Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Glava 5
FURIJEOV RED
Prilikom analize i obrade signala veoma je pogodno predstaviti složeni signal kao linearnu kombinaciju prostijih signala. Osim što ovakva predstava daje bolji uvid u prirodu signala, slijedeći princip linearnosti, obradu složenog signala možemo pojednostaviti putem obrade jednostavnih signala.
Ideja razlaganja signala na prostoperiodične komponente eksponencijalnog (kosinusnog, sinusnog) oblika potiče s kraja 18. vijeka, kada je francuski matematičar, fizičar i istoričar Furije (Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830), prilikom proučavanja oscilacija u fizici, tvrdio da se periodične kontinualne funkcije mogu razložiti na prostoperiodične komponente. On je svoja istraživanja pokušao da publikuje 1807. godine, ali tadašnja matematička javnost ih nije prihvatila. Rezultate istraživanja je Furije objavio 1822. godine u svojoj knjizi o prostiranju toplote (Théorie analytique de la chaleur), ali je njegova teorija priznata tek nakon formalnih dokaza koje je proveo matematičar Dirihle (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859) 1829. godine. Nakon toga, Furijeova teorija je našla veoma široku primjenu u mnogim oblastima nauke: teoriji brojeva, kombinatorici, numeričkoj analizi, statistici, teoriji vjerovatnoće, kriptografiji, optici, akustici, okeanografiji, a posebno u analizi i obradi signala.
GLAVA 5
108
5.1 Razvoj kontinualnih periodičnih signala u Furijeov red
Pretpostavimo da možemo izvršiti dekompoziciju periodičnog kontinualnog signala ( )x t na jednostavne kompleksne eksponencijalne signale
0 ,jk tk kC e CΩ ∈ :
( ) 00
0
2, ,jk tk
k
x t C e kT
π∞Ω
=−∞
= Ω = ∈ . (5.1)
Pri tome je 0T osnovni period signala, a varijabla Ω ima prirodu učestanosti.
Ovakav zapis signala nazivamo razvojem signala u Furijeov red (Fourier Series – FS). Signali 0jk t
kC eΩ se nazivaju harmonijske komponente signala ili harmonici, a
razvoj signala u Furijeov red harmonijska analiza. Osnovni ili prvi harmonici su komponente 0
1j tC e± Ω
± Furijeovog reda, dok je 0C jednosmjerna komponenta i predstavlja srednju vrijednost signala.
Da bi jednakost (5.1) bila zadovoljena, neophodno je odrediti kompleksne koeficijente kC , koje nazivamo spektralni koeficijenti ili koeficijenti Furijeovog reda.
Nakon množenja jednakosti (5.1) sa 0 ,jl te l− Ω ∈ i integracije na jednom periodu dobijamo:
( )
( )
0 0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
0
0
.
t T t Tjl t jl t jk t
kkt t
t Tj k l t
kk t
x t e dt e C e dt
C e dt
+ + ∞− Ω − Ω Ω
=−∞
+∞− Ω
=−∞
= =
=
(5.2 )
Budući da je za k l≠
( )( )
( )
0 00 0 00
0 00
0t Tt T j k l t
j k l t
t t
ee dt
j k l
++ − Ω− Ω = =
− Ω , (5.3)
a za k l=
( )0 0 0 0
0 00
00 0
01t T t T
t Tj k l t
tt t
e dt dt t T+ +
+− Ω = ⋅ = = , (5.4)
Furijeov red
109
desna strana jednakosti (5.2) jednaka je nuli za svako k , osim za k l= , pa dobijamo:
( ) ( )0 0 0 0
00
0 0
0
t T t Tj k l tjl t
k lkt t
x t e dt C e dt C T+ +∞
− Ω− Ω
=−∞
= = , (5.5)
odakle slijedi:
( )0 0
0
00
1 ,t T
jk tk
t
C x t e dt kT
+− Ω= ∈ . (5.6)
Pošto je vrijednost integrala (5.6) jednaka na svakom periodu, radi lakšeg pisanja usvojićemo sljedeću notaciju pri računanju koeficijenata Furijeovog reda:
( ) 0
00
1 ,jk tk
T
C x t e dt kT
− Ω= ∈ . (5.7)
Sljedeće dvije jednakosti:
( ) 00
0
2,jk tk
k
x t C eT
π∞Ω
=−∞
= Ω = , (5.8)
( ) 0
00
1 ,jk tk
T
C x t e dt kT
− Ω= ∈ , (5.9)
predstavljaju Furijeov transformacioni par za kontinualne periodične signale. Prva jednakost transformacionog para, koja predstavlja periodičan kontinualan signal kao sumu elementarnih kompleksnih eksponencijalnih funkcija, je formula za sintezu signala, dok je druga jednakost, koja nam govori o vrijednostima koeficijenata Furijeovog reda kojima se množe elementarne kompleksne eksponencijalne funkcije prilikom sinteze signala, formula za analizu signala.
Skup od beskonačno mnogo spektralnih koeficijenata
{ }arg ,kj Ck kC C e k= ∈ koje nose informaciju o elementarnim funkcijama
oblika 0jk tkC e
Ω na koje se razlaže kontinualan periodični signal ( )x t , naziva se spektar signala. Spektar periodičnih signala je linijski (diskretan) jer je definisan samo u diskretnim, ekvidistantnim, tačkama 0kΩ = Ω frekvencijske ose.
GLLAVA
11
(a) (b
a sigpr
(pfupr
rajed
A 5
10
)
b)
Sli
M
arggnalrika
Apomunkcreko
Pozlikdna
ka
Mod
gumla. azan
mpmakucijao lin
osmkujuake
5.1
dul k
menNa
n je
plituu u
a čijnea
matru u
P
koe
nt kačine na
udnu vrjimarne
rajuko
koe
Prim
efic
koen ga Sli
ni sprem sue ko
ući onačefic
mjer
cijen
eficigrafici
pekmenuumirom
izrčnocijen
r (a
nata
ijenfičk5.1
ktaru) pran
mbin
raz om nte
a) am
a F
natake .
