SIGNALI I SISTEMI - elektronika.elfak.ni.ac.rselektronika.elfak.ni.ac.rs/_FILES/goran.stancic/furije3.pdf · Zbirka zadataka NISˇ, 2014. 2. Sadrzajˇ 1 Furijeov red, spektar 5 Literatura

UNIVERZITET U NI SU

ELEKTRONSKI FAKULTET

SIGNALI I SISTEMI

Zbirka zadataka

NI S, 2014.

2

Sadrzaj

1 Furijeov red, spektar 5

Literatura 20

Indeks pojmova 21

3

4 Sadrzaj

1

Furijeov red, spektar

Zadatak 1. Izracunati koeficijente Furijeovog reda i nacrtati amplitudski i fazni spektarperi-odicnog signalag(t), osnovne periodeT = 12s, datog izrazom

g(t) =

{

8 za 0< t < 6s

0 za 6s< t < 12s.(1.1)

Resenje:

Frekvencija signala jef0 = 1/T = 1/12= 0.08333Hz, odnosno kruzna ucestanost ima vrednostw0 = 2π f0 = 2π/T = π/6 = 0.524rad/s.

Periodicni signali mogu biti predstavljeni Furijeovim redom

ga(t) =∞

∑k=−∞

Ckejnw0t (1.2)

cije koeficijente odred-ujemo na osnovu izraza

C0 =1T

∫ T

0g(t)dt =

1T

∫

−T/2T/2g(t)dt, zak = 0 (1.3)

i

Ck =1T

∫ T

0g(t)e− jkw0tdt =

1T

∫

−T/2T/2g(t)e− jkw0tdt, zak = 1,2,3, . . . (1.4)

U konkretnom slucaju se koeficijentC0 izracunava kao

C0 =112

∫ 12

0g(t)dt =

112

[

∫ 6

08dt+

∫ 12

60dt

]

=112

8t|60 =8(6−0)

12= 4 = 4ej0 (1.5)

i odgovara srednjoj vrednosti signalag(t) (DC komponenta (na frekvencijif = 0)).

KoeficijenteCk,k = 1,2, . . . izracunavamo iz izraza

5

6 1. Furijeov red, spektar

Ck =112

∫ 12

0g(t)e− jkw0tdt =

112

∫ 6

08e− jkπt/6dt

=23

∫ 6

0e− jkπt/6dt =

2·6−3 jkπ

e− jkπt/6|60 =4 j

− j2kπ[

e− jkπ6/6−e− jkπ0/6]

=4 jkπ

[

e− jkπ −1]

, k = 1,2,3, . . .

(1.6)

Na osnovu izraza (1.6) zakljucujemo da je

Ck =

0 za k = 2m(k parno)

−8 jkπ

za k = 2m+1(k neparno).(1.7)

s obzirom da jee− j(2m)π = 1 ae− j(2m+1)π = −1. Na osnovu ovog izraza se dobija da je

C1 = 0−2.5465j = 2.5465e− j π2

C2 = 0+ j0 = 0ej0

C3 = 0−0.8488j = 0.8488e− j π2

C4 = 0+ j0 = 0ej0

C5 = 0−0.5093j = 0.5093e− j π2

...

(1.8)

aC−1 = C∗

−1 = 0+2.5465j = 2.5465ej π2

C−2 = C∗−2 = 0+ j0 = 0ej0

C−3 = C∗−3 = 0+0.8488j = 0.8488ej π

2

C−4 = C∗−4 = 0+ j0 = 0ej0

C−5 = C∗−5 = 0+0.5093j = 0.5093ej π

2

...

(1.9)

gde je saC∗ obelezena konjugovano kompleksna vrednost konstanteC.

Amplitudski spektar signala datog izrazom (1.19) je prikazan na slici1.1.

Fazni spektar ovog signala prikazan je na slici1.2.

