพลาจะไมสามารถหาคา Stress-concentration factors ท

แนนอนได ในเบองตนอาจใชคาในตาราง (ซงเปนคาทมาก) เปนคาเรมตนในการคานวณกอน

• เมอคานวณไดขนาดเพลา จะตองปรบคา Kt และ Kts ใหถกตองตามจรง และคานวณซาเพอ

ตรวจสอบ

First Iteration Estimates for Stress-Concentration Factors Kt and Kts

Warning : These factors are only estimates for use when actual dimensions are not

yet determined. Do not use these once actual dimensions are available

Von Mises Stress

ความเคนเนองจากการดด และการบด จะถก

พจารณารวมกน เปน Von Mises stress

( )2/12

3

2

3

2/122 163

323

+

=+=′

dTK

dMK afsaf

aaa ππτσσ

( ) ( ) ( ) ( )[ ]222222 621

zxyzxyxzzyyx τττσσσσσσσ +++−+−+−=′

Von Mises stress เปนความเคนตวแทนซงเปนผลรวมของความเคนในทศทางตางๆ วสดจะ

เสยหายเมอ Von Mises stress มคามากกวา yield stress

Von Mises stress

( )2/12

3

2

3

2/122 163

323

+

=+=′

dTK

dMK mfsmf

mmm ππτσσ

xσxyτ

Torque Bending moment

0==== zxyzzy ττσσ แทนคาในสมการ Von Mises stress

Fatigue Failure Criteria

เนองจากความเคนในเพลามลกษณะเปนคาบ การพจารณาความเสยหายทอาจเกดขนจงตอง

พจารณาโดยใช Fatigue failure criteria ตวอยาง criteria ทสามารถเลอกใชได ไดแก

Fatigue failure criteria Equation

Soderberg

Modified-Goodman

Gerber

ASME-elliptic

nSS y

m

e

a 1=

′+

′ σσ

nSS ut

m

e

a 1=

′+

′ σσ

12

=

′+

′

ut

m

e

a

Sn

Sn σσ

122

=

′+

′

y

m

e

a

Sn

Sn σσ

: Alternating stress (von-mises)

: Midrange stress (von-mises)

Se : endurance limit

Sy : yield strength

Sut : tensile strength

n : factor of safety

aσ ′

mσ ′

จะเกดความเสยหายเมอ

คาทางดานซาย > คาดานขวา (n = 1)

หรอคานวณได n < 1

จะแสดงการ

คานวณภายหลง

Shaft diameter calculation (1)

เมอแทนคาความเคน Von-mises ลงใน Fatigue failure criteria จะไดสมการสาหรบคานวณหา

ขนาดเสนผานศนยกลางเพลาดงน

Modified-Goodman

=

′+

′nSS ut

m

e

a 1σσ

[ ] [ ]

+++=2/1222/122

3 )(3)(41)(3)(41161mfsmf

utafsaf

e

TKMKS

TKMKSdn π

เขยนในรปเสนผานศนยกลางจะได

[ ] [ ]3/1

2/1222/122 )(3)(41)(3)(4116

+++= mfsmfut

afsafe

TKMKS

TKMKS

ndπ

หากใช criteria อนๆ กสามารถทาไดเชนเดยวกน

Fatigue failure criteria Equation used to determine shaft diameter

Soderberg

Modified-Goodman

Gerber

ASME-elliptic

Shaft diameter calculation (2)

เมอแทนคาความเคน Von-mises ลงใน Fatigue failure criteria จะไดสมการสาหรบคานวณหา

ขนาดเสนผานศนยกลางเพลาดงน

[ ] [ ]3/1

2/1222/122 )(3)(41)(3)(4116

+++= mfsmfut

afsafe

TKMKS

TKMKS

ndπ

[ ] [ ]3/1

2/1222/122 )(3)(41)(3)(4116

+++= mfsmfy

afsafe

TKMKS

TKMKS

ndπ

3/12/122118

++=

ut

e

e ASBS

SnAd

π

[ ] 2/122 )(3)(4 afsaf TKMKA +=

[ ] 2/122 )(3)(4 mfsmf TKMKB +=

3/12/12222

343416

+

+

+

=

y

mfs

y

mf

e

afs

e

af

STK

SMK

STK

SMKnd

π

Checking for yielding

การตรวจสอบการ yield ทาไดโดยเปรยบเทยบคา Von-mises

ในกรณทมากทสด กบคา yield strength ของวสด

Von-Mises maximum stress

( )[ ]2/122 3τσσ +=′ ( ) ( )[ ] 2/122max 3 amam ττσσσ +++=′

2/12

3

2

3max

)(163

)(32

++

+=′

dTTK

dMMK amfsamf

ππσ

maxσ ′= y

y

SnYielding factor of safety

กรณเพลาหมนดวยภาระคงท (constant bending and torsion) จะได 0== am TM

The Endurance Limit (1)