r nopoj
njemnaci
za bro
mp
Furij
a Fpre
osi edi
m seije t
anaojuFur
plitu
jeov
Furiedst
infnače dtrig
alizu izorije
udn
vog
ijeotav
formčnihobi
gon
u soloveovo
nog
g re
ovogve
mach elija pom
ignvanog
i (b
eda
g rspe
cijulempos
metr
nalanih
r
b) f
a Credaektr
u o mensmarijsk
a (5sin
reda
fazn
kC n
a θra
montarnatrakih
.9),ngula,
nog
naz
kθ =per
odunihani fun
, jaslari
je
g sp
ziva
arg=riod
ulimh ko
signkc
snoitetaer
pekt
amo
gCdičn
ma, ompgnalcija
o je a (p
na
tra
o am
kC nnih
a fplekl. Kpri
dapreka
per
mpl
nazko
faznksn
Konikaz
a pokidvr
riod
litud
zivaont
ni snih ncepzan
ostonih
rijed
dičn
dni
amotinu
spekekspt s je
oje h tadno
nog
spek
o faualn
ktarsposintna
sigčak
ost
g sig
kta
azninih
r onentezeSlic
gnalka),
i
gna
r sig
i spsig
fazncije sigci 5
li koa i
inte
ala.
igna
pektgna
zamjalngna
5.2.
oji imaegra
ala,
tar ala
ma nih ala
se aju ala
Furijeov red
111
( ) 0
00
1 ,jk tk
T
C x t e dt kT
− Ω= ∈ ne utiče konačan broj vrijednosti u izolovanim
tačkama.
Zbog kontinualnosti kompleksne eksponencijalne funkcije 0jk te Ω vrijedi da
je 0 0 0 0 0 0jk t jk t jk te e e− +Ω Ω Ω= = , pa dobijamo:
( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 00 0 02 2jk t jk t jk t
k k kk k k
x t x t C e C e C e x t− +
∞ ∞ ∞Ω Ω Ω− +
=−∞ =−∞ =−∞
+ = + = = . (5.10)
Rekonstrukcijom signala na osnovu koeficijenata Furijeovog reda u tačkama diskontinuiteta 0t rekonstruiše se srednja vrijednost:
( ) ( ) ( )0 0 012
x t x t x t− + = + . (5.11)
Dakle, originalni i rekonstruisani signal se mogu razlikovati u konačnom broju diskretnih tačaka.
Da bi razvoj signala u Furijeov red bio moguć, potrebno je da integral i suma, u jednakostima za analizu i sintezu signala, konvergiraju. Dovoljne uslove za egzistenciju razvoja signala u Furijeov red formulisao je njemački matematičar Dirihle, te se zato i nazivaju Dirihleovi uslovi. Prema tim uslovima, za egzistenciju Furijeovog reda neophodno je da signal:
1. bude apsolutno integrabilan na bilo kom otvorenom intervalu
trajanja jedne periode, tj. da je ( )0 0
0
t T
t
x t dt+
< ∞ ;
2. ima konačan broj minimuma i maksimuma na bilo kom otvorenom intervalu trajanja jedne periode 0 0 0t t t T< < + ;
3. ima konačan broj diskontinuiteta (prekida prvog reda) na bilo kom otvorenom intervalu trajanja jedne periode 0 0 0t t t T< < + .
GLLAVA
11
(a)
(b
(c)
(d
(e)
(f)
(g)
Sli
A 5
12
) je
b) si
) co
d) si
) co
) si
g) co
ika
Ko
dno
(in
(os
(in
(os
(n 3
(os
5.2
omp
osm
0tΩ
0tΩ
2Ω
2Ω
03Ω
3Ω
2 P
pon
mjer
)t
)t
)0tΩ
)0tΩ
)0t
)0tΩ
Prik(a) (na
nen
rna
kazjed
asta
te:
a
z sigdnoavak
gnaosmk na
ala pmjern
a sl
prekna ljed
ko kom
dećo
linempoj s
earnonetran
ne kentnici
komta i i);
mb(b-
inag) p
acijepro
e prosto
rostoper
topriod
peridičn
odine
ičnikom
ih fmp
funkone
kcient
ja: te
S
likaa 5..2 (na(l)
astaa+
avakb+
k):+c+
(h)d+
a; +e; (
(i) (m)
a+b) a+
b; (+b+
(j) a+c+
a+b+d+
b+c+e+
c; (k+f
k) ai (n
a+bn) a
b+ca+b
c+db+c
d; c+dd+ee+f
Fu
f+g.
rijeo
1
(
.
ov
113
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
red
GLLAVA
11
ko
in
D
jed
na
Dsvinprje Prdi
A 5
14
S
Uona
Uteg
Pririh
dno
a Sl
Pririh
vakitervrethko
remsko
Slik
slovačni
C
prgrab
rimhleo
og
lici
rimhleoi peval hodnst
ma onti
ka 5
v ai:
kC =
rakbiln
mjer ov
per
5.3
mjer ov uerio
jeddnogtant
toinui
5.3
apso
1T
=
ksi nost
siuslo
riod
3.
siuslo
od sdnag. Utna
omeitet
Sim
olut
00
1
TT
se ti, a
gnaov
da,
ignaov,signak U si d
e, ta.
inumini
tne
(x t
vrla ne
ala jer
je
ala pr
nalapolsvakdva
unu
soidimu
e in
)t e−
lo re isp
kor im
(x
korikaa polovikompututa
da uma
nteg
jk− Ω
rijepun
oji ma
( )t =
oji azanodij
vini m ota m
ar
proa i
grab
0tdtΩ
etkonjav
je bes
si=
je n jejeljpe
od manjed
omjma
biln
t ≤
o javaju
apsko
2n π
ape nen
eriotih nja dno
jenlaksi
nost
0
1T
avlju je
soluonač
0T
t
π
psola Sna
oda beu o
og
ljivemu
ti ga
0T
x
ajudan
utnčno0 ,0T
lutnSlici
besig
eskoodn
pe
e uuma
ara
( )x t
u sin ili
no o m
0 t<
no i 5.skognaonanosuerio
česa un
ntu
) je−
gnai ob
intmno
t T≤
int.4. onaala, ačnou nda
stannut
uje
0jk tΩ
ali ba p
egrogo
0 ;T
tegrPo
ačnoa
o mna v
si
nostar j
da
t dt
kojpreo
rabim
(x t
rabsmo msva
mnovrijeign
ti saedn
su
t =
ji iosta
ilaninim
)t =
ilanatra
mnoaki ogoednal
a bnog
svi
0
1
TT
ispuala
n, amu
(x=
n, aajućogo
nao innost
im
eskg pe
i čl
0T
x
unjaDi
ali ma
(t +
ali ći t intred
ntert u p
ma
konerio
lano
( )t
avarihl
ne a i m
nT+
netaj terv
dni rvalprebe
ačnoda
ovi
dt
aju leov
zama
)0 ,T
e zsignvaladv
la vethoesko
no ma.