Jednakost periodicne kontinualne funkcije i njenog Furijeovog reda beskonacne duzine po-stoji samo u slucaju neprekidnih funkcija. Data funkcijag(t) je sa prekidima u trenucimat =. . . ,−8,−4,0,4,8,12,16,20, . . . , kada skokovito menja vrednost sa 8 na 0 i obrnuto,sto za posledicudaje Gibsov fenomen (otkriven od strane Henry Wilbraham-a prvi put godine 1848. a potom i odstrane Willard Gibbs-a 1899. godine po kome nosi naziv). Furijeov red (funkcija dobijena sumiran-jem jednosmerne komponente i harmonika) poseduje oscilatornu prirodu samaksimumom u okoliniprekida funkcijeg(t), koji se ne moze ukinuti a koji konvergira nekoj konacnoj vrednosti kada duzinareda neograniceno raste (k −→ ∞). Prakticno Furijeov red konacne duzine aproksimira periodicnufunkciju g(t), sto je za slucajN = 5 prikazano na slici1.3, tj.

7

−5 0 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

abs(

C)

Amplitudski spektar

k

k

Sl. 1.1: Amplitudski spektar pravougaonog signala datog izrazom (1.19).

−5 0 5−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

arg

(C)

Fazni spektar

k

k

Sl. 1.2: Fazni spektar pravougaonog signala datog izrazom (1.19).

ga(t) =5

∑k=−5

Ckejk π

6 t (1.10)

Furijeov red duzineN = 2 je prikazan na slici1.4.

Sa slika1.5 i 1.7 primecujemo da funkcijaga(t) poseduje maksimum u okolini tacke prekidafunkcijeg(t) cija je vrednost veca od 8.5.

Treba obratiti paznju da je na slici1.5 na x osi vreme u sekundama a na slici1.6 na x osi jeindeksk (redni broj koeficijenata Furijeovog redaCk cije se vrednosti modula mogu ocitati sayose). S obzirom daCk ukazuje na amplitudu kompleksne prostoperiodicne funkcije frekvencijekw0,moguce je nax osi za oznacavanje umesto rednog broja koristiti frekvenciju harmonika. Prakticnosve vrednosti nax osi treba samo pomnoziti saw0 cime se dobijaju vrednosti urad/s ili pomnozitisa f0 = 1/T poslecega bi vrednosti nax osi bile uHz.


−10 −5 0 5 10 15 20−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9Aproksimacija funkcije Furijeovim redom za N= 5

t

ga(t)

g a(t

)

g(t)

Sl. 1.3: Periodicna funkcijag(t) i njen Furijeov redga(t) duzineN = 5.

−10 −5 0 5 10 15 20−2

0

2

4

6

8


t

ga(t)

g a(t

)

g(t)

Sl. 1.4: Periodicna funkcijag(t) i njen Furijeov redga(t) duzineN = 2.

Za odred-ivanje koeficijenata Furijeovog reda je iskoriscen MATLABR© program, u kome je

potrebno na samom pocetku promeniti izraz za izracunavanje koeficijentaC0 (oznacenog sac0 uprogramu) i izraz kojim se izracunavaju koeficijentiCk, k = 1,2, . . .N (oznaceni sacc u programu),a ciji je kod prilozen u nastavku, kako bi se mogao iskoristiti za proizvoljnu funkcijug(t).

clear allclose all

9

−10 −5 0 5 10 15 20−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8


t

ga(t)

g a(t

)

g(t)

Sl. 1.5: Periodicna funkcijag(t) i njen Furijeov redga(t)duzineN = 2.

−10 −5 0 5 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

abs(

C)

Amplitudski spektar

k

k

Sl. 1.6: Amplitudski spektar zaN = 10.

−10 −5 0 5 10 15 20−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8


t

ga(t)g a(t

)

g(t)

Sl. 1.7: Periodicna funkcijag(t) i njen Furijeov redga(t)duzineN = 60.

−60 −40 −20 0 20 40 600

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

abs(

C)

Amplitudski spektark

k


syms tT=12 % perioda 12 sekundic0=(1/T)*int(8,t,0,6) % jednosmerna (DC) komponentaN=2 % broj koeficijenata koji odredjujemo (ne% racunajuci DC komponentu)- broj harmonikan=1:N;cc=(1/T)*int(8*exp(-j*n*2*pi*t/T),t,0,6) % izracunava koeficijentek=[c0 cc];% formira niz koeficijenata (C0, C1, ..., CN)k=double(k); % prelazi iz simbolike u realne vrednostikoef=[conj(fliplr(k(2:length(k)))) k]; % dodaje koefici jente sa% negativnim indeksom koji su konjugovane vrednostifigurestem([-N:N],abs(koef)) % amplitudski spektarxlabel(’n’)ylabel(’abs(C_n)’)title(’Amplitudski spektar’)