Tensile strength, Sut : ความเคนสงสดทเกด

เมอทดสอบดงวสด

Fatigue strength, Sf : ความเคนททาใหวสด

แตกหก เมอไดรบความเคนกลบไป-กลบมา

จานวน N รอบ

Endurance limit, Se: ขดจากดความทนทาน

เมอวสดไดรบความเคนนอยกวาความเคนน จะ

ไมเกดความเสยหาย ไมวาจะรบความเคนไปก

รอบกตาม

เมอวสดไดรบภาระและมความเคนเปลยนแปลงเปนรอบกลบไป-กลบมา วสดจะมขดจากดท

จะรบความเคนไดนอยลง

The Endurance Limit (2)

=′eS0.5(Sut) Sut ≤ 200 kpsi (1400 MPa)

100 kpsi (700 MPa) Sut > 200 kpsi

700 Mpa Sut > 1400 MPa

เปนคา endurance limit จากการทดลอง ตองมการ

ปรบดวย factors ตางๆ เพอใหเหมาะสมในการใชงานจรง eS ′

Graph of endurance limits versus tensile

strengths from actual test results.

Endurance Limit Modifying Factors

efedcbae SkkkkkkS ′=

คา endurance limit ทไดจากการทดลอง ถกปรบแกโดย factors ตางๆ ดงสมการ

ka : surface condition modification factor

kb : size modification factor

kc : load modification factor

kd : temperature modification factor

ke : reliability factor

kf : miscellaneous-effects modification factor

: endurance limit at the critical

location of a machine part

: rotary-beam test specimen

endurance limit eS ′

eS

Surface factor, ka buta aSk =

ชนงานทดสอบจะมการขดอยางด ถาเปนชนงานทวไป

จะตองม Factor นเพมเขามา เพอชดเชยผลของสภาพผว

Size factor, kb

kb หาจากการทดลอง และสามารถคานวณไดจาก

=bk

mm 2545151.1mm 512.79 )62.7/(

in 102 91.0in 2 11.0 )3.0/(

157.0

107.0

157.0

107.0

≤<

≤≤

≤<

≤≤

−

−

−

−

dddd

dddd

สาหรบ axial loading จะไมม size effect, kb = 1

Modifying Factors, kb, kc, kd

Temperature factor, kd

เปนผลจากการเปลยนแปลง tensile strength เมอ

อณหภมเปลยนแปลงไป

41238-

253

)10(595.0)0.104(10

)10(115.0)10(432.0975.0

FF

FFd

TTTTk

−

−−

−+

−+=

เมอ 70 ≤ TF ≤ 1000°F

Loading factor, kc

Fatigue test ทากบ rotating bending load,

กรณ load ชนดอนจะตองมตวปรบแก

=ck1 : bending

0.85 : axial

0.59 : pure torsion

กรณ torsion + bending ใหใช kc = 1

RT

Td S

Sk =

Effect of operating temperature

on the tensile strength of steel.

ST = Tensile strength at operating temp.

SRT = Tensile strength at room temp.

Modifying Factors, ke, kf

Miscellaneous factor, kf

หากมปจจยอนทพจารณาแลววามผลตอการลดลงของ endurance limit นอกเหนอจากทกลาวมา

ขางตน เชน กระบวนการผลต การกดกรอน (corrosion) ความถของแรงกระทา ใหเพม kf เขาไป

กรณทไมมปจจยอนๆ ทมผล ใช kf = 1 (ไมคดคา kf)

Reliability factor, ke

เนองจากขอมลของ endurance limit มาจากการทดลอง ซงกมการกระจายตวของขอมลอย

factor นชวยชดเชยความไมแนนอนของขอมล

Reliability factor ke corresponding

to 8% standard deviation of the

endurance limit.