Fu
< ∞
uslva
adoaksim
n∈
adonal a, tava pvrijeodnona
mn
urije
∞ .
lov usl
volmu
∈
ovovid
akoputednnomačn
nogo
eov
apova
ljavuma
, p
oljavdimo daa k
nostm inno
o
vog
(
psoa.
va da un
prik
va mo a jekraćt signter
mn
g red
(5.1
olutn
drunut
kaza
treda
e prći ognarvalnog
da
2)
ne
ugi tar
an
eći je
rvi od ala lu. go
5
Svsianre
vr
Iz
5.2
vi ignanalieala
rije
z je
Slik
preale.izi an,
edi d
edna
ka
Fu
etho. Ipkojza
da j
ako
5.4
uri
odnpak,ja skoe
je:
osti
S
ije
no , u slijeefic
(5.
Sign
ov
izvpra
edi cijen
.14)
nal
v re
vedeaksu o
nte
) i (
sa b
ed
eni si seovoFu
kC
C
C−
(5.1
bes
d re
izre nom urije
k =
*kC =
k− =
15)
kon
ea
razinajč
poeov
0
1T
0
1T
0
1T
=
jasn
nač
ln
i včešćoglavog
0T
x
0T
x
0T
x
no
čno
ih
rijeće ravljured
( )t
( )x t
( )x t
slij
dis
si
ede radiu uda:
jke−
jke Ω
) jke
edi
sko
gn
kai sauves
0k tdΩ
0t dΩ
0k tdΩ
da
ontin
nal
ako a resti
,dt
,dt k
,dt
a je:
nui
la
zaealntak
k∈
k∈
k∈
itet
a renimkvu
∈
,
∈
a u
ealn sigpr
,
.
nut
ne, gnaretp
tar
takalimpost
jed
ko ma, tavk
dno
i zpa ku.
g p
za kćemAk
perio
kommoko
Fu
oda
mplo st
je
rijeo
1
a.
leksogasign
(5.1
(5.1
(5.1
ov
115
sne a u nal
13)
14)
15)
red
GLAVA 5
116
*k kC C− = . (5.16)
Budući da je:
*k kC C= , (5.17)
*arg argk kC C= − , (5.18)
zaključujemo da je amplitudni spektar realnih signala parna, a fazni spektar neparna funkcija:
k kC C− = , (5.19)
arg argk kC C− = − . (5.20)
Uvedimo oznaku argk kCθ = . Zbog parnosti amplitudnog i neparnosti faznog spektra, realni dijelovi koeficijenata Furijeovog reda realnih signala:
{ }Re cosk k kC C θ= (5.21)
su parni, dok su imaginarni dijelovi koeficijenata Furijeovog reda realnih signala neparni:
{ }Im sink k kC C θ= . (5.22)
Na sličan način parnost i neparnost signala u vremenskom domenu utiče na koeficijente Furijeovog reda realnih signala. Pokazaćemo sada da su koeficijenti Furijeovog reda parnih realnih signala realni, dok su koeficijenti Furijeovog reda neparnih realnih signala čisto imaginarni.
Svaki signal može da se razloži na njegov parni ( ){ }x t i neparni ( ){ }x t
dio:
( ) ( ){ } ( ){ }x t x t x t= + . (5.23)
Znajući da je:
( ) ( ){ } ( ){ }x t x t x t− = − , (5.24)
parni i neparni dijelovi signala se mogu odrediti na osnovu sljedećih izraza:
Furijeov red
117
( ){ } ( ) ( )2
x t x tx t
+ −=
, (5.25)
( ){ } ( ) ( )2
x t x tx t
− −=
. (5.26)
Posmatrajmo sada koeficijente Furijeovog reda parnog i neparnog dijela signala:
( ){ } ( ){ } ( ) ( )0
0 00
1 cos sink kr ki
T
C x t x t k t j k t dt C jCT
= + Ω − Ω = + . (5.27)
Koeficijenti Furijeovog reda parnog dijela signala:
( ){ } ( ) ( ){ } ( )
( ){ } ( )
0 0
0 0
0
0
2 2
0 00 0
2 2
2
00
2
1 1cos sin
1 cos
T T
T T
T
T
x t k t dt j x t k t dtT T
x t k t dtT
− −
−
Ω − Ω =
= Ω
(5.28)
su realni, jer je integral neparne funkcije ( ){ } ( )0sinx t k tΩ na jednom periodu
jednak nuli, dok su koeficijenti Furijeovog reda neparnog dijela signala čisto imaginarni:
( ){ } ( ) ( ){ } ( )
( ){ } ( )
0 0
0 0
0
0
2 2
0 00 0
2 2
2
00
2
1 1cos sin
1 sin ,
T T
T T
T
T
x t k t dt j x t k t dtT T
j x t k t dtT
− −
−
Ω − Ω =
= − Ω
(5.29)
zbog toga što je integral neparne funkcije ( ){ } ( )0cosx t k tΩ na jednom
periodu jednak nuli. Stoga vrijedi da je:
GLAVA 5
118
( ){ } ( )0
2
00 0
2 cos
T
krC x t k t dtT
= Ω , (5.30)
( ){ } ( )0
2
00 0
2 sin
T
kiC j x t k t dtT
= − Ω , (5.31)
što znači da parni dio signala generiše realni dio Furijeovog reda, dok neparni dio signala generiše imaginarni dio Furijeovog reda.