gridfigurestem([-N:N],angle(koef))xlabel(’n’)ylabel(’ arg(C_n)’)title(’Fazni spektar’)gridtt=0:0.01:20; % vremenska osa za slikutt=tt’;nn=-N:N;pom=tt*nn;pom=pom’;w0=2*pi/T; % ugaona ucestanost prvog harmonikaff=koef*exp(j*w0*pom);%ff=k(1)+k(2)*exp(j*2*pi*tt/T)+conj(k(2))*exp(-j*2* pi*tt/T)+k(4)*exp(3*j*2*pi*tt/T)+...figureplot(tt,ff,’r’,’LineWidth’,2)xlabel(’t’)ylabel(’f_a(t)’)aaa=num2str(N);title([’Aproksimacija funkcije Furijeovim redom zaN= ’,aaa])grid

Zadatak 2. Izracunati koeficijente Furijeovog reda i nacrtati amplitudski i fazni spektarperi-odicnog signalag(t), osnovne periodeT = 12s, datog izrazom

g2(t) =

{

4 za 0< t < 6s

−4 za 6s< t < 12s.(1.11)

Resenje: Zbog simetrije signala u odnosu nat osu, i identicnog trajnja dela signala kada jenjegova vrednost jednaka 4 i dela signala kada mu je vrednost-4, srednja vrednost signala jednaka jenuli tj. C0 = 0. Vazi da jeg2(t) = g(t)−4 (g(t) je funkcija iz zadatka 1.). Zbog toga se spektar signalarazlikuje po pitanju DC komponente a svi ostali harmonici imaju istu amplitudu kao u prethodnomzadatku,sto se moze uociti sa slike1.10.

Kompleksni Furijeov red

f (t) =∞

∑k=−∞

Ckejkw0t (1.12)

moze biti dat i preko realnih koeficijenata

f (t) =a0

2+

∞

∑k=1

[

ak cos(kw0t)+bk sin(kw0t)]

(1.13)

cime je prakticno predstavljen preko svog parnog i neparnog dela, s obzirom da je kosinus parna asinus neparna funkcija. Data funkcijag2(t) je naparna (simetricna u odnosu na koordinatni pocetak),

11

−10 −5 0 5 10 15 20−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4


t

g2a(t)g 2a(t

)

g2(t)

Sl. 1.9: Periodicna funkcijag2(t) i njen Furijeov redg2a(t)duzineN = 60.

−60 −40 −20 0 20 40 600

0.5

1

1.5

2

2.5

3

abs(

C)

Amplitudski spektar

k

k


tako da u izrazu1.13 nedostaju kosinusniclanovi, odnosnoak, k = 0,1,2, . . . su jenaki nuli. Sobziroma da je

ejα = cos(α)+ j sin(α)

u izrazu1.12koeficijentiCk bice cisto imaginarni brojevi, kako je pokazano izrazom1.20. Dakleako je data funkcija parna (simetricna u odnosu nay osu) Furijeov red (1.13) sadrzi samo kosinusneclanove, odnosno koeficijentiCk iz izraza (1.12) sucisto realni brojevi a ako je data funkcija neparna,postoje samo sinusniclanovi Furijeovog reda zbogcega su koeficijentiCk cisto imaginarni brojevi.Neke funkcije nisu ni parne ni neparne. Takve funkcije poseduju komponente i kosinusnog i sinusnogreda a koeficijentiCk su kompleksni brojevi (imaju i realni i imaginarni deo). Osim ove dve mogucesimetrije funkcija moze posedovati i polutalasnu simetriju, definisanu sa

f (t) = − f (t +T2

). (1.14)

Ovakve funkcije poseduju samo neparne harmonike odnosno za njih vazi da je

Ck 6= 0, za k = 2m+1

Ck = 0, za k = 2m(1.15)

S obzirom da funkcijag2(t) poseduje polutalasnu simetriju svi parni harmonici su jednaki nuli kakose uocava sa slike1.10. Treba naglasiti da funkcija moze biti ni parna ni neparna, kada su koeficijentiCk kompleksni brojevi, ali da istovremeno poseduje polutalasnu simetriju zbogcega su svi parniharnonici jednaki nuli.

