Shrnutí z minula

• vazebné a nevazebné příspěvky• výpočetní problém

– cutoff, PME• PBC

• molekulová dynamika– řešením pohybových rovnic jsou polohy

atomů měnící se s časem– ze tvaru 2. Netwonova zákona je vidět, že toto

řešení je integrováním, potřebná síla se získá ze znalosti potenciálu

xddUxF

xddU

mdtxd

dtxdmamxF

1

2

2

2

2

známe-li potenciální energii (potenciál), pak síla v každém bodě je záporně vzatá derivace potenciálu

• trajektorie sama o sobě není nijak relevantní, MD je statisticko-mechanickou metodou

• MD generuje informaci na mikroskopické úrovni (atomové pozice, rychlosti), statistická mechanika je potřeba na převedení této mikroskopické informace na makroskopické veličiny (tlak, energie, tepelné kapacity apod.)

Kvantová mechanika

• malé rozměry• např. klasický model atomu ... kolem

kladně nabitého jádra obíhají elektrony ... nesmysl

Podstata světla

• Newton ... světlo je proud hmotných částic• Thomas Young, poč. 19. století ... vlnová

teorie světla– double slit experiment ukazuje difrakci světla

zdroj: http://en.wikipedia.org/wiki/Wave_theory_of_light#Wave_theory

Fotoelektrický jev

• To ale není pravda. Červené světlo, jakkoliv intenzivní, s kovem nic neudělá. Modré světlo, dokonce málo intenzivní, indukuje proud. A UV záření dokonce elektrony zcela vytrhne.

• Energie zjevně nezáleží na intenzitě, ale na frekvenci!• Tento efekt vysvětlil až Einstein – světlo není vlna, ale je tvořeno

malými balíčky energie (fotony), které se chovají jako částice.• Energie fotonu:

• Světlo dopadající na nabitý kov způsobuje, že se uvolňují elektrony (indukuje se proud, eventuelně se kov úplně vybíjí).

• Kdyby bylo světlo vlnění, tak by jeho energie musela záviset na amplitudě (intezitě). Tedy čím více bychom svítili, tím více by se kov vybíjel.

Nová látka

Kvantové podivnosti ?

• kvantová mechanika neskýtá přepych, že bychom si dokázali představit pohyb kvantové částice

• Newtonovská mechanika – deterministický pohled na svět

• kvantová mechanika – vnáší prvek neurčitosti– jak k tomu ale došlo???

Heisenbergův princip neurčitosti• klasičtí fyzikové se totiž mýlí ve své víře,

že je možné změřit polohu a zároveň rychlost částice s neomezenou přesností

• Planckova konstanta je děsně nízká – omezení přesnosti měření má zanedbatelný dopad v reálném světe

hpx

de Brogieho hmotné vlny

• veškerá hmota (nejen světlo) vykazuje vlnové chování

• de Broglieova vlnová délka je malá díky nízké hodnotě Planckovy konstanty

𝜆=h𝑝

Schrödingerova rovnice

• rozhodující průlom• byla uhádnuta, není možno ji odvodit !!• umožňuje vypočítat, jak se kvantové

pravděpodobnostní vlny pohybují• kvantová obdoba Newtonových

pohybových zákonů

HE ˆ

• Stav systému v klasické mechanice je plně popsán čím?– souřadnicemi částic– hybnostmi částic

Vlnová funkce

• plně popisuje vlastnosti každého systému• obecně je závislá na souřadnicích a čase

ψ(r,t)• její interpretace: |ψ(r,t)|2 je

pravděpodobnost výskytu částice v daném místě

=> musí být tedy normovaná, tj. součet přes všechny možné polohy musí být roven 1

Operátory• - Hamiltonův operátor• co je operátor?• operátor působí na funkci a vrátí novou

funkci

• vlastní hodnota a vlastní funkce operátoru– eigenvalue problem ... nalezení vlastní

hodnoty a vlastní funkce daného operátoru

– operátor , vlastní funkce ex, vlastní hodnota?

H

xfAxg ˆ

dxd

• vlnová funkce je vlastní funkcí a energie vlastní hodnotou Hamiltoniánu

• klasicky-mechanické kvantity jsou v kvantové mechanice charakterizovány operátory– např. energie ... Hamiltonián

• při měření vlastnosti dané operátorem se získá pouze jedna z vlastních hodnot

EH

Jak zkonstruovat operátor?

• poloha částice

• hybnost

qq

qip

ˆ

• operátor kinetické energie– klasická kinetická energie – operátor

• operátor potenciální energie

mpT2

21

mzyxmqmm

pT2222

1 2

222

2

2

22 ˆˆ

VV

• celková energie systému je součet kinetické a potenciální energie

VTH ˆˆˆ

m

T2

2ˆ VV

qVm

H 2

2ˆ

Exemplární primitivní případy

• částice v 1D, 3D

• harmonický oscilátor

• tuhý rotor

• atom vodíku

Částice v potenciálové jámě

0 a x

2

22

2

22

20

2 dxd

mE

dxd

mH

ˆ

• jedná se o diferenciální rovnici• jejím řešením je vlnová funkce ve tvaru

ψ = A * cos(E * x) + B * sin(E * x)

022 22

2

2

22

mEdxd

dxd

mE

2

22

8manhEn

vlnová funkce pravděpodobnost

2

2

8mah

2

2

84mah

2

2

89mah

Částice v 3D jámě

• stavy ψ211, ψ121, ψ112 mají stejnou energii, říkáme, že jsou degenerované

2

2222

8mannnh

E zyxn

Harmonický oscilátor

• model vibrace dvouatomové molekuly

m1m2

,,, 21021

nnEn

ZPVE

Rigidní rotor

• model rotace dvouatomové molekuly

,,, 21012

2

lllI

El

• vlnové funkce se nazývají sférické harmonické Yl

m, kde

• tzn. pro dané jedno , které nám určuje energii, máme tedy kolik m?

• energie je degenerovaná

,,, 1m