Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
Signali i sustaviAuditorne vježbe 3.
Prirodan put razvoja ...
PrirodoslovljeInženjerstvo
Ekonomija
Matematika
Signali i sustaviSignali i sustaviSignali i sustaviSignali i sustavi
Ovdje to zovemo ...
Razna područja � Struja� Cijena
� Mikrofon� Pojačalo� ...
Matematika� Funkcija
� Operator� ...
SIS�Signal
�Sustav�...
2
Linearnost bezmemorijskihkontinuiranih sustava
Definicija 1.� Sustav y = f(x) je linearan ako je:
f(ax1 + bx2) = af(x1) + bf(x2) ∀ a, b, x1, x2 ∈R� Ako je svaki funkcijski blok sustava linearan i
sustav je linearan, tada kažemo da je sustav operacijski i strukturno linearan.
� Obrat ne vrijedi!
Linearnost bezmemorijskihkontinuiranih sustava
� Ako je sustav linearan ne mora biti sastavljen od linearnih funkcijskih blokova.
� Za takav sustav kažemo da je operacijskilinearan.
Primjer 1.
x y
y = x,f(ax1 + bx2) =
= ax1 + bx2 ,= af(x1) + bf(x2),
Sustav je linearan operacijski i strukturno.
3
Što je sa sustavima sa više ulaza?
Def. 2.� Sustav y = f(x1, x2) s više ulaza je linearan ako
je:f(aq1 + bp1, aq2 + bp2) = af(q1, q2) + bf(p1,p2).
Primjer 1.
x √y = f(x1, x2)
x1
x2
( )2
( )2
0,, 212122
21 ≥⋅=⋅= xxxxxxy
f (aq1 + bp1, aq2 + bp2) = (aq1 + bp1)(aq2 + bp2), (1)af (q1, q2) + bf (p1, p2) = aq1q2 + bp1p2, (2)(1) ≠ (2) Sustav nije linearan ni operacijski niti strukturno.
Primjer 2.
x y
x1
x2
2( )
2( )
log2( )
( ) ,22log 21221 xxy xx +=⋅=
.),( 2121 xxxxf +=
4
Primjer 2. - nastavak
f (aq1 + bp1, aq2 + bp2) == aq1 + bp1 + aq2 + bp2,= a (q1 + q2) + b (p1 + p2),= a f (q1, q2) + b f(p1, p2).
� Sustav je linearan i to operacijski, a ne strukturno.
Što je nužno za uspješno učenje?
Učitelj Studenti Ispit
Sustav SenzorAktuatorPobuda
Smetnja
Signali&
Sustavi
Pravila iz algebre funkcijskih blokova
g1 g2
Kaskada
≡ g2 g1
Paralela
g1
g2
+ ≡ g1 + g2
5
Pravila iz algebre funkcijskih blokova
g1
g2
+
Povratna veza
≡ g11 + g1 • g2 (1 + g1g2) ≠ 0
Točka račvanja udesno
gx1
x2
≡ g
g1
x2
x1
g ≠ 0
Pravila iz algebre funkcijskih blokova
gx1
x2
Točka račvanja ulijevo
≡ gx2x1
gx2
Točka sumacije udesno
g+x1
x2
g linearan
g
x2
x1
g
+≡
Pravila iz algebre funkcijskih blokova
g +
x2
x1
Točka sumacije ulijevo
≡ gx1
x2
+
g1
g linearan i∃ g-1
6
Primjer: Primjenom pravila sažeti blok dijagram
h1 ++ h2 h3
h4
h5
-
-
x y
1 pomak čvora (račvanje udesno)
2 kaskada
3pomak sumacije ulijevo
Primjer - nastavak
h1+ h2h3-
x y
h4h1
h5h3
- kaskada4
paralela
Primjer - nastavak
+ h1h2h3-
x y
h5h3
h4h1
+
6 povratna veza
h1h2h3
1 + h1h2h5 + h2h3h4
x y
7
Kako opisati realan proces
Kompleksnost sustava
Prec
izno
st m
odel
a
Matematičke jednadžbe
Model-free metode
Neizraziti modeli
Matematički modeli
Linearni sustavi Nelinearni sustavi
�Sustavi s koncentriranim parametrima�Sustavi s raspodijeljenim parametrima
�Kontinuirani sustavi�Vremenski diskretni sustavi
�Kauzalni sustavi�Nekauzalni sustavi
�Deterministički sustavi�Stohastički sustavi
�Stabilni sustavi�Nestabilni sustavi
�Vremenski promjenjivi sustavi�Vremenski nepromjenjivi sustavi
�Sustavi s koncentriranim parametrima
�Vremenski promjenjivi sustavi
�Kontinuirani sustavi�Vremenski diskretni sustavi
�Deterministički sustavi
�Kauzalni sustavi
�Stabilni sustavi�Nestabilni sustaviLinearni sustavi
Sustavi prvog reda
+- Ri
+
-uC
Rui =
dtdui C−=
C,0C
Rqu
dtduu ==+
)1(.0RC
=+dtdqq
1. Linearan vremenski nepromjenjiv sustav prvog reda
8
RCq
dtdq −=z
dqdt q
1RC
+- 1
C
uCqu =
dtq
dqRC1−= �
t
t0
)(RC1ln 0
0
ttqq −−=
0,00
0 ≥=qqt
tqq
RC1ln
0
−=
teqq RC
1
0
−=
q
t
1. Linearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda
1. Linearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda
)(? 00 tqq =
dtdetqq
t/)2()( RC
1
0
−=
)3(RC1)()()( RC
1
0RC1
0tt
etqedt
tdqdt
tdq −−��
���
�−+=
)1()3(),2( �
[ ]�
0)()()(RC1
0
RC1
0
000
RC1
=+−≠
−
=
− tte
dttdqtqtqe���
0)(0 =dt
tdq
K)(0 =tq
teqq RC
1
0
−=
1. Linearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda
Cqu =
teq RC
10
C−
=
C)0( 0
0qUu C ==
t
C eUu RC1
0
−=
9
A sada nešto sasvim drugačije iliipak ne?