Na primer, uvod-enjem vremenskog pomeraja odTpom= 2s, od funkcijeg(t) dobijamo funkcijug3(t) = g(t −Tpom) koja je prikazana na slici1.11.

Na istoj slici prikazana je funkcijag3a(t) dobijena skracivanjem Furijeovog reda na 11clanova(DC komponenta-C0 i prvih 10 harmonika). Kako je oblik funkcije identican funkcijig(t) (sastojise od dela trajanja 6s amplitude 8 i dela trajanja 6s amplitude 0, kao ig(t)) obe funkcije posedujuidentican amplitudski spektar,sto je prikazano na slici1.12. Razlika izmed-u funkcijag2(t) i g3(t)


−5 0 5 10 15 20−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8


t

g3a(t)

g 3a(t

)

g3(t)

Sl. 1.11: Periodicna funkcijag3(t), periodeT = 12s dobijena vremenskim pomeran-jem funkcijeg(t).

postoji i ona je uocljiva sa slike1.13jer je neophodno promeniti pocetne fazne stavove kosinusnih isinusnih funkcija kako bi se pojavilo vremensko kasnjenje od 2s.

−10 −5 0 5 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

abs(

C)

Amplitudski spektar

k

k

Sl. 1.12: Amplitudski spektar funkcijeg3(t) zaN = 10.

−10 −5 0 5 10−3

−2

−1

0

1

2

3

arg

(C)

Fazni spektar

k

k

Sl. 1.13: Fazni spektar zaN = 10.

Da pojasnimo kako do kasnjenja dolazi. Na slici1.14 je prikazano idealno kolo za kasnjenjesignala.

Prakticno je rec o pojacavacu cije pojacanje ne zavisi od frekvencije, odnosno pojacanje imavrednost

A = 1·e− jmw = e− jmw = |A|ej·arg(A). (1.16)

Na slici 1.15je prikazana amplitudska karakteristika pojacavaca. Kaosto vidimo, pojacanje ne

13

g(t) = ulaz izlaz= g3(t)A

Sl. 1.14:

zavisi od frekvencije i uvek ima jedinicnu vrednost (za|A| < 1 i |A| > 1 se ocuvava oblik signala, stim da amplituda signala opada, odnosno raste).

−6 −4 −2 0 2 4 61

1

1

1

1

1

1

1

w [rad/s]

|A|

Sl. 1.15: Amplitudska karakteristika idealnog pojacavaca.

−6 −4 −2 0 2 4 61

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

τ[s

]

w [rad/s]

Sl. 1.16: Grupno kasnjenje idealnog pojacavaca.

Na slici 1.17 je prikazana fazna karakteristika idealnog pojacavaca. Faza se dobija kaoarctanImag(A)

Real(A) i sva resenja su u opsegu(−π,π). Razmotavanjem faze, koje se u MATLABR© -u

realizuje naredbomunwrap , eliminisu se skokovi vrednosti 2π, poslecega se dobija kontinualnafazna funkcija prikazana na slici1.18.

Izvod faze po frekvenciji predstavlja grupno kasnjenje

τ(w) = −d{arg(A)}

dw= −(−m) = m (1.17)

koje se meri u sekundama. Grupno kasnjenje u opstem slucaju je funkcija frekvencije i ukazuje nato za koliko sekundi na izlazu pojacavaca zakasni signal frekvencijew u odnosu na ulazni signaliste frekvencije. Na slici1.16 je prikazano grupno kasnjenje zam= 2. Prethodno navedene faznekarakteristike takod-e odgovaraju slucajum= 2.

Karakteristika grupnog kasnjenja je kontinualna funkcija a u konkretnom slucaju treba primetitida je ulazni signal prikazan preko Furijeovog reda takav da ako ga sagledamo kao sumu prostoperi-odicnih funkcija, prisutan samo na frekvencijama 0,w0,2w0, . . . , pa nam je samo na tim frekvenci-jama od interesa kakva je vrednost grupnog kasnjenja. Ove karakteristicne vrednosti od interesa suna slici1.16oznacene kruzicima. Kaosto vidimo, sve komponente Furijeovog reda koje odgovarajuulaznom signalu bice zakasnjenje za tacno 2 sekunde.

Izlaz pojacavaca se dobija mnozenjem ulaznog signala i pojacanja, tj.


