PENARIKAN KESIMPULAN

Dalam membuktikan suatu dalil atau menurunkan suatu hasil dari kebenaran-kebenaran

yang diketahui digunakan pola argumentasi, yaitu dengan melakukan proses penarikan

kesimpulan/konklusi dari beberapa pernyataan yang diketahui yang disebut premis

dengan didasarkan atas prinsip-prinsip logika.

Suatu kesimpulan dikatakan sah bila premis-premisnya benar maka konklusinya juga

benar.

Secara umum, ada 3 cara penarikan kesimpulan dalam logika matematika:

1. Modus Ponen

Modus ponen adalah argumen yang berbentuk sebagai berikut:

𝒑 →q

𝒑

∴ 𝒒 konklusi

Jika 𝑝 → 𝑞 benar dan 𝑝 benar, maka 𝑞 benar

Contoh

a) Jika seorang anak rajin belajar, maka ia lulus ujian (B).

Ahmad adalah anak yang rajin belajar (B).

Ahmad lulus ujian (B).

premis

b) Jika n bilangan ganjil maka, 𝑛2 bilangan ganjil (B).

3 bilangan ganjil (B).

32 bilangan ganjil (B).

c) Jika Budi seorang pegawai maka ia mendapat gaji bulanan (B).

Budi seorang pegawai (B).

Ia mendapat gaji bulanan (B).

Untuk menguji sah atau tidak penarikan kesimpulan secara modus ponen dapat

digunakan tabel kebenaran.

2. Modus Tolens

Modus tolens adalah argumen yang berbentuk sebagai berikut:

𝒑 →q

𝒒

∴ 𝒑 konklusi

Jika 𝑝 → 𝑞 benar dan 𝑞 benar, maka 𝑝 benar

Contoh

a) Jika hari minggu, maka Budi bertamasya (B)

Budi tidak bertamasya (B)

Bukan hari minggu (B)

premis

b) Jika ABCD belahketupat, maka AC tegak lurus BD (B)

AC tidak tegak lurus BD (B)

ABCD bukan belahketupat (B)

c) Jika ia seorang pegawai maka ia mendapat gaji bulanan (B)

Budi tidak mendapat gaji bulanan (B)

Budi bukan seorang pegawai (B)

3. Silogisme

Silogisme adalah argumen yang berbentuk sebagai berikut:

𝒑 →q

𝒒 → 𝒓

∴ 𝒑 → 𝒓 konklusi

Jika 𝑝 → 𝑞 benar dan 𝑞 → 𝑟 benar, maka 𝑝 → 𝑟 benar

premis

Contoh

a) Jika Budi rajin belajar, maka ia naik kelas (B)

Jika ia naik kelas, maka akan dibelikan sepeda (B)

Jika Budi rajin belajar, maka akan dibelikan sepeda (B)

b) Jika n bilangan ganjil, maka 𝑛2 bilangan ganjl (B)

Jika 𝑛2 bilangan ganjil, maka 𝑛2 + 1 bilangan genap (B)

Jika n bilangan ganjil maka 𝑛2 + 1 bilangan genap (B)

c) Jika 𝑥 > 𝑦 maka 𝑥 + 1 > 𝑦 + 1 (B)

Jika 𝑥 + 1 > 𝑦 + 1, maka −𝑥 < −𝑦 (B)

Jika 𝑥 > 𝑦 maka −𝑥 < −𝑦 (B)

ARGUMEN

1. Buktikan validitas/ invaliditas argumen berikut!

Jika n habis dibagi oleh 3, maka 𝑛2 habis dibagi oleh 9.

𝑛2 tidak habis dibagi oleh 9.

Maka dapat disimpulkan bahwa n tidak habis dibagi oleh 3.

Jawab:

Misalkan:

p = n habis dibagi oleh 3

q = 𝑛2 habis dibagi oleh 9

Bentuk argumen:

𝑝 → 𝑞 ∧ 𝑞 → 𝑝

Uji validitas/ invaliditas:

Tabel Kebenaran

p q 𝑝 𝑞 𝑝 → 𝑞 𝑝 → 𝑞 ∧ 𝑞 𝑝 → 𝑞 ∧ 𝑞 → 𝑝

B B S S B S B

B S S B S S B

S B B S B S B

S S B B B B B

∴ Terbukti bahwa argumen merupakan tautologi, maka argumen valid.

Bukti Formal Kesahan Argumen

𝑝 → 𝑞 ∧ 𝑞 → 𝑝 , dapat dibentuk:

𝑝 → 𝑞

𝑞

∴ 𝑝

∴ Memenuhi bentuk Modus Tolens, sehingga argumen valid.

2. Buktikan validitas/ invaliditas argumen berikut!

Jasmine pergi piknik atau hari ini tidak cerah.

Hari ini cerah atau Barty menonton televisi.

Jadi, Jasmine pergi piknik atau Barty menonton televisi.