5.3 Trigonometrijski oblik Furijeovog reda
Realne kontinualne periodične signale možemo, osim preko kompleksnog, predstaviti i preko trigonometrijskog oblika Furijeovog reda. Uz oznaku
kjk kC C e θ= , koristeći parnost amplitudnog (5.19) i neparnost faznog spektra
(5.20), dobijamo:
( )
( ) ( )
( )
0 0 0
0 0
0 0
1
01
01 1
01
0 01
2 cos .
k k
jk t jk t jk tk k k
k k k
jk t jk tk k
k k
j k t j k tk
k
k kk
x t C e C e C C e
C C e C e
C C e e
C C k t
θ θ
θ
∞ − ∞Ω Ω Ω
=−∞ =−∞ =
∞ ∞Ω − Ω
−= =
∞Ω + − Ω +
=
∞
=
= = + + =
= + +
= + + =
= + Ω +
(5.32)
Konačan trigonometrijski oblik Furijeovog reda je:
( ) ( )0 0 01
cos sink kk
x t a a k t b k t∞
=
= + Ω + Ω , (5.33)
gdje su koeficijenti u razvoju signala dati sa:
Furijeov red
119
0 0 ,
2 cos ,
2 sin .k k k
k k k
a C
a C
b C
θθ
==
= −
(5.34)
5.4 Parsevalova teorema za kontinualne periodične signale
Za proizvoljan kompleksan signal, trenutnu snagu definišemo sa ( ) ( ) ( ) ( )* 2
xp t x t x t x t= = . Srednja snaga periodičnog signala je jednaka
integralu trenutne snage na jednom periodu: ( )00
1x x
T
P p t dtT
= . Periodični
signali imaju beskonačnu energiju, ali konačnu srednju snagu:
( )0
2
0
1x
T
P x t dtT
= . (5.35)
Pri razvoju signala u Furijeov red spektralni koeficijenti nose potpunu informaciju o signalu, jer je na osnovu njih moguće tačno rekonstruisati signal, osim eventualno u konačno mnogo izolovanih tačaka. Znajući to, za očekivati je da srednju snagu signala možemo izračunati na osnovu njegovih spektralnih koeficijenata.
Polazeći od izraza za sintezu signala:
( ) 0jk tk
k
x t C e∞
Ω
=−∞
= (5.36)
i njegovog konjugovano kompleksnog oblika:
( ) 0* *k
jk t
k
x t C e∞
− Ω
=−∞
= (5.37)
slijedi:
GLAVA 5
120
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0
0 0 0
0
0
2 * *
0 0 0
2* *
0
1 1 1
1 .
k
k k
jk tx
kT T T
jk tk k
k k kT
P x t dt x t x t dt x t C e dtT T T
C x t e dt C C CT
∞− Ω
=−∞
∞ ∞ ∞− Ω
=−∞ =−∞ =−∞
= = = =
= = =
(5.38)
Konačno imamo:
( )0
2 2
0
1x k
kT
P x t dt CT
∞
=−∞
= = . (5.39)
Poslednja jednakost, koja se naziva Parsevalova teorema za periodične kontinualne signale, govori o održanju snage pri prelasku iz vremenskog u transformacioni (frekvencijski) domen, tako da srednju snagu signala možemo, osim u vremenskom domenu, računati sumirajući kvadrate koeficijenata amplitudnog spektra. Na osnovu Parsevalove teoreme, srednja snaga složenoperiodičnog signala je jednaka sumi snaga pojedinačnih harmonika.
Posmatrajmo prostoperiodični eksponencijalni signal ( ) 0jm tmx t C e Ω= .
Jednostavnim poređenjem sa (5.1) zaključujemo da svi koeficijenti kC Furijeovog reda, osim za k m= , moraju biti jednaki nuli. U spektru signala se pojavljuje samo jedna komponenta na učestanosti 0mΩ . Srednja snaga signala
je jednaka snazi te harmonijske komponente, 2mP C= .
Za realni prostoperiodični signal:
( ) ( )
( ) ( )
( )
0 0
0 0
02 cos2
1 ,2
m mj m t j m t
m m m
jm t jm tm m
e ex t C m t C
C e C e
θ θ
θΩ + − Ω +
Ω − Ω
+= Ω + = =
= +
(5.40)
u spektru signala se pojavljuju dvije komponente na učestanostima 0m± Ω ,
vrijednosti 2mC , gdje smo koristili oznaku mj
m mC C e θ= . Srednja snaga ovog
signala je jednaka:
2 2 21 12 2m m mP C C C= + = . (5.41)
o
nZfu
P
Rj
K
D
blik
azivZa runk
Prim
O
Rješe
P
Koe
Dist
ka
va realkcija
mjer
Odr
enje:
Pore
efici
trib
sign
speklnea. P
r 5.
redi
:
eđe
ijen
buci
nal
ktra sig
Prim
1:
iti i
enje
nti F
ija
a. S
alnagna
mjer
na
em
2π
Fur
sna
Sku
a guale r gu
crta
sa o
0Fπ
rijeo
Sl
age
up
ustinvri
usti
ati
opš
1=
ovo
lika
po
fre
na sijedine
spe
štim
00π
og r
a 5.5
o s
ekve
snagdi
spe
ekta
m ob
π
reda
5 P
spek
enc
ge, g
kC−
ekt
ar s
blik
0F
a su
Prim
ktra
cijsk
gust2
k =tra s
sign
kom
0F =
u da
mje
alni
kih
tina
C=sna
nala
m c
50H
ati
er s
im
ko
a spe2
kC
age
a (x
(cos
Hz
sa:
spek
ko
omp
ektr, šsign
( )t =
(2π
ktra
omp
pon
ra sštonal
co=
0F tπ
0T =
a sn
pon
nen
snagzn
a d
(os
)t ,
5=
nag
nen
nti
ge ilnačidat j
100
odr
10H
ge si
tam
{Cli ki daje n
0 tπ
red
z=
ign
ma
}2kC
kratka je
na S
) .
dim
20=
ala.
zav
}, k
ko e sSlici
o p
0ms
.
visi
k∈
spespeki 5.
peri
.
i od
ektaktar5.
iod
d v
se
ar snr s
sig
vrem
u
nagenag
gnal
Fu
men
lite
e sigge
la:
rijeo
1
nsk
erat
gnapar
(5.4
ov
121
kog
turi
ala. rna
42)
red
GLAVA 5
122
( ) 0
00
1 ,jk tk
T
C x t e dt k ZT
− Ω= ∈ , (5.43)
te je:
( )
( ) ( ) ( )
10ms100
10ms10ms
10ms
50Hz cos 100
50Hz cos 100 cos 100 sin 100 .
jk tkC t e dt
t k t j k t dt
ππ
π π π
−
−
−
= =
= −
(5.44)
Imaginarni dio podintegralne funkcije je neparna funkcija vremena, te je integral tog dijela na jednom periodu jednak nuli. Zbog toga je:
( ) ( )10ms
10ms
50Hz cos 100 cos 100kC t k t dtπ π−
= ⋅ . (5.45)
Ako se posmatra grafički prikaz proizvoda dvije kosinusoide učestanosti 0Ω i
0kΩ , (na Slici 5.6 je ilustracija za 4k = ), lako je uočiti da je površina ispod tog proizvoda na jednom periodu jednaka nuli, te je prethodni integral jednak nuli za svako k , osim za 1k = ± :
( ) ( )10ms 10ms
21
10ms 10ms
1 cos 2 10050Hz cos 100 50Hz
21 150Hz 20ms ,2 2
tC t dt dt
ππ±
− −
+ ⋅= = =
= ⋅ ⋅ =
(5.46)
jer je i integral kosinusoide učestanosti 02Ω na jednom periodu jednak nuli.