−6 −4 −2 0 2 4 6−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

w[rad/s]

arg

(A)[r

ad]

Sl. 1.17: ”Nerazmotana” fazna karakteristika idealnogpojacavaca.

−6 −4 −2 0 2 4 6−15

−10

−5

0

5

10

15

w [rad/s]

arg

(A)[r

ad]

Sl. 1.18: ”Razmotana” fazna karakteristika idealnogpojacavaca.

g3(t) = g(t) ·A =[

∞

∑k=−∞

Ckejkw0t] ·

[

1·e− jmw]

=∞

∑k=−∞

(Ck ·1)ejkw0te− jmw

=∞

∑k=−∞

Ckejkw0(t−m) = g(t −m)

(1.18)

odakle vidimo da je izlazni signal zakasnjena verzija ulaznog signala zam sekundi. Dakle, da biizlazni signal bio neizoblicen (da se ocuva njegov oblik) potrebno je da pojacanje bude konstantnona svim frekvencijama (jedinicnim pojacanjem se ocuvava i amplituda signala) a fazna karakteristikalinearno zavisna od frekvencije. Ova je osobina od krucijalane vaznosti u nekim oblastima prakticneprimene obrade signala, kaosto je prenos signala (komunikacija izmed-u dve tacke) gde je neophodnobez greske ustanoviti na prijemnoj strani kakav je signal bio na predajnoj strani.

Dakle, sa slike1.2 vidimo da ulazne komponente imaju fazu jednaku−π/2 zaw = (2k+ 1)w0

i fazu jednaku nuli zaw = 2kw0. Prolaskom signalag(t), datog jednacinom 1.19, kroz pojacavac,menja se fazni stav svih harmonika prisutnih u Furijeovom redu koji odgovara ovom signalu, a vre-dnosti za koliko se faza menja na kojoj frekvenciji se mogu ocitati sa grafika1.18i na frekvencijamakw0 su one obelezene kruzicima. Kako je faza data izrazom

ϕ(w) = arg(A) = −2w

zakljucujemo da su njene vrednosti na frekvencijamaw0,2w0, 3w0, 4w0, 5w0, 6w0, 7w0, 8w0,9w0 i 10w0 jednake -1.0472, -2.0944, -3.1416, -4.1888, -5.2360, -6.2832, -7.3304, -8.3776, -9.4248, i -10.4720, respektivno. Zato je faza signala frekvencijew0 na izlazu pojacavaca jednaka−π/2− 2w0 = −π/2− 1.0472= −2.6180(−π/2 je faza ulaznog signala na frekvencijiw0 kojojdodajemo uticaj pojacavaca na toj frekvenciji). Na frekvenciji 2w0 faza na izlazu ima vrednost0 (drugi harmonik ulaznog signala ne postoji i faza mu je jednaka nuli). Slicno na frekvenciji3w0 faza na izlazu ima vrednost−π/2− 2(3w0) = −π/2− 3.1416= −4.7124. Med-utim nared-bom angle u matlabu dobija se ”nerazmotana” faza. Kako su sinusna i kosinusna funkcija pe-riodicne sa periodom 2π potpuno isti izlazni signal se dobija i ako je faza -4.7124 rad i kada je-4.7124+2π = 1.5708rad, sto je prikazano na slici1.13.Na frekvenciji 4w0 faza izlaznog signala je0, jer na toj frekvenciji ne postoji signal ni na ulazu. Istim postupkom sena frekvencijama od 5w0

15

dobija faza−π/2−2(5w0) = −π/2−5.2360= −6.8068. Med-utim, MATLABR© uvek daje rezultat

u opsegu(−π,π) tako da je ”nerazmotana” vrednost faze jednaka−6.8068+ 2π = −0.5236, kaona slici1.13. Istim pristupom odred-ujemo vrednost ”nerazmotane” faze na frekvencijama od 6w0 do10w0 i dobijaju se vrednosti faze 0, -2.6180, 0, 1.5708, i 0, respektivno.