Jawab:

Misalkan:

p = Jasmine pergi piknik

q = Hari ini cerah

r = Barty menonton televisi

Bentuk argumen:

𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑞 ∨ 𝑟 → 𝑝 ∨ 𝑟

Uji validitas/ invaliditas:

Tabel Kebenaran

p q 𝑟 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 𝑞 ∨ 𝑟 𝑝 ∨ 𝑟 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑞 ∨ 𝑟 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑞 ∨ 𝑟 → 𝑝 ∨ 𝑟

B B B S B B B B B

B B S S B B B B B

B S B B B B B B B

B S S B B S B S B

S B B S S B B S B

S B S S S B S S B

S S B B B B B B B

S S S B B S S S B

∴ Terbukti bahwa argumen merupakan tautologi, maka argumen valid.

3. Buktikan validitas/ invaliditas argumen berikut!

Jika saya belajar, maka saya mendapat nilai baik.

Jika saya tidak belajar, maka dapat bersenang-senang.

Jadi, saya akan mendapat nilai baik atau saya akan bersenang-senang.

Jawab:

Misalkan:

p = Saya belajar

q = Saya mendapat nilai baik

r = Saya akan bersenang-senang

Bentuk argumen:

𝑝 → 𝑞 ∧ 𝑝 → 𝑟 → 𝑞 ∨ 𝑟 , dapat dibentuk:

𝑝 → 𝑞

𝑝 → 𝑟

∴ 𝑞 ∨ 𝑟

Bukti Formal Kesahan Argumen

1) 𝑝 → 𝑞

2) 𝑝 → 𝑟

3) 𝑞 ∨ 𝑟

4) Kontraposisi bentuk 1): 𝑞 → 𝑝

5) Silogisme 2) dan 4):

𝑞 → 𝑝

𝑝 → 𝑟

𝑞 → 𝑟

6) Ekuivalensi bentuk implikasi 5):

𝑞 → 𝑟 ≡ 𝑞 ∨ 𝑟

∴ Memenuhi hukum-hukum penyimpulan dan hukum-hukum proposisi, maka argumen

valid.

LATIHAN

1) Tentukan kesimpulan/ konklusi sehingga argumen berikut valid! (gunakan diagram

venn)

a. Tidak ada siswa yang malas.

John adalah artis.

Semua artis malas.

Jadi, ……

b. Semua pengacara adalah orang kaya.

Penyair adalah orang yang berperasaan.

John adalah pengacara.

Tidak ada orang yang berperasaan yang

kaya.

Jadi, ….

2) Tunjukan validitas/ invaliditas argumen berikut!

Jika saya belajar, maka saya tidak akan gagal dalam ujian matematika.

Saya akan belajar.

Jadi, saya tidak akan gagal dalam ujian matematika.

3) Tunjukan validitas/ invaliditas argumen berikut!

Hari ini hujan atau lalu lintas macet.

Hari ini lalu lintas tidak macet.

Jadi, hari ini hujan.

4) Tunjukan validitas/ invaliditas argumen berikut!

Jika saya belajar, maka saya tidak akan gagal dalam ujian matematika.

Jika saya tidak jalan-jalan, maka saya akan belajar.

Saya gagal dalam ujian matematika.

Jadi, saya telah jalan-jalan.

5) Tunjukan validitas/ invaliditas argumen berikut!

Jika hari ini hujan, maka Erick akan sakit.

Hari ini tidak hujan.

Jadi, Erick tidak sakit.

1. Diketahui premis – premis

(1) Jika hari hujan, maka ibu memakai payung

(2) Ibu tidak memakai payung

Tentukan penarikan kesimpulan yang sah dari premis – premis tersebut!

2. Diberikan premis sebagai berikut :

Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik.

Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik maka semua orang tidak senang.

Tentukan ingkaran dari kesimpulan di atas!

3. Diketahui premis-premis berikut:

Premis I : Jika hari ini hujan maka saya tidak pergi

Premis II : Jika saya tidak pergi maka saya nonton sepak bola

Tentukan kesimpulan yang sah dari penarikan kedua premis tersebut!

SOLUSI

1. Pembahasan :

p = hari hujan

q = ibu memakai payung

premis 1 : p →q

premis 2 : ~q ( modus tolens)

Kesimpulan : ~p

~p = hari tidak hujan

2. Pembahasan :

p = harga BBM naik

q = harga bahan pokok naik

r = semua orang tidak senang

premis 1 : p→q

premis 2 : q → r silogisme

Kesimpulan: p →r

ingkaran (p → r) = ~(p → r) = p ᴧ ~r

p ∧ ~r = Harga BBM naik dan ada orang senang

3. Pembahasan :

p = hari ini hujan

q = saya tidak pergi

r = saya nonton sepak bola

premis 1 : p → q

premis 2 : q → r silogisme

Kesimpulan: p → r