Dakle,
1 , 120, 1
k
kC
k
= ±= ≠ ±
. (5.47)
Amplitudni spektar datog prostoperiodičnog signala sa Slike 5.7(a) prikazan je na Slici 5.7(b). Signal je paran i realan, pa su njegovi koeficijenti Furijeovog reda realni, a amplitudni spektar paran. Fazni spektar je jednak nuli.
Sl
lika
a 5.6 Prouč(c)
oizvčest) pr
vodtanoroiz
d haostizvo
armi Ωd c
mon
0Ω ; (
cos
nijsk(b)
( 0Ω
kihpro
)0 ct
koosto
cos
ompope
(4Ω
ponerio
0tΩ
nenodič
) .
ti: (čni
(a) psign
pronal
ostouč
opečest
erioano
odičostični si 4Ω
sign
0Ω
Fu
nal i
rijeo
1
ov
123
(a)
(b)
(c)
red
GLLAVA
12
(a) (b
sig
po
uč
nu
A 5
24
)
b)
D
gna
omo
čest
uli,
Sli
Do
ala
oću
tano
osi
ika
ovo
(x
u Fu
ost
im z
5.7
og
( )t =
urij
Ω
za
7 (
rje
co=
jeov
0Ω =
k =
(a) P
ešen
(os
vog
2π=
1= ±
Pro
nja
100
g re
5π ⋅
1, k
osto
sm
0 tπ
eda
ra0s
kada
ope
mo
) =
(x
ads
,
a im
riod
mo2je
( )t =
te
maju
dič
ogli2 50π ⋅
k=
=
da
u vr
ni s
i d0
2
t +
C∞
=−∞
a su
rije
sign
doći
2
je−
kC e
u s
edno
nal
i je2 50π ⋅
0jke Ω
svi
ost
i (b
edn0t
0t .
ko
t 12
b) n
nost
sa
Tak
efic
.
njeg
tavn
a iz
ko
cijen
gov
nije
zraz
zak
nti
am
e, d
zom
klju
Fu
mpli
dire
m
učuj
urije
itud
ektn
za
jem
eov
dni
nim
sin
mo d
vog
spe
m p
nte
da j
g re
ekt
pore
zu
je o
eda
ar.
eđe
sig
osn
jed
enje
gna
novn
dna
em
ala
na
aki
P
Rj
a Ωksi
Prim
O
Rješe
O
spΩ =adaigna
mjer
Odr
enje:
Ovaj
pekkΩ
a imala
r 5.2
redi
:
j slo
ktra0Ω .
majdat
Sl
2:
iti i
ože
alneSviju t je
lika
na
eno
e ki kovrina
a 5.
crta
oper
komoefiijed Sli
8
ati
riod
mpoicije
dnoici 5
(a)
spe
dičn
onenentist 5.8.
Slo
ekta
ni s
ntei Fu0,5
. Fa
ože
ar s
sign
e siurij5 .azn
nop
sign
nal
igneovAm
ni sp
per
nala
je p
nala vogmplpek
riod
a (x
peri
sug relitu
ktar
dičn
( )t =
iod
u dda
udnije j
ni si
co=
dičan
defsu i sjedn
ign
osΩ
n s
finisjedpeknak
al i
0tΩ
a o
sandnakktark nu
(b)
c+
osno
ne ki nr duli.
) sp
os 2
ovn
za nulidato
pek
02Ω
nim
dii osog
ktar
0t +
m pe
iskrsim
slo
tog
co+
erio
retnza
ožen
g si
s5Ω
odo
ne k =
nop
igna
0tΩ
m
uče= ±peri
ala.
Fu
.
0T =
esta1,±iod
rijeo
1
2π=Ω
ano2,± ±
dičn
ov
125
0
πΩ
,
osti 5± ,
nog
(a)
(b)
red
GLLAVA
12
Pr
im
Rj
za
Za
A 5
26
rim
Ompu
ješen
K
a k
a k
mjer
Odreulsa
nje:
Koe
0≠
C
0k =
5.3
edita pri
efic
0 im
kC =
=
0 d
3:
ti iika
cijen
maju
0
2
A
T
A
T
=
=
dob
i nzan
nti F
u o
0
e
j
AT
T
−
−
ijam
C
nacrne n
S
Fur
C
oblik
0
sin
jk
jk
k
− Ω
Ω
mo
0C =
rtatina S
Slik
rijeo
kC =
k:
0
0
0
n
Tt
k
k
−Ω
ΩΩ
sre
0
1T
=
i kSlic
ka 5
ovo
0
1T
=
0
T
T
T
T
−
=
Ω
edn
0T
x
koei 5.
.9
og r
0T
x
0
A
T
T
=
=
nju v
( )x t
fici.9.
Po
red
( )x t
0
2
jke
A
T
vrij
) je−
ijen
ovo
da:
) je−
0
0
s
k T
j
T
Ω
edn
0jkΩ
nte
orka
0jk tΩ
sinc
T e
jk
−Ω
nos
tdt
Fu
a pr
tdt =
0
c
jke
k
−
Ω
Ω
st si
0k=
urije
rav
1T
=
0
0
T
T
Ω
Ω
ign
T=
eov
voug
0
1 T
TT −
2
2
=
=
ala:
0
1 T
T −
vog
gao
T
Ae
0
2
2
AT
AT
T
:
T
T
Ad
g re
onih
jke− Ω
0
si
T e
T
T
dt =
eda
h im
0tdΩ
inc
jke
j
k
Ω
2AT
=
a p
mpu
dt
0
2
2
T
j k
k π
Ω −
0
AT
T
ovo
ulsa
0
0
e
k
T
Tπ
−−Ω
.
ork
a.
