Simplexové tabulky z minule - jcu.cz

Simplexové tabulky z minule

(KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA ’O6 1 / 25

Simplexová metoda symbolicky

Výchozí tabulka

prom. v bázi zákl. proměné přídatné prom. omez.

A E b

−cT 0 0

Tabulka po přepočtu


B−1s A B−1s B−1s b

cTBB−1s A− cT cTBB

−1s cTBB

−1s b


Výpočet intervalů stability

Pro vektor pravých stranPředpokládejme, že se vektor pravých stran změní o ∆b, tedy nový vektorpravých stran bude b+∆b. Potom výsledná simplexová tabulka bude:


B−1s A B−1s B−1s (b+∆b)

cTBB−1s A− cT cTBB

−1s cTBB

−1s (b+∆b)

Ke změně tedy dojde jen ve sloupci hodnot řešení a v hodnotě účelovéfunkce. Duální ceny a redukované náklady zůstanou zachovány. Problémby nastal, pokud bychom změnili vektor b tak, že by nám ve sloupcihodnot proměnných vyšlo nějaké záporné číslo, potom by řešení obsaženéve výsledné simplexové tabulce nebylo přípustné.


Konkrétní výpočet intervalu stability

Potřebujeme tedy, abyB−1s (b+∆b) ≥ 0.

Chceme-li tedy počítat interval stability např. pro první omezení, potommůžeme symbolicky psát:

B−1s

b1 +∆b1b2. . .. . .bn

≥ 0.

Na bonboniérách 0, 125 −0, 0417 0−0, 125 0, 208 00, 625 −1, 875 1

60+∆b16085

≥ 0.


Odtud obdržíme tři nerovnice:

7, 5+ 0, 125∆b1 − 2, 5 ≥ 0

−7, 5− 0, 125∆b1 + 12, 5 ≥ 0

37, 5+ 0, 625∆b1 − 112, 5+ 85 ≥ 0

Z jejich řešení interval stability pro b1:

∆b1 ≥ −40∆b1 ≤ 40

∆b1 ≥ −16.

Tj. ∆b1 ∈ [−16, 40], tedy b1 ∈ [44, 100].


Intervaly stability pro cenový vektor

Ze symbolické simplexové tabulky vidíme, že při změně cenového vektoru cdochází ke změně v posledním řádku simplexové tabulky, navíc záleží natom, zda proměnná, u níž měníme cenový koeficient je či není bazická.Není-li bazická, pak se její změna promítá pouze do duálních cen,v opačném případě se její změna promítá do celého posledního řádkutabulky.

Intervalem stability zde rozumíme interval, ve kterém můžeme měnithodnotu cenového koeficientu, aniž tím porušíme optimalitu řešení.


Duální úloha – příklad

Zápis

max 30x1 + 45x2 min 60y1 + 60y2 + 85y3

za podmínek za podmínek

2x1 + 10x2 ≤ 60 2y1 + 6y2 + 10y3 ≥ 306x1 + 6x2 ≤ 60 10y1 + 6y2 + 5y3 ≥ 4510x1 + 5x2 ≤ 85

x1, x2 ≥ 0 y1, y2, y3 ≥ 0


Řešení duálně sdružených úloh

Řešení úloh

proměnná hodnota duální hodn. proměnná hodnota duální hodn.x1 5 0 y1 1,875 0x2 5 0 y2 4,375 0d1 0 1,875 y3 0 10d2 0 4,375 e1 0 5d3 10 0 e2 0 5


Celočíselná optimalizace

Zatím jsme se nenápadně vyhýbali podmínce celočíselnosti. Simplexovámetoda tuto podmínku nikterak nezohledňuje. Takže jsme vlastně jen”měli štěstí”. (Někdy potřebujeme dokonce větší jednotky, např. početkusů na celé palety, auta, apod. Potom je nejlépe zvolit jako jednotkupaletu, auto apod. a tomu upravit i všechny omezující podmínky, čímžzískáme běžnou celočíselnou optimalizaci.)