Zadatak 3. Izracunati koeficijente Furijeovog reda i nacrtati amplitudski i fazni spektarperi-odicnog signalag4(t), osnovne periodeT = 20ms, datog izrazom

g4(t) =

{

400t −2 za 0< t < 10ms

−400t +6 za 10ms< t < 20ms.(1.19)

Resenje:Frekvencija ulaznog signala iznosif = 1/T = 50Hz, odnosno ugaona ucestanost imavrednostw0 = 2π f = 100πrad/s. Da bi se mogao iskoristiti MATLAB

R© program prilozen u zadatku1., potrebno je modifikovati samo par linija koda na samom pocetku programa i ove instrukcija sadaglase:

T=20*10ˆ-3c0=(1/T)*(int(-2+t*400,t,0,10*10ˆ-3)+int(6-t*400,t, 10*10ˆ-3,20*10ˆ-3));

N=10 n=1:N;cc=(1/T)*(int((-2+t*400)*exp(-j*n*2*pi*t/T),t,0,10* 10ˆ-3)...+int((6-t*400)*exp(-j*n*2*pi*t/T),t,10*10ˆ-3,20*10ˆ -3));k=[c0 c];

Dobijeni amplitudski spektar je prikazan na slici1.19a odgovarajuci fazni spektar na slici1.20.

−10 −5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

k

|Ck|

Sl. 1.19: Amplitudski spektar signalag4(t).

−10 −5 0 5 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

k

arg

(Ck)

Sl. 1.20: Fazni spektar signalag4(t).

Ulazni signal je simterican u odnosu na vremensku osu i ima nultu srednju vrednost (C0 = 0),sto se vidi i sa slike1.19. Signalg4(t) je parna funkcija pa Furijeov red poseduje samo kosinusnired (bk = 0, k = 1,2, . . .)) zbogcega su kompleksni koeficijentiCk cisto realni brojevi i za prvih 10harmonika imaju vrednost


C1 = C∗−1 = −0.8106+ j0 = 0.8106e− jπ

C2 = C∗−2 = 0+ j0 = 0ej0

C3 = C∗−3 = −0.0901+ j0 = 0.0901e− jπ

C4 = C∗−4 = 0+ j0 = 0ej0

C5 = C∗−5 = −0.0324+ j0 = 0.0324e− jπ

C6 = C∗−6 = 0+ j0 = 0ej0

C7 = C∗−7 = −0.0165+ j0 = 0.0165e− jπ

C8 = C∗−8 = 0+ j0 = 0ej0

C9 = C∗−9 = −0.0100+ j0 = 0.0100e− jπ

C10 = C∗−10 = 0+ j0 = 0ej0

...

(1.20)

Na slici 1.20 je dat fazni spektar signalag4(t) dobijen naredbomangle u MATLABR© -u. Da

podsetimo, zbogcinjenice da je tan(x+2π) = tan(x) i da MATLABR© daje rezultate za fazu u opsegu

(−π,π), faza ima takav izgled. Kako je fazna katrakteristika neparna funkcija frekvencije potrebnoje oduzeti 2π za w < 0, ili izracunati samo fazu zaw > 0 i koristiti osobinu da je fazna funkcijaneparna funkcija, poslecega se dobija faza prikazana na slici1.21.

−10 −5 0 5 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

faz

k

Sl. 1.21: Fazni spektar signalag4(t).

Na slici 1.22 je prikazana funkcijag4(t) i njena aproksimacija Furijeovim redom duzine 11. Sobzirom da konstanteCk, k = 11,12, . . . imaju jako malu vrednost, sama funkcija i njen Furijeov redse jako dobro slazu.

Na slikama1.23i 1.24je prikazana funkcijag4(t) i njene aproksimacije Furijeovim redom duzineN = 2, odnosnoN = 50. Funkcijag4(t) poseduje polutalasnu simetriju, tako da i u ovom slucaju

17

−0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

[t[s]

g 4(t

)

g4a(t)g4(t)

Sl. 1.22: Funkcijag4(t) i njen Furijeov red duzine 11 (DC komponenta i prvih 10 harmonika).

nedostaju parni harmonici (|Ck| = 0 zak parno). Funkcijag4(t) je neprekidna funkcija, tako da zaN −→ ∞ postoji jednakost Funkcije i njenog Furijeovog reda, odnosno u ovom slucaju nije prisutanGibsov fenomen. Zato je greska aproksimacije funkcije sve manja kako raste duzina Furijeovog reda,sto je evidentno sa slika1.23i 1.24.