Deflection Considerations

• เมอเพลารบภาระในขณะทางาน จะเกดการโกงและบดขน

• การโกงและบดสามารถคานวณไดตามวธในหนงสอ Mechanics of Materials โดยทวไป

• เพอไมใหเกดปญหาในการทางาน มมดดและระยะโกงตวจะตองไมมากกวาคาทแสดงในตาราง

• มมบดของเพลาโดยทวไปมกจะไมเกน 0.3 องศา ตอความยาวเพลา 1 เมตร

• สาหรบเพลาทมมดด การโกงตว และมมบดมากกวาคาในตาราง จะตองเพมขนาดเพลา และทา

การคานวณซาเพอตรวจสอบใหมอกครง

Typical Maximum Ranges for Slopes and

Transverse Deflections

P = diametral pitch

= No. of teeth/ pitch diameter

Shaft Design Procedure (1)

• รบทราบขอมลการทางานไดแก ความเรวรอบการทางาน กาลง และ Torque ทตองการสงกาลง

• พจารณาชนสวนทประกอบบนเพลา และตาแหนงของชนสวนนนๆ

• พจารณาตาแหนงทจะจดวางแบรง

• ออกแบบรปรางเพลา shoulder, fillet และวธการจดยดชนสวนบนเพลา key, retaining ring,

lock nut

• เลอกวสด รวบรวมขอมลวสด Sut, Sy, Se

• รวมรวบขอมลแรงทเกดจากชนสวนทประกอบบนเพลา เขยน FBD (วเคราะหแรงบด) SFD และ

BMD (วเคราะหการโกง) และรวม Torque และ Bending moment ในระนาบตางๆ เขาดวยกน

• หาตาแหนงวกฤต (อาจมหลายตาแหนง) ไดแกตาแหนงท Torque หรอ Bending moment มาก

และเปนตาแหนงทเพลามการเปลยนรป เชน บาเพลา รองลม รอง retaining ring

Shaft Design Procedure (2)

• คานวณขนาดเพลาในตาแหนงวกฤต ปรบคา Kt, Kts ใหเหมาะสมตามจรง และคานวณซาเพอ

ตรวจสอบ

• ตรวจสอบประเดนอนๆ เชน มมดด ระยะโกง มมบด รวมถงความเรววกฤตของเพลา

• กาหนดรายละเอยดของเพลา ขนาดลม รอง retaining ring (ตองรขนาดเพลากอน)

• กาหนดคา tolerance และความเรยบผว โดยสวนทประกอบกบชนอนตองมความเรยบมาก

Example

Dimensions in inches

[Ex.16-2 Shigley’s Mechanical Engineering Design 9th Edition.

Richard G. Budynas and J. Keith Nisbett]

z

y

x-z Plane

x-y Plane

Total bending moment

Torque

คดจด I ซงม M สง และม shoulder

ทจดนจะได D5

ไมรขนาดเพลา จงตองสมมตคา Kt,

Kts โดยดจากตารางกอน

เลอกวสดและหาคา Sut, Se

เลอก criteria สาหรบคานวณความเสยหาย

คานวณขนาดเพลา

เลอกขนาดเพลา D5

กาหนดขนาดเพลา D4

กาหนดคา fillet radius

หาคา Kt, Kts ทตรงกบรปรางจรง

kb เปลยนตามรปราง จงคานวณใหม

หาคา Se ใหม

ตรวจสอบ stress ท D5 ทเลอก

หา factor of safety ตามเงอนไข

Goodman criterion

ตรวจสอบวาไมพงจากความลา

Check yielding

ตรวจสอบตาแหนงวกฤตอน ท

เสนผาศนยกลาง D5 ไดแกจดปลาย

รองลม

Safety factor ทรองลมมคานอย อาจแกโดยเพม diameter หรอเปลยนวสด

ในทนเปลยนวสด

เมอเปลยนวสด และคา Sut

จะตองคานวณคา ka และคา Kf ใหม

หาความเคน และ safety factor

ใหมอกครง

ตรวจสอบทจด K เพราะรองทมพนดานลางเรยบ (ใชประกอบ

กบ retaining ring) มกม stress concentration สง

ตรวจหาขนาดจรงของรอง retaining ring

หาคา Kt

คานวณความเคน และ safety factor

ตรวจสอบจด M ซงเปนบาเพลาของ

เพลาสวนทเลกทสด

กาหนดขนาด D7, fillet radius

แลวจงหา Safety factor