Zaokrouhlování není obecně dobrý nápad

Řešíme-li úlohu, kde nám výsledky vycházejí v řádu tisíců apod., potomnám zaokrouhlení neudělá žádný zásadní problém. Ovšem, pokud výsledkyvycházejí v řádu jednotek, pak nám zaokrouhlení může zničit řešení úlohy.


Příklad – celočíselná optimalizace

PříkladPodnik vyrábí tři druhy výrobků. Spotřebovává při tom tři speciálnísuroviny, v jejichž množství je omezen, spotřeba surovin na jednotlivévýrobky a disponibilní množství surovin je uvedeno v tabulce. Jednotkovýzisk má vykalkulován z předchozích let a je také uveden v tabulce. Firmachce maximalizovat svůj zisk.

Surovina – Výrobek V1 V2 V3 Množství surovinS1 20 10 40 80S2 40 40 20 160S3 0 10 40 50Jednotkový zisk 200 350 800


Řešení

Použijeme-li k řešení této úlohy algoritmus simplexové metody, získámeřešení obsažené v prvním sloupci, pokud algoritmus na celočíselnouoptimalizaci, potom dostaneme řešení z druhého sloupce tabulky:

Simpl. algoritmus Algoritmem na cel. optimalizaciMaximální zisk 1621,428571 1400Opt. slož. výrobyV1 1,5 0V2 2,142857143 4V3 0,714285714 0

Budeme-li zaokrouhlovat matematicky, získáme nepřípustné řešení, pokudjen ”dolu”, pak dostaneme jen malý zisk.

Tyto algoritmy nejsou náplní kurzu, ale jsou zabudovány ve většiněsoftware určeného k lineární optimalizaci. Ovšem jsou výpočetně mnohemnáročnější než simplexový algoritmus.


Optimalizace v modulu Řešitel – zadání


Řešitel – zadání omezujících podmínek


Řešitel – zadání účelové funkce









Vícekriteriální optimalizace

Pro zatím jsme zabývali úlohami, kde byla pouze jedna účelová funkce.Někdy se ovšem setkáváme se situacemi, kdy potřebujeme optimalizovatvíce hledisek najednou. Máme tedy více účelových funkcí.

Tyto problémy by se dali ještě rozdělit na situace, kdy vybíráme zkonečného počtu variant (např. nákup určitého druhu zboží) a na situace,kdy variant je nekonečně mnoho (viz předchozí příklady). Podle tohomluvíme buď o tzv. vícekriteriálním hodnocení variant (bude v RM)nebo vícekriteriálním programování.

Vícekriteriální programováníMnoho metod řešení, my si ukážeme jen nějaké základní. Metody můžemerozdělit na metody s informaci ”a priory” a metody s průběžnýmiinformacemi.


Vícekriteriální programování – příkladPražírny kávy vyrábějí dva druhy kávy (Super a Standard) ze dvou druhůkávových bobů KB1 a KB2, které mají smluvně zajištěny v množství 4 t a6 t. Složení kávy (v procentech) a zisk (tis.Kč) jsou uvedeny v tabulce.

KB1 KB2 Zisk (tis.Kč/t)Super 50 50 20Standard 25 75 14

Pražírny mají vyrobit minimálně 4t kávy a snaží se maximalizovat svůjzisk, minimalizovat spotřebu kávových bobů č. 2 a zároveň maximalizovatvýrobu kávy Super.


Matematický model

zisk max 20x1 + 14x2KB2 min 50x1 + 75x2Super max x1

za podmínek

KB1 0, 5x1 + 0, 25x2 ≤ 4KB2 0, 5x1 + 0, 75x2 ≤ 6celkem x1 + x2 ≥ 4

x1, x2 ≥ 0


Výsledky dílčích optimalizací


Documents

Simplexové tabulky z minule - jcu.cz