� Za određeno dobro funkcija potražnje izgleda ovako:
� Za određeno dobro funkcija ponude izgleda ovako:
bPa −=dQ dPc +−=sQ
P
dQ
P
sQ
Koja je dinamika tržišne cijene, ravnotežna cijena?
Dinamički model tržišta
� Stopa promijene cijene (s obzirom na vrijeme) bilo u kojem trenutku izravno je proporcionalna višku potražnje ( ) koji u tom trenutku prevladava!
gdje je m - koeficijent prilagodbe.� Nakon uvrštavanja i laganog sređivanja dobiva se
Linearan vremenski nepromjenjiv sustav prvog reda!
sQ−dQ
),(dt sd QQmdP −=
),()(dt
camPdbmdP +=++
Dinamički model tržišta - nastavak
� Rješavanjem jednadžbe proizlazi
i zapisano malo drugačije,
gdje su i početna i ravnotežna cijena respektivno!
,)0()( )(
dbcae
dbcaPtP tdbm
+++��
���
�
++−= +−
[ ] ,)0()( PePPtP kt +−= −
P)0(P
10
2. Linearan vremenski promjenjiv sustav prvog reda
+Rc
)1(C0 ktc −=
0q)1(RC
1)1(0
=−
+�
ktdtdq
ktdt
qdq
−−=
1RC1
0
ktktd
kqdq
−−+=
1)1(
RC1
0
�t
t0
000 11ln
RC1ln
ktkt
kqq
−−=
00 =t
ktkq
q −= 1lnRC
1ln00
ktkt
qq k 1,1lnln 0RC
1
0
≤��
���
� −=
0> 0>
2. Linearan vremenski promjenjiv sustav prvog reda
u(t)
U0
1 2 3 4t
k=0,5
k=0,25
kktqq 0RC1
0 )1( −=1
RC1
0
1RC
1
0
0 00 )1(U)1(C
−−−=−== kk ktktq
cqu
1RC0 =
Domaća zadaća:
tm ωcos1CC 0
+=
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda
z
f(x)
xx.
v
Primjer 1.
� Neka je f(x) nelinearna funkcija, aproksimirana pravcima po odsječcima.
)(xfvvx
==�
Diferencijalna jednadžbakoja opisuje sustav:
0)( =− xfx�
11
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda
-2 -1 1 2x
1
-1
z
f(x)
xx.
v
Primjer 1. dtdxf(x)v ==
��
��
�
−≤−−<≥+−
=12112
xxxxxx
v
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda
x - stanje sustavadx/dt - brzina promjene stanjasign(dx/dt) - smjer promjene stanja
z
f(x)
xx.
v -2 -1 1 2x
1
-1
dtdxf(x)v ==
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda
Točke Xi za koje vrijedi da je:nazivaju se točke ravnoteže; u njima nema promjene stanja sustava!
-2 -1 1 2x
1
-1
dtdxf(x)v ==
z
f(x)
xx.
v
0== ixxdt
dx
12
-2 -1 1 2x
1
-1
dtdxf(x)v ==
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda
Koje su to točke?
A CBz
f(x)
xx.
v
0== vdtdx
��
��
�
=−−==+−
02002
xx
xsu točke ravnoteže
��
��
�
−===
202
A
B
C
xxx
-2 -1 1 2x
1
-1
dtdxf(x)v ==
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda
A CBz
f(x)
xx.
v
Jesu li točke ravnoteže stabilne?Što se događa ako x “malo” izvedemo iz A,B,C?
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda
� Točke xA, xC su stabilne točke.� Točke xB nije stabilna točka.
01 <> xxx e �
01 >< xxx e �
Točka ravnoteže xe je stabilna točka ako vrijedi:
13
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda
-2 -1 1 2x
1
-1
dtdxf(x)v ==
A CBx0
Kako će se mijenjati stanje sustava?Kuda će “putovati” točka x?
Udesno!
Početni uvjet x0 = 0,5
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda
-2 -1 1 2x
1
-1
dtdxf(x)v ==
A CBx0
Dva slučaja:
211
+−=≥=<
xxxxxx
�
�
početni uvjet za drugi slučaj (jednadžbu)t1 - trenutak dostizanja točke loma krivulje
1)( 1 =tx
Početni uvjet x0 = 0,5
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda
� Rješenje je jednako rješenju homogene jednadžbe (nema pobude).
1. slučaj: xx =�Homogena jednadžba: stex =
stst ese =1=s
tex C=C)0( 0 == xx
texx 0=
14
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda
2. slučaj: 22 =+≡+−= xxxx ��
Homogena: 0=+ xx�01 =+s
tH ex −= C
Partikularno: K=px2K =
Ukupno: 2C += −tex
Koliko je C? 2C1)( 1 +== −tetx
1C te−−=
i konačno:)( 12 ttex −−−=
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda
)(01
11 2)( ttt eextx −−−==
kada dostižemo točku loma??1 =t
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda
1
2
x
t0,7
x0 = 0,5
Grafički:
Točka loma(promjena dif. jednadžbe)
?1 =t
�
�����
���
�����
1
1
)(
5,001
0
11 2)( ttt eextx −−−==
15,0 1 =te
7,02ln1 ≈=t
Stabilno stanje (C):
15