−0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

[t[s]

g 4(t

)

g4a(t)g4(t)

Sl. 1.23: Funkcijag4(t) i njen Furijeov red duzine 2 (DCkomponenta i prvi harmonik).

−0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

[t[s]

g 4(t

)

g4a(t)g4(t)

Sl. 1.24: Funkcijag4(t) i njen Furijeov red duzine 51 (DCkomponenta i prvih 50 harmonika).

Koeficijenti Furijeovog reda se izracunavaju na sledeci nacin.


Ck =1T

∫ T

0g4(t)e

− jkw0tdt =1

20·10−3

[

∫ 10·10−3

0(400t −2)e− jk100πtdt+

∫ 20·10−3

10·10−3(6−400t)e− jk100πtdt

]

= 50[

−2∫ 10·10−3

0e− jk100πtdt+6

∫ 20·10−3

10·10−3e− jk100πtdt

+400∫ 10·10−3

0te− jk100πtdt−400

∫ 20·10−3

10·10−3te− jk100πtdt

]

(1.21)

U izrazu1.21figurisu samo dva integrala (sa razlicitim granicama integraljenja) kojecemo resitiposebno.

I1 =∫

e− jk100πtdt =1

− j100kπe− j100kπt =

j100kπ

e− j100kπt (1.22)

Drugi integral se resava metodom parcijalne integracije

I2 =∫

te− jk100πtdt =∫

u dv= uv−∫

vdu (1.23)

gde je

u = t =⇒ du= dt

dv= e− jk100πtdt =⇒ v =j

100kπe− j100kπt

(1.24)

Dakle

Ck = 50[

−2I1|10·10−3

0 +6I1|20·10−3

10·10−3 +400I2|10·10−3

0 −400I2|20·10−3

10·10−3

]

(1.25)

gde je

I2 = tj

100kπe− j100kπt −

∫

j100kπ

e− j100kπtdu=jt

100kπe− j100kπt −

j− j1002k2π2e− j100kπt

=jt

100kπe− j100kπt +

1(100kπ)2e− j100kπt

(1.26)

na osnovucega je

Ck = 50[ −2 j

100kπ(e− j100kπ10−2

−e0)+6 j

100kπ(e− j100kπ2·10−2

−e− j100kπ10−2)

+400(j10−2

100kπe− j100kπ10−2

+1

(100kπ)2e− j100kπ10−2− (0+

1(100kπ)2))

−400(j2·10−2

100kπe− j100kπ2·10−2

+1

(100kπ)2e− j100kπ2·10−2

− (j ·10−2

100kπe− j100kπ10−2

+1

(100kπ)2e− j100kπ10−2))

]

(1.27)

na osnovucega je

19

Ck = 50[ − j

50kπ(e− jkπ −1)+

3 j50kπ

(e− j2kπ −e− jkπ)

+4(j

100kπe− jkπ +

1100(kπ)2e− jkπ −

1100(kπ)2)

−4(j

50kπe− j2kπ +

1100(kπ)2e− j2kπ −

j100kπ

e− jkπ −1

100(kπ)2e− jkπ))]

(1.28)

Ck =− jkπ

((−1)k−1)+3 jkπ

(1− (−1)k)+50j

25kπ(−1)k +

5025(kπ)2(−1)k−

5025(kπ)2

−100j25kπ

−50

25(kπ)2 +50j

25kπ(−1)k +

5025(kπ)2(−1)k

(1.29)

Zak neparno, tj.k = 2m−1, m= 1,2, . . . je (−1)k = −1 pa se dobija

Ck = C2m−1 =2 jkπ

+6 jkπ

−2 jkπ

−2

(kπ)2 −2

(kπ)2

−4 jkπ

−2

(kπ)2 −2 jkπ

−2

(kπ)2

=−8kπ2

(1.30)

Zak parno, tj.k = 2m, m= 1,2, . . . je (−1)k = 1 pa se dobija

Ck = C2m = 0 (1.31)

smenom u izraz1.29.


Literatura

21

Indeks pojmova

Gibsov fenomen,7

22

Documents

SIGNALI I SISTEMI - elektronika.elfak.ni.ac.rselektronika.elfak.ni.ac.rs/_FILES/goran.stancic/furije3.pdf · Zbirka zadataka NISˇ, 2014. 2. Sadrzajˇ 1 Furijeov red, spektar 5 Literatura