0
0
0
.
jk
T
T
T
− Ω
ke p
0T
=
pra
=
avouuga
(
(
(
aon
(5.4
(5.4
(5.5
nih
48)
49)
50)
BmT
T
u
in
re
Budumož
0
T
T
čes
nače
eda
S
ući žem
rac
stan
e sp
a na
Slik
damo i
cion
nost
pek
a ko
ka 5
a jeih je
nala
tim
ktar
onti
5.10
e sedn
an
ma:
r ne
inu
0 Ki
signnos
br
ema
aln
Koeimp
nal tav
roj,
a nu
oj o
eficpuls
pavno
n
ule,
osi
cijensa s
ranpri
ule
kΩ
, a
Ω
nti sa S
n, nikaz
u
0TΩ
ako
, nu
FuSlik
njegzati
u sp
n=
o bi
ule
urijee 5
govi gr
pek
nπ
i se
te a
eov.9.
vi krafič
ktru
k
e na
anv
vog
koečki,
u s
0kΩ
acrt
velo
red
fici, ka
sign
0 =
tala
ope
da p
ijenao n
nala
n
T
π
a an
e bi
pov
nti na S
a s
π,
nvel
bil
vork
FurSlic
e p
lop
le z
ke p
rijeci 5
poj
a k
a Ω
prav
eovo.10
avl
koef
Ω =
vou
og . Po
ljuju
ficijn
T
π
uga
redod
u n
jenπ
.
aoni
da usl
na
ata
ih
su lovo
dis
Fu
Fu
reom
skr
urije
rijeo
1
ealnm da
etn
(5.5
eov
ov
127
ni i a je
nim
51)
vog
red
GLLAVA
12
Pr
nj
Am
Rj
O
K
do
A 5
28
rim
P
ego
mp
ješen
O
sno
Koef
ok j
mjer
Pron
ovo
plitu
nje:
Odn
ovn
ficij
je:
5.4
nać
om
uda
os
na u
jent
4:
ći sr
sp
im
pol
učes
ti F
kC
red
pekt
mpu
lovi
stan
Furi
2=
nju
tru
lsa
Sl
ine
nos
ijeo
2A
u sn
. P
je
lika
šir
st si
ovog
0
sTT
nagu
Peri
A =
a 5.
rine
igna
g re
sinc
u si
iod
1= .
11
e im
ala
eda
c kΩ
igna
d si
P
mpu
0
T
T
je:
Ω
a za
0TΩ
0C
ala
ign
Povo
ulsa
1=
0Ω =
a k
2T =
0 =
sa
nala
ork
i p
110
.
21 4
π=
0≠
2A
2A
Slik
je
ka p
peri
0
T
T
4π =
0 su
0
sTT
0
TAT
ke 5
e T
prav
oda
1=
8π=
:
sinc
15
=
5.1
0T =
vou
a si
110
.
π .
c 2k
15
.
1 sa14
=
ugao
gna
2 T
Tπ
adr
, a
onih
ala
0
T
T=
ržan
a š
h im
je:
15
=
nu u
širin
mp
sin
u d
na
ulsa
c5kπ
dijel
im
a.
5π ,
lu d
mpu
do p
ulsa
prv
2
ve n
2T =
(
(
(
(
nule120
=
(5.5
(5.5
(5.5
(5.5
e u 10
.
52)
53)
54)
55)
P
N
S
pkFp
Prva
Na S
U
red
5P
Prvihom
Furirilik
a nu
Slic
Uku
dnja
0
C=
=
≈
Primh p
mpojeokom
S
ula
ci 5.
upn
a sn
20
15
0,18
C +
mjetpet nenvog
m
Slik
u s
.12
a sr
P
naga
(2
2
8.
+
+
timko
nte g reko
ka 5
pek
pri
red
P =
a sa
( 21
2
C
mo doef
i eda
omp
5.12
ktru
ikaz
dnja
0
1T
=
adrž
2
15
C+
da jficijrek
a, dpres
2 K
u si
kΩ
zan
a sn
0T
x
žan
22
2
s
C
e pena
kondobisije
Koe
igna
0Ω =
ni su
naga
(x t
na u
sinc
C+
pribata struili b
e s
efic
ala
T
π=
u ko
a sig
) 2d
u ha
23
2c
C
π
+
ližnFu
uisabismsign
cijen
nas
π
oef
gna
dt =
arm
24
5
C
π
+
no urijeali monala
nti
stup
2kT
ficij
ala j
0
1T
=
mon
)24
s
=
+
90%eovsign
o pra,
Fu
pa z
0
2T
π
ent
je je
0
T
T−
nicim
sinc
=
% ovognal riblgdj
rije
za:
T
π=
ti F
edn
(x
ma
2c
od ug re
saižanje
eovo
T
π
Furij
nak
) 2t
do
25π
ukuedaamon ose
og
k
jeov
ka:
dt
prv
+
upna. Ao nobli, u
red
2T=
vog
4=
ve
sin+
ne sAkona oik sum
da s
0
2T
T=
g re
140
140
4−
nul
2nc
sredo bosnsign
mjes
sign
5=
eda
21 d
le u
35π
dnjebismnovnalato
nala
.
da
dt =
u sp
5π +
e snmo vu pa. O
ko
a sa
tog
0,2
pekt
si+
nagza
prvOvaom
Sli
g sig
2 .
tru
2inc
ge sianemvih a či
mple
ike
gna
sig
2 4
ignmape
injeetno
5.1
ala.
gnal
45π
nala rili t k
enicog
1.
la je
≈
sadsv
koefca s
sig
Fu
e:
≈
držve ficijse kgna
rijeo
1
(5.5
(5.5
(5.5
anoostjenkoriala
ov
129
56)
57)
58)
o u tale ataisti
u
red
GLAVA 5
130
vremenskom ili transformacionom domenu, memoriše i prenosi samo dio koeficijenata iz transformacionog domena koji nose najviše informacija o signalu.
5.5 Generalisani Furijeov red
Razvoj signala u Furijeov red predstavlja samo jedan od mogućih oblika predstavljanja signala preko elementarnih funkcija, pri čemu su te elementarne funkcije oblika ( ) 0 ,jk t
k t e kϕ Ω= ∈ . Osim preko kompleksnih eksponencijalnih funkcija različitih učestanosti, pokazaćemo da je razvoj signala moguć i preko drugih skupova ortogonalnih funkcija.
