Upload
daz-loader
View
217
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
ANALISIS TEKNIK
KONVOLUSI. PERSAMAAN INTEGRAL BAB 6 BAGIAN 6.5
HALIM
P2201215004
6.5 KONVOLUSI. PERSAMAAN INTEGRAL
Konvolusi memiliki hubungan dengan perkalian transformasi. kita tahu bahwa
L(f + g) = L(f) + L(g).
Hasil dari suatu Transformasi umumnya berbeda dari hasil faktor yang telah ditransformasikan,
L(fg) ≠ L(f)L(g) Pada umumnya
Seperti ini diambil f = dan g = 1 kemudian
fg = ,
Tetapi L(f) = 1/(s - 1) dan L(1) = 1/s diperoleh
L(f)L(g) = 1/(
Menurut teorema berikutnya, jawaban yang benar bahwa L(f)L(g) adalah transformasi dari konvolusi dari f dan g, merupakan notasi standar f * g dan didefinisikan oleh integral
h(t) = (f * g)(t) = (1)
TEOREMA 1
Teorema Konvolusi
jika dua fungsi f dan g memenuhi asumsi pada adanya teorema pada Bab.6.1 sehingga transformasinya f dan g ditemukan, hasil dari H=FG ditransformasikan oleh h yang telah disepakati pada persamaan (1)
CONTOH 1 KONVOLUSI
Diketahui H(s)-1/[(s - a)s]. dicari h(t)
Penyelesaian 1/(s - a) mempunyai invers f(t) = dan 1/s mempunyai invers g(t) dengan f() = dan g(t - ) = 1 dengan demikian kita peroleh jawaban dari persamaan (1)
h(t) =
bila dicek, hitungH(s) = L(h)(s) =
CONTOH 2 KONVOLUSI
Diketahui H(s) = 1/(. Dicari h(t)
Penyelesaian invers dari 1/( adalah (sint)/ maka dari persamaan (1) dan rumus trigonometri pada persamaan (11) pada app 3.1 dengan x = dan y = kita peroleh
h(t) = = = =
Sesuai dengan rumus 21 pada tabel Bagian.6.9
Disini kita mengintegrasikan untuk menetapkan lebih t dari sampai ke dan kemudian lebih dari 0 sampai . Ini adalah daerah biru pada Gambar. 139. Menurut asumsi pada f dan g urutan integrasi dapat dibalik (lihat Referensi. [A5] untuk pembuktian menggunakan konvergensi seragam). kemudian kita mengintegrasikan lebih awal dari 0 sampai t dan selanjutnya t dari 0 sampai ∞ , yaitu,
F(s)G(s)
Pembuktian lengkapnya
Gambar. 139
Dari definisi tersebut selanjutnya kita segera mengetahui bahwa konvolusi memiliki sifat
f * g = g * f Hukum Komulatif
f * (g1 + g2) = f * g1 + f * g2 Hukum Distributif
(f * g) * = f * (g * ) Hukum Assosiatif
f * 0 = 0 * f = 0
CONTOH 3Sifat yang tidak biasa dari konvolusi
f = f * 1 ≠ f pada umumnya. Misalnya;
t * 1 =
(f * f) (t) 0 mungkin tidak ditentukan, misalnya pada contoh 2 dengan = 1 maka diperoleh,
sin t * sin t =
Gambar 140. contoh 3
CONTOH 4 RESPON DARI SISTEM GETARAN TEREDAM UNTUK GELOMBANG KUADRAT TUNGGAL
Menggunakan konvolusi. menentukan respon dari sistem massa-pegas teredam dimodelkan dengan
y” + 3y’ + 2y = r(t). , r(t) = 1 jika 1 < 1< t < 2 dan 0
sebaliknya, y(0) = y’(0) = 0.
PENYELESAIAN DENGAN KONVOLUSI.
Fungsi transfer dan inversnya (kebalikan) adalah
Q(s) = maka q(t) =
Maka integral konvolusi (3) adalah (kecuali untuk batas integrasi)y(t) =
=
=
Sekarang terdapat titik penting dalam penanganan konvolusi r() = 1 hanya jika 1 < < 2 maka jika t < 1, integralnya adalah nol. Jika 1 < t < 2, kita memperoleh integral dari = 1 (bukan 0) ke t hal ini menghasilkan (dengan dua tanda pertama dari batas atas)
y(t) =
=
Jika t > 2, kita peroleh integral dari = 1 hingga ke 2 (sampai ke t). Hal ini menghasilkan
y(t) =
PERSAMAAN INTEGRAL
Konvolusi juga membantu dalam memecahkan persamaan integral tertentu. yaitu, persamaan dimana fungsi y(t) tidak diketahui muncul dalam integral (dan mungkin juga diluar integral).
CONTOH 5
Sebuah Persamaan Integral Volterra Dari Jenis Kedua
Selesaikan persamaan integral Volterra dari jenis kedua
y(t) -
Penyelesaian. Dari persamaan (1) kita melihat bahwa persamaan yang diberikan dapat ditulis sebagai konvolusi. y - y * sin t = t. penulisan Y = L(y) dengan menerapkan teorema konvolusi, kita peroleh
Y(s) – Y(s)
Penyelesaiannya : Y(s) = dan diperoleh jawabannya y(t) = t +
CONTOH 6
Persamaan Integral Volterra Yang Lain Dari Jenis Kedua
Selesaikan persamaan integral volterra ini
Y(t)-
Penyelesaian. dengan (1) kita dapat menuliskan y - (1+ t) * y = 1 - sin t. dituliskan Y = L(y) kita peroleh dengan menggunakan teorema konvolusi dan kemudian menyamakan penyebutnya
Y(s)
maka Y(s)
dihapus pada kedua sisinya,
sehingga penyelesaian untuk Y yang disederhanakan
dan penyelesaiannya adalah y(t) = cosh t
» LAMPIRAN
TERIMA KASIH