Posmatrajmo skup funkcija:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 0 1, , , , , ,k kt t t t tϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − . (5.59)
Ako su funkcije iz datog skupa, koje mogu biti i kompleksne, definisane na intervalu 1 2t t t≤ ≤ i takve da na tom intervalu postoji integral umnoška
( ) ( )*i jt tϕ ϕ bilo koje dvije funkcije iz tog skupa, kažemo da je dati skup
funkcija ortogonalan na intervalu 1 2t t t≤ ≤ ako vrijedi:
( ) ( )2
1
* 0,,
t
i j
t
i jt t dt
const i jϕ ϕ
≠= =
. (5.60)
Ako uz to vrijedi da je 1const = , tako da je:
( ) ( )2
1
* 0,1,
t
i j
t
i jt t dt
i jϕ ϕ
≠= =
, (5.61)
kažemo da je skup funkcija ortonormalan na intervalu 1 2t t t≤ ≤ .
Na primjer, prebrojiv skup kompleksnih eksponencijalnih funkcija:
{ }0 0 0 0, , ,1, , ,jk t j t j t jk te e e e− Ω − Ω Ω Ω , (5.62)
Furijeov red
131
na koje se vrši razvoj signala preko Furijeovog reda, je ortogonalan na intervalu
00
20 t Tπ≤ ≤ =
Ω i svakom drugom intervalu veličine osnovnog perioda 0T .
Za skup funkcija kažemo da je kompletan ako ne egzistira niti jedna funkcija ( )tψ van tog skupa za koju vrijedi da je ortogonalna na sve funkcije iz datog
skupa:
( ) ( ) ( )2
1
* 0, 0t
i i
t
t t dt tψ ϕ ϕ ψ= ∀ = . (5.63)
Na primjer, skup funkcija:
( ) ( )1, 1 , 1,2... ,
0,i
T Ti t i i N N
t N Nza druge vrijednosti t
ϕ − < < = ∈=
, (5.64)
je ortogonalan na intervalu 0 t T≤ ≤ , ali nije kompletan jer egzistira funkcija:
( )
11, 02
11,2
0,
Tt
NT T
t tN NT
t TN
ψ
≤ ≤= − ≤ ≤ ≤ ≤
, (5.65)
koja je ortogonalna na datom intervalu na sve funkcije iz datog skupa.
Razmotrimo sada mogućnost razvoja signala preko funkcija iz prebrojivog skupa ortogonalnih funkcija:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 0 1, , , , , ,k kt t t t tϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − . (5.66)
Pretpostavimo da signal možemo predstaviti težinskom sumom ovih funkcija:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 0 1 1k k k kx t c t c t c t c t c tϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − − −= + + + + + + + + (5.67)
Da bi to bilo moguće, potrebno je pronaći način za određivanje koeficijenata ,kc k∈ u navedenoj težinskoj sumi. S tim ciljem, pomnožimo
GLAVA 5
132
prethodnu jednakost sa funkcijom ( )*k tϕ i pronađimo integral na intervalu
1 2t t t≤ ≤ , na kom su funkcije iz navedenog skupa ortogonalne:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1
2 2 2
1 1 1
*
* * *1 1 1 1
t
k
t
t t t
k k k k k k k k k
t t t
x t t dt
c t t dt c t t dt c t t dt
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − + +
=
= + + + +
(5.68)
Zbog ortogonalnosti funkcija, svi integrali s desne strane jednakosti (5.68),
osim ( ) ( )2
1
*t
k k
t
t t dtϕ ϕ , su jednaki nuli, pa se vrijednosti koeficijenata u razvoju
(5.67) mogu odrediti na sljedeći način:
( ) ( )
( ) ( )
2
1
2
1
*
*
,
t
k
tk t
k k
t
x t t dt
c k
t t dt
ϕ
ϕ ϕ= ∈
. (5.69)
Razvoj signala preko ortogonalnih funkcija (5.67) nazivamo generalisani Furijeov red, a koeficijente tog razvoja (5.69) koeficijentima generalisanog Furijeovog reda. Specijalan slučaj ovog razvoja predstavlja razvoj preko kompleksnih eksponencijalnih funkcija ( ) 0 ,jk t
k t e kϕ Ω= ∈ , koje su
ortogonalne na intervalu 00
20 t Tπ≤ ≤ =
Ω. Koeficijenti kc su tada jednaki
koeficijentima Furijeovog reda:
( ) 0
00
1 ,jk tk k
T
c C x t e dt kT
− Ω= = ∈ , (5.70)
jer je:
( ) ( ) 0 0
0 0 0
*01jk t jk t
k k
T T T
t t dt e e dt dt Tϕ ϕ Ω − Ω= = ⋅ = , (5.71)
a razvoj signala preko ortogonalnih funkcija (5.67) postaje razvoj signala u Furijeov red:
Furijeov red
133
( ) 0 ,jk tk
k
x t C e k∞
Ω
=−∞
= ∈ . (5.72)
Svaka elementarna funkcija u Furijeovom redu je periodična sa osnovnim periodom 0T , pa prema tome i signal koji se razvija u Furijeov red kao zbir ovih elementarnih funkcija mora biti periodičan sa istim osnovnim periodom.
5.6 Prekinuti razvoj signala u Furijeov red
Ako se posmatra prekinuti razvoj signala u Furijeov red, uzimajući konačan broj članova Furijeovog reda u izrazu za sintezu signala (5.8):
( ) 0
Njk t
N kk N
x t C e Ω
=−
= , (5.73)
umjesto originalnog signala ( )x t , dobićemo aproksimaciju signala. Na Slici 5.13 prikazana je rekonstrukcija povorke pravougaonih impulsa na osnovu nekoliko prvih članova Furijeovog reda sa Slike 5.10. Na sličan način se definiše i prekinuti razvoj signala u generalisani Furijeov red:
( ) ( )N
N k kk N
x t c tϕ=−
= . (5.74)
Povećavajući broj članova Furijeovog reda, rekonstruisani signal postaje sve sličniji originalnom signalu, ali u rekonstruisanom signalu uvijek ostaju karakteristične oscilacije i premašenja čije se amplitude ne smanjuju, već se samo povećava njihova učestanost. Ova pojava nazvana je Gibsov fenomen i o njoj će biti više riječi u Glavi 6. Iako se razlika vrijednosti originalnog i rekonstruisanog signala ne smanjuje u svakom trenutku vremena zbog pojave Gibsovog fenomena, pokazaćemo da se sa povećanjem broja članova Furijeovog rada smanjuje srednjekvadratna greška definisana sa:
( ) ( )0
2
N N
T
J x t x t dt= − . (5.75)
GLLAVA
13
(a) (b (c) (d
Sli
A 5
34
)
b)
)
d)
ika 5.113 Apu
proFu
oksirije
imaeov
acijared
a pod: (a
ovoa) N
orkN =
e p1= ;
rav (b)
vou) N
ugaoN =
onih3 ;
h im(c)
mpuN
ulsa5=a pr5 i
reki(d)
kinuNutim
2=m ra25 .
azvooje
m
Furijeov red
135
Kada se broj članova razvoja u Furijeov red neograničeno povećava, srednjekvadratna greška teži ka nuli. Jednako vrijedi za razvoj preko bilo kog skupa ortogonalnih funkcija.
Dokaz:
Posmatrajmo aproksimaciju signala datu konačnom težinskom sumom ortogonalnih funkcija:
( ) ( )N
N k kk N
x t a tϕ=−
= . (5.76)
Definišimo mjeru pogreške koju činimo pri ovakvoj aproksimaciji signala kao srednjekvadratno odstupanje aproksimacije (5.76) od originalnog signala na intervalu ortogonalnosti funkcija:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
2
1
2
1
2
2 1
2
2 1
*
2 1
1
1
1 .
t
N
t
t N
i ii Nt
t N N
i i i ii N i Nt
J x t x t dtt t
x t a t dtt t
x t a t x t a t dtt t
ϕ
ϕ ϕ
=−
=− =−
= − =−
= − =−
= − ⋅ − −
(5.77)
Minimalna greška se dobija za takve vrijednosti koeficijenata ka u razvoju
signala pri kojima je 0k
J
a
∂ =∂
. Pri traženju izvoda iskoristićemo činjenicu da je
izvod konjugovano kompleksne funkcije jednak konjugovano kompleksnom izvodu te funkcije. Pored toga, prilikom određivanja izvoda sume ostaje samo izvod onog člana koji sadrži koeficijent po kom se računa izvod. Na taj način za izvod srednjekvadratne greške dobijamo:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1
2 2
1 1
*
2 1
**
2 1
1
1 .
t N N
i i i ii N i Nk kt
t tN N
k i i i i ki N i Nt t
Jx t a t x t a t dt
a t t a
t x t a t dt x t a t t dtt t
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
=− =−
=− =−
∂ ∂ = − ⋅ − = ∂ − ∂
= − ⋅ − + − ⋅ −
(5.78)
GLAVA 5
136
Integrali u prethodnom izrazu su međusobno konjugovano kompleksni, te je dovoljno jedan od njih izjednačiti s nulom kako bi izvod srednjekvadratne greške bio jednak nuli. Na taj način dolazimo do uslova pri kom se dobija najmanja srednjekvadratna greška:
( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 1
* *t t
k k k k
t t
x t t dt a t t dtϕ ϕ ϕ= . (5.79)
Ovaj uslov se, nakon operacije konjugovanja, može napisati u ekvivalentnom obliku:
( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 1
* * *t t
k k k k
t t
x t t dt a t t dtϕ ϕ ϕ= . (5.80)
Dakle, najmanja srednjekvadratna greška pri aproksimaciji signala se dobija ako su koeficijenti u težinskoj sumi jednaki koeficijentima generalisanog Furijeovog reda:
( ) ( )
( ) ( )
2
1
2
1
*
*
t
k
tk kt
k k
t
x t t dt
a c
t t dt
ϕ
ϕ ϕ= =
. (5.81)
U slučaju ovako odabranih koeficijenata pri aproksimaciji signala dobija se minimalna vrijednost srednjekvadratne greške, odnosno, greška koja se dobija pri aproksimaciji signala prekinutim generalisanim Furijeovim redom:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1
2 2
1 1
* *
2 1 2 1
* * * *
2 1 2 1
1 1
1 1 .
t tN
N k kk Nt t
t tN N
k k k k k kk N k Nt t
J x t x t dt c t x t dtt t t t
c x t t dt c c t t dtt t t t
ϕ
ϕ ϕ ϕ
=−
=− =−
= − −− −
− +− −
(5.82)
Pri tome je korišćena osobina ortogonalnosti funkcija. Ovaj izraz se može pojednostaviti uvrštavanjem uslova pri kome nastupa minimum:
Furijeov red
137
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1 1
2 2
1 1
2 * *
2 1 2 1
22* *
2 1 2 1
1 1
1 1 ,
t tN
N k k k kk Nt t
t tN N
k k k k k kk N k Nt t
J x t dt c c t t dtt t t t
c c t t dt c t dtt t t t
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
=−
=− =−
= − −− −
− +− −
(5.83)
što se svodi na:
( ) ( )2 2
1 1
2 22
2 1
1 t tN
N k kk Nt t
J x t dt c t dtt t
ϕ=−
= −
− . (5.84)
Budući da su elementi sume uvijek pozitivni, greška aproksimacije signala preko ortogonalnih funkcija NJ se smanjuje pri povećanju broja članova reda. Kada broj članova neograničeno raste, tj. kada N→∞ , srednjekvadratna greška aproksimacije teži ka nuli i tada vrijedi:
( ) ( )2 2
1 1
2 220t t
N k kkt t
J x t dt c t dtϕ∞
=−∞
= = . (5.85)
Za ( ) 0jk tk t eϕ Ω= integral ( )
2
1
2t
k
t
t dtϕ je na osnovnom periodu 0T jednak 0T , te
je poslednji izraz, zapravo, Parsevalova teorema ze periodične kontinualne signale:
( )0
2 2
0
1x k
kT
P x t dt CT
∞
=−∞
= = . (5.86)
Ovo razmatranje je u skladu sa ranijim primjerima kroz koje smo vidjeli da je najveći dio snage signala sadržan u prvih nekoliko harmonika Furijeovog reda i da se snaga signala, koja se računa preko Parsevalove teoreme, povećava i približava snazi originalnog signala dodavanjem članova iz spektra snage na višim učestanostima.
Napomenimo još jednom da ovaj vid konvergencije u normi pri aproksimaciji signala, koji nam govori o tome da se srednja snaga aproksimiranog signala povećava pri povećanju broja članova reda i približava srednjoj snazi originalnog signala, ne znači da aproksimirani signal u svakom
GLAVA 5
138
trenutku vremena teži originalnom signalu, te ovu vrstu konvergencije ne treba miješati sa tačkastom konvergencijom:
( ) ( )limN
k kN
k N
c t f tϕ→∞ =−
= . (5.87)
Prekinuti razvoj signala na ortogonalne funkcije ima veliku praktičnu primjenu u kompresiji signala i postao je dio JPEG, MP3 i MPEG standarda za kompresiju slike, audio i video signala.